Física de Partículas en 3 créditos

Cubie a
Joaquín Gómez Camacho
Física de Pa ículas en 3 c édi os
Física de Pa ículas en 3 c édi os
Po adilla
Joaquín Gómez Camacho
Física de Pa ículas en 3 c édi os
Se illa 2025
Po ada

Página de c édi os
Colección: Manualesuni e si a ios
Núm.: 109
Edi o ial Uni e sidad de Se illa 2025
c/ Po eni , 27 - 41013 Se illa.
Tl s.: 954 487 447; 954 487 451
Co eo elec ónico: in [email p o ec ed]
Web: h ps://edi o ial.us.es
Joaquín Gómez Camacho 2025
DOI: h ps://dx.doi.o g/10.12795/9788447227891
Maque ación:JoaquínGómezCamacho
Diseño de cubie a y edición elec ónica:
Edi o ial Uni e sidad de Se illa
Comi é edi o ial de
la Edi o ial Uni e sidad de Se illa:
A aceli López Se ena
(Di ec o a)
Elena Leal Abad
(Subdi ec o a)
Concepción Ba e o Rod íguez
Ra ael Fe nández Chacón
Ma íaG aciaGa cíaMa ín
Ma íadelPópuloPablo-Rome oGil-Delgado
ManuelPadillaC uz
Ma aPalenque
Ma íaEugeniaPe i -B euilhSepúl eda
Ma inaRamosSe ano
José-Leona do Ruiz Sánchez
An onio Tejedo Cab e a
Es a ob a se dis ibuye con la licencia
C ea i e Commons A ibución-NoCome cial-SinDe i adas 4.0 In e nacional
(CC BY-NC-ND 4.0)
P e acio
Es e manual su ge de la docencia del au o en Física de Pa ículas en la Facul ad de Fí-
sica de la Uni e sidad de Se illa, du an e 30 años, desde 1992. Se pa ía de una asigna u a
cua imes al op a i a de Física de Pa ículas, que du aba cua o meses. Pos e io men e,
el cambio de los planes de es udio con el Plan Bolonia, edujo la licencia u a de 5 años a
un g ado de 4 años, y la asigna u a op a i a de Física de Pa ículas del quin o cu so quedó
in eg ada en una asigna u a oncal, obliga o ia, de 6 c édi os, i ulada Física Nuclea y
de Pa ículas. Es o equi ió la adap ación del ma e ial pa a que se impa ie a en la mi ad
de iempo, unos dos meses, que co esponde a es c édi os, y que ue a adecuado pa a
la gene alidad de los alumnos de la i ulación, en luga del g upo selec o que elegía la
op a i a.
El manual e a, inicialmen e, un conjun o de apun es del p o eso , complemen o a las
clases de piza a, que pe mi ía a los alumnos a ende a la clase sin ene que copia ené-
icamen e sus p opios apun es. G adualmen e, la piza a ue dando paso a p esen aciones
del o denado , de o ma que las clases se impa ían usando anspa encias más isua-
les, aunque ambién más esquemá icas. No obs an e, el manual se man enía como una
e e encia en la que pudie an da se a gumen aciones y azonamien os que los alumnos,
idealmen e, pudie an lee y comp ende . El manual iene una componen e p ác ica: hay
una se ie de eje cicios p opues os, en cada ema, en la que los alumnos pueden aplica los
conocimien os adqui idos. Es os eje cicios p opues os son simila es a las p egun as de los
exámenes, con lo que dan una guía cla a de lo que el p o eso p e ende que los alumnos
conozcan.
El manual p e ende da una isión his ó ica, pe o, sob e odo, acompaña al alumno,
que pa e de unos conocimien os de ísica cuán ica y de ísica nuclea , pa a que aya des-
cub iendo nue as pa ículas, y nue as in e acciones, y nue os o malismos, con o me son
necesa ios pa a desc ibi las e idencias expe imen ales que ue on apa eciendo en ísica de
pa ículas. En es e con ex o, es muy ele an e el concep o de Pa adigma. Se pa e del Pa-
adigma de la Física Mode na, que es esencialmen e la si uación en o no a 1930, ya hace
cien años. Es un pun o de pa ida en el que el es udian e debe sen i se azonablemen e
1
P e acio
Física de Pa ículas en es c édi os
cómodo, al habla de p o ones, neu ones y elec ones, jun o con sus in e acciones, en el
ma co de una eo ía cuán ica no ela i is a. A con inuación, se e oluciona g adualmen e
hacia lo que llamamos un Pa adigma de T ansición, que se ía la si uación en o no a 1960,
con múl iples pa ículas, ba iones, mesones y lep ones, y con in e acciones desc i as po
lag angianos en eo ía cuán ica de campos. Es espe able que el es udian e se encuen e
incómodo, con es a compleja desc ipción de la na u aleza, y espe e un cambio de pa a-
digma. Es o se consigue en la pa e inal, con la in oducción del Pa adigma Ac ual, el
Modelo Es ánda , es ablecido en o no a 1975. Todos los esul ados expe imen ales ob e-
nidos en los úl imos 50 años, son consis en es con el modelo es ánda . Se explican con 6
qua ks, 6 lep ones, 4 ipos de bosones gauge y el Higgs. Todas las in e acciones su gen,
de o ma concep ualmen e muy simple, aunque o malmen e compleja, a pa i de unos
g upos de sime ía, SU(3) ×SU(2) ×U(1). Una b e ísima guía al con enido del manual
es el esquema siguien e:
Pa adigma Física Mode na T ansición Modelo Es ánda
(∼1930) (∼1960) (∼1975)
Pa ículas P o ón, neu ón Had ones 6 Qua ks
Elec ón, neu ino Lep ones 6 Lep ones
In e acciones Fue e Mesones. QCD SU(3)
8 gluones
Elec omagné ica Fo ones EW SU(2) ×U(1)
Débil Bosones W W±,Z
0,γ
1 Higgs
Ma co Mecánica cuán ica Teo ía Cuán ica de campos Teo ía Gauge
El ideal del au o es que los alumnos ean el desa ollo de la asigna u a como el me-
lómano que se en en a a un concie o. El p ime mo imien o (pa adigma de la ísica
mode na) iene compases amilia es, que se complican g adualmen e. El segundo mo i-
mien o (pa adigma de ansición) desa olla una a iedad de nue os compases, que se
pe ciben como complejos y disonan es. El e ce mo imien o (modelo es ánda ) esuel e
las disonancias en una a monía bellísima, o unda e inespe ada.
Con espec o a la bibliog a ía, el manual p e ende se azonablemen e au ocon enido,
pa a que los es udian es pueden segui lo sin ene que ecu i a e e encias ex e nas. La
p incipal e e encia que se da a lo la go del ex o es a los da os expe imen ales del Pa i-
cle Da a G oup h ps://pdg.lbl.go /, que es án en cons an e ac ualización. El manual
con iene la in o mación expe imen al disponible en 2023. Una bibliog a ía adicional eco-
mendada pa a p o undiza en los di e en es emas es la siguien e:
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Física de Pa ículas en es c édi os
Física Nuclea y de Pa ículas. Fe e So ia, An onio. 2015. Uni e si a de València.
ISBN: 9788437096452
Qua ks & Lep ons: An In oduc o y Cou se In Mode n Pa icle Physics. F. Halzen,
A.D. Ma in. 1984. John Wiley and Sons. ISBN: 9780471887416
In oduc ion o elemen a y pa icle physics. Alessand o Be ini. 2014. Camb idge
Uni e si y P ess ISBN: 9781107050402
Pa icles and Nuclei. An in oduc ion o he physical concep s. Po h, Ri h, Scholz,
Ze sche. 2006. Publicación: Sp inge . ISBN: 978-3-540-36683-6
Nuclea and Pa icle Physics. B.R. Ma in. 2012. Publicación: John Wiley. ISBN:
9780470742747
In oduc ion o Elemen a y Pa icles. Da id G i i hs. 2011. Wiley-VCH Ve lag.
ISBN: 9783527406012
Suba omic Physics. E nes M. Henley, Alejand o Ga cía. 2015. Wo ld Scien i ic.
ISBN: 9789812700568
The ideas o Pa icle Physics. An in oduc ion o scien is s. G.D. Coughlan, J.E.
Dodd, B.M. G ipaios. 2006. Camb idge Uni e si y P ess. ISBN: 9780521677752
In oduc ion o high ene gy physics. D.H. Pe kins. 2001. Camb idge Uni e si y P ess
ISBN: 0521621968
Es e manual se ha bene iciado de la con ibución de odos los compañe os del de-
pa amen o de FAMN con los que, a lo la go de los años, he compa ido la docencia
de las pa ículas elemen ales: Ma ibel Galla do, Juan An onio Caballe o, An onio Mo o,
Jose An onio Lay, Miguel Co és, Manuela Rod íguez y Ma io Gómez Todos ellos han
con ibuido a de ec a las múl iples e a as y e o es, y han mo i ado a la ac ualización
las no as. El au o ag adece especialmen e la lec u a de allada de An onio Pich, de la
Uni e sidad de Valencia, que ha se ido pa a co egi e o es y a ina concep os pa a,
inalmen e, hace público es e abajo de muchos años.
Joaquín Gómez Camacho. Se illa, Ab il de 2024
3
El pa adigma de la ísica mode na
espín 1/2, el espín o al puede se S =0oS =1. En gene al, pa a pa ículas con espines
JayJb, el espín o al puede oma odos los alo es |Ja−Jb|≤S ≤|Ja+Jb|, donde
S oma alo es en e os o semien e os, según sea |Ja−Lb. Los es ados con espín o al
de inido ienen dados po una combinación de los es ados con p oyecciones del espín de
cada pa ícula de inidos de e minada po los coe icien es de Clebsch-Go dan.
|a, b;φ;S m =
ma,mbJama,J
bmb|S m |a, b;φ;mamb(1.5)
Además, la unción de onda del mo imien o ela i o φpuede ene un momen o angula
o bi al de e minado L, M. Ello implica que φ( )=R( )YLM (θ,φ). En es e caso, es con e-
nien e acopla el momen o angula o bi al con el espín o al pa a da el momen o angula
o al del sis ema J . Es e puede oma alo es |L−S |≤J ≤|L+S |, de o ma que los
es ados con momen o angula o al de inido ienen dados po
|a, b;φ, L;S ;JMJ=
M,m LM, S m |JMJ|a, b;φ, L, M;S m (1.6)
1.2.4. E olución de un sis ema: El ope ado Hamil oniano
En mecánica cuán ica odas las magni udes obse ables co esponden a ope ado es.
Los ope ado es ac úan sob e los es ados del espacio de Hilbe y dan o os es ados. De
odos los ope ado es, uno especialmen e ele an e es el hamil oniano H. El hamil oniano,
cuando ac úa sob e un es ado cualquie a, nos dice cómo cambia en el iempo dicho es ado.
id
d |Ψ( )=H|Ψ( )(1.7)
Si un es ado cuán ico cambia debe habe un é mino del hamil oniano que p oduce
dicho cambio. El cambio de un es ado puede co esponde a un cambio en el es ado de
mo imien o o bi al de una pa ícula, a un cambio en los espines, o incluso a un cambio
en la na u aleza de la pa ícula. Un hamil oniano puede con ene é minos que induzcan
es os es ipos de cambio. Po ejemplo, cuando un neu ón decae a un p o ón, un elec ón
y un neu ino, signi ica que exis en é minos en el hamil oniano que conec an el es ado
de un neu ón, con el es ado que co esponde a un sis ema p o ón-elec ón-neu ino.
1.3. In e acciones
Vamos a desc ibi las ca ac e ís icas cuali a i as de las in e acciones:
10
1.2.4. E olución de un sis ema: El ope ado Hamil oniano
1.3. In e acciones

