ANALES DE INGENIERIA MECANICA -AÑO 5 - NUM. 1 - 1987
INTERACCION DINAMICA FLUIDO-ESTRUCTURA MEDIANTE EL METODO DE
LOS ELEMENTOS DE CONTORNO
Medina Encina, F. y Dominguez Abascal. J.
C6 ed a de Es uc u as.
E. T. S. Ingenie os Indus iales de Se illa.
A da. Reina Me cedes, s/n,
41012
SEVILLA.
Resumen.- En es a comunicación se
p esen a una écnica de an&lisis basada
en la aplicación del M.E.C. en
elas odin&nica en el dominio de la
ecuencia, y en mec6nica de luidos
con peque as pe u baciones. Pa iendo
de la o mulación co espondien e a un
modelo bidimensional. se es ablece un
p ocedimen o de ob ención de la
espues a din&mica pa a un sis ema
acoplado sólido-liquido, en gene al y
se analiza la espues a dinámica de un
embalse con p esa de g a edad,
poniendose de mani ies o la impo ancia
de la in e acción luido-es uc u a en
el compo amien o del sis ema.
El es udio ealizado mues a la
bondad del M.E.C. pa a el análisis
din6mico de sis emas sólido-liquido,
Pa icula men e en casos como el
indicado en que exis en egiones no
aco adas y una ex ensa supe icie lib e
en el liquido.
l. INTRODUCCION.
El es udio del compo amien o
din&nico de g andes depósi os de
liquidos equie e la conside ación de
la in e acción en e el luido y la
es uc u a que lo con iene, pues el
sis ema en su conjun o p esen a un
compo amien o bien di e en e del de
cada una de sus elemen os conside ados
aisladamen e.
A lo la go de los úl imos a os se
han elabo ado di e sos modelos y
mé odos de an6lisis pa a el
compo amien o din&nico de un embalse.
p incipalmen e basados en la aplicación
del M.E.F., dando luga a di e sas
ap oximaciones, debido a la di icul ad
de disc e ización del medio luido
in ini o. As , el agua se a a como un
medio con inuo (CHAKRABARTI y CHOPRA,
271
Abs ac .- In his pape a echnique
based on he ecuency doma
in
o mula ion o he B.E.M. o elas ic
and luid domains is p esen ed. Using a
wo-dimensional model, a p ocedu e o
compu ing he dynamic esponse o a
coupled so lid- luid sys em is
es ablished. The esponse o a
ese oi wi h a g a i y dam is
analised and he impo ance o he
luid-s uc u e in e ac ion in he
beha iou o he sys em shown.
The analysis ca ied ou shows he
capabili y o he B.E.M. o he s udy
o he dynamic beha iou o he
solid- luid sys ems, pa icula ly o
hose ha include boundless egions
anda la ge l1quid ee su ace.
1974) .
o se disc e
iza con elemen os
ini os especiale.s (SAINI y o os.
1978) .
Modelos más ecien es exp esan
la espues a como supe posición de
modos de ib ación de la p esa a
embalse ac o (HALL y CHOPRA,
1982)
o
usan hipe elemen os pa a modela el
embalse (LOTFI y o os,
1987).
El modelo que se p opone conside a
la es uc u a como un sólido
iscoel6s ico lineal, cuya espues a se
ob iene usando el M.E.C. en
elas odin6mica, en el dominio de la
ecuencia (DOMINGUEZ,
1978).
Se iene
en cuen a la comp esibilidad del agua y
se admi e la hipó esis de p esión nula
en la supe icie lib e impe u bada,
pues el e o que se come e es
desp eciable con ondas en el agua de
peque a ampli ud.
2. MODELO PARA EL ANALISIS DEL
COMPORTAMIENTO DINAMICO DEL AGUA.
