Una cu iosa combinaci´on de Topolog´ıa,
´
Algeb a y Combina o ia: los cuad ados
de S een od∗
Roc´ıo Gonz´alez-D´ıaz, Ped o Real
Dp o. de Ma em´a ica Aplicada I
Facul ad de In o m´a ica y Es ad´ıs ica
Uni e sidad de Se illa
ogo[email p o ec ed], [email p o ec ed]
1 Un p oblema de In o m´a ica Te´o ica
Comencemos nues a exposici´on con el plan eamien o de un p oblema de con a
palab as en el al abe o {0,1}pa a, m´as adelan e, elaciona es e p oblema con o o
de Topolog´ıa Algeb aica.
Po con enio, con a emos las le as de las palab as de izquie da a de echa y
supond emos que la le a m´as a la izquie da es la que ocupa la posici´on ce o.
Conside emos dos n´ume os en e os myn, ales que 0 ≤n<myn≡mmod 2 y
conside emos n+1 en e os i0, i1, . . . , in ales que 0 ≤i0< i1<· · · < in−1< in≤m.
El s´ımbolo (i0, i1,· · · , in)m ep esen a ´a a la pa eja de palab as de m+ 1 le as del
al abe o {0,1}siguien es:
•si nes pa , la p ime a palab a de la pa eja es aquella que p esen a unos en
las posiciones {i0+ 1, i0+ 2, . . . , i1−1, i2+ 1, i2+ 2, . . . , i3−1, . . . , in−1−1,
in+ 1, . . . , m}y ce os en el es o, es deci ,
i0i1i2in
0· · · 001· · · 100· · · 0 0 · · · · · · 0 1 · · · 1(1)
∗La Gace a de la Real Sociedad Ma em´a ica Espa˜nola, ol. 1, n. 3 (1998), 458–466
1
y si nes impa , p esen a unos en las posiciones {i0+ 1, i0+ 2, . . . , i1−1,
i2+ 1, i2+ 2,...i3−1, . . . , in−2−1, in−1+ 1, . . . , in−1}y ce os en el es o.
•La segunda palab a de la pa eja se ´a aquella de m+ 1 le as con la p opiedad
siguien e: si la p ime a palab a de la pa eja p esen a un 1 en cie a posici´on,
la nue a palab a end ´a un 0 y ice e sa, sal o en las posiciones i0, i1, . . . , in,
donde la nue a palab a end ´a siemp e ce os. Po ejemplo, en el caso npa ,
la nue a palab a se ´ıa:
i0i1i2in
1· · · 100· · · 001· · · 1 0 · · · · · · 0 0 · · · 0(2)
Es ´acil e que dos s´ımbolos di e en es de la o ma (i0, . . . , in)my (j0, . . . , jn)m
dan luga siemp e a pa ejas de palab as di e en es. Po ejemplo, los s´ımbolos (1,2)3
y (2,3)3 ep esen an las pa ejas (0000,1001) y (0000,1100) espec i amen e. O o
ejemplo, (1,2,4)6 ep esen a la pa eja (0000011,1001000).
A pa i de aho a, usa emos la no aci´on
(i0, i1, . . . , in)m= ((i0, i1, . . . , in)+
m,(i0, i1, . . . , in)−
m)
pa a ep esen a la pa eja de palab as que acabamos de desc ibi .
Es cla o que el n´ume o de unos que apa ecen en las palab as de una pa eja
(i0, i1, . . . , in)mes en o al m−n, po an o, pa a que (i0, . . . , in)+
my (i0, . . . , in)−
m
engan el mismo n´ume o de unos, ´es e debe se m−n
2. El p oblema po el cu´al nos
in e esamos es el siguien e: ¿Cu´an as pa ejas (i0, . . . , in)mhay con la p opiedad de
que cada una de sus palab as posea exac amen e m−n
2unos? ¿C´ual es una mane a
e icien e de con a las?
En el caso n= 1 y m= 3, enemos las siguien es pa ejas de palab as
(i0, i1)3= ((i0, i1)+
3,(i0, i1)−
3)
(0,1)3= (0000,0011)
(0,2)3= (0100,0001)
(0,3)3= (0110,0000)
(1,2)3= (0000,1001)
(1,3)3= (0010,1000)
(2,3)3= (0000,1100)
Po an o, de las 6 pa ejas posibles, hay dos, la (0,2)3y la (1,3)3, que p esen an
un s´olo 1 en cada una de sus palab as componen es.
