Control óptimo-L2 basado en red mediante funcionales de Lyapunov-Krasovskii

Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 9 (2012) 14–23 © 2012 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados doi:10.1016/j.riai.2011.11.002 Control ´ Optimo-L2Basado en Red Mediante Funcionales de Lyapunov-Krasovskii Pablo Mill´ ana,∗, Luis Orihuelaa, Carlos Vivasa, Francisco R. Rubioa aDepartamento de Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica, Universidad de Sevilla Camino de los Descubrimientos s/n, Isla de la Cartuja, Sevilla, Espa˜na Resumen En el presente trabajo se estudia el control ´ optimo con rechazo de perturbaciones L2para sistemas lineales controlados a trav´ es de red. En estos sistemas el lazo de control se cierra utilizando una red de comunicaciones. Entre los problemas que introduce la red se encuentran posibles retrasos, en general aleatorios, as´ ı como p´ erdidas de paquetes. Desde un enfoque basado en funcionales de LyapunovKrasovskii (LKF) se aborda el dise˜ no de controladores ´ optimos que, dado un nivel deseado de atenuaci´ on de perturbaciones, estabilicen el sistema minimizando a su vez un funcional de coste. En el art´ ıculo se desarrolla, en primer lugar, una formulaci´ on y soluci´ on general para el problema. Posteriormente, se resuelve para un funcional de Lyapunov-Krasovskii particular. El comportamiento de los controladores obtenidos se compara con el dado por un control cl´ asico LQR en un escenario de control de distancia en carretera. Copyright c 2012 CEA. Publicado por Elsevier Espa˜na, S.L. Todos los derechos reservados. Palabras Clave: Redes de comunicaci´ on, Compensaci´ on de retrasos, M´ etodos de Lyapunov, Control ´ optimo, Retardo temporal. 1. Introducci´ on El notable desarrollo que la implantaci´ on de redes de comunicaciones ha tenido en muchos ´ ambitos de nuestra sociedad, ha propiciado un renovado inter´ es de la Comunidad de Control por la utilizaci´ on de redes de prop´ osito general para la construcci´ on de lazos de realimentaci´ on en aplicaciones de control autom´ atico. En otras palabras, emplear redes en principio no dise˜ nadas para operar en tiempo real, para cerrar lazos de control. Esta nueva disciplina se ha dado en llamar, sistemas de control en red,networked control systems en ingl´ es o, sencillamente, NCS. Los beneficios asociados al empleo de redes de datos convencionales para aplicaciones de control son m´ ultiples, Hespanha et al. (2007), Salt et al. (2008): reducci´ on de costes, al no ser necesario establecer redes espec´ ıficas para aplicaciones de control; flexibilidad y portabilidad, ya que los lazos de control trabajan sobre tecnolog´ ıas bien establecidas en el mercado, etc. No obstante, la introducci´ on de una red de comunicaciones para cerrar lazos de control introduce notables retos desde el punto de vista del dise˜ no de la estrategia de control, as´ ı como de la estructura, topolog´ ıa y protocolos de la propia red. Los problemas ∗Autor en correspondencia Correos electr´onicos: [email protected] (Pablo Mill´ an ), [email protected] (Luis Orihuela), [email protected] (Carlos Vivas), [email protected] (Francisco R. Rubio) que conlleva esta tecnolog´ ıa derivan de la propia imperfecci´ on del proceso de comunicaci´ on: retrasos de transmisi´ on, p´ erdidas de informaci´ on, cuantificaci´ on de datos, etc. La mayor´ ıa de las redes de datos hoy d´ ıa disponibles est´ an basadas en la transmisi´ on de paquetes de datos sobre protocolos fiables, orientados a preservar la integridad de la informaci´ on transmitida, lo que lleva asociado latencias en general no acotadas. Estas especificaciones son dif´ ıcilmente compatibles con los estrictos requerimientos de tiempo real de un lazo de control que, como es bien sabido, imponen importantes restricciones en t´ erminos de latencia y p´ erdidas de informaci´ on. El problema es a´ un m´ as severo si el canal de comunicaciones es inal´ ambrico (WiFi, Bluetooth, ZigBee), ya que en estos casos las latencias se incrementan y el ancho de banda disponible suele ser otra restricci´ on adicional. La mayor parte de los trabajos sobre control de sistemas en red extienden los resultados de la teor´ ıa de control de sistemas discretos, considerando las peculiaridades del flujo de informaci´ on en NCS. El objetivo de estos trabajos es garantizar estabilidad asint´ otica o pr´ actica de los sistemas controlados frente a retrasos y/op ´ erdidas de informaci´ on, ver Hokayem and Abdallah (2004) y Zampieri (2008). Pueden encontrarse trabajos que estudian la estabilidad de NCS frente a retrasos en las comunicaciones, Nikolakopoulos et al. (2008); Naghshtabrizi and Hespanha (2005); frente a p´ erdidas de datos, Xiong and Lam (2007); Azimi-Sadjadi (2003), con tasas de comunicaci´ on limi- Pablo Millán et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 9 (2012) 14–23 15 tadas, Tatikonda and Mitter (2004), o con muestreo basado en eventos, Dormido et al. (2008). Una herramienta muy utilizada para estudiar la estabilidad de los NCS son los funcionales de Lyapunov-Krasovskii, Mahmoud (2000). Con una correcta definici´ on del funcional pueden tenerse en cuenta los retrasos y las p´ erdidas de paquetes inducidas por la red. Los funcionales de Lyapunov-Krasovskii han sido ampliamente utilizados para estudiar la estabilidad de sistemas con retrasos, v´ ease por ejemplo Zhang and Yu (2008); Xu and Lam (2007) y las referencias citadas en ´ estos. A partir de la publicaci´ on de Mikheev et al. (1988), en la que un sistema muestreado era descrito como un sistema con retraso en la entrada, las contribuciones en el campo de sistemas continuos con retrasos pasaron a aplicarse a los sistemas muestreados y, m´ as recientemente, a los sistemas de control a trav´ es de red, v´ ease, por ejemplo, Yue et al. (2005); Meng et al. (2009). En la pr´ actica, sin embargo, no es s´ olo importante garantizar la estabilidad del sistema controlado a trav´ es de red, sino que es deseable poder imponer un adecuado nivel de desempe˜ no. Un modo apropiado de tratar este problema es recurrir al control ´ optimo o al control de coste garantizado, cuyo objetivo es dise˜ nar controladores que, respectivamente, minimicen o garanticen un valor m´ aximo para un ´ ındice de comportamiento preestablecido. Con respecto al control ´ optimo para sistemas con retrasos, muchos han sido los intentos de dar una soluci´ on satisfactoria a este problema. Debemos aqu´ ı mencionar los enfoques basados en el Principio del m´aximo, Kharatishvili (1961), Control de coste garantizado mediante la soluci´ on de desigualdades lineales matriciales (LMIs), Esfahani et al. (1998), el uso de operadores en espacios de dimensi´ on infinita Delfour et al. (1975), y el uso de los principios de la Programaci´ on Din´ amica, Krasovskii (1962), Ross and Fl¨ ugge-Lotz (1969), Zhang et al. (2006). En el contexto de la aplicaci´ on concreta de estos resultados para sistemas controlados a trav´ es de red, pueden encontrarse en los ´ ultimos a˜ nos algunos trabajos para redes que introducen retrasos, Kosmidou and Boutalis (2006), o p´ erdidas de paquetes, Sinopoli et al. (2005); Gupta et al. (2007). ´ Estos ´ ultimos emplean una descripci´ on estoc´ astica de las p´ erdidas de paquetes y utilizan modificaciones del filtro de Kalman cl´ asico. En este trabajo se presenta un m´ etodo general para el control ´ optimo de sistemas a trav´ es de red empleando funcionales de Lyapunov-Krasovskii. Adicionalmente, se introducen restricciones en la ganancia L2del sistema, imponiendo as´ ıun cierto nivel de atenuaci´ on de las perturbaciones en la salida del sistema. El esquema utilizado permite tener en cuenta retrasos en ambos sentidos de la comunicaci´ on (sensor-controlador y controlador-actuador) as´ ı como eventuales p´ erdidas de paquetes, que se modelar´ an como retrasos adicionales en la comunicaci´ on. Los datos de partida del problema son cotas para el retraso inducido por la red y para el m´ aximo n´ umero de p´ erdidas de paquetes consecutivas. Asimismo, se especifica un valor m´ aximo aceptable para la norma L2del sistema y un funcional de coste. A partir de estos datos, el desarrollo de la soluci´ on se basa en el dise˜ no de un funcional de Lyapunov-Krasovskii. Tras ciertos desarrollos matem´ aticos ser´ a necesario resolver un conjunto de Actuador Planta Sensor Controlador τca τsc Figura 1: Esquema de un control basado en red desigualdades lineales matriciales (LMIs) para probar la estabilidad del sistema. Dichos LMIs proporcionar´ an un controlador que trata de minimizar el funcional de coste teniendo en cuenta las caracter´ ısticas de la red y la cota impuesta en la norma L2 del sistema. El art´ ıculo est´ a estructurado del siguiente modo. En la secci´ on 2 se lleva a cabo la descripci´ on del problema de control, detallando tambi´ en el modelo utilizado para el tratamiento matem´ atico del NCS. En la secci´ on 3 se formula un lema para introducir una soluci´ on general al problema, v´ alida para cualquier funcional de Lyapunov-Krasovskii que cumpla ciertas condiciones de estructura y continuidad. En la secci´ on4sederiva una soluci´ on particular al problema teniendo en cuenta el resultado de la secci´ on anterior. En la secci´ on 5 se aplica el m´ etodo de dise˜ no a un sistema concreto, al objeto de ilustrar el comportamiento del controlador dise˜ nado. Por ´ ultimo, en la secci´ on 6 se presentan las principales conclusiones que pueden extraerse de este trabajo. 2. Descripci´ on del problema Consid´ erese un sistema continuo perturbado descrito en el espacio de estados: ˙x(t)=Ax(t)+Bu(t)+Bωω(t),(1) z(t)=Cx(t)+Du(t),(2) x(t0)=x0,(3) donde x(t)∈Rn,u(t)∈Rmyz(t)∈Rqson el vector de estado, el vector de se˜ nales de control y la salida, respectivamente; ω(t) denota las perturbaciones externas; A,ByBωson matrices constantes de dimensiones adecuadas y x0es la condici´ on inicial. Sup´ ongase que el sistema (1)-(3) es controlado a trav´ es de una red de comunicaciones, como ilustra la Figura 1. La introducci´ on de dicha red hace que, bajo una ley de control lineal, el sistema pueda ser descrito como un sistema continuo con una se˜ nal de control retrasada, idea que fue introducida por primera vez en Mikheev et al. (1988). El sensor muestrea la salida de la planta de forma peri´ odica, en los instantes t=jkh, siendo hel tiempo de muestreo, y siendo jk(k=1,2,3,..)n ´ umeros enteros tales que {j1,j2,j3, ...