Distribuciones discretas en MDS para datos de disimilaridad generados mediante cuestionarios

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 46, Núm. 155, 2004, págs. 5 a 18 Dis ibuciones disc e as en MDS pa a da os de disimila idad gene ados median e cues iona ios po JUAN ANTONIO M. ORELLANA JOSÉ FERNANDO VERA ANDRÉS GONZÁLEZ CARMONA Depa amen o de Es adís ica e I. O Uni e sidad de G anada ANTONIO PASCUAL ACOSTA ANTONIO RUFIÁN LIZANA Depa amen o de Es adís ica Uni e sidad de Se illa RESUMEN En es e abajo se p opone la u ilización de dis ibuciones es adís- icas disc e as como al e na i a a la dis ibución logno mal pa a la modelización de da os de disimila idad p o enien es de escalas con pocas modalidades en los modelos con i ma o ios MDS de Ramsay y Ve a. Los esul ados ponen de mani ies o que las dis ibuciones más ap opiadas son las mix u as Poisson-logno mal y Poisson-gaussiana in e sa. El análisis de da os simulados con i ma la al a de adecuación de un modelo con inuo a da os p o enien es de las escalas gene al- men e u ilizadas en los p ocedimien os de sondeo de opinión subje i a de compa ación de pa es. 6ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Palab as cla e: Mul idimensional scaling, Logno mal, Poisson- logno mal, Poisson-gaussiana in e sa, Máxima e osimili ud. Clasi icación AMS: 91C15 1. INTRODUCCIÓN En e 1977 y 1982, Ramsay desa olla un modelo p obabilís ico de MDS donde los da os de disimila idad se modelizan u ilizando la dis ibución logno mal bipa a- mé ica, siendo es imados los pa áme os median e máxima e osimili ud. En e las hipó esis más impo an es e e en es a los da os en el modelo de Ramsay des acan la con inuidad en la escala de medida, el o igen de e minado en ce o y la consiguien e no nega i idad de los da os. No obs an e, esas asunciones adolecen de a ios incon enien es. Po un lado, la no nega i idad y el o igen de- e minado en ce o plan ean p oblemas desde el pun o de is a p ác ico, ya que bajo cie as ci cuns ancias, suele se habi ual encon a da os nega i os o cuyo o igen no es é de e minado en ce o. Po o o lado, la hipó esis de con inuidad en la escala de medida p esen a un se io p oblema pues o que los p ocedimien os habi uales de ob ención de da os de disimila idad es án basados en escalas de medida disc e as, siendo necesa ias, como pone de mani ies o Ramsay (1982), un mínimo de sie e ca ego ías pa a pode supone con inuidad en los da os, lo que no esul a ecuen e a la ho a de diseña encues as. Además, es conocido expe imen almen e que un indi iduo no suele emplea de o ma homogénea más de cinco modalidades, po lo que aunque las escalas es én o madas po más ca ego ías, una dis ibución con inua no de ine adecuadamen e el modelo. Los p oblemas plan eados po la eliminación de las hipó esis de no nega i idad y o igen de e minado en ce o ue on a ados po Ve a (1996) median e la in oduc- ción en el modelo de un pa áme o umb al, θ, u ilizando una logno mal ipa amé i- ca como dis ibución subyacen e, lo que pe mi e conside a los da os de inidos sob e [θ, +∞), es imando θ median e una ase adicional den o del p ocedimien o i e a i o. Es e abajo se cen a en el p oblema de conside a una escala de medida con- inua cuando las modalidades empleadas al emi i un juicio cons i uyen necesa ia- men e una medida disc e a, indicando la necesidad de una dis ibución al e na