2
La soluci´on al p oblema gene al ( e [2]) nos la da la siguien e se ie de desigual-
dades que, esencialmen e, nos p opo cionan co as in e io es pa a iken unci´on de
ik+1, ik+2, . . . , in:
S(n)≤in≤m
S(k)≤ik≤ik+1 −1,∀k= 1, . . . , n −1
i0=S(0),
donde
S(k) = ik+1 −ik+2 +· · · + (−1)k+n−1in+ (−1)k+nbm+ 1
2c+bk
2c,
pa a odo 0 ≤k≤n.
No emos que es as desigualdades pe mi en con a exac amen e el n´ume o de
s´ımbolos (i0, . . . , in)mque dan pa ejas de palab as con el mismo n´ume o de unos.
Po ejemplo, en el caso n= 1 y m= 3, las desigualdades an e io es se educen a
2≤i1≤3
i0=i1−2,(3)
que se co esponden con las soluciones encon adas an e io men e po simple ins-
pecci´on de odos los casos.
2´
Algeb a y polied os
De un p oblema de In o m´a ica Te´o ica, pasamos a o o comple amen e dis in o,
enma cado den o de la Topolog´ıa Algeb aica. Comencemos de iniendo un ipo
pa icula de conjun o g aduado en el conjun o de los en e os no nega i os y do ado
de dos ipos de ope ado es que hacen subi o baja un ni el en la g aduaci´on.
Sea (V, ≤) un conjun o pa cialmen e o denado. Un conjun o simplicial polied al
Pes un conjun o g aduado {Pq}indexado en los en e os no nega i os, al que
Pq⊂ {< 0, . . . , q>∈Vq+1 : 0≤ · · · ≤ q},
de o ma que cualquie p oyecci´on de cualquie elemen o < 0, . . . , q>de Pq
pe enece a o o conjun o P de P. Adem´as, deben exis i aplicaciones ∂i:Pq→
Pq−1(ope ado es ca a) y si:Pq→Pq+1 (ope ado es de degene aci´on), 0 ≤i≤q,
de inidas de la siguien e o ma:
3
∂i(< 0, . . . , q>) = < 0,...,ˆ i, . . . , q>,
si(< 0, . . . , q>) = < 0, . . . , i, i, . . . , q>,
donde la no aci´on ˆ signi ica que omi imos el elemen o .
Los elemen os de Pqse llaman q-s´ımplices. A los 0-s´ımplices, que se co esponden
con los elemen os del conjun o V, se les llama ´a ´e ices. Un s´ımplice < 0, . . . , n>
se dice que es degene ado si exis e un ´ındice i, con 0 ≤i≤n, al que i= i+1. En
caso con a io, se dice que es no degene ado. Es deci , un s´ımplice es degene ado si
pe enece al conjun o imagen de un ope ado de degene aci´on de P.
En esumen, un conjun o simplicial polied al puede conside a se como una
e si´on combina o ia de un polied o geom´e ico. La ´ıgida es uc u a combina-
o ia que p esen a el p ime o con espec o al segundo es iba esencialmen e en el
hecho de conside a los ope ado es de degene aci´on si, aplicaciones, en p incipio, sin
as ondo geom´e ico. Es os ope ado es son undamen ales en Topolog´ıa Simplicial
o Combina o ia pa a pode de ini aplicaciones que pa an de conjun os esencial-
men e algeb aicos y que desemboquen en conjun os algeb o-geom´e icos. A pa i
de aho a, pa a acili a la lec u a, a los conjun os simpliciales polied ales los llama-
emos, ab e iadamen e, polied os.