}⊆ {1,2,3, ...}yjk<jk+1. De esta forma, pueden tenerse en cuenta posibles p´ erdidas de paquetes por la red. Por ejemplo, observando la Figura 2, en el instante dado por jkhse env´ ıa un paquete que se recibe correctamente en tk. A continuaci´ on se pierden Actuador Planta Sensor Controlador τca τsc 16 Pablo Millán et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 9 (2012) 14–23 sensor controlador actuador jkhjk+1h τsc tktk+1 τca Figura 2: Esquema de tiempos τ(t) τM τsa(k) τm tktk+1 tk+2 tk+3 t Figura 3: Evoluci´ on cualitativa de τ(t) dos paquetes (marcados con una cruz) de forma consecutiva. El siguiente paquete que se recibe es el muestreado en el instante determinado por jk+1h=(jk+3)h. Se define el intervalo gen´ erico t∈[tk,tk+1) como el intervalo de tiempo en el que la se˜ nal de control aplicada a la planta permanece constante. El instante tkes el tiempo en el que la se˜ nal de control, correspondiente al estado muestreado en t=jkh, alcanza la planta. Por tanto, la se˜ nal de control puede ser descrita del siguiente modo: u(t)=Kx(tk−τsc(k)−τca(k)),t∈[tk,tk+1),(4) donde τsc(k)yτca(k) son los retrasos que introduce la red para los datos muestreados en t=jkh, en el sentido sensorcontrolador y controlador-actuador, respectivamente (ver Figura 1). El retraso total de ida y vuelta τsa(k) se define seg´ un τsa(k)=τsc(k)+τca(k). En la Figura 2 puede verse un esquema de tiempos orientativo en el que se representan los retrasos y las p´ erdidas de paquetes. Como se aprecia, cada p´ erdida de paquete hace que el intervalo gen´ erico t∈[tk,tk+1) se prolongue un tiempo de muestreo adicional. De este modo, el sistema controlado (1)-(3) puede reescribirse como: ˙x(t)=Ax(t)+BKx(t−τ(t)) +Bωω(t),(5) z(t)=Cx(t)+DKx(t−τ(t)),∀t∈[tk,tk+1),(6) x(t)=φ(t),t∈[t0−τM,t0],(7) donde τ(t)=t−tk+τsa(k), y τMes el retraso m´ aximo admisible (ver Definici´ on 1). Es f´ acil comprobar que τ(t)es una funci´ on continua a trozos, ya que representa la diferencia temporal entre el tiempo de muestreo k-´ esimo, jkh, y el tiempo actual t. Tal y como se han definido previamente, cada p´ erdida de paquete conlleva un aumento de τ(t) de hasta un tiempo de muestreo. La Figura 3 ilustra una posible evoluci´ on de τ(t). Asociada al sistema (5)-(7) se define la siguiente funci´ on de coste a minimizar: J(x(t),u(t)) =∞ 0xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)dt,(8) donde Q,Rson matrices definidas positivas. A continuaci´ on se introducen un conjunto de hip´ otesis que ser´ an necesarias en adelante. Hip´otesis 1. 1. El sensor act´ ua de forma peri´ odica. El controlador y el actuador lo hacen bas´ andose en eventos. Es decir, el controlador calcula una nueva se˜ nal de control tan pronto como recibe una nueva medida del sensor, y el actuador aplica una nueva se˜ nal de control a la planta tan pronto como la recibe, manteni´ endola con un mantenedor de orden cero. 2. Existen dos constantes τsa,τsa ≥0, tales que se verifica la siguiente desigualdad (retraso de ida y vuelta acotado): τsa ≤τsa(k)≤τsa,∀k∈N.(9) 3. El n´ umero m´ aximo de p´ erdidas de paquetes consecutivas entre el sensor y el actuador est´ a acotado por np∈N. Adem´ as, la siguiente definici´ on ser´ a utilizada en lo sucesivo. Definici´ on 1. Atendiendo a las Hip´ otesis 2 y 3, es posible definir dos constantes τm≥0yτM>τ mtales que: τ(t)≥τsa =τm,(10) τ(t)≤(1 +np)h+τsa =τM.(11) Nota. Atendiendo a esta definici´ on, el n´ umero m´ aximo de p´ erdidas de paquetes nps´ olo afecta al modelo en el valor del retraso m´ aximo total τM. Cada p´ erdida de paquete adicional hace aumentar la cota m´ axima para el retardo, al extender el periodo gen´ erico t∈[tk,tk+1). El objetivo de este trabajo es el dise˜ no de controladores ´ optimos con rechazo de perturbaciones L2para el control de sistemas a trav´ es de red. 3. Procedimiento General 3.1. Formulaci´on del problema A continuaci´ on se formula de forma gen´ erica el problema de control ´ optimo con rechazo de perturbaciones. Como se probar´ a despu´ es, el dise˜ no de un controlador apropiado para este problema podr´ a llevarse a cabo mediante la resoluci´ on de un problema de optimizaci´ on. Definici´ on 2. El problema de Control ´ Optimo con Rechazo de Perturbaciones Consid´ erese que el sistema LTI descrito por (5)-(7) es controlado a trav´ es de una red de comunicaciones, la cual satisface (10)-(11). Dados: Un nivel deseado de atenuaci´ on de perturbaciones γ,y Una funci´ on de coste cuadr´ atica J(x(t),u(t)) =∞ t0[xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)]dt, con Q,R≥ 0, sensor controlador actuador jkhjk+1h τsc tktk+1 τca τ(t) τM τsa(k) τm tktk+1 tk+2 tk+3 t Pablo Millán et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 9 (2012) 14–23 17 el problema de Control ´ Optimo con Rechazo de Perturbaciones