ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 46, Núm. 155, 2004, págs. 5 a 18
Dis ibuciones disc e as en MDS pa a
da os de disimila idad gene ados
median e cues iona ios
po
JUAN ANTONIO M. ORELLANA
JOSÉ FERNANDO VERA
ANDRÉS GONZÁLEZ CARMONA
Depa amen o de Es adís ica e I. O
Uni e sidad de G anada
ANTONIO PASCUAL ACOSTA
ANTONIO RUFIÁN LIZANA
Depa amen o de Es adís ica
Uni e sidad de Se illa
RESUMEN
En es e abajo se p opone la u ilización de dis ibuciones es adís-
icas disc e as como al e na i a a la dis ibución logno mal pa a la
modelización de da os de disimila idad p o enien es de escalas con
pocas modalidades en los modelos con i ma o ios MDS de Ramsay y
Ve a. Los esul ados ponen de mani ies o que las dis ibuciones más
ap opiadas son las mix u as Poisson-logno mal y Poisson-gaussiana
in e sa. El análisis de da os simulados con i ma la al a de adecuación
de un modelo con inuo a da os p o enien es de las escalas gene al-
men e u ilizadas en los p ocedimien os de sondeo de opinión subje i a
de compa ación de pa es.
6ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Palab as cla e: Mul idimensional scaling, Logno mal, Poisson-
logno mal, Poisson-gaussiana in e sa, Máxima e osimili ud.
Clasi icación AMS: 91C15
1. INTRODUCCIÓN
En e 1977 y 1982, Ramsay desa olla un modelo p obabilís ico de MDS donde
los da os de disimila idad se modelizan u ilizando la dis ibución logno mal bipa a-
mé ica, siendo es imados los pa áme os median e máxima e osimili ud.
En e las hipó esis más impo an es e e en es a los da os en el modelo de
Ramsay des acan la con inuidad en la escala de medida, el o igen de e minado en
ce o y la consiguien e no nega i idad de los da os. No obs an e, esas asunciones
adolecen de a ios incon enien es. Po un lado, la no nega i idad y el o igen de-
e minado en ce o plan ean p oblemas desde el pun o de is a p ác ico, ya que bajo
cie as ci cuns ancias, suele se habi ual encon a da os nega i os o cuyo o igen
no es é de e minado en ce o. Po o o lado, la hipó esis de con inuidad en la escala
de medida p esen a un se io p oblema pues o que los p ocedimien os habi uales de
ob ención de da os de disimila idad es án basados en escalas de medida disc e as,
siendo necesa ias, como pone de mani ies o Ramsay (1982), un mínimo de sie e
ca ego ías pa a pode supone con inuidad en los da os, lo que no esul a ecuen e
a la ho a de diseña encues as. Además, es conocido expe imen almen e que un
indi iduo no suele emplea de o ma homogénea más de cinco modalidades, po lo
que aunque las escalas es én o madas po más ca ego ías, una dis ibución
con inua no de ine adecuadamen e el modelo.
Los p oblemas plan eados po la eliminación de las hipó esis de no nega i idad
y o igen de e minado en ce o ue on a ados po Ve a (1996) median e la in oduc-
ción en el modelo de un pa áme o umb al, θ, u ilizando una logno mal ipa amé i-
ca como dis ibución subyacen e, lo que pe mi e conside a los da os de inidos
sob e [θ, +∞), es imando θ median e una ase adicional den o del p ocedimien o
i e a i o.
Es e abajo se cen a en el p oblema de conside a una escala de medida con-
inua cuando las modalidades empleadas al emi i un juicio cons i uyen necesa ia-
men e una medida disc e a, indicando la necesidad de una dis ibución al e na i a
pa a da os de disimila idad ob enidos median e p ocedimien os di ec os como los
empleados en una encues a, lo que esul a á aplicable an o al modelo de Ramsay
como a la ex ensión de Ve a.
DISTRIBUCIONES DISCRETAS EN MDS PARA DATOS DE DISIMILARIDAD GENERADOS MEDIANTE CUESTIONARIOS 7
2. PLANTEAMIENTO DEL MODELO
El mé odo p opues o po Ramsay se enma ca den o de las écnicas con i ma o-
ias de MDS, lo que pe mi e, además de ob ene la ma iz de con igu ación, oma
decisiones basadas en con as es de hipó esis y en egiones de con ianza. El
mé odo empleado pa a la es imación de los pa áme os que in e ienen en el
p oblema es el de máxima e osimili ud, po lo que esul a undamen al de e mina
adecuadamen e la dis ibución de los da os.
En la e sión más elemen al del modelo de Ramsay se p esuponen obse acio-
nes independien es e idén icamen e dis ibuidas, con densidades,
(
)
2
ijij ,dd σ
∗donde 2
σ ep esen a el ac o de a iabilidad del modelo, que es
cons an e pa a cada pa de es ímulos (i, j). Pa a la modelización del compo a-
mien o de los juicios emi idos, se conside a un modelo mul iplica i o de e o de las
disimila idades, ij
d, espec o a las dis ancias eales, ∗
ij
d, que iene dado po la
exp esión ∗
⋅= ijij dcd , siendo c un e o alea o io, de o ma que omando loga i -
mos se ob iene el modelo adi i o clásico:
,dlndln ijij ∗
+ε=
donde se ha deno ado po cln
=ε .
Si se asume que ε sigue una dis ibución no mal,
()
2
,0 σΝ , en onces la dis i-
bución de c se á logno mal y po an o, ij
d∼
()
2
ij,dln σΛ ∗. La suposición de
disimila idades no nega i as y el conocimien o empí ico de que la dispe sión de los
da os psicológicos aumen a con su localización(1), han conducido a p opone la ley
logno mal como dis ibución más adecuada pa a los da os de disimila idad.
Pa a es a dis ibución, la log- e osimili ud que se debe maximiza pa a ob ene
los es imado es de la ma iz de con igu ación y el pa áme o de dispe sión, puede
exp esa se de la o ma,
()
()
()
,2lndlnln
S
2
1
,Lln
ji
ij
2
2
2
dij πΜ−−





