Es a es la aducci´on a la lengua cas ellana del o iginal en lengua inglesa ©2003 IOP Publishing L d.
La Ve si´on O icial es ´a disponible en J. Phys. A: Ma h. Gen. 36(29) (2003) 7909–7921 doi:10.1088/0305-4470/36/29/303
Res icciones uni e sales a la con e si´on del calo en abajo que p o ienen del
an´alisis del eo ema de Ne ns como un l´ımi e uni o me
Jos´e Ma ´ıa Ma ´ın Olalla∗y Al edo Rey de Luna
Depa amen o de F´ısica de la Ma e ia Condensada. Uni e sidad de Se illa.
Ap. Co eos 1065 E-41080Se illa. Spain
(En iado: 31 de ene o del 2003; Publicado: 8 de julio del 2003)
Se analiza la elaci´on en e el eo ema de Ne ns y el enunciado de Kel in-Planck del segundo
p incipio de la e modin´amica. Se˜nalamos el hecho de que el cambio de en op´ıa iende
uni o memen e a ce o cuando la empe a u a iende a ce o. El an´alisis de es a hip´o esis mues a
que es equi alen e al hecho de que la compensaci´on de una m´aquina de Ca no escala con el calo
abso bido del oco calien e de o ma que el eo ema de Ne ns puede de i a se del enunciado del
segundo p incipio.
PACS numbe s: 05.70.-a,05.70.Ce
Keywo ds: P ime p incipio, Segundo p incipio, Te ce p incipio, Fundamen os de e modin´amica, Gases
ideales, M´aquinas de Ca no , Inaccesibilidad del ce o absolu o, Calo es espec´ı icos
I. INTRODUCCI ´
ON
La o mulaci´on cl´asica del enunciado de Kel in-Planck
es ablece que:[29, p´ag. 89]
es imposible cons ui una m´aquina que
abaje de o ma c´ıclica y no p oduzca o os
e ec os m´as que la ele aci´on de un cue po y
el en iamien o de una uen e
Exis en o as o mulaciones que son esencialmen e equi -
alen es a ´es a — enunciados de Kel in[30], Clausius[31]
y Ca a h´eodo y[32]— pe o, pa a nues o an´alisis, nos
e e i emos a la o mulaci´on se˜nalada a iba. Esencial-
men e el enunciado equie e “o a” uen e pa a ealiza
el p oceso se˜nalado.
El desa ollo del p incipio necesi a del concep o de
“ luido de abajo”, la sus ancia que ealiza el ciclo. Sus
p opiedades se eliminan no malmen e del an´alisis pues o
que el es ado inicial y inal del luido coinciden y “s´olo
ha se ido como agen e pa a lle a a cabo cambios en sus
al ededo es”[29, p´ag. 68]. Sin emba go, el luido debe se
capaz de ealiza el p oceso que se desea.
Mos a emos en es e abajo que una p opiedad
gene al de la ma e ia es inge la habilidad de los luidos
de abajo pa a ealiza ciclos e modin´amicos y, po
an o, es inge lo que el enunciado de Kel in-Planck
pe mi e. Mos a emos que es a es icci´on p o iene,
ealmen e, de una in e p e aci´on adecuada del enunciado
ese˜nado a iba.
La p opiedad gene al de la que es amos hablando
se conoce hoy en d´ıa como la e ce a ley de la e -
modin´amica. La necesidad y ca ´ac e de al ley ha
sido obje o de discusi´on desde el p incipio del siglo
pasado. El es udio de algunos p oblemas qu´ımicos lle ´o
a Ne ns [33, 34] a descub i su eo ema del calo el cual
es ablece que[34, p´ag. 85]:
∗Co eo elec ´onico: [email p o ec ed]
en las p oximidades del ce o absolu o odo
p oceso anscu e sin al e aci´on de en op´ıa
El eo ema —que cl´asicamen e no p o iene del enunciado
de Kel in-Planck[35, 36]— es ´a a alado po una ingen e
can idad de da os expe imen ales. Hemos elegido es a
an igua —aunque me i o ia— e si´on del eo ema po
las azones que se e ´an en la secci´on III pe o no emos
o a az´on pa a que se haya ol idado es e enunciado m´as
que el hecho de que se e ie e a p opiedades de “p ocesos”
en ez de p opiedades de “sis emas” al y como hoy en
d´ıa se ecoge en la li e a u a cien ´ı ica[37–41].
Ne ns de i ´o su eo ema de dos obse aciones de
ca ´ac e gene al. La p ime a es el llamado p incipio de
inaccesibilidad del ce o absolu o que se˜nala que ning´un
p oceso puede disminui la empe a u a de un sis ema
has a el ce o absolu o. El segundo es el hecho de
que los calo es espec´ı icos ienden a ce o con o me la
empe a u a iende a ce o.
Debe econoce se que Planck[29] se˜nal´o que es as ob-
se aciones debie on habe lle ado a una conclusi´on m´as
es ic i a: “cuando la empe a u a de disminuye in-
de inidamen e, la en op´ıa de un cue po qu´ımicamen e
homog´eneo de densidad ini a se ap oxima inde inida-
men e a un alo que es independien e de la p esi´on,
es ado de ag egaci´on y de las modi icaciones qu´ımicas.”
La o mulaci´on de Planck e i a que ∆S→0 mien as
S→ −∞ cuan o T→0 y exp esa que el alo absolu o
de la en op´ıa es ´a aco ado en el ce o absolu o.
