Aspectos matemáticos de algunos métodos numéricos en mecánica de fluidos: el problema incompresible de Navier-Stokes

Re is a in e nacional de mé odos numé icos pwa cálculo y diseño en ingenie&. Vol. 3,2,129-152 (1987) ASPECTOS MATEMATICOS DE ALGUNOS METODOS NUMERICOS EN MECANICA DE FLUIDOS: EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIEEl-STOKES E. FERNANDEZ CARA Y M. MARIN BELTRAN Dp o. Ecuaciones Funcionales. Facul ad de Ma emá icas c/ Ta ia, s/n 41 01 2 Se illa Cá ed a de Ma emá icas. Facul ad de Ciencias c/ San Albe o, s/n 14071 Có doba RESUMEN El obje i o de es e es udio ha sido la ob ención de p opiedades de con e gencia y es abilidad pa a dos esquemas numk icos que pe mi en esol e las ecuaciones incomp esibles de Na ie -S okes. Dichos esquemas han sido ob enidos modi icando lige amen e o os debidos a R. Glowinski, cuya con e gencia no había sido es udiada has a la echa. En una p ime a e apa, se usan mé odos de di ecciones al e nadas del ipo de Peaceman-Rach o d y de S ang. Es o educe el p oblema a la esolución de p oblemas elíp icos lineales del ipo de S okes y p oblemas el p icos quasi-lineales. En la segunda e apa, es os p oblemas se esuel en numk icamen e usando a ios mk odos de ap oxi- mación en espacio (elemen os ini os), (pa a los p oblemas no lineales es con enien e in oduci una o mulación de ipo minimos cuad ados). La con e gencia de las soluciones ap oximadas hacia la solución del p oblema inicial se e i ica bajo cie as condiciones especi icas de es abilidad. Las p opie- dades ob enidas ienen a jus i ica los buenos esul ados numk icos conseguidos u ilizando los mé o- dos de Glowinski. SUMMARY The goal o his pape is o desc ibe some s abili y and con e gence p ope ies o wo nume ical schemes which can be used o sol e he incomp essible ime-dependen Na ie -S okes equa ions. The schemes we e de i ed by modi ying sligh ly o he s, due o R. Glowinski, o which con e gence had no s ill been p o en. A a i s s age, al e na ing di ec ion ime-disc e iza ion me hods o Peaceman- Rach o d and S ang ypes ha e been in oduced. This educes he ask o he solu ion o a sequence o (s a iona y) eliip ic subp oblems, some o hem linea (quasi-S okes p oblems) and some quasi- linea . Then, . hese a e sol ed using FEMs o he nonlinea sub-p oblems, i is app opia e o in o- duce a leas -squa es e o mula ion). Unde ce ain speci ic s abili y condi ions, we es ablish a con e gence esul o he compu ed solu ions. This jus i ies igo ously he ac ha Glowinski's me hods ha e p o ided excellen nume ical esul s. Recibido: Diciemb e 1986 QUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 130 E. FERNANDEZ CARA Y M. MARIN INTRODUCCION Las ecuaciones de Na ie -S okes, obje o de nues o abajo, ienen su o igen en la Mecánica de Fluidos y juegan un papel muy impo an e en nume osos campos de la Ciencia y la Ingenie ia. Po ello, no sólo nos in e esa es udia di e en es aspec os cuali- a i os sino ambien cuan i a i os, de sus soluciones. En e sus muchas aplicaciones, ci a emos a modo de ejemplo, la de e minación del campo de elocidades de un luido iscoso que se mue e en el in e io de un canal en el cual exis e un escalón. (Fig. 1 a 3). Figu a 1. La geome ia del escalón. Las condiciones de con o no son: a) Fluido de Poiseuille sob e F..; b) Condición de no deslizamien o sob e Po; c) T acción nula (condición na u al) sob e F: , Figu a 2. La iangulación