i a pa a da os de disimila idad ob enidos median e p ocedimien os di ec os como los empleados en una encues a, lo que esul a á aplicable an o al modelo de Ramsay como a la ex ensión de Ve a. DISTRIBUCIONES DISCRETAS EN MDS PARA DATOS DE DISIMILARIDAD GENERADOS MEDIANTE CUESTIONARIOS 7 2. PLANTEAMIENTO DEL MODELO El mé odo p opues o po Ramsay se enma ca den o de las écnicas con i ma o- ias de MDS, lo que pe mi e, además de ob ene la ma iz de con igu ación, oma decisiones basadas en con as es de hipó esis y en egiones de con ianza. El mé odo empleado pa a la es imación de los pa áme os que in e ienen en el p oblema es el de máxima e osimili ud, po lo que esul a undamen al de e mina adecuadamen e la dis ibución de los da os. En la e sión más elemen al del modelo de Ramsay se p esuponen obse acio- nes independien es e idén icamen e dis ibuidas, con densidades, ( ) 2 ijij ,dd σ ∗donde 2 σ ep esen a el ac o de a iabilidad del modelo, que es cons an e pa a cada pa de es ímulos (i, j). Pa a la modelización del compo a- mien o de los juicios emi idos, se conside a un modelo mul iplica i o de e o de las disimila idades, ij d, espec o a las dis ancias eales, ∗ ij d, que iene dado po la exp esión ∗ ⋅= ijij dcd , siendo c un e o alea o io, de o ma que omando loga i - mos se ob iene el modelo adi i o clásico: ,dlndln ijij ∗ +ε= donde se ha deno ado po cln =ε . Si se asume que ε sigue una dis ibución no mal, () 2 ,0 σΝ , en onces la dis i- bución de c se á logno mal y po an o, ij d∼ () 2 ij,dln σΛ ∗. La suposición de disimila idades no nega i as y el conocimien o empí ico de que la dispe sión de los da os psicológicos aumen a con su localización(1), han conducido a p opone la ley logno mal como dis ibución más adecuada pa a los da os de disimila idad. Pa a es a dis ibución, la log- e osimili ud que se debe maximiza pa a ob ene los es imado es de la ma iz de con igu ación y el pa áme o de dispe sión, puede exp esa se de la o ma, () () () ,2lndlnln S 2 1 ,Lln ji ij 2 2 2 dij πΜ−−      σΜ+ σ −=Χσ ∑ ∠ [1] donde, (1) La ley logno mal es un modelo de e o muy usado cuando la azón en e la des ia- ción ípica y la media se supone cons an e. 8ESTADÍSTICA ESPAÑOLA , d d lnS ij ij ji 2         =∗ ∠ ∑ siendo M el núme o o al de obse aciones independien es. La dis ibución logno mal posee un es adís ico su icien e pa a el pa áme o de dispe sión, po lo que la es imación de 2 σ puede ealiza se de o ma independien e de la de la ma iz de con igu ación, X. De hecho se pospone en el modelo la es i- mación de X has a habe ob enido la es imación de 2 σ. El es imado máximo- e osímil de 2 σ iene dado po , Μ =σ S 2 Sus i uyendo 2 σ po 2  σ en [1], se ob ienen las ecuaciones que pe mi en maxi- miza espec o de X, () () Μ−−      Μ −=Χσ ln1Sln 2 ,  Lln 2 dij Las ecuaciones implíci as que se ob ienen adop an la exp esión, Κ=== ∑∑ ,,1q,n,,1p, x pj j pj j pj LK pq x donde, ()                 +         =∗∗ ∗pj jp pj pj 2 pj pj d d ln d d ln d 1 . Es as ecuaciones se esuel en median e écnicas i e a i as ob eniendo la con i- gu ación máximo- e osímil de los es ímulos. 