El agua se conside a un lu do
comp esible, no iscoso, some ido a
peque as pe u baciones. Linealizando
las a iables en las ecuaciones de
Na ie -S okes, con mo imien o
i o acional, y desp eciando el é mino
de iscosidad se ob iene la ecuación de
equilib io hid odinámico
. 2
e
=-Yp
siendo p la p esión ·hid odinamica y y y
e
la elocidad y densidad espec i a-
men e. De i ando la ecuación de
con inuidad, omando di e gencia de la
ecuación de .equilib io y es ando ambas
se ob iene la ecuación de ondas que
ige el mo imien o:
donde c. ep esen a la elocidad de
p opagación.
Si exis e una exci ación a mónica,
de ecuencia 0 , la p esión puede
exp esa se:
,w
p( , )=p( ,
w
)e
donde p ,w)es la unción de espues a,
compleja, pa a la p esión
hid odinámica. La ecuación de ondas se
con ie e en la ecuación de Helmhol z
z w2
í7p+-p=0
c2
que se u iliza
compo amien o
comp esible.
pa a es udia el
dinamice del agua
Con las
elación
exp esa:
hipó esis mencionadas, la
en e p esión y elocidad se
y el mo imien o en una di ección
-1
es:
u=_!_
'? ew 1. ª'7
2.1. VIBRACIONES DE UNA LAMINA LIQUIDA.
Sea una lamina de agua semiin ini a,
some ida a un es ado de p esiones
hid odinámicas gene adas po una
acele ación ho izon al del pa amen o
e ical. cons an e a lo la go de e . La
solución gene al de la ecuación de
ondas es:
272
donde
FIG. I
La condición de p esión nula en la
supe icie lib e y elocidad nula en el
ondo, no mal a ese con o no se
exp esan:
p<=o
en
que aplicadas a la solución gene al dan
la exp esión de la ley de p esiones
hid odinámicas en la lámina de agua con
ondo gido.
a, .k,,x
¡:,=
2 A
,,
e
Cb. .::i11 2.
1¡.:/
Imponiendo la condición de con o no
de acele ación cons an e en ei
pa amen o e ical, exp esada o no:
en
X =-o
las p esiones esul an:
co espondien es al mo imien o de
ampli ud <J" uni o me en -e, de la
sección x=o.
Si en la sección ans e sal de
e e encia x=o exis en unas acele-
aciones ho izon ales
2
i
i
('e ) =-W c./( )
se puede esc ibi , en gene al
2 CV X
(x, "2) : W ¿ 2/H
1::/
k
l/
pa a los mo imien os en X
-.,o
o()
u( )=
L.
0(211-1 s ;¡n?
17:: /
siendo
c 211-I = - (-1/1 J
-
z..
(211-1) 7T W
Si se desea una ep esen aci6n de
las p esiones a una cie a dis ancia,
bas a á oma un núme o ini o, N, de
é minos del desa ollo, que sea
su icien e pa a ob ene una buena
ap oximación, pa a una de e minada
ecuencia.
De es a o ma se pueden es ablece
elaciones ma iciales en e las
p esiones y mo imien os en N pun os con
los N coe icien es del desa ollo. As
si se pa icula izan las unciones de
p esión y mo imien o pa a N alo es de
-e se iene
'¡ =
A, n
o¡n
u, = 8, n c<n
Pueden elimina se las n y esc ibi
en o ma ma icial las elaciones
disc e as en e las p esiones y los
mo imien os de la sección:
y es as elaciones ¡:,-u pod án se
a adidas acilmen e a las ecuaciones
del sis ema lu do-es uc u a ini o.
como condiciones de con o no en la
in e ase con el mismo.
2.2. PROPAGACION DE ONDAS GENERADAS POR
UN MOVIMIENTO DE LA BASE.
En una l&nina de agua sob e una base
gida some ida a una exci ación
e ical, el g adian e de p esión en
di ección no mal a la base es cons an e
a lo la go de ella.