Sin emba go, nues o abajo se elaciona ´unicamen e
con el an´alisis de ∆Spues o que s´olo a a con el
p oblema de la con e si´on del calo en abajo. Es e
p oblema es in a ian e en e a una aslaci´on del alo
de la en op´ıa y, po eso, la o mulaci´on de Planck es ´a
ue a de nues o ´ambi o de abajo. Lo mismo puede
deci se de la anulaci´on de los calo es espec´ı icos.
La p esen aciones ac uales del e ce p incipio no mal-
men e lo elacionan con las p opiedades mic osc´opicas
de los sis emas obje o de es udio[42–46]. Tambi´en se
han hecho algunos es ue zos pa a cla i ica su signi icado
mac osc´opico[47–53].
Typese by REVT
EX
2
El obje i o de es e abajo es una e isi´on de
la desc ipci´on ma em´a ica del enunciado del eo-
ema de Ne ns se˜nalado an e io men e as´ı como de
sus consecuencias ´ısicas. Analiza emos obse aciones
mac osc´opicas en el ango de la ´ısica de muy bajas em-
pe a u as. Al hace es o no es ablece emos hip´o esis al-
guna sob e la cons i uci´on de los sis emas obje o de es-
udio.
Es ambi´en un obje i o de es e abajo un an´alisis
ene g´e ico de las consecuencias del eo ema de Ne ns .
B e emen e, el mo o m´as simple y e icien e con iene dos
p ocesos en los que se in e cambia en op´ıa. Es e ipo
de p ocesos es ´a es ingido po el eo ema de Ne ns
en las ce can´ıas del ce o absolu o. P oba emos que
al es icci´on lle a a una condici´on adicional que oda
m´aquina debe sa is ace .
II. LIMITACIONES A LA DESCRIPCI ´
ON DEL
TEOREMA DE NERNST
La o mulaci´on cl´asica del eo ema de Ne ns es ablece
que:[37] “el cambio de en op´ıa asociado con cualquie
p oceso iso e mo en e dos es ados de un sis ema en
equilib io in e no iende a ce o cuando la empe a u a
iende a ce o,” que se exp esa ma em´a icamen e como::
∀x1x2∈ D lim
T→0+[S(T, x1)−S(T, x2)] = 0 (1)
donde x ep esen a a cualquie a iable mec´anica como
el olumen, p esi´on , campo magn´e ico y D ⊆ Res su
dominio de de inici´on.[?]
Landau y Li shi z[38] mos a on la impo ancia de
man ene x1, x2 ijas en (1). De o a o ma, dicen, si,
po ejemplo, x1 iende a in ini o el eo ema puede no se
´alido. En gene al puede deci se que la desc ipci´on del
eo ema unciona bien mien as que los alo es de xes ´an
ijos pe o en a en con adicciones si se analizan l´ımi es
dobles como T→0 y x→ ∞.
Un ejemplo acad´emico de es e p oblema lo p opo ciona
el siguien e modelo:
S(T, x) = S0+χTxg=⇒S(T, x1)−S(T, x2) = χT(xg
1−xg
2)
(2)
con x∈R+. En es a exp esi´on χes una cons an e pos-
i i a que p o ee las dimensiones ap opiadas. Obs´e ese
que (2) sa is ace (1) pe o el l´ımi e doble T→0, x → ∞
depende del camino po el que se eco e. La igu a 1
mues a un diag ama T−Spa a es e modelo.
El modelo no sa is ace el p incipio de inaccesibilidad
del ce o absolu o. P ime o, es cie o que pa a unos al-
o es ijos de x1yx2el ce o absolu o s´ı es inaccesible[41];
es a p oposici´on es equi alen e a (1). Sin emba go no hay
necesidad de hace es o si lo que se desea es accede al
ce o absolu o; y no es menos cie o que un cualquie p o-
ceso isen ´opico no iene in pues o que —si g > 0— al
aumen a inde inidamen e el pa ´ame o mec´anico se dis-
minuye inde inidamen e la empe a u a del sis ema en
PS ag eplaemen s
x
2
x
1
x
=  e
T
T
= 0
S
S
0
FIG. 1. Diag ama T−Spa a el modelo (2). Se mues an
l´ıneas de iso-x. La inaccesibilidad del ce o absolu o y (1)
se sa is acen pa a alo es dados de x1yx2. Sin emba go,
un p oceso isen ´opico — lecha ho izon al— disminuye la
empe a u a del sis ema en o ma a bi a ia. Cualquie
al e aci´on de en op´ıa es ambi´en posible en las p oximidades
de T= 0 — lecha e ical— con al que xcambie de o ma
ap opiada.
un ´unico paso a a ´es de Txg= c e. La “inaccesibil-
idad” de la iso e ma ce o se ´ıa una cues i´on de limi a-
ciones p ´ac icas —c´omo consegui un xin ini o— en ez
de una es icci´on expues a po una ley de la na u aleza
—es ic amen e, el ce o absolu o es accesible de o ma
asin ´o ica.—
Finalmen e, el modelo ampoco sa is ace la palab as
de Ne ns — ´ease la secci´on I.— No impo a cuan ce ca
es emos del ce o absolu o, cualquie al e aci´on de la
en op´ıa es posible con al que la a iable mec´anica
aumen e su icien emen e.
