Difracción de ondas debida a discontinuidades topográficas

ANALESDEINGENIERIAMECANICA AÑ02 N.ºl 1984 DIFRACCICN DE CNDAS DEBIDA A DISCCNI'INUIDADES 'IDPCGRAFICAS Rai 6n Abascal Ga cía y José Dc:: n1nguez Abascal Cá ed a de Es uc u as E.T.S. Ingenie os Indus iales Uni e sidad de SEVILIA Resu en. En es a canunicación se p esen a una on ulación. edian e el Mé odo de los Ele en- os de Con o no, y en el daninio de la ecuencia, aplicable a los en6 enos de di acción - de ondas po sólidos de ca ac e ís icas no ha ogéneas. P esen andose la esolución de casos sinples que pe mi en nos a la alidez e idoneidad del é odo u ilizado. Pa a el diseño de es uc u as bajo la hip6 esis de exci ación s smica es unda en al cono ce de allada en e la na u aleza y cuan ía de = las ampli icaciones de los desplazamien os·que se p oducen du an e el e eno o. Las obse a- ciones ealizadas, en seisnos p oducidos ecien e en e, ues an que las zonas en las que p -6= ducen·g andes daños son uy localizadas. Dichas obse aciones ponen de mani ies o que la in en- sidad de los no imien os p oducidos po un e- eno o puede a ia muy signi ica i amen e en dis ancias pequeñas. Es os hechos han lle ado a pensa que la exis encia de he e eogenidades en el e eno e i egula idades en la opog a ía - de la zona, son ac o es unda en ales a ene en cuen a en el cálculo de las ampli icaciones que se an a p oduci . El conjun o de en6 enos de e lexión y e acción que se p oducen al - a a esa las ondas sísmicas es as i egula ida des e inhonogeneidades, puede conduci a in e = e encias cons uc i as o des uc i as, pudien- do p esen a se ampli icaciones eno es o mayo- es de las que exis i ían en el caso de no exis encia de és as. - La esolución de es os p oblemas es no mal en e uy c omp leja , habiendo sido abo dada e -= cien e en e po é odos nu é icos. En es a co nu nicaci6n se abo da án, edian e el Mé odo de -= los Ele en os de Con o no en el daninio de la - ecuencia (MOC) a ios p oblemas, algunos p 6- xim:Js a si uaciones eales, o os nás alejados, pe o que si en pa a alida la u ilización del né odo en es e campo y a oja luz sob e p oble mas simila es nás c omp lejos . En p ine luga , = 69 se analiza á el canpo amien o de una-ca idad - ci cula en el espacio in ini o, cuando su con- o no es lexible y cuando és e es in ini a en- e ígido espec o del e eno, pos e io en e, se ob end á la espues a de una inclusión ci cu la ígida; odo ello cuando sob e ellas inci-= den enes de onda P 6 SV. Los esul ados campa adas con la solución exac a en o ma de se ie-; se i án pa a os a la alidez de la eo ía. Pos e io en e, se con e cpla á el p oblema de - la di acción de ondas po una inclusión semi- elip ica sob e el semiespacio elás ico, eali- zandose un es udio en unción de la igiqez e- la i a de la inclusión e incluyendo ca o caso - lími e el del cañón semielíp ico. 2. DIFRACCICN DE CNDAS EN EL ESPACIO CCMPLE' o En gene al los p oblemas de di acción se - plan ean a pa i del p incipio de supe posi ción, exp esando el Ca!ll)O de desplazamien os y ensiones en el daninio ca o la SU i:l de un cam- po inciden e (i) , (i)] , y del conjun o de - ca!ll)OS e lejados y e ac ados u. (d) , (d)] - (que se nanb a án po ca!ll)O e ac ado), es de- ci ( ) = i: (i) ( ) + (d) ( ) ( 1) ( ) = (i) ( ) + (d) ( ) el cual, supues a conocida la no mal en el con- o no, pe mi e exp esa el ec o ensión sob e és e, ca o !( ) = ! (i) ( ) + ! (d) ( ) (2) ANALES DE INGENIERIA MECANICA AÑO 2 - N.