FILOSOFIAS
DE
LA
MATEMATICA
Y
EVOLUCION
DEL
POSITIVISMO
LOGICO
M.
CARMEN
HERNÁNDEZ
MARTÍN
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
El posi i ismo lógico a i ma que una eo ía cien í ica es, o debe se , un sis ema
axiomá ico. No sólo opeza á el posi i is a con el p oblema complejo de me e en es e
molde lógico-ma emá ico a leyes de al o y bajo ni el, hipó esis y da os, é minos eó icos
y é minos obse acionales, sino que an es o después no a á que es el p opio molde
lógico-ma emá ico el que es á cambiando en e sus manos.
En
e ec o el neoposi i ismo nace ligado a la iloso ía logicis a de la ma emá ica -
F ege, Russell, Wi gens ein- y poco a poco a deslizándose hacia plan eamien os
o malis as hilbe ianos.
El sis ema axiomá ico pa a el logicis a es una es uc u a concep ual, es deci , los
é minos usados ienen un signi icado conc e o aunque és e sea me amen e ideal. Pa a
el o malis a,
en
cambio, el sis ema axiomá ico es una es uc u a abs ac a en que los
é minos son, en exp esión de F ege, como las incógni as en un sis ema de ecuaciones;
es deci , no ienen más signi icado que el que eciben del sis ema de elaciones en que
es án inme sos. Ello equi ale a deci que poseen una plu alidad de posibles signi icados:
los pe mi idos po el sis ema de elaciones.
Po o o lado el logicismo es un a omismo. Y no sólo po que el análisis descienda
has a la p oposición y el hecho a ómico, sino po que el logicismo jus i ica á, an es que
al sis ema, a las p oposiciones que lo componen. Las p oposiciones de la ma emá ica son
au ologías, o e dades o males, ya que pueden se de i adas de unas pocas e dades
lógicas. El sis ema ecibe la e dad del conjun o de las p oposiciones e dade as que lo
componen. Y no es necesa ia, como a i ma á F ege, ninguna p ueba adicional de
consis encia
1•
En
cambio el o malismo es sis émico. Nada sabemos de la e dad de cada una de
las p oposiciones. Pe o sí podemos sabe que el sis ema es e dade o en cie o sen ido,
que no puede se sino o mal, al se consis en e. «Si los axiomas a bi a iamen e
es ablecidos, jun o con sus consecuencias, no se con adicen en e sí,»
-nos
di á Hilbe -
l.
Ve Mos e ín 1984.
72
M.
Ca men He nández Ma ín
«en onces exis en las cosas de inidas po los axiomas. Es e es pa a
mí
el c i e io de la
e dad y de la exis encia»2• Po an o el acen o se pone aho a
en
las p uebas de con-
sis encia. Y su ge no sólo el p oblema de es as p uebas, sino el del signi icado, cada ez
más escu idizo, de e dad o mal.
En
la e olución del posi i ismo lógico encon amos asgos di e enciales semejan-
es a los que acabamos de desc ibi . Po un lado el cambio de un a omismo a un
sis emismo
en
el p opio c i e io empi is a de signi icado. Po o o el deslizamien o desde
un sis ema eó ico signi ica i o en que los é minos eó icos se cons uyen a pa i de los
obse acionales, has a un cálculo abs ac o
en
que los é minos eciben su signi icado
median e un sis ema de eglas de in e p e ación.
En e ec o, el c i e io empi is a de signi icado comienza e i iéndose al signi icado
de la p oposición, echazando ajan emen e la pseudo-p oposición o p oposición sin
sen ido, y e mina aplicándose globalmen e al sis ema de pos ulados y eglas de
co espondencia.
Una p oposición es cogni i amen e signi ica i a si es suscep ible, al menos en
p incipio, de e i icación comple a
po
medio de la obse ación. Es e se á el p ime ísimo
c i e io que enseguida sus i ui á ' e i icación comple a' po 'con i mación'.
El sen ido, el signi icado, la e dad o p obabilidad, es á
en
cada p oposición.
La
p oposición obse acional iene un sen ido di ec o, ya que puede se con as ada
di ec amen e; la p oposición eó ica ha de se aducida a p oposición o p oposiciones
de obse ación pa a adqui i sen ido. Y es es a aducción la que adquie e di e en es
ma ices p o ocando di e en es plan eamien os.
En una p ime a explici ación encon amos que:
1)
La eo ía se o mula
en
una lógica de p ime o den con iden idad.
11)
Los é minos se ag upan en es clases disjun as o ocabula ios:
a) ocabula io lógico que con iene los é minos lógicos y ma emá icos,
b) ocabula io eó ico que con iene los é minos eó icos,
c) ocabula io obse acional que con iene los é minos obse acionales.