El gas ideal se compo a de o ma simila a es e
modelo. Una desc ipci´on cl´asica de las pa ´ıculas lle a
a una en op´ıa que sin l´ımi e in e io y que no sa is ace
el eo ema de Ne ns . Po el con a io, una desc ipci´on
cu´an ica del p oblema lle a[38, 43, 46] a (2) donde xes el
olumen y g= 2/3 pa a e miones. Un an´alisis p o undo
del modelo mues a que la elecci´on de una desc ipci´on
cu´an ica o cl´asica es ´a egida po la condici´on[38, 42]:
V
NmkT
2πℏ23/2
≫1
conocida como “l´ımi e cl´asico.” Aqu´ı Nes el n´ume o
de pa ´ıculas, ℏes la cons an e de Di ac, mes la
masa de las pa ´ıculas y kla cons an e de Bol zmann.
As´ı, la compe encia en e T→0 y V→ ∞ es, de
nue o, c ucial. P obablemen e es as con adicciones
s´olo e lejan el hecho de que las in e acciones son
3
necesa ias en las ce can´ıas del ce o absolu o y modelos
mic osc´opicos ideales pueden no ep esen a ielmen e los
da os expe imen ales sob e sis emas mac osc´opicos[42].
Hemos mos ado que un modelo que sa is aga (1) —la
desc ipci´on cl´asica del eo ema de Ne ns — no conduce
a la inaccesibilidad del ce o absolu o. A´un peo no se
ajus a a las palab as de Ne ns . Nue as hip´o esis son
necesa ias pa a una desc ipci´on ma em´a ica p ecisa y
comple a de las leyes emp´ı icas obse adas a muy bajas
empe a u as.
III. EL TEOREMA DE NERNST COMO UN
L´
IMITE UNIFORME
La desc ipci´on ma em´a ica del eo ema de Ne ns ex-
pues a en la secci´on I mejo a no ablemen e conside ando
la siguien e hip´o esis I: el cambio iso e mo de en op´ıa
iende uni o memen e a ce o cuando la empe a u a
iende a ce o:
∀ϵ > 0∃δ(ϵ)>0 : T < δ ⇒ |S(T, x1)−S(T, x2)|< ϵ
(3)
La cla e de la “con e gencia uni o me” es[54, 55] que el
mismo δ(ϵ) si e pa a cualquie x1, x2que pe enezcan
aD. Es inmedia o que (3) sa is ace el enunciado pues o
en la secci´on I. Mos a emos que es la mejo o ma de
exp esa ma em´a icamen e la p oposici´on de Ne ns .
N´o ese que, cl´asicamen e, el eo ema de Ne ns e-
s inge la dependencia uncional del cambio iso e mo de
en op´ıa ∆S=S(T, x2)−S(T, x1) en Tde o ma que
con e ge a ce o en el ce o absolu o. La condici´on de
“uni o midad” que aqu´ı in oducimos, signi ica esencial-
men e que ninguna alo de xpuede comp ome e es a
con e gencia. Es deci , no es posible una di e gencia ac-
ciden al debida a un alo pa icula de xen las ce can´ıas
del ce o absolu o. En es e sen ido, el eo ema de Ne ns
ambi´en es inge la dependencia uncional de ∆S(T, x)
en x.
III.0.0.1. El papel de x:Si la hip´o esis se oma
en conside aci´on la a iable mec´anica no desempe˜na
ning´un papel en la desc ipci´on de p oblema. Es a es
una consecuencia p ima ia de la con e gencia uni o me
pues o que dado ϵen onces δes s´olo una p opiedad del
sis ema obje o de es udio sin conside a los alo es de x.
El lec o debe no a que ´es e es uno de los pun os cla es
de la o mulaci´on del eo ema como ley na u al que no
dependa de la con igu aci´on de sis ema obje o de es udio.
En la desc ipci´on cl´asica del eo ema (1) δes una
unci´on ϵ, x1, x2de o ma que la a iable mec´anica s´ı
desempe˜na un papel. Es e papel no malmen e no se
conside a en el p oblema pe o es de g an impo ancia
a la ho a de conside a , po ejemplo, l´ımi es dobles.
III.0.0.2. Exis encia de egiones inaccesibles en un
diag ama T−S:La ecuaci´on (3) asegu a que S(T, x1)−
S(T, x2) es ´a aco ada en las ce can´ıas del ce o absolu o
de o ma que iene un sup emo:
σ(T) = sup
x∈DS(T, x1)−S(T, x2)(4)
La unci´on σexis e y es mon´o ona c ecien e po lo menos
en las ce can´ıas de T= 0. La unci´on depende de las
p opiedades e mo ´ısicas del sis ema obje o de es udio.
Lo que sigue desc ibe las p opiedades m´as ele an es de
es a unci´on en es as ce can´ıas.
Conside emos un sis ema que sa is ace la hip´o esis
I cuyo es ado de equilib io es ´e de inido po una
empe a u a y un alo del pa ´ame o mec´anico. La
en op´ıa del sis ema ale S(T, x). Aum´en ese la en op´ıa
del sis ema de o ma iso e ma; la exis encia de σasegu a
que la en op´ıa inal no puede excede de S(T, x) + σ.
El mismo a gumen o si e pa a una disminuci´on de
en op´ıa. Po lo an o, S(T, x) es una unci´on de xcon
co a supe io en in e io pa a una empe a u a dada, y
exis en las siguien es unciones:
Smax(T) = sup
x∈D
{S(T, x)};Smin (T) = in
x∈D{S(T, x)}
(5)
Como la condici´on de es abilidad (∂S/∂T)x>0 es
´alida en las ce can´ıas de T= 0 —excep o quiz´a en
T= 0— las unciones an e io es son c ecien es en T
de o ma que es ados del ipo {T, S > Smax(T)}y
{T, S < Smin (T)}no pueden exis i . As´ı, los es ados
de equilib io no llenan el plano T−Sy dos on e as
apa ecen si se cumple el eo ema de Ne ns como una
condici´on uni o me.
