ANALESDEINGENIERIAMECANICA AÑ02 N.ºl 1984
DIFRACCICN DE CNDAS DEBIDA A DISCCNI'INUIDADES 'IDPCGRAFICAS
Rai 6n Abascal Ga cía y José Dc:: n1nguez Abascal
Cá ed a de Es uc u as
E.T.S. Ingenie os Indus iales
Uni e sidad de SEVILIA
Resu en. En es a canunicación se p esen a una on ulación. edian e el Mé odo de los Ele en-
os de Con o no, y en el daninio de la ecuencia, aplicable a los en6 enos de di acción -
de ondas po sólidos de ca ac e ís icas no ha ogéneas. P esen andose la esolución de casos
sinples que pe mi en nos a la alidez e idoneidad del é odo u ilizado.
Pa a el diseño de es uc u as bajo la hip6
esis de exci ación s smica es unda en al cono
ce de allada en e la na u aleza y cuan ía de
=
las ampli icaciones de los desplazamien os·que
se p oducen du an e el e eno o. Las obse a-
ciones ealizadas, en seisnos p oducidos ecien
e en e, ues an que las zonas en las que p -6=
ducen·g andes daños son uy localizadas. Dichas
obse aciones ponen de mani ies o que la in en-
sidad de los no imien os p oducidos po un e-
eno o puede a ia muy signi ica i amen e en
dis ancias pequeñas. Es os hechos han lle ado a
pensa que la exis encia de he e eogenidades en
el e eno e i egula idades en la opog a ía -
de la zona, son ac o es unda en ales a ene
en cuen a en el cálculo de las ampli icaciones
que se an a p oduci . El conjun o de en6 enos
de e lexión y e acción que se p oducen al -
a a esa las ondas sísmicas es as i egula ida
des e inhonogeneidades, puede conduci a in e =
e encias cons uc i as o des uc i as, pudien-
do p esen a se ampli icaciones eno es o mayo-
es de las que exis i ían en el caso de no exis
encia de és as. -
La esolución de es os p oblemas es no mal
en e uy c
omp
leja ,
habiendo sido abo dada e
-=
cien e en e po é odos nu é icos. En es a co nu
nicaci6n se abo da án, edian e el Mé odo de
-=
los Ele en os de Con o no en el daninio de la -
ecuencia (MOC) a ios p oblemas, algunos p 6-
xim:Js a si uaciones eales, o os nás alejados,
pe o que si en pa a alida la u ilización del
né odo en es e campo y a oja luz sob e p oble
mas simila es nás c
omp
lejos . En p ine luga ,
=
69
se analiza á el canpo amien o de una-ca idad -
ci cula en el espacio in ini o, cuando su con-
o no es lexible y cuando és e es in ini a en-
e ígido espec o del e eno, pos e io en e,
se ob end á la espues a de una inclusión ci cu
la ígida; odo ello cuando sob e ellas inci-=
den enes de onda P
6 SV. Los esul ados campa
adas con la solución exac a en o ma de se ie-;
se i án pa a os a la alidez de la eo ía.
Pos e io en e, se con e cpla á el p oblema de -
la di acción de ondas po una inclusión semi-
elip ica sob e el semiespacio elás ico, eali-
zandose un es udio en unción de la igiqez e-
la i a de la inclusión e incluyendo ca o caso -
lími e el del cañón semielíp ico.
2. DIFRACCICN DE CNDAS EN
EL ESPACIO CCMPLE' o
En gene al los p oblemas de di acción se -
plan ean a pa i del p incipio de supe posi
ción, exp esando el Ca!ll)O de desplazamien os y
ensiones en el daninio ca o la
SU i:l
de un cam-
po inciden e (i) ,
(i)] , y
del conjun o de -
ca!ll)OS e lejados y e ac ados
u.
(d) ,
(d)] -
(que se nanb a án po ca!ll)O e ac ado), es de-
ci
( ) =
i:
(i) ( ) + (d) ( )
( 1)
( ) = (i) ( ) + (d) ( )
el cual, supues a conocida la no mal en el con-
o no, pe mi e exp esa el ec o ensión sob e
és e, ca o
!( ) = !
