Predicción de voltajes en la red eléctrica por interpolación Kriging

Re is a Ibe oame icana de Au om´a ica e In o m´a ica Indus ial 22 (2025) 112-119 www. e is a- iai.o g
Resumen
En es e abajo, abo damos el p oblema de la p edicci´
on en l´
ınea de las ayec o ias de ol aje e in ensidad nodales en la
ed de dis ibuci´
on. Pa a es o, p oponemos una o mulaci´
on basada en da os u ilizando la in e polaci´
on K iging, una ´
ecnica de
ap endizaje au om´
a ico que ha mos ado aplicaciones p ome edo as en el campo del con ol basado en da os. P oducimos un o ´
aculo
de p edicci´
on no pa am´
e ico que pe mi e in e i ayec o ias u u as di ec amen e a pa i de medidas de ol aje e in ensidad en
iempo eal. Adem´
as, p opo cionamos una implemen aci´
on algo ´
ı mica simple pe o e ec i a basada en el conocido esquema ISTA.
Demos amos la e ec i idad de nues a me odolog´
ıa pa a la p edicci´
on ´
apida (subsegundos) de la din´
amica del ol aje median e
simulaciones.
Palab as cla e: Ap endizaje pa a el con ol, M´
e odos no pa am´
e icos, Redes el´
ec icas in eligen es, Moni o eo y con ol de
es icciones y segu idad, Con ol de ecu sos de ene g´
ıa eno able, Con ol basado en da os.
P edic ion o g id ol ages by means o K iging in e pola ion
Abs ac
We add ess he p oblem o he online p edic ion o nodal ol age and cu en ajec o ies in he dis ibu ion g id. Fo his, we
p opose a da a-d i en o mula ion based on he K iging in e pola ion, a machine lea ning echnique ha ecen ly showed p omising
applica ions in he ield o da a-based con ol. We p oduce a nonpa ame ic p edic ion o acle which allows o in e u u e ajec o ies
di ec ly om eal- ime ol age and cu en measu es. We u he p o ide a simple bu e ec i e algo i hmic implemen a ion based
on he well-known ISTA scheme. We showcase he e ec i eness o ou me hodology o he as (subsecond) p edic ion o ol age
dynamics h ough simula ions.
Keywo ds: Lea ning o con ol, Nonpa ame ic me hods, Sma g ids, Cons ain and secu i y moni o ing and con ol, Con ol o
enewable ene gy esou ces, Da a-based con ol.
1. In oducci´
on
En un mundo donde las uen es de ene g´
ıa eno able y
las ecnolog´
ıas eme gen es como los eh´
ıculos el´
ec icos es ´
an
ans o mando el pano ama ene g´
e ico, la capacidad de p edeci
el ol aje y la ecuencia de la ed el´
ec ica se ha uel o c ucial.
El uso c ecien e de uen es de gene aci´
on dis ibuida basadas en
ene g´
ıas eno ables ha in oducido desa ´
ıos signi ica i os pa a
man ene la es abilidad de la ed, especialmen e debido a la na-
u aleza in e mi en e de es as uen es y la ca ga adicional in o-
ducida po los eh´ıculos el´ec icos (Milano e al., 2018). Es os
cambios din´amicos pueden causa luc uaciones en el ol aje y
la ecuencia de la ed, a ec ando la calidad del suminis o el
´ec ico (Kau and Vazi i, 2006).
Pa a abo da es os desa ´ıos, la p edicci´on en iempo eal del
ol aje y la ecuencia de la ed el´ec ica es esencial. Una p e-
dicci´on p ecisa no s´olo mejo a el moni o eo y el con ol de los
sis emas de ene g´ıa, sino que ambi´en juega un papel unda-
men al en la p o ecci´on de es os sis emas (Dobbe e al., 2020).
Es a capacidad pe mi e op imiza el es ado de ca ga de los sis-
∗Au o pa a co espondencia: [email p o ec ed]
A ibu ion-NonComme cial-Sha eAlike 4.0 In e na ional (CC BY-NC-SA 4.0)
P edicci´on de ol ajes en la ed el´ec ica po in e polaci´on K iging
Ca los Mo eno-Blazquez∗, Filibe o Fele, Daniel Limon, Teodo o Alamo
Dp o. de Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica, Uni e sidad de Se illa, A . de los Descub imien os s/n, 41092, Se illa, Espa˜na.
To ci e his a icle: Mo eno-Blazquez, C., Fele, F., Limon, D., Alamo, T. 2025. P edic ion o g id ol ages by means
o K iging in e pola ion. Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica Indus ial 22, 112-119.
h ps://doi.o g/10.4995/ iai.2024.21923
emas de almacenamien o de ene g´ıa y con ola mic o edes
y plan as de ene g´ıa i uales de mane a ´op ima, mejo ando la
calidad y la es abilidad del suminis o el´ec ico (Zu e ey e al.,
2020).
En el ´ambi o de la ingenie ´ıa de con ol, los p oblemas de
es imaci´on y p edicci´on se han abo dado median e m´e odos pa-
am´e icos, que equie en la de inici´on d e u n m odelo basado
en p incipios ´ısicos o da os obse ados. Sin emba go, es os
pueden se limi ados po la necesidad de conoce y ep esen-
a con p ecisi´on las leyes ´ısicas subyacen es y los pa ´ame os
espec´ı icos del sis ema (Ca e al., 2021).