Con m´as de alle pod ´ıa deci se que uno de los g andes
obje i os del e ce p incipio de la e modin´amica es
asegu a que la en op´ıa iene un ´unico alo en la
iso e ma ce o[37]. En la o mulaci´on cl´asica del eo ema,
se excluyen los pun os del ipo {T= 0, S =S0}[37,
Figu a 23.5] en un diag ama T−S(es os pun os se
ep esen an po el s´ımbolo ×en la igu a 2). Desde
un pun o de is a ´ısico “cuando un pun o es excluido
debemos demanda lo mismo en una peque˜na egi´on
al ededo del pun o”[32][56, p´ag. 236].[?] Po el
con a io si una ce can´ıa de {T= 0, S =S0}pudie a
alcanza se la exclusi´on de es os pun os —aislados— se ´ıa
en e amen e ic icia.
As´ı, el diag ama T−S( ´ease la igu a 2) consis e
en una egi´on I de alo es pe mi idos de {T, S}, y
la egi´on II, p ohibida. La exis encia de es a egi´on
p ohibida es una consecuencia de la hip´o esis I. Las
on e as —que pueden o no se accesibles— no coinciden
con el eje T= 0. En la igu a 2 y en la discusi´on
p eceden e hemos hecho uso de la hip´o esis de Planck
po cla idad. El a gumen o ambi´en ale si la en op´ıa S0
iende a −∞ mien as que, simul ´aneamen e, ∆S iende
a ce o.
El siguien e pun o es conocido, sin emba go la
hip´o esis I en iquece y cla i ica su signi icado.
III.0.0.3. P ocesos que e minan (enunciado de inac-
cesibilidad): Conside emos un p oceso isen ´opico S=
Σ0que empieza a una empe a u a al que Smin <Σ0<
Smax. El p oceso con inua has a una empe a u a T1
de inida po Smax (T1) = Σ0. Es a empe a u a no es
ce o.
Aqu´ı, podemos disminui la en op´ıa del sis ema
4
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2
3
1
4
5
PS ag eplaemen s
x
2
x
1



T
T
= 0


1
()
S
S
0
II
II
I
FIG. 2. El diag ama T−Sy el eo ema de Ne ns .
El s´ımbolo × ep esen a los pun os excluido cl´asicamen e
po el eo ema[37, Figu a 23.5]. Un an´alisis m´as pausado
del eo ema e ela que exis e una egi´on I cuyos pun os
ep esen an es ados de equilib io, y una egi´on II que no lo
hace. El ciclo 1-2-3-4-1 es una m´aquina cons i uida po dos
iso e mas 1-2 y 3-4 y dos p ocesos 2-3 y 4-1 que di ie en en un
anspo e pa alelo de en op´ıa S′=S+ Λ. El ´a ea 1-2-3-4-1
es igual a Λ[T−σ−1(Λ)] como en una m´aquina de Ca no .
La igu a si e incluso si S0→ −∞ mien as que ∆S→0
iso ´e micamen e has a que la condici´on Σ1= Σ0−
σ(T1) = Smin(T1) se alcance. En es e pun o, un nue o
p oceso isen ´opico en ´ıa el sis ema has a T2de inida po
Smax(T2)=Σ1.
El p oceso en escale a sin in que lle a al ce o absolu o
ha quedado de inido.
III.0.0.4. Anulaci´on de los coe icien es de expansi´on
´e mica Los coe icien es de expansi´on ´e mica se ela-
cionan con la de i ada (∂S/∂x)Ta a ´es de elaciones
de Maxwell[37]. De (3) se de i a la anulaci´on de es as
de i adas pues o que:
lim
T→0∂S
∂x T
= lim
T→0lim
x′→x
S(T, x′)−S(T, x)
x′−x∀x∈ D
Si el l´ımi e doble exis e, puede calcula se en el o den que
se desee. Tomando p ime o el l´ımi e en Te in ocando
(3) se iene, necesa iamen e que[37]:
lim
T→0∂S
∂x T
= 0 ∀x∈ D (6)
Debe des aca se que las p opiedades c y d son hechos
´ısicos ampliamen e con i mados po la expe iencia[34,
37], al con a io que las p oposiciones a y b que son de
ca ´ac e ma em´a ico. Es os hechos ´ısicos son los que dan
sopo e a la hip´o esis. Sin emba go, la m´as impo an e
de las consecuencias de es a hip´o esis iene que e con
el p oblema de la con e si´on del calo en abajo y se ´a
explicada con de alle en la siguien e secci´on.
IV. EL TEOREMA DE NERNST Y LA
PRODUCCI ´
ON DE TRABAJO
En la secci´on p eceden e hemos mos ado que el
eo ema de Ne ns ue za la exis encia de egiones
p ohibidas en el plano T−S. Aho a de i a emos
consecuencias eniendo en cuen a que la condici´on de
uni o midad in oducida en la secci´on an e io hace que
xno desempe˜ne papel en el p oblema.
