Re is a in e nacional de mé odos numé icos pwa cálculo
y
diseño en ingenie&. Vol.
3,2,129-152 (1987)
ASPECTOS MATEMATICOS DE ALGUNOS
METODOS NUMERICOS EN MECANICA DE FLUIDOS:
EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIEEl-STOKES
E. FERNANDEZ CARA
Y
M.
MARIN BELTRAN
Dp o. Ecuaciones Funcionales. Facul ad de Ma emá icas
c/ Ta ia, s/n 41 01 2 Se illa
Cá ed a de Ma emá icas. Facul ad de Ciencias
c/ San Albe o, s/n 14071 Có doba
RESUMEN
El obje i o de es e es udio ha sido la ob ención de p opiedades de con e gencia y es abilidad pa a
dos esquemas numk icos que pe mi en esol e las ecuaciones incomp esibles de Na ie -S okes.
Dichos esquemas han sido ob enidos modi icando lige amen e o os debidos a R. Glowinski, cuya
con e gencia no había sido es udiada has a la echa. En una p ime a e apa, se usan mé odos de
di ecciones al e nadas del ipo de Peaceman-Rach o d y de S ang. Es o educe el p oblema a la
esolución de p oblemas elíp icos lineales del ipo de S okes y p oblemas el p icos quasi-lineales.
En la segunda e apa, es os p oblemas se esuel en numk icamen e usando a ios mk odos de ap oxi-
mación en espacio (elemen os ini os), (pa a los p oblemas no lineales es con enien e in oduci una
o mulación de ipo minimos cuad ados). La con e gencia de las soluciones ap oximadas hacia la
solución del p oblema inicial se e i ica bajo cie as condiciones especi icas de es abilidad. Las p opie-
dades ob enidas ienen a jus i ica los buenos esul ados numk icos conseguidos u ilizando los mé o-
dos de Glowinski.
SUMMARY
The goal o his pape is o desc ibe some s abili y and con e gence p ope ies o wo nume ical
schemes which can be used o sol e he incomp essible ime-dependen Na ie -S okes equa ions. The
schemes we e de i ed by modi ying sligh ly o he s, due o R. Glowinski, o which con e gence had
no s ill been p o en. A a i s s age, al e na ing di ec ion ime-disc e iza ion me hods o Peaceman-
Rach o d and S ang ypes ha e been in oduced. This educes he ask o he solu ion o a sequence
o (s a iona y) eliip ic subp oblems, some o hem linea (quasi-S okes p oblems) and some quasi-
linea . Then, . hese a e sol ed using FEMs o he nonlinea sub-p oblems, i is app opia e o in o-
duce a leas -squa es e o mula ion). Unde ce ain speci ic s abili y condi ions, we es ablish a
con e gence esul o he compu ed solu ions. This jus i ies igo ously he ac ha Glowinski's
me hods ha e p o ided excellen nume ical esul s.
Recibido: Diciemb e
1986
QUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
130
E.
FERNANDEZ CARA
Y
M. MARIN
INTRODUCCION
Las ecuaciones de Na ie -S okes, obje o de nues o abajo, ienen su o igen en la
Mecánica de Fluidos
y
juegan un papel muy impo an e en nume osos campos de la
Ciencia
y
la Ingenie ia. Po ello, no sólo nos in e esa es udia di e en es aspec os cuali-
a i os sino ambien cuan i a i os, de sus soluciones.
En e sus muchas aplicaciones, ci a emos a modo de ejemplo, la de e minación del
campo de elocidades de un luido iscoso que se mue e en el in e io de un canal en
el
cual exis e un escalón. (Fig.
1
a
3).
Figu a
1.
La geome ia del escalón. Las condiciones de con o no son:
a) Fluido de Poiseuille sob e
F..;
b) Condición de no deslizamien o sob e
Po;
c) T acción nula (condición na u al) sob e
F:
,
Figu a
2.
La iangulación u ilizada ( écnica MODULEF;
elemen o ini o de Thomasse ,
P,
-no con o me, base con di e gencia nula).
Figu a
3.
Visualización de algunas l neas de co ien e (cálculos ealizados
u ilizando la Biblio eca MODULEF). Valo del núme o de Reynolds:
190.
