Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 9 (2012) 14–23
© 2012 CEA. Publicado po Else ie España, S.L. Todos los de echos ese ados
doi:10.1016/j. iai.2011.11.002
Con ol ´
Op imo-L2Basado en Red
Median e Funcionales de Lyapuno -K aso skii
Pablo Mill´
ana,∗, Luis O ihuelaa, Ca los Vi asa, F ancisco R. Rubioa
aDepa amen o de Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica, Uni e sidad de Se illa
Camino de los Descub imien os s/n, Isla de la Ca uja, Se illa, Espa˜na
Resumen
En el p esen e abajo se es udia el con ol ´
op imo con echazo de pe u baciones L2pa a sis emas lineales con olados a a ´
es
de ed. En es os sis emas el lazo de con ol se cie a u ilizando una ed de comunicaciones. En e los p oblemas que in oduce la
ed se encuen an posibles e asos, en gene al alea o ios, as´
ı como p´
e didas de paque es. Desde un en oque basado en uncionales
de Lyapuno - K aso skii (LKF) se abo da el dise˜
no de con olado es ´
op imos que, dado un ni el deseado de a enuaci´
on de pe -
u baciones, es abilicen el sis ema minimizando a su ez un uncional de cos e. En el a ´
ıculo se desa olla, en p ime luga , una
o mulaci´
on y soluci´
on gene al pa a el p oblema. Pos e io men e, se esuel e pa a un uncional de Lyapuno -K aso skii pa icula .
El compo amien o de los con olado es ob enidos se compa a con el dado po un con ol cl´
asico LQR en un escena io de con ol
de dis ancia en ca e e a. Copy igh c
2012 CEA. Publicado po Else ie Espa˜na, S.L. Todos los de echos ese ados.
Palab as Cla e: Redes de comunicaci´
on, Compensaci´
on de e asos, M´
e odos de Lyapuno , Con ol ´
op imo, Re a do empo al.
1. In oducci´
on
El no able desa ollo que la implan aci´
on de edes de comu-
nicaciones ha enido en muchos ´
ambi os de nues a sociedad,
ha p opiciado un eno ado in e ´
es de la Comunidad de Con ol
po la u ilizaci´
on de edes de p op´
osi o gene al pa a la cons-
ucci´
on de lazos de ealimen aci´
on en aplicaciones de con ol
au om´
a ico. En o as palab as, emplea edes en p incipio no di-
se˜
nadas pa a ope a en iempo eal, pa a ce a lazos de con ol.
Es a nue a disciplina se ha dado en llama , sis emas de con ol
en ed,ne wo ked con ol sys ems en ingl´
es o, sencillamen e,
NCS.
Los bene icios asociados al empleo de edes de da os con-
encionales pa a aplicaciones de con ol son m´
ul iples, Hespan-
ha e al. (2007), Sal e al. (2008): educci´
on de cos es, al no
se necesa io es ablece edes espec´
ı icas pa a aplicaciones de
con ol; lexibilidad y po abilidad, ya que los lazos de con ol
abajan sob e ecnolog´
ıas bien es ablecidas en el me cado, e c.
No obs an e, la in oducci´
on de una ed de comunicaciones pa a
ce a lazos de con ol in oduce no ables e os desde el pun o
de is a del dise˜
no de la es a egia de con ol, as´
ı como de la es-
uc u a, opolog´
ıa y p o ocolos de la p opia ed. Los p oblemas
∗Au o en co espondencia
Co eos elec ´onicos: [email p o ec ed] (Pablo Mill´
an ),
[email p o ec ed] (Luis O ihuela), [email p o ec ed] (Ca los Vi as),
[email p o ec ed] (F ancisco R. Rubio)
que conlle a es a ecnolog´
ıa de i an de la p opia impe ecci´
on
del p oceso de comunicaci´
on: e asos de ansmisi´
on, p´
e didas
de in o maci´
on, cuan i icaci´
on de da os, e c.
La mayo ´
ıa de las edes de da os hoy d´
ıa disponibles es ´
an
basadas en la ansmisi´
on de paque es de da os sob e p o ocolos
iables, o ien ados a p ese a la in eg idad de la in o maci´
on
ansmi ida, lo que lle a asociado la encias en gene al no aco-
adas. Es as especi icaciones son di ´
ıcilmen e compa ibles con
los es ic os eque imien os de iempo eal de un lazo de con ol
que, como es bien sabido, imponen impo an es es icciones en
´
e minos de la encia y p´
e didas de in o maci´
on. El p oblema es
a´
un m´
as se e o si el canal de comunicaciones es inal´
amb ico
(WiFi, Blue oo h, ZigBee), ya que en es os casos las la encias
se inc emen an y el ancho de banda disponible suele se o a
es icci´
on adicional.
La mayo pa e de los abajos sob e con ol de sis emas en
ed ex ienden los esul ados de la eo ´
ıa de con ol de sis emas
disc e os, conside ando las peculia idades del lujo de in o ma-
ci´
on en NCS. El obje i o de es os abajos es ga an iza es a-
bilidad asin ´
o ica o p ´
ac ica de los sis emas con olados en e
a e asos y/op
´
e didas de in o maci´
on, e Hokayem and Ab-
dallah (2004) y Zampie i (2008). Pueden encon a se abajos
que es udian la es abilidad de NCS en e a e asos en las co-
municaciones, Nikolakopoulos e al. (2008); Naghsh ab izi and
Hespanha (2005); en e a p´
e didas de da os, Xiong and Lam
(2007); Azimi-Sadjadi (2003), con asas de comunicaci´
on limi-
Pablo Millán e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 9 (2012) 14–23 15
adas, Ta ikonda and Mi e (2004), o con mues eo basado en
e en os, Do mido e al. (2008).
Una he amien a muy u ilizada pa a es udia la es abilidad
de los NCS son los uncionales de Lyapuno -K aso skii, Mah-
moud (2000). Con una co ec a de inici´
on del uncional pueden
ene se en cuen a los e asos y las p´
e didas de paque es indu-
cidas po la ed. Los uncionales de Lyapuno -K aso skii han
sido ampliamen e u ilizados pa a es udia la es abilidad de sis-
emas con e asos, ´
ease po ejemplo Zhang and Yu (2008);
Xu and Lam (2007) y las e e encias ci adas en ´
es os. A pa i
de la publicaci´
on de Mikhee e al. (1988), en la que un sis ema
mues eado e a desc i o como un sis ema con e aso en la en-
ada, las con ibuciones en el campo de sis emas con inuos con
e asos pasa on a aplica se a los sis emas mues eados y, m´
as
ecien emen e, a los sis emas de con ol a a ´
es de ed, ´
ease,
po ejemplo, Yue e al. (2005); Meng e al. (2009).