consiste en encontrar un controlador lineal Ktal que: 1. El sistema en lazo cerrado sea asint´ oticamente estable para ω(t)≡0, 2. El controlador minimice la funci´ on de coste J(x(t),u(t)) para ω(t)≡0, 3. Bajo la suposici´ on de condiciones iniciales nulas, la salida controlada z(t) satisfaga z(t)2≤γω(t)2para cualquier perturbaci´ on no nula ω(t)∈L2[0,∞). Como se ha visto en el apartado anterior, el sistema controlado a trav´ es de red puede escribirse como un sistema con retrasos variables seg´ un (5)-(7). Adem´ as, dicho retraso variable es una funci´ on continua dentro del intervalo t∈[tk,tk+1). Por tanto, para estudiar la estabilidad del NCS pueden emplearse t´ ecnicas utilizadas en el ´ ambito de los sistemas con retrasos. Una de las t´ ecnicas m´ as utilizadas es aquella basada en funcionales de Lyapunov-Krasovskii. V´ ease por ejemplo Xu and Lam (2008) y las referencias citadas en ese art´ ıculo. Existen otras aproximaciones, como la de Lyapunov-Razumikhin, cuyos resultados se han comprobado m´ as conservadores para sistemas con retrasos variables en el tiempo. As´ ı, el primer paso para probar la estabilidad es escoger un funcional V(t,xt) que recoja las caracter´ ısticas del sistema bajo estudio. De esta forma, pueden incluirse t´ erminos para tener en cuenta retrasos variables acotados superior e inferiormente (v´ ease por ejemplo Jiang and Han (2008); Shao (2009)). Para comprobar que el sistema es estable, el funcional de Lyapunov-Krasovskii debe cumplir (Mahmoud (2000)): (a) α(φ(0))≤V(t,xt)≤β(φ) (b) ˙ V(t,xt)≤−(φ(0)) siendo α, β,  :R+→R+funciones continuas y no decrecientes. Para sistemas de control a trav´ es de redes, el sistema con retraso equivalente (5)-(7) s´ olo est´ a definido en intervalos finitos de tiempo, t∈[tk,tk+1). Por tanto, no es posible hallar la derivada del funcional en todo instante de tiempo para comprobar la condici´ on (b). Atendiendo a resultados en el campo de los sistemas h´ ıbridos Branicky et al. (1998), la soluci´ on a este problema pasa por encontrar un funcional cuya derivada verifique (b) dentro de los intervalos de tiempo finito y que, adem´ as, en los instantes entre intervalos, el funcional no crezca, es decir, (b1) ˙ V(t,xt)≤−(φ(0)),∀t∈[tk,tk+1) (b2) V(t− k,xt− k)≥V(t+ k,xt+ k),∀k∈N+ En la pr´ actica suelen escogerse funcionales continuos, de forma que no se produzcan discontinuidades en los tiempos de muestreo tky la condici´ on (b2) se verifique. Teniendo en cuenta todas estas consideraciones, en la siguiente secci´ on se presenta una soluci´ on general para el problema de Control ´ Optimo con Rechazo de Perturbaciones basado en funcionales de Lyapunov-Krasovskii. 3.2. Resultado principal Para el desarrollo del resultado principal es necesario formular una serie de suposiciones o hip´ otesis previas. Hip´otesis 2. Dado un funcional de Lyapunov-Krasovskii continuo y cuadr´ atico (LKF) V(t), se asume que su derivada temporal para t∈[tk,tk+1) puede escribirse de la siguiente forma: ˙ V(t)≤ξT(t)Ξ(K,γ)ξ(t)−z(t)Tz(t)+γ2ωT(t)ω(t),(12) donde ξ(t)∈Rnξes un vector de estado aumentado y Ξ(K,γ)∈Rnξ×nξes una matriz sim´ etrica que depende, entre otras, del controlador Ky del nivel deseado de atenuaci´ on de perturbaciones γ. Hip´otesis 3. El funcional de coste Jpuede escribirse como: J=∞ t0 [ξT(t)Φ(K)ξ(t)]dt,(13) donde Φ(K) es una matriz semidefinida positiva que puede depender del controlador K. Nota. En el campo NCS, es com´ un que la derivada del funcional pueda ser reescrita como (12). V´ ease por ejemplo Yue et al. (2005), Jiang et al. (2008) o Meng et al. (2009). Incluso en trabajos en los que no se tiene en cuenta el rechazo de perturbaciones, la derivada del LKF se escribe de la misma forma con z(t)≡0yω(t)≡0. Por tanto, la Hip´ otesis 1 no es en absoluto restrictiva. Nota. La Hip´ otesis 2 es tambi´ en una restricci´ on suave. Por ejemplo, si el vector de estado aumentado se define como ξT(t)=xT(t)xT(t−τ(t)),esf ´ acil comprobar que Φ(K)=diag(Q,KTRK). A continuaci´ on, se presenta el resultado general en forma de lema que ofrece una soluci´ on gen´ erica al problema que nos ocupa. Lema 1. Sup´ ongase que se verifican las Hip´ otesis 2 y 3. Entonces, el problema de Control ´ Optimo con Rechazo de Perturbaciones puede ser resuelto encontrando un controlador K tal que: m´ ın Kα, (14) sujeto a αΞ(K,γ)<−Φ(K) (15) α>0,α∈R(16) Demostraci´ on. Para probar este lema, se va a demostrar que un controlador que resuelva el problema de optimizaci´ on (14)- (16) tambi´ en hace que se satisfagan todas las condiciones de la Definici´ on 2. 1) Cuando no hay perturbaciones, esto es ω(t)≡0, y teniendo en cuenta (12) para t∈[tk,tk+1), se verifica lo siguiente: ˙ V(t)≤ξTΞ(K,γ)ξ(t)−z(t)Tz(t)+γ2ωT(t)ω(t) ≤ξTΞ(K,γ)ξ(t).(17) A partir de (17) y teniendo presentes la Hip´ otesis 3 y las ecuaciones (15)-(16), puede comprobarse que V(t) decrece para t∈[tk,tk+1). Como V(t) es continuo en [t0,∞), entonces 18 Pablo Millán et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 9 (2012) 14–23 ˙ V(xt)≤−x(t)2para un >0 suficientemente peque˜ no, lo cual asegura la estabilidad asint´ otica del sistema (5)-(7), ver Hale and Verduyn Lunel (1993). La condici´ on (b1) est´ a, por tanto, verificada. N´ otese que al ser el funcional V(t) continuo por la Hip´ otesis 2, la condici´ on (b2) se verifica de facto. 