(i) ( ) + !
(d) ( ) (2)
ANALES DE INGENIERIA MECANICA AÑO 2 - N.º 1 -· 1984
consi
d
e án
d
ose el ca po inci
d
en e conoci
d
o pa-
a cada ecuencia.
De
los
d
os ca pos en los que se ha
d
ese
pues o el ca po o al, el inci
d
en e no cu pl
las con
d
iciones
d
e a
d
iación, ya que se consi-
d
e a p o iene
d
el in ini o.
(
Es o es as! en -
los p oble as
d
e o igen sísmico, pe o no gené-
icamen e, consi
d
e ese po eje plo, el p oduc.!_
d
o po una explosión sub e ánea localizada
)
,
mien as que el
d
i ac a
d
os! las cu ple. Po
an o,
COl!O
los medios en es u
d
io end án ca-
ác e in ini o o semiin ini o, se á p eciso -
plan ea la ep esen ación in eg al
c
(y)
l
(y)
=
J
[{
( ;y) i
(
)
-
,m·
(
3
)
a que da luga la on ulación
d
el MEX::
1 e [ 1] ,
sob e el ca po
d
i ac ado ,
d
e on,ia que las in-
eg ales sob e el in ini o se anulen.
Consi
d
e ese en p .i e luga , el caso
d
e un
dominio in ini o
d
el ipo os ado en la Fig. 1,
aco ado en e las supe icies
s
1 y
s
3, que se
encuen a en el in ini o, y cons i ui
d
o po
d
os
subdominios R1 , aco a
d
o en e
s
2 y
s
3, Y R2, -
aco a
d
o en e
s
1 y
s
2; y supongase se conocen.-
nas
d
e e minadas con
d
iciones
d
e con o no sob e
la supe icie s1.
Figu a 1
Plan ean
d
o
(
3
)
pa a el ca po o al
d
e
d
es-
plazamien os en R1 en un pun o y E: s2 se end á
c
(
y
)
l (.Z) =
J
[JI, ;.z)
S2+S3
. (x) -
l. -
- ( ;y) ui
(
)
)dA
(
4
)
que pa a si pli ica se indica á po
(
5)
la cual una ez enida en cuen a
(
1
)
se con ie
e en
70
Si aho a se consi
d
e a el ca po inci
d
en e, -
Fig. 1, en un daninio cuyo con o no es s3, el -
d
esplazamien o
d
e cualquie pun o y s3
d
el i:!!
e io
d
e es e dominio se pod á on ula mediéi!!
e
(
3
)
, co co pun o in e no
(
ci
(
y
)
= 1
)
.
(
7
)
es a ecuación subs i uida en (6) y enien
d
o en
cuen a las con
d
iciones
d
e adiación, que hacen
que I
(
d)
sea nula, pe mi e ob ene
S3
(8)
en la cual son incógni as odos los
d
esplaza-
mien os y ec o es ensión
d
el ca po o al so-
b e s2.
En el plan eamien o
d
e la ep esen ación i:!!
eg al
(
3
)
en R2 sólo se á p eciso consi
d
e a -
el ca po
d
i ac a
d
o , ya que el inci
d
en e no -
exis e
(9)
d
e inidas I e I
COl!O
se hizo en (
5
).
, y pa a
s
1
s
2
odo pun o y E
s
1 ó y
E.
s
2 consi
d
e a
d
os en R2,
y supues as unas
d
e e minadas con
d
iciones
d
e -
con o no en S
1
•
El acoplamien o
d
e las ecuaciones
(
8
)
y
(
9
)
se ealiza po medio
d
e las ecuaciones
d
e c
ibilida
d
y equilib io en s2, lo cual da luga
a un sis e a
d
e ecuaciones cuya solución pe mi-
e conoce el ca po o al
d
e
d
esplazamien os y
acciones sob e odos los con o nos.
I.a
gene alización al caso en el que exis an
a ios subdominios simila es a R2 o bien subdo-
minios in e io es a él
d
e p opieda
d
es
d
is in as,
no p esen a complicaciones adicionales y puede
se plan ea
d
o en o na análoga.