III) Los é minos obse acionales se e ie en a obje os ísicos, o ca ac e ís icas de
és os, di ec amen e obse ables.
IV) Hay un conjun o de axiomas o pos ulados eó icos con é minos eó icos.
V) Los é minos del ocabula io eó ico han de se de inidos explici amen e en
é minos del ocabula io obse acional.
Como puede e se en es a ca ac e ización, el c i e io de signi icado de las
p oposiciones eó icas pasa po la de inición explíci a de cada uno de sus é minos
en
base a é minos de obse ación. Los é minos eó icos, se insis i á una y o a ez, son
me as ab e ia u as de los obse acionales. No se admi e más egla de co espondencia
que la de inición.
2.
Id.
Filoso ías de la Ma emá ica ...
73
Pe o muy p on o se e idencia á la insu iciencia de es e plan eamien o. Los
é minos disposicionales, a mi ad de camino en e lo eó ico y lo obse acional, no son
de inibles explíci amen e. Se ecu e en onces a cie as de iniciones condicionadas, a las
que se denomina enunciados de educción. La «de inición» queda subo dinada a una
ope ación p e ia. La claúsula V se ans o ma en:
V')
Los é minos eó icos pueden se in e p e ados pa cialmen e en é minos del
ocabula io de obse ación median e enunciados de educción.
Pe o aún más. Como señala Hempel, exis en é minos al amen e eó icos que no
son in oducidos po de inición ni po educción. Se a a de cons ucciones muy
complejas que no son in oducidas po ningún p oceso que les asigne signi icado
indi idual. Las eo ías de ipo a anzado en que apa ecen es os é minos, con inúa
Hempel, son sis emas hipo é ico-deduc i os equipa ables a los sis emas axiomá icos no
in e p e ados de la lógica y de la ma emá ica. Es os sis emas adquie en el ca ac e de
eo ías empí icas median e in e p e aciones que consis en en la aducción de algunas
p oposiciones. Se a a, de hecho, de in e p e a el sis ema eó ico como un bloque, no
ya
é mino a é mino ni p oposición a p oposición. Ningún é mino puede queda
aislado,
ya
que algunos ecibi án su «signi icado» del p opio con ex o a a és de una
elación indi ec a con el plano de la obse ación.
Todo ello queda esumido en una nue a o mulación de la claúsula V en que el
concep o de egla de co espondencia
ha
su ido un nue o descenso:
V")
Las eglas de co espondencia cons i uyen un sis ema in e p e a i o C
espondiendo a las condiciones:
. a) C es ini o.
b) C es compa ible con los axiomas.
c) C con iene sólo é minos del ocabula io eó ico y del ocabula io
obse acional.
d) Cada egla debe con ene , esencial y no acuamen e, al menos un é mino
eó ico y un é mino obse acional.
e) El conjun o TC, eo ía y eglas de co espondencia, debe se cogni i amen e
signi ica i o.
El pun o e), que sub aya el cambio de c i e io, ué muy discu ido po sus
di icul ades de explici ación o al. De hecho acabó po se abandonado. Suppe apun a,
que el sis ema
TC
es signi ica i o si es á pa cialmen e in e p e ado
-es
deci , si iene
consecuencias obse ables que lo hacen comp obable-de al o ma que ninguno de sus
axiomas quede aislado. Es deci ,
V''
es ablece que es la eo ía como un odo lo que debe
se cogni i amen e signi ica i o.
Es a posición plan ea qué pueda conside a se como e dad de un sis ema empí i-
camen e signi ica i o. Y nos encon amos que el concep o ' e dad' necesi a en es e caso
de las dos e ien es
- e dad
o mal',' e dad-co espondencia' -en elazadas. Po que
el sis ema en p ime luga ha de p esumi se consis en e; consis encia que en sen ido
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M.
Ca men He nández Ma ín
hilbe iano se aduce
en
e dad o mal -p oblemá ica e dad o mal-. Pe o el sis ema
ha
de ene una co espondencia con lo obse able. Es a co espondencia pasa po los
pun os de con ac o con eso obse able, po las consecuencias que se de i an del sis ema
como o alidad. Es a co espondencia, que
no
es
po
an o de é mino a é mino, ni de
p oposición a p oposición, es insepa able de la consis encia, de la cohe encia, al se
en endida como co espondencia de odo el sis ema. A es a luz puede en ende se la
exp esión usada
en
cie os ámbi os, y an discu ida, de eo ía de la e dad como
cohe encia.
La
e dad obje i amen e conside ada es e dad o mal, o e dad-co es-
pondencia. Pe o la e dad subje i a es una mezcla insepa able de ambos planos
en
ensión.
En es os plan eamien os se e idencia ya un análisis lógico que dis ingue en e
eo ía abs ac a e in e p e ación.