En la p ´
ac ica, sin emba go, no es s´
olo impo an e ga an i-
za la es abilidad del sis ema con olado a a ´
es de ed, sino
que es deseable pode impone un adecuado ni el de desem-
pe˜
no. Un modo ap opiado de a a es e p oblema es ecu i al
con ol ´
op imo o al con ol de cos e ga an izado, cuyo obje i-
o es dise˜
na con olado es que, espec i amen e, minimicen o
ga an icen un alo m´
aximo pa a un ´
ındice de compo amien o
p ees ablecido.
Con espec o al con ol ´
op imo pa a sis emas con e asos,
muchos han sido los in en os de da una soluci´
on sa is ac o ia a
es e p oblema. Debemos aqu´
ı menciona los en oques basados
en el P incipio del m´aximo, Kha a ish ili (1961), Con ol de
cos e ga an izado median e la soluci´
on de desigualdades linea-
les ma iciales (LMIs), Es ahani e al. (1998), el uso de ope a-
do es en espacios de dimensi´
on in ini a Del ou e al. (1975), y
el uso de los p incipios de la P og amaci´
on Din´
amica, K aso s-
kii (1962), Ross and Fl¨
ugge-Lo z (1969), Zhang e al. (2006).
En el con ex o de la aplicaci´
on conc e a de es os esul ados
pa a sis emas con olados a a ´
es de ed, pueden encon a se
en los ´
ul imos a˜
nos algunos abajos pa a edes que in oducen
e asos, Kosmidou and Bou alis (2006), o p´
e didas de paque-
es, Sinopoli e al. (2005); Gup a e al. (2007). ´
Es os ´
ul imos
emplean una desc ipci´
on es oc´
as ica de las p´
e didas de paque-
es y u ilizan modi icaciones del il o de Kalman cl´
asico.
En es e abajo se p esen a un m´
e odo gene al pa a el con-
ol ´
op imo de sis emas a a ´
es de ed empleando uncionales
de Lyapuno -K aso skii. Adicionalmen e, se in oducen es-
icciones en la ganancia L2del sis ema, imponiendo as´
ıun
cie o ni el de a enuaci´
on de las pe u baciones en la salida del
sis ema. El esquema u ilizado pe mi e ene en cuen a e asos
en ambos sen idos de la comunicaci´
on (senso -con olado y
con olado -ac uado ) as´
ı como e en uales p´
e didas de paque-
es, que se modela ´
an como e asos adicionales en la comuni-
caci´
on.
Los da os de pa ida del p oblema son co as pa a el e aso
inducido po la ed y pa a el m´
aximo n´
ume o de p´
e didas de pa-
que es consecu i as. Asimismo, se especi ica un alo m´
aximo
acep able pa a la no ma L2del sis ema y un uncional de cos e.
A pa i de es os da os, el desa ollo de la soluci´
on se basa en
el dise˜
no de un uncional de Lyapuno -K aso skii. T as cie os
desa ollos ma em´
a icos se ´
a necesa io esol e un conjun o de
Ac uado Plan a Senso
Con olado
τca τsc
Figu a 1: Esquema de un con ol basado en ed
desigualdades lineales ma iciales (LMIs) pa a p oba la es abi-
lidad del sis ema. Dichos LMIs p opo ciona ´
an un con olado
que a a de minimiza el uncional de cos e eniendo en cuen a
las ca ac e ´
ıs icas de la ed y la co a impues a en la no ma L2
del sis ema.
El a ´
ıculo es ´
a es uc u ado del siguien e modo. En la sec-
ci´
on 2 se lle a a cabo la desc ipci´
on del p oblema de con ol,
de allando ambi´
en el modelo u ilizado pa a el a amien o ma-
em´
a ico del NCS. En la secci´
on 3 se o mula un lema pa a in-
oduci una soluci´
on gene al al p oblema, ´
alida pa a cualquie
uncional de Lyapuno -K aso skii que cumpla cie as condi-
ciones de es uc u a y con inuidad. En la secci´
on4sede i a
una soluci´
on pa icula al p oblema eniendo en cuen a el esul-
ado de la secci´
on an e io . En la secci´
on 5 se aplica el m´
e odo
de dise˜
no a un sis ema conc e o, al obje o de ilus a el compo -
amien o del con olado dise˜
nado. Po ´
ul imo, en la secci´
on 6
se p esen an las p incipales conclusiones que pueden ex ae se
de es e abajo.
2. Desc ipci´
on del p oblema
Consid´
e ese un sis ema con inuo pe u bado desc i o en el
espacio de es ados:
˙x( )=Ax( )+Bu( )+Bωω( ),(1)
z( )=Cx( )+Du( ),(2)
x( 0)=x0,(3)
donde x( )∈Rn,u( )∈Rmyz( )∈Rqson el ec o de es a-
do, el ec o de se˜
nales de con ol y la salida, espec i amen e;
ω( ) deno a las pe u baciones ex e nas; A,ByBωson ma i-
ces cons an es de dimensiones adecuadas y x0es la condici´
on
inicial.
Sup´
ongase que el sis ema (1)-(3) es con olado a a ´
es de
una ed de comunicaciones, como ilus a la Figu a 1. La in o-
ducci´
on de dicha ed hace que, bajo una ley de con ol lineal, el
sis ema pueda se desc i o como un sis ema con inuo con una
se˜
nal de con ol e asada, idea que ue in oducida po p ime a
ez en Mikhee e al. (1988).
El senso mues ea la salida de la plan a de o ma pe i´
odica,
en los ins an es =jkh, siendo hel iempo de mues eo, y sien-
do jk(k=1,2,3,..)n
´
ume os en e os ales que {j1,j2,j3, ...}⊆
{1,2,3, ...}yjk<jk+1. De es a o ma, pueden ene se en cuen a
posibles p´
e didas de paque es po la ed. Po ejemplo, obse an-
do la Figu a 2, en el ins an e dado po jkhse en ´
ıa un paque e
que se ecibe co ec amen e en k. A con inuaci´
on se pie den
Ac uado Plan a Senso
Con olado
τca τsc
16 Pablo Millán e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 9 (2012) 14–23
senso
con olado
ac uado
jkhjk+1h
τsc
k k+1 τca
Figu a 2: Esquema de iempos
τ( )
τM
τsa(k)
τm
k k+1 k+2 k+3
Figu a 3: E oluci´
on cuali a i a de τ( )
dos paque es (ma cados con una c uz) de o ma consecu i a. El
siguien e paque e que se ecibe es el mues eado en el ins an e
de e minado po jk+1h=(jk+3)h.
Se de ine el in e alo gen´
e ico ∈[ k, k+1) como el in e alo
de iempo en el que la se˜
nal de con ol aplicada a la plan a pe -
manece cons an e. El ins an e kes el iempo en el que la se˜
nal
de con ol, co espondien e al es ado mues eado en =jkh,
alcanza la plan a.