Supongamos que abajamos con el anillo de los en e os como conjun o pa cial-
men e o denado de base. Dado un polied o P, cons uyamos la pa eja (C∗(P), d)
o mada po cie os conjun os y aplicaciones g aduados. Pa a cada g ado q(siendo
qun en e o no nega i o), Cq(P) se ´a el g upo abeliano lib e gene ado po los
q-s´ımplices no degene ados de Pydq:Cq(P)→Cq−1(P) se ´a el homomo ismo
dq=Pq
i=0(−1)iδi. Resal emos el hecho de que la composici´on dq−1dqes el homo-
mo ismo nulo. Es a p opiedad nos pe mi e de ini el g upo q-´esimo de homolog´ıa
de Pcomo el cocien e Ke dq/Im dq+1.
An´alogamen e, de ini emos la pa eja (C∗(P;Z2), δ). En el g ado qlos ele-
men os de Cq(P;Z2), llamados q-cocadenas, se ´an homomo ismos de Cq(P) en
el g upo abeliano adi i o Z2. E iden emen e una q-cocadena queda ´a de e mi-
nada po su acci´on sob e los q-s´ımplices no degene ados de P. El homomo ismo
δq:Cq(P;Z2)→Cq+1(P;Z2) end ´a de inido po δq(c)(x) = c(dq+1 x), donde
c∈Cq(P;Z2) y x∈Cq+1(P). El g upo q-´esimo de cohomolog´ıa Hq(P;Z2) se ´a el
cocien e Ke δq/Im δq−1.
Po no se esencial en es e abajo, no incidi emos, en lo que sigue, en la es-
uc u a di e encial que p esen an los g upos g aduados C∗(P) y C∗(P;Z2) que
acabamos de de ini .
4
Es ablezcamos aho a, con un ejemplo, cie a ope aci´on Sq1(de la que m´as ade-
lan e des aca emos su impo ancia) en e cocadenas. Sea cuna 2-cocadena de un po-
lied o cualquie a, P, con un n´ume o ini o de ´e ices. En [3] se de ine la 3-cocadena
Sq1(c) de la siguien e o ma:
Sq1(c)( ) =
4
X
i=0
∗
Xc(∂i+1 · · · ∂4sαp+1+m· · · sα1+m∂m· · · ∂m+p−1 )•
•c(∂0· · · ∂i−1sβq+m· · · sβ1+msm−1∂3−q+1 · · · ∂3 ),
(4)
donde =< 0, 1, 2, 3>es un 3-s´ımplice no degene ado, •es el p oduc o en Z2,
m= 4 −p−qy
∗
Xes una suma sob e el conjun o de ´ındices
{0≤q≤2,0≤p≤3−q−1y(α, β)∈ {(p+ 1, q)−ba ajamien os}}.
N´o ese que un (p, q)-ba ajamien o es una pa ici´on del conjun o {0,1, . . . , p+q−1}
de en e os en dos subconjun os disjun os, α1<· · · < αpyβ1<· · · < βqde pyq
en e os, espec i amen e. Una al pa ici´on desc ibe una posible o ma de mezcla
una ba aja de pca as con o a de qca as, de mane a que dispongamos las ca as
de la p ime a ba aja en el o den p imigenio pe o en las posiciones α1, . . . , αpy las
de la segunda ba aja ambi´en en el o den p imigenio y en las posiciones β1, . . . , βq.
Aplicando di ec amen e la ´o mula an e io , la 3-cocadena Sq1(c) al e alua la
en un 3-s´ımplice no degene ado < 0, 1, 2, 3>, nos de ol e ´ıa
Sq1(c)< 0, 1, 2, 3>=c(< 0>)•c(< 0, 1, 2, 2, 3>) +
+c(< 0>)•c(< 0, 1, 1, 2, 3>)+ 53 sumandos m´as
· · ·
Adem´as, en [3] se demues a que si enemos una clase de cohomolog´ıa
[c]∈H2(P;Z2) con 2-cocadena ep esen a i a c, en onces [Sq1(c)] pe enece a
H3(P;Z2).
