APLICACI ´
ON DE MPC NO LINEAL BASADO EN
MODELOS DE VOLTERRA A UNA PLANTA PILOTO
J. K. G ube y C. Bo dons
Dp o. Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica, Escuela T´ecnica Supe io de Ingenie os
Uni e sidad de Se illa, Camino Descub imien os, s/n., 41092 Se illa
jg ube @ca uja.us.es, bo [email protected]
Resumen
El p esen e documen o mues a la aplicaci´on de
una es a egia de con ol p edic i o no lineal
basado en modelo (NMPC) a un p oceso de labo-
a o io: una plan a pilo o con una ´al ula de e-
ci culaci´on manipulable pa a con ola la empe-
a u a en el eac o . El con olado es ´a basado en
un modelo diagonal de Vol e a de segundo o den
pa a conside a e ec os no lineales. Pa a calcula
la acci´on de con ol se u iliza un m´e odo i e a i o
que equie e pocos ecu sos compu acionales. El
compo amien o del p oceso y del con olado se
p esen an median e esul ados expe imen ales
Palab as cla e: con ol p edic i o no lineal,
modelos de Vol e a, secuencia pseudo-alea o ia.
1 INTRODUCCI ´
ON
Los modelos de Vol e a ep esen an la ex ension
simple y l´ogica de los modelos de con oluci´on que
han sido aplicados con g an ´exi o en con ol p e-
dic i o lineal basado en modelos (linea model
p edic i e con ol, MPC). Es os modelos p esen-
an gen´e icamen e un buen compo amien o y se
puede ap o echa su es uc u a en el dise˜no de
con olado es, especialmen e en el caso de mode-
los de segundo o den. En el caso de un modelo
de segundo o den y uncamien o de ´e minos, el
modelo iene la o ma
y(k) = h0+
N1
X
i=1
a(i)u(k−i)
+
N2
X
i=1
N2
X
i=j
b(i, j)u(k−i)u(k−j) (1)
que co esponde al modelo lineal de con oluci´on
con la no linealidad como ´e mino adicional y adi-
i o.
El con ol p edic i o no lineal basado en modelos
(nonlinea model p edic i e con ol, NMPC) es un
campo jo en y oda ´ıa exis en pocas e e encias de
aplicaciones indus iales [1]. Pe o la capacidad de
conside a din´amicas m´as complejas y no lineales
con ie e el NMPC en una opci´on p ome edo a en
el momen o de con ola p ocesos eales. Aunque
los p ocesos indus iales demues an en gene al un
compo amien o no lineal, la mayo ´ıa de los con-
olado es p edic i os es ´an basados en modelos
lineales. Sin emba go, los p ocesos ue emen e
no lineales jus i ican el uso de NMPC.
En los p ocesos ue emen e no lineales la apli-
caci´on de MPC lineal puede se poco e ec i a y
equie e el empleo de con olado es no lineales. La
p incipal en aja de NMPC ep esen a la posibili-
dad de conside a la din´amica no lineal. En en e
a es a g an en aja exis en ambi´en des en ajas
que son: la ob enci´on de un modelo no lineal a
pa i de da os expe imen ales y el p oblema de
op imizaci´on del c´alculo de la acci´on de con ol.
Es e documen o p esen a la aplicaci´on de con ol
p edic i o no lineal a un p oceso de labo a o io.
El modelo din´amico es ´a basado en un modelo de
Vol e a y la op imizaci´on del c´alculo de la acci´on
de con ol se ealiza median e un m´e odo i e a i o
p esen ado po Doyle e al. [5]. El documen o es ´a
dis ibuido de la siguien e mane a: en el apa ado
2 se explica el p oceso u ilizado y el p oblema que
esul a del mismo, en el apa ado 3 se p esen a
la iden i icaci´on del modelo de Vol e a y en el 4
se mues a la ley de con ol p edic i o no lineal.
En el apa ado 5 se p esen an los esul ados de la
aplicaci´on del con olado no lineal al p oceso eal
y en el 6 se p esen an las conclusiones de i adas
de la aplicaci´on de es e ipo de con olado .
