ESTADISTICA ESPAÑOLA
Núm. ^5, 1982, págs. 113 a 120
C i e io de de ección de ou lie s en modelos
p obabilís icos ipo Pa e o
po JOAQUIN MUÑOZ GARCIA
Y ANTONIO PASCUAL COSTA
Depa amen o de Es ad s ica e
In es igación Ope a i a.
Uni e sidad de Se illa
RESUMEN
Pa iendo de una población ipo Pa e o con o igen de en as H cono-
cido, se encuen a un c i e io pa a de ección de ou lie s. Se es udia a
con inuación el caso de o igen de en as desconocido, dándose al inal
un c i e io pa a la de ección de a ias obse aciones ou lie s. Se incluye
el
co espondien e p og ama de o denado .
Palab as cla^^e:
Dis ibución de Pa e o, ou lie s, de ección de ou lie s.
INTRODUCCION
Un ou lie s es una obse ación o un conjun o de obse aciones que «pa ecen» se
inconsis en es con el es o del conj un o de da os.
Aunque son muchas las de iniciones que sob e el concep o se han dado ( éase
Muñoz, 19^J), lo que ca ac e iza a una obse ación ou lie s es el «impac o» que
p oduce en el es adís ico cuando a a analiza los da c^s. Pa ece e iden e que la
p esencia de ou lie s en un conjun o de da os puede conduci nos a e o es en nues o
in en o de hace in e encias ace ca de la población de la que p oceden, de ahí que la
p esencia de ou lie s plan ee un p oblema undamen al en el análisis de da os. Un
p ocedimien o pa a la esoluciá n de es e p oblema consis e en encon a eglas de
decisión pa a de ec a dichas obse aciones.
114
^STADISTICA ^SPAÑ )LA
En el p ^en e dbajo ie dan p ucedimien c^s p ^ ^i la de ección de c^u lie s en
^oblacicsne^ ipu Pa e c^, yue c^^m^^ se sabe e^ ^^n m ^cielo p c^babili;^; ieo yue se ajus a
adecuadamen e a dis ibucic^nes cie ecuencias de en a^; c^b^
^
e adas en la ealidad.
Sea X una a iabie alea c^ña yue se dis ibuye
según
una ley de Pa e o de pa áme-
os E:^ y a(Pa( ), a)), po lo
que su unci^
^
n de densidad es:
aE^°
,Í'
(x )= x Q+^' a>
p, x> E y E^ > 0
Se sabe yue el es imado de máxima e osimili ud pa a la cons an e de Pa e o a,
conocicio el c^ igen de en a^ 4) iene ciadc^
^
pa a una mues a ^ilea o ia simple de amañu
pc^ :
n
^
l
= n ^
- =
JohnSOn
Ko z (19^)
Y ademá^
^
se eñ ican ]a.5 siguien es p oposiciones, cuyas demos aciones sc^n inme-
dia as.
P pE^sieic^n 1
^
es un es imad^ in a ian e po ans o maciones de escala:
^
a =
^
siendo
X; = X^Ox
di, i=
1,
2, .. ., n y )' = UOx, siendo OX la ans o mación ealizada.
}' pnsici^n 2
Si la a iable alea o ia X se dis ibuye según Pa(E), a), en onces la a iable:
2.a
Y
c^n
X
se dis ñbuye según una ley gamma de pa áme os
1
y 1/2, G( 1, 1/2).
CRITERIOS DE DETECClU Y DE OUTLiERS EN MODELUS PRUBABIUSTICOS T PC) F'ARETC)
P opc.asic•ión 3
Dada una mues a ^lea c.^ ici sim ple de ^^maño n( X, ,
publación Pa(í^, a) e) es adís icc:^.
i15
X^. .... X,^
^
p c^c ^den e de una
^
2a n
^ 2a Y; -
^^i
^
cun
X^
Y^ = ln
H
se dis ibuye
según un ^
ley x^(2n ).
?.
DISTRIBUCI(^N DEL ESTADISTICO BASICC^
Conside amos como es adís ica básicu pa a la de ección de ou lie s.
T^ _
n
donde ^ n es el es imado de máxima e osimili ud de a ub enidu a pa i de una mues a
alea u ia simple de a nañu n y^;, _^ es el mismu es imadc^ de m^xima e osimili ud,
pe u ob enido a pa i de
n-
1
cie las
n
cabse acicjnes an e io es en las que hemas
sup imido la ^bse ación i-ésima.
Del es aciís ico T; podemos a i ma que sus alo es mues ales no an a depende del
pa áme u a y po la p oposicicín 1, que es in a ian e median e ans o maciunes de
escala.
Te ema 1
Bajo la hipó esis de que no exis en ou lie s, el es adís ico
T; se dis ibuye
según una
ley
Be a de pa áme os
(
n - 1, 1).
De mc^s a c•ic^ n
Pudemos exp es^^ "I', en I^^ u na:
n
^
l n _
7
n
Xj
2W
^ 1n
^ ^ 2
E.l
-
n
j=1
.j
I 16
cun
X^
?cl
ln
^
"L_,
-
j - 1. 2, ..., n
"
X^
?u
^ ln l'
^=
donde se ha supues o que la obse ación sup imida es la p ime a.
