Aplicación de MPC no lineal no lineal basado en modelos de Volterra a una planta piloto

APLICACI ´ ON DE MPC NO LINEAL BASADO EN MODELOS DE VOLTERRA A UNA PLANTA PILOTO J. K. G ube y C. Bo dons Dp o. Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica, Escuela T´ecnica Supe io de Ingenie os Uni e sidad de Se illa, Camino Descub imien os, s/n., 41092 Se illa jg ube @ca uja.us.es, bo [email protected] Resumen El p esen e documen o mues a la aplicaci´on de una es a egia de con ol p edic i o no lineal basado en modelo (NMPC) a un p oceso de labo- a o io: una plan a pilo o con una ´al ula de e- ci culaci´on manipulable pa a con ola la empe- a u a en el eac o . El con olado es ´a basado en un modelo diagonal de Vol e a de segundo o den pa a conside a e ec os no lineales. Pa a calcula la acci´on de con ol se u iliza un m´e odo i e a i o que equie e pocos ecu sos compu acionales. El compo amien o del p oceso y del con olado se p esen an median e esul ados expe imen ales Palab as cla e: con ol p edic i o no lineal, modelos de Vol e a, secuencia pseudo-alea o ia. 1 INTRODUCCI ´ ON Los modelos de Vol e a ep esen an la ex ension simple y l´ogica de los modelos de con oluci´on que han sido aplicados con g an ´exi o en con ol p e- dic i o lineal basado en modelos (linea model p edic i e con ol, MPC). Es os modelos p esen- an gen´e icamen e un buen compo amien o y se puede ap o echa su es uc u a en el dise˜no de con olado es, especialmen e en el caso de mode- los de segundo o den. En el caso de un modelo de segundo o den y uncamien o de ´e minos, el modelo iene la o ma y(k) = h0+ N1 X i=1 a(i)u(k−i) + N2 X i=1 N2 X i=j b(i, j)u(k−i)u(k−j) (1) que co esponde al modelo lineal de con oluci´on con la no linealidad como ´e mino adicional y adi- i o. El con ol p edic i o no lineal basado en modelos (nonlinea model p edic i e con ol, NMPC) es un campo jo en y oda ´ıa exis en pocas e e encias de aplicaciones indus iales [1]. Pe o la capacidad de conside a din´amicas m´as complejas y no lineales con ie e el NMPC en una opci´on p ome edo a en el momen o de con ola p ocesos eales. Aunque los p ocesos indus iales demues an en gene al un compo amien o no lineal, la mayo ´ıa de los con- olado es p edic i os es ´an basados en modelos lineales. Sin emba go, los p ocesos ue emen e no lineales jus i ican el uso de NMPC. En los p ocesos ue emen e no lineales la apli- caci´on de MPC lineal puede se poco e ec i a y equie e el empleo de con olado es no lineales. La p incipal en aja de NMPC ep esen a la posibili- dad de conside a la din´amica no lineal. En en e a es a g an en aja exis en ambi´en des en ajas que son: la ob enci´on de un modelo no lineal a pa i de da os expe imen ales y el p oblema de op imizaci´on del c´alculo de la acci´on de con ol. Es e documen o p esen a la aplicaci´on de con ol p edic i o no lineal a un p oceso de labo a o io. El modelo din´amico es ´a basado en un modelo de Vol e a y la op imizaci´on del c´alculo de la acci´on de con ol se ealiza median e un m´e odo i e a i o p esen ado po Doyle e al. [5]. El documen o es ´a dis ibuido de la siguien e mane a: en el apa ado 2 se explica el p oceso u ilizado y el p oblema que esul a del mismo, en el apa ado 3 se p esen a la iden i icaci´on del modelo de Vol e a y en el 4 se mues a la ley de con ol p edic i o no lineal. En el apa ado 5 se p esen an los esul ados de la aplicaci´on del con olado no lineal al p oceso eal y en el 6 se p esen an las conclusiones de i adas de la aplicaci´on de es e ipo de con olado . 