2 DESCRIPCI ´
ON DEL
PROBLEMA
Pa a la aplicaci´on de un con ol no lineal se
ha elegido un p oceso eal ep esen ado po una
plan a pilo o, es udiado an e io men e po a ios
au o es [6, 10, 2]. La plan a pilo o puede simula
eacciones qu´ımicas exo ´e micas a base de cambios
en la empe a u a. Los cua o elemen os p inci-
pales de la plan a son: el eac o , la esis encia,
el in e cambiado de calo y la ´al ula de eci cu-
laci´on, e la igu a 1.
XXVII Jo nadas de Au omá ica
Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 1235
In e cambiado
de calo
V´al ula
Resis encia
Reac o
Figu a 1: Diag ama de la plan a pilo o con los cua-
o elemen os: eac o , ´al ula de eci culaci´on,
esis encia y in e cambiado de calo .
Median e la esis encia se puede suminis a ene -
g´ıa cal´o ica y en consecuencia aumen a la empe-
a u a del con enido del eac o . Pa a la educci´on
de la empe a u a del con enido del eac o se u i-
liza el in e cambiado de calo . El anspo e de
ene g´ıa cal´o ica desde el eac o al in e cambiado
de calo se puede egula median e la ´al ula. El
con enido salien e del eac o que pasa po el in-
e cambiado de calo en a o a ez en el eac o
al que la plan a pilo o ep esen a un sis ema ce -
ado con espec o a la masa.
La plan a pilo o ep esen ada ( e la igu a 1)
se u iliza en gene al pa a simula expe imen os
de eacciones qu´ımicas exo ´e micas. Pa a in o -
maci´on m´as de allada sob e el p oceso u ilizado
e [2, 3]. En es e documen o no se u iliza un mo-
delo ma em´a ico pa a calcula la ene g´ıa cal´o ica
gene ada po una p esun a eacci´on qu´ımica, sino
que se ija la esis encia a un alo cons an e. Con
la esis encia ijada a un alo cons an e, eso signi-
ica que la esis encia no ep esen a una en ada
manipulable del p oceso, la plan a pilo o ep e-
sen a un sis ema SISO (single in single ou ) con
una en ada (la ape u a de la ´al ula) y una sa-
lida (la empe a u a en el eac o ).
La idea de es e a iculo es la ob enci´on de un
modelo ma em´a ico disc e o pa a ep esen a el
cambio de la empe a u a Ten dependencia de la
ape u a de la ´al ula de eci culaci´on 8con un
suminis o cons an e de ene g´ıa ( esis encia ijado
a un alo cons an e) y su pos e io uso pa a el
desa ollo de un con olado p edic i o no lineal.
Tal modelo se puede esc ibi de la siguien e ma-
ne a:
y(k+ 1) = (u(k), u(k−1), u(k−2), . . .) (2)
con la salida y( empe a u a T) y la en ada u
(ape u a de la ´al ula 8).
T[˚C]
50
60
70
80
8[%]
40 50 60 70 80 90 100
Figu a 2: Relaci´on en e ape u a de la ´al ula y
empe a u a en egimen es aciona io y esis encia
con un alo cons an e del 50 %.
El modelo pa a iden i ica debe ´ıa conside a la
din´amica y los e ec os no lineales del p oceso de
labo a o io. Una de las no linealidades es la
elaci´on en e la ape u a de la ´al ula 8y la
empe a u a Ten egimen es aciona io y la e-
sis encia con un alo cons an e, e la igu a 2.
3 IDENTIFICACI ´
ON DE
MODELOS
La iden i icaci´on de pa ´ame os de modelos con-
sis e en la mayo ´ıa de los casos de cua o pa es:
elecci´on de la es uc u a del modelo, elecci´on de
se˜nales de en ada adecuadas, ensayos con apli-
caci´on de las se˜nales elegidas pa a consegui da os
de ipo en ada–salida, as´ı como la p opia iden i-
icaci´on de los pa ´ame os del modelo.
3.1 ESTRUCTURA DE MODELO
A pesa del hecho que los sis emas ´ısicos e olucio-
nan en gene al en iempo con inuo, la mayo ´ıa de
esquemas de con ol basados en modelos u ilizan
o denado es pa a ecoge las medidas de los sen-
so es en el ins an e de iempo disc e o ky ealizan
las acciones de con ol algunos ins an e m´as a de
en k+n. Po es as azones exis e la necesidad de
desc ibi sis emas con inuos median e modelos en
iempo disc e o. Los modelos de Vol e a pe -
mi en la ep esen aci´on de sis emas complejos y
no lineales median e modelos disc e os y po lo
an o su uso en el con ol de es os sis emas.