2) Para ω(t)≡0, operando a partir de la condici´ on (15) y la Hip´ otesis 2 se obtiene: ˙ V(t)≤ξTΞ(K,γ)ξ(t)<−ξT(t)1 αΦ(K)ξ(t).(18) Integrando ambos lados de (18) desde tkhasta t∈[tk,tk+1), se llega a V(t)−V(tk)<−1 αt tk [xT(s)Qx(s)+uT(s)Ru(s)]ds. Obviamente ∞ k=1[tk,tk+1)=[t0,∞). Al cumplirse que V(t) es continuo en t, puede verse que, V(t)−V(t0)≤−1 αt t0 [xT(s)Qx(s)+uT(s)Ru(s)]ds. Cuando t→∞, la estabilidad asint´ otica del sistema implica que V(t)→0, as´ ı que, −V(t0)<−1 α∞ t0 [xT(s)Qx(s)+uT(s)Ru(s)]ds ⇒J<αV(t0). El valor de V(t0) depende de las condiciones iniciales φ(t) y es una medida de su norma. Por tanto, minimizando αla funci´ on de coste Jes minimizada independientemente del valor que tengan las condiciones iniciales. 3) Para ω0, bajo condiciones iniciales nulas se tiene que: ˙ V(t)≤−z(t)Tz(t)+γ2ωT(t)ω(t).(19) Integrando ambos lados de (19) y utilizando los mismo argumentos de continuidad que antes, puede verse que, V(t)−V(t0)≤−t t0 zT(s)z(s)ds +t t0 γ2ωT(s)ω(s)ds. Cuando el tiempo tiende a infinito t→∞, y teniendo en cuenta que bajo condiciones iniciales nulas se cumple V(t0)= 0 y que el funcional es definido positivo, se puede llegar a la siguiente ecuaci´ on: ∞ t0 zT(s)z(s)ds ≤∞ t0 γ2ωT(s)ω(s)ds, por lo que z(t)2≤γω(t)2.  El Lema 1 propone una soluci´ on general para el problema de Control ´ Optimo con Rechazo de Perturbaciones. Puede utilizarse para diferentes LKFs y para distintas restricciones de la red. 4. Una soluci´ on particular En esta secci´ on utilizaremos los resultados anteriores para encontrar una soluci´ on particular al problema de control que nos ocupa. El funcional de Lyapunov-Krasovskii en el que se basa la soluci´ on es el siguiente: V(t)=xT(t)Px(t)+t t−τm xT(s)Q1x(s)ds +t t−τM xT(s)Q2x(s)ds +0 −τMt t+θ ˙xT(s)Z1˙x(s)dsdθ+−τm −τMt t+θ ˙xT(s)Z2˙x(s)dsdθ. (20) donde todas las matrices son definidas positivas. De esta forma conseguimos un funcional definido positivo que adem´ as es continuo. El siguiente teorema propone una soluci´ on particular para el problema de Control ´ Optimo con Rechazo de Perturbaciones. Teorema 1. Dados los escalares τm,τM,γ,ǫ > 0 y las matrices QyR, si las matrices X,˜ Q1,˜ Q2,˜ Z1,˜ Z2>0yY,˜ Ni,˜ Mi,˜ Si, (i=1,2) de dimensiones apropiadas resuelven el siguiente problema de optimizaci´ on para los dos v´ ertices del politopo τ(t) definidos por (10)-(11), min α sujeto a (21), entonces, el controlador ´ optimo con rechazo de perturbaciones para el sistema (5)-(7) viene dado por K=YX−1. Demostraci´ on. Para probar el teorema anterior es suficiente mostrar que la derivada del LKF (20) puede escribirse de la forma exigida en la Hip´ otesis 2 (12). Tambi´ en habr´ a que comprobar que el problema de optimizaci´ on que se plantea es equivalente a aquel descrito por las ecuaciones (14)-(16) del Lema 1. Tomando la derivada temporal de V(t) a lo largo de las trayectorias de (5) se obtiene que, para t∈[tk,tk+1): ˙ V(t)=2xT(t)P˙x(t)+xT(t)(Q1+Q2)x(t) −xT(t−τm)Q1x(t−τm)−xT(t−τM)Q2x(t−τM) +˙xT(t)(τMZ1+∆τZ2)˙x(t)−t t−τM ˙xT(s)Z1˙x(s)ds −t−τm t−τM ˙xT(s)Z2˙x(s)ds.(22) El vector de estado aumentado se define como: ξT(t)= xT(t),xT(t−τ(t)),xT(t−τm),xT(t−τM),ω T(t). Ahora se a˜ naden en el lado derecho de la igualdad (22) los siguientes t´ erminos nulos: 0=2ξT(t)¯ Nx(t)−x(t−τ(t)) −t t−τ(t) ˙x(s)ds, 0=2ξT(t)¯ Sx(t−τ(t)) −x(t−τM)−t−τ(t) t−τM ˙x(s)ds, 0=2ξT(t)¯ Mx(t−τm)−x(t−τ(t)) −t−τm t−τ(t) ˙x(s)ds, 0=γ2ωT(t)ω(t)−γ2ωT(t)ω(t), 0=ξT(t)¯ C¯ CTξ(t)−zT(t)z(t). Pablo Millán et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 9 (2012) 14–23 19 ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ˜ Γ(τ(t)+ε)˜ N(τ(t)+ε−τm)˜ M(τM+ε−τ(t)) ˜ SτM˜ A∆τ˜ A˜ C˜ Q˜ R ∗−(τ(t)+ε)˜ Z10000000 ∗∗−(τ(t)+ε−τm)Z2000000 ∗∗ ∗ −(τM+ε−τ(t))( ˜ Z1+˜ Z2)0 0 00 0 ∗∗ ∗ ∗ −τMX˜ Z−1 1X0000 ∗∗ ∗ ∗ ∗−∆τX˜ Z−1 2X00 0 ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗−I00 ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗−αQ−10 ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗∗−αR−1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ <0,(21) donde ˜ Γ= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ θ11 θ12 ˜ M1−˜ S1Bω ∗θ22 ˜ M2−˜ S20 ∗∗− ˜ Q100 ∗∗ ∗− ˜ Q20 ∗∗ ∗ ∗−γ2I ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , ˜ NT=[˜ NT 1˜ NT 20 0 0]; ˜ MT=[˜ MT 1˜ MT 20 0 0]; ˜ ST=[˜ ST 1˜ ST 20 0 0]; ˜ CT=[CXTDY 0 0 0]; ˜ AT=[AX BY 00Bω]; ˜ QT=[X0000]; ˜ RT=[0 Y0 0 0]; θ11 =AX +XAT+˜ Q1+˜ Q2+˜ N1+˜ NT 1; θ12 =BY −˜ N1+˜ S1−˜ M1+˜ NT 2; θ22 =−˜ N2−˜ NT 2+˜ S2+˜ ST 2−˜ M2−˜ MT 2; donde: ¯ NT=[NT 1NT 20 0 0]; ¯ MT=[MT 1MT 20 0 0]; ¯ ST=[ST 1ST 20 0 0]; ¯ CT=[CDK000]. Con estos t´ erminos, la ecuaci´ on (22) puede reescribirse de la siguiente manera: ˙ V(t)=ξT(t)(Γ+ ¯ C¯ CT)ξ(t)+˙xT(t)(τMZ1+∆τZ2)˙x(t) −t t−τ(t) ˙xT(s)Z1˙x(s)ds −2ξT(t)¯ Nt t−τ(t) ˙x(s)ds −t−τm t−τ(t) ˙xT(s)Z2˙x(s)ds −2ξT(t)¯ Mt−τm t−τ(t) ˙x(s)ds −t−τ(t) t−τM ˙xT(s)(Z1+Z2)˙x(s)ds −2ξT(t)¯ St−τ(t) t−τM ˙x(s)ds +γ2ωT(t)ω(t)−zT(t)z(t).