Vemos como se ap ecian dos zonas bien di e enciadas; en la zona si uada en e la
en ada del canal
y
el escalón, el lujo anscu e en egimen lamina , debido a la p esencia
de una o icidad p ác icamen e nula (el campo de elocidades posee pe il pa abólico);
exis e una segunda zona en donde el luido iende a " ellena el acío" o iginado po
el escalón, c eándose un o bellino. Las dimensiones de dicho o bellino depende án
de la al u a del escalón, la elocidad de llegada del luido
y
la iscosidad del mismo.
Nues o obje i o a a se pues, calcula el campo de elocidades de un luido en
mo imien o.
Deno emos po u=u(x, ) la elocidad del luido en 52x(O,T), siendo 52 la egión
ocupada po el luido (52 es un abie o aco ado de
Rn,
con
n=
2
ó
3 en la p ác ica)
y [O,T] el in e alo de iempo conside ado. Sea p=p(x, ) la p esión del luido. Con
es as no aciones, el mo imien o de un luido iscoso (de iscosiclad cinemá ica u),
i.e. cuyas pa ículas es án some idas a ue zas in e nas de ozamien o, incomp esible
y homogeneo (es deci , con densidad cons an e) queda modelizado po el p oblema
incomp esible de Na ie -S okes:
di u
=
O
en 52
x
(0,T) (2)
u
=
O
sob e 852 x (0,T) (3)
La p ime a de las ecuaciones, llamada ecuación de equilib io de momen os o ley de
conse ación de la can idad de mo imien o, es una consecuencia de la segunda Ley de
New on. En ella, el p ime y e ce e mino p o ienen de de i a espec o de la a iable
a lo la go de las ayec o ias; el e mino Vp se debe
a
la exis encia de ue zas supe i-
ciales de ensión, mien as que la p esencia del e mino Au deno a que nues o luido
es iscoso, (si uese =O, se di ia que nues o luido es ideal); po iil imo, el segundo
miemb o, indica la exis encia de un campo de ue zas ex e nas que ac úa sob e el
luido.
La ecuación (2) cons i uye la llamada condición de imcomp esibilidad y, en nues o
caso, es consecuencia de la ley de conse ación de la masa; nos dice que el olumen
ocupado po el luido pe manece cons an e en odo 52 x (0,T).
La condición de con o no (3) iene un signi icado ísico e iden e: debido a la
p esencia de ue zas iscosas, el luido se adhie e a las pa edes sólidas del dominio; si
es as es án en eposo, la elocidad sob e la on e a de nues o dominio debe se nula
( ecué dese el comen a io que haciamos sob e el pe il pa abólico de elocidades en
la en ada del canal). Na u almen e, si alguna de las pa edes se mue e con una eloci-
dad
,
la condición an e io debe se sus i uida po la igualdad u= sob e dicha pa ed.
Po úl imo, pues o que nues o p oblema es e olu i o, necesi amos de una condici6n
inicial de ipo de
(4),
donde u, es un campo de elocidades inicial conocido.
RESULTADOS DE EXISTENCIA
Y
UNICIDAD
Con obje o de enuncia esul ados de exis encia y unicidad pa a es e p oblema,
amos a in oduci una o mulación debil equi alen e. Pa a ello, u iliza emos los
siguien es espacios uncionales:
EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES
131
132
E.
FERNANDEZ CARA
Y
M.
MARIN
b)
H1
(a)
=
1
u/
E
L
(a),
V
E
L'
(ay
1
,
es un espacio de Hilbe
pa a la no ma
c)
H:
(a)
=
la adhe encia de 3(a) en
H'
(a); en
H:
(a), la semino ma
es de hecho una no ma equi alen e a la no ma de
H1
(a).
e)
V
=
la adhe encia de?)' en
H:
(a)"
;
V
es á do ado con el p oduc o
escala
y
la no ma de
H:
(a)", que llama emos espec i amen e
(1.
,
.
»
y
11.11.
)
H
=
la clausu a de?)' en L2 (a)"; H es á do ado con el p oduc o
escala
y
la no ma de
L2
(a)", que llama emos espec i amen e
(
.