Finalmen e, se ha elegido un modelo de Vol e a
de segundo o den que ep esen a un modelo no li-
neal, con el in de conside a la din´amica compleja
del p oceso eal. La es uc u a gene al de un mo-
delo de Vol e a de segundo o den es la siguien e:
y(k) = h0+
∞
X
i=1
a(i)u(k−i)
+
∞
X
i=1
∞
X
j=1
b(i, j)u(k−i)u(k−j) (3)
XXVII Jo nadas de Au omá ica
1236 Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0
Con el in de educi conside ablemen e el n´ume o
de pa ´ame os pa a iden i ica , se ha elegido un
modelo diagonal de Vol e a que ep esen a un
caso especial del modelo de Vol e a. En es e ipo
de modelo se conside an solamen e los ´e minos
cuad ´a icos de los pasados alo es de la en ada
y no se u ilizan los ´e minos c uzados de los mis-
mos. Es a educci´on de pa ´ame os esul a en la
siguien e es uc u a de modelo:
y(k) = h0+
∞
X
i=1
a(i)u(k−i)
+
∞
X
i=1
b(i)u(k−i)2(4)
Con el uncamien o a N1 ´e minos lineales y
N2 ´e minos no lineales el modelo diagonal de
Vol e a iene la siguien e o ma:
y(k) = h0+
N1
X
i=1
a(i)u(k−i)
+
N2
X
i=1
b(i)u(k−i)2(5)
3.2 SE ˜
NAL DE ENTRADA
Pa a la iden i icaci´on de los pa ´ame os del modelo
diagonal de Vol e a hay que u iliza da os de ipo
en ada–salida adecuados. La ob enci´on de es os
da os equie e la elecci´on de una se˜nal de en ada
adecuada. La se˜nal de en ada debe pe mi i la
iden i icaci´on de la din´amica compleja del sis ema.
En muchas iden i icaciones de sis emas se u iliza
como se˜nal de en ada el uido blanco de Gauss
[8]. No obs an e, el uido blanco de Gauss es bas-
an e a ac i o en eo ´ıa, pe o poco a ac i o en
el momen o de aplica lo al sis ema [9]. El uso
de uido blanco como se˜nal de en ada pa a una
´al ula esul a en un mo imien o cons an e de la
misma y puede da˜na la. Po es as azones hay
que encon a una se˜nal de en ada aplicable que
no da˜ne la ´al ula pe o pe mi a la iden i icaci´on
de los pa ´ame os del modelo.
Pa a la iden i icaci´on de sis emas lineales se usa
en muchos casos una PRBS (Pseudo Random
Bina y Sequence). Desa o unadamen e, las
PRBS ienen una g an de iciencia en el momen o
de iden i ica sis emas no lineales debido a la ex-
ci aci´on insu icien e del sis ema [8].
Po los p oblemas con el uido blanco de Gauss y
la PRBS se ha elegido inalmen e como se˜nal de
en ada una PRMS (Pseudo Random Mul ile el
Sequence). Las PRMS ienen, al con a io que
las PRBS, no solamen e dos ni eles, sino a ios
u(k)
u+
u0
u−
k
Figu a 3: Secuencia (PRMS) de en ada pa a la
iden i icaci´on de modelos de Vol e a has a se-
gundo o den.
ni eles. La ampliaci´on del n´ume o de di e en es
ni eles en la se˜nal de en ada pe mi e una mejo
exci aci´on del sis ema. Las PRMS con N+ 1
ni eles pueden exci a su icien emen e sis emas de
Vol e a de o den N[8]. Po el o den N= 2
del modelo diagonal de Vol e a que se u iliza en
es e documen o se usa una PRMS con es ni eles
u(k) = {u−, u0, u+}, e la igu a 3.