Recien emen e, han su gido m´e odos no pa am´e icos que
o ecen una al e na i a pode osa y lexible, siendo ideales pa a
en o nos con al a a iabilidad. Es os no equie en una de ini-
ci´on expl´ıci a de un modelo, pues se basan di ec amen e en los
da os obse ados pa a ealiza p edicciones y oma decisiones
de con ol (Nadales e al., 2023; O donez e al., 2021; Me ch´an-
Ri e os e al., 2024). En e es os m´e odos, el K iging se ha des-
acado en ecien es aplicaciones en el campo de la clasi icaci´on
y el con ol (Ca ne e o e al., 2023). El p esen e es udio se cen-
a en la aplicaci´on de K iging pa a la p edicci´on en iempo eal
de ol aje y co ien e en la ed el´ec ica. Es e en oque no solo
acili a la ges i´on y con ol de edes el´ec icas en iempo eal,
sino que ambi´en o ece una obus ez supe io en e a las luc-
uaciones y el uido en los da os, compa ado con los m´e odos
pa am´e icos adicionales.
La ´apida in e enci´on en la ed el´ec ica an e e en os ines-
pe ados a menudo equie e acciones en escalas de iempo in-
e io es a un segundo (Deakin e al., 2021). Po lo an o, es
undamen al con a con la capacidad de p e e con p ecisi´on la
e oluci´on del ol aje de la ed en in e alos de iempo muy pe-
que˜nos, del o den de d´ecimas de segundo, como se ha
des acado en es udios p e ios (Gup a and Milano ic, 2006). La
p edicci´on de ayec o ias del ol aje de la ed se uel e
undamen al pa a man ene su equilib io din´amico, ges ionando
e icazmen e la demanda y la inse ci´on de nue as ca gas. Adem
´as, las di ec i as igen es, como las limi aciones de ensi´on a
co o plazo (ENA Task G oup on S a u o y Vol age Limi s,
2017), en a izan la impo ancia de con a con p on´os icos
p ecisos en escalas de iempo muy peque˜nas pa a ga an iza la
es abilidad y iabilidad del sis ema el´ec ico.
Pa a p edeci la ayec o ia de la ed en peque˜nas escalas
de iempo es c ucial comp ende su compo amien o de o ma
p ecisa. Es o equie e da os de allados de la din´amica del sis-
ema, u ilizando exci aciones que no al e en su uncionamien o
no mal. El m´e odo de ba ido de ecuencia (F ancis e al.,
2011; Huang e al., 2009), que inyec a se˜nales sinusoidales de
di e en es ecuencias pa a es ima la impedancia de la ed, es
com´un en aplicaciones eales. Sin emba go, es e m´e odo nece-
si a un disposi i o adicional y es len o po eque i la inyec-
ci´on de m´ul iples se˜nales. O os m´e odos, que u ilizan se˜nales
de banda ancha, educen el iempo de medici´on. Po ejemplo,
los m´e odos de inyecci´on de impulsos (Liu e al., 2020; C´espe-
des and Sun, 2012), aunque ´apidos, pueden exci a espues as
no lineales y da˜na la ed debido a su al a pe u baci´on.
M´e odos a anzados, como el uso de uido blanco limi ado
en banda (Xiao e al., 2007), PRBS (Ma in e al., 2013; Roi-
nila e al., 2017), se˜nales chi p (Shen e al., 2013) y se˜nales
mul i onales (Xiao e al., 2022), minimizan la pe u baci´on pe-
o a´un en en an p oblemas, como comen an (Habe le e al.,
2023), pa a es ima de o ma pa am´e ica la impedancia de la
ed. Es os m´e odos, aunque equie en pe u baciones secuen-
ciales y a ios ciclos de medici´on, pe mi en gene a da os no
lineales icos al exci a el sis ema de mane a con olada en e-
cuencia y ampli ud, sin al e a demasiado la ed y cap u ando
su compo amien o no lineal inhe en e.
Es e abajo se en oca en la p opues a de un m´e odo de p e-
dicci´on no pa am´e ico, K iging, pa a las a iables de in e ´es
en la ed de dis ibuci´on. De acue do con es e en oque, la ope-
aci´on de la ed el´ec ica se pe u ba con peque˜nas inyeccio-
nes de co ien e en el pun o de acoplamien o com´un (PCC),
al in d e e xci a s u d in´amica y o b ene u n c onjun o d e da os
adecuado pa a la desc ipci´on del sis ema. Los da os de ope a-
ci´on ecolec ados en iempo eal se ans o man de o ma di ec-
a en p edicciones de ayec o ias u u as, pe mi iendo su uso en
aplicaciones de moni o eo de es icciones y con ol con equi-
si os es ic os de iempo de c´alculo. Como segunda con ibu-
ci´on, se desc ibe una posible implemen aci´on p ´ac ica, p odu-
ciendo una e si´on ad hoc del algo i mo ISTA (del ingl´es I e a-
i e Sh inkage-Th esholding Algo i hm), especializada pa a la
es uc u a del p oblema K iging (1).