{
F'IG,2
La solución de p esiones puede
esc ibi se como:
e imponiendo la condición de p esión
nula en la supe icie lib e se
puede esc ibi en la o ma
- w )
pC:e J =
A se,,
e
e
- l
273
que ep esen a el campo de p esiones
co espondien e a la p opagación
monodimensional. siendo álida bajo la
conside ación de lamina in ini a con
exci ación cons an e en X. En es e caso
las p esiones no a an con x y es i?P=o
<7,(
Si la exci ación de la base iene
dada po un mo imien o a mónico de
amp 1 i ud LV(x) =l(;l
o , no mal al con o no de
ondo, se iene
y el campo de p esiones es:
p(-'e) = S"e/ (/.1- )
eWC e W.,
S' ! :! I+
e.
esul ando inmedia o comp oba que la
ecuencia na u al de la lámina de agua
co esponde a
Cuando la pa ed e ical de un
depósi o semiin ini o sea absolu amen e
gida, la dis ibución de p esiones
sob e és a, p oducidas po una
exci ación e ical del ondo, iene
dada po la exp esión an e io . Sin
emba go es e campo de p esiones se ia
el esul an e si no se conside a
in e acción luido-es uc u a. Solo si
se admi e que la pa ed es inde o mable
se puede conside a que las p esiones
ob enidas an e io men e son las que
ac ua an sob e el asdós. En gene al,
al ac ua es as p esiones sob e la
es uc u a que con iene al luido, és a
se de o ma y no puede conside a se la
condición u ilizada ap/é>x:o, en X=º
co espondien e a elocidad nula en el
asdós. Al de o ma se la es uc u a
como consecuencia de las p esiones
debidas al mo imien o ho izon al del
ondo y de la p opia es uc u a
apa ecen ondas de elocidad ho izon al
que gene an nue as p esiones sob e
aque 11 a.
Es necesa io pues conside a el
e ec o de la in e acción
luido-es uc u a pa a el es udio de la
p opagación de las ondas que se gene an
po el mo imien o de la base. En un
con o no e ical la p esión o al se a
P = 'z + p" (u)
donde
PI
es la p esión ob enida con ( ).,
=0 , Y
p
0
Cu) es la p esión gene ada po
el mo imien o u.:u(?) (conlV'(x):oen ::o).
Conside ado ese con o no como
in e ase con el sis ema ce ado
lu do-es uc u a, la elación an e io
en e la p esión o al y el mo imien o
ho izon al cons i uye la condición de
con o no a aplica en dicha in e ase.
y haciendo uso de elaciones disc e as
en pun os a di e en es al u as de la
sección, puede esc ibi se en o ma
ma icial:
3. EL M.E.C. EN PROBLEMAS DE DINAMICA
DE FLUIDOS CON PEQUENAS PERTURBACIONES.
La ecuación que gobie na el mo imien o
del lu do, con peque as
pe u baciones, pa a una exci ación
a mónica, es
17)
+
0 )
=
O
j
p=p( .
0
)
(J.1)
e
Median e el eo ema de G een se
iene
y sea solución
en e 1 dominio ./2.
con o no en
'
undamen al, és o
de la ecuación (3.1)
con condiciones de
y <j, una solución
es:
en ./2 (U)
Sus i uyendo en las in eg ales de
(3.2) queda:
(3.4)
Es a ecuación es la misma que la del
p oblema de Laplace, cuya solución
undamen al es
<j,
=
i.
H/
J
c.u } CiJ. )
4
c.
( }
donde l-lo es una unción de Hankel.
También puede esc ibi se en la o ma
(3. )
que es la solución undamen al
exp esada po medio de una unción de
Bessel modi icada de o den ce o, de
segunda especie. El lujo se ob iene
de i ando espec o a la no mal al
con o no, esul ando
(/,
= C W <'. e -C
c.>Y) d
ª
?
2iTC.
I
C.
d1 U.+J
siendo K, una unción de Bessel
modi icada, de segunda especie, p ime
o den. As . la ep esen ac1ón de la
p esión en un pun o P del dominio ..12.
•
en unción de las p esiones en el
274
con o no y sus g adian es no males al
mismo, se exp esan median e (3.4).
donde q,, iYQ!l/a ienen dadas po (
3. 6)
y
(3. 7).
Cuando el pun o P pe enece a 1
con o no, se aisla la singula idad en
la o ma habi ual del M.E.C. pudiéndose
esc ibi
.