Po an o, la se˜
nal de con ol puede se desc i a del siguien e
modo:
u( )=Kx( k−τsc(k)−τca(k)), ∈[ k, k+1),(4)
donde τsc(k)yτca(k) son los e asos que in oduce la ed
pa a los da os mues eados en =jkh, en el sen ido senso -
con olado y con olado -ac uado , espec i amen e ( e Figu-
a 1). El e aso o al de ida y uel a τsa(k) se de ine seg´
un
τsa(k)=τsc(k)+τca(k). En la Figu a 2 puede e se un esquema
de iempos o ien a i o en el que se ep esen an los e asos y las
p´
e didas de paque es. Como se ap ecia, cada p´
e dida de paque-
e hace que el in e alo gen´
e ico ∈[ k, k+1) se p olongue un
iempo de mues eo adicional.
De es e modo, el sis ema con olado (1)-(3) puede eesc i-
bi se como:
˙x( )=Ax( )+BKx( −τ( )) +Bωω( ),(5)
z( )=Cx( )+DKx( −τ( )),∀ ∈[ k, k+1),(6)
x( )=φ( ), ∈[ 0−τM, 0],(7)
donde τ( )= − k+τsa(k), y τMes el e aso m´
aximo
admisible ( e De inici´
on 1). Es ´
acil comp oba que τ( )es
una unci´
on con inua a ozos, ya que ep esen a la di e encia
empo al en e el iempo de mues eo k-´
esimo, jkh, y el iempo
ac ual . Tal y como se han de inido p e iamen e, cada p´
e dida
de paque e conlle a un aumen o de τ( ) de has a un iempo de
mues eo. La Figu a 3 ilus a una posible e oluci´
on de τ( ).
Asociada al sis ema (5)-(7) se de ine la siguien e unci´
on de
cos e a minimiza :
J(x( ),u( )) =∞
0xT( )Qx( )+uT( )Ru( )d ,(8)
donde Q,Rson ma ices de inidas posi i as.
A con inuaci´
on se in oducen un conjun o de hip´
o esis que
se ´
an necesa ias en adelan e.
Hip´o esis 1.
1. El senso ac ´
ua de o ma pe i´
odica. El con olado y el ac-
uado lo hacen bas´
andose en e en os. Es deci , el con o-
lado calcula una nue a se˜
nal de con ol an p on o como
ecibe una nue a medida del senso , y el ac uado aplica
una nue a se˜
nal de con ol a la plan a an p on o como la
ecibe, man eni´
endola con un man enedo de o den ce o.
2. Exis en dos cons an es τsa,τsa ≥0, ales que se e i ica
la siguien e desigualdad ( e aso de ida y uel a aco ado):
τsa ≤τsa(k)≤τsa,∀k∈N.(9)
3. El n´
ume o m´
aximo de p´
e didas de paque es consecu i as
en e el senso y el ac uado es ´
a aco ado po np∈N.
Adem´
as, la siguien e de inici´
on se ´
a u ilizada en lo sucesi-
o.
De inici´
on 1. A endiendo a las Hip´
o esis 2 y 3, es posible
de ini dos cons an es τm≥0yτM>τ
m ales que:
τ( )≥τsa =τm,(10)
τ( )≤(1 +np)h+τsa =τM.(11)
No a. A endiendo a es a de inici´
on, el n´
ume o m´
aximo de
p´
e didas de paque es nps´
olo a ec a al modelo en el alo del e-
aso m´
aximo o al τM. Cada p´
e dida de paque e adicional hace
aumen a la co a m´
axima pa a el e a do, al ex ende el pe iodo
gen´
e ico ∈[ k, k+1).
El obje i o de es e abajo es el dise˜
no de con olado es
´
op imos con echazo de pe u baciones L2pa a el con ol de
sis emas a a ´
es de ed.
3. P ocedimien o Gene al
3.1. Fo mulaci´on del p oblema
A con inuaci´
on se o mula de o ma gen´
e ica el p oblema
de con ol ´
op imo con echazo de pe u baciones. Como se p o-
ba ´
a despu´
es, el dise˜
no de un con olado ap opiado pa a es e
p oblema pod ´
a lle a se a cabo median e la esoluci´
on de un
p oblema de op imizaci´
on.
De inici´
on 2. El p oblema de Con ol ´
Op imo con Rechazo
de Pe u baciones
Consid´
e ese que el sis ema LTI desc i o po (5)-(7) es con-
olado a a ´
es de una ed de comunicaciones, la cual sa is ace
(10)-(11). Dados:
Un ni el deseado de a enuaci´
on de pe u baciones γ,y
Una unci´
on de cos e cuad ´
a ica
J(x( ),u( )) =∞
0[xT( )Qx( )+uT( )Ru( )]d , con Q,R≥
0,
senso
con olado
ac uado
jkhjk+1h
τsc
k k+1 τca
τ( )
τM
τsa(k)
τm
k k+1 k+2 k+3
Pablo Millán e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 9 (2012) 14–23 17
el p oblema de Con ol ´
Op imo con Rechazo de Pe u ba-
ciones consis e en encon a un con olado lineal K al que:
1. El sis ema en lazo ce ado sea asin ´
o icamen e es able pa-
a ω( )≡0,
2. El con olado minimice la unci´
on de cos e J(x( ),u( ))
pa a ω( )≡0,
3. Bajo la suposici´
on de condiciones iniciales nulas, la sali-
da con olada z( ) sa is aga z( )2≤γω( )2pa a cual-
quie pe u baci´
on no nula ω( )∈L2[0,∞).
Como se ha is o en el apa ado an e io , el sis ema con-
olado a a ´
es de ed puede esc ibi se como un sis ema con
e asos a iables seg´
un (5)-(7). Adem´
as, dicho e aso a ia-
ble es una unci´
on con inua den o del in e alo ∈[ k, k+1).
Po an o, pa a es udia la es abilidad del NCS pueden emplea -
se ´
ecnicas u ilizadas en el ´
ambi o de los sis emas con e asos.
Una de las ´
ecnicas m´
as u ilizadas es aquella basada en uncio-
nales de Lyapuno -K aso skii. V´
ease po ejemplo Xu and Lam
(2008) y las e e encias ci adas en ese a ´
ıculo. Exis en o as
ap oximaciones, como la de Lyapuno -Razumikhin, cuyos e-
sul ados se han comp obado m´
as conse ado es pa a sis emas
con e asos a iables en el iempo.
As´
ı, el p ime paso pa a p oba la es abilidad es escoge un
uncional V( ,x ) que ecoja las ca ac e ´
ıs icas del sis ema bajo
es udio. De es a o ma, pueden inclui se ´
e minos pa a ene
en cuen a e asos a iables aco ados supe io e in e io men e
( ´
ease po ejemplo Jiang and Han (2008); Shao (2009)).