3. ESPACIO a:MPLEID. RESULTA OS
A lo la go
d
e la exposición
d
e los esul a-
d
os ob eni
d
os, se
d
enomina á ángulo
d
e inci
d
en-
cia
d
el en
d
e ondas, al comp endido
en e el -
eje z y la
d
i ección
d
e
d
icho en, habién
d
ose
ija
d
o la a pli u
d d
e los
d
esplazamien os en el
o igen
d
e coo denadas. los po enciales elás i-
cos
d
e las ondas u iliza
d
os pa a
d
e ini el ca n
po inci
d
en e ienen la siguien e o ma -
cp
(
i
)
=A
/ exp{-i [
k
(x
sen
e
(
i
)
_
z
cose
(
i
)
)
- }
p p p p p
cp
(
i
)
=
A
k
i exp
{-i [k
(x
sen e
(
i)
_
z
cose
(
i
)
)-•·J}
s s s "J
p (10)
ANALES DE lNGENIERIA MECANICA AÑO 2 - N.º 1
-1984
d
on
d
e
A = Ampli ud= 1
A
con inua.ci6n se p esen an es p oblana.s
si ples: ca idad ci cula lexible, ca idad ci!_
cula ígida e inclusi u ci cula , cuyas solu-
ciones exac as, en o na de se ie, se conocen -
en el caso
d
el esp'!cio in ini o y ondas inci
d
e!:_
es p ó
s ,
(Re . [
2] 6 [3]). Pa a su cálculo -
median e el MEC se
d
isc e iza á la ci cun e en-
cia que las
d
elimi an en segmen os ec os y se
ca pa a á la e oluci6n del m5dulo de los despl
zamien os con la ecuencia adinensional a0
=
-wR/c pa a dos disc e izaciones
d
is in as, -
- s
Fig. 2,
d
e 14 y 42 eleman os, y un o ex e-
io con densidad 1, mSdulo de elas icidad --
ans e sal 4 y m5dulo de Poisson 1/4, habiénd2
se elegi
d
o pa a el a
d
io
d
e la ci cun e encia -
el alo unidad.
X
z
Figu a 2.- Disc e ización
3.1. Ca idad ci cula lexible
En la F ig. 3 se mues a la e oluci6n
d
el
I é
dulo
d
e los
d
esplazamien os ho izon ales, en el
caso
d
e ondas P, y e icales, ondas
SV,
de dos
pun os
d
el con o no ci cula si ua
d
os a ex=
= 12,87Q y 90Q, espec i amen e, a medida que -
a ía la ecuencia a
d
imensional a
0
en un ango
en e /4 y 2 . En cada g á ica se
d
ibujan .
los
alo es ob eni
d
os numé icamen e y la soluc1.6n -
exac a pu
d
ien
d
o ca p oba se la con e gencia de
los alo es numé icos hacia la soluci6n exac a
a medida que el núme o
d
e ele en osau nen a.
3.2. ca idad ci. cul;,i qida_
los
d
esplazamien os
COITO
sóli
d
o ígi
d
o que
se p oducen en una ca ida
d
ci cula cuyo con oE.
no es á igi
d
iza
d
o, an e la acción
d
e un en e
d
e ondas, pueden se calcula
d
os esol ien o
o hip6 esis
d
is in as: una de
d
esplazamien os
nulos
d
os
d
e desplazamien os uni a ios en las
d
os
d
i ecciones x, z y una úl ima de gi o uni-
da
d
espec o del cen o
d
e la ca ida
d
,
calcula-
das las esul an es
d
e las acciones y el m: -
en o p oducido po ellas espec o del cen o,
se esuel e la ecuaci6n
(
11)
71
y se cb ienen los desplazamien os buscados.
En la Fig. 4 se· mues an los p cducidos en
las di ecciones ho izcn al y e ical, an e la
incidencia de ondas
P
y
SV,
espec i amen e, -
en e a la soluci6n exac a, cbse ándose exce-
len e ccnco dancia.