2 DESCRIPCI ´ ON DEL PROBLEMA Pa a la aplicaci´on de un con ol no lineal se ha elegido un p oceso eal ep esen ado po una plan a pilo o, es udiado an e io men e po a ios au o es [6, 10, 2]. La plan a pilo o puede simula eacciones qu´ımicas exo ´e micas a base de cambios en la empe a u a. Los cua o elemen os p inci- pales de la plan a son: el eac o , la esis encia, el in e cambiado de calo y la ´al ula de eci cu- laci´on, e la igu a 1. XXVII Jo nadas de Au omá ica Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 1235 In e cambiado de calo V´al ula Resis encia Reac o Figu a 1: Diag ama de la plan a pilo o con los cua- o elemen os: eac o , ´al ula de eci culaci´on, esis encia y in e cambiado de calo . Median e la esis encia se puede suminis a ene - g´ıa cal´o ica y en consecuencia aumen a la empe- a u a del con enido del eac o . Pa a la educci´on de la empe a u a del con enido del eac o se u i- liza el in e cambiado de calo . El anspo e de ene g´ıa cal´o ica desde el eac o al in e cambiado de calo se puede egula median e la ´al ula. El con enido salien e del eac o que pasa po el in- e cambiado de calo en a o a ez en el eac o al que la plan a pilo o ep esen a un sis ema ce - ado con espec o a la masa. La plan a pilo o ep esen ada ( e la igu a 1) se u iliza en gene al pa a simula expe imen os de eacciones qu´ımicas exo ´e micas. Pa a in o - maci´on m´as de allada sob e el p oceso u ilizado e [2, 3]. En es e documen o no se u iliza un mo- delo ma em´a ico pa a calcula la ene g´ıa cal´o ica gene ada po una p esun a eacci´on qu´ımica, sino que se ija la esis encia a un alo cons an e. Con la esis encia ijada a un alo cons an e, eso signi- ica que la esis encia no ep esen a una en ada manipulable del p oceso, la plan a pilo o ep e- sen a un sis ema SISO (single in single ou ) con una en ada (la ape u a de la ´al ula) y una sa- lida (la empe a u a en el eac o ). La idea de es e a iculo es la ob enci´on de un modelo ma em´a ico disc e o pa a ep esen a el cambio de la empe a u a Ten dependencia de la ape u a de la ´al ula de eci culaci´on 8con un suminis o cons an e de ene g´ıa ( esis encia ijado a un alo cons an e) y su pos e io uso pa a el desa ollo de un con olado p edic i o no lineal. Tal modelo se puede esc ibi de la siguien e ma- ne a: y(k+ 1) = (u(k), u(k−1), u(k−2), . . .) (2) con la salida y( empe a u a T) y la en ada u (ape u a de la ´al ula 8). T[˚C] 50 60 70 80 8[%] 40 50 60 70 80 90 100 Figu a 2: Relaci´on en e ape u a de la ´al ula y empe a u a en egimen es aciona io y esis encia con un alo cons an e del 50 %. El modelo pa a iden i ica debe ´ıa conside a la din´amica y los e ec os no lineales del p oceso de labo a o io. Una de las no linealidades es la elaci´on en e la ape u a de la ´al ula 8y la empe a u a Ten egimen es aciona io y la e- sis encia con un alo cons an e, e la igu a 2. 3 IDENTIFICACI ´ ON DE MODELOS La iden i icaci´on de pa ´ame os de modelos con- sis e en la mayo ´ıa de los casos de cua o pa es: elecci´on de la es uc u a del modelo, elecci´on de se˜nales de en ada adecuadas, ensayos con apli- caci´on de las se˜nales elegidas pa a consegui da os de ipo en ada–salida, as´ı como la p opia iden i- icaci´on de los pa ´ame os del modelo. 3.1 ESTRUCTURA DE MODELO A pesa del hecho que los sis emas ´ısicos e olucio- nan en gene al en iempo con inuo, la mayo ´ıa de esquemas de con ol basados en modelos u ilizan o denado es pa a ecoge las medidas de los sen- so es en el ins an e de iempo disc e o ky ealizan las acciones de con ol algunos ins an e m´as a de en k+n. Po es as azones exis e la necesidad de desc ibi sis emas con inuos median e modelos en iempo disc e o. Los modelos de Vol e a pe - mi en la ep esen aci´on de sis emas complejos y no lineales median e modelos disc e os y po lo an o su uso en el con ol de es os sis emas. Finalmen e, se ha elegido un