Pa a comp oba que el sis ema es es able, el uncional de
Lyapuno -K aso skii debe cumpli (Mahmoud (2000)):
(a) α(φ(0))≤V( ,x )≤β(φ)
(b) ˙
V( ,x )≤−(φ(0))
siendo α, β,  :R+→R+ unciones con inuas y no dec e-
cien es.
Pa a sis emas de con ol a a ´
es de edes, el sis ema con e-
aso equi alen e (5)-(7) s´
olo es ´
a de inido en in e alos ini os
de iempo, ∈[ k, k+1). Po an o, no es posible halla la de i-
ada del uncional en odo ins an e de iempo pa a comp oba
la condici´
on (b). A endiendo a esul ados en el campo de los
sis emas h´
ıb idos B anicky e al. (1998), la soluci´
on a es e p o-
blema pasa po encon a un uncional cuya de i ada e i ique
(b) den o de los in e alos de iempo ini o y que, adem´
as, en
los ins an es en e in e alos, el uncional no c ezca, es deci ,
(b1) ˙
V( ,x )≤−(φ(0)),∀ ∈[ k, k+1)
(b2) V( −
k,x −
k)≥V( +
k,x +
k),∀k∈N+
En la p ´
ac ica suelen escoge se uncionales con inuos, de
o ma que no se p oduzcan discon inuidades en los iempos de
mues eo ky la condici´
on (b2) se e i ique. Teniendo en cuen-
a odas es as conside aciones, en la siguien e secci´
on se p e-
sen a una soluci´
on gene al pa a el p oblema de Con ol ´
Op i-
mo con Rechazo de Pe u baciones basado en uncionales de
Lyapuno -K aso skii.
3.2. Resul ado p incipal
Pa a el desa ollo del esul ado p incipal es necesa io o -
mula una se ie de suposiciones o hip´
o esis p e ias.
Hip´o esis 2. Dado un uncional de Lyapuno -K aso skii con-
inuo y cuad ´
a ico (LKF) V( ), se asume que su de i ada em-
po al pa a ∈[ k, k+1) puede esc ibi se de la siguien e o ma:
˙
V( )≤ξT( )Ξ(K,γ)ξ( )−z( )Tz( )+γ2ωT( )ω( ),(12)
donde ξ( )∈Rnξes un ec o de es ado aumen ado y
Ξ(K,γ)∈Rnξ×nξes una ma iz sim´
e ica que depende, en e
o as, del con olado Ky del ni el deseado de a enuaci´
on de
pe u baciones γ.
Hip´o esis 3. El uncional de cos e Jpuede esc ibi se como:
J=∞
0
[ξT( )Φ(K)ξ( )]d ,(13)
donde Φ(K) es una ma iz semide inida posi i a que puede
depende del con olado K.
No a. En el campo NCS, es com´
un que la de i ada del un-
cional pueda se eesc i a como (12). V´
ease po ejemplo Yue
e al. (2005), Jiang e al. (2008) o Meng e al. (2009). Incluso
en abajos en los que no se iene en cuen a el echazo de pe u -
baciones, la de i ada del LKF se esc ibe de la misma o ma con
z( )≡0yω( )≡0. Po an o, la Hip´
o esis 1 no es en absolu o
es ic i a.
No a. La Hip´
o esis 2 es ambi´
en una es icci´
on sua e. Po
ejemplo, si el ec o de es ado aumen ado se de ine como
ξT( )=xT( )xT( −τ( )),es
´
acil comp oba que
Φ(K)=diag(Q,KTRK).
A con inuaci´
on, se p esen a el esul ado gene al en o ma
de lema que o ece una soluci´
on gen´
e ica al p oblema que nos
ocupa.
Lema 1. Sup´
ongase que se e i ican las Hip´
o esis 2 y 3.
En onces, el p oblema de Con ol ´
Op imo con Rechazo de Pe -
u baciones puede se esuel o encon ando un con olado K
al que:
m´
ın
Kα, (14)
suje o a αΞ(K,γ)<−Φ(K) (15)
α>0,α∈R(16)
Demos aci´
on. Pa a p oba es e lema, se a a demos a que
un con olado que esuel a el p oblema de op imizaci´
on (14)-
(16) ambi´
en hace que se sa is agan odas las condiciones de la
De inici´
on 2.
1) Cuando no hay pe u baciones, es o es ω( )≡0, y e-
niendo en cuen a (12) pa a ∈[ k, k+1), se e i ica lo siguien e:
˙
V( )≤ξTΞ(K,γ)ξ( )−z( )Tz( )+γ2ωT( )ω( )
≤ξTΞ(K,γ)ξ( ).(17)
A pa i de (17) y eniendo p esen es la Hip´
o esis 3 y las
ecuaciones (15)-(16), puede comp oba se que V( ) dec ece pa-
a ∈[ k, k+1). Como V( ) es con inuo en [ 0,∞), en onces
18 Pablo Millán e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 9 (2012) 14–23
˙
V(x )≤−x( )2pa a un >0 su icien emen e peque˜
no,
lo cual asegu a la es abilidad asin ´
o ica del sis ema (5)-(7), e
Hale and Ve duyn Lunel (1993). La condici´
on (b1) es ´
a, po
an o, e i icada. N´
o ese que al se el uncional V( ) con inuo
po la Hip´
o esis 2, la condici´
on (b2) se e i ica de ac o.
2) Pa a ω( )≡0, ope ando a pa i de la condici´
on (15) y la
Hip´
o esis 2 se ob iene:
˙
V( )≤ξTΞ(K,γ)ξ( )<−ξT( )1
αΦ(K)ξ( ).(18)
In eg ando ambos lados de (18) desde khas a ∈[ k, k+1),
se llega a
V( )−V( k)<−1
α
k
[xT(s)Qx(s)+uT(s)Ru(s)]ds.
Ob iamen e ∞
k=1[ k, k+1)=[ 0,∞). Al cumpli se que V( )
es con inuo en , puede e se que,
V( )−V( 0)≤−1
α
0
[xT(s)Qx(s)+uT(s)Ru(s)]ds.
Cuando →∞, la es abilidad asin ´
o ica del sis ema implica que
V( )→0, as´
ı que,
−V( 0)<−1
α∞
0
[xT(s)Qx(s)+uT(s)Ru(s)]ds
⇒J<αV( 0).
El alo de V( 0) depende de las condiciones iniciales φ( )
y es una medida de su no ma. Po an o, minimizando αla un-
ci´
on de cos e Jes minimizada independien emen e del alo
que engan las condiciones iniciales.