3.3. Jnclusién ci cula
Una úl ima ca pa acién con soluciones exac-
as se ealiza con la inclusi6n en el espacio -
in ini o. Pa a dicha ca pa aci6n se ha elegido
una gecme ía i
d
én ica a la u ilizada en los -
dos casos an e io es ccn un nadio ex e io
d
e -
p opiedades idén icas y un medio in e io , la -
inclusi6n, en el que sólo se ha a iado el m5d
lo de elas icida
d
ans e sal dándole
el
alo
16. los 6dulos de los desplazamien os ho izon-
al y e ical de un pun o de la in e ase ca .!_
dad-ioodio ex e no, si ua
d
o a e= 90º, p cduci-
d
os po ondas P y
SV,
espec i amen e, se dibu-
jan en la Fig. 5 en e a la solucién exac a. -
Asimisno, se oose a ca o los esul ados n .!_
cos con e gen hacia el exac o a medida que el -
núme o de elemen os aUITe11 a.
4. DIFRAO'.:ICN DE OODAS EN EL
SEMIESPACIO
En el caso de la di acci u
d
e ondas en el
semi.espacio se an a conside a dos gecme ías
ipo, ep esen adas en las Figs. 6 y 7. En es e
caso el ca po inci
d
en e es a á onnado po el -
conjun o
d
e mdas inciden es y e lejadas en la
supe icie lib e
d
e acciones
d
el sem.j.espacio
conside ado con las p opieda
d
es del subdcminio
R1.
Si se conside a en p .i e luga la gecme ía
de la Fig. 6 y se esc ibe la ep esen aci6n in
g al
(
3) pa a el ca po
d
i ac ado de
d
esplaza-
mien os en el subdominio R1, se end á, pa a un
pun o y_ pe enecien e a
s
2 6
s
3
c
k
1.·
(y) 1 _
d
)
(y) =
I
d
)
+ I
(d)
;
y
E (
S2
U
S3)
E
R2
2 S3
(
12
)
d
on
d
e I
(
d)
y I
(d)
ienen i
d
én ica exp esi6n que
S2 S3
en
(5),
pe o e e idas al ca po di ac a
d
o . Co-
m:> el ca po inciden e
d
e
d
esplazamien_ os y en-
siones es conocido y las acciones
d
el ca po -
o al son nulas sob e s3, las inc6gni as en -
(12) se án las componen es de los
d
esplazamien-
ós sob e
s
2 y
s
3 y las
d
e los ec o es ensi6n
sob e s2• Si se o mula la ep esen aci6n in e-
g al pa a un pun o cualquie a
d
el con o no
d
el
subdcminio R2, se ob iene
c
(
y
)
1 _
d)
(y) =J
d)
+ J
d
Y€
(
S1 U S2)E R1
1 2
(
13
)
enien
d
o J la misma exp esión que I pe o e e i-
da a R2• Aho a bien, en R2 s6lo exis e ca po
d
i-
ac ado y po lo an o
d
e
(
12
)
se iene
'
a,
..
1
":
CI)
a.
•
.. •
,,
11
.,¡
.79
..
1
..
a.
.. •
..
e
...
•
"!
,,
•
.79
!!
..:
isi
CTl CD
1
"!
CI)
a.
" .,
Id
o
,,
o
• 79
ANALES DE
lNGENIERIA MECANICA
-AÑO 2 -N.º 1 -1984
Ca . Ci , le><.
O< • 12.8?"
1.57 2.39
F ecuencia HR/Ca
3. !4
..
O) ..
=
M
.;
u
.79
Ca . C . Flex •
c,c. "' 99•
-Pao .. Now
-- 14 El•••
-- 42 El•••
;.;--
V "' ,
"
"
'
" . /
...._,,
1.17 2.H 1.14
F ecuenc1a HR/Ce
Figu a 3.- Resul ados Ca idad lexible.
..
..
Ca . Cl , R g. Ca . Cl . R g
isi
--Pao & now
-- 14 Ele11.
--42 ,, ....
1.57
F ecuencia
3.14
CTl
u
(1)
>
"
,::,
o
.....
:::J
u
,,
o
"'
":
;
.,¡
• 79
-- Pao a. Mow
-- 14 Elem •
-- 42 Elem.