!
p é)<j, d ['
/
e , d ('
Cp + 8'7 º7
(? .
.i')
siendo c=!+I , que exp esa la p esión
en un pun o del con o no en unción de
la p esión y su de i ada en los demás
pun os del mismo, y donde las
in eg ales excluyen el pun o P.
Si el con o no es sua e esul a se :
( ;3."1)
y si el pun o P
esul a
es á en una esquina
1T
+/3
J.:-
27T
(?,.
/o)
donde /3
no males
anguloso.
es el c1ngulo
a ambos
que
lados
o man las
del pun o
Las in eg ales se ealizan
numé icamen e. d1sc e izando el
con o no en elemen os y ap oximando la
p esión y su de i ada en el con o no en
unción de los alo es en los nodos.
As se iene
,<Íe
j_
,4{e ¡
c. p
+
"¿¿ /
1
<P. a<l,d ·zi a j%4de
P _
1 ,,_
1
,4J
ª? e , AJ:1 7 !.
e. ,..,. T;_ e (J. )
/./ o/. ).j
donde , º Ji. son alo es nodales y
N son las unciones de in e polación.
Las in eg ales p esen an una
singula idad cuando coincide con un
nodo del elemen o sob e el que se
in eg a y en es e caso se es udia
explíci amen e la singula idad. Se han
u ilizado elemen os pa abólicos y
es ableciendo la ecuación in eg al pa a
cada nodo del con o no se ob iene el
sis ema de ecuaciones
/'.
y 11 amando /./ =
C
+ H se iene:
( �.12)
(
3.13)
Sob e el con o no se á conocida la
mo imien o
; eniendo
el
p esión o el
del mismo, q
Jp¡.,,
"I
= ew 2<-<
ecuaciones se esc ibe,
po eC<.J 2 como:
según la no mal
en cuen a que
sis ema de
sus i uyendo _q
¡./p:(il(
-- - -
0./4)
el cual , una ez impues as las
condiciones de con o no,
p=p
ó c1=;;
da á luga a un sis ema de N ecuaciones
con N incogni as, siendo N el núme o de
nodos.
En el caso de que la condición de
con o no sea de p esión nula en un
con o no ec o. como ocu e en la
supe icie lib e de un l quido, esul a
en aJoso u iliza el mé odo de las
imágenes, que pe mi e no ene que
disc e iza dicho con o no.
4. ACOPLAMIENTO DE SUBREGIONES SOLIDAS
Y LIQUIDAS.
Cuando exis en sub egiones sólidas y
l quidas en con ac o se iene una
in e ase en e ellas que equie e un
a amien o peculia , ya que es
necesa io esol e el p oblema
conjun o, el cual p esen a la
peculia idad de ene cua o incogni as
po nodo ( u
/(
. u , ,
?:
) en e
1
con o no sólido, y dos ( p , w ) en el
con o no l quido.
La condición de compa ibilidad de
mo imien os en la in e ase
sólido-l quido se es ablece igualando
las elocidades no males a la
in e ase, en amhos componen es. As
puede exp esa se:
que indica que el mo imien o
al con o no in e ase. pa a
es igual que pa a el sólido,
las componen es de la
con o no del liquido.
no mal
el liquido
siendo 7.,7.?:
no mal al
En la in e ase, la ensión
angencial sob e el sólido es nula y su
ensión no mal es igual a la p esión
cambiada de signo. Po an o. el
equilib io de ensiones se exp esa
O= - x'l
1;
+
c-7.
x
p= x'Z.x
+-
?:
'7..e
Sean .!! =
'!.
las ecuaciones pa a
el sólido y ¡.¡
Ap
=G
"'
i las del liquido,
en un sis ema- lu do
-=-
es uc u a como el
ep esen ado en la ig. 3. En un nodo
de la in e ase se pueden exp esa es
incógni as en unción de las o as
es:
::
1.x
=
P'Z.