3.3 ENSAYO
En un p ime paso se han ealizado a ios en-
sayos de la plan a pilo o con el obje i o de con-
segui da os pa a la iden i icaci´on de un mode-
lo de ipo Vol e a. Pa a los ensayos se ha i-
jado la esis encia a un alo cons an e del 50 %
(→7500 W) y la ape u a de la ´al ula se ha cal-
culado median e el m´e odo PRMS con es ni eles
8={30,60,90}%. Los ensayos se ealiza on con
pe iodos a iables de la PRMS, pe o bas an e la -
gos pa a obse a la eacci´on de la plan a pilo o a
cambios en la en ada, e la igu a 4.
T[˚C]
55
65
75
8[%]
30
40
50
50
60
60
70
70
80
80
90
[h]
[h]
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Figu a 4: Resul ados de ensayo de la plan a pilo o
con la en ada calculada median e el m´e odo de
PRMS con es ni eles de la ape u a de la ´al ula
de eci culaci´on 8={30,60,90}%.
XXVII Jo nadas de Au omá ica
Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 1237
a(k) [−]
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
1
b(k) [−]
−0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
k[−]
k[−]
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
60
60
70
70
80
80
Figu a 5: Pa ´ame os iden i icados del modelo no
lineal con N1= 80 y N2= 45.
3.4 IDENTIFICACI ´
ON DE
PAR ´
AMETROS
Finalmen e, con los da os en ada–salida
ob enidos en los ensayos, se ha ealizado la
iden i icaci´on de los pa ´ame os del modelo
diagonal de Vol e a de segundo o den. Pa a la
iden i icaci´on de los pa ´ame os se ha u ilizado el
m´e odo de m´ınimos cuad ados.
An es de iden i ica los pa ´ame os, se ha no ma-
lizado la en ada de la siguien e mane a:
˜u=u−u0
∆u(6)
con u0= 60 y ∆u= 30 as´ı que la en ada no ma-
lizada iene los ni eles ˜u={−1,0,1}.
Du an e el p oceso de iden i icaci´on se ha obse -
ado que la elecci´on de un iempo de mues eo
de m= 30 s ep esen a un buen comp omiso en-
e la bondad de la iden i icaci´on y el n´ume o de
pa ´ame os. Adem´as se ha obse ado que, con el
iempo de mues eo de m= 30 s, el sis ema iene
un e a do de 1 pe iodo de mues eo.
Finalmen e, se han iden i icado N1= 80
pa ´ame os de p ime o den y N2= 45 pa ´ame os
de segundo o den. Los pa ´ame os iden i icados
se pueden e en la igu a 5. El o se del modelo
iene un alo de h0= 59.1oC.
Pa a e i a p oblemas en la pos e io imple-
men aci´on del con olado p edic i o se no maliza
la salida del sis ema y la e e encia, de al mane a
que desapa ece el o se del modelo:
˜y=y−h0(7)
˜ = −h0(8)
4 LEY DE CONTROL
Pa a p edeci el u u o compo amien o del p o-
ceso se u iliza el modelo no lineal iden i icado
en una ep esen aci´on de DMC (Dynamic Ma ix
Con ol) [4] ex endida al caso no lineal. Pa a el
modelo de segundo o den los u u os alo es de la
salida ienen de inidos como:
˜y =G˜u +c+ (9)
con
=˜uTG2˜u (10)
c=H˜upas +˜uT
pasH2˜upas +d(11)
y las ma ices G(12) y H(13) que ep esen-
an la pa e lineal del modelo iden i icado. Las
ma ices G2yH2conside an la pa e no line-
al iden i icada y ienen la o ma que se puede
e en (14) y (15), espec i amen e. El ec o
d= [d(k+ 1), d(k+ 1), . . . , d(k+ 1),]Tcon iene
la di e encia en e la salida del p oceso y la salida
del modelo en el ins an e k.
G=














a10... 0
a2a1
...0
.
.
..
.
....a1
.
.
..
.
....a1+a2
.
.
..
.
.....
.
.
aPaP−1...
P+M+1
P
i=1
ai














(12)
H=












a2a3... ... aN0
a3a4. . . aN−10 0
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.a1
aP−1aP
.
.
..
.
..
.
.a1+a2
aP0.
.
..
.
..
.
..
.
.
0 0 .
.
. 0 0 0












(13)
G2=














b10... 0
b2b1
...0
.