Conside amos la siguien e cues i´on: que emos con-
s ui un mo o que p oduzca un abajo mec´anico W
usando un luido de abajo dado y que ex aiga una can-
idad de calo dada de un oco ´e mico de empe a u a
ambi´en dada; ¿cu´al es la m´ınima can idad de calo que
ha de deposi a se en el oco ´ıo?[?]
La lec u a cl´asica del enunciado de Kel in-Planck s´olo
p ecisa que el calo cedido al oco ´ıo —en adelan e
“compensaci´on”— debe se no nulo Q′= 0. Pa ece
que en lo que se e ie e a es e enunciado un alo
de Q′desp eciable es ´alido. As´ı, Q′
min = 0+—i.e.
a bi a iamen e p ´oximo a ce o pe o mayo que ce o.—
Es a espues a es independien e de Q, T y del luido de
abajo y p o iene del hecho de que se iene la imp esi´on
de que un ciclo de Ca no puede si ua se lib emen e
den o de un diag ama T−Spues o que no hay m´as
es icci´on m´as que Q′= 0.
Una m´aquina que u ie a Q′
min = 0+da ´ıa un
endimien o η=W/Q an p ´oximo a la unidad como
se quie a. Nunca se ha cons uido una m´aquina an e i-
cien e, aho a mos a emos que es o se debe a limi aciones
undamen ales de la ma e ia, con independencia de las
limi aciones de ´ındole p ´ac ico que pudie an su gi .
Como egla gene al, σ(4) es no nula pa a empe a u as
no nulas y de (3) y (4) se ob iene:
∀ϵ > 0∃δ(ϵ)>0 : T < δ =⇒σ(T)< ϵ (7)
Es deci , limT→0+σ(T) = 0.
En (7) no hay ninguna necesidad de coloca los
s´ımbolos de alo es absolu os pues o que Tyσson
can idades posi i as. De (7) y del a gumen o p eceden e
se deduce inmedia amen e la exis encia de la unci´on
in e sa σ−1(Λ). De hecho, la unci´on in e sa no es
m´as que una ep esen aci´on adecuada del pa ´ame o
δ(ϵ). La unci´on in e sa se˜nala la empe a u a a la
que la anchu a en en op´ıa de los es ados accesibles
es, jus amen e, Λ. Es a empe a u a depende de las
p opiedades e mo ´ısicas del sis ema obje o de es udio.
Conside emos en onces la p egun a se˜nalada al p inci-
pio de es a secci´on pe o conside emos aho a se cumplen
el enunciado de Kel in-Planck y el eo ema de Ne ns
al y como se expuso en la secci´on I. Po an o, las e-
s icciones expues as en la secci´on III, y mos adas en la
igu a 2, son ´alidas. El luido de abajo ealiza un ciclo
en el que ex ae una can idad de en op´ıa Λ = Q/T de
la uen e calien e. Pa a ello es necesa io que Λ < σ(T).
Es a en op´ıa debe de ol e se en el oco ´ıo que
ecibi ´ıa una can idad de calo Q′. Pa a alcanza el
m´aximo endimien o, la empe a u a de es e oco debe
5
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PS ag eplaemen s
ompensa ion,
Q
0
I
II
a
exhange o en opy,  =
Q
T
FIG. 3. Diag ama Λ −Q′pa a una sus ancia de abajo.
Un pun o de la egi´on I, p o ejemplo a, ep esen a un
conjun o de m´aquinas que deposi an odas ellas la misma
can idad de calo Q′en el oco ´ıo, e in e cambian la misma
can idad de en op´ıa en e el oco calien e y el ´ıo. La l´ınea
g uesa —que depende del luido de abajo— ep esen a (8)
y iende a {0,0}con pendien e ce o. Pa a un luido de
abajo, es imposible cons ui una m´aquina que se si ´ue en
la egi´on II. El s´ımbolo × ep esen a la es icci´on expues a
po el enunciado de Kel in-Planck en su lec u a cl´asica.
se la meno de las posibles capaces de in e cambia
es a can idad de en op´ıa con es e luido de abajo.
Siguiendo los a gumen os expues os en los p´a a os
an e io es se deduce que es a empe a u a m´ınima iene
dada po σ−1(Λ) que es una p opiedad del luido obje o
de es udio. Po an o,
∀Q= 0, T =0: Q
T= Λ < σ(T)
=⇒ ∃σ−1(Λ) : Q′≥Λ×σ−1(Λ) = Q′
min (8)
Es a m´aquina se ep esen a en la igu a 2 po el ciclo
1−2−3−4−1 cons i uido po dos iso e mas y dos
p ocesos en los que se p oduce un anspo e pa alelo de
en op´ıa; los in e cambios de ene g´ıa y en op´ıa en 2 −3
se cancelan con los de 4 −1 de o ma que las uen es
in oluc adas en es os p ocesos no desempe˜nan ning´un
papel en el p oblema.[?] El abajo p oducido es igual
aWmax = Λ ×T−σ−1(Λ).
El alo de Q′
min es una unci´on de los pa ´ame os del
p oblema: Q, T y el luido de abajo que en a a a ´es
de σ−1. Adem´as la compensaci´on m´ınima es s´olo unci´on
del in e cambio de en op´ıa Λ.
Aunque el alo de Q′
min depende, pa a cada si uaci´on,
de las p opiedades del luido de abajo, es un hecho
muy des acable que, como egla gene al, Q′
min no puede
se una can idad a bi a iamen e p ´oxima a ce o pa a
un Λ dado pues o que, seg´un el eo ema de Ne ns , σ−1
ampoco lo es ( ´ease la igu a 2).
