Filosofías de la matemática y evolución del positivismo lógico

FILOSOFIAS DE LA MATEMATICA Y EVOLUCION DEL POSITIVISMO LOGICO M. CARMEN HERNÁNDEZ MARTÍN UNIVERSIDAD DE SEVILLA El posi i ismo lógico a i ma que una eo ía cien í ica es, o debe se , un sis ema axiomá ico. No sólo opeza á el posi i is a con el p oblema complejo de me e en es e molde lógico-ma emá ico a leyes de al o y bajo ni el, hipó esis y da os, é minos eó icos y é minos obse acionales, sino que an es o después no a á que es el p opio molde lógico-ma emá ico el que es á cambiando en e sus manos. En e ec o el neoposi i ismo nace ligado a la iloso ía logicis a de la ma emá ica - F ege, Russell, Wi gens ein- y poco a poco a deslizándose hacia plan eamien os o malis as hilbe ianos. El sis ema axiomá ico pa a el logicis a es una es uc u a concep ual, es deci , los é minos usados ienen un signi icado conc e o aunque és e sea me amen e ideal. Pa a el o malis a, en cambio, el sis ema axiomá ico es una es uc u a abs ac a en que los é minos son, en exp esión de F ege, como las incógni as en un sis ema de ecuaciones; es deci , no ienen más signi icado que el que eciben del sis ema de elaciones en que es án inme sos. Ello equi ale a deci que poseen una plu alidad de posibles signi icados: los pe mi idos po el sis ema de elaciones. Po o o lado el logicismo es un a omismo. Y no sólo po que el análisis descienda has a la p oposición y el hecho a ómico, sino po que el logicismo jus i ica á, an es que al sis ema, a las p oposiciones que lo componen. Las p oposiciones de la ma emá ica son au ologías, o e dades o males, ya que pueden se de i adas de unas pocas e dades lógicas. El sis ema ecibe la e dad del conjun o de las p oposiciones e dade as que lo componen. Y no es necesa ia, como a i ma á F ege, ninguna p ueba adicional de consis encia 1• En cambio el o malismo es sis émico. Nada sabemos de la e dad de cada una de las p oposiciones. Pe o sí podemos sabe que el sis ema es e dade o en cie o sen ido, que no puede se sino o mal, al se consis en e. «Si los axiomas a bi a iamen e es ablecidos, jun o con sus consecuencias, no se con adicen en e sí,» -nos di á Hilbe - l. Ve Mos e ín 1984. 72 M. Ca men He nández Ma ín «en onces exis en las cosas de inidas po los axiomas. Es e es pa a mí el c i e io de la e dad y de la exis encia»2• Po an o el acen o se pone aho a en las p uebas de con- sis encia. Y su ge no sólo el p oblema de es as p uebas, sino el del signi icado, cada ez más escu idizo, de e dad o mal. En la e olución del posi i ismo lógico encon amos asgos di e enciales semejan- es a los que acabamos de desc ibi . Po un lado el cambio de un a omismo a un sis emismo en el p opio c i e io empi is a de signi icado. Po o o el deslizamien o desde un sis ema eó ico signi ica i o en que los é minos eó icos se cons uyen a pa i de los obse acionales, has a un cálculo abs ac o en que los é minos eciben su signi icado median e un sis ema de eglas de in e p e ación. En e ec o, el c i e io empi is a de signi icado comienza e i iéndose al signi icado de la p oposición, echazando ajan emen e la pseudo-p oposición o p oposición sin sen ido, y e mina aplicándose globalmen e al sis ema de pos ulados y eglas de co espondencia. Una p oposición es cogni i amen e signi ica i a si es suscep ible, al menos en p incipio, de e i icación comple a po medio de la obse ación. Es e se á el p ime ísimo c i e io que enseguida sus i ui á ' e i icación comple a' po 'con i mación'. El sen ido, el signi icado, la e dad o p obabilidad, es á en cada p oposición. La p oposición obse acional iene un sen ido di ec o, ya que puede se con as ada di ec amen e; la p oposición eó ica ha de se aducida a p oposición o p oposiciones de obse ación pa a adqui i sen ido. Y es es a aducción la que adquie e di e en es ma ices p o ocando di e en es plan eamien os. En una p ime a explici ación encon amos que: 1) La eo ía se o mula en una lógica de p ime o den con iden idad. 11) Los é minos se ag upan en es clases disjun as o ocabula ios: a) ocabula io lógico que con iene los é minos lógicos y ma emá icos, b) ocabula io eó ico que con iene los é minos eó icos, c) ocabula io obse