El documen o es a´ o ganizado de la siguien e mane a. En la
secci´on 2 p esen amos el en oque del p oblema, y su o mula-
ci´on dual se de alla en las secci´on 3.1. El algo i mo p opues o
se p esen a en las secci´on 3.2. Pos e io men e, se mues a la es-
uc u a de la base de da os u ilizada, p esen ando los modelos
NARX en la secci´on 4 y des acando la impo ancia de u iliza
el ma co dq en la secci´on 4.1. El an´alisis num´e ico se p esen a
en la secci´on 5, an es de las obse aciones inales.
2. Fo mulaci´
on del p oblema K iging
El K iging (C essie, 1990) es una ´ecnica a anzada den o
de la es ad´ıs ica espacial, que pe mi e ealiza p edicciones
´op imas en espacios geog ´a icos a pa i de da os dispe sos. Es-
a me odolog´ıa, in oducida po Ma he on en la d´ecada de 1960
(Ma he on, 1967), se undamen a en el concep o de
in e polación ponde ada, al como ue e inado y popula izado
po K ige en el con ex o mine o suda icano (K ige, 1981).
Dada su ca-pacidad pa a modela la a iabilidad espacial con
p ecisi´on ha sido ´u il no s´olo en el campo de la mine ´ıa, donde
las es imacio-nes iniciales basadas en p omedios simples e an
insu icien es debido a la a iabilidad local del dep´osi o, sino
ambi´en en me- eo olog´ıa, clima olog´ıa y con ol basados en
da os (Ca ne e o e al., 2023).
Seg´un Hemya i and No zige (1987), K iging es una o ma
de p omediado ponde ado en la cual los pesos se eligen de ma-
ne a que el e o asociado con el p edic o sea meno que pa a
cualquie o a suma lineal. Sea D = {z1, z2, . . . , zN } un conjun-
o de da os compues o po las mues as zi ∈ Rn, i = 1, . . . , N.
Dado un pun o z¯ ∈ Rn, es amos in e esados en de e mina z¯
en unci´on de una combinaci´on lineal de las zi del conjun o
de da os D. Con es e obje i o, podemos de ini u na unci´on
Jγ : Rn × D → [0, ∞) que e al´ua la disimili ud en e z¯ y odos
los zi ∈ D. Es a unci´on de ol e a´ un alo al o cuando z¯ sea
signi ica i amen e di e en e del conjun o de da os D; po o o
lado, alo es peque˜nos indica ´an al a simili ud. Es o se aslada
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o malmen e al siguien e p oblema (Ca ne e o e al., 2022):
Jγ(¯z,D)Bm´
ın
λ1,...,λN
N
X
i=1
wiλ2
i+γi|λi|(1a)
s. . ¯z=
N
X
i=1
ziλi(1b)
1=
N
X
i=1
λi,(1c)
donde γi ≥ 0 y wi > 0, i = 1, ..., N, se u ilizan pa a ponde a
la in o maci´on p opo cionada po cada mues a de da os. Es o
pe mi e, po ejemplo, il a pun os de da os uidosos o i ele-
an es. Los ´e minos γi|λi|i
N
=1 p omue en la espa sidad. Po o o
lado, la es icci´on (1b) de ine z¯ como una combinaci´on lineal
de las mues as {zi}N
i=1ponde adas po {λi}N
i=1; la es icci´on (1c)
no maliza la soluci´
on.
Aho a, supongamos que es ´an disponibles N pa es de
en ada-salida obse ados (ui, yi), i = 1, . . . , N, y sea u¯ una nue-
a en ada, cuya salida y¯ asociada sea desconocida. De iniendo
zi = ui (po lo an o, D = {u1, u2, . . . , uN }), y z¯ = u¯, esol emos
(1) pa a ob ene λ∗ B {λ∗
1, λ∗
2, . . . , λ∗
N }. Con es o, podemos ob-
ene una es imaci´on yˆ de y¯ median e la in e polaci´on K iging
(Ca ne e o e al., 2022; Ma sui and Yamakawa, 2023)
ˆy=
N
X
i=1
λ∗
i(¯z,D)·yi.(2)
La unci´on (1) es un componen e cla e en muchos desa o-
llos no edosos en el con ex o de en oques basados en da os.
Fo mulaciones simila es se han u ilizado pa a iden i icaci´on de
sis emas, como en el conocido da a-enabled p edic i e con ol
( ´ease po ejemplo la ese˜na bibliog ´a ica de Ma ko sky e al.
(2023)), donde es os m´e odos di ec os de iden i icaci´on a pa i
de ayec o ias obse adas se undamen an en el en oque con-
duc ual, o beha iou al app oach, de Willems (1986). Del mis-
mo modo, en oques simila es como los conocidos m´e odos de
op imizaci´on di ec a de pesos (Roll e al., 2005), pe mi en en-
con a la combinaci´on lineal de pun os en la base de da os que
se asemeje lo mejo posible a un pun o espec´ı ico.
3. ISTA pa a K iging
La o mulaci´on (1) cons i uye un p og ama de op imizaci´on
es ic amen e con exo suje o a es icciones con exas; como
al, iene una soluci´on ´unica λ∗ B (λ∗
1, λ∗
2, . . . , λ∗
N ) en e odas
las posibles combinaciones lineales de las mues as de da os en
D que p oducen el pun o de consul a z¯.