El pa adigma de la ísica mode na
1.3.1. In e acción elec omagné ica
Ocu e en e pa ículas ca gadas eléc icamen e, y iene un la go alcance, que se hace
in ini o si no hay e ec os de apan allamien o. La pa e dominan e a ene gías bajas de la
in e acción elec omagné ica es la in e acción elec os á ica. El po encial elec os á ico
en e dos pa ículas de ca ga e iene dado po la exp esión
V( )= e2
4π0 (1.8)
donde e2/4π0=1.44 MeV m. Pa a dis ancias ípicas de 1 m, la in e acción en e dos
pa ículas de ca ga unidad es del o den de 1 MeV. Así, podemos exp esa Hem∼1MeV,
como una medida del o den de magni ud de la in e acción elec omagné ica, a dis ancias
de 1 m. Es e alo , con dimensiones de ene gía, se á una e e encia pa a compa a o as
in e acciones.
La in e acción elec os á ica puede exp esa se en é minos de una cons an e adimen-
sional, llamada cons an e de es uc u a ina.
α=e2
4π0c≃1
137 (1.9)
La cons an e adimensional αes o a e e encia pa a compa a in e acciones.
El po encial que desc ibe la in e acción elec os á ica puede exp esa se, en é minos
de la cons an e de es uc u a ina, como
V( )=αZ1Z2
c
(1.10)
1.3.2. In e acción ue e
Ocu e en e p o ones y neu ones, es una in e acción a ac i a, y es esponsable de
que p o ones y neu ones o men núcleos a ómicos. La in e acción ue e iene un alcance
del o den de 1 m. La in e acción ue e iene una dependencia complicada con la dis ancia,
depende de la o ien ación de los espines, de la ene gía y del momen o angula . No obs an e,
en muchos casos, pueden u iliza se pa ame izaciones simples de la in e acción ue e. Po
ejemplo, puede usa se un pozo cuad ado,
Vs( )=−V0 <R ;Vs( )=0 > R, (1.11)
o bien una o ma de ipo Yukawa:
Vs( )=−V0
exp(− /R)
/R .(1.12)
11
1.3.1. In e acción elec omagné ica
1.3.2. In e acción ue e
El pa adigma de la ísica mode na
V( )
Figu a 1.1: Po enial de la in e acción ue e en e dos p o ones. Se mues an como po en-
ciales esquemá icos el po encial de pozo cuad ado y el po encial de Yukawa. También se
mues a un po encial ealis a, que mues a una a acción y una epulsión a co o alcance.
Como compa ación se mues a la epulsión elec omagné ica, muy in e io a la in e acción
ue e.
Los pa áme os RyV0se ob ienen ajus ando da os expe imen ales, ales como la ene gía
de ligadu a y el adio del deu e ón, que es un es ado ligado de p o ón y neu ón. El
pa áme o R es del o den de 1 m, y V0es del o den de 100 MeV. La compa ación de los
po enciales de pozo cuad ado, Yukawa y un po encial ealis a se p esen an en la igu a
1.1
Po an o, podemos conclui que los elemen os de ma iz de la in e acción ue e son
ípicamen e H ∼100 MeV, a dis ancias del o den de 1 m. En es e sen ido, la in e acción
ue e es más " ue e"que la elec omagné ica Hem∼1MeV.
La in e acción ue e puede exp esa se en é minos de una cons an e adimensional αs,
de o ma que
Vs( )=−αs
c
exp(− /R).(1.13)
El pa áme o αs≃0.5(a escalas de ene gías del o den del MeV-GeV) es conside ablemen e
más g ande que la cons an e α≃1
137 de la in e acción elec omagné ica, po lo que ambién
emos que a in e acción ue e es más " ue e"que la elec omagné ica.
1.3.3. In e acción débil
La in e ación débil es la esponsable del decaimien o de un neu ón lib e: n→p+e−+¯ν.
La pa ícula ¯ν, o an ineu ino, es una pa ícula sin ca ga y con masa en eposo muy
12
1.3.3. In e acción débil
El pa adigma de la ísica mode na
pequeña, que se mue e con una elocidad muy p óxima a la de la luz. El neu ino, y su
an ipa ícula, el an ineu ino, ue on pos ulados pa a que se cumplie a la conse ación de
la ene gía, y se de ec ó expe imen almen e muchos años después. O os p ocesos posibles
debidos a la in e acción débil son: n+ν→p+e−(in e acción de neu inos), p+e−→n+ν
(cap u a elec ónica), p→n+e++ν(emisión β+). Es e úl imo p oceso no puede da se
pa a un p o ón lib e, po que no se conse a ía la ene gía, pe o sí puede ocu i en un
p o ón que se halla den o de un núcleo a ómico.
Es os p ocesos pueden desc ibi se en la eo ía de Fe mi de la in e acción débil in o-
duciendo un é mino en el hamil oniano que se exp esa como
Hw=GFδ3( )(τ++τ−),(1.14)
donde τ+es un ope ado que ans o ma un neu ón en p o ón, y c ea o aniquila elec-
ones y neu inos conse ando la ca ga eléc ica y el núme o lep ónico, que e emos
pos e io men e. τ−es el ope ado conjugado. Explíci amen e, se iene
p|τ+|n, e+,ν=p, ¯ν|τ+|n, e+=p, e−|τ+|n, ν=p, e−,¯ν|τ+|n=1 (1.15)
y el es o de los elemen os de ma iz son nulos. El ope ado τ±es independien e del espín.
Sólo conec a es ados en los que mp=mn.1
La cons an e de Fe mi GF oma el alo de 89.62·10−6MeV m3. Con mejo p ecisión,
GF/(c)3=1.1663787(6)×10−5−GeV−2. La unción δindica que la in e acción débil so-
lamen e ac úa si las cua o pa ículas pa icipan es (p, n, e, ν) es án en la misma posición.
En ealidad, la exp esión an e io es una ap oximación, que indica que la in e acción débil
iene un alcance mucho más co o incluso que la in e acción ue e. Una es imación de
la in ensidad de la in e acción débil se ob iene p omediando su e ec o sob e un olumen
de 1 m3, con lo cual se iene Hw≃10−4MeV. Ello indica que la in e acción débil es
mucho más “débil” que la in e acción elec omagné ica. 2
1Aquí sólo conside amos el ope ado de Fe mi, en el que τ±ac úa sob e los ba iones de o ma análoga
a los ope ado es de isospín I±que se in oducen más adelan e. También exis e el ope ado de Gamow-
Telle , que puede cambia la p oyección del espín. La dependencia del espín de la in e acción débil es
c ucial, cuando se o mula en una eo ía cuán ica de campos
2No obs an e, al como se indica en el eje cicio 9, la cons an e de acoplo de la in e acción débil no es
necesa iamen e in e io al de la in e acción elec omagné ica. Lo que ealmen e ocu e es que su alcance
es mucho más co o, lo cual es debido a que se p oduce po el in e cambio de una pa ícula pesada, el
bosón W.
13
El pa adigma de la ísica mode na
P oblemas
1. Demos a que, pa a que exis a un es ado ligado p o ón-neu ón con un po encial
de in e acción de ipo pozo cuad ado,
V( )=−V0, <R ;V( )=0, >R
siendo µla masa educida p o ón-neu ón, debe cumpli se que
V0R2≥π22
8µ.
No a: La unción de onda adial φl( )puede esc ibi se como ul( )/ , donde ul( )
debe sa is ace la ecuación:
−2
2µ
d2
d 2+V( )+2l(l+ 1)
2µ 2ul( )=−Bul( ).
Conside a el caso l=0yBV0.
2. Pa a dos pa ículas idén icas, la unción de onda comple a debe se an isimé ica
si son e miones y simé ica si son bosones. Teniendo en cuen a que los e miones
ienen espín semien e o, y que los bosones ienen espín en e o, y que la unción de
onda o al es el p oduc o de la unción de onda o bi al po la unción de onda de
espín, demos a que ha de cumpli se, an o pa a bosones como pa a e miones, que
siemp e L+S ha de se pa .
No a: Pa a una unción de onda o bi al φ( ), donde  es el ec o que a de la
pa ícula 1a la 2, cambia la pa ícula 1po la 2es equi alen e a cambia  po
− . Si la unción de onda o bi al iene un momen o angula de inido L, en onces
φ(− )=(−1)Lφ( ).
Pa a la unción de onda de espín, cambia la pa ícula 1po la 2a ec a solamen e
el o den en el que se acoplan los espines pa a da el espín o al. Puede u iliza se la
p opiedad de los coe icien es de Clebsch-Go dan:
Jama;Jbmb|S m =(−1)S −Ja−JbJbmb;Jama|S m 
3. Conside e un sis ema o mado po dos pa ículas, con espines JAyJB, que se mue en
con un momen o angula o bi al ela i o L.
14
P oblemas
El pa adigma de la ísica mode na
(a) Ob ene los alo es del espín o al al que se pueden acopla las pa ículas.
(b) Ob ene los alo es del momen o angula o al que puede ene el sis ema.
(c) Desa olle el es ado |JAMA;JBMB;LMLen é minos de es ados con espín o al
y momen o angula o al bien de inidos.
Casos pa icula es:
(i)JA=1/2;MA=1/2;JB=1;MB=0;L=1;ML=0.
(ii)JA=1/2;MA=−1/2;JB=1/2;MB=1/2;L=2;ML=1.
(iii)JA=1/2;MA=−1/2;JB=1;MB=1;L=1;ML=−1.
4. Conside e un ion de be ilio-7 (7Be) con un sólo elec ón, en su es ado undamen al.
(a) E alúe el elemen o de ma iz de la in e acción elec omagné ica en e el elec ón
y el núcleo.
(b) E alúe el elemen o de ma iz de la in e acción débil pa a un p oceso de cap u a
elec ónica en el que se p oduce 7Li y un neu ino.
No a: Conside a que en el es ado inicial, el elec ón es á en su es ado ligado
con n=1, mien as que en el es ado inal, el neu ino iene dado po una onda
plana no malizada en el olumen Ω=1 m3.
5. Conside e un p o ón con una ene gía ciné ica de 1500 MeV.
(a) Cuál es su ene gía o al.
(b) Cuál es su momen o.
(c) Cuál es su elocidad.
(d) Cuál es su ene gía en eposo.
No a: Tene en cuen a las exp esiones ela i is as E2=(m0c2)2+(cp)2. Con iene
da el momen o en las unidades de MeV/c y la elocidad en unidades de c.
6. Una pa ícula cuya ene gía en eposo es de 2500 MeV, e inicialmen e en eposo, se de-
sin eg a en dos pa ículas que ienen, espec i amen e, ene gías en eposo 1000 MeV
y de 500 MeV.
(a) Cuál es la ene gía ciné ica de cada una de las pa ículas que se p oducen.
(b) Cuál es el momen o de cada una de las pa ículas que se p oducen.
15