º 1 -· 1984 consi d e án d ose el ca po inci d en e conoci d o pa- a cada ecuencia. De los d os ca pos en los que se ha d ese pues o el ca po o al, el inci d en e no cu pl las con d iciones d e a d iación, ya que se consi- d e a p o iene d el in ini o. ( Es o es as! en - los p oble as d e o igen sísmico, pe o no gené- icamen e, consi d e ese po eje plo, el p oduc.!_ d o po una explosión sub e ánea localizada ) , mien as que el d i ac a d os! las cu ple. Po an o, COl!O los medios en es u d io end án ca- ác e in ini o o semiin ini o, se á p eciso - plan ea la ep esen ación in eg al c (y) l (y) = J [{ ( ;y) i ( ) - ,m· ( 3 ) a que da luga la on ulación d el MEX:: 1 e [ 1] , sob e el ca po d i ac ado , d e on,ia que las in- eg ales sob e el in ini o se anulen. Consi d e ese en p .i e luga , el caso d e un dominio in ini o d el ipo os ado en la Fig. 1, aco ado en e las supe icies s 1 y s 3, que se encuen a en el in ini o, y cons i ui d o po d os subdominios R1 , aco a d o en e s 2 y s 3, Y R2, - aco a d o en e s 1 y s 2; y supongase se conocen.- nas d e e minadas con d iciones d e con o no sob e la supe icie s1. Figu a 1 Plan ean d o ( 3 ) pa a el ca po o al d e d es- plazamien os en R1 en un pun o y E: s2 se end á c ( y ) l (.Z) = J [JI, ;.z) S2+S3 . (x) - l. - - ( ;y) ui ( ) )dA ( 4 ) que pa a si pli ica se indica á po ( 5) la cual una ez enida en cuen a ( 1 ) se con ie e en 70 Si aho a se consi d e a el ca po inci d en e, - Fig. 1, en un daninio cuyo con o no es s3, el - d esplazamien o d e cualquie pun o y s3 d el i:!! e io d e es e dominio se pod á on ula mediéi!! e ( 3 ) , co co pun o in e no ( ci ( y ) = 1 ) . ( 7 ) es a ecuación subs i uida en (6) y enien d o en cuen a las con d iciones d e adiación, que hacen que I ( d) sea nula, pe mi e ob ene S3 (8) en la cual son incógni as odos los d esplaza- mien os y ec o es ensión d el ca po o al so- b e s2. En el plan eamien o d e la ep esen ación i:!! eg al ( 3 ) en R2 sólo se á p eciso consi d e a - el ca po d i ac a d o , ya que el inci d en e no - exis e (9) d e inidas I e I COl!O se hizo en ( 5 ). , y pa a s 1 s 2 odo pun o y E s 1 ó y E. s 2 consi d e a d os en R2, y supues as unas d e e minadas con d iciones d e - con o no en S 1 • El acoplamien o d e las ecuaciones ( 8 ) y ( 9 ) se ealiza po medio d e las ecuaciones d e c ibilida d y equilib io en s2, lo cual da luga a un sis e a d e ecuaciones cuya solución pe mi- e conoce el ca po o al d e d esplazamien os y acciones sob e odos los con o nos. I.a gene alización al caso en el que exis an a ios subdominios simila es a R2 o bien subdo- minios in e io es a él d e p opieda d es d is in as, no p esen a complicaciones adicionales y puede se plan ea d o en o na análoga. 3. ESPACIO a:MPLEID. RESULTA OS A lo la go d e la exposición d e los esul a- d os ob eni d os, se d enomina á ángulo d e inci d en- cia d el en d e ondas, al comp endido en e el - eje z y la d i ección d e d icho en, habién d ose ija d o la a pli u d d e los d esplazamien os en el o igen d e coo denadas. los po enciales elás i- cos d e las ondas u iliza d os pa a d e ini el ca n po inci d en e ienen la siguien e o ma - cp ( i ) =A / exp{-i [ k (x sen e ( i ) _ z cose ( i ) ) - } p p p p p cp ( i ) = A k i exp {-i [k (x sen e ( i) _ z cose ( i ) )-•·J} s s s "J p (10) ANALES DE lNGENIERIA MECANICA AÑO 2 - N.º 1 -1984 d on d e A = Ampli ud= 1 A con inua.ci6n se p esen an es p oblana.s si ples: ca idad ci cula lexible, ca idad ci!