1.57
F ecuencia
2.36
HR/Cs
Figu a 4.- Resul ados Ca idad igidizada.
Inclus on
"" -90•
-- Pao &. 110111
-- 14 Elem.
-·- 42
e:,
....
i)
CTl
1
(1)
>
"
..
,,
e
o
M
::J
u
,,
!!
..:
..
"!
151
....
"!
Incluslon
IX• 90
°
--Pao &. l'lo111
-- 14 Ele111.
-- 42 Eleni.
3. 14
1.57 2.36 3.14
.79
1.57 2.36 3.14
F ecuencia HR/Cs
F ecuencia HR/Cs
Figu a 5.- Resul ados Inclusion lexible.
72
ANALES
DE INGENIERIA
MECANICA
-AÑO 2 -N.º 1 -1984
1-------.------,--+
X
z
Figu a 6
s,
----------
X
z
Figu a 7
c
(
)
(
) I 8. - 8
(
i)
- 5
(i
)
+ c
(
) u.
(i)
(
)
1 "'-
'; _ =
S2
+
3 2 3
1 "'-
K
"'-
(
14)
donde Iii),
(
i) y !(i) son conoc
i
dos.
2
Si se conside a aho a que a pa
i
de un -
cie o pun o de s3, el ca cpo inciden e es idén-
ico al o al, lo cual es equi alen e a desp e-
cia la con ibuci6n del
ca po
di ac ado, s6lo
se á p eciso d
i
sc e iza pa e de la supe icie
s
3•
Es a ap oxinaci6n es simila a la que se -
e ec ua en el cálculo de igideces de ci en a-
ción ( e
[1]).
Pa a ca ple a la soluci6n del p oblema bas
a acopla las ecuaciones
(
13) y
(
14) po
medio
de las ecuaciones de conpa ibilidad y equili--
b io en la in e ase s
2
de los dos subdaninios.
En cuan o al p oble a de di acción de on-
das en el semiespacio con gea e ía de la F
i
g
•
7, el plan eamien o es simila . la ep esen a-
ción in eg al (3) en el con o no del daninio R1
i
ene la o ma:
y en el R2
73
k
ci('; _) l <'i..> = Js + Js
2 1
16)
las exp esimes de las in eg ales I
(d)
=
I
-
. S2 S2
-Iii), J5 Y J5 una ez disc e izadas y supue
2
2 1
o que sob e
s
1 y
s
2 la con ibuciá1 del ca po
di ac ado a
la ep esen acién in eg al, se hace
eno a medida que se a anza hacia el in ini o,
se puede llega , una ez ill'pues as las condicio-
nes de con o no sob e s1 y e ec uado el acopla-
mien o de (15) y (16) median e las ecuaciones de
ca pa ibilidad y equilib io s
2,
a
m.
sis e a de
ecuacicnes cuya soluciá1 p opo cicna una ap oxi-
mac
i
á1 al ca po o al de desplazamien os y ac-
cimes sob e s1 y s2•
5. SEMIESPlCIO. RESULTADOS
Caco eje plo
i
po de di accién de cndas en
un semiespacio se ha elegido un alle
de alu ión
de on ia semielip ica sob e el cual inciden on-
das P 6 SV con un de e: minado ángulo de inciden-
cia, Fig. 8.
D
Figu a 8.- Valle de alu ion semielip ico.
Los po enciales elegidos pa a la ep esen a-
ción de los enes de ondas indicen es son idé-1-
icos a los desc i os en
(10),
pudiáldose ob e-
ne ácil en e a pa i de ellos el ca po "inci-
den e" o nado po es as cndas inciden es y las
e lejadas en el supe icie Lib e del semiespa-
cio ( e po eja plo [4]).
Las ca ac e ís
i
ca s del eje plo u ilizado -
hqn sido: elacién en e los semiejes de la eliE
se D/H = 2, densidad 1 ,
m5dulo de Poisson 1 /3, -
po cen aje de ano igua nien o de las ondas S =
O,
siendo el ódulo de elas icidad ans e sal del
semiespacio de alo unidad, y habi&dose ob en_!
do los esul ados pa a una ecuencia adimens
i
o-
nal a
=
w D/c8
=
TI/5
(
c8
=
elocidad de las -
o 1 . 1
cndas Sen el semiespac
i
o.