modelo de Vol e a de segundo o den que ep esen a un modelo no li- neal, con el in de conside a la din´amica compleja del p oceso eal. La es uc u a gene al de un mo- delo de Vol e a de segundo o den es la siguien e: y(k) = h0+ ∞ X i=1 a(i)u(k−i) + ∞ X i=1 ∞ X j=1 b(i, j)u(k−i)u(k−j) (3) XXVII Jo nadas de Au omá ica 1236 Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 Con el in de educi conside ablemen e el n´ume o de pa ´ame os pa a iden i ica , se ha elegido un modelo diagonal de Vol e a que ep esen a un caso especial del modelo de Vol e a. En es e ipo de modelo se conside an solamen e los ´e minos cuad ´a icos de los pasados alo es de la en ada y no se u ilizan los ´e minos c uzados de los mis- mos. Es a educci´on de pa ´ame os esul a en la siguien e es uc u a de modelo: y(k) = h0+ ∞ X i=1 a(i)u(k−i) + ∞ X i=1 b(i)u(k−i)2(4) Con el uncamien o a N1 ´e minos lineales y N2 ´e minos no lineales el modelo diagonal de Vol e a iene la siguien e o ma: y(k) = h0+ N1 X i=1 a(i)u(k−i) + N2 X i=1 b(i)u(k−i)2(5) 3.2 SE ˜ NAL DE ENTRADA Pa a la iden i icaci´on de los pa ´ame os del modelo diagonal de Vol e a hay que u iliza da os de ipo en ada–salida adecuados. La ob enci´on de es os da os equie e la elecci´on de una se˜nal de en ada adecuada. La se˜nal de en ada debe pe mi i la iden i icaci´on de la din´amica compleja del sis ema. En muchas iden i icaciones de sis emas se u iliza como se˜nal de en ada el uido blanco de Gauss [8]. No obs an e, el uido blanco de Gauss es bas- an e a ac i o en eo ´ıa, pe o poco a ac i o en el momen o de aplica lo al sis ema [9]. El uso de uido blanco como se˜nal de en ada pa a una ´al ula esul a en un mo imien o cons an e de la misma y puede da˜na la. Po es as azones hay que encon a una se˜nal de en ada aplicable que no da˜ne la ´al ula pe o pe mi a la iden i icaci´on de los pa ´ame os del modelo. Pa a la iden i icaci´on de sis emas lineales se usa en muchos casos una PRBS (Pseudo Random Bina y Sequence). Desa o unadamen e, las PRBS ienen una g an de iciencia en el momen o de iden i ica sis emas no lineales debido a la ex- ci aci´on insu icien e del sis ema [8]. Po los p oblemas con el uido blanco de Gauss y la PRBS se ha elegido inalmen e como se˜nal de en ada una PRMS (Pseudo Random Mul ile el Sequence). Las PRMS ienen, al con a io que las PRBS, no solamen e dos ni eles, sino a ios u(k) u+ u0 u− k Figu a 3: Secuencia (PRMS) de en ada pa a la iden i icaci´on de modelos de Vol e a has a se- gundo o den. ni eles. La ampliaci´on del n´ume o de di e en es ni eles en la se˜nal de en ada pe mi e una mejo exci aci´on del sis ema. Las PRMS con N+ 1 ni eles pueden exci a su icien emen e sis emas de Vol e a de o den N[8]. Po el o den N= 2 del modelo diagonal de Vol e a que se u iliza en es e documen o se usa una PRMS con es ni eles u(k) = {u−, u0, u+}, e la igu a 3. 3.3 ENSAYO En un p ime paso se han ealizado a ios en- sayos de la plan a pilo o con el obje i o de con- segui da os pa a la iden i icaci´on de un mode- lo de ipo Vol e a. Pa a los ensayos se ha i- jado la esis encia a un alo cons an e del 50 % (→7500 W) y la ape u a de la ´al ula se ha cal- culado median e el m´e odo PRMS con es ni eles 8={30,60,90}%. Los ensayos se ealiza on con pe iodos a iables de la PRMS, pe o bas an e la - gos pa a obse a la eacci´on de la plan a pilo o a cambios en la en ada, e la igu a 4. T[˚C] 55 65 75 8[%] 30 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 [h] [h] 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Figu a 4: Resul ados de ensayo de la plan a pilo o con la en ada calculada median e el m´e odo de PRMS con es ni eles de la ape u a de la ´al ula de eci culaci´on 8={30,60,90}%. XXVII Jo nadas de Au omá ica Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 1237 a(k) [−] −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 1 b(k) [−] −0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 k[−] k[−] 0 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 Figu a 5: Pa ´ame os iden i icados del modelo no lineal con N1= 80 y N2= 45. 