3) Pa a ω0, bajo condiciones iniciales nulas se iene que:
˙
V( )≤−z( )Tz( )+γ2ωT( )ω( ).(19)
In eg ando ambos lados de (19) y u ilizando los mismo a -
gumen os de con inuidad que an es, puede e se que,
V( )−V( 0)≤−
0
zT(s)z(s)ds +
0
γ2ωT(s)ω(s)ds.
Cuando el iempo iende a in ini o →∞, y eniendo en
cuen a que bajo condiciones iniciales nulas se cumple V( 0)=
0 y que el uncional es de inido posi i o, se puede llega a la
siguien e ecuaci´
on:
∞
0
zT(s)z(s)ds ≤∞
0
γ2ωT(s)ω(s)ds,
po lo que z( )2≤γω( )2.

El Lema 1 p opone una soluci´
on gene al pa a el p oblema
de Con ol ´
Op imo con Rechazo de Pe u baciones. Puede u i-
liza se pa a di e en es LKFs y pa a dis in as es icciones de la
ed.
4. Una soluci´
on pa icula
En es a secci´
on u iliza emos los esul ados an e io es pa a
encon a una soluci´
on pa icula al p oblema de con ol que
nos ocupa. El uncional de Lyapuno -K aso skii en el que se
basa la soluci´
on es el siguien e:
V( )=xT( )Px( )+
−τm
xT(s)Q1x(s)ds +
−τM
xT(s)Q2x(s)ds
+0
−τM
+θ
˙xT(s)Z1˙x(s)dsdθ+−τm
−τM
+θ
˙xT(s)Z2˙x(s)dsdθ. (20)
donde odas las ma ices son de inidas posi i as. De es a
o ma conseguimos un uncional de inido posi i o que adem´
as
es con inuo.
El siguien e eo ema p opone una soluci´
on pa icula pa a el
p oblema de Con ol ´
Op imo con Rechazo de Pe u baciones.
Teo ema 1. Dados los escala es τm,τM,γ,ǫ > 0 y las ma-
ices QyR, si las ma ices X,˜
Q1,˜
Q2,˜
Z1,˜
Z2>0yY,˜
Ni,˜
Mi,˜
Si,
(i=1,2) de dimensiones ap opiadas esuel en el siguien e p o-
blema de op imizaci´
on pa a los dos ´
e ices del poli opo τ( )
de inidos po (10)-(11),
min α
suje o a (21),
en onces, el con olado ´
op imo con echazo de pe u bacio-
nes pa a el sis ema (5)-(7) iene dado po K=YX−1.
Demos aci´
on. Pa a p oba el eo ema an e io es su icien-
e mos a que la de i ada del LKF (20) puede esc ibi se de la
o ma exigida en la Hip´
o esis 2 (12). Tambi´
en hab ´
a que com-
p oba que el p oblema de op imizaci´
on que se plan ea es equi-
alen e a aquel desc i o po las ecuaciones (14)-(16) del Lema
1.
Tomando la de i ada empo al de V( ) a lo la go de las a-
yec o ias de (5) se ob iene que, pa a ∈[ k, k+1):
˙
V( )=2xT( )P˙x( )+xT( )(Q1+Q2)x( )
−xT( −τm)Q1x( −τm)−xT( −τM)Q2x( −τM)
+˙xT( )(τMZ1+∆τZ2)˙x( )−
−τM
˙xT(s)Z1˙x(s)ds
− −τm
−τM
˙xT(s)Z2˙x(s)ds.(22)
El ec o de es ado aumen ado se de ine como: ξT( )=
xT( ),xT( −τ( )),xT( −τm),xT( −τM),ω
T( ).
Aho a se a˜
naden en el lado de echo de la igualdad (22) los si-
guien es ´
e minos nulos:
0=2ξT( )¯
Nx( )−x( −τ( )) −
−τ( )
˙x(s)ds,
0=2ξT( )¯
Sx( −τ( )) −x( −τM)− −τ( )
−τM
˙x(s)ds,
0=2ξT( )¯
Mx( −τm)−x( −τ( )) − −τm
−τ( )
˙x(s)ds,
0=γ2ωT( )ω( )−γ2ωT( )ω( ),
0=ξT( )¯
C¯
CTξ( )−zT( )z( ).

Pablo Millán e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 9 (2012) 14–23 19
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
˜
Γ(τ( )+ε)˜
N(τ( )+ε−τm)˜
M(τM+ε−τ( )) ˜
SτM˜
A∆τ˜
A˜
C˜
Q˜
R
∗−(τ( )+ε)˜
Z10000000
∗∗−(τ( )+ε−τm)Z2000000
∗∗ ∗ −(τM+ε−τ( ))( ˜
Z1+˜
Z2)0 0 00 0
∗∗ ∗ ∗ −τMX˜
Z−1
1X0000
∗∗ ∗ ∗ ∗−∆τX˜
Z−1
2X00 0
∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗−I00
∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗−αQ−10
∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗∗−αR−1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
<0,(21)
donde
˜
Γ=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
θ11 θ12 ˜
M1−˜
S1Bω
∗θ22 ˜
M2−˜
S20
∗∗−
˜
Q100
∗∗ ∗−
˜
Q20
∗∗ ∗ ∗−γ2I
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
,
˜
NT=[˜
NT
1˜
NT
20 0 0];
˜
MT=[˜
MT
1˜
MT
20 0 0];
˜
ST=[˜
ST
1˜
ST
20 0 0];
˜
CT=[CXTDY 0 0 0];
˜
AT=[AX BY 00Bω];
˜
QT=[X0000];
˜
RT=[0 Y0 0 0];
θ11 =AX +XAT+˜
Q1+˜
Q2+˜
N1+˜
NT
1;
θ12 =BY −˜
N1+˜
S1−˜
M1+˜
NT
2;
θ22 =−˜
N2−˜
NT
2+˜
S2+˜
ST
2−˜
M2−˜
MT
2;
donde:
¯
NT=[NT
1NT
20 0 0];
¯
MT=[MT
1MT
20 0 0];
¯
ST=[ST
1ST
20 0 0];
¯
CT=[CDK000].