,
.
)
y
l.
l.
pa a odo
u, ,
w
E
H1
Se e i ican las siguien es p opiedades pa a
V
y
H:
V
=
{ /
e
~,'(a)",di
=
O
en
H
=
) /
E
~~(a)~,di
=
O
en a,
.n
=
O
sob eaal
V
G
H
H'c,
V'
con inyecciones compac as
y
densas g acias a que
a
es aco ado;
po es o, el p oduc o de dualidad
<.
,
.>,x,,
puede conside a se como una ex ensi6n
,
del p oduc o escala en
H.
EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES
133
Po o a pa e, usando el Teo ema de De Rham, ob enemos que
V'
puede iden i i-
ca se con el espacio cocien e
V'
E
H-1
(S )"
/
VL~
(S )
(donde
H-'
(S )" es el dual de
H:
(a)"),
lo que nos pe mi i á el que, a pa i de la
o mulación débil de nues o p oblema, una ez conocida la elocidad, la p esión quede
de e minada sal o una cons an e adi i a.
Con odo, p ocediendo de la o ma usual, es deci , mul iplicando la ecuación (1)
po una unción es , in eg ando en S
y
aplicando las ó mulas de in eg ación po
pa es, la o mulación débil del p oblema de Na ie -S okes queda co no sigue:
Dados u,
e
H
y
e
L~
(0,T;
V')
encon a u
e
L2
(0,T;
V)
n
L"
(0,T;
H)
al que
La pe enencia de u a
L"
signi ica "a g osso modo" que la ene gía cine ica del luido
a a es a aco ada en odo el in e alo (0,T); po o a pa e, el que
u
pe enezca a
L2
se aduce ísicamen e en el hecho de que la pé dida de dicha ene gía asociada a la
p esencia de ue zas iscosas, es ini a.
Asimismo, con iene señala que la condición inicial u(0)
=
u, iene sen ido, den o
de es a o mulación débil, ya que, si u
E
L2
(0,T;
V)
n
LOD
(0,T;H) sa is ace
(5),
en onces, conside ada como una unción de [O,T] en
V'
,
u es con inua
y
(6) puede
en ende se (e.g.) como una igualdad en
V'.
Respec o al p oblema an e io , enemos un esül ado, debido a Hop , que nos dice
que (5)-(6) posee solución, siendo es a única en el caso
n=
2.
Si, además,
,u,
y
S2 son "su icien emen e egula es", en onces la unción gene ali-
zada ( ec o ial) (x, )
-
u( )
(x)
es al que, pa a alguna o a unción p (escala ), el pa
(u, p) es una solución clásica de
(
1
)-(4).
APROXIMACION NUMERICA
Cuando se in en a esol e el p oblema (1)-(4), nos encon amos con a ias
di icul ades impo an es como son:
-
Se a a de un sis ema (no una ecuación) en el que las incógni as son las n compo-
nen es de la elocidad
y
la p esión.
-
Las incógni as no son independien es ya que
(u,,
u,,
. .
u,
)
es án ligadas po la
condición de incomp esibilidad.

-
El p oblema es no lineal, debido a la p esencia del e mino (u
.
V)u, que apa ece en
la ecuación de equilib io de momen os.
-
Pa a
n=
3 no hay esul ados de unicidad. Se a a de un p oblema abie o desde
1938 en que ue ad e ido po Le ay y puede que, pa a iscosidades pequeñas,
exis an soluciones " u bulen as" que p esen en g andes oscilaciones.
Todas es as di icul ades hacen que las soluciones exac as sólo hayan podido ob ene se
en algunos casos muy conc e os y siemp e es aciona ios, como P.e. pa a el mo imien o
de un luido iscoso engend ado po la o ación de un disco plano inme so en el mismo
y
que
gi a
al ededo de su eje
(T.
Ká mán, 192 l), o el de un luido que se mue e en e
dos pa edes planas que o man un ángulo en e ellas ( luido de Poiseuille)
(G.
Hamel,
19 16). Es e hecho jus i ica plenamen e la impo ancia de busca algo i mos de esolu-
ción nume ica, que nos pe mi an ob ene soluciones ap oximadas de nues as ecua-
ciones.