3. MODELIZACIÓN DE DATOS DE DISIMILARIDAD EN ESCALAS DISCRETAS Pa a esol e el p oblema de la al a de con inuidad de los da os se plan ea en es e abajo la u ilización de una dis ibución disc e a adecuada que ep esen e las ca ac e ís icas de las disimila idades, en p incipio, supues amen e posi i as y con o igen en ce o. Po an o, pa a la modelización de da os de disimila idad disc e os DISTRIBUCIONES DISCRETAS EN MDS PARA DATOS DE DISIMILARIDAD GENERADOS MEDIANTE CUESTIONARIOS 9 en MDS esul a con enien e u iliza dis ibuciones que, al igual que la logno mal, sean lep ocú icas, p esen en asime ía posi i a y cuya a ianza aumen e con la localización. Además, su dominio se á en es a p ime a ap oximación Ν, siendo deseable que, cuando el núme o de ca ego ías e ec i as sea ap opiado, se ap oxi- men en lo posible a la dis ibución logno mal, siendo po an o es a la ex ensión na u al cuando la escala pueda conside a se con inua. En es e abajo se p oponen dos dis ibuciones como adecuadas a es as ca ac- e ís icas, pudiendo conside a se acep able su ap oximación a la logno mal. Con- c e amen e han sido es udiadas la dis ibución Poisson-logno mal como al e na i a eó ica na u al y la dis ibución Poisson-gaussiana in e sa como elección ap opiada desde el pun o de is a compu acional. Pa a cen a la e minología empleada, se di á que una a iable alea o ia, X, se dis ibuye según una dis ibución Poisson-logno mal (P-LN) de pa áme os µ y 2 σ, si lo hace según una dis ibución P(λ) en la que el pa áme o, λ, sigue una dis ibu- ción logno mal bipa amé ica, Λ(µ, 2 σ). En es e caso, su .m.p. queda de e minada po , {} () λ           σ µ−λ− λ πσ ==ΧΡ=Ρ −λ− ∞+ ∫d 2 ln expe 2! 1 2 2 1 0 , con .,2,1,0 L= Puede encon a se un es udio de allado de es a dis ibución en Shaban (1988). La media y a ianza ienen dadas po , [] [] 2/2 2222 2 e1eea V;e σ+µσσ+µ σ +µ +      −=Χ=ΧΕ siendo los coe icien es de asime ía y apun amien o, espec i amen e, ()() () () [] 2/3 2 2 1 11 11321 +−ωωαωα +−ωωα++ω−ωωα =γ [2] () () ()() [ ++ω−ωωα++ω+ω+ω−ωωωα=γ 2166631 2 223 3 3 2[3] () ] () [ ] [ ] 2 11117 +−ωϖαωα÷+−ωωα+ 10 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA donde µ =α e y 2 eσ =ω . Es a dis ibución ha sido empleada con ecuencia pa a modeliza la abundancia de especies p opo cionando mejo es ajus es que la logno mal o la binomial nega i- a (Anscombe (1950), Holga e (1969)). También ha se ido pa a modeliza pobla- ciones de planc on o c ímenes con baja incidencia (Plassman e al. (2001)) y puede suponé sele cie a con e gencia asin ó ica a la logno mal (Holga e (1969)). Pa a su empleo en MDS, la búsqueda de una dis ibución disc e a se ha basado undamen almen e en la adecuación de la o ma de la dis ibución, analizando la e olución de la azón 2 12 / γ γ . Fijando el pa áme o de localización, µ , se obse a que es a azón es c ecien e en unción de ω, compo amien o que ambién p e- sen a la dis ibución logno mal. Conside ando ijo el pa áme o, 1 = µ , la a iación de la azón 2 12 /γγ , calculada cuando 2 σ, oscila en el in e alo (0,5], se ecoge en la Tabla 1. Tabla 1 RAZÓN 2 12 /γγ , PARA 2 σ EN (0,5] Y 1 = µ EN LAS DISTRIBUCIONES LOG- NORMAL (LN) Y P-LN 2 σ0.1 0.5 1 2 3 4 5 LN 1.830 2.143 2.900 7.005 19.353 53.703 147.453 P-LN 1.438 2.140 2.941 7.071 19.415 53.748 147.482 G á icamen e, puede ap ecia se la e olución de los cocien es en unción de 2 σ en la Figu a 1. DISTRIBUCIONES DISCRETAS EN MDS PARA DATOS DE DISIMILARIDAD GENERADOS MEDIANTE CUESTIONARIOS 11 Figu a 1 EVOLUCIÓN DE LA RAZÓN 2 12 /γγ Como se puede ap ecia , sólo hay di e encias signi ica i as pa a alo es de 2 σ, muy pequeños que hacen que la a ianza de la dis