acional que con iene los é minos obse acionales. III) Los é minos obse acionales se e ie en a obje os ísicos, o ca ac e ís icas de és os, di ec amen e obse ables. IV) Hay un conjun o de axiomas o pos ulados eó icos con é minos eó icos. V) Los é minos del ocabula io eó ico han de se de inidos explici amen e en é minos del ocabula io obse acional. Como puede e se en es a ca ac e ización, el c i e io de signi icado de las p oposiciones eó icas pasa po la de inición explíci a de cada uno de sus é minos en base a é minos de obse ación. Los é minos eó icos, se insis i á una y o a ez, son me as ab e ia u as de los obse acionales. No se admi e más egla de co espondencia que la de inición. 2. Id. Filoso ías de la Ma emá ica ... 73 Pe o muy p on o se e idencia á la insu iciencia de es e plan eamien o. Los é minos disposicionales, a mi ad de camino en e lo eó ico y lo obse acional, no son de inibles explíci amen e. Se ecu e en onces a cie as de iniciones condicionadas, a las que se denomina enunciados de educción. La «de inición» queda subo dinada a una ope ación p e ia. La claúsula V se ans o ma en: V') Los é minos eó icos pueden se in e p e ados pa cialmen e en é minos del ocabula io de obse ación median e enunciados de educción. Pe o aún más. Como señala Hempel, exis en é minos al amen e eó icos que no son in oducidos po de inición ni po educción. Se a a de cons ucciones muy complejas que no son in oducidas po ningún p oceso que les asigne signi icado indi idual. Las eo ías de ipo a anzado en que apa ecen es os é minos, con inúa Hempel, son sis emas hipo é ico-deduc i os equipa ables a los sis emas axiomá icos no in e p e ados de la lógica y de la ma emá ica. Es os sis emas adquie en el ca ac e de eo ías empí icas median e in e p e aciones que consis en en la aducción de algunas p oposiciones. Se a a, de hecho, de in e p e a el sis ema eó ico como un bloque, no ya é mino a é mino ni p oposición a p oposición. Ningún é mino puede queda aislado, ya que algunos ecibi án su «signi icado» del p opio con ex o a a és de una elación indi ec a con el plano de la obse ación. Todo ello queda esumido en una nue a o mulación de la claúsula V en que el concep o de egla de co espondencia ha su ido un nue o descenso: V") Las eglas de co espondencia cons i uyen un sis ema in e p e a i o C espondiendo a las condiciones: . a) C es ini o. b) C es compa ible con los axiomas. c) C con iene sólo é minos del ocabula io eó ico y del ocabula io obse acional. d) Cada egla debe con ene , esencial y no acuamen e, al menos un é mino eó ico y un é mino obse acional. e) El conjun o TC, eo ía y eglas de co espondencia, debe se cogni i amen e signi ica i o. El pun o e), que sub aya el cambio de c i e io, ué muy discu ido po sus di icul ades de explici ación o al. De hecho acabó po se abandonado. Suppe apun a, que el sis ema TC es signi ica i o si es á pa cialmen e in e p e ado -es deci , si iene consecuencias obse ables que lo hacen comp obable-de al o ma que ninguno de sus axiomas quede aislado. Es deci , V'' es ablece que es la eo ía como un odo lo que debe se cogni i amen e signi ica i o. Es a posición plan ea qué pueda conside a se como e dad de un sis ema empí i- camen e signi ica i o. Y nos encon amos que el concep o ' e dad' necesi a en es e caso de las dos e ien es - e dad o mal',' e dad-co espondencia' -en elazadas. Po que el sis ema en p ime luga ha de p esumi se consis en e; consis encia que en sen ido 74 M. Ca men He nández Ma ín hilbe iano se aduce en e dad o mal -p oblemá ica e dad o mal-. Pe o el sis ema ha de ene una co espondencia con lo obse able. Es a co espondencia pasa po los pun os de con ac o con eso obse able, po las consecuencias que se de i an del sis ema como o alidad. Es a co espondencia, que no es po an o de é mino a é mino, ni de p oposición a p oposición, es insepa able de la consis encia, de la cohe encia, al se en endida como co espondencia de odo el sis ema. A es a luz puede en ende se la exp esión usada en cie os ámbi os, y an discu ida, de eo ía de la e dad como cohe encia. La e dad obje i amen e conside ada es e dad o mal, o e dad-co es- pondencia. Pe o la e dad subje i a es una