Es a ap oximación se lle a
a
cabo en dos e apas: en una p ime a e apa se disc e iza
en iempo y, pos e io men e, los (sub) p oblemas elip icos que esul an son ap oxima-
dos en espacio.
Exis en muchos esquemas clhsicos y que apa ecen de una o ma na u al pa a lle a
a cabo la disc e ización en iempo. Expond emos a con inuación dos a modo de
ejemplo. Conside a emos pa a ello el in e alo [O,T] di idido en
N
subin e alos de
ampli ud k,
Asociamos a k y a la unción
las l,
.
.
.
,
N,
donde
En cada esquema de inimos ecu si amen e, pa a cada k, una amilia de pa es de
unciones (u: ,PO,),
.
.
.
,
(u! ,pk) donde (u,", p,") es una ap oximaci6n de (u,p) en
el ins an e
m
k, comenzando ambos con
1
)
Esquema o almen e expl ci o
Pa a
m
>
O,
ob enemos (u,"", pk") de
(u:,
p,") esol iendo el p oblema lineal:
134
E.
FERNANDEZ CARA
Y
M. MARIN
(*)
Supond emos el paso
k
de disc e ización en iempo cons an e, aunque un análisis simila
puede hace se u ilizando paso a iable.
di u:"
=
O
enS2
Um+l
-
k
-
O
sob e
Es e esquema, una ez o mulado en o ma gene alizada, nos pe mi i a ob ene
u:" de u: sin más que despeja , si no ue a po que la condicibn de incomp esibilidad
lo di icul a lige amen e. Se a a pues de un p oblema sencillo de esol e . El incon e-
nien e que iene es e esquema es, sin emba go, que hace al a oma un paso
k
muy
pequeño pa a ob ene soluciones ap oximadas es ables, además, de una p ecisión
mode ada, de p ime o den.
2)
Esquema
de
C ank-Nicholson
Pa a
m
>
O, ob enemos (u:", p:'l) de (u: ,p:
)
esol iendo el p oblema:
A[(u:+' +u:
)
/
21
+
(u:
.
EL
PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES
135
u:"
=
O
sob e
a!2
Es e esquema sigue siendo lineal, aho a la p ecisión ob enida es de segundo o den,
pe o de nue o es necesa io oma un paso
k
pequeño pa a que el esquema sea es able.
Como al e na i a a es os esquemas podemos pensa en o os que conse en la no
linealidad del p oblema o iginal, espe ando de es a o ma consegui mejo es ap oxima-
ciones sin necesidad de ene que u iliza un paso demasiado pequeño. Es e es p ecisa-
men e el obje i o de nues o abajo, en el que p esen amos dos algo i mos que
cons i uyen una modi icación de o os, dados po
R.
Glowinski e al. en 1980, cuya
con e gencia no hab a sido es udiada has a aho a.
Ambos esquemas pe enecen a la clase de los me odos de di ecciones al e nadas,
el p ime o de ellos del ipo de Peaceman-Rach o d (de dos pasos in e medios) y el
segundo del ipo de S ang (con es pasos in e medios).
Pa a desc ibi los, no emos en p ime luga que el p oblema inicial
(1)-(4)
equi ale
a es e o o
di
u
=
O
en ax(0,T) (13)
u
=
O
sob e aS2x(O,7') (1
4)
1
Lo que hemos hecho es in oduci en la ecuación (12) el e mino no linea12(di u)u
que en el con ex o de nues o p oblema, no a ec a pa a nada a su esolución, pues o
que
u
e i ica la condición de incomp esibilidad. De es a o ma, sin emba go, se
consigue una mayo sime ia en el e mino no lineal que se á de u ilidad en las demos-
aciones de los esul ados de con e gencia.
Conside emos de nue o el in e alo de iempo [O,T] di idido en
N
subin e alos de
ampli ud k, y un pa áme o 0 pe enecien e al in e alo (O, l), que nos se i á pa a da
peso a la condición de incomp esibilidad y a la no linealidad. Pa a la desc ipci6n de los
algo i mos, con obje o de simpli ica la no ación, sup imi emos el indice k.
