Interacción dinámica fluido-estructura mediante el método de los elementos de contorno

ANALES DE INGENIERIA MECANICA -AÑO 5 - NUM. 1 - 1987 INTERACCION DINAMICA FLUIDO-ESTRUCTURA MEDIANTE EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO Medina Encina, F. y Dominguez Abascal. J. C6 ed a de Es uc u as. E. T. S. Ingenie os Indus iales de Se illa. A da. Reina Me cedes, s/n, 41012 SEVILLA. Resumen.- En es a comunicación se p esen a una écnica de an&lisis basada en la aplicación del M.E.C. en elas odin&nica en el dominio de la ecuencia, y en mec6nica de luidos con peque as pe u baciones. Pa iendo de la o mulación co espondien e a un modelo bidimensional. se es ablece un p ocedimen o de ob ención de la espues a din&mica pa a un sis ema acoplado sólido-liquido, en gene al y se analiza la espues a dinámica de un embalse con p esa de g a edad, poniendose de mani ies o la impo ancia de la in e acción luido-es uc u a en el compo amien o del sis ema. El es udio ealizado mues a la bondad del M.E.C. pa a el análisis din6mico de sis emas sólido-liquido, Pa icula men e en casos como el indicado en que exis en egiones no aco adas y una ex ensa supe icie lib e en el liquido. l. INTRODUCCION. El es udio del compo amien o din&nico de g andes depósi os de liquidos equie e la conside ación de la in e acción en e el luido y la es uc u a que lo con iene, pues el sis ema en su conjun o p esen a un compo amien o bien di e en e del de cada una de sus elemen os conside ados aisladamen e. A lo la go de los úl imos a os se han elabo ado di e sos modelos y mé odos de an6lisis pa a el compo amien o din&nico de un embalse. p incipalmen e basados en la aplicación del M.E.F., dando luga a di e sas ap oximaciones, debido a la di icul ad de disc e ización del medio luido in ini o. As , el agua se a a como un medio con inuo (CHAKRABARTI y CHOPRA, 271 Abs ac .- In his pape a echnique based on he ecuency doma in o mula ion o he B.E.M. o elas ic and luid domains is p esen ed. Using a wo-dimensional model, a p ocedu e o compu ing he dynamic esponse o a coupled so lid- luid sys em is es ablished. The esponse o a ese oi wi h a g a i y dam is analised and he impo ance o he luid-s uc u e in e ac ion in he beha iou o he sys em shown. The analysis ca ied ou shows he capabili y o he B.E.M. o he s udy o he dynamic beha iou o he solid- luid sys ems, pa icula ly o hose ha include boundless egions anda la ge l1quid ee su ace. 1974) . o se disc e iza con elemen os ini os especiale.s (SAINI y o os. 1978) . Modelos más ecien es exp esan la espues a como supe posición de modos de ib ación de la p esa a embalse ac o (HALL y CHOPRA, 1982) o usan hipe elemen os pa a modela el embalse (LOTFI y o os, 1987). El modelo que se p opone conside a la es uc u a como un sólido iscoel6s ico lineal, cuya espues a se ob iene usando el M.E.C. en elas odin6mica, en el dominio de la ecuencia (DOMINGUEZ, 1978). Se iene en cuen a la comp esibilidad del agua y se admi e la hipó esis de p esión nula en la supe icie lib e impe u bada, pues el e o que se come e es desp eciable con ondas en el agua de peque a ampli ud. 2. MODELO PARA EL ANALISIS DEL COMPORTAMIENTO DINAMICO DEL AGUA. El agua se conside a un lu do comp esible, no iscoso, some ido a peque as pe u baciones. Linealizando las a iables en las ecuaciones de Na ie -S okes, con mo imien o i o acional, y desp eciando el é mino de iscosidad se ob iene la ecuación de equilib io hid odinámico . 