.
..
.
....b1
.
.
..
.
....b1+b2
.
.
..
.
.....
.
.
bPbP−1...
P+M+1
P
i=1
bi














(14)
XXVII Jo nadas de Au omá ica
1238 Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0
H2=












b2b3... ... bN0
b3b4. . . bN−10 0
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.b1
bP−1bP
.
.
..
.
..
.
.b1+b2
bP0.
.
..
.
..
.
..
.
.
0 0 .
.
. 0 0 0












(15)
Con la an e io ep esen aci´on del modelo no lineal
se ha elegido un en oque i e a i o pa a calcula la
acci´on de con ol. Es e en oque, p esen ado po
Doyle e al. [5, 7], no conside a es icciones en
la acci´on de con ol. El esquema pa a calcula la
acci´on de con ol es el siguien e:
•Paso 1: pone i= 1
•Paso 2: esol e las ecuaciones
a=( −c− )TGT(16)
˜u =GTG−1a(17)
•Paso 3: comp oba si la ucalculada cumple
la condici´on
˜u(i)(k)−˜u(i)(k−1)< δ (18)
•Paso 4: Si la an e io condici´on es ´a cumpli-
da, pone ˜u(k) = ˜u(i)(k) y aplica ˜u(k). Si la
an e io condici´on no es ´a cumplida, ecalcu-
la usando ˜u(i)(k), pone i=i+ 1 y ol e
a paso 2.
Como no se u ilizan es icciones pa a calcula las
acciones de con ol se usa la sa u aci´on
˜u(k) = 


˜umin si ˜u(k)<˜umin
˜u(k) en o o caso
˜umax si ˜u(k)>˜umax
(19)
que limi a la acci´on de con ol al in e alo ˜umin ≤
˜u(k)≤˜umax.
5 RESULTADOS
EXPERIMENTALES
El p oceso se con ola median e el sis ema de con-
ol dis ibuido Sima ic-IT que incluye un Au-
oma a P og amable denominado PMC 10. El
algo i mo de con ol se ejecu a en Ma lab e in-
e cambia in o maci´on con el sis ema de con ol
dis ibuido a a ´es de OPC.
La igu a 6 mues a los esul ados de un en-
sayo de la plan a pilo o con olado median e el
NMPC. Po los 80 elemen os lineales del modelo
no lineal iden i icado se ha elegido un o den de
uncamien o de N= 80. Pa a el ho izon e de
p edicci´on y el ho izon e de con ol se han u i-
lizado P= 80 y M= 15, espec i amen e.
En la g ´a ica se pueden e a iba la empe a u a
y la e e encia, en el cen o la acci´on de con ol
y abajo las i e aciones necesa ias pa a cumpli la
condici´on de con e gencia. La empe a u a del
p oceso sigue bien la e e encia y mues a pocas
oscilaciones. Solamen e en el momen o de cam-
bio de la e e encia hay g andes di e gencias en e
empe a u a y e e encia, pe o el con olado no
lineal compensa es as di e gencias en un iempo
azonable. Las acciones de con ol mues an con-
side ables oscilaciones a lo la go del ensayo, in-
cluso en ins an es en los que no hay di e gencias
en e empe a u a y e e encia. En los momen os
de cambio de e e encia, la acci´on de con ol (la
ape u a de la ´al ula) ha sido limi ada po la sa-
u aci´on a los alo es m´ınimos y m´aximos pe mi-
idos. Con espec o a las i e aciones pa a cumpli
la condici´on de di e gencia se puede e que el al-
go i mo necesi aba en e 3 y 11 i e aciones, que
signi ica un c´alculo ´apido con los o denado es ac-
uales.
Adem´as se han ealizado ensayos de con ol p e-
dic i o lineal pa a ob ene da os de compa aci´on.
Con el NMPC se ha podido educi la suma del
e o cuad ´a ico en e salida del p oceso y e e en-
cia un 5.1 % en e al e o del p oceso con olado
po un MPC.
6 CONCLUSIONES
En es e documen o se ha mos ado la aplicaci´on
de un NMPC basado en un modelo diagonal de
Vol e a a un p oceso de labo a o io. El p o-
cedimien o de desa ollo del con olado es simple
(po el uso de un modelo de Vol e a) y ´apido.