(23) Ahora, si se hace uso de una propiedad muy conocida para la acotaci´ on del producto escalar de dos vectores: −aTXa −2bTa≤bTX−1b,X>0, se pueden obtener cotas superiores para los t´ erminos integrales de la ecuaci´ on (23): −t t−τ(t) ˙xT(s)Z1˙x(s)ds −2ξT(t)¯ Nt t−τ(t) ˙x(s)ds ≤(τ(t)+ε)ξT(t)¯ NZ−1 1¯ NTξ(t), −t−τm t−τ(t) ˙xT(s)Z2˙x(s)ds −2ξT(t)¯ Mt−τm t−τ(t) ˙x(s)ds ≤(τ(t)−τm+ε)ξT(t)¯ MZ−1 2¯ MTξ(t), −t−τ(t) t−τM ˙xT(s)(Z1+Z2)˙x(s)ds −2ξT(t)¯ St−τ(t) t−τM ˙x(s)ds ≤(τM−τ(t)+ε)ξT(t)¯ S(Z1+Z2)−1¯ STξ(t).(24) donde las constantes ε∈R+han sido introducidas por conveniencias de dise˜ no (ver Nota a continuaci´ on). Combinando (23) con las cotas de (24), se puede mostrar que, para t∈ [tk,tk+1), ˙ V(t)≤ξT(t)Γ+(τ(t)+ε)¯ NZ−1 1¯ NT +(τ(t)−τm+ε)¯ MZ−1 2¯ MT +(τM−τ(t)+ε)¯ S(Z1+Z2)−1¯ ST+¯ C¯ CT+¯ AτMZ1¯ AT +¯ A∆τZ2¯ ATξ(t)+γ2ωT(t)ω(t)−zT(t)z(t).(25) donde ¯ AT=[ABK00Bω]. De este modo, si se define Ξ(K,γ) como: Ξ(K,γ)Γ+(τ(t)+ε)¯ NZ−1 1¯ NT+(τ(t)−τm+ε)¯ MZ−1 2¯ MT +(τM−τ(t)+ε)¯ S(Z1+Z2)−1¯ ST +¯ C¯ CT +¯ AτMZ1¯ AT+¯ A∆τZ2¯ AT,(26) se llega finalmente a que la derivada del LKF (20) puede escribirse como en la Hip´ otesis 2 (12). S´ olo queda por demostrar que los problemas de optimizaci´ on del Lema 1 y del Teorema 1 son equivalentes. Consid´ erese la ecuaci´ on (15) del Lema1ylaHip ´ otesis 3. αΞ(K,γ)<−Φ(K)⇔Ξ(K,γ)−¯ KT−R α¯ K−¯ IT−Q α¯ I<0 (27) 20 Pablo Millán et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 9 (2012) 14–23 donde ¯ KT=[0 K000] Ty¯ IT=[I0000] T. A partir de las ecuaciones (26) y (27), aplicando complementos de Schur, se obtiene una desigualdad matricial con la misma estructura que (21). Para obtener definitivamente (21) es suficiente introducir las siguientes definiciones X=P−1,˜ Qi=XQiX, ˜ Mi=XMiX,˜ Ni=XNiX,˜ Si=XSiX,˜ Zi=XZiX,i=1,2, as´ ı como prey post-multiplicar la desigualdad matricial por diag{X,X,X,X,I,X,X,X,I,I,I,I,I}y su traspuesta.  Nota. El par´ ametro escalar ε>0 se introduce para que los LMIs que se obtendr´ an en la pr´ oxima secci´ on sean factibles. Si no se hiciese esto, aparecer´ ıan t´ erminos nulos en las diagonales de algunas matrices al resolver en los v´ ertices del politopo τ(t). Esta modificaci´ on no introduce ning´ un conservadurismo en el m´ etodo, ya que ε>0 puede escogerse tan peque˜ no como se desee, por ejemplo, ε→0+. 4.1. Algoritmo para el dise˜no de controladores N´ otese que (21) no es una desigualdad lineal. Existe una idea o procedimiento (ver El Ghaoui et al. (1997)) el cual nos permite abordar la desigualdad matricial no lineal (21) introduciendo nuevas matrices y desigualdades lineales. Lo primero que hay que hacer es definir dos variables T1,T2tales que verifiquen, X˜ Z−1 1X≥T1>0,X˜ Z−1 2X≥T2>0,(28) que es equivalente a: −T−1 1X−1 X−1−˜ Z−1 1≤0,−T−1 2X−1 X−1−˜ Z−1 2≤0.(29) Ahora se introducen unas nuevas variables ¯ X=X−1,¯ Ti=T−1 i,¯ Zi=˜ Z−1 ii=1,2,(30) de forma que la ecuaci´ on (29) puede reescribirse como, −¯ T1¯ X ¯ X−¯ Z1≤0,−¯ T2¯ X ¯ X−¯ Z2≤0.(31) De esta forma, en vez de utilizar la condici´ on original (21), se puede plantear el siguiente problema de minimizaci´ on no lineal que utiliza desigualdades matriciales lineales (LMIs): Minimizar Tr ¯ XX +¯ T1T1+¯ T2T2+¯ Z1˜ Z1+¯ Z2˜ Z2 sujeto a ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˜ Λ<0,−¯ T1¯ X ¯ X−¯ Z1≤0,−¯ T2¯ X ¯ X−¯ Z2≤0. XI I¯ X≥0,T1I I¯ T1≥0,T2I I¯ T2≥0, (32) donde ˜ Λes la matriz que se requer´ ıa que fuese negativa definida en (21), pero sustituyendo los elementos no lineales X˜ Z−1 iXpor Ti,i=1,2. Si se observan las ecuaciones (28), es inmediato ver que, si se verifica ˜ Λ<0, entonces (21) tambi´ en se satisface. El problema de minimizaci´ on se introduce para forzar que la variables (30) tiendan a las inversas de las matrices originales. Cuando los LMIs de la segunda fila de las resticciones (32) saturan, se alcanza el ´ optimo y se verifica (32). Una vez planteado el problema de minimizaci´ on que sustituye la desigualdad no lineal, se expondr´ a a continuaci´ on un algoritmo para resolverlo. El Teorema 2.1 de El Ghaoui et al. (1997) asegura la convergencia de este algoritmo. Algoritmo 1: 1. Dados los escalares τm,τM,γ,ǫ > 0, encontrar una posible soluci´ on bajo las condiciones de (32): (X0,¯ X0,Y0,¯ Ti0,Ti0,˜ Qi0,˜ Ni0,˜ Mi0,˜ Si0,˜ Zi0,¯ Zi0,(i=1,2)) Inicializar k=0. Si no hubiese soluci´ on, salir del algoritmo. 2. Resolver los siguientes LMIs cuya soluci´ on est´ a dada por el conjunto de matrices (X,¯ X,Y,¯ Ti,Ti,˜ Qi,˜ Ni,˜ Mi,˜ Si, ˜ Zi,¯ Zi,(i=1,2)) Minimizar Tr(¯ XkX+Xk¯ X+¯ T1kT1+T1k¯ T1+¯ T2kT2 +T2k¯ T2+¯ Z1k˜ Z1+˜ Z1k¯ Z1+¯ Z2k˜ Z2+˜ Z2k¯ Z2) sujeto a los LMIs de (32) Actualizar Xk+1=X,¯ Xk+1=¯ X,Yk+1=Y,¯ Ti,k+1=¯ Ti, Ti,k+1=Ti,˜ Qi,k+1=˜ Qi,˜ Ni,k+1=˜ Ni,˜ Mi,k+1=˜ Mi,˜ Si,k+1= ˜ Si,˜ Zi,k+1=˜ Zi,¯ Zi,k+1=¯ Zi,i=1,2. 