El p oblema (1) se enma ca en la es uc u a es ´anda de un
p oblema cuad ´a ico, as la in oducci´on de a iables auxilia-
es pa a ob ene una o mulaci´on lineal equi alen e del alo
absolu o en (1a), esul ando en un p oblema cuya a iable de
decisi´on iene dimensi´on 2N. De es a mane a la soluci´on de (1)
se puede calcula u ilizando una amplia a iedad de sol e s dis-
ponibles come cialmen e o en acceso abie o.
i
3.1. En oque dual
La adopci´on del en oque p imal en p oblemas de p edic-
ci´on y con ol es a´ limi ada po el hecho de que el n´ume o de
a iables de decisi´on en (1) c ece linealmen e con el ama˜no N
de la base de da os. Obse amos que la soluci´on de (1) se pue-
de calcula e icien emen e con iando en su e o mulaci´on dual
(Me hy e al., 2018; Ma sui and Yamakawa, 2023). En es e ca-
so, el n´ume o de a iables de decisi´on duales es igual al n´ume o
de es icciones de igualdad, es deci , n + 1, una can idad que
puede se signi ica i amen e meno que el n´ume o de a iables
p imales N.
De iniendo ¯ = [z¯⊤1]⊤, i = [z⊤1]⊤, i = 1, . . . , N, podemos
eesc ibi (1) como
J∗
γ=m´
ın
λ1,...,λN
N
X
i=1
wiλ2
i+γi|λi|(3a)
s. . ¯ =
N
X
i=1
iλi,(3b)
y conside amos la siguien e suposici´on a lo la go del a ´ıculo
Suposici´on 1. El p oblema de op imizaci´on (3) es ac ible, es
deci , la ma iz R B [ 1, 2, . . . , N ] iene ango de ila com-
ple o.
Aho a, sea µ ∈ Rn+1 la a iable dual asociada a las es ic-
ciones de igualdad (3b). Es o conduce a la unci´on dual
ϕ(µ)=−µ⊤¯ +m´
ın
λ1,...,λN
N
X
i=1
wiλ2
i+γi|λi|+(µ⊤ i)λi.(4)
Fijado µ, el p oblema (4) es sepa able, y los minimizado es
pueden calcula se pa a i = 1, . . . , N como
λ∗
i(µ)=a gm´
ın
λi∈Rwiλ2
i+γi|λi|+(µ⊤ i)λi.(5)
Es e p oblema de op imizaci´on escala posee una soluci´on en
o ma ce ada (Beck, 2017, Example 6.8), como se a i ma en la
siguien e p oposici´on.
P oposici´on 2. Conside emos el p oblema de op imizaci´on
z∗=a gm´
ın
z∈Rwz2+γ|z|+cz,(6)
con w >0,γ≥0, y c ∈R. De inamos ψ:R→Rcomo
ψ(w, γ, c)B








sign(c) γ− |c|
2w!si |c|> γ,
0en o o caso.
(7)
En onces, z∗ = ψ(w, γ, c).
3.2. Algo i mo K-ISTA
Bajo la Suposici´on 1, el p oblema (1) cumple las condicio-
nes pa a la dualidad ue e (Be sekas, 2009, P op. 5.3.3), lo
que signi ica q ue Jγ
∗ = m´axµ ϕ(µ). A dem´as, de iniendo W B
diag([w1, w2, . . . , wN ]), es posible demos a , ´ease po ejem-
plo (Beck, 2017), que ϕ(µ) sa is ace
ϕ(µ+ ∆µ)≥ϕ(µ)+ ∆µ⊤g(µ)−1
4∆µ⊤RW−1R⊤∆µ, (8)
pa a cada µ, ∆µ∈Rn+1, donde
g(µ)B−¯ +
N
X
i=1
iλ∗
i(µ).(9)
114
Mo eno-Blazquez, C. e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica Indus ial 22 (2025) 112-119
Es a p opiedad p opo ciona una o ma in ui i a de maximi-
za la unci´on dual ϕ(µ). Pa iendo de cualquie µ ijo, podemos
maximiza el lado de echo de (8) con espec o a ∆µ a lo la go
de i e aciones sucesi as; es o nos pe mi i a´ ecupe a el maxi-
mizado µ∗ de (4) a medida que ∆µ∗ → 0. Es e ´ul imo puede
ob ene se expl´ıci amen e al di e encia el lado de echo en (8) y
esol e pa a ∆µ, como
∆µ∗= Ω−1g(µ),(10)
con ΩB1
2RW−1R⊤. Teniendo en cuen a que W∈RN×N, con
conjun os de da os g andes, una o ma e icien e en ´
e minos de
memo ia pa a calcula lo es Ω = PN
i=1
1
2w i ⊤
i.
La implemen aci´on algo ´ı mica p opues a pa a la soluci´on
de (1) se basa en el conocido algo i mo de con acci´on y
umb al i e a i o (ISTA) ( ´ease (Beck and Teboulle, 2009;
Alamo e al., 2019) y sus e e encias) que especializamos a la
e o mulaci´on dual pa icula de (1) adop ada en es e a ´ıculo,
u ilizando el esul ado de la P oposici´on 2.