El pa adigma de la ísica mode na
(c) Cuál es la elocidad de cada una de las pa ículas que se p oducen.
(d) Cuál es la elocidad ela i a de las pa ículas que se p oducen.
7. Conside emos un sis ema cuán ico, que puede es a , en e o os posibles es ados,
en dos es ados |ay|b. Es os es ados son au oes ados del Hamil oniano Hdel
sis ema, co espondien es a ene gías eayeb. Conside emos ambién los es ados |c=
(|a+|b)/√2,y|d=(|a−|b)/√2.
(a) Si en el ins an e inicial =0el sis ema es á en el es ado |φ(0)=|a, ¿cuál se á
el es ado |φ( )en un ins an e ?
(b) Si en el ins an e inicial =0el sis ema es á en el es ado |φ(0)=|c, ¿cuál se á
el es ado |φ( )en un ins an e ?
(c) ¿Cuál es la p obabilidad de que el es ado |ase ans o me en el es ado |b,
cuando anscu e un iempo ?
(d) ¿Cuál es la p obabilidad de que el es ado |cse ans o me en el es ado |d,
cuando anscu e un iempo ?
(e) De los es ados desc i os, cuáles son es aciona ios, y po qué.
8. Exp esa la in e acción ue e en unción de una cons an e adimensional αsy una
escala de ene gía Es
Vs( )=αs
c
exp(− Es/c)
De e mina los alo es de αsyEs, a pa i de los pa áme os del po encial de
Yukawa.
9. Exp esa la dependencia adial de la in e acción débil en unción de una cons an e
adimensional αwy una escala de ene gía Ew
Vw( )=αw
c
exp(− Ew/c)
De e mina la elación de los alo es de αwyEw, de o ma que la in eg al de olumen
de Vw( )sea igual a la cons an e de Fe mi.
Si αw ue a igual a la cons an e de es uc u a ina, cuán o ald ía la escala de ene gía
Ew.
16
Capí ulo 2
Decaimien o y Colisiones de pa ículas
2.1. T ansiciones en mecánica cuán ica
Conside emos un á omo de hid ógeno en el p ime es ado exci ado n=2. Es e es ado
es un au oes ado del Hamil oniano del á omo de hid ógeno. Po an o es (o debe ía se )
un es ado es aciona io, que debe ía e oluciona en el iempo pe maneciendo inal e ado,
sal o una ase.
Es ob io que es o no ocu e. El es ado exci ado acaba decayendo al es ado undamen-
al, y se p oduce un o ón que se lle a la ene gía. Ello ocu e po que el Hamil oniano
comple o no es sólo el Hamil oniano del á omo de hid ógeno, ya que hay que inclui el
hamil oniano que acopla el á omo con la adiación.
En mecánica cuán ica, una pa ícula ines able, dos pa ículas que colisionan, o un
sis ema compues o que enga una ene gía su icien e, puede descompone se o decae , p o-
duciendo a ios agmen os (pa ículas o o ones). Pa a desc ibi es e p oceso, se descom-
pone el hamil oniano H=H0+H.H0es la pa e del hamil oniano que de ine la pa ícula
o el sis ema, de o ma que es un au oes ado de H0.Hes la pa e del hamil oniano que
p oduce el decaimien o.
En gene al, Hpod á exp esa se como una suma de con ibuciones de la in e acción
ue e, la elec omagné ica y la débil H=H +Hem +Hd, cuyos ó denes de magni ud
se ob u ie on an e io men e.
La p obabilidad po unidad de iempo de que se p oduzca el decaimien o iene dada
po la egla de o o de Fe mi:
Wi, =2π
|i|H| |2ρ(E)(2.1)
17
2. Decaimien o y Colisiones de pa ículas
2.1. T ansiciones en mecánica cuán ica
Decaimien o y colisiones de pa ículas
donde i|H| es el elemen o de ma iz de la pa e del hamil oniano esponsable del decai-
mien o, en e el es ado inicial iy el es ado inal en el que se ha emi ido los agmen os,
yρ(E)es la densidad de au o-es ados de H0que pueden p oduci se as el decaimien o,
es deci , el núme o de es ados inales en e EyE+dE, di idido po dE.
Nó ese que si un sis ema puede decae a a ios es ados inales, la p obabilidad o al
de decaimien o po unidad de iempo se á Wi= Wi, . Po ello, si en el ins an e
inicial enemos una p obabilidad Pi(0) = 1, de ene el es ado |i, en un ins an e pos e io
end emos Pi( ) = exp(−Wi ). La p obabilidad de que el sis ema decaiga en e y +d
es −dPi( )/d . La ida media
τ=∞
0
d (−dPi( )/d )=1/Wi(2.2)
Un es ado cuán ico con una ida media ini a iene una inde e minación en su ene gía.
Esa inde e minación co esponde a una anchu a en la ene gía del es ado cuán ico, que
ale
Γ=/τ =Wi(2.3)
2.1.1. Densidad de es ados: Decaimien o en dos pa ículas.
Caso gene al
Conside emos una pa ícula o sis ema de pa ículas A que se desin eg a en B + C.
En el p oceso se libe a una ene gía o al E=M(A)c2, y una ene gía ciné ica Ec=
(M(A)−M(B)−M(C))c2. Sea 
Pes el momen o de B, que es igual y de signo con a io
al de C, en el sis ema cen o de momen os. Nó ese que si se especi ica el alo de 
P, se
de e mina el es ado an o de B como de C.
Supongamos que B y C se con inan a un olumen V=L3(L se oma á pos e io men e
como 1 m). B y C se oman como pa ículas lib es, desc i as po ondas planas
Ψ(x, y, z)= 1
√Vexp ipxx
exp ipyy
exp ipzz
(2.4)
Si se imponen condiciones de con o no pe iódicas, Ψ(x, y, z) = Ψ(x+L, y +L, z +L).
Los alo es de las componen es px,pyypzes án cuan izadas de o ma que px=nx2π/L.
Los es ados que cumplen que el módulo de su momen o es in e io a P ienen dados po
los posibles alo es en e os de nx,nyynz ales que:
n2
x+n2
y+n2
z≤PL
2π2
(2.5)
18
2.1.1. Densidad de es ados: Decaimien o en dos pa ículas
Decaimien o y colisiones de pa ículas
Cada uno de es os es ados ocupa un olumen unidad en la ep esen ación ca esiana
(nx,n
y,n
z). La condición an e io co esponde a los pun os con enidos den o de una
es e a de adio PL
2π. El núme o de es os es ados iene de e minado a pa i del olumen
de la es e a, como:
N(P)=4π(Pc)3L3
3(2πc)3(2.6)
En gene al, Pc es una unción de E. Si se de i a N(P), se ob iene la densidad de es ados
ρ(2)(E;BC)=dN(P)
dE =4πV (Pc)2
(2πc)3
dPc
dE (2.7)
La exp esión conc e a de la densidad de es ados depende de la elación en e Pc yE. En
el caso gene al de que B y C sean pa ículas ela i is as, la conse ación del cuad i ec o
ene gía-momen o lle a a:
E=M(A)c2=(M(B)c2)2+(Pc)2+(M(C)c2)2+(Pc)2(2.8)
Finalmen e, se ob iene la exp esión:
ρ(2)(E;BC)= 4πV
(2πc)3
PcE(B)E(C)
E,(2.9)
donde
E(B)=(M(B)c2)2+(Pc)2;E(C)=(M(C)c2)2+(Pc)2(2.10)
Decaimien o en dos pa ículas no ela i is as
Supongamos que la ene gía ciné ica Ec=M(A)c2−M(B)c2−M(C)c2es conside a-
blemen e meno que las ene gías en eposo de B y C, EcM(C)c2,EcM(B)c2con
lo que ambas se mo e án de o ma no ela i is a. En onces Ec=(Pc)2/(2µc2), donde µ
es la masa educida de B y C, y
ρ(2)(E;BC)= 4πV
(2πc)3(Ec)1/2(µc2)3/2√2(2.11)
Decaimien o en una pa ícula ul a ela i is a y una pa ícula no ela i is a
Conside emos que EcyM(C)c2EcM(B)c2Es e es el caso cuando un núcleo
emi e un o ón. En ese caso, la pa ícula C se lle a p ác icamen e oda la ene gía ciné ica,
y se cumple (lími e ul a ela i is a) Ec=M(A)c2−M(B)c2=Pc y
ρ(2)(E;BC)= 4πV
(2πc)3(Ec)2.(2.12)
19
Decaimien o y colisiones de pa ículas
Figu a 2.3: Esquema de un expe imen o de dispe sión. Las pa ículas inciden es p o ienen
de la uen e (sou ce), que de e mina el momen o inciden e 
ki. Las pa ículas del blanco
( a ge ), y las pa iculas salien es, que se de ec an en un de ec o , de e minan el momen o
salien e 
k . El ángulo de dispe sión θes el que o man las di ecciones 
kiy
k .
donde EC,E
Dson las ene gías de las pa ículas inales en el sis ema cen o de momen os,
yE=EC+EDes la ene gía o al. Sin emba go, el elemen o de ma iz del hamil oniano
depende, en gene al, del alo del momen o 
k . Po an o, conside a emos solo los es ados
inales en los que las pa ículas que salen en un cono es echo de ángulo sólido dΩen o no
a la di ección 
k , de o ma que los elemen os de ma iz del hamil oniano son iguales, den o
del cono. La densidad de es ados co espondien e se ob iene mul iplicando ρ (E)po la
acción de ángulo sólido, que es dΩ/4π:
ρ (E,
k ,dΩ) = dΩV
(2πc)3
ECED(ck )
E.(2.37)
No podemos hace un expe imen o en el que ijemos las pa ículas AyBden o de
un olumen V. Sin emba go, sí podemos hace colisiona un haz de pa ículas de A,
ca ac e izados po un lujo ΦA, con un cie o núme o de pa ículas de B,N(B), al como
se indica en la igu a 2.3. Si a cada pa ícula de Bla odeamos po un olumen V, den o
del cual ac úa la in e acción H, la p obabilidad de que una pa ícula de Aes é den o del
olumen V iene dada po P(A)=Φ
AV/ i, donde ies la elocidad ela i a de AyB.
En es e caso, el núme o de pa ículas Cp oducidas po unidad de iempo, I(C), den o
de un cono de ángulo sólido dΩen o no a la di ección 
k es
I(C)=N(B)P(A)WIF =N(B)ΦAV
i
2π
|I|H|F|2dΩV
(2πc)3
ECED(ck )
E(2.38)
26