u ilizada ( écnica MODULEF; elemen o ini o de Thomasse , P, -no con o me, base con di e gencia nula). Figu a 3. Visualización de algunas l neas de co ien e (cálculos ealizados u ilizando la Biblio eca MODULEF). Valo del núme o de Reynolds: 190. Vemos como se ap ecian dos zonas bien di e enciadas; en la zona si uada en e la en ada del canal y el escalón, el lujo anscu e en egimen lamina , debido a la p esencia de una o icidad p ác icamen e nula (el campo de elocidades posee pe il pa abólico); exis e una segunda zona en donde el luido iende a " ellena el acío" o iginado po el escalón, c eándose un o bellino. Las dimensiones de dicho o bellino depende án de la al u a del escalón, la elocidad de llegada del luido y la iscosidad del mismo. Nues o obje i o a a se pues, calcula el campo de elocidades de un luido en mo imien o. Deno emos po u=u(x, ) la elocidad del luido en 52x(O,T), siendo 52 la egión ocupada po el luido (52 es un abie o aco ado de Rn, con n= 2 ó 3 en la p ác ica) y [O,T] el in e alo de iempo conside ado. Sea p=p(x, ) la p esión del luido. Con es as no aciones, el mo imien o de un luido iscoso (de iscosiclad cinemá ica u), i.e. cuyas pa ículas es án some idas a ue zas in e nas de ozamien o, incomp esible y homogeneo (es deci , con densidad cons an e) queda modelizado po el p oblema incomp esible de Na ie -S okes: di u = O en 52 x (0,T) (2) u = O sob e 852 x (0,T) (3) La p ime a de las ecuaciones, llamada ecuación de equilib io de momen os o ley de conse ación de la can idad de mo imien o, es una consecuencia de la segunda Ley de New on. En ella, el p ime y e ce e mino p o ienen de de i a espec o de la a iable a lo la go de las ayec o ias; el e mino Vp se debe a la exis encia de ue zas supe i- ciales de ensión, mien as que la p esencia del e mino Au deno a que nues o luido es iscoso, (si uese =O, se di ia que nues o luido es ideal); po iil imo, el segundo miemb o, indica la exis encia de un campo de ue zas ex e nas que ac úa sob e el luido. La ecuación (2) cons i uye la llamada condición de imcomp esibilidad y, en nues o caso, es consecuencia de la ley de conse ación de la masa; nos dice que el olumen ocupado po el luido pe manece cons an e en odo 52 x (0,T). La condición de con o no (3) iene un signi icado ísico e iden e: debido a la p esencia de ue zas iscosas, el luido se adhie e a las pa edes sólidas del dominio; si es as es án en eposo, la elocidad sob e la on e a de nues o dominio debe se nula ( ecué dese el comen a io que haciamos sob e el pe il pa abólico de elocidades en la en ada del canal). Na u almen e, si alguna de las pa edes se mue e con una eloci- dad , la condición an e io debe se sus i uida po la igualdad u= sob e dicha pa ed. Po úl imo, pues o que nues o p oblema es e olu i o, necesi amos de una condici6n inicial de ipo de (4), donde u, es un campo de elocidades inicial conocido. RESULTADOS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD Con obje o de enuncia esul ados de exis encia y unicidad pa a es e p oblema, amos a in oduci una o mulación debil equi alen e. Pa a ello, u iliza emos los siguien es espacios uncionales: EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES 131 132 E. FERNANDEZ CARA Y M. MARIN b) H1 (a) = 1 u/ E L (a), V E L' (ay 1 , es un espacio de Hilbe pa a la no ma c) H: (a) = la adhe encia de 3(a) en H' (a); en H: (a), la semino ma es de hecho una no ma equi alen