Algo i hm 1 K-ISTA
i: En adas ϵ > 0.
ii: Inicializaci´
on k=0, µ0=0n+1.
iii: epea
i : k=k+1.
: o i=1, . . . , Ndo
i: λk
i=ψ(wi, γi, ⊤
iµk−1).
ii: end o
iii: gk=−¯ +PN
i=1 iλk
i.
ix: µk=µk−1+ Ω−1gk.
x: un il ∥gk∥< ϵ
xi: Salidas λ∗← {λk
i}N
i=1
1
k
k2
En el Algo i mo 1, p ime o i) se de ine la ole ancia ϵ > 0
pa a es ablece el c i e io de pa ada con el cuasi cumplimien o
de las es icciones de igualdad. ii) Se inicializan el con ado
de i e aciones k = 0 y la a iable dual µ0 = 0n+1. iii) El algo-
i mo i e a has a que la no ma del g adien e gk sea meno que
la ole ancia impues a ϵ. i ) En cada i e aci´on, se inc emen a el
con ado k en uno. ) Pa a cada i : i = 1, . . . , N, en i) se ac-
ualiza λi
k usando la ecuaci´on (7). iii) Se ecalcula el g adien e
gk como en (9), ac ualizando seguidamen e en ix) µk con (10).
Finalmen e, en xi) el conjun o de coe icien es que sa is ace la
condici´on de pa ada o ma el ec o soluci´on λ∗.
Es e algo i mo he eda la simplicidad del m´e odo ISTA, de-
mos ando una asa de con e gencia de O( ). Aunque el algo-
i mo p opues o llega a se compa ible con compu aciones en
iempo eal, es posible ob ene a ian es op imizadas que dis-
minuyen el n´ume o de i e aciones y, po ende, el iempo de
c´ompu o. Es o se demues a en la secci´on 5, donde los esul-
ados han sido ob enidos u ilizando K-ISTA y una e si´on del
mismo basada en el esquema FISTA con es a , que acele a la
asa de con e gencia a O( 1 ) ( ´ease (Alamo e al., 2019) pa a
m´
as de alle).
4. Composici´
on del conjun o de da os NARX
El sis ema a con ola se ca ac e iza po sus en adas, u∈
U ⊂ Rm, y sus salidas y∈ Y ⊂ Rp, donde UeYse supo-
nen con exos. La ´
unica in o maci´
on disponible de es e sis ema
es un conjun o his ´o ico adecuado de N pa es obse ados de
en ada-salida {(u1, y˜1), . . . , (uN , y˜N )}, donde y˜ deno a la medida
posiblemen e uidosa de la salida, con el uido asumido aco ado
po ε.
Asumimos que la din´amica del sis ema puede desc ibi -
se median e un modelo au o eg esi o no lineal con en adas
ex´ogenas (NARX) (Chen and Billings, 1989; Leon a i is and
Billings, 1985) como
y(k+1), . . . , y(k+Np)(11)
= y(k), . . . , y(k−na),u(k), . . . , u(k−nb),
donde na, nb ∈ N pa ame izan el ho izon e pa a los alo es
pasados de salida y en ada, espec i amen e. Bajo suposicio-
nes le es sob e la obse abilidad del sis ema, el modelo NARX
puede desc ibi la din´amica de un sis ema no lineal pa a ho-
izon es su icien emen e g andes. Sin emba go, pueden exis i
e o es de modelado debido a una desc ipci´on incomple a de la
din´amica eal del sis ema ep esen ada po .
Sea n¯ el o den del sis ema. Como demos ado po Le in
and Na end a (1997), se puede log a una ep esen aci´on pe -
ec a del sis ema seleccionando los ho izon es de memo ia na y
nb como na = nb = 2¯n. En caso de que el o den del sis ema sea
desconocido, los alo es de na y nb deben es ima se median e
alg´un m´e odo de alidaci´on c uzada.
Nos e e imos a los pa ´ame os de en ada de en (11) como
el eg eso zk B (x(k), u(k)), donde x(k) B (y(k), y(k − 1), ..., y(k
−na), u(k − 1), ..., u(k − nb)) es el es ado en el ins an e de
mues a k. Adem´as, sea z˜(k) el eg eso uidoso que inclu-ye las
obse aciones co up as, es deci , z˜k B (x˜(k), u(k)) = (y˜(k), y˜(k −
1), ..., y˜(k − na), u(k), u(k − 1), ..., u(k − nb)), y sea D el
conjun o de eg eso es con o mado po da os en ada-salida
eo ganizados de la siguien e mane a:
D=˜zi,i=1, ..., N.(12)
Asimismo, las ayec o ias u u as a Nppasos de la sali-
da, co espondien es a cada uno de los eg eso es ˜zi, se al-
macenan en o o conjun o Ξ = ξi,i=1, ..., N, donde ξi=
˜y(i+1), . . . , ˜y(i+Np).
4.1. Ma co dq
Una ez cla a la es uc u a del modelo NARX, se a a em-
plea el ma co dq pa a ep esen a las medidas i ´asicas. Es-
e es un ma co de e e encia que conside a dos ejes, llamados
eje di ec o y eje en cuad a u a, que gi an a una ecuencia da-
da (po ejemplo, la ecuencia de ed). Es o pe mi e con e i
las componen es de co ien e y ol aje en cons an es en es a-
do es aciona io, lo que simpli ica signi ica i amen e el dise˜no y
an´alisis de con olado es.