Con es os ´
e minos, la ecuaci´
on (22) puede eesc ibi se de
la siguien e mane a:
˙
V( )=ξT( )(Γ+ ¯
C¯
CT)ξ( )+˙xT( )(τMZ1+∆τZ2)˙x( )
−
−τ( )
˙xT(s)Z1˙x(s)ds −2ξT( )¯
N
−τ( )
˙x(s)ds
− −τm
−τ( )
˙xT(s)Z2˙x(s)ds −2ξT( )¯
M −τm
−τ( )
˙x(s)ds
− −τ( )
−τM
˙xT(s)(Z1+Z2)˙x(s)ds −2ξT( )¯
S −τ( )
−τM
˙x(s)ds
+γ2ωT( )ω( )−zT( )z( ).(23)
Aho a, si se hace uso de una p opiedad muy conocida pa a
la aco aci´
on del p oduc o escala de dos ec o es:
−aTXa −2bTa≤bTX−1b,X>0,
se pueden ob ene co as supe io es pa a los ´
e minos in e-
g ales de la ecuaci´
on (23):
−
−τ( )
˙xT(s)Z1˙x(s)ds −2ξT( )¯
N
−τ( )
˙x(s)ds
≤(τ( )+ε)ξT( )¯
NZ−1
1¯
NTξ( ),
− −τm
−τ( )
˙xT(s)Z2˙x(s)ds −2ξT( )¯
M −τm
−τ( )
˙x(s)ds
≤(τ( )−τm+ε)ξT( )¯
MZ−1
2¯
MTξ( ),
− −τ( )
−τM
˙xT(s)(Z1+Z2)˙x(s)ds −2ξT( )¯
S −τ( )
−τM
˙x(s)ds
≤(τM−τ( )+ε)ξT( )¯
S(Z1+Z2)−1¯
STξ( ).(24)
donde las cons an es ε∈R+han sido in oducidas po
con eniencias de dise˜
no ( e No a a con inuaci´
on). Combinan-
do (23) con las co as de (24), se puede mos a que, pa a ∈
[ k, k+1),
˙
V( )≤ξT( )Γ+(τ( )+ε)¯
NZ−1
1¯
NT
+(τ( )−τm+ε)¯
MZ−1
2¯
MT
+(τM−τ( )+ε)¯
S(Z1+Z2)−1¯
ST+¯
C¯
CT+¯
AτMZ1¯
AT
+¯
A∆τZ2¯
ATξ( )+γ2ωT( )ω( )−zT( )z( ).(25)
donde ¯
AT=[ABK00Bω]. De es e modo, si se de ine
Ξ(K,γ) como:
Ξ(K,γ)Γ+(τ( )+ε)¯
NZ−1
1¯
NT+(τ( )−τm+ε)¯
MZ−1
2¯
MT
+(τM−τ( )+ε)¯
S(Z1+Z2)−1¯
ST
+¯
C¯
CT
+¯
AτMZ1¯
AT+¯
A∆τZ2¯
AT,(26)
se llega inalmen e a que la de i ada del LKF (20) puede
esc ibi se como en la Hip´
o esis 2 (12).
S´
olo queda po demos a que los p oblemas de op imiza-
ci´
on del Lema 1 y del Teo ema 1 son equi alen es. Consid´
e ese
la ecuaci´
on (15) del Lema1ylaHip
´
o esis 3.
αΞ(K,γ)<−Φ(K)⇔Ξ(K,γ)−¯
KT−R
α¯
K−¯
IT−Q
α¯
I<0 (27)
20 Pablo Millán e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 9 (2012) 14–23
donde ¯
KT=[0 K000]
Ty¯
IT=[I0000]
T.
A pa i de las ecuaciones (26) y (27), aplicando complemen os
de Schu , se ob iene una desigualdad ma icial con la misma es-
uc u a que (21). Pa a ob ene de ini i amen e (21) es su icien-
e in oduci las siguien es de iniciones X=P−1,˜
Qi=XQiX,
˜
Mi=XMiX,˜
Ni=XNiX,˜
Si=XSiX,˜
Zi=XZiX,i=1,2,
as´
ı como p e- y pos -mul iplica la desigualdad ma icial po
diag{X,X,X,X,I,X,X,X,I,I,I,I,I}y su aspues a.

No a. El pa ´
ame o escala ε>0 se in oduce pa a que los
LMIs que se ob end ´
an en la p ´
oxima secci´
on sean ac ibles. Si
no se hiciese es o, apa ece ´
ıan ´
e minos nulos en las diagonales
de algunas ma ices al esol e en los ´
e ices del poli opo τ( ).
Es a modi icaci´
on no in oduce ning´
un conse adu ismo en el
m´
e odo, ya que ε>0 puede escoge se an peque˜
no como se
desee, po ejemplo, ε→0+.
4.1. Algo i mo pa a el dise˜no de con olado es
N´
o ese que (21) no es una desigualdad lineal. Exis e una
idea o p ocedimien o ( e El Ghaoui e al. (1997)) el cual nos
pe mi e abo da la desigualdad ma icial no lineal (21) in o-
duciendo nue as ma ices y desigualdades lineales. Lo p ime o
que hay que hace es de ini dos a iables T1,T2 ales que e i-
iquen,
X˜
Z−1
1X≥T1>0,X˜
Z−1
2X≥T2>0,(28)
que es equi alen e a:
−T−1
1X−1
X−1−˜
Z−1
1≤0,−T−1
2X−1
X−1−˜
Z−1
2≤0.(29)
Aho a se in oducen unas nue as a iables
¯
X=X−1,¯
Ti=T−1
i,¯
Zi=˜
Z−1
ii=1,2,(30)
de o ma que la ecuaci´
on (29) puede eesc ibi se como,
−¯
T1¯
X
¯
X−¯
Z1≤0,−¯
T2¯
X
¯
X−¯
Z2≤0.(31)
De es a o ma, en ez de u iliza la condici´
on o iginal (21),
se puede plan ea el siguien e p oblema de minimizaci´
on no
lineal que u iliza desigualdades ma iciales lineales (LMIs):
Minimiza T ¯
XX +¯
T1T1+¯
T2T2+¯
Z1˜
Z1+¯
Z2˜
Z2
suje o a
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
˜
Λ<0,−¯
T1¯
X
¯
X−¯
Z1≤0,−¯
T2¯
X
¯
X−¯
Z2≤0.
XI
I¯
X≥0,T1I
I¯
T1≥0,T2I
I¯
T2≥0,
(32)
donde ˜
Λes la ma iz que se eque ´
ıa que uese nega i a
de inida en (21), pe o sus i uyendo los elemen os no lineales
X˜
Z−1
iXpo Ti,i=1,2. Si se obse an las ecuaciones (28), es
inmedia o e que, si se e i ica ˜
Λ<0, en onces (21) ambi´
en
se sa is ace. El p oblema de minimizaci´
on se in oduce pa a o -
za que la a iables (30) iendan a las in e sas de las ma ices
o iginales. Cuando los LMIs de la segunda ila de las es iccio-
nes (32) sa u an, se alcanza el ´
op imo y se e i ica (32).
Una ez plan eado el p oblema de minimizaci´
on que sus-
i uye la desigualdad no lineal, se expond ´
a a con inuaci´
on un
algo i mo pa a esol e lo. El Teo ema 2.1 de El Ghaoui e al.
(1997) asegu a la con e gencia de es e algo i mo.