e a la no ma de H1 (a). e) V = la adhe encia de?)' en H: (a)" ; V es á do ado con el p oduc o escala y la no ma de H: (a)", que llama emos espec i amen e (1. , . » y 11.11. ) H = la clausu a de?)' en L2 (a)"; H es á do ado con el p oduc o escala y la no ma de L2 (a)", que llama emos espec i amen e ( . , . ) y l. l. pa a odo u, , w E H1 Se e i ican las siguien es p opiedades pa a V y H: V = { / e ~,'(a)",di = O en H = ) / E ~~(a)~,di = O en a, .n = O sob eaal V G H H'c, V' con inyecciones compac as y densas g acias a que a es aco ado; po es o, el p oduc o de dualidad <. , .>,x,, puede conside a se como una ex ensi6n , del p oduc o escala en H. EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES 133 Po o a pa e, usando el Teo ema de De Rham, ob enemos que V' puede iden i i- ca se con el espacio cocien e V' E H-1 (S )" / VL~ (S ) (donde H-' (S )" es el dual de H: (a)"), lo que nos pe mi i á el que, a pa i de la o mulación débil de nues o p oblema, una ez conocida la elocidad, la p esión quede de e minada sal o una cons an e adi i a. Con odo, p ocediendo de la o ma usual, es deci , mul iplicando la ecuación (1) po una unción es , in eg ando en S y aplicando las ó mulas de in eg ación po pa es, la o mulación débil del p oblema de Na ie -S okes queda co no sigue: Dados u, e H y e L~ (0,T; V') encon a u e L2 (0,T; V) n L" (0,T; H) al que La pe enencia de u a L" signi ica "a g osso modo" que la ene gía cine ica del luido a a es a aco ada en odo el in e alo (0,T); po o a pa e, el que u pe enezca a L2 se aduce ísicamen e en el hecho de que la pé dida de dicha ene gía asociada a la p esencia de ue zas iscosas, es ini a. Asimismo, con iene señala que la condición inicial u(0) = u, iene sen ido, den o de es a o mulación débil, ya que, si u E L2 (0,T; V) n LOD (0,T;H) sa is ace (5), en onces, conside ada como una unción de [O,T] en V' , u es con inua y (6) puede en ende se (e.g.) como una igualdad en V'. Respec o al p oblema an e io , enemos un esül ado, debido a Hop , que nos dice que (5)-(6) posee solución, siendo es a única en el caso n= 2. Si, además, ,u, y S2 son "su icien emen e egula es", en onces la unción gene ali- zada ( ec o ial) (x, ) - u( ) (x) es al que, pa a alguna o a unción p (escala ), el pa (u, p) es una solución clásica de ( 1 )-(4). APROXIMACION NUMERICA Cuando se in en a esol e el p oblema (1)-(4), nos encon amos con a ias di icul ades impo an es como son: - Se a a de un sis ema (no una ecuación) en el que las incógni as son las n compo- nen es de la elocidad y la p esión. - Las incógni as no son independien es ya que (u,, u,, . . u, ) es án ligadas po la condición de incomp esibilidad. - El p oblema es no lineal, debido a la p esencia del e mino (u . V)u, que apa ece en la ecuación de equilib io de momen os. - Pa a n= 3 no hay esul ados de unicidad. Se a a de un p oblema abie o desde 1938 en que ue ad e ido po Le ay y puede que, pa a iscosidades pequeñas, exis an soluciones " u bulen as" que p esen en g andes oscilaciones. Todas es as di icul ades hacen que las soluciones exac as sólo hayan podido ob ene se en algunos casos muy conc e os y siemp e es aciona ios, como P.e. pa a el mo imien o de un luido iscoso engend ado po la o ación de un disco plano inme so en el mismo y que gi a al ededo de su eje (T. Ká mán, 192 l), o el de un luido que se mue e en e dos pa edes planas que o man un ángulo en e ellas ( luido de Poiseuille) (G. Hamel, 19 16). Es e hecho jus i ica plenamen e la impo ancia de busca algo i mos de esolu- ción nume ica, que nos pe mi an ob ene soluciones ap oximadas de nues as ecua- ciones. Es a ap oximación se lle a a cabo en dos e apas: en una p ime a e apa se disc e iza en iempo y, pos e io men e, los (sub) p oblemas elip icos que esul an son ap oxima- dos en espacio. Exis en muchos esquemas clhsicos y que apa ecen de una o ma na u al pa a lle a a cabo la disc e ización en iempo. Expond emos a con inuación dos a modo de ejemplo. Conside a emos pa a ello el in e alo [O,T] di idido en N subin e alos de ampli ud k, Asociamos a k y a la unción las l, . . . , N, donde En cada esquema de inimos ecu si amen e, pa a cada k, una amilia de pa es de unciones (u: ,PO,), . . . , (u! ,pk) donde (u,", p,") es una ap oximaci6n de (u,p) en el ins an e m k, comenzando ambos con 1 ) Esquema o almen e expl ci o Pa a m > O, ob enemos (u,"", pk") de (u:, p,") esol iendo el p oblema lineal: 134 E. FERNANDEZ CARA Y M. MARIN (*) Supond emos el paso k de disc e ización en iempo cons an e, aunque un análisis simila puede hace se u ilizando paso a iable. di u:" = O enS2 Um+l - k - O sob e Es e esquema, una ez o mulado en o ma gene alizada, nos pe mi i a ob ene u:" de u: sin más que despeja , si no ue a po que la condicibn de incomp esibilidad lo di icul a lige amen e. Se a a pues de un p oblema sencillo de esol e . El incon e- nien e que iene es e esquema es, sin emba go, que hace al a oma un paso k muy pequeño pa a ob ene soluciones ap oximadas es ables, además, de una p ecisión mode ada, de p ime o den. 2) Esquema de C ank-Nicholson Pa a m > O, ob enemos (u:", p:'l) de (u: ,p: ) esol iendo el p oblema: A[(u:+' +u: ) / 21 + (u: . EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES 135 u:" = O sob e a!2 Es e esquema sigue siendo lineal, aho a la p ecisión ob enida es de segundo o den, pe o de nue o es necesa io oma un paso k pequeño pa a que el esquema sea es able. Como al e na i a a es os esquemas podemos pensa en o os que conse en la no linealidad del p oblema o iginal, espe ando de es a o ma consegui mejo es ap oxima- ciones sin necesidad de ene que u iliza un paso demasiado pequeño. Es e es p ecisa- men e el obje i o de nues o abajo, en el que p esen amos dos algo i mos que cons i uyen una modi icación de o os, dados po R. Glowinski e al. en 1980, cuya con e gencia no hab a sido es udiada has a aho a. Ambos esquemas pe enecen a la clase de los me odos de di ecciones al e nadas, el p ime o de ellos del ipo de Peaceman-Rach o d (de dos pasos in e medios) y el segundo del ipo de S ang (con es pasos in e medios). Pa a desc ibi los, no emos en p ime luga que el p oblema inicial (1)-(4) equi ale a es e o o di u = O en ax(0,T) (13) u = O sob e aS2x(O,7') (1 4) 1 Lo que hemos hecho es in oduci en la ecuación (12) el e mino no linea12(di u)u que en el con ex o de nues o p oblema, no a ec a pa a nada a su esolución, pues o que u e i ica la condición de incomp esibilidad. De es a o ma, sin emba go, se consigue una mayo sime ia en el e mino no lineal que se á de u ilidad en las demos- aciones de los esul ados de con e gencia. Conside emos de nue o el in e alo de iempo [O,T] di idido en N subin e alos de ampli ud k, y un pa áme o 0 pe enecien e al in e alo (O, l), que nos se i á pa a da peso a la condición de incomp esibilidad y a la no