_ cula ígida e inclusi u ci cula , cuyas solu- ciones exac as, en o na de se ie, se conocen - en el caso d el esp'!cio in ini o y ondas inci d e!:_ es p ó s , (Re . [ 2] 6 [3]). Pa a su cálculo - median e el MEC se d isc e iza á la ci cun e en- cia que las d elimi an en segmen os ec os y se ca pa a á la e oluci6n del m5dulo de los despl zamien os con la ecuencia adinensional a0 = -wR/c pa a dos disc e izaciones d is in as, - - s Fig. 2, d e 14 y 42 eleman os, y un o ex e- io con densidad 1, mSdulo de elas icidad -- ans e sal 4 y m5dulo de Poisson 1/4, habiénd2 se elegi d o pa a el a d io d e la ci cun e encia - el alo unidad. X z Figu a 2.- Disc e ización 3.1. Ca idad ci cula lexible En la F ig. 3 se mues a la e oluci6n d el I é dulo d e los d esplazamien os ho izon ales, en el caso d e ondas P, y e icales, ondas SV, de dos pun os d el con o no ci cula si ua d os a ex= = 12,87Q y 90Q, espec i amen e, a medida que - a ía la ecuencia a d imensional a 0 en un ango en e /4 y 2 . En cada g á ica se d ibujan . los alo es ob eni d os numé icamen e y la soluc1.6n - exac a pu d ien d o ca p oba se la con e gencia de los alo es numé icos hacia la soluci6n exac a a medida que el núme o d e ele en osau nen a. 3.2. ca idad ci. cul;,i qida_ los d esplazamien os COITO sóli d o ígi d o que se p oducen en una ca ida d ci cula cuyo con oE. no es á igi d iza d o, an e la acción d e un en e d e ondas, pueden se calcula d os esol ien o o hip6 esis d is in as: una de d esplazamien os nulos d os d e desplazamien os uni a ios en las d os d i ecciones x, z y una úl ima de gi o uni- da d espec o del cen o d e la ca ida d , calcula- das las esul an es d e las acciones y el m: - en o p oducido po ellas espec o del cen o, se esuel e la ecuaci6n ( 11) 71 y se cb ienen los desplazamien os buscados. En la Fig. 4 se· mues an los p cducidos en las di ecciones ho izcn al y e ical, an e la incidencia de ondas P y SV, espec i amen e, - en e a la soluci6n exac a, cbse ándose exce- len e ccnco dancia. 3.3. Jnclusién ci cula Una úl ima ca pa acién con soluciones exac- as se ealiza con la inclusi6n en el espacio - in ini o. Pa a dicha ca pa aci6n se ha elegido una gecme ía i d én ica a la u ilizada en los - dos casos an e io es ccn un nadio ex e io d e - p opiedades idén icas y un medio in e io , la - inclusi6n, en el que sólo se ha a iado el m5d lo de elas icida d ans e sal dándole el alo 16. los 6dulos de los desplazamien os ho izon- al y e ical de un pun o de la in e ase ca .!_ dad-ioodio ex e no, si ua d o a e= 90º, p cduci- d os po ondas P y SV, espec i amen e, se dibu- jan en la Fig. 5 en e a la solucién exac a. - Asimisno, se oose a ca o los esul ados n .!_ cos con e gen hacia el exac o a medida que el - núme o de elemen os aUITe11 a. 4. DIFRAO'.:ICN DE OODAS EN EL SEMIESPACIO En el caso de la di acci u d e ondas en el semi.espacio se an a conside a dos gecme ías ipo, ep esen adas en las Figs. 6 y 7. En es e caso el ca po inci d en e es a á onnado po el - conjun o d e mdas inciden es y e lejadas en la supe icie lib e d e acciones d el sem.j.espacio conside ado con las p opieda d es del subdcminio R1. Si se conside a en p .i e luga la gecme ía de la Fig. 6 y se esc ibe la ep esen aci6n in g al ( 3) pa a el ca po d i ac ado de d esplaza- mien os en el subdominio R1, se end á, pa a un pun o y_ pe enecien e a s 2 6 s 3 c k 1.