3 Una e si´on simpli icada
Vamos aho a a ene en cuen a a ios pun os que nos pe mi i ´an educi conside-
ablemen e la complejidad de la ´o mula de Sq1(c). En p ime luga emos que
si aplicamos una q-cocadena a un s´ımplice de dis in a dimensi´on, el esul ado es
5

siemp e 0. Adem´as, la imagen po cde un 2-s´ımplice degene ado a a se siemp e
ce o. Po an o, en la ´o mula (4), podemos elimina odos aquellos sumandos donde
apa ezcan s´ımplices degene ados y conside a s´olo aquellos sumandos c(. . .)•c(. . .)
donde el n´ume o de ope ado es ca a que apa ezcan en ambos ac o es sea 1. Con
es as simpli icaciones (4) se educe a una suma con s´olo dos ´e minos:
Sq1(c)(< 0, 1, 2, 3>) = c(∂1(< 0, 1, 2, 3>)) •c(∂3(< 0, 1, 2, 3>))+
+c(∂2(< 0, 1, 2, 3>)) •c(∂0(< 0, 1, 2, 3>)) =
=c(< 0, 2, 3>)•c(< 0, 1, 2>)+
+c(< 0, 1, 3>)•c(< 1, 2, 3>).
(5)
Vemos, pues, que la p ime a de inici´on que hemos dado de Sq1(c) es suscep ible
de una mejo a sus ancial en su complejidad de c´alculo.
Asociando composiciones de ope ado es ca a del polied o con palab as en el
al abe o {0,1}, de modo que a la composici´on ∂k1∂k2· · · ∂kjaplicada a un elemen o
de g ado mle co esponda la palab a de longi ud m+ 1 siguien e:
k1k2k3kj
0· · · 010· · · 010· · · 0 1 · · · · · · 1 0 · · · 0(6)
donde 0 ≤k1< k2<· · · < kn≤m. emos que a la pa eja (∂1, ∂3) del ejemplo
an e io se le asocia ´ıa la pa eja (0100,0001), que no es m´as, siguiendo la no aci´on
de la secci´on p ime a, que (0,2)3y a la pa eja (∂2, ∂0) le co esponde ´ıa el pa
de palab as (0010,1000), que cons i uye la pa eja (1,3)3. As´ı los sumandos de la
´o mula (5) queda ´ıan elacionados con las soluciones (3) del ejemplo conc e o que
abaj´abamos en la secci´on p ime a. Es a o ma de simpli icaci´on de la ´o mula
de Sq1cons i uye una de las piezas cla e que nos pe mi i´o ob ene en [2] ´o mulas
expl´ıci as pa a las ope aciones (en gene al) Sqi, cuya impo ancia desc ibi emos en
la p ´oxima secci´on.
4 Una explicaci´on m´as ´ecnica
In en a emos aqu´ı enga za de mane a cohe en e las secciones an e io es, usando
como hilo a gumen al dis in os aspec os de ca ´ac e ´ecnico e his ´o ico en Topolog´ıa
Algeb aica.
Un p oblema undamen al de la Topolog´ıa es de e mina si dos espacios son o
no homeomo os. Pa a demos a que dos espacios son homeomo os hace al a
6
cons ui una unci´on que aya de un espacio al o o, biyec i a, con inua y con in-
e sa con inua. P oba que no lo son es demos a que al unci´on no exis e, lo que
suele se muy di ´ıcil en la p ´ac ica. Po ello, se suelen busca p opiedades que sean
in a ian es po homeomo ismo (in a ian es opol´ogicos). Po ejemplo, el n´ume o
de aguje os en un espacio o el n´ume o de componen es conexas son in a ian es o-
pol´ogicos. Una ap opiada gene alizaci´on de es e ´ul imo concep o es el de g upos de
homolog´ıa. Asimismo, es posible asocia a un espacio opol´ogico Xo a se ie de
g upos abelianos, los llamados g upos de cohomolog´ıa. Es os ´ul imos g upos ue on
de inidos mucho m´as a de que los g upos de homolog´ıa. La az´on no es di ´ıcil de
comp ende , ya que los g upos de cohomolog´ıa son, geom´e icamen e hablando, mu-
cho menos na u ales que los g upos de homolog´ıa. Sus o ´ıgenes es ´an en el ´
Algeb a
mas que en la Geome ´ıa; en un cie o sen ido algeb aico, ellos ep esen an un con-
cep o “dual” al de los g upos de homolog´ıa. Es bien sabido que si los g upos de
homolog´ıa allan pa a dis ingui dos espacios, en onces los g upos de cohomolog´ıa
ambi´en alla ´an. En onces, an e la p egun a na u al de po qu´e abaja con coho-
molog´ıa y no simplemen e con homolog´ıa apa ecen a ias espues as. Quiz´as la m´as
concluyen e es que los g upos de cohomolog´ıa ienen una es uc u a algeb aica adi-
cional -la de anillo- y que es e anillo pe mi i ´a dis ingui espacios cuando los g upos
no puedan. La ope aci´on de mul iplicaci´on en es e anillo se denomina p oduc o cup
y la desc ipci´on de su ´o mula a ni el de cocadenas dada po Cˇech y Whi ney en
los a˜nos ein a, p odujo una o al so p esa en los op´ologos de aquella ´epoca. E a
bas an e so p enden e que la “dualidad” algeb aica que p esen aban homolog´ıa y
cohomolog´ıa se ompie a y que el anillo de cohomolog´ıa apa ecie a en onces como
un in a ian e m´as po en e que la simple homolog´ıa pa a disc imina dos espacios
no homeomo os.