3. Si se satisface la condici´ on (21), entonces el controlador queda definido por K=YX−1. Finalizar el algoritmo. En otro caso, se hace k=k+1 y se vuelve al Paso 2. En el primer y el segundo paso del algoritmo se resuelven LMIs, para lo que pueden utilizarse algoritmos eficientes de punto interior. Como se asegura en El Ghaoui et al. (1997), cuando el algoritmo converge entonces ¯ XX =I,¯ TiTi=I, ¯ Zi˜ Zi=I,i=1,2. Herramientas como Matlab disponen de paquetes adecuados para la resoluci´ on de LMIs. Nota. Obs´ ervese que para obtener el controlador deben resolverse dos problemas de optimizaci´ on con restricciones tipo LMI. ´ Estos son el problema de minimizaci´ on de αyeldela minimizaci´ on de la suma de las trazas de ciertas matrices. El primero de ellos se encuentra en un nivel m´ as alto de jerarqu´ ıa y su resoluci´ on no presenta ninguna dificultad dado que la variable αes un escalar y su minimizaci´ on constituye un problema convexo (ver Lema 1). Para optimizar αpuede emplearse un algoritmo de bisecci´ on. 5. Aplicaci´ on al control de distancia a trav´ es de red En esta secci´ on se aplica el control ´ optimo basado en red explicado anteriormente a un problema de control concreto. Para poner de manifiesto las ventajas de este tipo de controladores en un NCS, se comparar´ a con un control ´ optimo LQR dise˜ nado sin tener en cuenta la presencia de retrasos de comunicaci´ on. Consideremos el problema de control de distancia en carretera. Supongamos un veh´ ıculo (coche 1), circulando a cierta velocidad desconocida y un segundo veh´ ıculo (coche 2) circulando detr´ as suya y tratando de mantener una cierta distancia Pablo Millán et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 9 (2012) 14–23 21 de referencia constante (ver Figura 4). Las ecuaciones de este sistema din´ amico se pueden escribir de la siguiente forma: e(t)=p1(t)−p2(t)−lr, ˙e(t)=v1(t)−v2(t)=y(t), ˙y(t)=a1(t)−a2(t).(33) Donde p(t), v(t)ya(t) denotan posiciones, velocidades y aceleraciones respectivamente, e(t)yy(t) son los errores en posici´ on y velocidad y los sub´ ındices de las variables denotan el veh´ ıculo al que se refieren. Por otra parte, el equilibrio de fuerzas sobre cada veh´ ıculo viene dado por: Fi(t)−Fa,i(t)−Fr,i(t)=miai(t),i=1,2,(34) donde Fies la fuerza que ejerce el motor de cada veh´ ıculo, Fa,ies la fuerza debida al rozamiento aerodin´ amico y Fr,ies la resistencia a rodadura, dadas por: Fa(t)=1 2caATρairev2(t),(35) Fr(t)=crmgcos(β(t)),(36) donde las constantes involucradas en la ecuaci´ on anterior son: ca,cr: coeficientes aerodin´ amicos y a rodadura. AT:´ area transversal del veh´ ıculo. ρaire: densidad del aire. m: masa del veh´ ıculo. g: constante gravitacional. β(t): ´ angulo de inclinaci´ on de la carretera. Figura 4: Esquema del problema de control Se supondr´ a por simplicidad que los veh´ ıculos son iguales y que la inclinaci´ on de la carretera es constante. Por otro lado, se realiza una aproximaci´ on lineal de la fuerza aerodin´ amica, en torno a la velocidad nominal v0, utilizando los t´ erminos de la serie de Taylor truncada convenientemente. De este modo, las ecuaciones del sistema vienen dadas por: d dt ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ e(t) e(t) y(t) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  =⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 0 00 1 00−c3c0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ e(t) e(t) y(t) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  +⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 −c3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  F2(t)+⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 c3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  F1(t) (37) con c0=v0caATρaire yc3=1/m. Supongamos que el coche 2 se comunica con el coche 1 solicitando conocer su velocidad y posici´ on cada tiempo de muestreo h. El objetivo es calcular la acci´ on de control F2(t) de manera que la distancia con el coche 1 se mantenga en el valor prescrito lr. El controlador est´ a implementado localmente en el coche 2, pero para calcular la se˜ nal de control necesita conocer variables propias del primer veh´ ıculo. Estos datos pueden experimentar p´ erdidas y retrasos de comunicaci´ on ya sea por el mecanismo de comunicaci´ on entre los veh´ ıculos o por el tiempo de acceso al bus de comunicaci´ on propio de cada uno. De esta forma, la se˜ nal de control F2(t) viene dada por: F2(t)=K⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ e(t−τ(t)) e(t−τ(t)) y(t−τ(t)) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  (38) donde ya se han tenido en cuenta los retrasos de comunicaci´ on mediante la variable τ(t). Se supondr´ an los siguientes datos para los coches: m= 1200 Kg,AT=1,5m2,ca=0,15, cr=0,015, densidad del aire ρaire =1,21 Kg/m3y una velocidad nominal de vn=120 Km/h. Para el dise˜ no de los controladores se va a ponderar s´ olo el error en el estado Q=10−5⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 0 0 0 100 0 000,01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  ,ysesupondr´ a que el periodo de muestreo es h=500 ms. Asimismo, se asume que el retraso inducido por la red var´ ıa entre 100 y 200 milisegundos, pudi´ endose perder como m´ aximo 1 paquete de forma consecutiva. Por tanto, el retraso m´ aximo es τM=200 +(1 +1)500 =1200 ms. Los controladores obtenidos