· (y) 1 _ d ) (y) = I d ) + I (d) ; y E ( S2 U S3) E R2 2 S3 ( 12 ) d on d e I ( d) y I (d) ienen i d én ica exp esi6n que S2 S3 en (5), pe o e e idas al ca po di ac a d o . Co- m:> el ca po inciden e d e d esplazamien_ os y en- siones es conocido y las acciones d el ca po - o al son nulas sob e s3, las inc6gni as en - (12) se án las componen es de los d esplazamien- ós sob e s 2 y s 3 y las d e los ec o es ensi6n sob e s2• Si se o mula la ep esen aci6n in e- g al pa a un pun o cualquie a d el con o no d el subdcminio R2, se ob iene c ( y ) 1 _ d) (y) =J d) + J d Y€ ( S1 U S2)E R1 1 2 ( 13 ) enien d o J la misma exp esión que I pe o e e i- da a R2• Aho a bien, en R2 s6lo exis e ca po d i- ac ado y po lo an o d e ( 12 ) se iene ' a, .. 1 ": CI) a. • .. • ,, 11 .,¡ .79 .. 1 .. a. .. • .. e ... • "! ,, • .79 !! ..: isi CTl CD 1 "! CI) a. " ., Id o ,, o • 79 ANALES DE lNGENIERIA MECANICA -AÑO 2 -N.º 1 -1984 Ca . Ci , le><. O< • 12.8?" 1.57 2.39 F ecuencia HR/Ca 3. !4 .. O) .. = M .; u .79 Ca . C . Flex • c,c. "' 99• -Pao .. Now -- 14 El••• -- 42 El••• ;.;-- V "' , " " ' " . / ...._,, 1.17 2.H 1.14 F ecuenc1a HR/Ce Figu a 3.- Resul ados Ca idad lexible. .. .. Ca . Cl , R g. Ca . Cl . R g isi --Pao & now -- 14 Ele11. --42 ,, .... 1.57 F ecuencia 3.14 CTl u (1) > " ,::, o ..... :::J u ,, o "' ": ; .,¡ • 79 -- Pao a. Mow -- 14 Elem • -- 42 Elem. 1.57 F ecuencia 2.36 HR/Cs Figu a 4.- Resul ados Ca idad igidizada. Inclus on "" -90• -- Pao &. 110111 -- 14 Elem. -·- 42 e:, .... i) CTl 1 (1) > " .. ,, e o M ::J u ,, !! ..: .. "! 151 .... "! Incluslon IX• 90 ° --Pao &. l'lo111 -- 14 Ele111. -- 42 Eleni. 3. 14 1.57 2.36 3.14 .79 1.57 2.36 3.14 F ecuencia HR/Cs F ecuencia HR/Cs Figu a 5.- Resul ados Inclusion lexible. 72 ANALES DE INGENIERIA MECANICA -AÑO 2 -N.º 1 -1984 1-------.------,--+ X z Figu a 6 s, ---------- X z Figu a 7 c ( ) ( ) I 8. - 8 ( i) - 5 (i ) + c ( ) u. (i) ( ) 1 "'- '; _ = S2 + 3 2 3 1 "'- K "'- ( 14) donde Iii), ( i) y !(i) son conoc i dos. 2 Si se conside a aho a que a pa i de un - cie o pun o de s3, el ca cpo inciden e es idén- ico al o al, lo cual es equi alen e a desp e- cia la con ibuci6n del ca po di ac ado, s6lo se á p eciso d i sc e iza pa e de la supe icie s 3• Es a ap oxinaci6n es simila a la que se - e ec ua en el cálculo de igideces de ci en a- ción ( e [1]). Pa a ca ple a la soluci6n del p oblema bas a acopla las ecuaciones ( 13) y ( 14) po medio de las ecuaciones de conpa ibilidad y equili-- b io en la in e ase s 2 de los dos subdaninios. En cuan o al p oble a de di acción de on- das en el semiespacio con gea e ía de la F i g • 7, el plan eamien o es simila . la ep esen a- ción in eg al (3) en el con o no del daninio R1 i ene la o ma: y en el R2 73 k ci('; _) l <'i..> = Js + Js 2 1 16) las exp esimes de las in eg ales I (d) = I - . S2 S2 -Iii), J5 Y J5 una ez disc e izadas y supue 2 2 1 o que sob e s 1 y s 2 la con ibuciá1 del ca po di ac ado a la ep esen acién in eg al, se hace eno a medida que se a anza hacia el in ini o, se puede llega , una ez ill'pues as las condicio- nes de con o no sob e s1 y e ec uado el acopla- mien o de (15) y (16) median e las ecuaciones de ca pa ibilidad y equilib io s 2, a m. sis e a de ecuacicnes cuya soluciá1 p opo cicna una ap oxi- mac i á1 al ca po o al de desplazamien os y ac- cimes sob e s1 y s2• 5. SEMIESPlCIO. RESULTADOS Caco eje plo i po de di accién de cndas en un semiespacio se ha elegido un alle de alu ión de on ia semielip ica sob e el cual inciden on- das P 6 SV con un de e: minado ángulo de inciden- cia, Fig. 8. D Figu a 8.