En el ma co dq, las componen es di ec as (d) y en cua-
d a u a (q) pueden se con oladas de mane a independien e.
Es a capacidad de desacoplamien o es pa icula men e en a-
josa, po ejemplo, pa a la implemen aci´on de con olado es
p opo cionales-in eg ales (PI) (F ancis e al., 2011). Adem´as,
las componen es de al a ecuencia, o a m´onicos, son m´as ´aci-
les de il a en es e ma co, lo que mejo a la calidad de la se˜nal
y la e iciencia del sis ema (Saccomando and S ensson, 2001).
La acilidad de las ans o maciones di ec as e in e sas en e
los ma cos abc y dq ambi´en con ibuye a su p e e encia, ya
Mo eno-Blazquez, C. e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica Indus ial 22 (2025) 112-119
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Figu a 1: Modelo Ma lab Simulink de un p osume con encional conec ´andose a la ed en el PCC. Se oman da os de co ien e y ol aje en el ma co dq con el
obje i o de con o ma el da ase D. As´ı mismo, se ecogen da os del ´angulo de ase ωg pa a pode u iliza las p edicciones dq en el ma co abc.
que es as ans o maciones es ´an bien de inidas y pueden im-
plemen a se ´acilmen e en sis emas de con ol digi al.
Po an o, haciendo uso de las en ajas del ma co dq y con-
o mando el conjun o de da os como en (12), nues o obje i o
es in e i una ap oximaci´on F basada en ap endizaje (impl´ıci-
o) del modelo NARX en (11) que, dado un eg eso del sis ema
z¯ = (x¯, u¯), de uel a un suceso ξˆ ∈ RpNp . En nues o caso,
ˆ
ξ=F(¯z,D)=
N
X
i=1
λ∗
i(¯z,D)·ξi,(13)
donde F oma la o ma de (2). Es a exp esi´on hace uso de los
pesos {λ∗
1, . . . , λ∗
N } ob enidos al esol e (1), en unci´on de z¯ y
D, median e el Algo i mo 1.
5. An´
alisis num´
e ico
Pa a p oba el en oque p opues o, conside amos un caso
de simulaci´on implemen ado en Ma lab Simulink, como puede
e se en la Figu a 1. Lo que se p e ende es es ima la ayec o-
ia de ol aje de la ed en el ma co dq a pa i de medidas de
co ien e y ol aje ob enidas de una se ie de senso es si uados
en el PCC. Cabe comen a que los esul ados se mues an en el
ma co abc, lo cual es posible ealizando p edicciones al mismo
iempo de la ecuencia de la ed ωg haciendo uso del modelo
u ilizado pa a p edeci el ol aje.
Tabla 1: Pa ´ame os El´ec icos del Expe imen o Num´e ico
Pa ´
ame o S´
ımbolo Valo
Valo es base Vb,Sb, b380 V, 1.5 kVA, 50 Hz
Ca ga R12 p.u.
L´
ınea 1 R2,L2,C20.015 p.u., 0.15 p.u., 0.05 p.u.
L´
ınea 2 R3,L3,C30.015 p.u., 0.15 p.u., 10 p.u.
F ecuencia de mues eo s1 kHz
Ho izon e de p edicci´
on Np200
Los pa ´ame os el´ec icos y de medici´on del sis ema ep e-
sen ado en la Figu a 1 pueden e se con enidos en la Tabla 1.
Dado que el in ´ ul imo e s e s ima ayec o ias e n e scalas de
iempo in e io es al segundo, se ha elegido un iempo de c´
alcu-
lo de la ayec o ia de 0,2 s. Dada la ecuencia de mues eo s,
se deduce el alo del ho izon e de p edicci´
on Np=0,2 s. Da-
do que el ol aje en dq iene dos componen es, en es e caso la
ˆ
ξ∈R2pNp, siendo en es e caso 2Np=400 alo es de dimensi´
on
pque deben se p edichos.
incluido; en es e caso, el ango ue de 2,5,1,8
Figu a 2: Vol ajes y co ien es i ´asicos pe u bados pa a la ob enci´on de la
base de da os NARX u ilizada en la eg esi´on.
Du an e el expe imen o de iden i icaci´on de la ed, conside-
amos condiciones de ed cons an es y es aciona ias. Pa a ex-
ci a la ed el´ec ica bajo p ueba y pode gene a D, el sis ema
se exci o´ en co ien e en el ma co dq median e una combina-
ci´on de se˜nales chi p (oscilaciones con ecuencia y ampli ud
a iable a lo la go del iempo) y PRBS (Nelles, 2020) no co e-
lacionadas, cada una con ampli ud de 0,1 p.u. como m´aximo. El
ango de ecuencias de exci aci´on pa a la se˜nal chi p y PRBS
se ha escogido de modo que queden po debajo de la ecuencia
de mues eo, y as´ı, el pico de esonancia
 s
del
s 
sis ema es u ie a
ad/s. De es e
expe imen o se ob u ie on 9201 pa es de en ada-salida. De es-
os, se ex ajo la base de da os de en enamien o D. Pa a alida
el modelo, u ilizamos un conjun o de da os de 4501 elemen os,
ob enidos median e se˜
nales chi p y PRBS del mismo modo.