ALG
1
Desc ibi emos p ime o un me odo de di ecciones al e nadas del ipo.de
Peaceman-Rach o d. De inimos las unciones u", U%, U',
. .
.
,
U~-%,
U~
,
como sigue: uO
=
u,; (16)
despues, dado
m
O
y um
e
H:
(a)", calculamos la solución (um*',pm+%) de
1
-
m+i-
1
(um . )um
+
-
(di um )um
1
en a,
2
um+%
=
O
sob e di2
y
calculamos una solución um+
l
de
1
+
-
(di um+l)
((
1-e)um+l
+
eum+%)
=
m+l
+
pm+%
en a, (18)
2
di um+'
=
O
en
S2
Um
+
1
=
O
sob e
136
E. FERNANDBZ CARA
Y
M. MARIN
EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES
137
En
4
17)
y
(1
8),
m+'h
es a dada po
i
2
(m+~)k
m+"(X)
=-
(x, )
d pa a
i=1,2.
k
lm+z)k
2
El
e o de disc e ización local de es e algo i mo es de p ime o den en
k.
Desa ollamos
un segundo algo i mo, del ipo de S ang, en el cual se in oduce un paso in e medio
m8s.
ALG
2
De inimos aho a las unciones
u",
u%
,
U%, U',
. .
.
,
uN-%, uN,
como sigue:
uO
=
u,;
(1
9)
después, dados
m
2
O
y
u"
e
H:
(a)", calculamos la solución
(um+%, pm+%)
de
di
um+%
=
O
en
S2
um+%
=
O
sob e
a8
calculamos una soluciBn
um+%
de
um'%
=
O
sob e
aS2
.y,
de aqu , ob enemos:
3.a
e apa:
De las es imaciones de las e apas an e io es se deduce la exis encia de sub-
N N
sucesiones
u,.
,
.
, ,
.
,
,
,
u,.
,
.
y
,
.
,
.
y
de una unción
u
E
Lm(O,T
s2
(a)"
)
l
LI
(0,~;
(52)")
n
HP(o,T; L2 (a)") al que dichas subsucesiones con e gen hacia
u
cuando
k'
y
h'
+
O
en los siguien es sen idos:
debilmen e
-
*
en L"(0,T;L2 (a)")
dCbilmen e en L2 (0,~;
H:
(a)")
debilmen e en H@(O,T ;L2 (a)")
Y
ue emen e
y
c.p.d. en L2 (G?x(O,T))"
De odas es as con e gencias, quizás la menos e iden e a pa i de las es imaciones
an e io es, sea la úl ima, es a se deduce sin más que ene en cuen a las hipó esis de
consis encia e i icadas po nues a ap oximación espacial.
Además, se ob iene que el limi e es el mismo pa a odas ellas, g acias a las elaciones
exis en es en e cada dos pa ejas de amilias ob enidas en la p ime a de las e apas.
4.a
e apa:
El p óximo paso consis e en demos a qbe el limi e
u
es solución. Se deduce
ácilmen e de las e apas p e ias que es e limi e
u
sa is ace:
(duld )
EL'
(0,T;
V')
con o=4/3 si n=3
y
a=2
si n=2.
(po densidad, es a ecuación a iacional ambien se e i ica pa a odo
de
V).
Es a
igualdad la hemos ob enido omando limi e en las igualdades e i icadas po las
unciones ap oximadas, eniendo en cuen a las p opiedades de con e gencia de la
3.a
e apa.
Po úl imo, no es di ícil p oba que
u
e i ica ambien la condición inicial
(6).
e apa:
Pa a demos a la con e gencia ue e enemos en cuen a que, en el caso
n
=2, se e i ica la llamada igualdad de la ene gía:
144
E.
FERNANDEZ
CARA
Y
M.
MARIN

EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIERSTOKES
145
que nos dice que la ene gia ciné ica co espondien e al ins an e inal más la pé dida de
dicha ene gia debido a la p esencia de ue zas de iscosidad, coincide con la ene gia
ciné ica co espondien e al ins an e inicial más el abajo ealizado po las ue zas ex e-
io es.