σΜ+
σ
−=Χσ ∑
∠
[1]
donde,
(1) La ley logno mal es un modelo de e o muy usado cuando la azón en e la des ia-
ción ípica y la media se supone cons an e.
8ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
,
d
d
lnS
ij
ij
ji
2








=∗
∠
∑
siendo M el núme o o al de obse aciones independien es.
La dis ibución logno mal posee un es adís ico su icien e pa a el pa áme o de
dispe sión, po lo que la es imación de 2
σ puede ealiza se de o ma independien e
de la de la ma iz de con igu ación, X. De hecho se pospone en el modelo la es i-
mación de X has a habe ob enido la es imación de 2
σ. El es imado máximo-
e osímil de 2
σ iene dado po ,
Μ
=σ S
2
Sus i uyendo 2
σ po 2

σ en [1], se ob ienen las ecuaciones que pe mi en maxi-
miza espec o de X,
()
()
Μ−−





Μ
−=Χσ ln1Sln
2
,

Lln 2
dij
Las ecuaciones implíci as que se ob ienen adop an la exp esión,
Κ=== ∑∑ ,,1q,n,,1p, x pj
j
pj
j
pj LK
pq
x
donde,
()
















+








=∗∗
∗pj
jp
pj
pj
2
pj
pj d
d
ln
d
d
ln
d
1
.
Es as ecuaciones se esuel en median e écnicas i e a i as ob eniendo la con i-
gu ación máximo- e osímil de los es ímulos.
3. MODELIZACIÓN DE DATOS DE DISIMILARIDAD EN ESCALAS DISCRETAS
Pa a esol e el p oblema de la al a de con inuidad de los da os se plan ea en
es e abajo la u ilización de una dis ibución disc e a adecuada que ep esen e las
ca ac e ís icas de las disimila idades, en p incipio, supues amen e posi i as y con
o igen en ce o. Po an o, pa a la modelización de da os de disimila idad disc e os
DISTRIBUCIONES DISCRETAS EN MDS PARA DATOS DE DISIMILARIDAD GENERADOS MEDIANTE CUESTIONARIOS 9
en MDS esul a con enien e u iliza dis ibuciones que, al igual que la logno mal,
sean lep ocú icas, p esen en asime ía posi i a y cuya a ianza aumen e con la
localización. Además, su dominio se á en es a p ime a ap oximación Ν, siendo
deseable que, cuando el núme o de ca ego ías e ec i as sea ap opiado, se ap oxi-
men en lo posible a la dis ibución logno mal, siendo po an o es a la ex ensión
na u al cuando la escala pueda conside a se con inua.
En es e abajo se p oponen dos dis ibuciones como adecuadas a es as ca ac-
e ís icas, pudiendo conside a se acep able su ap oximación a la logno mal. Con-
c e amen e han sido es udiadas la dis ibución Poisson-logno mal como al e na i a
eó ica na u al y la dis ibución Poisson-gaussiana in e sa como elección ap opiada
desde el pun o de is a compu acional.
Pa a cen a la e minología empleada, se di á que una a iable alea o ia, X, se
dis ibuye según una dis ibución Poisson-logno mal (P-LN) de pa áme os µ y 2
σ,
si lo hace según una dis ibución P(λ) en la que el pa áme o, λ, sigue una dis ibu-
ción logno mal bipa amé ica, Λ(µ, 2
σ). En es e caso, su .m.p. queda de e minada
po ,
{} ()
λ










σ
µ−λ−
λ
πσ
==ΧΡ=Ρ −λ−
∞+
∫d
2
ln
expe
2!
1
2
2
1
0
,
con .,2,1,0 L=
Puede encon a se un es udio de allado de es a dis ibución en Shaban (1988).
La media y a ianza ienen dadas po ,
[] []
2/2
2222
2
e1eea V;e σ+µσσ+µ
σ
+µ +





−=Χ=ΧΕ
siendo los coe icien es de asime ía y apun amien o, espec i amen e,
()() ()
()
[]
2/3
2
2
1
11
11321
+−ωωαωα
+−ωωα++ω−ωωα
=γ [2]
()
()
()()
[
++ω−ωωα++ω+ω+ω−ωωωα=γ 2166631 2
223
3
3
2[3]
()
]
()
[
]
[
]
2
11117 +−ωϖαωα÷+−ωωα+