Decaimien o y colisiones de pa ículas
El alo de I(C)puede ob ene se expe imen almen e. Sin emba go, depende de las con-
diciones expe imen ales, ales como N(B)yΦA. Se de ine la sección e icaz di e encial:
dσi
dΩ=I(C)
ΦAN(B)dΩ
Es a magni ud, independien e de las condiciones expe imen ales, nos dice cómo de p o-
bable es una colisión de e minada. Sus dimensiones son de una supe icie. El nomb e
“sección e icaz”, e oca la idea de que cada pa ícula B end ía un cie o á ea e ec i a a su
al ededo , al que si una pa ícula Alo a a esa a, se p oduci ían pa ículas CyD, en
o no a la di ección 
k .
Teniendo en cuen a la exp esión an e io , ob enemos que la seccion e icaz iene dada
po
dσi
dΩ=k
ki
V2|I|H|F|2
(2π)2(c)4
EAEBECED
E2(2.39)
In e acción ue e
Es a exp esión puede u iliza se pa a es ima las secciones e icaces ca ac e ís icas de las
dis in as in e acciones. Conside emos un neu ón, con ene gía de 100 MeV, que colisiona
con un p o ón en eposo, y se dispe san elás icamen e. En el sis ema cen o de momen os,
la ene gía inicial y inal de p o ón y neu ón es de 963 MeV, y sus momen os inicial
y inal son iguales. La in e acción esponsable del decaimien o es la in e acción ue e,
cuyo o den de magni ud es de 100 MeV. El olumen de in eg ación, consis en e con la
es imación an e io de la in e acción, es V=1 m3. El esul ado pa a la seccion e icaz
di e encial es de 0.0387 m2/s , con unidaddes de Fe mi cuad ado po es e eo adián (s ).
La sección e icaz o al co esponde ía a in eg a es a can idad pa a odos los ángulos
sólidos. Suponiendo que es a magni ud sea ap oximadamen e independien e del ángulo
de dispe sión, la sección e icaz o al se ía 4πpo la sección e icaz di e encial, lo cual da
0.48 m2.
In e acción elec omagné ica
Pa a la in e acción elec omagné ica conside a emos una colisión elec ón-p o ón a
100 MeV. El sis ema cen o de masas di ie e poco del sis ema labo a o io, po lo que,
con buena ap oximación, la ene gía del elec ón, an es y después de la colisión es de
100 MeV, mien as que la ene gía del p o ón es 938 MeV. La in e acción ele an e es la
elec omagné ica, cuya es imación es de 1 MeV, pa a un olumen de in eg ación de 1 m3.
27
Decaimien o y colisiones de pa ículas
El alo de la seccion e icaz di e encial esul a 0.137·10−6 m2/s . Es a es imación es álida
cuando el elec ón cambia sus ancialmen e su momen o, de o ma que 
ki−
k ≃1 m−1. No
es álida pa a dispe sión a ángulos pequeños, pa a los que el la go alcance de la in e acción
esul a muy ele an e, y las secciones e icaces di e enciales son mucho más g andes.
In e acción débil
Pa a la in e acción débil conside a emos un p oceso neu ino- neu ón pa a da elec-
ón y p o ón, p oducida po un neu ino de 100 MeV. La ene gía del neu ino, an o en
labo a o io como en cen o de masas, es de 100 MeV, ap oximadamen e. La ene gía del
elec ón salien e es ambién de unos 100 MeV, ya que la di e encia de masa en e elec ón
y neu ino po un lado, y neu ón y p o ón po o o, es desp eciable. La ene gía de neu-
ón y p o ón es de 938 MeV. La in e acción ele an e es la débil, cuya es imación es de
10−4MeV pa a el olumen de in eg ación de 1 m3. Así, odos los ac o es ene gé icos son
idén icos al caso an e io , sal o el elemen o de ma iz de la in e acción. El esul ado de la
sección e icaz di e encial es de 0.137 ·10−14 m2/s , ocho ó denes de magni ud menos que
en el caso an e io . La sección e icaz o al, in eg ando pa a odos los ángulos, es equi a-
len e a mul iplica po 4π, y esul a 1.7·10−14 m2. Es a sección e icaz an pequeña hace
que los neu inos sean muy di íciles de de ec a , aunque pueden medi se, con un de ec o
muy g ande, y espe ando mucho iempo.
2.4.1. In e acción de Yukawa
Vamos a conside a un caso de in e acción analí ica, que pe mi e e alua la sección
e icaz, y su dependencia con la ene gía y el ángulo de dispe sión. Además, nos pe mi e
a a , como casos lími e, la in e acción ue e, elec omagné ica y débil:
H=τc
4π e−β (2.40)
Aquí, τes un ope ado que conec a las pa ículas iniciales con las inales. No iene dimen-
siones, y el alo de sus elemen os de ma iz de e mina la in ensidad de la in e acción. Pa a
la in e acción ue e, los elemen os de ma iz de τ, po ejemplo pn|τ|pnson del o den de
la unidad. Pa a que la in e acción de Yukawa p oduzca un es ado ligado, co espondien e
al deu e ón, debe cumpli se
pn|τ|pn>2.72
2µnp
4πβ2
c=7.2(2.41)
28
2.4.1. In e acción de Yukawa
Decaimien o y colisiones de pa ículas
Pa a la in e acción elec omagné ica, ac uando sob e dos pa ículas de ca ga unidad, como
elec ón y p o ón,
pe|τ|pe=e2
0c=4π
137 =0.092.(2.42)
Pa a la in e acción débil los elemen os de ma iz (cu iosamen e) son simila es a los de la
in e acción elec omagné ica.
pe|τ|nν=GFβ2
c=0.075 (2.43)
El pa áme o βde e mina el ango de la in e acción. Den o de una eo ía cuán ica
de campos, βes á elacionado con la masa mde la pa ícula que se in e cambia en la
in e acción, a a és de la exp esión β=mc/. Pa a la in e acción elec omagné ica,
β=0, ya que la masa del o ón es ce o, y la in e acción iene un ango in ini o. Pa a
la in e acción ue e, β≃1 m−1, lo que sugie e que debe exis i una pa ícula de masa
mc2≃200 MeV, que se in e cambia en la in e acción. Pa a la in e acción débil, el ango
de la in e acción es muy co o, β≃400 m−1, lo que sugie e una pa ícula muy pesada,
de masa mc2≃80 GeV, que se in e cambia ía en la in e acción.
El elemen o de ma iz de Hpuede e alua se analí icamen e, en unción del momen o
ans e ido q =
k −
ki:
i|H| =AB|τ|CDc
Vd3 e i q · e−β
4π
=AB|τ|CDc
V
1
β2+q2(2.44)
Es a exp esión puede in oduci se en la sección e icaz, pa a da :
dσi
dΩ=k
ki
|AB|τ|CD|2
(2πc)2
EAEBECED
E2
1
(β2+q2)2(2.45)
Nó ese que es a exp esión es independien e del olumen de in eg ación, como debe se 1.
1El acoplamien o p oducido po el ope ado τse desc ibe, en el ma co de una eo ía cuán ica de
campos, como la c eación, po pa e de la pa ícula A, de la pa ícula Cjun o con una pa ícula i ual
M, de masa m, seguida po la abso ción de la pa ícula i ual Mpo la pa ícula B, pa a p oduci la
pa ícula D. Así,
AB|τ|CD=g(A;CM)g(BM;D).(2.46)
Además, la sección e icaz depende de la masa de la pa ícula in e cambiada a a es de la exp esión
(β2+q2)−2. Es o es á in imamen e elacionado con el concep o de p opagado de pa ícula i ual, que
se e á más adelan e.
29
Decaimien o y colisiones de pa ículas
Pa a la in e acción elec omagné ica, β=0, con lo que la sección e icaz di e encial es
p opo cional a q−4. Si, como en la dispe sión elás ica, ki=k , en onces q=2kisin(θ/2),
con lo que la sección e icaz depende ue emen e del ángulo de dispe sión, como sin−4(θ/2).
Pa a la in e acción ue e, cuando el momen o ans e ido q1 m−1, la sección e icaz
se hace independien e del ángulo. Pa a la in e acción débil, βes an g ande que, sal o a
ene gías de la colisión de decenas de GeV, la sección e icaz es independien e del ángulo.
Pa a ene gías in e io es, la sección e icaz puede pone se en unción de la cons an e de
Fe mi
dσi
dΩ=k
ki
G2
F
(2π)2(c)4
EAEBECED
E2(2.47)
30
Decaimien o y colisiones de pa ículas
P oblemas
1. Demos a que la densidad de es ados co espondien es a una única pa ícula ela-
i is a de masa mcon una ene gía o al Een un olumen Ω iene dada po
ρ(1)(E)= 4πΩ
(2πc)3E(E2−m2c4)1/2
Ob ene como casos lími e la exp esión ul a ela i is a Emc2y la no ela i is a
Ec=E−mc2mc2.
2. Demos a la exp esión de la densidad de es ados pa a la emisión de dos pa ículas
ela i is as a pa i del decaimien o de una pa ícula de masa M(A)en o as dos
de masas M(B)yM(C)
3. Ob ene la exp esión de la densidad de es ados pa a la emisión de es pa ículas
B, C, D en el lími e no ela i is a
Ec=E−M(B)c2−M(C)c2−M(D)c2M(B)c2,M(C)c2,M(D)c2
4. Ob ene la exp esión de la densidad de es ados pa a la emisión de es pa ículas
B, C, D en el lími e ul a ela i is a
Ec=E−M(B)c2−M(C)c2−M(D)c2M(B)c2,M(C)c2,M(D)c2
5. Ob ene la densidad de es ados co espondien e al decaimien o del K+en a) π++π0,
b) µ++ν.
Teniendo en cuen a que la ida media del K+es 1.2386 ·10−8s, y que el p oceso a)
ocu e en el 21.16 %, y el b) en el 63.51 % de los casos, ob ene las p obabilidades
de decaimien o de los dos p ocesos po unidad de iempo.
Ob ene , a pa i de la egla de o o de Fe mi, los elemen os de ma iz de la in e acción
que gene an es os decaimien os. In e i qué in e acción ( ue e, elec omagné ica o
débil) es esponsable del decaimien o.
6. Ob ene la densidad de es ados y el elemen o de ma iz del hamil oniano co es-
pondien e al decaimien o π+→µ++νµ. No a: Busca las idas medias y las masas
ele an es en pdg.lbl.go . In e i qué in e acción ( ue e, elec omagné ica o débil)
es esponsable del decaimien o.
31
P oblemas

Decaimien o y colisiones de pa ículas
7. Ob ene la densidad de es ados y el elemen o de ma iz del hamil oniano co es-
pondien e al decaimien o π0→γ+γ. No a: Busca las idas medias y las masas
ele an es en pdg.lbl.go . In e i qué in e acción ( ue e, elec omagné ica o débil)
es esponsable del decaimien o.
8. Es ima la sección e icaz que co esponde a la colisión π−+p→π−+ppa a una
ene gía ciné ica del pion de 500 MeV, sabiendo que la in e acción ele an e es la
ue e. No a: Busca las masas ele an es en pdg.lbl.go . Pa a e alua la densidad
de es ados, u ilizad la ene gía disponible en el sis ema Cen o de Momen os.
9. Es ima la sección e icaz que co esponde a la colisión µ−+p→µ−+ppa a una
ene gía ciné ica del muon de 500 MeV, sabiendo que la in e acción ele an e es la
elec omagné ica. No a: Busca las masas ele an es en pdg.lbl.go . Pa a e alua la
densidad de es ados, u ilizad la ene gía disponible en el sis ema Cen o de Momen-
os.
10. Conside a las esonancias ∆++. Es una pa ícula ines able que decae en p+π+. Su
masa es de 1242 MeV y su anchu a es de 153 MeV.
(a) Calcula la ida media de es a pa ícula.
(b) Calcula el momen o y la ene gía del p o ón y el pion salien es.
(c) Calcula la densidad de es ados inales pa a es e decaimien o.
(d) Ob ene el elemen o de ma iz del hamil oniano que p oduce el decaimien o.
(e) Explica qué ipo de in e acción ( ue e, elec omagné ica o débil) p oduce el
decaimien o.
32
Capí ulo 3
P opiedades de las pa ículas
elemen ales
3.1. In oducción
Una desc ipción plenamen e consis en e con la ela i idad de las in e acciones, en
el ma co de la eo ía cuán ica de campos, implica que cada in e acción lle a asociada
el in e cambio de una pa ícula, que debe se un bosón. En el caso de la in e acción
elec omagné ica, la pa ícula in e cambiada es el o ón. En gene al, el alcance de la
in e acción es á asociada con la masa de la pa ícula in e cambiada.
Puede demos a se que, si una in e acción en e pa ículas de masa M, es á gene ada
po el in e cambio de una pa ícula de masa mM, la in e acción puede desc ibi se en
el lími e no ela i is a como un po encial de la o ma V( )=V0exp(− /λ)
/λ , donde λ=
mc.
Es a exp esión, que se demues a es ic amen e en Teo ía Cuán ica de Campos, puede
in e p e a se de la o ma siguien e. Pa a c ea una pa ícula de masa m, se necesi a
una ene gía ∆E=mc2. De acue do con el p incipio de inde e minación en e ene gía y
iempo, es a ene gía puede c ea se du an e un iempo su icien emen e co o, ∆ =/∆E,
y du an e es e iempo, la pa ícula puede iaja una dis ancia dada po λ=∆ c =
(c)/(mc2), que es el alcance de la in e acción.
Como la in e acción ue e iene un alcance λ≃1 m, debe lle a asociada una pa í-
cula de masa mc2=c/λ ≃200 MeV. Es e a gumen o, plan eado po Yukawa, lle ó a la
búsqueda de pa ículas de masa in e media en e el p o ón y el elec ón. Es a búsqueda
se lle ó a cabo p ime amen e analizando los ayos cósmicos, ya que en aquellas echas
(1940-1950) no se habían desa ollado acele ado es de pa ículas con ene gía su icien e.
El es udio de los ayos cósmicos se ealizaba en las cáma as de niebla, en las que las
33
3. P opiedades de las pa ículas elemen ales
3.1. In oducción
P opiedades de las pa ículas elemen ales
Figu a 3.1: Imagen de una cáma a de niebla. Se en las ayec o ias de di e en es pa ícu-
las, que se cu an debido a campos eléc icos y magné icos. Con o me pie den ene gía, las
ayec o ias dan luga a espi ales. El análisis de allado de la ayec o ia pe mi e ob ene
la ene gía y el momen o de la pa ícula, y a pa i de ellas, su masa. Los é ices en los
que apa ecen nue as ayec o ias pueden asocia se a las in e acciones.
pa ículas que componen los ayos cósmicos a a iesan un olumen con apo de agua
sob esa u ado. La imagen de la cáma a de niebla se mues a en la igu a 3.1. Las pa -
ículas con ca ga eléc ica p oducían una cie a ionización del ai e, lo cual p o ocaba la
condensación del apo de agua a lo la go de la ayec o ia. Si uando la cáma a de niebla
en campos eléc icos y magné icos, y es udiando la cu a u a de las ayec o ias, podía
conoce se la ca ga eléc ica, la ene gía y la masa de las pa ículas. Po o o lado, muchas
de las pa ículas así de ec adas e an ines ables, y se descomponen en o as pa ículas.
Es udiando la longi ud de las azas que dejaban las pa ículas en la cáma a de niebla,
podía deduci se su ida media.
La p ime a pa ícula que se de ec ó de es a o ma ue el muon µ, cuya masa (105.6
MeV) podía se compa ible con la de la pa ícula p edicha po Yukawa. No obs an e, se
encon ó que la o ma en la que in e ac uaba con las pa ículas de la cáma a de niebla
indicaba que las secciones e icaces no e an consis en es con la in e acción ue e. Es o
es incompa ible con que ue a la pa ícula de Yukawa. El muon µ iene ca ga eléc ica
nega i a, (su an ipa ícula µ+ iene ca ga posi i a), y se compo aba a odos los e ec os
34
P opiedades de las pa ículas elemen ales
como un elec ón de masa más g ande. Po o o lado, el muon es ines able, y se descompone
en un iempo de 2.2·10−6s en un elec ón y dos pa ículas inde ec ables (neu inos). El
iempo de ida del muon suge ía que su decaimien o se p oduce po la in e acción débil.
Pos e io men e, se descub ió el pion, que apa ecía con ca ga eléc ica posi i a π+,
nega i a π−o neu a π0. La masa del pion es de 139.6 MeV pa a π+yπ−, y de 135.0
MeV pa a π0. El pion sí in e ac uaba ue emen e con p o ones y neu ones, po lo que
co espondía a la pa ícula de Yukawa. La ida de π+yπ−es de 2.6·10−8s, descompo-
niéndose p incipalmen e en un muon (o an i-muon) y un neu ino, median e la in e acción
débil. El π0se descompone en dos o ones en un iempo de 8.4·10−17 s, po la in e acción
elec omagné ica.
Los piones se p oducen en las colisiones p o ón-núcleo, o núcleo-núcleo, cuando las
colisiones ienen ene gía su icien e. De la misma o ma que pueden p oduci se o ones
cuando colisionan pa ículas ca gadas, ambién se p oducen piones en las colisiones que
sien en la in e acción ue e. En los núcleos a ómicos, hay e idencias de que apa ecen los
piones como pa ículas i uales, asociadas a las ue zas que unen p o ones y neu ones
en un núcleo.
Más adelan e se encon a on los kaones K+,K−,K0,¯
K0, cuya masa es de 493.7 MeV
pa a K+,K−, y de 497.7 pa a K0,¯
K0.K+yK−se descomponen p incipalmen e en
muon y neu ino, o en dos piones, con un iempo de ida de 1.2·10−8s, mien as que los
kaones neu os decaen en dos o es piones, con semi idas de 0.89 ·10−10sy5.2·10−8s.
Es os decaimien os ocu en po la in e acción débil. Nó ese que esul aba pa adójico que
los kaones, que sien en la in e acción ue e, al como se deduce de sus secciones e icaces,
decaen en piones (que ambién sien en la in e acción ue e) median e la in e acción débil.
Po ello, a los kaones se les conside ó pa ículas “ex añas”.
Con masas supe io es a la del p o ón, se encon a on pa ículas, llamadas hipe ones.
En e es as pa ículas es á la Λ, de masa 1115.7 MeV y ida 2.6·10−10 s, que decae p in-
cipalmen e en nucleón (p o on o neu ón) y pion, po in e acción débil. Es a es ambién
una pa ícula “ex aña”. La Σ+, de masa 1189.4 MeV y ida 2.6·10−10 s, que decae p in-
cipalmen e en nucleón y pion, po in e acción débil. La Σ−, de masa 1197.4 MeV y ida
1.5·10−10 s, que decae p incipalmen e en nucleón y pion, po in e acción débil. La Σ0, de
masa 1192.6 MeV y ida 7.4·10−20 s, decae en Λy o ón po in e acción elec omagné ica.
Las “cascadas” Ξ0, de masa 1314.9 MeV y ida 2.90 ·10−10 syΞ−, de masa 1321.3 MeV
y ida 1.60 ·10−10 s, decaen en Λy pion, po in e acción débil.
Es as, jun o con el p o ón, neu ón, elec ón y neu ino, y sus an ipa ículas, e an las
pa ículas conocidas en 1956. Pos e io men e, con el ad enimien o de los acele ado es, se
descub ie on o as muchas pa ículas, po lo cual se io la necesidad de clasi ica las.
35
P opiedades de las pa ículas elemen ales
3.4. Conse ación de núme os cuán icos
Conse ación del cuad i ec o ene gía-momen o En una eacción en e pa ícu-
las, o en el decaimien o de una pa ícula, se debe conse a siemp e la ene gía y el momen-
o. Po ejemplo, un o ón aislado no puede c ea un pa e−e+, o ice e sa. Es as leyes de
conse ación es án asociadas a la in a iancia del sis ema en e a aslaciones empo ales
y espaciales, espec i amen e.
Conse ación del momen o angula También debe conse a se el momen o angula
o al. Ello hace que en el decaimien o de un e mión, con espín semien e o, deban apa ece
un núme o impa de e miones, mien as que en el decaimien o de un bosón deban apa ece
un núme o pa (incluido el ce o) de e miones. Es as leyes de conse ación es án asociadas
a la in a iancia del sis ema en e a o aciones.
Conse ación de la ca ga eléc ica También debe conse a se siemp e la ca ga eléc-
ica Q. Es a ley de conse ación es á elacionada con la in a iancia del sis ema en e
a unas ans o maciones in e nas ( ans o maciones gauge) que son la explicación de la
in e acción elec omagné ica. En cie o sen ido, la exis encia de la in e acción elec omag-
né ica implica que la ca ga debe conse a se es ic amen e, y ice e sa.
Conse ación del núme o ba iónico La conse ación del núme o ba iónico Bes un
hecho empí ico. No hay azones, asociadas a la exis encia de sime ías, que jus i iquen
dicha conse ación. No obs an e, no hay e idencias expe imen ales ac uales que indiquen
la iolación del núme o ba iónico. Según las eo ías ac uales, el p o ón iene una ida muy
la ga, pe o no in ini a. Po ello, puede habe una iolación del núme o ba iónico, pe o
es ex emadamen e pequeña. Los lími es expe imen ales ac uales pa a la ida del p o ón
son τp>9·1029 años.
Conse ación de los núme os lep ónicos La conse ación de los núme os lep ónicos
Le,L
µ,L
τson hechos empí icos, que desc iben con muy buena p ecisión los p ocesos de
colisión y decaimien o de lep ones. No obs an e, las oscilaciones de neu inos indican que
los núme os lep ónicos Le,L
µ,L
τno se conse an es ic amen e, aunque sí lo hace su
suma L=Le+Lµ+Lτ. Cabe deci que la conse ación de los núme os lep ónicos es
pe ec amen e álida en la escala de iempos de los p ocesos de colisión y decaimien o
p oducidas po la in e acción débil, pe o no lo es en la escala de iempos que co esponde
a neu inos que iajan la gas dis ancias.
42
3.4. Conse ación de núme os cuán icos