El ca ´ac e uni e sal de (8) pe mi e dibuja un
diag ama Λ −Q′( ´ease la igu a 3). Obs´e ese que
en el con ex o de la lec u a cl´asica del enunciado de
Kel in-Planck es e diag ama no end ´ıa m´as es icci´on
que la exclusi´on de los pun os {Λ= 0, Q′= 0}, que son
des acados en la igu a po el s´ımbolo ×. Pe o si aho a
enemos en cuen a el eo ema de Ne ns es e iden e que
pun os del ipo {Λ, Q′< Q′
min(Λ)} ampoco son posibles.
Es os pun os de inen una egi´on cuya on e a iene dada
po (8); la analog´ıa en e las egiones I y II y la on e a
dibujadas en la igu a 2 con aquellas de la igu a 3 es
inmedia a. Del eo ema de Ne ns se deduce ´acilmen e
que Q′
min iende a ce o con pendien e ce o cuando Λ
iende a ce o. Resumiendo el signi icado de la igu a 3
debe des aca se que el eo ema de Ne ns excluye una
egi´on al ededo de los pun os ealmen e excluidos po la
lec u a cl´asica del enunciado de Kel in-Planck. Es o es ´a
de acue do con las palab as de Ca a h´eodo y expues as
en la secci´on III.
El l´ımi e Λ →0+es la ´unica o ma de consegui
Q′
min →0+. En es e caso, y omando Tcomo una
cons an e aco ada, es cla o que Q ambi´en iende a ce o
y, como consecuencia, ambi´en el abajo. Po an o:
Q′→0+=⇒W→0+(9)
Es a p oposici´on con iene la esencia del eo ema de
Ne ns . Su signi icado m´as d am´a ico se obse a mejo
si se no a que Q′→0+yη→1−son equi alen es.
Se˜nala po an o que con o me se consigue la m´aquina
m´as e icien e, la p oducci´on de abajo a disminuyendo
has a ce o.
Debe des aca se una ez m´as que en la discusi´on
p eceden e xno desempe˜na ning´un papel y en es e
sen ido las es icciones de la igu a 3 y (9) son
uni e sales. Es e hecho p o iene de la uni o midad. Si,
al con a io, el eo ema de Ne ns se lee como un simple
l´ımi e —sin el eque imien o de uni o midad— en onces
(9) y la igu a 3 son s´olo ´alidas pa a ansiciones en e
dos alo es dados de x— ´ease [37, Figu a 23.9][51].—
Po lo an o, (1) no conduce a ninguna es icci´on eal
ya que la on e a de la igu a 3 puede si ua se an
p ´oxima a la es icci´on expues a po la lec u a cl´asica del
enunciado de Kel in-Planck con al de que se conside en
alo es ap opiados de x1yx2. As´ı, la mejo a del
endimien o de cualquie m´aquina se ´ıa una cues i´on de
limi aciones p ´ac icas si (1) ue a alida.[?]
V. EL TEOREMA DE NERNST Y EL
ENUNCIADO DEL SEGUNDO PRINCIPIO
La secci´on IV mues a cla amen e que el eo ema de
Ne ns es inge la con e si´on del calo en abajo en una
o ma que es independien e de la con igu aci´on mec´anica
del sis ema. Es deseable un enlace en e el enunciado del
segundo p incipio y el eo ema.
Uno de los esul ados m´as impo an es de la secci´on IV
es el impo an e papel que desempe˜na Q′, la compen-
saci´on, en el p oblema de la con e si´on del calo en a-
bajo. Su impo ancia p o iene del hecho de que su alo
m´ınimo iene dado po una exp esi´on uni e sal (8).

6
PS ag eplaemen s
old
ho
-K
-KP
-KPN
Q
0
>
0
Q
0
= 0
Q
0
< Q
0
min

Q
T

Q
Q
Q
W
WW
FIG. 4. La secuencia de enunciados del segundo p incipio. El
lec o debe econoce las es icciones sob e la compensaci´on
que p o ienen de la iolaci´on de los di e en es enunciados. De
izquie da a de echa, una iolaci´on del enunciado de Kel in,
una iolaci´on de la lec u a cl´asica del enunciado de Kel in-
Planck, y una iolaci´on de una lec u a m´as azonada de es e
enunciado y que incluye el eo ema de Ne ns . En es e ´ul imo
caso Q′
min iene dado po (8).
Desde un pun o de is a es ic amen e his ´o ico el
papel del oco ´ıo has sido la cla e de los enunciados
del segundo p incipio. As´ı, el p ime enunciado —debido
a Kel in[30],— exp esa que es imposible cons ui una
m´aquina que, a la ez, p oduzca abajo y en ´ıe la m´as
´ıa de las uen es disponibles, sin impo a qu´e ocu a
con o as uen es —m´as calien es— ( ´ease la igu a 4).
Planck simpli ic´o el enunciado al no a que es imposible
cons ui una m´aquina que p oduzca abajo en iando
s´olo una uen e[29]. En es e sen ido, una uen e m´as ´ıa
debe calen a se en una cie a can idad —compensaci´on—
( ´ease la igu a 4). Sin emba go, como no incluy´o
ninguna condici´on sob e el “ ama˜no” de la compensaci´on,
se espe a que pueda se an peque˜na como sea posible:
es a es la lec u a “cl´asica” del enunciado de Kel in-
Planck que se ha man enido desde su o mulaci´on po
Planck.