IV.:
ll
x
?x + (.( '1.
quedando ll , i y P como incógni as
275
en la in e ase. Pa a cada nodo exis en
es ecuaciones, una pa a la sub egión
l quida y dos pa a la sub egión sólida,
po lo que se ienen inalmen e. an as
ecuaciones como incógni as.
FIG 3
Pa icionando el sis ema de
ecuaciones de ambas sub egiones se
iene
ji{
!, +
J{
:!2.
;:;
q, ,
+-
<:iix !2.x
:?:
" z
e
A ¡.¡-4 A G .4
2
!2.
+ _ J /:3 =
?2 z + -J _11,13
Desa ollando
co espondien es
iene
2
x H
.
w
2
a la in e ase, se
ji/
°
!, +
lj/°
:!z = Cj, 0
-
(
G_ix 7 x
-
c; 2-1 ) /:2
_11
b
+
J 3
=
cq:1.
)
::zx
+
cq 7i:
)
!!ú �cy: �!,
Si se imponen a con inuación las
condiciones de con o no en los bo des
ex e io es de ambas sub egiones queda
un sis ema cuya so
1 uc
i
ón i
ne 1 uye ;:!l
y
/>z.
con lo que pueden ob ene se las o as
es incógni as po nodo de la
in e ase,
2 Y
l /2•
5. INTERACCION FLUIDO-ESTRUCTURA EN UN
EMBALSE CON PRESA DE GRAVEDAD.
El p ocedimien o desc i o en los
apa ados an e io es se aplica al
es udio del compo amien o dinc1mico de
un sis ema cons i uido po un lu do
que es el
agua
embalsada y una
es uc u a de con ención que es la
p esa.
El modelo se ep esen a en la ig. 4
donde se indican las sub egiones
sólidas y l quidas y los con o nos que
se disc e izan. Si se conside a el agua
comp esible, la a iación con x de la
p esió_g en el ondo del embalse a a
con ¿ ,,,x que es complejo y la onda de
p esión no se amo igua a dis ancias
ela i amen e g andes de la p esa. As ,
esul a necesa io modela
independien emen e la cola del embalse
como o a sub egión, 8 , pa a la cual
es posible es ablece unas
elaciones p esión-mo imien o en el
con o no e
i
ca 1, R , in e ase con 1 a
zona del embalse adyacen e a la p esa.
Cuando la base es á some ida a una
exci ación ho izon al, as
impone las condiciones de con o no.
las ecuaciones del sis ema acoplado
son·
,,
®
" 1
®
.
,
FIG.4
siendo:
:-ij,Suiu
j
':g
ª
=o ;
(5:2)
y l s ma ices
A
y GJ
S
se ob ienen a
pa i de §-j y s;;.} espec i amen e en
la o ma indicada en el apa ado
an e io .
Si se conside a una exci ación
e ical de la base, se gene an
p esiones en con o nos e icales del
agua po lo que en la sub egión 8 se
iene un campo de p esiones o iginado
po el mo imien o de la base, más o o
p oducido po los mo imien os
ho izon ales de }
.
Si :s ,5: s son las
p esiones y mo imien os en/}
conside ado pe enecien e a B y
¡J,
los p oducidos po la exci ación
e ical de la base de B. se iene
l!s8 Ces -
e )
"' <J
Cc.!s
-<1J
J (5.3)
I
y siendo Ys:
0
las ecuaciones del
sis ema acoplado esul an se (5.1)
siendo el é mino independien e:
é=-h'/C S J
A:- :(- )
B
B
" ¡.¡8 P
I
_ -S _S
eesul an e al impone las condiciones
de con o no.