P opiedades de las pa ículas elemen ales
Conse ación de la ex añeza Los p ocesos que ocu en po in e acción ue e o
elec omagné ica conse an la ex añeza. Ello hace que la suma de los alo es de S de
las pa ículas iniciales en una eacción debe se igual a la de las pa ículas inales (los
lep ones y los o ones se oman con S=0). Los p ocesos débiles pueden cambia (o no)
la ex añeza. Se obse a empí icamen e que los p ocesos que ocu en po la in e acción
débil, en p ime o den, cumplen que ∆S=±1,0.1
Núme os cuán icos en mecánica cuán ica Fo malmen e, los núme os cuán icos adi-
i os es án asociados a ope ado es que ac úan en el espacio de Hilbe de los ec o es
es ado. Po ejemplo, cuando decimos que la pa ícula Λ iene ex añeza S=−1, y el
neu ón iene ex añeza S=0, eso signi ica que exis e un ope ado S, que cumple que
S|Λ; p ;m=(−1)|Λ; p ;m, mien as que S|n;p ;m=0|n;p ;m. El ope ado Ses adi i o.
Es o signi ica que, cuando ac úa sob e el ec o es ado de un sis ema de pa ículas, da
como au o alo la suma de las ex añezas de las pa ículas: S|n, Λ=(−1+0)|n, Λ2.
Cuando un núme o cuán ico se conse a, el hamil oniano conmu a con el ope ado
asociado. Así, la conse ación de la ca ga implica que [H, Q]=0. La conse ación del
núme o ba iónico implica que [H,B]=0. La ex añeza se conse a en p ocesos ue es
y elec omagné icos. Eso implica que el ope ado Sconmu a con el hamil oniano ue -
e [H ,S]=0y elec omagné ico [Hem,S]=0. No obs an e, el hamil oniano débil no
conmu a con S:[Hd,S]=0. Los had ones son au oes ados de Sco espondien es a un
au o alo S. Como el ope ado Ses adi i o, un sis ema de had ones es un au oes ado de
Scuyo au o alo es la suma de los alo es de S de los had ones. Po ello, el hamil oniano
ue e y el elec omagné ico sólo conec an es ados (sis emas de pa ículas) con la misma
ex añeza.
3.5. Isospín.
Se in oduce a pa i del hecho de que los had ones apa ecen en g upos de pa ículas,
llamados mul iple es, con masa muy pa ecida, y con p opiedades muy simila es (mismo
espín, pa idad, núme o ba iónico, ex añeza), excep o que ienen ca ga eléc ica que a ía
de uno en uno. Po ejemplo, es án el p o ón y el neu ón, los piones (π+,π0,π−), e c.
Cabe isualiza las ans o maciones de isospín, conside ando un núcleo a ómico, com-
pues o de N neu ones y Z p o ones. Si en es e núcleo igno amos las ue zas coulombianas,
1Es o se explica en el modelo de qua ks.
2En la no ación del ec o es ado, se omi en los índices asociados al mo imien o y al espín, ya que no
son modi icados po el ope ado .
43
3.5. Isospín
P opiedades de las pa ículas elemen ales
y la pequeña di e encia de masa en e p o ón y neu ón, enemos que el nucleo es un sis-
ema en el que enemos N e miones de un ipo, y Z e miones de o o ipo. Pod íamos
ealiza una ans o mación en la que cada p o ón se con ie e en una combinación de
p o ón y neu ón, |p→α|p+β|n, mien as que el neu ón se con ie e en o a combi-
nación, |n→−β∗|p+α∗|n, man eniendo la no ma (|α|2+|β|2= 1) y la o ogonalidad
de los es ados. Es a ans o mación sigue man eniendo N e miones de un ipo, y Z e mio-
nes de o o ipo, de o ma que, bajo condiciones muy gene ales, el núcleo man end ía su
misma ene gía. Es e ipo de ans o maciones son las ans o maciones uni a ias, en dos
dimensiones, con de e minan e unidad, y ienen desc i as po el g upo SU(2). El g upo
SU(2) es muy simila al g upo O(3) que desc ibe las o aciones en es dimensiones 3.
Pa a desc ibi el g upo SU(2), se de inen es ope ado es, I+,I−,I3, mien as que pa a el
g upo O(3) los ope ado s son las componne es del momen o angula L+,L−,L3. Ambos
conjun os de ope ado es cumplen las mismas eglas de conmu ación.
I3es á elacionado con la ca ga eléc ica, y puede esc ibi se como I3=−Y/2+Q/e,
donde Y es una cons an e pa a cada mul iple e llamada hipe ca ga, que es dos eces
la ca ga media del mul iple e. Gell-Mann y Nishijima encon a on empí icamen e que
la hipe ca ga es aba elacionada con la ex añeza y el núme o ba iónico a a és de la
elación Y=B+S4.
Las pa ículas de un mul iple e son au oes ados de I3. Así, pa a los nucleones, Y=1,
I3|p=1/2|pI3|n=−1/2|n.
Pa a los piones, Y=0,
I3|π+= +1|π+I3|π0=0|π0I3|π−=−1|π−.
El ope ado I+ac uando sob e una pa ícula, la con ie e en o a de ca ga supe io
pe enecien e al mismo mul iple e: I+|n=|p,I+|p=0. Análogamen e, el ope ado
I−disminuye la ca ga de la pa ícula. Po analogía con el momen o angula , odas las
pa ículas del mul iple e son au oes ados del ope ado I2=1
2(I+I−+I−I+)+I32co es-
pondien es a un au o alo I(I+1). El núme o cuán ico I, que es el isospín del mul iple e,
es á elacionado con el núme o de pa ículas en el mul iple e, que es 2I+1.
3El é mino co ec o en eo ía de g upos es que SU(2) y O(3) son localmen e isomo os. Las ans-
o maciones in ini esimales, ce canas a la unidad, son equi alen es en ambos casos. Los gene ado es de
ambos ienen elaciones de conmu ación idén icas. No obs an e, el ango de a iación de los pa áme os
no es el mismo. Po ello, en O(3) las o aciones pueden hace se has a un ángulo de 2π, mien as que las
“ o aciones” de SU(2) llegan has a 4π.
4Es o se explica en el modelo de qua ks.
44
P opiedades de las pa ículas elemen ales
La in oducción del isospín pe mi e conside a que las pa ículas de un mul iple e son,
a odos los e ec os, pa ículas idén icas, que, además de eni ca ac e izadas po su unción
de onda o bi al y su unción de onda de espín, ienen una unción de onda de isospín. Así,
el p o ón es un es ado del nucleón al que su unción de onda de isospín es au oes ado del
ope ado I3co espondien e al au o alo I3=1/2, y el neu ón es un es ado del nucleón
cuyo au o alo es I3=−1/2.
Si una pa ícula A iene unos alo es del isospín y su e ce a componen e dados po
IA,I
3A, el ec o es ado de la pa ícula Apuede esc ibi se como |A=|αIAI3A, donde α
ca ac e iza los núme os cuán icos necesa ios pa a ca ac e iza el mul iple e de pa ículas al
que pe enece A, y I3Aespeci ica qué pa ícula es Aden o de su mul iple e, de e minando
su ca ga eléc ica. Nó ese que omi imos la ca ac e ización del momen o y el espín en el
ec o es ado, pa a simpli ica la no ación.
La masa de una pa ícula, o, es ic amen e hablando, su ene gía en eposo, es igual al
elemen o de ma iz del hamil oniano en el es ado que desc ibe a la pa ícula en eposo:
m(A)c2=A|H|A.
El hamil oniano iene con ibuciones de la in e acción ue e, elec omagné ica y débil
H=H +Hem +Hd
Como las pa ículas de un mul iple e ienen masas pa ecidas, se conside a que, del
hamil oniano o al que desc ibe las pa ículas (H=H +Hem +Hd) cumple [H ,
I]=0,
indicando que la in e acción ue e conmu a con odas las componen es del isospín. Es o
hace que
αIAI3A|H |αIAI3A=αIA||H ||αIA,
es deci , que la con ibución de la in e acción ue e a la masa de las pa ículas no depende
de I3A, y po an o es la misma pa a odas las pa ículas de un mul iple e.
Po o o lado, las di e encias de masas en e las pa ículas de un mul iple e son del
o den del MeV, lo cual indica que la in e acción elec omagné ica no conmu a con los ope-
ado es I±. Sin emba go, sí conmu a con I3, ya que conse a la ca ga eléc ica, el núme o
ba iónico y la ex añeza. La in e acción débil no conse a ninguna de las componen es del
isospín.
En gene al, si sólo exis ie a la in e acción ue e, los had ones de un mismo mul iple e
end ían exac amen e la misma masa, y co esponde ían a au oes ados degene ados del
hamil oniano. La in e acción elec omagné ica ompe es a degene ación, desdoblando las
masas del mul iple e en unción del alo de I3. La in e acción débil iene un e ec o mínimo
sob e las masas, siendo esponsable de los decaimien os.
45
P opiedades de las pa ículas elemen ales
3.5.1. Isospín de sis emas de pa ículas
El isospín o al de dos pa ículas A y B se ob iene de la o ma siguien e: la pa ícula A
iene unos alo es del isospín y su e ce a componen e dados po IA,I
3A. Po an o, el ke
que ca ac e iza el es ado in e no de la pa ícula Apuede esc ibi se como |A=|αIAI3A,
donde αdeno a los núme os cuán icos necesa ios pa a ca ac e iza el mul iple e de pa -
ículas al que pe enece A, y I3Aespeci ica qué pa ícula es Aden o de su mul iple e,
de e minando su ca ga eléc ica. Análogamen e, |B=|βIBI3B. El sis ema AB puede
desc ibi se como el p oduc o de una unción de onda que desc iba el mo imien o de A y
B, po una unción de onda que desc iba sus espines, po una unción de onda in e na,
Es a úl ima puede esc ibi se como
|A, B=|αIAI3A,βIBI3B=
IT,I3TIT,I
3T|IAI3A,I
BI3B|αIA,βIB;IT,I
3T(3.1)
Po an o, el sis ema AB iene desc i o po una combinación de alo es de ITque an de
|IA−IB|aIA+IB. Es a combinación iene de e minada po los coe icien es de Clebsch-
Go dan.
Si las pa ículas pe enecen al mismo mul iple e de isospín, en onces los alo es del
isospín o al quedan es ingidos po la exigencia de que la unción de onda debe se
simé ica en e al in e cambio de odas las a iables de las pa ículas, en el caso de
bosones, y an isimé ica en el caso de e miones.
Sea un sis ema de dos pa ículas A y B, pe enecien es a un mul iple e α, con espín S
e isospín I. Las pa ículas ienen un momen o angula o bi al ela i o L, y un espín o al
ST, y conside amos la componen e de su es ado en la que su isospín o al es IT. F en e al
in e cambio de las pa ículas, la unción de onda o bi al se modi ica en un ac o (−1)L.
La unción de onda de espín, po las p opiedades de los coe icien es de Clebsch-Go dan,
se modi ica en un ac o (−1)(ST−2S). La unción de onda de isospín, análogamen e, se
modi ica en un ac o (−1)(IT−2I). El p oduc o de odos es os ac o es debe se +1 pa a
bosones y −1pa a e miones. Teniendo en cuen a que Ses semien e o pa a e miones y
en e o pa a bosones, esul a que, en ambos casos, debe cumpli se que L+ST+IT−2I
sea pa .
3.5.2. Conse ación del isospín
Los p ocesos que ocu en po in e acción ue e conse an el isospín. Eso quie e deci
no sólo que conse an I3, sino que conse an el isospín o al I.
Pa a que una pa ícula C pueda decae el A y B conse ando el isopín o al, debe
ocu i que los isospines de A y B puedan acopla se al de C, o sea, que |IA−IB|≤IC≤
46
3.5.1. Isospín de sis emas de pa ículas
3.5.2. Conse ación del isospín
P opiedades de las pa ículas elemen ales
(IA+IB). Po o o lado, pa a que de la colisión de A y B puedan su gi las pa ículas C
y D conse ando el isospín o al debe habe al menos un alo de ITque pueda ob ene se
acoplando an o IAeIB, como ICeID.
Los p ocesos que ocu en po in e acción elec omagné ica conse an I3, pe o no con-
se an I. En los p ocesos en p ime o den en la in e acción elec omagné ica, ∆I=±1,0.
En los p ocesos débiles, no se conse a I3ni I. No obs an e, pa a los had ones de
ene gía baja, como los que se desc iben en las ablas 5, se encuen a que, en los p ocesos
en p ime o den en la in e acción débil, si ∆S=±1,∆I=±1/2,ysi∆S=0,∆I=±1,0.
3.5.3. Relación en e las p obabilidades de decaimien o
La conse ación del isospín pe mi e elaciona las p obabilidades de los p ocesos que
ocu en po in e acción ue e en e pa ículas que pe enecen a mul iple es de e minados.
Si una esonancia C, desc i a po |C=|γICI3Cdecae en dos had ones A y B po
in e acción ue e, la p obabilidad de decaimien o po unidad de iempo puede esc ibi se
como
P(C→A+B)=|C|H |AB|22π
ρAB(E)(3.2)
El elemen o de ma iz del hamil oniano puede exp esa se usando el desa ollo del es ado
|AB, de o ma que:
C|H |AB=
IT,I3TIT,I
3T|IAI3A,I
BI3BγICI3C|H |αIA,βIB;IT,I
3T(3.3)
La conse ación del isospín implica que IC=IT,I3C=I3T. Po o o lado, como [H ,I
±]=
0, los elemen os de ma iz deben se independien es de I3. Po an o, esul a
C|H |AB=IC,I
3C|IAI3A,I
BI3BγIC||H ||αIA,βIB;IC(3.4)
La doble ba a es una no ación que se in oduce pa a indica que no es necesa io especi ica
I3C, po que el elemen o de ma iz es independien e de él. Po o o lado, la densidad de
es ados depende de la ene gía ciné ica de A y B, que, a su ez, depende de las masas de A,
B y C, pues Ec=m(C)−m(A)−m(B). Como las masas de las pa ículas del mul iple e
son muy pa ecidas, puede esc ibi se ρAB(E)≃ραβ(E), donde ραβ(E)es una densidad de
es ados p omedio pa a odas las pa ículas del mul iple e. Po an o, la p obabilidad de
decaimien o puede esc ibi se como:
P(C→A+B)=|IC,I
3C|IAI3A,I
BI3B|2|γIC||H ||αIA,βIB;IC|22π
ραβ(E)(3.5)
5aquí sólo conside amos had ones compues os de los qua ks lige os u, d, s
47
3.5.3. Relación en e las p obabilidades de decaimien o