linealidad. Pa a la desc ipci6n de los algo i mos, con obje o de simpli ica la no ación, sup imi emos el indice k. ALG 1 Desc ibi emos p ime o un me odo de di ecciones al e nadas del ipo.de Peaceman-Rach o d. De inimos las unciones u", U%, U', . . . , U~-%, U~ , como sigue: uO = u,; (16) despues, dado m O y um e H: (a)", calculamos la solución (um*',pm+%) de 1 - m+i- 1 (um . )um + - (di um )um 1 en a, 2 um+% = O sob e di2 y calculamos una solución um+ l de 1 + - (di um+l) (( 1-e)um+l + eum+%) = m+l + pm+% en a, (18) 2 di um+' = O en S2 Um + 1 = O sob e 136 E. FERNANDBZ CARA Y M. MARIN EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES 137 En 4 17) y (1 8), m+'h es a dada po i 2 (m+~)k m+"(X) =- (x, ) d pa a i=1,2. k lm+z)k 2 El e o de disc e ización local de es e algo i mo es de p ime o den en k. Desa ollamos un segundo algo i mo, del ipo de S ang, en el cual se in oduce un paso in e medio m8s. ALG 2 De inimos aho a las unciones u", u% , U%, U', . . . , uN-%, uN, como sigue: uO = u,; (1 9) después, dados m 2 O y u" e H: (a)", calculamos la solución (um+%, pm+%) de di um+% = O en S2 um+% = O sob e a8 calculamos una soluciBn um+% de um'% = O sob e aS2 .y, de aqu , ob enemos: 3.a e apa: De las es imaciones de las e apas an e io es se deduce la exis encia de sub- N N sucesiones u,. , . , , . , , , u,. , . y , . , . y de una unción u E Lm(O,T s2 (a)" ) l LI (0,~; (52)") n HP(o,T; L2 (a)") al que dichas subsucesiones con e gen hacia u cuando k' y h' + O en los siguien es sen idos: debilmen e - * en L"(0,T;L2 (a)") dCbilmen e en L2 (0,~; H: (a)") debilmen e en H@(O,T ;L2 (a)") Y ue emen e y c.p.d. en L2 (G?x(O,T))" De odas es as con e gencias, quizás la menos e iden e a pa i de las es imaciones an e io es, sea la úl ima, es a se deduce sin más que ene en cuen a las hipó esis de consis encia e i icadas po nues a ap oximación espacial. Además, se ob iene que el limi e es el mismo pa a odas ellas, g acias a las elaciones exis en es en e cada dos pa ejas de amilias ob enidas en la p ime a de las e apas. 4.a e apa: El p óximo paso consis e en demos a qbe el limi e u es solución. Se deduce ácilmen e de las e apas p e ias que es e limi e u sa is ace: (duld ) EL' (0,T; V') con o=4/3 si n=3 y a=2 si n=2. (po densidad, es a ecuación a iacional ambien se e i ica pa a odo de V). Es a igualdad la hemos ob enido omando limi e en las igualdades e i icadas po las unciones ap oximadas, eniendo en cuen a las p opiedades de con e gencia de la 3.a e apa. Po úl imo, no es di ícil p oba que u e i ica ambien la condición inicial (6). e apa: Pa a demos a la con e gencia ue e enemos en cuen a que, en el caso n =2, se e i ica la llamada igualdad de la ene gía: 144 E. FERNANDEZ CARA Y M. MARIN EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIERSTOKES 145 que nos dice que la ene gia ciné ica co espondien e al ins an e inal más la pé dida de dicha ene gia debido a la p esencia de ue zas de iscosidad, coincide con la ene gia ciné ica co espondien e al ins an e inicial más el abajo ealizado po las ue zas ex e- io es. Teniendo en cuen a es a igualdad y, con obje o de p oba la con e gencia ue e en L2 (0,T;q (a)"), in oducimos la exp esión: donde: * wkh : [O,T] -+ Wh es una unción cons an e en cada [mk,(m l)k) de inida po wk, (mk) = BU;+% + (1-o)u;, * u; : [O,T] -+ Wh con u; E L2 (0,T; Wh) y al que Se e i ica que, dada u E L2 (0,T; V), exis e siemp e una unci6 i u; con las p opie- dades p eceden es (c . T6mamg). * o , es una sucesión de pa áme os posi i os que con e gen a 1 cuando k y h ienden a ce o.. * Ykh es una exp esión con enien emen e elegida, como e emos m;ls adelan e. Si desa ollamos X,, , ob enemos: Xw = xkh + xkh + X; 3 donde x;, = Ilu(T)II:2 + 201, loT lluh( )llii d O Bas a, pues, elegi Y,, adecuadamen e pa a que: Con ello consegui emos que Xkh + O y, de aqu , " .