2 e =-Yp siendo p la p esión ·hid odinamica y y y e la elocidad y densidad espec i a- men e. De i ando la ecuación de con inuidad, omando di e gencia de la ecuación de .equilib io y es ando ambas se ob iene la ecuación de ondas que ige el mo imien o: donde c. ep esen a la elocidad de p opagación. Si exis e una exci ación a mónica, de ecuencia 0 , la p esión puede exp esa se: ,w p( , )=p( , w )e donde p ,w)es la unción de espues a, compleja, pa a la p esión hid odinámica. La ecuación de ondas se con ie e en la ecuación de Helmhol z z w2 í7p+-p=0 c2 que se u iliza compo amien o comp esible. pa a es udia el dinamice del agua Con las elación exp esa: hipó esis mencionadas, la en e p esión y elocidad se y el mo imien o en una di ección -1 es: u=_!_ '? ew 1. ª'7 2.1. VIBRACIONES DE UNA LAMINA LIQUIDA. Sea una lamina de agua semiin ini a, some ida a un es ado de p esiones hid odinámicas gene adas po una acele ación ho izon al del pa amen o e ical. cons an e a lo la go de e . La solución gene al de la ecuación de ondas es: 272 donde FIG. I La condición de p esión nula en la supe icie lib e y elocidad nula en el ondo, no mal a ese con o no se exp esan: p<=o en que aplicadas a la solución gene al dan la exp esión de la ley de p esiones hid odinámicas en la lámina de agua con ondo gido. a, .k,,x ¡:,= 2 A ,, e Cb. .::i11 2. 1¡.:/ Imponiendo la condición de con o no de acele ación cons an e en ei pa amen o e ical, exp esada o no: en X =-o las p esiones esul an: co espondien es al mo imien o de ampli ud <J" uni o me en -e, de la sección x=o. Si en la sección ans e sal de e e encia x=o exis en unas acele- aciones ho izon ales 2 i i ('e ) =-W c./( ) se puede esc ibi , en gene al 2 CV X (x, "2) : W ¿ 2/H 1::/ k l/ pa a los mo imien os en X -.,o o() u( )= L. 0(211-1 s ;¡n? 17:: / siendo c 211-I = - (-1/1 J - z.. (211-1) 7T W Si se desea una ep esen aci6n de las p esiones a una cie a dis ancia, bas a á oma un núme o ini o, N, de é minos del desa ollo, que sea su icien e pa a ob ene una buena ap oximación, pa a una de e minada ecuencia. De es a o ma se pueden es ablece elaciones ma iciales en e las p esiones y mo imien os en N pun os con los N coe icien es del desa ollo. As si se pa icula izan las unciones de p esión y mo imien o pa a N alo es de -e se iene '¡ = A, n o¡n u, = 8, n c<n Pueden elimina se las n y esc ibi en o ma ma icial las elaciones disc e as en e las p esiones y los mo imien os de la sección: y es as elaciones ¡:,-u pod án se a adidas acilmen e a las ecuaciones del sis ema lu do-es uc u a ini o. como condiciones de con o no en la in e ase con el mismo. 2.2. PROPAGACION DE ONDAS GENERADAS POR UN MOVIMIENTO DE LA BASE. En una l&nina de agua sob e una base gida some ida a una exci ación e ical, el g adian e de p esión en di ección no mal a la base es cons an e a lo la go de ella. { F'IG,2 La solución de p esiones puede esc ibi se como: e imponiendo la condición de p esión nula en la supe icie lib e se puede esc ibi en la o ma - w ) pC:e J = A se,, e e - l 273 que ep esen a el campo de p esiones co espondien e a la p opagación monodimensional. siendo álida bajo la conside ación de lamina in ini a con exci ación cons an e en X. En es e caso las p esiones no a an con x y es i?P=o <7,( Si la exci ación de la base iene dada po un mo