ESTADISTICA ESPAÑOLA
De la exp esión an e io se deduce que:
Z, _
X,
?c
In
^
X,
?u ln
4
X
+
2u^ In
-'
^
.i=
20
En i ud de la p oposición 2, el nume ado se dis ibuye según una
ley XZ(2),
^
po la p oposición
3, 2a
^
In ( X;/H} se disi ibuye se^ún la ley x^( 2(n - 1}) y es inde-
^=z
penciien e
de la a iable 2a ln ( X, /H).
Po an o, Z, se dis íbuye según una ley Be a, Be(1, n-- 1}. Y al se
T, = 1- Z,,
se deduce i ialmen e que T, sígue una ley Be(n
--
1,
1),
és deci , el
es adís ico T
pusee una dis ibución iib e.
3.
CRITERIO PARA
LA DETECClnN
DE UN
C^UTLI ERS
Pa a la de ección de un ou lie s amos a conside a los es adís icos:
T;
pa a
i=
1,
2.
...,
n.
n - 1
^ ,^
.. (; ^
1'
C2 n _ ^
Si odos lus elemen os de la mues a de amaño n pe enecen a la misma población,
los es adís icos
T; = 1, 2, ..., n
se án p óximos a la unidad.
Po ello, el es adís ico q ue p oponemos pa a de ec a un ou lie s se á:
m i n T;
^
CRlTER14S DE DETECCION DE OUTLlERS EN MoDEL4S PROBAH[LISTICOS TlPO PARETU
1 17
Pa a de e mina
la egián
^ i ica hacemos
la siguien e
aco acián:
R
P[ min T; S
]
- P^^A; ^ S ^ P(A;} -
-
n P(A;)
^
.
,
siendo
A;=[T;S ^
con
i--
1,
2,
...,
n.
Y pa a
un ni el de signi icación a de e minamos de o ma que:
a
P[ T; ^ ] _
n
es deci ,
es el pe cen il de o den
a/n
de una ley
Be(n - 1, 1).
En de in i i a, si Tk = mi n
T; S , pa a
i=
1,
2,
...,
n,
podemos a i ma con un
;
coe icien e de con ianza supe io o igual a(1 - a) que la obse aciñn k-ésima es
ou lie s.
Has a aho a se ha supues o que el igen de en as H es conocid©, en el caso en que
dieho o igen no sea conocido, u iliza emos el mismo mé odo, sálo que sus i ui e nos ^
po su es imado de máxima e osimili ud.
E3
= min X^
^s;sn
aunque pa a man ene la e iciencia del mé odo hab á que dispone de una mues a
su icien emen e g ande.
A con inuación damos un c i e io a emplea pa a de ec a más de un ou lie s y asi
pode e i a el e ec o de enmasca amien o ci ado po Tie jen y Moo e
(1972}.
4.
CRITERIC} PARA DETECTAR
MAS DE
L.JN JUTLIERS
Pa a de ec a s ou lie s
s>
l,
calcula emos
n
es adis icos de la o ma:
s
T;,,i2i..,.,is
siendo (i ^,
z•
A
n - s
a ,^
n
á^^,,^2.....^s^
n -s
.. .., i s}
una de las
n
pe mu aciones
posi bles (1, 2, ... , n} y donde ca-
s
da uno de los es ad^s icos se dis ibuye
según una
ley be a
Be (n -- s, s}.

I1K
ESTAD ST +C'A
ESPAÑC)L_A
H I e^ acií i icc^ a u iliza p^i ^^ la cle eccic^n cie s o^.^ lie ^ se ^i:
min T; .,,.
^^'.i2. ...,is
y di emu^ yue la^ obse ac:iune^ (k, 1, ..., ^^} sc^n s cau lie ^ p^i a un ni el de signi icación
^ . . .... ^^
-
min
T; ^,;2. .. .;s
S s
Ci .....;si
n
donde s a a se el pe cen il del o den
co espondien e a una ley be a
s
Be(
- s, s}.
A cc^n inuaci^n damc^^ el p ag ama Fca ^^n yue emplea ^amus p^ a cie ec a uno y
do^ ou lie ^ en una mue^ a cie amañu 19.
FORTRAN 1 V
0001
OPEN(UNIT-2,NAME='SALAR.DAT',TYPE='UNI{NOWN')
0002
DIMENSIC)N
.
?^CX( 19),X(19),TI(19),V I( 19),V2( 19)
0003
PRI N T 40
0004
DO 1 I= 1,19
00(}^
READ(2,100) XX(1)
OOa6
X(1) = X X( I) i 200
0007
PRINT 110, X(1)
0008
1
CONTINUE
0009
"
T'HETA=XMIN1(X,19}
0010
SUMD=SUMLOG(X,19,THETR)
00 l 1
DC) 2 I= 1,19
0012
C'ALL RESTI^X,19,I,V 1)
x 13
SUMN=SUMLOG{V1,18,THETA)
0014
Tl(1)=SUMN/SUMD
OOlS
?