< Teniendo en cuen a (46), concluimos que y, u ilizando (40), llega emos a las mismas p opiedades de con e gencia pa a ukh, Vkh 9 Ukh Y Vkh Obse ación 1. La condición k/h2 < e. es una condición su icien e de es abilidad, usual pa a p oblemas pa abólicos no lineales. Nos dice, en esencia, que, una ez ijado un pequeño paso de disc e ización en espacio, el paso de disc e ización en iempo no puede se demasiado g ande. Pa a o os esquemas de disc e ización en espacio, es deci pa a o os espacios W,, se ob ienen condiciones de es abilidad simila es, de la o ma k/hq < c e. con q 2 1 Obsewación 2. En el caso idi nensional no hay esul ados de con e gencia ue e, en p incipio debido a que no se e i ica la igualdad de la ene gía (que ha se ido como base en nues a demos ación), Además, la no unicidad $e solución impide un esul ado de con e gencia pa a las sucesiones comple as. 146 B. FERNANDEZ CARA Y M. MARIN l':L PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES 147 Obse ación 3. Las ecnicas de demos ación u ilizadas es án basadas en me odos de compacidad clásicos, y, en esul ados de Témam (1977) pa a esquemas más simples. Pa a algunos esul ados pa ciales, eanse los abajos p e ios F. Ca a - Ma ín3. 4* '. Obse ación 4. Se han ob enido esul ados análogos pa a el segundo de los algo i mos con o a cons an e e, pa a la co espondien e condici6n de es abilidad; la demos aci6n7 algo más compleja puede encon a se en Ma in? Obse ación 5. Cla amen e, ALG 2 es, en la p ác ica, casi an econ6mico de usa como ALG 1. Po o a pa e, el es udio de allado de algo i mos análogos a ALG 1 y ALG 2 aplicados a un p oblema modelo sencillo (c . ~ is eau' ) pa ece indica que ALG 2 es á mucho mejo adap ado a la de e minación de soluciones pa a g andes alo es de y, en pa icula , al cálculo de soluciones es aciona ias. RESOLWCION EFECTIVA DE LOS PROBLEMAS Comen a emos a con inuaci6n los me odos nume icos de esolución de los p oblemas lineales y quasi-lineales ob enidos en cada paso de ALG 1 y ALG 2. Po simplicidad, nos limi a emos a abaja sob e los p oblemas (23) y (24). El desa ollo que sigue puede adap a se sin di icul ad a los p oblemas disc e izados co espondien es. Resolución de los p oblemas quasi-lineales El p oblema (24) no p o iene de ningún p oblema del Cálculo de Va iaciones, pues o que no exis e ningún uncioisal sob e H: (a)" cuya di e encial coincida con 1 ( .D) + - (di ) 2 Sin emba go, usando una o mulación con enien e en el sen ido de los m nimos cuad ados, amos a se capaces de esol e (24) median e me odos p opios de la P og amación no lineal. Así, dada E H: (a)", de inimos y (=y ( )) E H: (a)" como la dnica soluci6n de y = O sob e aC2 Obse amos que y se ob iene de esol iendo n p oblemas de Di ichle lineales inde- (pendien es (uno pa a cada componen e de y). 