son: Controlador local LQR discreto: KLQR =[1333 2882 2448] Controlador ´ optimo local basado en LKF: KLKF,loc = [109 813 1137,5] Control ´ optimo basado en LKF para la red considerada: KLKF =[67 540 945] 0 10 20 30 40 50 60 70 80 17 18 19 20 21 22 23 tiempo (s) Distancia entre vehículos (m) KLQR Referencia KLKF,loc Figura 5: Respuesta de los controladores ignorando los efectos inducidos por la red 010 20 30 40 50 60 70 80 17 18 19 20 21 22 23 tiempo (s) Distancia entre vehículos (m) K Referencia K 22 Pablo Millán et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 9 (2012) 14–23 0 10 20 30 40 50 60 70 80 17 18 19 20 21 22 23 24 tiempo (s) Distancia entre vehículos (m) KLKF Referencia KLQR Figura 6: Respuesta de los controladores teniendo en cuenta la red de comunicaciones Para realizar las simulaciones se ha introducido en la red una probabilidad de p´ erdida de paquetes del 10 %. El controlador LKF dise˜ nado teniendo en cuenta el retraso m´ aximo inducido por la red no puede considerar el porcentaje de p´ erdidas inducido, ya que ´ este no puede ser traducido a retraso m´ aximo y requiere consideraciones de estabilidad estoc´ astica para su tratamiento. No obstante, se observar´ a que el controlador dise˜ nado presenta ciertas propiedades de robustez frente a la p´ erdida de datos. En las siguientes simulaciones el coche 2 trata de mantener una distancia de 20 metros con el coche 1, cuando ´ este circula a una velocidad de 120 Km/h. Antes de los 50 s de simulaci´ on, el primer coche frena durante dos segundos y luego acelera alcanzando otra vez los 120 Km/h. En la Figura 5 se muestra la respuesta de los controladores cuando se asume que el retraso de los datos enviados por la red es nulo. En la Figura 6 se comparan los controladores esta vez teniendo en cuenta los retrasos inducidos por la red de comunicaciones. 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 tiempo (s) Distancia entre vehiculos (m) KLKF Referencia KLQR Figura 7: Respuesta de los controladores introduciendo saturaci´ on en la se˜ nal de control En la Figura 5 se observa que la respuesta de ambos controladores es satisfactoria. Puede comprobarse adem´ as que las se˜ nales de control se mantienen en un rango razonable, as´ ı como un cierto grado de conservadurismo que se le asocia siempre a los controladores LKF y que hace que la respuesta para retrasos nulos sea algo m´ as lenta que la del controlador LQR. En la Figura 6 puede observarse como el controlador LQR no logra superar la respuesta del controlador basado en red, pro0 10 20 30 40 50 60 70 80 17 18 19 20 21 22 23 24 tiempo (s) Distancia entre vehículos (m) KLKF con γ libre KLKF con γ<1.8 KLKF con γ<0.8 Figura 8: Respuesta de los controladores con distinta γ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 16 18 20 22 24 Distancia vehículos (m) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 −4000 −2000 0 2000 tiempo (s) Acción de control (N) KLKF con R = 10−5 KLKF con R = 10−2 KLKF con R = 10−5 KLKF con R = 10−2 Figura 9: Respuesta de los controladores variando R duciendo oscilaciones que degradan el comportamiento del sistema en lazo cerrado. De hecho, el motivo por el cual el controlador LQR sigue estabilizando el sistema es porque no se han introducido saturaciones en la se˜ nal de control. Puede comprobarse que el controlador LQR requiere un esfuerzo de control en la pr´ actica irrealizable para estabilizar el sistema, mientras que el control LKF sigue manteniendo las se˜ nales de control en un rango aceptable. En la Figura 7, se introducen saturaciones en la se˜ nal de control en ±2000 N, mostrando que en este caso s´ olo el controlador LKF es capaz de estabilizar el sistema. En las siguientes gr´ aficas se muestra la respuesta de distintos controladores, que han sido ajustados de forma diferente para ilustrar c´ omo el m´ etodo propuesto cuenta con un buen n´ umero de grados de libertad que permiten mejorar el desempe˜ no seg´ un las especificaciones requeridas. En la Figura 8 se dise˜ nan tres controladores con el mismo funcional de coste pero aumentando la restricci´ on en el rechazo de perturbaciones. Se observa c´ omo a medida que se exige un mayor grado de atenuaci´ on las perturbaciones se rechazan mejor de forma progresiva, mientras que la respuesta del controlador se hace algo m´ as lenta. Por otro lado, en la Figura 9 se comparan dos controladores en los que la matriz Rque pondera la acci´ on de control es distinta. As´ ı se observa c´ omo puede lograrse acciones de control m´ as suaves sacrificando en cierto grado la velocidad de respuesta del controlador. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 17 18 19 20 21 22 23 24 tiempo (s) Distancia entre vehículos (m) KLKF Referencia KLQR 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 tiempo (s) Distancia entre vehiculos (m) K Referencia K 010 20 30 40 50 60 70 80 17 18 19 20 21 22 23 24 tiempo (s) Distancia entre vehículos (m) 010 20 30 40 50 60 70 80 16 18 20 22 24 Distancia vehículos (m) 010 20 30 40 50 60 70 80 −4000 −2000 0 2000 tiempo (s) Acción de control (N)