Incluso si nos encon amos con dos espacios con g upos de cohomolog´ıa isomo -
os y con un mismo compo amien o del p oduc o cup en ambos anillos, al ez
la maquina ia de ope aciones cohomol´ogicas, es deci , de ope aciones algeb aicas
sob e los g upos de cohomolog´ıa, pueda ayuda nos a dis ingui es os dos espacios.
El concep o de ope aci´on cohomol´ogica apa eci´o con el abajo de S een od [4] en
1947, donde se esuel e el p oblema de clasi icaci´on de aplicaciones de un complejo
de dimensi´on n+ 1 a la es e a Sn, pa a n≥3. Que es e p oblema e a de con-
side able complejidad lo e idenciaba el hecho de que dos insignes ma em´a icos de la
´epoca (F euden hal y Pon jagin) anuncia an soluciones del mismo que, m´as a de,
se descub ie on inco ec as. Pe o la impo ancia del a ´ıculo de S een od es ib´o
undamen almen e en el hecho de que ´el in oduc´ıa, abajando con complejos sim-
pliciales ini os, una amilia de nue as ope aciones Sqi, llamadas pos e io men e
cuad ados de S een od, a ni el de cocadenas. En su abajo, las desc ipciones de
es as ope aciones son ex emadamen e di ´ıciles de maneja , como ya apun ´o el p o-
pio S een od. En 1949, abajando con la cohomolog´ıa de Alexande -Spanie de un
espacio, H. Ca an ue capaz de da una p esen aci´on m´as simple de la cons ucci´on
7
de S een od. En el Cong eso In e nacional de Ma em´a icas de Camb idge de 1950,
S een od anunci´o el descub imien o de nue as ope aciones cohomol´ogicas, las aho a
llamadas po encias educidas de S een od. Un hecho esencial pa a que se p oduje a
es e descub imien o ue la in oducci´on de una nue a de inici´on de los cuad ados
de S een od, haciendo uso de la de inici´on de Le sche z de p oduc o cup. En es a
de inici´on, la conmu a i idad ue emen e homo ´opica –medida en ´e minos de cie -
as aplicaciones Di(i∈N∪ {0}) que se de inen en e cadenas– del p oduc o cup
juega un papel p imo dial. Pe o no ue dada ninguna ´o mula expl´ıci a gene al de
Di: S een od ecu i´o a la eo ´ıa de modelos ac´ıclicos pa a ga an iza la exis en-
cia de es as aplicaciones. En el con ex o de la Topolog´ıa Simplicial, es e m´e odo
puede conside a se, en cie a medida, un p oceso cons uc i o; pe o se ob ienen as´ı
´o mulas ex emadamen e ecu si as pa a las aplicaciones Di. Ci emos ambi´en que
Jean Pie e Se e en 1952 es ableci´o una es ech´ısima elaci´on en e los Sqiy los
g upos de cohomolog´ıa de los espacios de Eilenbe g-Mac Lane (espacios “p imos” en
la eo ´ıa de homo op´ıa) y, en el misma ´epoca, Jos´e Adem dio un comple o conjun o
de elaciones en e los cuad ados de S een od. Da os y e e encias m´as expl´ıci as se
pueden encon a en [1].