148 E. FERNANDEZ CARA Y M. MARIN Obse ese que si es solución del p oblema no lineal (24), en onces la co espon- dien e unción y, ob enida a a es de (49), es O. Po ello, pa ece na u al in oduci la siguien e o mulación de ipo mini nos cuad ados del p oblema (24): "Busca u E HO (a)" al que: (50) J(u) < J( ) V e H: (a)" ". Aqui, J: Ii: (a)" + R es á de inida po 1 J( ) = - 1 p~~y~2 + hly121 dx, 2 (51) con y de inida (a pa i de ) esol iendo el p oblema lineal (49). Los p oblemas (50) y (24) son equi alen es en el sen ido siguien e: Si u es solucidn de (24), ambién lo es de (SO), con J(u) = O; y, ecip ocamen e, si u es soluci6n de (50) y J(u) = 0, en on- ces es ambien soluci6n de (24). Pa a esol e el p oblema de minimizaci6n (50) usamos un algo i mo de ipo g adien- e conjugado, de inido como sigue Paso O Inicialización: u" E H: (a)" dado; a pa i de u', calculamos gO e H: (a)" esol iendo <-pago + hgO ,Z> H-l ,H: = G'(u0),z> VZEH~(~)~, (*) w" = go (54) Despues, dados m > O, u", gm y wm , calculamos u"", gm" y wm+l en la o ma siguien e : Paso 1 Descenso: (55) (* ) S(.) es el g adien e de J(.). y hacemos EL PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES 149 donde X, es soluci6n del p oblema de mini nización unidimensional Paso 2 Cons ucción de una nue a di ección de descenso: Calculamos gm'l . H: (a)", esol iendo En Ma in7 puede encon a se una exp esión in eg al pa a <J'(um ),z>. Pos e io men e, omamos ( a ian e de Polak-Ribié e): y, inalmen e, wm+l = gm+l - ym wm. Cambiamos m po m+ 1 y ol emos a (55). Los dos pasos no i iales del algo i mo (52) - (58) son: (i) La esolución del p oblema de mini nización en una a iable (56); el co espondien e hm puede calcula se de o ma ap oximada (po un mé odo de dico omia o median e el mé odo de Fibonacci; c . e.g. ~ao*) o bien de mane a exac a, sin más que calcula las aíces de una ecuación algeb áica de e ce g ado (en e ec o, la unci6n J(um hm ) es polinómica de cua o g ado). Po o a pa e, como ya dijimos, en cada paso hemos de esol e n p oblemas de Di ichle lineales asociados al ope ado elíp ico (Ald.- pA) pa a, dado , ob ene la co espondien e unción y (pi-ob. (49)). (ii) El cálculo de gm a pa i de u" equie e la esolución de 2n p oblemas lineales de Di ichle del ipo an e io . De ellos, n se i án pa a calcula <J'(um ),z> y los es an es n pa a ob ene p opiamen e gm median e (57). Obse ese que, pa a una di isión uni o me del in e alo [O,T], los pa Lime ss A y p , son independien es de m. En consecuencia, la elección de una ap oximación pa icula en las a iables espaciales educe los mencionados p oblemas de Di ichle pa a (AId-pA) a sis emas lineales de ecuaciones donde la ma iz de los coe icien es es siemp e la misma. Pa ece, pues, adecuada una ac o ización de Cholesky pa a dicha ma iz (al p incipio del p cg ama) y limi a los cálculos a la esolución de sis emas iangula es. Po el con a io, si el me odo de disc e ización en la a iable es de pasol7a iable, la esolución de los sis emas lineales que p o ienen de los p oblemas de Di iciile pa a (Ald - pA) esul a cos osa po me odos di ec os, (aho a p depende de m!). Una al e na i a in e e- san e consis e en u iliza algo i mos de ipo elajación. Resolución de los p oblemas de ipo quasi-S okes 150 E. FERNANDICZ CARA Y M. MARIN Figu a 5. Elemen o Pl -no con o me, Po (Thomasse ) La esolución del p oblema (23) puede lle a se a cabo de dos mane as. En el caso de que sea posible calcula una base explici a de Vh, bas a esol e (29) po un ne odo di ec o, ya que se a a de esol e un sis ema algeb áico cuya ma iz es sime