3.4 IDENTIFICACI ´ ON DE PAR ´ AMETROS Finalmen e, con los da os en ada–salida ob enidos en los ensayos, se ha ealizado la iden i icaci´on de los pa ´ame os del modelo diagonal de Vol e a de segundo o den. Pa a la iden i icaci´on de los pa ´ame os se ha u ilizado el m´e odo de m´ınimos cuad ados. An es de iden i ica los pa ´ame os, se ha no ma- lizado la en ada de la siguien e mane a: ˜u=u−u0 ∆u(6) con u0= 60 y ∆u= 30 as´ı que la en ada no ma- lizada iene los ni eles ˜u={−1,0,1}. Du an e el p oceso de iden i icaci´on se ha obse - ado que la elecci´on de un iempo de mues eo de m= 30 s ep esen a un buen comp omiso en- e la bondad de la iden i icaci´on y el n´ume o de pa ´ame os. Adem´as se ha obse ado que, con el iempo de mues eo de m= 30 s, el sis ema iene un e a do de 1 pe iodo de mues eo. Finalmen e, se han iden i icado N1= 80 pa ´ame os de p ime o den y N2= 45 pa ´ame os de segundo o den. Los pa ´ame os iden i icados se pueden e en la igu a 5. El o se del modelo iene un alo de h0= 59.1oC. Pa a e i a p oblemas en la pos e io imple- men aci´on del con olado p edic i o se no maliza la salida del sis ema y la e e encia, de al mane a que desapa ece el o se del modelo: ˜y=y−h0(7) ˜ = −h0(8) 4 LEY DE CONTROL Pa a p edeci el u u o compo amien o del p o- ceso se u iliza el modelo no lineal iden i icado en una ep esen aci´on de DMC (Dynamic Ma ix Con ol) [4] ex endida al caso no lineal. Pa a el modelo de segundo o den los u u os alo es de la salida ienen de inidos como: ˜y =G˜u +c+ (9) con =˜uTG2˜u (10) c=H˜upas +˜uT pasH2˜upas +d(11) y las ma ices G(12) y H(13) que ep esen- an la pa e lineal del modelo iden i icado. Las ma ices G2yH2conside an la pa e no line- al iden i icada y ienen la o ma que se puede e en (14) y (15), espec i amen e. El ec o d= [d(k+ 1), d(k+ 1), . . . , d(k+ 1),]Tcon iene la di e encia en e la salida del p oceso y la salida del modelo en el ins an e k. G=               a10... 0 a2a1 ...0 . . .. . ....a1 . . .. . ....a1+a2 . . .. . ..... . . aPaP−1... P+M+1 P i=1 ai               (12) H=             a2a3... ... aN0 a3a4. . . aN−10 0 . . .. . .. . .. . .. . .a1 aP−1aP . . .. . .. . .a1+a2 aP0. . .. . .. . .. . . 0 0 . . . 0 0 0             (13) G2=               b10... 0 b2b1 ...0 . . .. . ....b1 . . .. . ....b1+b2 . . .. . ..... . . bPbP−1... P+M+1 P i=1 bi               (14) XXVII Jo nadas de Au omá ica 1238 Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 H2=             b2b3... ... bN0 b3b4. . . bN−10 0 . . .. . .. . .. . .. . .b1 bP−1bP . . .. . .. . .b1+b2 bP0. . .. . .. . .. . . 0 0 . . . 0 0 0             (15) Con la an e io ep esen aci´on del modelo no lineal se ha elegido un en oque i e a i o pa a calcula la acci´on de con ol. Es e en oque, p esen ado po Doyle e al. [5, 7], no conside a es icciones en la acci´on de con ol. El esquema pa a calcula la acci´on de con ol es el siguien e: •Paso 1: pone i= 1 •Paso 2: esol e las ecuaciones a=( −c− )TGT(16) ˜u =GTG−1a(17) •Paso 3: comp oba si la ucalculada cumple la condici´on ˜u(i)(k)−˜u(i)(k−1)< δ (18) •Paso 4: Si la an e io condici´on es ´a cumpli- da, pone ˜u(k) = ˜u(i)(k) y aplica ˜u(k). Si la an e io condici´on no es ´a cumplida, ecalcu- la usando ˜u(i)(k), pone i=i+ 1 y ol e a paso 2. Como no se u ilizan es icciones pa a calcula las acciones de con ol se usa la sa u aci´on ˜u(k) =    ˜umin