Teniendo en cuen a es a igualdad y, con obje o de p oba la con e gencia ue e en
L2 (0,T;q
(a)"),
in oducimos la exp esión:
donde:
*
wkh
:
[O,T]
-+
Wh
es una unción cons an e en cada [mk,(m l)k) de inida po
wk,
(mk)
=
BU;+%
+
(1-o)u;,
*
u;
:
[O,T]
-+
Wh
con u;
E
L2 (0,T;
Wh)
y
al que
Se e i ica que, dada u
E
L2 (0,T;
V),
exis e siemp e una unci6 i u; con las p opie-
dades p eceden es (c . T6mamg).
*
o ,
es una sucesión de pa áme os posi i os que con e gen a
1
cuando k y
h
ienden
a
ce o..
*
Ykh
es una exp esión con enien emen e elegida, como e emos m;ls adelan e.
Si desa ollamos
X,,
,
ob enemos:
Xw
=
xkh
+
xkh
+
X;
3
donde
x;,
=
Ilu(T)II:2
+
201,
loT
lluh( )llii d
O
Bas a, pues, elegi
Y,,
adecuadamen e pa a que:
Con ello consegui emos que Xkh
+
O
y, de aqu ,
"
.<
Teniendo en cuen a (46), concluimos que
y,
u ilizando (40), llega emos a las mismas p opiedades de con e gencia pa a ukh,
Vkh
9
Ukh
Y
Vkh
Obse ación
1.
La condición
k/h2
<
e.
es una condición su icien e de es abilidad,
usual pa a p oblemas pa abólicos no lineales. Nos dice, en esencia, que, una ez ijado
un pequeño paso de disc e ización en espacio, el paso de disc e ización en iempo no
puede se demasiado g ande. Pa a o os esquemas de disc e ización en espacio, es deci
pa a o os espacios
W,,
se ob ienen condiciones de es abilidad simila es, de la o ma
k/hq
<
c e. con
q
2
1
Obsewación
2.
En el caso idi nensional no hay esul ados de con e gencia ue e,
en p incipio debido a que no se e i ica la igualdad de la ene gía (que ha se ido como
base en nues a demos ación), Además, la no unicidad $e solución impide un esul ado
de con e gencia pa a las sucesiones comple as.
146
B.
FERNANDEZ CARA
Y
M.
MARIN
l':L
PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES
147
Obse ación
3.
Las ecnicas de demos ación u ilizadas es án basadas en me odos de
compacidad clásicos, y, en esul ados de Témam (1977) pa a esquemas más simples.
Pa a algunos esul ados pa ciales, eanse los abajos p e ios
F.
Ca a
-
Ma ín3.
4*
'.
Obse ación
4.
Se han ob enido esul ados análogos pa a el segundo de los algo i mos
con o a cons an e
e,
pa a la co espondien e condici6n de es abilidad; la demos aci6n7
algo más compleja puede encon a se en Ma in?
Obse ación
5.
Cla amen e, ALG 2 es, en la p ác ica, casi an econ6mico de usa como
ALG 1. Po o a pa e, el es udio de allado de algo i mos análogos a ALG 1
y
ALG 2
aplicados a un p oblema modelo sencillo (c . ~ is eau'
)
pa ece indica que ALG 2 es á
mucho mejo adap ado a la de e minación de soluciones pa a g andes alo es de
y, en
pa icula , al cálculo de soluciones es aciona ias.
RESOLWCION EFECTIVA DE LOS PROBLEMAS
Comen a emos
a
con inuaci6n los me odos nume icos de esolución de los p oblemas
lineales y quasi-lineales ob enidos en cada paso de ALG 1
y
ALG 2. Po simplicidad,
nos limi a emos a abaja sob e los p oblemas
(23)
y (24). El desa ollo que sigue
puede adap a se sin di icul ad a los p oblemas disc e izados co espondien es.
Resolución de los p oblemas quasi-lineales
El p oblema
(24)
no p o iene de ningún p oblema del Cálculo de Va iaciones,
pues o que no exis e ningún uncioisal sob e
H:
(a)" cuya di e encial coincida con
1
( .D)
+
-
(di )
2
Sin emba go, usando una o mulación con enien e en el sen ido de los m nimos
cuad ados, amos a se capaces de esol e
(24)
median e me odos p opios de la
P og amación no lineal.