Pe o adem´as, si el eo ema de Ne ns en a en
conside aci´on a a ´es de la hip´o esis I, se ob iene
la ´ul ima es icci´on del p oblema: una compensaci´on
m´ınima queda de e minada po las p opiedades de la
sus ancia de abajo y el in e cambio de en op´ıa ( ´ease
(8) y la igu a 4): si se quie e ans o ma una can idad
ini a de calo en abajo hay que paga , e ec i amen e, un
impues o —una compensaci´on— es deci el impues o no
puede hace se inde inidamen e peque˜no po olun ad del
expe imen ado .[?] El ex o con ´en asis es un enunciado
in o mal de (9).
El lec o debe no a que, de hecho, (9) es algo m´as que
el simple enunciado del eo ema de Ne ns pues o que
incide sob e el p oblema del enunciado de Kel in-Planck.
Es el din el que co ona el lei mo i de los p incipios de
la e modin´amica al se˜nala la ´ul ima es icci´on sob e la
compensaci´on. Si es a elaci´on se desc ibie a en o ma
nega i a nos encon a ´ıamos con algo muy pa ecido a un
enunciado del segundo p incipio: p ohibe la p oducci´on
de un abajo ini o sin una compensaci´on ini a.
VI. DEL ENUNCIADO DE KELVIN-PLANCK
AL TEOREMA DE NERNST
Las secciones an e io es han analizado el eo ema de
Ne ns a a ´es de la hip´o esis I poniendo de mani ies o
su elaci´on con el p oblema de la con e si´on del calo
en abajo. Aho a deseamos ealiza el iaje con a io:
comenzando po el enunciado de Kel in-Planck, ¿bajo
qu´e ci cuns ancias se ob iene la hip´o esis I?
En nues a opini´on puede deci se que la lec u a cl´asica
del enunciado de Kel in-Planck es “c uda” en el sen-
ido de que la causa —el calo abso bido po de la
uen e calien e— y el e ec o ine i able —la compen-
saci´on m´ınima— se han conside ado desacopladas desde
los comienzos de la e modin´amica. Una lec u a m´as a-
zonada del enunciado del segundo p incipio debi´o habe
concluido que debe exis i un cie o acoplamien o en e
Wmax oQmin yQpues o que s´olo una can idad ini ini es-
imalmen e peque˜na de Qpuede da luga a una compen-
saci´on in ini esimalmen e peque˜na. Aho a se˜nala emos
que es a hip´o esis —hip´o esis II— es su icien e pa a el
eo ema de Ne ns :
la compensaci´on de una m´aquina de Ca no
iende a ce o s´olo si el calo abso bido del oco
calien e iende a ce o
La impo ancia de la hip´o esis end ´a dada po las
conclusiones que se de i en de ella pe o, an es de nada
el lec o no debe oma la como una hip´o esis adicional
al enunciado de Kel in-Planck pues o que es ´a incluida,
impl´ıci amen e, en las palab as del enunciado. La cla e
de la cues i´on es la palab a “e ec os” que apa ece en
el enunciado. Se puede consegui expl´ıci amen e la
hip´o esis II si se sus i uye es a palab a po “e ec os
ini os” de o ma que odo calo abso bido “ ini o”
conduzca, necesa iamen e, a una compensaci´on “ ini a”.
Sin emba go ha de en ende se que odo “e ec o” es, po
de inici´on, “ ini o” y po an o es ´a modi icaci´on es un
pleonasmo incompa ible con la desc ipci´on en palab as
de una ley de la na u aleza.
El hecho de que la hip´o esis II conduzca el eo ema
de Ne ns es, so p enden emen e, elemen al. T´engase en
cuen a que la compensaci´on de una m´aquina equi ale a
Q′=T′×Λ donde T′es la empe a u a del oco ´ıo y Λ
la en op´ıa in e cambiada. Es a exp esi´on puede hace se
ce o (1) si T′ iende a ce o, con independencia de lo que
haga Λ, o (2) si Λ iende a ce o con independencia de lo
que haga T′. La hip´o esis excluye la opci´on (1), es deci
excluye cualquie cambio de en op´ıa en las ce can´ıas
del ce o absolu o. Po an o, el eo ema de Ne ns , al
y como se enunci´o en la secci´on I y se analiz´o en la
secci´on III queda demos ado.
Se concluye en onces que las hip´o esis I y II son
p oposiciones equi alen es de o ma que el eo ema de
Ne ns p o iene, en ´ul ima ins ancia, de una lec u a
7
azonada del enunciado de Kel in-Planck a a ´es de la
hip´o esis II.[?] Es a p oposici´on es ´alida, al menos en
an o que nos e i amos a sis emas capaces de con e i
calo en abajo.
VII. DISCUSI ´
ON Y CONCLUSI ´
ON
En 1909 Ca a h´eodo y[32], siguiendo una suge encia
de Bo n, consigui´o aduci los enunciados cl´asicos
del segundo p incipio —que hablan del p oblema de
la con e si´on del calo en abajo— en un enunciado
que habla de las p opiedades de un sis ema aislado.
Es e abajo p esen a el camino con a io pa a el
eo ema de Ne ns . Se ha supues o que el eo ema
exp esa p opiedades de los sis emas en las ce can´ıas
de T→0; el es udio que aqu´ı p esen amos ( ´ease la
secci´on IV, especialmen e (8) y (9)) elaciona el eo ema
con el p oblema de la p oducci´on de abajo. Es a ´ıa
exp esando una p opiedad uni e sal que debe sa is ace
oda mo o ´e mico.