Algo i mo 1:
1. Dados los escala es τm,τM,γ,ǫ > 0, encon a una posi-
ble soluci´
on bajo las condiciones de (32):
(X0,¯
X0,Y0,¯
Ti0,Ti0,˜
Qi0,˜
Ni0,˜
Mi0,˜
Si0,˜
Zi0,¯
Zi0,(i=1,2))
Inicializa k=0. Si no hubiese soluci´
on, sali del algo i -
mo.
2. Resol e los siguien es LMIs cuya soluci´
on es ´
a dada
po el conjun o de ma ices (X,¯
X,Y,¯
Ti,Ti,˜
Qi,˜
Ni,˜
Mi,˜
Si,
˜
Zi,¯
Zi,(i=1,2))
Minimiza T (¯
XkX+Xk¯
X+¯
T1kT1+T1k¯
T1+¯
T2kT2
+T2k¯
T2+¯
Z1k˜
Z1+˜
Z1k¯
Z1+¯
Z2k˜
Z2+˜
Z2k¯
Z2)
suje o a los LMIs de (32)
Ac ualiza Xk+1=X,¯
Xk+1=¯
X,Yk+1=Y,¯
Ti,k+1=¯
Ti,
Ti,k+1=Ti,˜
Qi,k+1=˜
Qi,˜
Ni,k+1=˜
Ni,˜
Mi,k+1=˜
Mi,˜
Si,k+1=
˜
Si,˜
Zi,k+1=˜
Zi,¯
Zi,k+1=¯
Zi,i=1,2.
3. Si se sa is ace la condici´
on (21), en onces el con olado
queda de inido po K=YX−1. Finaliza el algo i mo. En
o o caso, se hace k=k+1 y se uel e al Paso 2.
En el p ime y el segundo paso del algo i mo se esuel en
LMIs, pa a lo que pueden u iliza se algo i mos e icien es de
pun o in e io . Como se asegu a en El Ghaoui e al. (1997),
cuando el algo i mo con e ge en onces ¯
XX =I,¯
TiTi=I,
¯
Zi˜
Zi=I,i=1,2. He amien as como Ma lab disponen de pa-
que es adecuados pa a la esoluci´
on de LMIs.
No a. Obs´
e ese que pa a ob ene el con olado deben e-
sol e se dos p oblemas de op imizaci´
on con es icciones ipo
LMI. ´
Es os son el p oblema de minimizaci´
on de αyeldela
minimizaci´
on de la suma de las azas de cie as ma ices. El
p ime o de ellos se encuen a en un ni el m´
as al o de je a qu´
ıa
y su esoluci´
on no p esen a ninguna di icul ad dado que la a-
iable αes un escala y su minimizaci´
on cons i uye un p oble-
ma con exo ( e Lema 1). Pa a op imiza αpuede emplea se
un algo i mo de bisecci´
on.
5. Aplicaci´
on al con ol de dis ancia a a ´
es de ed
En es a secci´
on se aplica el con ol ´
op imo basado en ed
explicado an e io men e a un p oblema de con ol conc e o. Pa-
a pone de mani ies o las en ajas de es e ipo de con olado es
en un NCS, se compa a ´
a con un con ol ´
op imo LQR dise˜
nado
sin ene en cuen a la p esencia de e asos de comunicaci´
on.
Conside emos el p oblema de con ol de dis ancia en ca-
e e a. Supongamos un eh´
ıculo (coche 1), ci culando a cie a
elocidad desconocida y un segundo eh´
ıculo (coche 2) ci cu-
lando de ´
as suya y a ando de man ene una cie a dis ancia
Pablo Millán e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 9 (2012) 14–23 21
de e e encia cons an e ( e Figu a 4). Las ecuaciones de es e
sis ema din´
amico se pueden esc ibi de la siguien e o ma:
e( )=p1( )−p2( )−l ,
˙e( )= 1( )− 2( )=y( ),
˙y( )=a1( )−a2( ).(33)
Donde p( ), ( )ya( ) deno an posiciones, elocidades y
acele aciones espec i amen e, e( )yy( ) son los e o es en po-
sici´
on y elocidad y los sub´
ındices de las a iables deno an el
eh´
ıculo al que se e ie en. Po o a pa e, el equilib io de ue -
zas sob e cada eh´
ıculo iene dado po :
Fi( )−Fa,i( )−F ,i( )=miai( ),i=1,2,(34)
donde Fies la ue za que eje ce el mo o de cada eh´
ıculo,
Fa,ies la ue za debida al ozamien o ae odin´
amico y F ,ies la
esis encia a odadu a, dadas po :
Fa( )=1
2caATρai e 2( ),(35)
F ( )=c mgcos(β( )),(36)
donde las cons an es in oluc adas en la ecuaci´
on an e io
son:
ca,c : coe icien es ae odin´
amicos y a odadu a.
AT:´
a ea ans e sal del eh´
ıculo.
ρai e: densidad del ai e.
m: masa del eh´
ıculo.
g: cons an e g a i acional.
β( ): ´
angulo de inclinaci´
on de la ca e e a.
Figu a 4: Esquema del p oblema de con ol
Se supond ´
a po simplicidad que los eh´
ıculos son iguales y
que la inclinaci´
on de la ca e e a es cons an e. Po o o lado, se
ealiza una ap oximaci´
on lineal de la ue za ae odin´
amica, en
o no a la elocidad nominal 0, u ilizando los ´
e minos de la
se ie de Taylo uncada con enien emen e. De es e modo, las
ecuaciones del sis ema ienen dadas po :
d
d ⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
e( )
e( )
y( )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

=⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
01 0
00 1
00−c3c0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
e( )
e( )
y( )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

+⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
−c3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

F2( )+⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
c3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

F1( ) (37)
con c0= 0caATρai e yc3=1/m. Supongamos que el coche
2 se comunica con el coche 1 solici ando conoce su elocidad
y posici´
on cada iempo de mues eo h. El obje i o es calcula la
acci´
on de con ol F2( ) de mane a que la dis ancia con el coche
1 se man enga en el alo p esc i o l . El con olado es ´
a imple-
men ado localmen e en el coche 2, pe o pa a calcula la se˜
nal de
con ol necesi a conoce a iables p opias del p ime eh´
ıculo.
Es os da os pueden expe imen a p´
e didas y e asos de comu-
nicaci´
on ya sea po el mecanismo de comunicaci´
on en e los
eh´
ıculos o po el iempo de acceso al bus de comunicaci´
on
p opio de cada uno.
De es a o ma, la se˜
nal de con ol F2( ) iene dada po :
F2( )=K⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
e( −τ( ))
e( −τ( ))
y( −τ( ))
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

(38)
donde ya se han enido en cuen a los e asos de comunica-
ci´
on median e la a iable τ( ).