imien o a mónico de amp 1 i ud LV(x) =l(;l o , no mal al con o no de ondo, se iene y el campo de p esiones es: p(-'e) = S"e/ (/.1- ) eWC e W., S' ! :! I+ e. esul ando inmedia o comp oba que la ecuencia na u al de la lámina de agua co esponde a Cuando la pa ed e ical de un depósi o semiin ini o sea absolu amen e gida, la dis ibución de p esiones sob e és a, p oducidas po una exci ación e ical del ondo, iene dada po la exp esión an e io . Sin emba go es e campo de p esiones se ia el esul an e si no se conside a in e acción luido-es uc u a. Solo si se admi e que la pa ed es inde o mable se puede conside a que las p esiones ob enidas an e io men e son las que ac ua an sob e el asdós. En gene al, al ac ua es as p esiones sob e la es uc u a que con iene al luido, és a se de o ma y no puede conside a se la condición u ilizada ap/é>x:o, en X=º co espondien e a elocidad nula en el asdós. Al de o ma se la es uc u a como consecuencia de las p esiones debidas al mo imien o ho izon al del ondo y de la p opia es uc u a apa ecen ondas de elocidad ho izon al que gene an nue as p esiones sob e aque 11 a. Es necesa io pues conside a el e ec o de la in e acción luido-es uc u a pa a el es udio de la p opagación de las ondas que se gene an po el mo imien o de la base. En un con o no e ical la p esión o al se a P = 'z + p" (u) donde PI es la p esión ob enida con ( )., =0 , Y p 0 Cu) es la p esión gene ada po el mo imien o u.:u(?) (conlV'(x):oen ::o). Conside ado ese con o no como in e ase con el sis ema ce ado lu do-es uc u a, la elación an e io en e la p esión o al y el mo imien o ho izon al cons i uye la condición de con o no a aplica en dicha in e ase. y haciendo uso de elaciones disc e as en pun os a di e en es al u as de la sección, puede esc ibi se en o ma ma icial: 3. EL M.E.C. EN PROBLEMAS DE DINAMICA DE FLUIDOS CON PEQUENAS PERTURBACIONES. La ecuación que gobie na el mo imien o del lu do, con peque as pe u baciones, pa a una exci ación a mónica, es 17) + 0 ) = O j p=p( . 0 ) (J.1) e Median e el eo ema de G een se iene y sea solución en e 1 dominio ./2. con o no en ' undamen al, és o de la ecuación (3.1) con condiciones de y <j, una solución es: en ./2 (U) Sus i uyendo en las in eg ales de (3.2) queda: (3.4) Es a ecuación es la misma que la del p oblema de Laplace, cuya solución undamen al es <j, = i. H/ J c.u } CiJ. ) 4 c. ( } donde l-lo es una unción de Hankel. También puede esc ibi se en la o ma (3. ) que es la solución undamen al exp esada po medio de una unción de Bessel modi icada de o den ce o, de segunda especie. El lujo se ob iene de i ando espec o a la no mal al con o no, esul ando (/, = C W <'. e -C c.>Y) d ª ? 2iTC. I C. d1 U.+J siendo K, una unción de Bessel modi icada, de segunda especie, p ime o den. As . la ep esen ac1ón de la p esión en un pun o P del dominio ..12. • en unción de las p esiones en el 274 con o no y sus g adian es no males al mismo, se exp esan median e (3.4). donde q,, iYQ!l/a ienen dadas po ( 3. 6) y (3. 7). Cuando el pun o P pe enece a 1 con o no, se aisla la singula idad en la o ma habi ual del M.E.C. pudiéndose esc ibi . ! p é)<j, d [' / e , d (' Cp + 8'7 º7 (? . .i') siendo c=!