El lec o puede p egun a se qu´e hip´o esis hacen al
eo ema de Ne ns independien e del enunciado de
Kel in-Planck y cu´ales no. El obje i o del segundo
p incipio es es ingi la p oducci´on con inua de abajo
se˜nalando una asime ´ıa undamen al: el abajo puede
disipa se en o ma de calo pe o lo con a io no. Es e
obje i o se mani ies a en un enunciado que exp esa, en
palab as, una es icci´on. Lo que hemos mos ado en
es e abajo es que el g ado de es icci´on impo a y
iene in luencia en las p opiedades de los sis emas. La
lec u a cl´asica del enunciado de Kel in-Planck asume
s´olo que la compensaci´on es non nula. Con es a lec u a,
las p opiedades de los sis emas en las ce can´ıas de T=
0 iene que eni exp esadas po una ley adicional e
independien e. Sin emba go, una lec u a m´as azonada,
a a ´es de la hip´o esis II p esen ada en la secci´on VI
conduce a alguna de es as p opiedades: la inaccesibilidad
del ce o absolu o y la anulaci´on de los coe icien es de
expansi´on ´e micos. Sin emba go, se˜nalamos de nue o
que la o mulaci´on es insensible a la cues i´on de si los
calo es espec´ı icos se anulan o no en el ce o absolu o.
La nue a lec u a del enunciado e i a el emba azoso
hecho de que Wdebe di e i de Q—la cues i´on es ¿en qu´e
can idad deben di e i ?— se˜nalando que deben hace lo
en una can idad mensu able que depende de la sus ancia
de abajo la cual ambi´en desempe˜na un papel en el
p oblema. Las palab as de Ca a h´eodo y ci adas en la
secci´on III uel en a da en el cla o: si la condici´on
W=Qha de exclui se, W=Q− ambi´en debi´o habe se
excluido.[?]
Una excepci´on a las hip´o esis aqu´ı p esen adas esul-
a ´ıa en un allo de las consecuencias b y c expues as en
la secci´on la secci´on III es deci : (i) una expe iencia que
pe mi ie a aumen a 1/T inde inidamen e, (ii) una ex-
pe iencia que pe mi ie a disminui la en op´ıa de o ma
inde inida, o (iii) una sus ancia cuyos coe icien es de ex-
pansi´on ´e mica no se anulasen en el ce o absolu o.[?]
Es a ue a del ´ambi o de es e abajo desc ibi las
ele ancia mic osc´opica de nues as hip´o esis, es deci
de e mina qu´e ipo de hamil onianos —in e acciones—
conducen a una en op´ıa que se des anece uni o memen e
en T= 0 as´ı como las p opiedades de sime ´ıas de es os
hamil onianos. Modelos econocidos —especialmen e
gases ideales— no sa is acen es as hip´o esis. Sin
emba go, el lec o no debe conclui que es o sea una
“excepci´on” a las hip´o esis pues o que ´es as s´olo se
undamen an en da os expe imen ales mac osc´opicos y
no en el an´alisis de modelos.
La elaci´on en e modelos no in e accionan es y el
eo ema de Ne ns ha sido suge ida ecien emen e[42, 45]
y pa ece ine i able la p esencia de in e acciones en las
ce can´ıas del ce o absolu o. Es a suge encia p o iene
del an´alisis del modelos de espines independien es que
no sa is ace el eo ema de Ne ns pues o que su es ado
undamen al es degene ado. Sin emba go, es e ipo de
sis emas no se p esen a en la na u aleza pues o que los
s´olidos eales exhiben o denaci´on y co elaci´on de espines
a empe a u as su icien emen e bajas. La o denaci´on
esul an e —usualmen e una nue a ase e omagn´e ica
o an i e omagn´e ica— s´ı sa is ace el eo ema.
Un an´alisis simila ale pa a sis emas de pa ´ıculas. El
lec o debe no a que el gas ideal cl´asico pe mi e imagina
p ocesos del ipo (i) y (ii), adem´as no sa is ace (iii) en
con adicci´on con el eo ema de Ne ns . Po su pa e,
el gas ideal cu´an ico[38] dan coe icien es de expansi´on
´e mica nulos en el ce o absolu o, y excluyen expe iencias
del ipo (ii) pues o que la en op´ıa es ´a aco ada. Sin
emba go a´un pe mi en expe iencias del ipo (i) que no
ocu en en la na u aleza y que iolan en signi icado del
eo ema de Ne ns . Po supues o en sis emas eales la
“o denaci´on” es ´a siemp e p esen e y la o maci´on de
ases condensadas pa ece ine i able.
Es muy posible po an o que modelos no in e accio-
nan es —sean cin´e icos, magn´e icos o de cualquie o a
´ındole— no desc iben de o ma p ecisa las p opiedades de
los sis emas eales a empe a u as su icien emen e bajas
pues o que las in e acciones no pueden se desp eciadas
en es e caso.
AGRADECIMIENTOS
Los au o es desean mos a su g a i ud pa a con
D. Jos´e An onio P´e ez G´omez po las la gas discusiones
man enidas y, especialmen e, po ilumina las con el
concep o de con e gencia uni o me. Tambi´en ag adecen
a D˜na. Pila N´u˜nez su amable b´usqueda de egis os
bibliog ´a icos an iguos. Es e abajo has sido inanciado
po el Minis e io de Ciencia y Tecnolog´ıa de Espa˜na bajo
el p oyec o BFM2002-02237.
8
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