Se supond ´
an los siguien es da os pa a los coches: m=
1200 Kg,AT=1,5m2,ca=0,15, c =0,015, densidad del
ai e ρai e =1,21 Kg/m3y una elocidad nominal de n=120
Km/h. Pa a el dise˜
no de los con olado es se a a ponde a
s´
olo el e o en el es ado Q=10−5⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
100 0 0
0 100 0
000,01 ⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

,ysesu-
pond ´
a que el pe iodo de mues eo es h=500 ms. Asimis-
mo, se asume que el e aso inducido po la ed a ´
ıa en e
100 y 200 milisegundos, pudi´
endose pe de como m´
aximo 1
paque e de o ma consecu i a. Po an o, el e aso m´
aximo es
τM=200 +(1 +1)500 =1200 ms. Los con olado es ob enidos
son:
Con olado local LQR disc e o: KLQR =[1333 2882
2448]
Con olado ´
op imo local basado en LKF: KLKF,loc =
[109 813 1137,5]
Con ol ´
op imo basado en LKF pa a la ed conside ada:
KLKF =[67 540 945]
0 10 20 30 40 50 60 70 80
17
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20
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23
iempo (s)
Dis ancia en e ehículos (m)
KLQR
Re e encia
KLKF,loc
Figu a 5: Respues a de los con olado es igno ando los e ec os inducidos po la
ed
010 20 30 40 50 60 70 80
17
18
19
20
21
22
23
iempo (s)
Dis ancia en e ehículos (m)
K
Re e encia
K
22 Pablo Millán e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 9 (2012) 14–23
0 10 20 30 40 50 60 70 80
17
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20
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24
iempo (s)
Dis ancia en e ehículos (m)
KLKF
Re e encia
KLQR
Figu a 6: Respues a de los con olado es eniendo en cuen a la ed de comuni-
caciones
Pa a ealiza las simulaciones se ha in oducido en la ed
una p obabilidad de p´
e dida de paque es del 10 %. El con o-
lado LKF dise˜
nado eniendo en cuen a el e aso m´
aximo in-
ducido po la ed no puede conside a el po cen aje de p´
e didas
inducido, ya que ´
es e no puede se aducido a e aso m´
aximo y
equie e conside aciones de es abilidad es oc´
as ica pa a su a-
amien o. No obs an e, se obse a ´
a que el con olado dise˜
nado
p esen a cie as p opiedades de obus ez en e a la p´
e dida de
da os. En las siguien es simulaciones el coche 2 a a de man-
ene una dis ancia de 20 me os con el coche 1, cuando ´
es e
ci cula a una elocidad de 120 Km/h. An es de los 50 s de si-
mulaci´
on, el p ime coche ena du an e dos segundos y luego
acele a alcanzando o a ez los 120 Km/h. En la Figu a 5 se
mues a la espues a de los con olado es cuando se asume que
el e aso de los da os en iados po la ed es nulo. En la Figu a
6 se compa an los con olado es es a ez eniendo en cuen a los
e asos inducidos po la ed de comunicaciones.
0 10 20 30 40 50 60 70
0
10
20
30
40
50
60
70
iempo (s)
Dis ancia en e ehiculos (m)
KLKF
Re e encia
KLQR
Figu a 7: Respues a de los con olado es in oduciendo sa u aci´
on en la se˜
nal
de con ol
En la Figu a 5 se obse a que la espues a de ambos con-
olado es es sa is ac o ia. Puede comp oba se adem´
as que las
se˜
nales de con ol se man ienen en un ango azonable, as´
ı co-
mo un cie o g ado de conse adu ismo que se le asocia siem-
p e a los con olado es LKF y que hace que la espues a pa a
e asos nulos sea algo m´
as len a que la del con olado LQR.
En la Figu a 6 puede obse a se como el con olado LQR
no log a supe a la espues a del con olado basado en ed, p o-
0 10 20 30 40 50 60 70 80
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iempo (s)
Dis ancia en e ehículos (m)
KLKF con γ lib e
KLKF con γ<1.8
KLKF con γ<0.8
Figu a 8: Respues a de los con olado es con dis in a γ
0 10 20 30 40 50 60 70 80
16
18
20
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24
Dis ancia ehículos (m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80
−4000
−2000
0
2000
iempo (s)
Acción de con ol (N)
KLKF con R = 10−5
KLKF con R = 10−2
KLKF con R = 10−5
KLKF con R = 10−2
Figu a 9: Respues a de los con olado es a iando R
duciendo oscilaciones que deg adan el compo amien o del sis-
ema en lazo ce ado. De hecho, el mo i o po el cual el con o-
lado LQR sigue es abilizando el sis ema es po que no se han
in oducido sa u aciones en la se˜
nal de con ol. Puede comp o-
ba se que el con olado LQR equie e un es ue zo de con ol
en la p ´
ac ica i ealizable pa a es abiliza el sis ema, mien as
que el con ol LKF sigue man eniendo las se˜
nales de con ol en
un ango acep able. En la Figu a 7, se in oducen sa u aciones
en la se˜
nal de con ol en ±2000 N, mos ando que en es e caso
s´
olo el con olado LKF es capaz de es abiliza el sis ema.
En las siguien es g ´
a icas se mues a la espues a de dis-
in os con olado es, que han sido ajus ados de o ma di e en-
e pa a ilus a c´
omo el m´
e odo p opues o cuen a con un buen
n´
ume o de g ados de libe ad que pe mi en mejo a el desem-
pe˜
no seg´
un las especi icaciones eque idas. En la Figu a 8 se
dise˜
nan es con olado es con el mismo uncional de cos e pe-
o aumen ando la es icci´
on en el echazo de pe u baciones.
Se obse a c´
omo a medida que se exige un mayo g ado de
a enuaci´
on las pe u baciones se echazan mejo de o ma p o-
g esi a, mien as que la espues a del con olado se hace algo
m´
as len a. Po o o lado, en la Figu a 9 se compa an dos con-
olado es en los que la ma iz Rque ponde a la acci´
on de con-
ol es dis in a. As´
ı se obse a c´
omo puede log a se acciones de
con ol m´
as sua es sac i icando en cie o g ado la elocidad de
espues a del con olado .
0 10 20 30 40 50 60 70 80
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iempo (s)
Dis ancia en e ehículos (m)
KLKF
Re e encia
KLQR
0 10 20 30 40 50 60 70
0
10
20
30
40
50
60
70
iempo (s)
Dis ancia en e ehiculos (m)
K
Re e encia
K
010 20 30 40 50 60 70 80
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iempo (s)
Dis ancia en e ehículos (m)
010 20 30 40 50 60 70 80
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Dis ancia ehículos (m)
010 20 30 40 50 60 70 80
−4000
−2000
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iempo (s)
Acción de con ol (N)