Así, dada
E
H:
(a)", de inimos y (=y ( ))
E
H:
(a)"
como la dnica soluci6n de
y
=
O
sob e
aC2
Obse amos que y se ob iene de esol iendo
n
p oblemas de Di ichle lineales inde-
(pendien es (uno pa a cada componen e de
y).
148
E. FERNANDEZ CARA
Y
M. MARIN
Obse ese que si es solución del p oblema no lineal (24), en onces la co espon-
dien e unción
y,
ob enida a a es de (49), es
O.
Po ello, pa ece na u al in oduci la
siguien e o mulación de ipo mini nos cuad ados del p oblema (24):
"Busca u
E
HO
(a)" al que: (50)
J(u)
<
J( ) V e
H:
(a)"
".
Aqui,
J:
Ii:
(a)"
+
R
es á de inida po
1
J( )
=
-
1
p~~y~2
+
hly121
dx,
2 (51)
con
y
de inida (a pa i de
)
esol iendo el p oblema lineal (49). Los p oblemas (50)
y
(24) son equi alen es en el sen ido siguien e: Si u es solucidn de (24), ambién lo
es de (SO), con J(u)
=
O;
y, ecip ocamen e, si
u
es soluci6n de (50) y J(u)
=
0,
en on-
ces es
ambien soluci6n de (24).
Pa a esol e el p oblema de minimizaci6n (50) usamos un algo i mo de ipo g adien-
e conjugado, de inido como sigue
Paso
O
Inicialización:
u"
E
H:
(a)" dado;
a pa i de u', calculamos gO
e
H:
(a)" esol iendo
<-pago
+
hgO
,Z>
H-l
,H:
=
G'(u0),z>
VZEH~(~)~,
(*)
w"
=
go (54)
Despues, dados
m
>
O,
u", gm
y
wm
,
calculamos u"", gm"
y
wm+l en la o ma
siguien e
:
Paso
1
Descenso:
(55)
(*
)
S(.)
es el g adien e de
J(.).
y
hacemos
EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE
DE
NAVIER-STOKES
149
donde
X,
es soluci6n del p oblema de mini nización unidimensional
Paso
2
Cons ucción de una nue a di ección de descenso:
Calculamos
gm'l
.
H:
(a)", esol iendo
En Ma in7 puede encon a se una exp esión in eg al pa a <J'(um ),z>.
Pos e io men e, omamos ( a ian e de Polak-Ribié e):
y,
inalmen e,
wm+l
=
gm+l
-
ym wm.
Cambiamos
m
po
m+
1 y ol emos a (55).
Los dos pasos no i iales del algo i mo
(52)
-
(58) son:
(i) La esolución del p oblema de mini nización en una a iable (56); el co espondien e
hm puede calcula se de o ma ap oximada (po un mé odo de dico omia o median e
el mé odo de Fibonacci; c . e.g. ~ao*) o bien de mane a exac a, sin más que calcula
las aíces de una ecuación algeb áica de e ce g ado (en e ec o, la unci6n J(um hm
)
es polinómica de cua o g ado). Po o a pa e, como ya dijimos, en cada paso
hemos de esol e
n
p oblemas de Di ichle lineales asociados al ope ado elíp ico
(Ald.- pA) pa a, dado
,
ob ene la co espondien e unción
y
(pi-ob. (49)).

(ii) El cálculo de
gm
a pa i de
u"
equie e la esolución de 2n p oblemas lineales
de Di ichle del ipo an e io . De ellos,
n
se i án pa a calcula <J'(um
),z>
y los
es an es
n
pa a ob ene p opiamen e
gm
median e
(57).
Obse ese que, pa a una di isión uni o me del in e alo
[O,T],
los pa Lime ss
A
y
p
,
son independien es de
m.
En consecuencia, la elección de una ap oximación pa icula
en las a iables espaciales educe los mencionados p oblemas de Di ichle pa a (AId-pA)
a sis emas lineales de ecuaciones donde la ma iz de los coe icien es es siemp e la misma.