T as si ua en un con ex o his ´o ico la impo ancia de las ope aciones coho-
mol´ogicas Sqique hemos in oducido – ´ıa ejemplos– en las secciones p eceden es,
debemos se˜nala cual es el in e ´es de nues a ap oximaci´on combina o ia a las mis-
mas. En [3] se conc e a a´un m´as la de inici´on dada po S een od en 1950 de las
ope aciones Sqi, en el sen ido que se dan, po p ime a ez, ´o mulas no ecu si as de
las aplicaciones Dien unci´on de las aplicaciones que in e ienen en el Teo ema de
Eilenbe g-Zilbe (un esul ado de Topolog´ıa Algeb aica donde se ga an iza la equi a-
lencia homol´ogica de un p oduc o geom´e ico de espacios y un p oduc o algeb aico).
La ´o mula (4) es iel e lejo de es e a amien o. Finalmen e, en [2] se ob iene una
e si´on simpli icada de la o mulaci´on combina o ia de [3]. El modus ope andi de
es a simpli icaci´on lo hemos in en ado mos a en la secci´on de es e a ´ıculo que
incluye la ´o mula (5), si bien no hemos conside ado all´ı que oda composici´on de
ope ado es ca as y degene aci´on admi e una eesc i u a “can´onica”, hecho que nos
pe mi e es ablece , en el caso gene al de las Sqi, una elegan e ´o mula pa a es as
ope aciones ( e un nue o ejemplo mas abajo). G osso modo, el abajo ealizado
en [2] se puede conside a como una gene alizaci´on de la p ime a de inici´on de los
cuad ados de S een od en [4] en el con ex o combina o io de la Topolog´ıa Simplicial.
Veamos un ejemplo de es as ´o mulas aplicadas al caso pa icula de los polied os.
Dado un polied o Py dada una j-cocadena de C(P), si i≤jyj−ies impa
en onces, dado ∈Ci+j(P), la ´o mula que ob enemos pa a Sqies:
8
Sqi(c)( ) =
m
X
in=S(n)
in−1
X
in−1=S(n−1)
· · ·
i2−1
X
i1=S(1)
c(∂i0+1 · · · ∂i1−1∂i2+1 · · · · ∂in−2−1∂in−1+1 · · · ∂in−1 )•
•c(∂0· · · ∂i0−1∂i1+1 · · · · ∂in−1−1∂in+1 · · · ∂m ).
donde i+j=myj−i=n.
N´o ese que aunque los cuad ados de S een od as o man clases de cohomo-
log´ıa en clases de cohomolog´ıa, en es a desc ipci´on –al igual que en la hecha en
las secciones 2 y 3 pa a Sq1– hemos de inido es as ope aciones simplemen e a ni el
de cocadenas. Hemos op ado po no incidi en la na u aleza cohomol´ogica de la
ope aci´on Sqipa a hace m´as comp ensible la lec u a.
Es a ´o mula se puede ep esen a , con la no aci´on u ilizada en la secciones 1 y
2, de la siguien e o ma:
Sqi(c)( ) =
m
X
in=S(n)
in−1
X
in−1=S(n−1)
· · ·
i2−1
X
i1=S(1)
c((i0, i1,· · · , in)+
m )•c((i0, i1,· · · , in)−
m ).
(7)
donde las secuencias (i0, i1,· · · , in)+
my (i0, i1,· · · , in)−
mse en ienden como una com-
posici´on de ope ado es ca a, como ya hemos ilus ado en la secci´on 3. Obse emos
que las aco aciones de los sub´ındices son las del p oblema que plan e´abamos en la
p ime a secci´on de es e a ´ıculo.
Es ´acil e que pa a una 3-cocadena cla de inici´on (7), pa a i= 1 y j= 2,
coincide con la exp esi´on dada en (5).
5 Obse aciones sob e es a nue a o mulaci´on
Discu amos algunos hechos sob e la compu abilidad de es as ´o mulas. An e odo
es cla o que si el polied o con el que es amos abajando iene un n´ume o ini o
de s´ımplices no degene ados en cada dimensi´on, es as ´o mulas p opo cionan un
e dade o algo i mo de c´alculo de los cuad ados de S een od. En es e caso, supo-
niendo que el n´ume o de s´ımplices no degene ados en g ado qes qy dado un en e o
9