si ˜u(k)<˜umin ˜u(k) en o o caso ˜umax si ˜u(k)>˜umax (19) que limi a la acci´on de con ol al in e alo ˜umin ≤ ˜u(k)≤˜umax. 5 RESULTADOS EXPERIMENTALES El p oceso se con ola median e el sis ema de con- ol dis ibuido Sima ic-IT que incluye un Au- oma a P og amable denominado PMC 10. El algo i mo de con ol se ejecu a en Ma lab e in- e cambia in o maci´on con el sis ema de con ol dis ibuido a a ´es de OPC. La igu a 6 mues a los esul ados de un en- sayo de la plan a pilo o con olado median e el NMPC. Po los 80 elemen os lineales del modelo no lineal iden i icado se ha elegido un o den de uncamien o de N= 80. Pa a el ho izon e de p edicci´on y el ho izon e de con ol se han u i- lizado P= 80 y M= 15, espec i amen e. En la g ´a ica se pueden e a iba la empe a u a y la e e encia, en el cen o la acci´on de con ol y abajo las i e aciones necesa ias pa a cumpli la condici´on de con e gencia. La empe a u a del p oceso sigue bien la e e encia y mues a pocas oscilaciones. Solamen e en el momen o de cam- bio de la e e encia hay g andes di e gencias en e empe a u a y e e encia, pe o el con olado no lineal compensa es as di e gencias en un iempo azonable. Las acciones de con ol mues an con- side ables oscilaciones a lo la go del ensayo, in- cluso en ins an es en los que no hay di e gencias en e empe a u a y e e encia. En los momen os de cambio de e e encia, la acci´on de con ol (la ape u a de la ´al ula) ha sido limi ada po la sa- u aci´on a los alo es m´ınimos y m´aximos pe mi- idos. Con espec o a las i e aciones pa a cumpli la condici´on de di e gencia se puede e que el al- go i mo necesi aba en e 3 y 11 i e aciones, que signi ica un c´alculo ´apido con los o denado es ac- uales. Adem´as se han ealizado ensayos de con ol p e- dic i o lineal pa a ob ene da os de compa aci´on. Con el NMPC se ha podido educi la suma del e o cuad ´a ico en e salida del p oceso y e e en- cia un 5.1 % en e al e o del p oceso con olado po un MPC. 6 CONCLUSIONES En es e documen o se ha mos ado la aplicaci´on de un NMPC basado en un modelo diagonal de Vol e a a un p oceso de labo a o io. El p o- cedimien o de desa ollo del con olado es simple (po el uso de un modelo de Vol e a) y ´apido. El c´alculo de la acci´on de con ol se ha ealizado con un m´e odo i e a i o que con e ge en pocas i e aciones y po consiguien e equie e pocos e- cu sos. En los esul ados se ha podido e un buen compo amien o del p oceso, pe o ambi´en cambios pe manen es en la en ada del sis ema. Pa a educi es os cambios pe manen es en la ape u a de la ´al ula se puede pensa en una ex- ensi´on de la ley de con ol, de al mane a que se incluye una ponde aci´on de los cambios de con- ol ∆uen el algo i mo de con ol. Pa a educi el e o en e empe a u a y e e encia se puede inclui es icciones pa a la acci´on de con ol, de al mane a que se puede elimina la sa u aci´on u ilizada en la en ada del sis ema. Es a medida obliga ´ıa a cambia del algo i mo i e a i o a p o- XXVII Jo nadas de Au omá ica Alme ía 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 1239 T[˚C] 55 60 65 8[%] 50 100 I e aciones [−] 0 0 5 10 [min] [min] [min] 0 0 0 10 10 10 20 20 20 30 30 30 40 40 40 50 50 50 60 60 60 Figu a 6: Resul ado del ensayo de la plan a pilo o con olado po el MPC no lineal con c´alculo i e a i o de la acci´on de con ol. A iba: la empe a u a y la e e encia, cen o: la acci´on de con ol, abajo: las i e aciones necesa ias pa a cumpli la condici´on de con e gencia. g amaci´on cuad ´a ica (QP). Ag adecimien os Es e abajo ha sido inanciado pa cialmen e po el Minis e io de Educaci´on y Ciencia a a ´es del p oyec o de in es igaci´on DPI-2004-07444-C04-01. 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