En la Fig. 9 se n ues an los esul ados ob e
nidos pa a los nódulos de los desplazamien os ...=
e
i
cales (cndas P,
e=
30Q) y ho izon ales -
(
ondas SV,
e=
15Q) de la in e ase alle-semies
pacio, cuando las cndas inciden scb e alles de-
idál ica geane ía a la desc i a, pe o cuya ig_!
dez a ía. Ca o índice de igidez ela i a se ha
•
(S)
(I')
a..
0
l!l
-o
,...,
N
::J
w
-o
o
,:
o
in
0
l!l
-o
e
o
,
X
;::J
.....
-o
o
:: :
ANALES DE
INGENIERIA MECANICA -AÑO
2 -N.º l -1984
CSI
a,
CSI
I'-
CSI
ID
CSI
In
RCs=.4
RCs=.2
-=2.00 -1.50 -1.00
CSI
.,.
N
CSI
N
N
CSl
CSI
N
CSI
a,
.
CSI
ID
-- .·
...
===:=-- ==-
..
,.
_____ __.
---
RCs=.6
-- -- - - -
RCs=1 (Senues a io)
::2.00
-1.50
-1.00
VALLE DE ALUVION 6EMIE1.IPT1CO
Despl, de la n e ase
1
)[
RCs=1 (
-.50 0.00
X/D
.50
ALLE DE ALUVION SEMIE1.IPTICO
Despl. de la n e ase
-.50.
RCs=.8
......
lll.00
VD
.50
1
X
RCs=O(Cañon)
1.00. 1.50
RCs=.2
--·-=:
RCS=.01
- - RCs -:
(Cañon)
1..00 1..50
2.00
2.00
Figu a 9.- Desplazamien os en la in e ase Valle de alu ión-Senuespacio. Ondas P
y SV.
74
ANALES DE
INGENIERIA
MECANICA -AÑO 2 - N. º 1 - 1984
elegido el pa o RC = es /es (es = elo-
s 2 1 2
cidad de las ondas S en el alle) , el cual se -
ha hecho a ia en e 1 (co espcndim e al se-
ú.espacio) y O (co espondien e al cañ6n) , lo -
cual pe ú. e obse a la in luencia de la igi-
dez de los sedi en os de alu im sob e la es--
pues a an e enes de c:ndas ales
CO!IO
las des-
c i as.
6. CCN:LUSICNES
En es a canunicaci6n se ha p esen ado la -
onnulaci6n del odo de
los Ele en os de Con
omo en el daninio de la ecuencia, pa a el-
es udio de enánenos de di acci6n de ondas en
edios in ini os y se ú.in ini os, de ca ac e-
ís icas no hacog-é-leas.
Se han p esen ado asimis o, los esul ados
ob enidos pa a el caso de ondas inciden es so-
b e ca idades ci cula es, ígidas o lexibles,
inclusiones y alles de alu ión.
Todo ello pe ú. e el es udio de una gama -
a plia de p oblenas elacic:nados con la Diná n.i
ca de Sólidos y en pa icula , con los en&-ne::
nos de In e acci6n Suelo-Es uc u a.
7. REFERENCIAS
1
•
Abascal R. "Es udio de P oblenas. Dinámicos
en In e accién Suelo-Es uc u a po el Mé odo
de los Ele en os de Cc:n omo".
Tesis Doc o al, E. T. S. Ingenie os Indus iales
Se illa, A;b il 1984.
2. Pao Y.H. y Mow e.e. "Di ac ic:n o Elas ic
Wa es and Dynamic S ess Concen a ic:n".
C ane Russak, New Yo k, 1971.
3. E inge A.C. y Suhubi E. "Elas odyna ú.cs"
Vol. II, Linea Theo y. Acadenic P ess, 1975.
4. Pilan W.L. "Elas ic Wa es in he Ea h" •
Else ie Scien i ic Publishing Co pany.
De elo¡::man s in Solid Ea_ h Geq,hysics, 11 ,
1979.
75