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Mo eno-Blazquez, C. e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica Indus ial 22 (2025) 112-119

Figu a 3: Compa aci´on en e la ayec o ia gene ada en simulaci´on y la es imada po (1)-(2) haciendo uso del Algo i mo 1, K-ISTA, en dos esce-na ios di e en es
u ilizando la base de da os NARX con na = nb = 4. La g ´a ica de a iba ep esen a un escena io donde las es componen es son exci adas al mismo iempo,
mien as que abajo ´unicamen e las ases a y c son exci adas, dejando a b en odo momen o sin exci a .
Las espues as de co ien e y ol aje esul an es en el PCC
se mues an en la Figu a 2. Se obse a como el ni el de pe u -
baci´on es bas an e peque˜no en compa aci´on con el caso no exci-
ado. Dado que la exci aci´on ambi´en es a
´ limi ada a unos pocos
segundos, no de e io a la ope aci´on con inua de la ed. Anali-
zamos es e aspec o m´as en de alle, pa a asegu a que el uncio-
namien o no mal de la ed no se ea a ec ado y que se cumplen
los l´ımi es es ablecidos po el es ´anda IEEE (IEEE Powe and
Ene gy Socie y, 2021) y el es ´anda Eu opeo (CENELEC (Eu-
opean Commi ee o Elec o echnical S anda disa ion), 2011).
´Es os ijan un l´ımi e del 8 % de dis o si´on a m´onica o al (THD)
en ol aje, sob e 10 ciclos de la se˜nal. Nues o an´alisis sob e di-
e sos segmen os de 10 ciclos ha e i icado que el THD en la
se˜nal exci ada no excede el 6,74 %, asegu ando as´ı el cumpli-
mien o de las no ma i as igen es y la in eg idad ope a i a de
la ed. Es a e aluaci´on se ilus a g ´a icamen e en la Figu a 4,
donde se p esen a el espec o de ecuencias y el THD calcula-
do u ilizando el segmen o de la se˜nal de ol aje asociado con la
m´axima dis o si´on.
D es a´ en la o ma de (12), donde se ha impues o que na =
nb y se han enido en cuen a di e en es alo es, como puede
e se en la Tabla 2. Cabe des aca que cada eg eso z˜ iene
dimensi´on n = (na + 1)p + (nb + 1)m.
Pa a mejo a el iempo de c´alculo y la calidad de la p edic-
ci´on, se calcula una pa ici´on de D llamada D◦, la cual se a´ la
base de da os que se u iliza a´ pa a ealiza la p edicci´on. Es a
pa ici´on se con o ma exclusi amen e pa a cada pun o de con-
sul a z¯, omando los N◦ = 1000 pun os de la base de da os
o iginal D que es ´an m´as ce canos, en ´e minos de dis ancia
eucl´
ıdea, a ¯z; la ca dinalidad N◦se eligi´
o basado en dis in as
p uebas de simulaci´
on, donde se e alu´
o la p ecisi´
on de la p e-
dicci´
on. El peso wiasociado a cada uno de los pun os en D◦se
ha ajus ado pa a asigna mayo impo ancia a los pun os m´
as
ce canos a ¯ (es deci , penalizando menos los coe icien es λi
esul an es pa a es os pun os).
Figu a 4: An´alisis de la Dis o si´on A m´onica To al (THD) en el ol aje de la
ase c del sis ema i ´asico abc. En la g ´a ica supe io se mues a la o ma de
onda empo al del ol aje, donde se ma can en ojo los 10 ciclos seleccionados
pa a ob ene el espec o de ecuencia con el cual se calcula el THD
ep esen ado en la g ´a ica in e io , co espondien e al peo de los casos. Es e
an´alisis asegu a que la se˜nal cumple con el limi e máximo pe mi ido según los
da os expe imen ales u ilizados.
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En es e caso, se ha op ado po de ini wi B exp(α∥z¯ − z˜i∥s),
donde α > 0 y s ≥ 1 son pa ´ame os ajus ables. La modi icaci´on
de es os pa ´ame os pe mi e con ola el peso de los pun os u i-
lizados en la eg esi´on, ga an izando que el p oblema (1) es e´
siemp e bien condicionado num´e icamen e. Los da os expe i-
men ales se han ob enido con s = 1 y haciendo uso de no mas
eucl´ıdeas, omando α = log (1, 05) / ◦, donde ◦ se de ine como
la dis ancia m´axima en e z¯ y cualquie pun o en D◦, es deci , ◦
= m´axi∈{1,...,N◦}∥z˜i − z¯∥2.