ibución es é muy p óxima a su media. Es os alo es no son habi uales ya que la a ianza en las mix u as poisso- nianas es siemp e es ic amen e mayo que su media (Teiche (1960)). La a ianza de las dos dis ibuciones no e oluciona de la misma o ma al c ece 2 σ (el c ecimien o en P-LN es mayo ) po lo que ealizamos la misma p ueba man eniendo ija la media y pe mi iendo que la a ianza ome un ango de alo es equi alen e a los ob enidos cuando el pa áme o 2 σen P-LN oscila en el in e alo (0,1]. De nue o se ob iene una e olución muy simila en ambas dis ibuciones. La Tabla 2, ecoge algunos alo es pa a las dos dis ibuciones con media ija igual a 5 y la misma a ianza. 12 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Tabla 2 VARIACIÓN DE LA RAZÓN 2 12 /γγ CON IGUAL VARIANZA Y MEDIA CONSTANTE 5. Va ianza 5.1 10 20 30 40 50 100 () LN/2 12 γγ 1.882 1.992 2.240 2.515 2.810 3.120 4.816 () LNP/ 2 12 −γγ 1.039 1.792 2.126 2.401 2.693 3.003 4.707 Su ep esen ación g á ica mues a cla amen e esa e olución, como puede ap e- cia se en la Figu a 2. Figu a 2 EVOLUCIÓN DE LA RAZÓN 2 12 /γγ Es as mismas p uebas se han epe ido con o os alo es an o de la media co- mo del pa áme o µ , ob eniéndose las mismas conclusiones, lo que pe mi e a i ma que la dis ibución P-LN puede u iliza se pa a modeliza da os de disimila idad en MDS, sus i uyendo adecuadamen e a la dis ibución logno mal y e i ando la hipó e- DISTRIBUCIONES DISCRETAS EN MDS PARA DATOS DE DISIMILARIDAD GENERADOS MEDIANTE CUESTIONARIOS 13 sis de con inuidad en los casos en que la escala ealmen e u ilizada posee menos de sie e modalidades. Conside ada es a dis ibución como al e na i a disc e a, la siguien e e apa con- sis e en encon a los es imado es máximo- e osímiles de los dis in os elemen os que in e ienen en el p oblema. No obs an e, desde el pun o de is a compu acional esul a ex ao dina iamen e complejo el a amien o de las ecuaciones de e osimi- li ud ob enidas, po lo que su ge la necesidad de busca una ap oximación de la an e io dis ibución que man enga las mismas ca ac e ís icas y pe mi a el a a- mien o analí ico del p oblema de MDS. La adecuada es la dis ibución Poisson-gaussiana in e sa (P-GI). Shaban (1981) conje u a que es a dis ibución puede aplica se en aquellos casos en los que P-LN sea adecuada debido a la simili ud de las dis ibuciones mix u an es (logno - mal y gaussiana in e sa). La dis ibución P-GI es una mix u a poissoniana bi-pa amé ica que se ob iene cuando el pa áme o de la dis ibución de Poisson, λ, iene una dis ibución gaussiana in e sa. Al igual que ocu e con la dis ibución gaussiana in e sa, son múl iples las pa ame izaciones que admi e es a dis ibución. S ein, Zuccini y Ju i z (1987), p oponen la siguien e densidad pa a la dis ibución P-GI de pa áme os ( µ ,α), que ha sido la que hemos u ilizado. {} () () () () = ααµφ             φ αφ === − !x K/ K / xXPP 2 1 x x 2 1 2 X () () 0,0, !x K/ e 22 1 x x >α>µ ααµφ π α =− φ, siendo () µ−α+µ=φ 2 1 22 , y () xKν, la unción de Bessel modi icada de 2ª especie y o den ν. En e las en ajas de es a pa ame ización se incluyen que el pa áme o µ es la media poblacional y los es imado es de máxima e osimili ud que se ob ienen son más consis en es que los ob enidos con la pa ame ización o iginal, po lo que es adecuada en la si uación que nos ocupa. Si omamos como medida del e o () ∑∗ − =ε i 2 ii 2 p pp ,