As! pues, la in e acción
p esa-embalse puede se analizada sin
más es icciones al modelo que las que
de i an de la disc e ización y el
mé odo numé ico empleado. El uso de la
sub egión ipo 8 y del con o no
especial R pe mi e ob ene una
no able con e gencia de los esul ados,
incluso si uando dicho con o no
ela i amen e p óximo a la p esa. Se ia
ác ible es udia el conjun o
p escindiendo de la sub egión A , con
lo que no se ia necesa io disc e iza
el ondo del embalse; sin emba go
pues o que la disc e ización del
con o no R es á asociada a 1 núme o de
é minos que se omen pa a exp esa el
desa ollo de las p esiones y
276
mo imien os, se es a !a haciendo es a
ap oximación jus o en el asdós de la
p esa. Con iene, po an o, sepa a
dicho con o no de la p esa alejándolo
has a donde la in luencia del
mo imien o de és a es bien ep esen ado
con el núme o de é minos que se
adop e.
Pa a e alua la impo ancia de los
e ec os de la in e acción
luido-es uc u a en la espues a
s!smica de la p esa se oma como
a iable de e e encia la ampli ud del
mo imien o ela i o de la co onación de
la p esa, espec o al mo imien o de la
basé. Se ha conside ado la geome !a
simpli icada, de la ig. 5, ya empleada
po o os au o es, donde se indica la
disc e ización del modelo. La p esa se
conside a de un ma e ial iscoelás ico
lineal, con las p opiedades del
ho migón y un 5 % de amo iguamien o
his e é ico.
Las p opiedades del agua se de inen
po su densidad y su elocidad de
p opagación.
12.0
. 08
FIG.5
La ampli icación de los
desplazamien os de la co onación de la
p esa se ep esen a en unción de la
ecuencia no malizada a la p ime a
ecuencia de esonancia de la
p esa, a embalse ac o.
En la ig. 6 se ep esen a la
espues a del sis ema p esa-embalse
pa a exci ación ho izon al, con embalse
lleno y ac!o ( 1
inea de azos) . Se
ap ecia el descenso de las ecuencias
de esonancia del sis ema y un p ime
pico de espues a muy agudo eng,=o.
que se co esponde con la p ime a
ecuencia na u al del embalse. As
mismo, el segundo y e ce pico de la
ampli icación se p oducen en
ecuencias meno es que los
co espondien es de la p esa
conside ada aisladamen e. La espues a
del sis ema aumen a espec o a la de la
p esa con embalse ac o, al conside a
la in e acción con el embalse. en
p ime a ecuencia y disminuye en las
siguien es.
La espues a del sis ema pa a
exci ación e ical se mues a en la
ig. 7 y en ella se obse a una
disminución de las ecuencias a las
que se p esen an los picos de
esonancia y un aumen o signi ica i o
de la espues a de la p esa, que
alcanza alo es muy al os. aunque
ini os.
La compa ación de los esul ados que
se p esen an con los ob enidos con
o os modelos (LOTFI y o os, 1987;
FENVES y CHOPRA, 1985) es muy
sa is ac o ia, y en pa icula en el
en o no de la p ime a ecuencia de
esonancia (MEDINA, 1987).
.
.
:
i
.
.
,;
<
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.
1.29
l!I.CO
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277
6. CONCLUSIONES.
Se ha pues o de mani ies o las
posibilidades del M.E.C. en la
esolución de p oblemas dinámicos en el
dominio de la ecuencia, con ases
sólidas y l quidas que pueden se
acopladas median e condiciones de
con o no adecuadas en las in e ases.
El uso del M.E.C. en elas odinámica y
mecánica de lu dos con peque as
pe u baciones pe mi e, pa iendo de la
o mulación bidimensional, es ablece
un p ocedimen o de ob ención de la
espues a del sis ema acoplado
sólido-liquido en gene al.
En pa icula , cuando la sub egión
l!quida posee supe icie lib e y el
medio lu do se ex iende
inde inidamen e, la aplicación del
M.E.C.
esul a especialmen e en ajosa
al se unicamen e necesa ia la
disc e ización del ondo. Es a écnica
de análisis se ha usado pa a el es udio
de la in e acción dinámica en un
embalse con p esa de g a edad; el uso
de elemen os pa abólicos y de un
con o no especial de cie ·e del agua
pe mi ob ene esul ados
sa is ac o ios, que nues an la
impo ancia del enómeno de in e acción
lu do-es uc u a en la espues a del
sis ema.
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