En
e ec o, una úl ima e sión cali ica ya a la eo ía como
cálculo,
-ya
se ha apun ado an es
en
la alusión a
Hempel-
que ha de se in e p e ado
median e enunciados mix os - eó ico-obse acionales-que son las eglas de co espon-
dencia.
En
es a e olución desc i a podemos p egun a nos po el s a us de los axiomas.
Reco demos que en el logicismo los axiomas son e dades lógicas, mien as que
en
el
o malismo pueden se me as con enciones. Pa a el posi i ismo lógico los axiomas no
pueden se sino las leyes más al amen e eó icas. Pe o si
en
un p ime posi i ismo es as
leyes se án hipó esis ex ao dina iamen e bien con i madas-lo que más se ace ca a la
e dad en el e eno empí ico- en la úl ima e sión el p oblema se uel e mucho más
complejo. Las leyes son a menudo cons ucciones muy so is icadas, que hacen e e encia
a si uaciones ideales y con ienen é minos cuyo signi icado indi idual o ece g andes
p oblemas. Pos ula el con encionalismo de las leyes pa ece el paso siguien e.
De
hecho,
con encionalismo e ins umen alismo con i en acilmen e con es a úl ima e sión: las
leyes son con enciones ú iles, las eo ías son he amien as adecuadas.
La
de inición p esen a asimismo ma ices a iados, en cuan o al uso, e incluso
en
cuan o al p opio concep o.
En
el plano in e p e a i o enemos
la
de inición explíci a de
é minos eó icos a pa i de é minos obse acionales, que unciona como la más es ic a
de las eglas de co espondencia.
En
el plano o mal enemos la de inición que ac úa
en
sen ido opues o a la an e io ya que cons uye a pa i de unos pocos é minos eó icos
p imi i os odo el es o. Según es o hab á algunos é minos eó icos que goza án de
ambas de iniciones.
La
mayo pa e de los que no sean in e p e ables di ec amen e
median e de inición se apoya án
en
los p imi i os. Pa a los p imi i os se habla á de o o
ipo de de inición, una especie de de inición con ex ual, que les iene dada po el p opio
sis ema de axiomas.
El
signi icado empí ico se ansmi i á de un modo u o o a a és de
es a ed a la que se pedi á que ningún é mino quede desconec ado.
Es a de inición con ex ual, p opues a po Hilbe po p ime a ez, en su e sión de
la geome ía euclídea, pa a los concep os 'pun o', 'línea', 'plano' ... , puede co esponde
en
cada caso a múl iples obje os, lo que cues iona su calidad de de inición. «Me pa ece»
Filoso ías
de
la
Ma emá ica ...
75
-le
c i ica á F ege3-«que lo que us ed en ealidad quie e de ini son concep os de
segundo o den, pe o que us ed no los dis ingue cla amen e de los de p ime o den».
«en
e oc o»
-comen a
Mos e ín-
« os axiomas
ele
Ri be
cle men a go
-como
é
decía-
pe o lo que de inen
-y
no ímplici a sino explíci amen e-no son los concep os de
p ime o den de pun o, ec a e c, sino el concep o de segundo o den de espacio euklídeo,
o, como hoy di íamos, la es uc u a abs ac a de espacio euklídeo».
En
una palab a, lo que de inen los axiomas es la es uc u a subyacen e a la eo ía.
Y es a idea ya cla amen e is a po F ege se á la idea conduc o a de los en oques lógicos
es uc u alis as.
El p oblema de la consis encia y el de la e dad o mal nos lle an de alguna o ma
a los en oques semán icos que pos ulan un modelo in e medio en e eo ía y obse ación,
al se és a úl ima sólo una in e p e ación pa cial de la p ime a.
El posi i ismo lógico nos conduce a a és de la au oc í ica has a la pue a de es os
nue os plan eamien os en que de nue o puede plan ea se el pa alelismo aquí esbozado
en e iloso ía de la ciencia empí ica y iloso ía de la ma emá ica.
BIBLIOGRAFIA
CARNAP, R. Fundamen os de lógica y ma emá icas. Chicago, 1939. T aducción cas-
ellana: Mad id, 1975.
HEMPEL, C.G. «P oblemas y cambios en el c i e io empi is a de signi icado», en Aye
A.J. ed.
El
posi i ismo lógico. Chicago, 1959. T aducción cas ellana: Mexico,
Mad id, Buenos Ai es, 1965.
MOSTERÍN,
J.
«La polémica en e F ege y Hilbe ace ca del mé odo axiomá ico», en
Concep os y eo ías en la ciencia. Mad id, 1984.
SUPPE, F.
La
es uc u a de las eo ías cien í icas. Illinois, 1974. T aducción cas ellana:
Mad id, 1979.
3.
Id.