- Valle de alu ion semielip ico. Los po enciales elegidos pa a la ep esen a- ción de los enes de ondas indicen es son idé-1- icos a los desc i os en (10), pudiáldose ob e- ne ácil en e a pa i de ellos el ca po "inci- den e" o nado po es as cndas inciden es y las e lejadas en el supe icie Lib e del semiespa- cio ( e po eja plo [4]). Las ca ac e ís i ca s del eje plo u ilizado - hqn sido: elacién en e los semiejes de la eliE se D/H = 2, densidad 1 , m5dulo de Poisson 1 /3, - po cen aje de ano igua nien o de las ondas S = O, siendo el ódulo de elas icidad ans e sal del semiespacio de alo unidad, y habi&dose ob en_! do los esul ados pa a una ecuencia adimens i o- nal a = w D/c8 = TI/5 ( c8 = elocidad de las - o 1 . 1 cndas Sen el semiespac i o. En la Fig. 9 se n ues an los esul ados ob e nidos pa a los nódulos de los desplazamien os ...= e i cales (cndas P, e= 30Q) y ho izon ales - ( ondas SV, e= 15Q) de la in e ase alle-semies pacio, cuando las cndas inciden scb e alles de- idál ica geane ía a la desc i a, pe o cuya ig_! dez a ía. Ca o índice de igidez ela i a se ha • (S) (I') a.. 0 l!l -o ,..., N ::J w -o o ,: o in 0 l!l -o e o , X ;::J ..... -o o :: : ANALES DE INGENIERIA MECANICA -AÑO 2 -N.º l -1984 CSI a, CSI I'- CSI ID CSI In RCs=.4 RCs=.2 -=2.00 -1.50 -1.00 CSI .,. N CSI N N CSl CSI N CSI a, . CSI ID -- .· ... ===:=-- ==- .. ,. _____ __. --- RCs=.6 -- -- - - - RCs=1 (Senues a io) ::2.00 -1.50 -1.00 VALLE DE ALUVION 6EMIE1.IPT1CO Despl, de la n e ase 1 )[ RCs=1 ( -.50 0.00 X/D .50 ALLE DE ALUVION SEMIE1.IPTICO Despl. de la n e ase -.50. RCs=.8 ...... lll.00 VD .50 1 X RCs=O(Cañon) 1.00. 1.50 RCs=.2 --·-=: RCS=.01 - - RCs -: (Cañon) 1..00 1..50 2.00 2.00 Figu a 9.- Desplazamien os en la in e ase Valle de alu ión-Senuespacio. Ondas P y SV. 74 ANALES DE INGENIERIA MECANICA -AÑO 2 - N. º 1 - 1984 elegido el pa o RC = es /es (es = elo- s 2 1 2 cidad de las ondas S en el alle) , el cual se - ha hecho a ia en e 1 (co espcndim e al se- ú.espacio) y O (co espondien e al cañ6n) , lo - cual pe ú. e obse a la in luencia de la igi- dez de los sedi en os de alu im sob e la es-- pues a an e enes de c:ndas ales CO!IO las des- c i as. 6. CCN:LUSICNES En es a canunicaci6n se ha p esen ado la - onnulaci6n del odo de los Ele en os de Con omo en el daninio de la ecuencia, pa a el- es udio de enánenos de di acci6n de ondas en edios in ini os y se ú.in ini os, de ca ac e- ís icas no hacog-é-leas. Se han p esen ado asimis o, los esul ados ob enidos pa a el caso de ondas inciden es so- b e ca idades ci cula es, ígidas o lexibles, inclusiones y alles de alu ión. Todo ello pe ú. e el es udio de una gama - a plia de p oblenas elacic:nados con la Diná n.i ca de Sólidos y en pa icula , con los en&-ne:: nos de In e acci6n Suelo-Es uc u a. 7. REFERENCIAS 1 • Abascal R. "Es udio de P oblenas. Dinámicos en In e accién Suelo-Es uc u a po el Mé odo de los Ele en os de Cc:n omo". Tesis Doc o al, E. T. S. Ingenie os Indus iales Se illa, A;b il 1984. 2. Pao Y.H. y Mow e.e. "Di ac ic:n o Elas ic Wa es and Dynamic S ess Concen a ic:n". C ane Russak, New Yo k, 1971. 3. E inge A.C. y Suhubi E. "Elas odyna ú.cs" Vol. II, Linea Theo y. Acadenic P ess, 1975. 4. Pilan W.L. "Elas ic Wa es in he Ea h" • Else ie Scien i ic Publishing Co pany. De elo¡::man s in Solid Ea_ h Geq,hysics, 11 , 1979. 75