P opiedades de las pa ículas elemen ales
Es a exp esión indica que la p obabilidad de decaimien o de las esonancias Cde un
mul iple e γen dis in as pa ículas Ade un mul iple e αyBde β, es p opo cional al
coe icien e de Clebsch-Go dan al cuad ado.
3.5.4. Relación en e secciones e icaces
En un p oceso de colisión que ocu e po la in e acción ue e, po el cual A+B→
D+E, la sección e icaz iene dada po
σ(A+B→D+E)=2πΩ
 |AB|H|DE|2ρDE(E)(3.6)
ρDE(E)depende de la ene gía ciné ica inal de D y E, en su sis ema cen o de masas,
que iene dada po Ec=E−m(D)−m(E). Sus i uyendo ρDE(E)po un p omedio
pa a las pa ículas del mul iple e, la sección e icaz depende del cuad ado del elemen o de
ma iz del hamil oniano. Los es ados |ABy|DEpueden desa olla se en unción de
es ados con isopín o al IT,I
3T. Los elemen os de ma iz del hamil oniado son diagonales
en IT,I
3T, y po o o lado son independien es de I3T. Po an o, esul a
AB|H |DE=
IT,I3TIT,I
3T|IAI3A,I
BI3BIT,I
3T|IDI3D,I
EI3E
αIA,βIB;IT||H ||δID, IE;IT(3.7)
A pa i del conocimien o de unos pocos elemen os de ma iz educidos, co espon-
dien es a los alo es de ITa los que pueden acopla se an o IAeIBcomo IDeIE, pueden
ob ene se odas las secciones e icaces de las colisiones de pa ículas del mul iple e αcon
las del βpa a da pa ículas del δy el .
Cuando la ene gía o al en el sis ema cen o de masas es á ce cana a la masa de una
esonancia C, el p oceso ocu e de o ma secuencial según A+B→C→D+E. En es e
caso, la con ibución co espondien e a IT=ICes dominan e, y la sección e icaz aumen a
conside ablemen e.
48
3.5.4.Relaciónen eseccionese icaces
P opiedades de las pa ículas elemen ales
P oblemas
1. Conside a las siguien es eacciones, que ocu en con secciones e icaces compa ibles
con la in e acción ue e:
(a)π−+p→Λ+K0(b)π0+p→Λ+K+
(c)π−+p→Σ0+K0(d)π−+p→Σ−+K+
(e)π++p→Σ++K+( )π−+p→Ξ−+K0+K+
(g)π−+p→Ξ0+K0+K0(h)π++p→Ξ0+K++K+
(i)π−+p→n+K++K−(j)π−+p→n+K0+¯
K0
Pa iendo de que, po con enio, se oma que S(p)=S(n)=S(π)=0,yS(K+)=1,
deduci los alo es de la ex añeza de las o as pa ículas. Ob ene la ene gía ciné ica
mínima inicial en el sis ema cen o de masas pa a que pueda p oduci se la eacción
en cada caso.
2. Conside a las eacciones siguien es:
(a)¯p+p→π++π−+π0(b)p+K−→Σ++π−+π0
(c)p+K−→n+K++π−(d)¯νµ+p→µ++n
(e)¯νe+p→e++Λ ( )τ−→ντ+K−
(g)π0→γ+γ(h)e++e−→π++π−
Comp oba si se conse an los núme os cuán icos adi i os ele an es. Indica si es
posible la eacción, y qué in e acción ( ue e, elec omagné ica o debil) la p oduce.
3. Demos a que si el hamil oniano conmu a con el ope ado ex añeza, en onces los
elemen os de ma iz del hamil oniano en e es ados con ex añeza di e en e son
idén icamen e nulos. Aplica lo al caso de la ansición Λ→p+π−.
No a: E alua el elemen o de ma iz del conmu ado en e el Hamil oniano y el
ope ado S, en e es ados con di e en e ex añeza..
4. Demos a que si el hamil oniano conmu a con los ope ado es I+eI−, en onces las
masas de pa ículas que pe enezcan al mismo mul iple e de isospín son iguales.
No a: E alua el elemen o de ma iz del conmu ado [H,I+]en e es ados del mismo
mul iple e y con di e en es alo es de I3.
49
P oblemas
P opiedades de las pa ículas elemen ales
5. Ob ene los es ados de isospín de los pa es de pa ículas siguien es: π+p,π+n,π0p,
π0n,π−p,π−n. Comp oba que es os es ados son o ogonales, y que o man una
base de los es ados |(πN)II3.
6. Ob ene la exp esión de las secciones e icaces siguien es en é minos de los elemen os
de ma iz educidos ele an es. Deduci las exp esiones que elacionan las secciones
e icaces. Si la ene gía o al en el sis ema cen o de masas es ce cana a 1230 MeV
( esonancia ∆), ¿como se ían es as elaciones?
a)π++p→π++pb)π++n→π++n
c)π++n→π0+pd)π0+p→π++n
e)π0+p→π0+p )π0+n→π0+n
g)π0+n→π−+ph)π−+p→π0+n
i)π−+p→π−+pj)π−+n→π−+n
7. Ob ene la exp esión de las secciones e icaces siguien es en unción de los elemen os
de ma iz educidos, y la elación en e ellos.
a)π0+p→Λ+K+b)π++n→Λ+K+
c)π0+n→Λ+K0d)π−+p→Λ+K0
e)π−+n→Λ+K−
8. El p incipio de Pauli gene alizado puede enuncia se diciendo que un sis ema de
nucleones (p o ones y neu ones) iene desc i o po una unción de onda que sea
an isimé ica en e al in e cambio de las a iables o bi ales, de espín y de isospín
de dos nucleones cualesquie a. Pa iendo de ello, deduci que el deu e ón (Jπ=1
+)
iene I=0.
9. Ob ene la unción de onda de isospín de un sis ema π+π−con un momen o angula
ela i o L. Hace lo p opio pa a un sis ema π0π0con momen o angula L. ¿ Son
posibles odos los alo es de L?
10. Conside a un sis ema de es piones π+π−π0yπ0π0π0con momen o angula o al
in e no 0. Ob ene la unción de onda de isospín. No a: El momen o angula o al
50
P opiedades de las pa ículas elemen ales
in e no es la composición del momen o angula ela i o de dos piones (po ejemplo,
π+π−)L12, con el del e ce o con espec o al cen o de masas de los o os dos L3.
11. E alúa las p obabilidades po unidad de iempo de los p ocesos siguien es, a pa i
de la conse ación del isospín. Las esonancias ∆ ienen odas ellas una anchu a de
153 MeV.
∆++ →p+π+
∆+→p+π0
∆+→n+π+
∆0→p+π−
∆0→n+π0
∆−→n+π−
51
Sime ías disc e as
Figu a 4.1: Expe imen o de Wu que mues a la iolación de la pa i-
dad. Loe elec ones se emi en con meno p obabilidad en la di ección
del campo magné ico. Ello no se ía posible si se conse a a la pa idad.
h ps://commons.wikimedia.o g/w/index.php?cu id=30232669
in e sión espacial in ie e el momen o de los elec ones, pe o no el campo magné ico, po
lo que la emisión de elec ones en ambas di ecciones debe ene la misma p obabilidad.
Es a asime ía se explica debido a que los an i-neu inos ienen helicidad posi i a.
El elec ón y el an ineu ino neu ino se emi en con mayo p obabilidad en di ecciones
opues as, ya que es o deja menos momen o al p o ón inal y a o ece el elemen o de
ma iz de la in e acción débil. Los espines de elec ón y an ineu ino son p e e en emen e
pa alelos, y an di igidos p e e en emen e en la di ección del campo magné ico, pa a
compensa la di e encia de p oyección del mome o angula en e el núcleo inicial y el inal.
Como el an i-neu ino iene helicidad posi i a, se emi e en la di ección pa alela al campo
magné ico, po lo que el elec ón se emi e en la di ección opues a al campo magné ico.
Es o se ilus a con la igu a 4.2. El hecho de que los neu inos engan helicidad de inida, y
los an ineu inos la opues a, implica que no pueden ene pa idad in ínseca ni conjugación
de ca ga de inida. Pa a un neu ino con momen o p y helicidad h=−1
2, la acción de los
58