CONTINUE
OOl6
TIMIN=XMIN 1(Tl,l9)
0017
T2M1N=1
0018
DO 3 I=1,18
0019
DC) 3 J=1+1,19
0020
CALL
REST2(X,19,I,J,V2)
002i
SUMN=SUMLOG(V2,17,THETI'A)
0022
TT=SUMN/SUMD
0023
T2MIN=AMIN 1(T2MIN,TT)
0024 3
CON TI N U E
0025
PR 1 N T I 20, T I M 1 N
002b
PRINT 130,T2MIN
0027
STOP
C
C
FORMATOS
C
0028 40
FORMAT(20X,'O BS ERVACION ES. `/)
0029 100 FORMAT(2X,FS.O)
0030 1 10 FORMAT(20X, F9,0}
0031
120
FORMAT(20X,'VALOR MINIMO DE T(I):',2X,F14,4)
CRITERiOS DE DETEC`CIOI^i DE UUTLIERS ETY MODELOS PROBASILISTICOS TIPi) PARE.TCU
i lq
0()32
13()
FORMAT(24X,'VALC)R MINIM() DE T(II,I2).'2X,F10,4)
(1C13 3
E N D
FC)RTRAN 1 V. VU2. I- 10
0001
FUNCT[UN SUMLOG(X1,N I,TH)
0()02
DIMENSION X 1( N I)
0003
S[^1
M LOG = 0
0004
DO l 0[ I=1, N 1
0005
SUML(]^G-SUMLOG+ALOG(Xl(lI)/TH)
000(^
10
CONTINUE
0007
RETURN
0008
E N D
FORTRAN 1 V
0001
SUBROUTINE REST1(X1,Nl,L,A)
OOQ2
DIMENSiON X 1( N 1),A( N 1^
0003
TY PE 30, L
UO04 30 FO RM A T(1 X,13 )
0005
1
F( L.. EQ.1) GO TU 12
0007
DO 10 L 1=1, L- I
0008
A(Ll)-X1(L1)
00(?^
TY PE 20, A( L 1)
OOIO
20
FORMAT(3X, F 14,0)
OOII
10
CONTINUE
0012
I
F( L.. EQ.19) R E TU RN
0014 12 DU 11 L1=L+1,N1
0415
A(LI- i)-X1(LI)
0016
TYPE 2U, A( L 1--1)
0017 Il CONT[NUE
0018
RETURN
OOl9
END
FC)RTRAN [ V
0001
SUBROUTINE REST2(X I,N I,LI,L,J,A)
0002
DIMENSION X 1(N 1},A(N 1)
0003
TYPE 30, LI , L,I
OOU4
30
FORMAT(1X,2I3)
OC)OS
I
F( LI . EQ.1) GO TO 13
0007
DO 10 I_= 1,LI - 1
000^
A(L)=Xl(L)
OOOy
TYPE 20, A( L)
0010
20
FORMAT(3X,F1?.0)
001 1
10
CONTIN UE
0012
IF{LI.EQ.18) RETURN
OO14
I 3
1
F( ( L I' 1) . EQ . LJ ) GO TO 14
(1^16
DO 1 I L=LI+ I,LJ- I
OOl7
A(L- 1)=Xl(L)
()Ol ^
TYPE 20, A( L- 1)
0019
i l
CONTINUE
0020
IF(LJ.EQ.19} RETURN
0022
14
DO I 2 L= LJ + 1, N 1
0023
A(L-2)=X1(L)
0024
TYPE 20, A(L- 2)
12a
E STADISTIC A ^SPA^(3LA
(1025
12
CC1NT[NUE
^? ^
R E TU R N
0027
END
C'
CALCULO
MIN[M© REAL
DE UN CONJUNTO DE N
OBSERVACIONES REALES
C^`
FUNCTION
XM[N1(X,N)
D MENS10N X(N)
DO 1
1 [^1,N
XMIN 1=AM1N I(XMIN
1,X( I))
1
CONTiNUE
RETU RN
END
BI BLI©GRAFI A
JOHNS(JN, N. L. anci KoTZ,
S.:
Dis ibu i^ns in S a is ics: Con inu us uni a ia e dis ibu i ns 1.
Wiley, 1970.
Mu " oz,
J.:
Algunas écnicas s^^b e de ección de u lie s.
Public.
Uni: e sidad de Se illa, 1980.
T1^T^Ex, G. L. and
MOORE, R. H.: «Some G ubbs - Type S a is ics © he de ec ion o se e al
ou lie s» .
Technome ics
(
14},
1972.
SUMMARY
S a ing om a Pa e o ype popula ion wi h known minimum income
H in his pape a c i e ium o de ec i^n o ou lie s is de i ed.
The
unknowm minimum income case is also s udied, showing a c i e ium o
de ec ion o some ou lie s obse a ions.
The co esponding compu ing
p og am is inciuded.
Key w^ ds:
Pa e o dis ibu ion, ou lie s, de ec ion o ou lie s.
AMS, Subjec classi ica ion 62 F 35.