+I , que exp esa la p esión en un pun o del con o no en unción de la p esión y su de i ada en los demás pun os del mismo, y donde las in eg ales excluyen el pun o P. Si el con o no es sua e esul a se : ( ;3."1) y si el pun o P esul a es á en una esquina 1T +/3 J.:- 27T (?,. /o) donde /3 no males anguloso. es el c1ngulo a ambos que lados o man las del pun o Las in eg ales se ealizan numé icamen e. d1sc e izando el con o no en elemen os y ap oximando la p esión y su de i ada en el con o no en unción de los alo es en los nodos. As se iene ,<Íe j_ ,4{e ¡ c. p + "¿¿ / 1 <P. a<l,d ·zi a j%4de P _ 1 ,,_ 1 ,4J ª? e , AJ:1 7 !. e. ,..,. T;_ e (J. ) /./ o/. ).j donde , º Ji. son alo es nodales y N son las unciones de in e polación. Las in eg ales p esen an una singula idad cuando coincide con un nodo del elemen o sob e el que se in eg a y en es e caso se es udia explíci amen e la singula idad. Se han u ilizado elemen os pa abólicos y es ableciendo la ecuación in eg al pa a cada nodo del con o no se ob iene el sis ema de ecuaciones /'. y 11 amando /./ = C + H se iene: ( �.12) ( 3.13) Sob e el con o no se á conocida la mo imien o ; eniendo el p esión o el del mismo, q Jp¡.,, "I = ew 2<-< ecuaciones se esc ibe, po eC<.J 2 como: según la no mal en cuen a que sis ema de sus i uyendo _q ¡./p:(il( -- - - 0./4) el cual , una ez impues as las condiciones de con o no, p=p ó c1=;; da á luga a un sis ema de N ecuaciones con N incogni as, siendo N el núme o de nodos. En el caso de que la condición de con o no sea de p esión nula en un con o no ec o. como ocu e en la supe icie lib e de un l quido, esul a en aJoso u iliza el mé odo de las imágenes, que pe mi e no ene que disc e iza dicho con o no. 4. ACOPLAMIENTO DE SUBREGIONES SOLIDAS Y LIQUIDAS. Cuando exis en sub egiones sólidas y l quidas en con ac o se iene una in e ase en e ellas que equie e un a amien o peculia , ya que es necesa io esol e el p oblema conjun o, el cual p esen a la peculia idad de ene cua o incogni as po nodo ( u /( . u , , ?: ) en e 1 con o no sólido, y dos ( p , w ) en el con o no l quido. La condición de compa ibilidad de mo imien os en la in e ase sólido-l quido se es ablece igualando las elocidades no males a la in e ase, en amhos componen es. As puede exp esa se: que indica que el mo imien o al con o no in e ase. pa a es igual que pa a el sólido, las componen es de la con o no del liquido. no mal el liquido siendo 7.,7.?: no mal al En la in e ase, la ensión angencial sob e el sólido es nula y su ensión no mal es igual a la p esión cambiada de signo. Po an o. el equilib io de ensiones se exp esa O= - x'l 1; + c-7. x p= x'Z.x +- ?: '7..e Sean .!! = '!. las ecuaciones pa a el sólido y ¡.¡ Ap =G "' i las del liquido, en un sis ema- lu do -=- es uc u a como el ep esen ado en la ig. 3. En un nodo de la in e ase se pueden exp esa es incógni as en unción de las o as es: :: 1.x = P'Z. IV.: ll x ?x + (.( '1. quedando ll , i y P como incógni as 275 en la in e ase. Pa a cada nodo exis en es ecuaciones, una pa a la sub egión l quida y dos pa a la sub egión sólida, po lo que se ienen inalmen e. an as ecuaciones como incógni as. FIG 3 Pa icionando el sis ema de ecuaciones de ambas sub egiones se iene ji{ !, + J{ :!2. ;:; q, , +- <:iix !2.x :?: " z e A ¡.¡-4 A G .4 2 !2. + _ J /:3 = ?2 z + -J _11,13 Desa ollando co espondien es iene 2 x H . w 2 a la in e ase, se ji/ ° !, + lj/° :!z = Cj, 0 - ( G_ix 7 x - c; 2-1 ) /:2 _11 b + J 3 = cq:1. ) ::zx + cq 7i: ) !!