10 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
donde µ
=α e y 2
eσ
=ω .
Es a dis ibución ha sido empleada con ecuencia pa a modeliza la abundancia
de especies p opo cionando mejo es ajus es que la logno mal o la binomial nega i-
a (Anscombe (1950), Holga e (1969)). También ha se ido pa a modeliza pobla-
ciones de planc on o c ímenes con baja incidencia (Plassman e al. (2001)) y puede
suponé sele cie a con e gencia asin ó ica a la logno mal (Holga e (1969)).
Pa a su empleo en MDS, la búsqueda de una dis ibución disc e a se ha basado
undamen almen e en la adecuación de la o ma de la dis ibución, analizando la
e olución de la azón
2
12 /
γ
γ
. Fijando el pa áme o de localización,
µ
, se obse a
que es a azón es c ecien e en unción de ω, compo amien o que ambién p e-
sen a la dis ibución logno mal.
Conside ando ijo el pa áme o, 1
=
µ
, la a iación de la azón 2
12 /γγ , calculada
cuando 2
σ, oscila en el in e alo (0,5], se ecoge en la Tabla 1.
Tabla 1
RAZÓN 2
12 /γγ , PARA 2
σ EN (0,5] Y 1
=
µ
EN LAS DISTRIBUCIONES LOG-
NORMAL (LN) Y P-LN
2
σ0.1 0.5 1 2 3 4 5
LN 1.830 2.143 2.900 7.005 19.353 53.703 147.453
P-LN 1.438 2.140 2.941 7.071 19.415 53.748 147.482
G á icamen e, puede ap ecia se la e olución de los cocien es en unción de 2
σ
en la Figu a 1.
DISTRIBUCIONES DISCRETAS EN MDS PARA DATOS DE DISIMILARIDAD GENERADOS MEDIANTE CUESTIONARIOS 11
Figu a 1
EVOLUCIÓN DE LA RAZÓN 2
12 /γγ
Como se puede ap ecia , sólo hay di e encias signi ica i as pa a alo es de 2
σ,
muy pequeños que hacen que la a ianza de la dis ibución es é muy p óxima a su
media. Es os alo es no son habi uales ya que la a ianza en las mix u as poisso-
nianas es siemp e es ic amen e mayo que su media (Teiche (1960)).
La a ianza de las dos dis ibuciones no e oluciona de la misma o ma al c ece
2
σ (el c ecimien o en P-LN es mayo ) po lo que ealizamos la misma p ueba
man eniendo ija la media y pe mi iendo que la a ianza ome un ango de alo es
equi alen e a los ob enidos cuando el pa áme o 2
σen P-LN oscila en el in e alo
(0,1]. De nue o se ob iene una e olución muy simila en ambas dis ibuciones.
La Tabla 2, ecoge algunos alo es pa a las dos dis ibuciones con media ija
igual a 5 y la misma a ianza.
12 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Tabla 2
VARIACIÓN DE LA RAZÓN 2
12 /γγ CON IGUAL VARIANZA Y MEDIA
CONSTANTE 5.
Va ianza 5.1 10 20 30 40 50 100
()
LN/2
12 γγ 1.882 1.992 2.240 2.515 2.810 3.120 4.816
()
LNP/ 2