mezcla insepa able de ambos planos en ensión. En es os plan eamien os se e idencia ya un análisis lógico que dis ingue en e eo ía abs ac a e in e p e ación. En e ec o, una úl ima e sión cali ica ya a la eo ía como cálculo, -ya se ha apun ado an es en la alusión a Hempel- que ha de se in e p e ado median e enunciados mix os - eó ico-obse acionales-que son las eglas de co espon- dencia. En es a e olución desc i a podemos p egun a nos po el s a us de los axiomas. Reco demos que en el logicismo los axiomas son e dades lógicas, mien as que en el o malismo pueden se me as con enciones. Pa a el posi i ismo lógico los axiomas no pueden se sino las leyes más al amen e eó icas. Pe o si en un p ime posi i ismo es as leyes se án hipó esis ex ao dina iamen e bien con i madas-lo que más se ace ca a la e dad en el e eno empí ico- en la úl ima e sión el p oblema se uel e mucho más complejo. Las leyes son a menudo cons ucciones muy so is icadas, que hacen e e encia a si uaciones ideales y con ienen é minos cuyo signi icado indi idual o ece g andes p oblemas. Pos ula el con encionalismo de las leyes pa ece el paso siguien e. De hecho, con encionalismo e ins umen alismo con i en acilmen e con es a úl ima e sión: las leyes son con enciones ú iles, las eo ías son he amien as adecuadas. La de inición p esen a asimismo ma ices a iados, en cuan o al uso, e incluso en cuan o al p opio concep o. En el plano in e p e a i o enemos la de inición explíci a de é minos eó icos a pa i de é minos obse acionales, que unciona como la más es ic a de las eglas de co espondencia. En el plano o mal enemos la de inición que ac úa en sen ido opues o a la an e io ya que cons uye a pa i de unos pocos é minos eó icos p imi i os odo el es o. Según es o hab á algunos é minos eó icos que goza án de ambas de iniciones. La mayo pa e de los que no sean in e p e ables di ec amen e median e de inición se apoya án en los p imi i os. Pa a los p imi i os se habla á de o o ipo de de inición, una especie de de inición con ex ual, que les iene dada po el p opio sis ema de axiomas. El signi icado empí ico se ansmi i á de un modo u o o a a és de es a ed a la que se pedi á que ningún é mino quede desconec ado. Es a de inición con ex ual, p opues a po Hilbe po p ime a ez, en su e sión de la geome ía euclídea, pa a los concep os 'pun o', 'línea', 'plano' ... , puede co esponde en cada caso a múl iples obje os, lo que cues iona su calidad de de inición. «Me pa ece» Filoso ías de la Ma emá ica ... 75 -le c i ica á F ege3-«que lo que us ed en ealidad quie e de ini son concep os de segundo o den, pe o que us ed no los dis ingue cla amen e de los de p ime o den». «en e oc o» -comen a Mos e ín- « os axiomas ele Ri be cle men a go -como é decía- pe o lo que de inen -y no ímplici a sino explíci amen e-no son los concep os de p ime o den de pun o, ec a e c, sino el concep o de segundo o den de espacio euklídeo, o, como hoy di íamos, la es uc u a abs ac a de espacio euklídeo». En una palab a, lo que de inen los axiomas es la es uc u a subyacen e a la eo ía. Y es a idea ya cla amen e is a po F ege se á la idea conduc o a de los en oques lógicos es uc u alis as. El p oblema de la consis encia y el de la e dad o mal nos lle an de alguna o ma a los en oques semán icos que pos ulan un modelo in e medio en e eo ía y obse ación, al se és a úl ima sólo una in e p e ación pa cial de la p ime a. El posi i ismo lógico nos conduce a a és de la au oc í ica has a la pue a de es os nue os plan eamien os en que de nue o puede plan ea se el pa alelismo aquí esbozado en e iloso ía de la ciencia empí ica y iloso ía de la ma emá ica. BIBLIOGRAFIA CARNAP, R. Fundamen os de lógica y ma emá icas. Chicago, 1939. T aducción cas- ellana: Mad id, 1975. HEMPEL, C.G. «P oblemas y cambios en el c i e io empi is a de signi icado», en Aye A.J. ed. El posi i ismo lógico. Chicago, 1959. T aducción cas ellana: Mexico, Mad id, Buenos Ai es, 1965. MOSTERÍN, J. «La polémica en e F ege y Hilbe ace ca del mé odo axiomá ico», en Concep os y eo ías en la ciencia. Mad id, 1984. SUPPE, F. La es uc u a de las eo ías cien í icas. Illinois, 1974. T aducción cas ellana: Mad id, 1979. 3. Id.