Pa a alida el p edic o , calculamos el e o ela i o no ma-
lizado como ζ = ∥ξ − ξˆ∥∞/∥ξ ∥∞, donde ξ es una mues a de
salida del conjun o de da os de alidaci´on, y ξˆ la salida es ima-
da po K iging. En la Tabla 2 es posible e una compa aci´on
de los iempos de c´alculo de la es imaci´on con ho izon e Np =
200, eniendo en cuen a que se ha u ilizado un o denado
equipado con un p ocesado In el Co e i7 de 8ª gene aci´on y 16
GB de RAM. La ila que se des aca en dicha abla hace
e e encia a la mejo elecci´on de pa ´ame os na = nb = 4,
escogida po p odu-ci el meno e o medio de p edicci´on
ob enido con los da os de alidaci´on. Des aca que los iempos
mos ados en la Tabla 2 se han ob enido an o con el algo i mo
K-ISTA p esen ado en la secci´on 3.2, como con una e si´on
acele ada de dicho algo i mo basada en el esquema FISTA con
es a (Alamo e al., 2019), imponiendo una ole ancia ϵ = 10
−3 pa a es ablece el c i e io de pa ada.
Adicionalmen e, en Figu a 3 se mues a una compa a i a de
la calidad de la p edicci´on ealizada as esol e (1)-(2) hacien-
do uso del Algo i mo 1, K-ISTA, en dos escena ios di e en es.
e icien es {λ∗
1, . . . , λ∗
N◦}que sa is acen la elaci´
on ¯z=i=1
Figu a 5: Compa aci´on de dos ayec o ias p edichas pa a la ase c: modelo
ARX (pa am´e ico) en e a p edicci´on basada en K iging (no pa am´e ico). En
la g ´a ica supe io , se e idencia que el modelo ARX, en enado con la o alidad
de la base de da os, no es ima adecuadamen- e la se˜nal no exci ada. Po o o
lado, en la g ´a ica in e io , el modelo basado en K iging demues a una mayo
p ecisi´on en la cap u a de las exci aciones de la se˜nal, supe ando al modelo
ARX en la de ecci´on de dichas pe u baciones.
Como se discu io´ en la secci´on 2, es o se ealiza en dos
pasos: p ime o, se esuel e (1) pa a ob ene el conjun o
PN◦de
λ∗
co-
i˜zi;
ˆ
ξ=
luego,
P la ayec o ia de ol aje ξˆ se es ima a a ´es de (2), como
N◦
i=1λ∗
iξi. Del mismo modo, se p edice la ayec o ia de la
ecuencia de la ed ˆωgusando los mismos coe icien es λipa a
pode pasa la p edicci´
on de ol aje del ma co dq al ma co abc.
De es a o ma, ˆωg=PN◦
i=1λ∗
i˜ωg,i.
Asimismo, pa a e alua la e ec i idad del p edic o , se ha
compa ado con un modelo ARX ajus ado sob e D po m´ıni-
mos cuad ados o dina ios, u ilizando como m´e ica de e alua-
ci´on la media de ζ sob e odo el conjun o de alidaci´on. Con
na, nb = 4, el p edic o basado en K-ISTA alcanza una p eci-
si´on del ζ = 3,78 %, compa ado con el ζ = 5,04 % del modelo
ARX, pudiendo es ima de o ma m´as exac a las exci aciones a
las que es a´ siendo some ido el modelo simulado. Es o puede
e se en la Figu a 5, donde se ha compa ado la p edicci´on de
ayec o ias pa a la ase c, mos ando que el modelo basado en
K iging iene una mayo p ecisi´on en la cap u a de las
exci aciones de la se˜nal en compa aci´on con el modelo ARX.
Tabla 2: Tiempo de c´alculo (CT) y e o ela i o (ζ) pa a alo es dis in os de na
y nb, omando ϵ = 10−3.
na,nbCT K-ISTA [ms] CT K-ISTA acele ado [ms] ζ[%]
Max Median Min Max Median Min Mean
21135 25.80 0.47 28.40 5.97 0.26 3.92
4715 18.80 0.58 41.24 5.04 0.28 3.78
8919 19.39 0.74 64.41 5.52 0.50 3.95
16 3372 14.17 0.71 49.88 5.08 0.40 5.61
25 3686 12.96 0.35 74.79 4.81 0.37 11.3
50 4896 19.80 1.39 91.26 7.89 0.70 6.29
6. Conclusiones
En es e abajo se ha p opues o un m´
e odo de p edicci´
on no
pa am´
e ico basado en K iging pa a las a iables de in e ´
es en
la ed de dis ibuci´
on. Los esul ados demues an que la p eci-
si´
on de la p edicci´
on puede llega a se in e io al 5 %, con un
iempo de c´
alculo de menos de 200 ms en el peo de los casos,
pa a g andes ho izon es de p edicci´
on. Es o des aca su aplica-
bilidad en aplicaciones de la ed que equie an maniob as en
escalas de iempo in e io es al segundo.
Ag adecimien os
Exp esa nues o ag adecimien o a Ma ´
ıa Camila Me ch´
an
Ri e os po su aliosa ayuda en el modelado de edes el´
ec icas
pa a nues o a ´
ıculo.
Es e abajo ha sido ealizado en el ma co del P oyec o
de in es igaci´
on PID2022-142946NA-I00 inanciado po MI-
CIU/AEI /10.13039/501100011033 y po FEDER, UE, y del
P oyec o 2023/00000487 inanciado po el VIIPP-2022 de la
Uni e sidad de Se illa. F. Fele y C. Mo eno Bl´
azquez ambi´
en
ag adecen el sopo e de la ayuda RYC2021-033960-I inancia-
da po MICIU/AEI /10.13039/501100011033 y po la Uni´
on
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