12 −γγ 1.039 1.792 2.126 2.401 2.693 3.003 4.707
Su ep esen ación g á ica mues a cla amen e esa e olución, como puede ap e-
cia se en la Figu a 2.
Figu a 2
EVOLUCIÓN DE LA RAZÓN 2
12 /γγ
Es as mismas p uebas se han epe ido con o os alo es an o de la media co-
mo del pa áme o
µ
, ob eniéndose las mismas conclusiones, lo que pe mi e a i ma
que la dis ibución P-LN puede u iliza se pa a modeliza da os de disimila idad en
MDS, sus i uyendo adecuadamen e a la dis ibución logno mal y e i ando la hipó e-
DISTRIBUCIONES DISCRETAS EN MDS PARA DATOS DE DISIMILARIDAD GENERADOS MEDIANTE CUESTIONARIOS 13
sis de con inuidad en los casos en que la escala ealmen e u ilizada posee menos
de sie e modalidades.
Conside ada es a dis ibución como al e na i a disc e a, la siguien e e apa con-
sis e en encon a los es imado es máximo- e osímiles de los dis in os elemen os
que in e ienen en el p oblema. No obs an e, desde el pun o de is a compu acional
esul a ex ao dina iamen e complejo el a amien o de las ecuaciones de e osimi-
li ud ob enidas, po lo que su ge la necesidad de busca una ap oximación de la
an e io dis ibución que man enga las mismas ca ac e ís icas y pe mi a el a a-
mien o analí ico del p oblema de MDS.
La adecuada es la dis ibución Poisson-gaussiana in e sa (P-GI). Shaban
(1981) conje u a que es a dis ibución puede aplica se en aquellos casos en los que
P-LN sea adecuada debido a la simili ud de las dis ibuciones mix u an es (logno -
mal y gaussiana in e sa).
La dis ibución P-GI es una mix u a poissoniana bi-pa amé ica que se ob iene
cuando el pa áme o de la dis ibución de Poisson, λ, iene una dis ibución
gaussiana in e sa. Al igual que ocu e con la dis ibución gaussiana in e sa, son
múl iples las pa ame izaciones que admi e es a dis ibución. S ein, Zuccini y Ju i z
(1987), p oponen la siguien e densidad pa a la dis ibución P-GI de pa áme os
(
µ
,α), que ha sido la que hemos u ilizado.
{}
()
()
() ()
=
ααµφ












φ
αφ
=== −
!x
K/
K
/
xXPP 2
1
x
x
2
1
2
X
() ()
0,0,
!x
K/
e
22
1
x
x
>α>µ
ααµφ
π
α
=−
φ,
siendo
()
µ−α+µ=φ 2
1
22 , y
()
xKν, la unción de Bessel modi icada de 2ª especie
y o den ν.
En e las en ajas de es a pa ame ización se incluyen que el pa áme o
µ
es la
media poblacional y los es imado es de máxima e osimili ud que se ob ienen son
más consis en es que los ob enidos con la pa ame ización o iginal, po lo que es
adecuada en la si uación que nos ocupa. Si omamos como medida del e o
()
∑∗
−
=ε
i
2
ii
2
p
pp ,