El c´alculo de la acci´on de con ol se ha ealizado
con un m´e odo i e a i o que con e ge en pocas
i e aciones y po consiguien e equie e pocos e-
cu sos. En los esul ados se ha podido e un
buen compo amien o del p oceso, pe o ambi´en
cambios pe manen es en la en ada del sis ema.
Pa a educi es os cambios pe manen es en la
ape u a de la ´al ula se puede pensa en una ex-
ensi´on de la ley de con ol, de al mane a que se
incluye una ponde aci´on de los cambios de con-
ol ∆uen el algo i mo de con ol. Pa a educi
el e o en e empe a u a y e e encia se puede
inclui es icciones pa a la acci´on de con ol, de
al mane a que se puede elimina la sa u aci´on
u ilizada en la en ada del sis ema. Es a medida
obliga ´ıa a cambia del algo i mo i e a i o a p o-
XXVII Jo nadas de Au omá ica
Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 1239

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Figu a 6: Resul ado del ensayo de la plan a pilo o con olado po el MPC no lineal con c´alculo i e a i o
de la acci´on de con ol. A iba: la empe a u a y la e e encia, cen o: la acci´on de con ol, abajo: las
i e aciones necesa ias pa a cumpli la condici´on de con e gencia.
g amaci´on cuad ´a ica (QP).
Ag adecimien os
Es e abajo ha sido inanciado pa cialmen e po
el Minis e io de Educaci´on y Ciencia a a ´es del
p oyec o de in es igaci´on DPI-2004-07444-C04-01.
Re e encias
[1] Camacho, E.F., Bo dons, C., (2004) “Model
P edic i e Con ol”, Second Edi ion,
Sp inge , London.
[2] Cueli, J.R., (2005) “Con ol p edic i o pa a
p ocesos epe i i os”, Tesis doc o al, Uni e -
sidad de Se illa.
[3] Cueli, J.R., Bo dons, C. (2005) “I e a i e
Nonlinea Con ol o a Semiba ch Reac o .
S abili y Analysis”, In P oceedings o he 44 h
IEEE Con e ence on Decision and Con ol,
and he Eu opean Con ol Con e ence 2005,
Se illa.
[4] Cu le , C.R., Ramake , B.C., (1980) “Dy-
namic Ma ix Con ol – A Compu e Con-
ol Algo i hm”, In Au oma ic Con ol Con-
e ence, San F ancisco.
[5] Doyle, F.J., Pea son, R.K., Ogunnaike, B.A.,
(2002) “Iden i ica ion and Con ol Using
Vol e a Models”, Sp inge , London.
[6] Hugo, P., S einbach, J., S oessel, F., (1988)
“Calcula ion o he maximum empe a u e in
s i ed ank eac o s in case o b eakdown o
cooling”, Chemical Enginee ing Science, Vol.
43, No. 8, pp 2147-2152.
[7] Mane , B.R., Doyle, F.J., Ogunnaike, B.A.,
Pea son, R.K., (1996) “Nonlinea Model P e-
dic i e Con ol o a Simula ed Mul i a iable
Polyme iza ion Reac o Using Second-o de
Vol e a Models”, Au oma ica, pp 1285-1301.
[8] Nowak, R.D., Van Veen, B.D., (1994) “Ran-
dom and Pseudo andom Inpu s o Vol e a
Fil e Iden i ica ion”, IEEE T ansac ions on
Signal P ocessing, Vol. 42, No. 8, pp 2124-
2135.
[9] Pa ke , R.S., Heems a, D., Doyle, F.J.,
Pea son, R.K., Ogunnaike, B.A., (2001) “The
iden i ica ion o nonlinea models o p ocess
con ol using ailo ed “plan - iendly” inpu
sequences”, Jou nal o P ocess Con ol, Vol.
11, No. 2, pp 237-250.
[10] Szei e , F., Cho an, T., Nagy, L., (1995)
“P ocess dynamics and empe a u e con ol
o ed-ba ch eac o s”, Compu e s & and
Chemical Enginee ing, Vol. 19, No. 1, pp 447-
452.
XXVII Jo nadas de Au omá ica
1240 Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0