ica y l:L PROBLEMA INCOMPRESIBLE DE NAVIER-STOKES 15 1 de inida posi i a. Es o ocu e, P.e., cuando usamos el elemen o ini o no con o me de Thomasse (c . la igu a 5). En es e caso, se iene: Wh = wh /wh L~ (52)' ; wh 1, E Pl (7')" V TGh ;wh con inua en ba icen os de ca as adyacen es; wh la a = O 1 , C ouzeix2, calculó una base explíci a de Vh en el caso n =2. Desa o unadamen e, nos encon amos con que no es ácil en gene al, halla una base de Vh ; es o sugie e esol e el p oblema (23) median e un mé odo i e ado, del ipo de Uzawa o A ow-Hu wicz. Una en aja de la u ilización de un me odo de es e ipo es la ob ención de una ap oximación p +%en ALG 1, ( esp. p,"+x, p,"+l en ALG 2) pa a1 la p esión p en el iempo (m+l/2)k ( esp. (m+1/4)k y (m+l)k). Aqui, nos e e i emos exclusi amen e al ,algo i mo de Uzawa. Comenza emos con una unción dada Despues, conocido pm , de inimos um y pm'l (m 2 0) median e: X*um - p*Aum = g- pm en 52, u" = O sob e a52, Se supone que cp > O es un escala dado. Ace ca de la con e gencia del algo i mo (5 9) - (6 1 ), enemos el esul ado siguien e: Teo ema Supongamos que 152 E. FERNANDEZ CARA Y M. MARIN En onces, cualquie a que sea p" E L2 (a) se e i ica: u" -+ U ue emen e en H: p" -+ p ue emen e en L2 (a), donde 1 u,pl es la única solucibn de (23) que e i ica /a p dx = po dx. (Pa a la de nos ací6 -1, ease Glowinski" p. 303). En cada paso del algo i mo (59) - (61) deben esol e se, de nue o, n p oblemas de Di ichle Independien es pa a (X* Id - p* A). Si se oma 8 = 112 ( esp. 8 = 213) en ALG 1 ( esp. AL@ 2), se sigue que (XId -FA) = (A* Id -F* A) = eId -+A> ( esp. 4 (Xld - pA) = 2 (A' Id - p* A) = (;I~d -$A), con lo cual muchos de los subp og amas pueden u iliza se an o pa a los subp oblemas ,lineales como pa a los no lineales, edu- ciendo asi memo ia y iempo de p og amacibn, Los esul ados expues os s0.n gene alizables a1 caso de condiciones de con o no de ipo Di ichle no ho nogeneas (pa edes deslizan es, en ada de lujo, e s.) y10 condi- ciones na u ales ho nogeneas o no (salida de lujo, acción, e c.). Pa a de alles, c . ~lowinski~, ~a in~. REFERENCIAS 1. M. 0~ B is eau y Y. Pe iaeix. ""Fi e Elemen me hods o he calcula isn o comp essible iscous lows using sel -adap i e mesh e inemen s". Rappo de Reche che INRIA, (apa ece á). 2. M. C suzeix y P. A. Ra ia . "Con o ming and non con o mi ng ini e elemen me hods o sol ing he ska iona y S skes equa ions". RAIRO, Se ie Anal. NMm. 3,33-76, (1973). 3. E. Fe nandez-Ca a y M. Ma n. "The con e gence o a nume ical me hod o solu ion o ke Na ie - S okes equa ions". In e nacional Sy nposium on Nume ical Analysis, Mad id, Sep., (1 985). 4. E. Fe nBndez-Ca a y M. Ma n. "AnBlisis numC ico de a ios algo i mss pa a la esoluci6n de las ecuaciones de N-S". II Simposium sob e Aplicaciones delM.E.F., en Ingenie ía. Ba celona, Junio, (1986). 5. E. Fe nández-Ca a y M. Ma in. "The csn e gence o wo nume ical schemes o he N-S equa ions9'. Pendlcn e de publicación. 6. R. Glowinski. Nu ne ial me hods o nonlineal a .Pa iona/p obems. 2.a Ed. Sp inge -Ve lag, (1 984). 7. M. Ma in. Análisis numC ics del p oblema incomp esible de N-S: mé odos de ipo di ecciones al e nadas. 'Tesis, Uni e sidad de Se illa, Oc ub e, (1986). 8. SS Ras. Op imiza ion 77zeo y and applica ions. Wiley Eas e n Limi ed, (1979). 9. R. Teman, Theo y aand nume ical analysis o he N-S equa ions. 2: Ed. No h-Holland, Ams e dam, (1977).