Sime ías disc e as
s
se
pe
p
pe
ses p
60 60 υ
BCo Ni + e +
P4+
5+
e
J=
OBSERVED NOT OBSERVED
Figu a 4.2: Ilus ación del e ec o de la in e sión espacial en el expe imen o de Wu, eniendo
en cuen a la o ien ación de los espines de los an i-neu inos emi idos
ope ado es PyC,
P|ν;p ;h=−1
2=ηP|ν;−p ;h=1
2(4.14)
C|ν;p ;h=−1
2=ηC|¯ν;p ;h=−1
2(4.15)
p oduci ía, espec i amen e, neu inos con helicidad posi i a o an ineu inos con helicidad
nega i a. Como los neu inos con helicidad posi i a y los an ineu inos con helicidad
posi i a no exis en, o al menos no se p oducen median e la in e acción débil, podemos
conclui que la in e acción débil no conse a la in a iancia en e a in e sión espacial ni
la in a iancia en e a conjugación de ca ga.
59
Sime ías disc e as
P oblemas
1. Es ablece cómo se ans o man bajo las ope aciones P, C y T las siguien es mag-
ni udes clásicas: Posición  , momen o p , momen o angula 
L, ca ga eléc ica q,
momen o dipola eléc ico 
D, momen o magné ico µ , densidad de ca ga ρ, densidad
de co ien e
j, campo eléc ico 
E, campo magné ico 
B, po encial ec o 
A, po encial
escala V.
2. Demos a que las ecuaciones de Maxwell son in a ian es en e a las ope aciones
C, P y T:

∇·
E=ρ

∇·
B=0

∇×
E+∂ 
B=0

∇×
B+∂ 
E/c2=
j
3. Demos a que el ope ado pa idad P conmu a con el ope ado que p oduce o acio-
nes en o no al eje x, Rx(φ) = exp(−iLxφ). Demos a que el ope ado conjugación
de ca ga C no conmu a con el ope ado que p oduce ans o maciones gauge aso-
ciadas a la ca ga eléc ica, U(φ) = exp(−iQφ).
4. Ob ene los alo es de P, C y PC de un sis ema de π+π−con momen o angula L.
Hace lo p opio pa a un sis ema π0π0.
5. Ob ene los alo es de P, C y PC pa a un sis ema de π+π−π0con momen o angula
J=0. Hace lo p opio pa a un sis ema π0π0π0. No a: el momen o angula J del
sis ema se ob iene del acoplamien o del momen o angula de dos piones L12 con el
momen o angula del e ce o con espec o al cen o de masas de los o os dos L3.
6. Ob ene los alo es de P, C y PC pa a un sis ema e−e+con momen o angula o bi al
L, espín S y momen o angula o al J. Deduci los alo es de L, S y J pe mi idos
pa a que el sis ema e−e+p o enga de la aniquilación de un o ón i ual 3
7. Conside a que una pa ícula |A, jm, en eposo, decae y p oduce o as pa ículas
a, b, .... Nos ijamos en una de ellas a, que sale con un momen o 
kay una helicidad
sa. A pa i de la egla de o o de Fe mi, demues a que la conse ación de la pa idad
po la in e acción que p oduce el decaimien o implica que:
3Un o ón i ual, a di e encia de un o ón eal, puede ene momen o ce o, y ene gía a bi a iamen e
g ande
60
P oblemas
Sime ías disc e as
(a) La p obabilidad de de ec a la pa ícula con momen o 
kay helicidad haes la
misma que la p obabilidad de de ec a la pa ícula con momen o −
kay helicidad
−ha
(b) La p obabilidad de de ec a la pa ícula con momen o 
kaes la misma que la
p obabilidad de de ec a la pa ícula con momen o −
ka, si no se obse a la
helicidad.
(c) El alo espe ado de ha, in eg ado pa a odos los momen os 
ka, es nulo.
8. El momen o dipola eléc ico de una pa ícula d(A), o un sis ema de pa ículas,
es igual al alo espe ado de la componen e z del ope ado dipola eléc ico Dz=
iqizipa a el es ado con m=j:d(A)=A, jj|Dz|A, jj. Demos a que an o si
P se conse a, como si T se conse a, en onces d(A)debe anula se. No obs an e, si
P y T se iolan, pe o PT se conse a, en onces puede ocu i que d(A)sea no nulo.
9. Cuando un pión nega i o in e acciona con un deu e ón, que iene J=1 y pa idad
posi i a, se o ma un “á omo piónico”, y el pión decae has a el es ado más bajo,
con L=0. En onces, eacciona po in e acción ue e con el deu e ón, y se p oducen
dos neu ones. Demos a que, pa a que es o ocu a conse ándose la pa idad, el
pión debe ene pa idad in ínseca nega i a. No a: conside a la conse ación del
momen o angula , y el ca ác e e miónico de los neu ones.
10. Ob ene los alo es de P, C, PC y el isospín pa a un sis ema p¯pcon momen o
angula o bi al L, espín S y momen o angula o al J. Deduci los alo es de L,Sy
Jpe mi idos pa a que el sis ema p¯pp o enga de la aniquilación de un pion neu o
i ual 4
11. Conside a un sis ema p o ón-an ip o ón con momen o angula o bi al L=1, espin
o al S=1y momen o angula o al J=0. Conside a ambién un sis ema π+π−
con momen o angula o al J=0, y un sis ema π0π0con momen o angula o al
J=0.
a) Ob ene los alo es de P, C y el isospín del sis ema p¯p.
b) Ob ene los alo es de P, C y el isospín del sis ema π+π−y del sis ema π0π0.
c) De e mina si el sis ema p¯ppuede descompone se po in e acción ue e o elec-
omagné ica en π+π−oenπ0π0.
4Un pion i ual, a di e encia de un pion eal, puede ene momen o ce o, y ene gía a bi a iamen e
g ande
61
Sime ías disc e as
12. Conside a un sis ema elec ón-posi ón (posi onio) con momen o angula o bi al
ela i o L, espín o al Sy momen o angula o al J.
(a) Ob én los alo es posibles de LyScompa ibles con que el momen o angula
o al del sis ema sea J=1.
(b) Ob én los alo es de la pa idad P, y la conjugación de ca ga C del sis ema pa a
los casos an e io es.
(c) De e mina, pa a los casos an e io es, si el sis ema decae á p oduciendo dos o
es o ones. ¿Po qué no puede p oduci se el decaimien o emi iéndose un único
o ón?
62
Capí ulo 5
Un pa adigma de ansición (∼1960)
5.1. Pa ículas: Had ones y lep ones
Tal como se ha is o en la sección an e io , las pa ículas que apa ecen en la na u aleza
pueden di idi se en lep ones, que no sien en la in e acción ue e, y had ones, que sí la
sien en. Los lep ones son seis (elec ón, muon, au y sus co espondien es neu inos), y
sus p opiedades son consis en es con que es as pa ículas sean ealmen e elemen ales. Los
had ones pueden se ba iones o mesones. Exis e un núme o muy al o ( a ios cen ena es)
de had ones, y además las p opiedades de los had ones indican que ienen una es uc u a
in e na.
5.2. Ma co eó ico: Teo ía cuán ica de campos
Los campos
Pa a cada ipo de pa ícula, exis e un campo asociado. Es os campos φ(x),ψ(x),W
µ(x)
son unciones de las coo denadas y el iempo xµ=(x0,x
1,x
2,x
3)=(c ,  ).xµes un
cuad i ec o con a a ian e. In imamen e elacionado es á el cuad i ec o co a ian e xµ=
(x0,x
1,x
2,x
3)=(c , − ). El paso de magni udes co a ian es a magni udes con a a ian es
se ealiza con el enso mé ico de las ans o maciones de Lo en z, que es
gµν =



1000
0−10 0
00−10
00 0−1




.(5.1)
63
5.Unpa adigmade ansición(~1960)
5.1. Pa ículas: Had ones y lep ones
5.2.Ma co eó ico:Teo íacuán icadecampos