ú �cy: �!, Si se imponen a con inuación las condiciones de con o no en los bo des ex e io es de ambas sub egiones queda un sis ema cuya so 1 uc i ón i ne 1 uye ;:!l y />z. con lo que pueden ob ene se las o as es incógni as po nodo de la in e ase, 2 Y l /2• 5. INTERACCION FLUIDO-ESTRUCTURA EN UN EMBALSE CON PRESA DE GRAVEDAD. El p ocedimien o desc i o en los apa ados an e io es se aplica al es udio del compo amien o dinc1mico de un sis ema cons i uido po un lu do que es el agua embalsada y una es uc u a de con ención que es la p esa. El modelo se ep esen a en la ig. 4 donde se indican las sub egiones sólidas y l quidas y los con o nos que se disc e izan. Si se conside a el agua comp esible, la a iación con x de la p esió_g en el ondo del embalse a a con ¿ ,,,x que es complejo y la onda de p esión no se amo igua a dis ancias ela i amen e g andes de la p esa. As , esul a necesa io modela independien emen e la cola del embalse como o a sub egión, 8 , pa a la cual es posible es ablece unas elaciones p esión-mo imien o en el con o no e i ca 1, R , in e ase con 1 a zona del embalse adyacen e a la p esa. Cuando la base es á some ida a una exci ación ho izon al, as impone las condiciones de con o no. las ecuaciones del sis ema acoplado son· ,, ® " 1 ® . , FIG.4 siendo: :-ij,Suiu j ':g ª =o ; (5:2) y l s ma ices A y GJ S se ob ienen a pa i de §-j y s;;.} espec i amen e en la o ma indicada en el apa ado an e io . Si se conside a una exci ación e ical de la base, se gene an p esiones en con o nos e icales del agua po lo que en la sub egión 8 se iene un campo de p esiones o iginado po el mo imien o de la base, más o o p oducido po los mo imien os ho izon ales de } . Si :s ,5: s son las p esiones y mo imien os en/} conside ado pe enecien e a B y ¡J, los p oducidos po la exci ación e ical de la base de B. se iene l!s8 Ces - e ) "' <J Cc.!s -<1J J (5.3) I y siendo Ys: 0 las ecuaciones del sis ema acoplado esul an se (5.1) siendo el é mino independien e: é=-h'/C S J A:- :(- ) B B " ¡.¡8 P I _ -S _S eesul an e al impone las condiciones de con o no. As! pues, la in e acción p esa-embalse puede se analizada sin más es icciones al modelo que las que de i an de la disc e ización y el mé odo numé ico empleado. El uso de la sub egión ipo 8 y del con o no especial R pe mi e ob ene una no able con e gencia de los esul ados, incluso si uando dicho con o no ela i amen e p óximo a la p esa. Se ia ác ible es udia el conjun o p escindiendo de la sub egión A , con lo que no se ia necesa io disc e iza el ondo del embalse; sin emba go pues o que la disc e ización del con o no R es á asociada a 1 núme o de é minos que se omen pa a exp esa el desa ollo de las p esiones y 276 mo imien os, se es a !a haciendo es a ap oximación jus o en el asdós de la p esa. Con iene, po an o, sepa a dicho con o no de la p esa alejándolo has a donde la in luencia del mo imien o de és a es bien ep esen ado con el núme o de é minos que se adop e. Pa a e alua la impo ancia de los e ec os de la in e acción luido-es uc u a en la espues a s!smica de la p esa se oma como a iable de e e encia la ampli ud del mo imien o ela i o de la co onación de la p esa, espec o al mo imien o de la basé. Se ha conside ado la geome !a simpli icada, de la ig. 5, ya empleada po o os au o es, donde se indica la disc e ización del modelo. La p esa se conside a de un ma e ial iscoelás ico lineal, con las p opiedades del ho migón y un 5 % de amo iguamien o his e é ico. Las p opiedades del agua se de inen po su densidad y su elocidad de p opagación. 