Pa ece, pues, adecuada una ac o ización de Cholesky pa a dicha ma iz (al p incipio
del p cg ama)
y
limi a los cálculos a la esolución de sis emas iangula es. Po el
con a io, si el me odo de disc e ización en la a iable
es de pasol7a iable, la esolución
de los sis emas lineales que p o ienen de los p oblemas de Di iciile pa a (Ald
-
pA)
esul a cos osa po me odos di ec os, (aho a p depende de
m!).
Una al e na i a in e e-
san e consis e en u iliza algo i mos de ipo elajación.
Resolución de los p oblemas de ipo quasi-S okes
150
E.
FERNANDICZ
CARA
Y
M.
MARIN
Figu a
5.
Elemen o
Pl
-no con o me,
Po
(Thomasse )
La esolución del p oblema
(23)
puede lle a se a cabo de dos mane as. En el caso
de
que sea posible calcula una base explici a de
Vh,
bas a esol e
(29)
po un ne odo
di ec o, ya que se a a de esol e un sis ema algeb áico cuya ma iz es sime ica
y
l:L PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES
15
1
de inida posi i a. Es o ocu e, P.e., cuando usamos el elemen o ini o no con o me
de Thomasse (c . la igu a
5).
En es e caso, se iene:
Wh
=
wh /wh
L~
(52)'
;
wh
1,
E
Pl
(7')"
V TGh ;wh con inua en ba icen os
de ca as adyacen es; wh
la
a
=
O
1
,
C ouzeix2, calculó una base explíci a de Vh en el caso
n
=2.
Desa o unadamen e, nos encon amos con que no es ácil en gene al, halla una
base de Vh
;
es o sugie e esol e el p oblema
(23)
median e un mé odo i e ado, del ipo
de Uzawa o A ow-Hu wicz. Una en aja de la u ilización de un me odo de es e ipo es
la ob ención de una ap oximación p +%en ALG 1, ( esp. p,"+x,
p,"+l
en ALG 2) pa a1 la
p esión p en el iempo (m+l/2)k ( esp. (m+1/4)k
y
(m+l)k). Aqui, nos e e i emos
exclusi amen e al ,algo i mo de Uzawa.
Comenza emos con una unción dada
Despues, conocido pm
,
de inimos um
y
pm'l
(m
2
0) median e:
X*um
-
p*Aum
=
g- pm en 52,
u"
=
O
sob e a52,
Se supone que
cp
>
O
es un escala dado. Ace ca de la con e gencia del algo i mo
(5
9)
-
(6
1
),
enemos el esul ado siguien e:
Teo ema
Supongamos que
152
E.
FERNANDEZ
CARA
Y
M.
MARIN
En onces, cualquie a que sea
p"
E
L2
(a)
se e i ica:
u"
-+
U
ue emen e en
H:
p"
-+
p
ue emen e en
L2
(a),
donde
1
u,pl
es la
única
solucibn de
(23)
que e i ica
/a
p
dx
=
po
dx.
(Pa a la de nos ací6 -1, ease Glowinski" p.
303).
En
cada paso del algo i mo
(59)
-
(61)
deben esol e se, de nue o,
n
p oblemas
de Di ichle Independien es pa a
(X*
Id
-
p*
A).
Si se oma
8
=
112
( esp.
8
=
213)
en
ALG
1 ( esp.
AL@
2),
se sigue que (XId
-FA)
=
(A*
Id
-F*
A)
=
eId
-+A>
( esp.
4
(Xld
-
pA)
=
2
(A'
Id
-
p*
A)
=
(;I~d
-$A),
con lo cual muchos de los subp og amas
pueden u iliza se an o pa a los subp oblemas ,lineales como pa a los no lineales, edu-
ciendo asi memo ia y iempo de p og amacibn,
Los esul ados expues os s0.n gene alizables a1 caso de condiciones de con o no de
ipo Di ichle no ho nogeneas (pa edes deslizan es, en ada de lujo, e s.) y10 condi-
ciones na u ales ho nogeneas o no (salida de lujo, acción, e c.). Pa a de alles, c .
~lowinski~, ~a in~.
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