12.0 . 08 FIG.5 La ampli icación de los desplazamien os de la co onación de la p esa se ep esen a en unción de la ecuencia no malizada a la p ime a ecuencia de esonancia de la p esa, a embalse ac o. En la ig. 6 se ep esen a la espues a del sis ema p esa-embalse pa a exci ación ho izon al, con embalse lleno y ac!o ( 1 inea de azos) . Se ap ecia el descenso de las ecuencias de esonancia del sis ema y un p ime pico de espues a muy agudo eng,=o. que se co esponde con la p ime a ecuencia na u al del embalse. As mismo, el segundo y e ce pico de la ampli icación se p oducen en ecuencias meno es que los co espondien es de la p esa conside ada aisladamen e. La espues a del sis ema aumen a espec o a la de la p esa con embalse ac o, al conside a la in e acción con el embalse. en p ime a ecuencia y disminuye en las siguien es. La espues a del sis ema pa a exci ación e ical se mues a en la ig. 7 y en ella se obse a una disminución de las ecuencias a las que se p esen an los picos de esonancia y un aumen o signi ica i o de la espues a de la p esa, que alcanza alo es muy al os. aunque ini os. La compa ación de los esul ados que se p esen an con los ob enidos con o os modelos (LOTFI y o os, 1987; FENVES y CHOPRA, 1985) es muy sa is ac o ia, y en pa icula en el en o no de la p ime a ecuencia de esonancia (MEDINA, 1987). . . : i . . ,; < . . 1.29 l!I.CO ¡ ¡ . ... j'; ¡. , ... '1 ( I .... / 11 / ¡ ' 1 l.98 ...- , 1 ,' 1 ' I z.e;, ""'""'' FIG.6 i1 ¡' ¡ I JV I.H l.lZ' u/u! .. /WL FIG.7 , ... '- l.H 1 I I "'· ea ..._ / · I· . '. ' 1 ,. .. ,. 277 6. CONCLUSIONES. Se ha pues o de mani ies o las posibilidades del M.E.C. en la esolución de p oblemas dinámicos en el dominio de la ecuencia, con ases sólidas y l quidas que pueden se acopladas median e condiciones de con o no adecuadas en las in e ases. El uso del M.E.C. en elas odinámica y mecánica de lu dos con peque as pe u baciones pe mi e, pa iendo de la o mulación bidimensional, es ablece un p ocedimen o de ob ención de la espues a del sis ema acoplado sólido-liquido en gene al. En pa icula , cuando la sub egión l!quida posee supe icie lib e y el medio lu do se ex iende inde inidamen e, la aplicación del M.E.C. esul a especialmen e en ajosa al se unicamen e necesa ia la disc e ización del ondo. Es a écnica de análisis se ha usado pa a el es udio de la in e acción dinámica en un embalse con p esa de g a edad; el uso de elemen os pa abólicos y de un con o no especial de cie ·e del agua pe mi ob ene esul ados sa is ac o ios, que nues an la impo ancia del enómeno de in e acción lu do-es uc u a en la espues a del sis ema. 7. REFERENCIAS. l. Chak aba y, P. y Chop a,A.K. (1973). "Hid odynamic E ec s in Ea hquake Response o G a i y Dams", Jou nal o S uc u al Di ison. ASCE. Vol.100 No. ST6, pp. 1211-1224 . 2. Dom nguez, J. ( 1978) , "Dynami c 3. 4. S i ness o Rec angula Founda ions", Resea ch Repo R78-20 E.M.T. Fen es, G. y Chop a. A.K. (1985) "E ec s o Rese o i Bo om Abso p ion and Dam-Wa e -Founda ion Rock In e ac ion on F ecuency Response Func ions o Conc e e G a i y Dams". Ea hquake Enginee ing and S uc u al Dynamics. Vol. 13, pp, 13-31. Hall, J.F. y Chop a. A.K. (1982). "Hid odynamic E ec s in he Response o Conc e e G a i y Ea hquake Enginee ing S uc u al Dynamics. 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