Un pa adigma de ansición
Así, en gene al, pa a cualquie cuad i ec o co a ian e Aµ, se cumple que Aµ=gµνAν
es el ec o con a a ian e co espondien e, donde el índice epe ido implica una suma
de las componen es. Los campos φ(x),ψ(x),W
µ(x), co esponden a ope ado es que ani-
quilan pa ículas o c ean an ipa ículas, espec i amen e, de espín 0, 1/2, 1. El ca ác e
de los campos, desc i o en la abla siguien e, nos indica si es os campos son in a ian es
en e a ans o maciones de Lo en z (escala es), si se compo an como el cuad i ec o xµ
(cuad i ec o es), o si se compo an como una pa ícula de espín 1/2 (espino es).
Campo Acción Ca ác e
C ea an ipa ículas J=0 Escala
φ(x)Aniquila pa ículas J=0
C ea pa ículas J=0 Escala
φ∗(x)Aniquila an ipa ículas J=0
C ea an ipa ículas J=1/2 Espino 4×1
ψ(x)Aniquila pa ículas J=1/2
C ea pa ículas J=1/2 Espino 1×4
¯
ψ(x)Aniquila an ipa ículas J=1/2
C ea an ipa ículas J=1 Cuad i ec o
Wν(x)Aniquila pa ículas J=1
C ea pa ículas J=1 Cuad i ec o
W∗
ν(x)Aniquila an ipa ículas J=1
Nó ese que cuando se a a de pa ículas o almen e neu as, en las cuales no sólo
la ca ga eléc ica, sino ambién odos los núme os cuán icos adi i os son ce o, dichas
pa ículas coinciden con sus an ipa ículas. Pa a las pa ículas o almen e de espín ce o,
como el caso del pion neu o, el campo φπ0(x)=φ∗
π0(x)es eal. Igualmen e, pa a pa ículas
o almen e neu as de espín uno, como es el caso del o ón, Wν(x)=W∗
ν(x)es eal. No
conside a emos pa ículas o almen e neu as de espín 1/2, ya que es as lle an asociadas
núme os cuán icos no nulos como el núme o ba iónico o los núme os lep ónicos 1.
La densidad lag angiana
En una eo ía cuán ica de campos, la e olución en el espacio y en el iempo de los
campos que desc iben las pa ículas se desc iben a pa i de la densidad lag angiana L.
La densidad lag angiana es unción de los campos, φ(x),ψ(x),W
ν(x), y de sus de i adas
con espec o a las coo denadas y el iempo ∂µφ(x),∂
µψ(x),∂
µWν(x). En es a no ación,
1Es eó icamen e posible la exis encia de pa ículas de espín 1/2 que coinciden con sus an ipa ículas,
Son los e miones de Majo ana, que no conside amos aquí
64
Un pa adigma de ansición
∂µ=∂
∂xµes un ope ado que iene ca ác e de cuad i ec o co a ian e. Análogamen e,
∂µ=∂
∂xµes un ope ado que iene ca ác e de cuad i ec o con a a ian e.
En eo ía cuán ica de campos, la densidad lag angiana debe se in a ian e en e a
ans o maciones de Lo en z. Ello es necesa io pa a que la eo ía sea plenamen e consis-
en e con la ela i idad. Es o condiciona la o ma que debe ene la densidad lag angiana,
en unción de los campos. Es os campos deben combina se de o ma que den luga a un
escala , o sea, un in a ian e de Lo en z. En gene al, si AµyBµson cuad i ec o es, con a-
a ian es y co a ian es espec i amen e, la combinación AµBµes in a ian e de Lo en z.
La e olución de los campos en el espacio y en el iempo iene de e minada po la
densidad lag angiana, a a és de las ecuaciones de Eule -Lag ange. Así, pa a cada campo
φ, se cumple
∂µ∂L(φ, ∂µφ)
∂(∂µφ)=∂L(φ, ∂µφ)
∂φ (5.2)
La o ma de la densidad lag angiana sin in e acción, es la siguien e:
Bosones de espín 0 (piones, kaones).
El campo asociado a una pa ícula de espín ce o φ(x)es una unción escala (in a ian e
de Lo en z) de x. La densidad lag angiana pa a es as pa ículas iene dada po :
L=(c)∂µφ(x)∗∂µφ(x)−m2c4
cφ(x)∗φ(x)(5.3)
Es des acable que la masa apa ece en la densidad lag angiana como el coe icien e del
é mino que mul iplica al campo al cuad ado, a di e encia del é mino que depende de las
de i adas de los campos.
El análisis dimensional lle a a que la densidad lag angiana iene dimensiones de ene gía
pa ido po olumen, [L]=EL−3. Como c= 197.3MeV m, iene dimensiones de
ene gía po dis ancia, esul a que el campo escala φ(x) iene dimensiones [φ]=L−1, lo
cual es consis en e con la exp esión de la dependencia adial del po encial de Yukawa
exp(−β )/ . Si se usan unidades na u ales, omando =c=1, en onces la dis ancia
adquie e dimensiones de in e sa de la ene gía, y 1 m−1se hace equi alen e a 197.3 MeV.
Con es as unidades,
L=∂µφ(x)∗∂µφ(x)−m2φ(x)∗φ(x)(5.4)
y las dimensiones esul an [L]=E4y[φ]=E.
En conc e o, φ(x)aniquila mesones de espín ce o, o c ea sus an i-pa ículas, y φ(x)∗
hace lo con a io. Nó ese que la densidad lag angiana es un in a ian e de Lo en z.
65
Un pa adigma de ansición
Fe miones de espín 1/2 (lep ones, ba iones).
El campo asociado a una pa ícula de espín 1/2 ψ(x)es un espino de cua o compo-
nen es. La densidad lag angiana pa a es as pa ículas iene dada po :
L=¯
ψ(x)(icγµ∂µ−mc2)ψ(x),(5.5)
Aquí de nue o se e que la masa es el coe icien e que mul iplica al cuad ado de los
campos. El análisis dimensional lle a a que la densidad lag angiana iene dimensiones de
ene gía pa ido po olumen, [L]=EL−3. El campo espino ial ψ(x) iene dimensiones
[ψ]=L−3/2, lo que pe mi e la conexión de es e campo, en el lími e no ela i is a, con
la unción de onda no malizable de una pa ícula, cuyo cuad ado puede in eg a se en un
olumen pa a da la unidad. Si se usan unidades na u ales, =c=1 esul a
L=¯
ψ(x)(iγµ∂µ−m)ψ(x).(5.6)
y las dimensiones esul an [L]=E4y[ψ]=E3/2.
ψ(x)aniquila e miones de espín 1/2, o c ea sus an i-pa ículas, y ¯
ψ(x)hace lo con a-
io. Las ma ices γµ, con µ=0,1,2,3son ma ices 4×4que ac úan sob e las componen es
de los espino es, y ienen la p opiedad de que ¯
ψ(x)γµψ(x)se compo a como un cuad i ec-
o con a a ian e en e a ans o maciones de Lo en z. Como el ope ado ∂µse compo a
como un cuad i ec o co a ian e, ¯
ψ(x)γµ∂µψ(x)es un in a ian e Lo en z, lo mismo que
L.
Bosones de espín 1 ( o ones, bosones W, cie os mesones).
El campo asociado a una pa ícula de espín 1, jun o con su an ipa ícula, es un cua-
d i ec o complejo de cua o componen es, Wµ(x). La densidad lag angiana pa a es as
pa ículas iene dada po :
L=−c
2(∂µWν(x)∗−∂νWµ(x)∗)(∂µWν(x)−∂νWµ(x)) −m2c4
cWµ(x)∗Wµ(x),(5.7)
El análisis dimensional lle a a que la densidad lag angiana iene dimensiones de ene gía
pa ido po olumen, [L]=EL−3. El campo cuad i ec o ial Wµ(x) iene dimensiones
[Wµ]=L−1, lo cual es consis en e con que, en las eo ías Gauge, pueda modi ica se el
ope ado de i ada ∂µpa a añadi le un é mino Wµ(x). Si se usan unidades na u ales,
esul a
L=−1
2(∂µWν(x)∗−∂νWµ(x)∗)(∂µWν(x)−∂νWµ(x)) −m2Wµ(x)∗Wµ(x),(5.8)
66
Un pa adigma de ansición
y las dimensiones esul an [Wµ]=E,
La densidad lag angiana del campo elec omagné ico se ob iene poniendo m=0, ya
que la masa del o ón es ce o, y subs i uyendo W∗
µ(x)=Wµ(x)=Aµ(x)/√2. El ope ado
Aµ(x), po an o, c ea y aniquila o ones, y co esponde clásicamen e al cuad ipo encial
del campo elec omagné ico Aµ(x) = (Φ(x)/c, −
A(x)). El ope ado con a a ian e co es-
pondien e es Aµ(x) = (Φ(x)/c, 
A(x)).
La densidad lag angiana del campo elec omagné ico
L=−1/4(∂µAν(x)−∂νAµ(x))(∂µAν(x)−∂νAµ(x)) (5.9)
que, eniendo en cuen a las de iniciones del campo eléc ico 
E=−
∇Φ−d/d 
Ay
B=

∇×
Ada luga a
L=1
2
E2
c2−
B2(5.10)
que co esponde a la exp esión clásica de la densidad lag angiana del campo elec omag-
né ico en el sis ema in e nacional, si se in oduce la pe meabilidad magné ica con el ac o
1
µ0. Es e ac o no al e a las ecuaciones de mo imien o. Teniendo en cuen a que la pe -
mi i idad eléc ica y la pe meabilidad magné ica es án elacionadas po 0µ0=1/c2, se
ob iene pa a la densidad lag angiana
L=0
2
E2−1
2µ0

B2,(5.11)
que pe mi e ob ene las ecuaciones de Maxwell usando las ecuaciones de Eule -Lag ange.
A pa i de la densidad lag angiana, se ob iene la densidad hamil oniana que es la densidad
de ene gía del campo ele omagné ico, como
H=0
2
E2+1
2µ0

B2.(5.12)
Las in e acciones: Diag amas de Feynman
Las in e acciones en eo ía cuán ica de campos ienen desc i as po é minos en la
densidad lag angiana en los que apa ecen p oduc os de campos asociados a di e en es
pa ículas, mul iplicados po unas cons an es, denominadas cons an es de acoplo. Es os
é minos deben se necesa iamen e in a ian es en e a ans o maciones de Lo en z.
Pa a calcula las ampli udes de p obabilidad de dis in os p ocesos en eo ía cuán ica de
campos, se cons uyen los diag amas de Feynman co espondien es. En es os diag amas,
67
Un pa adigma de ansición
y luego la pa ícula W−se con ie e en elec ón y an ineu ino, po el é mino
Ld=gw
√2(Wµ(x))∗j−el
µ(x)(5.25)
La cons an e GF, en unidades na u ales =c=1 ale 1.1663787(6) ·10−5GeV −2,y
es única pa a odos los p ocesos débiles. La elación de GFcon gw iene dada po
GF
√2=g2
w
8m2
W
.(5.26)
El bosón ec o ial W±ha sido de ec ado, y su masa es de 80.377(12) GeV. Po an o gw=
0.6531 >e. Pod ía deci se que la in e acción débil es más “ ue e” que la elec omagné ica,
pe o se e educida po el hecho de que su bosón in e media io (el W±) es mucho más
masi o que el o ón. No obs an e, en p ocesos que ocu en a ene gías al as, la in e acción
débil compi e con la elec omagné ica, y los neu inos in e accionan con la ma e ia an o
o más que los elec ones.
74

Un pa adigma de ansición
P oblemas
1. Conside a las siguien es eacciones, que ocu en con secciones e icaces compa ibles
con la in e acción ue e:
(a)π−+p→Λ+K0(b)π0+p→Λ+K+
(c)π−+p→Σ0+K0(d)π−+p→Σ−+K+
(e)π++p→Σ++K+( )π−+p→Ξ−+K0+K+
(g)π−+p→Ξ0+K0+K0(h)π++p→Ξ0+K++K+
(i)π−+p→n+K++K−(j)π−+p→n+K0+¯
K0
Ob ene los diag amas de Feynman más simples pa a los p ocesos an e io es debidos
a la in e acción ue e. E alua los alo es de las cons an es de acoplo de los é ices
a endiendo a la conse ación del isospín.
2. Conside a las eacciones siguien es:
(a)¯p+p→π++π−(b)p+K−→Σ++π−
(c)p+K−→n+¯
K0(d)¯νµ+p→µ++n
(e)¯νe+p→e++Λ ( )τ−→ντ+e−+¯νe
(g)e++e−→µ++µ−
(a) Indica qué p ocesos ocu en po in e acción ue e, elec omagné ica y débil.
(b) Ob ene en cada caso el diag ama de Feynman más simple que con ibuye a la
eacción, iden i icando la pa ícula i ual.
3. Conside a las eacciones siguien es:
¯p+p→π++π−
p+K−→Σ++π−
p+K−→n+¯
K0
¯νµ+p→µ++n
¯νe+p→e++Λ
e++e−→µ++µ−
(a) Ob ene cuál es la ene gía ciné ica mínima de las pa ículas iniciales en el sis ema
cen o de masas pa a que ocu a la eacción.
75
P oblemas
Un pa adigma de ansición
(b) Pa a es e caso, ob ene las ene gías y momen os de las pa ículas inales.
(c) Conside ando la conse ación de ene gía y momen o en cada é ice, ob ene la
ene gía y el momen o de la pa ícula i ual. Ob ene el alo del p opagado
de la pa ícula i ual ∆2=(E2−m2c4−c2p2)−1
4. En unidades na u ales, odas las magni udes pueden exp esa se dimensionalmen e
como una po encia de la ene gía, mul iplicando o di idiendo po la po encia adecua-
da de y de c. Demos a que [ ]=E−1,[ ]=E−1,[m]=E,[p]=E. Demos a
que la densidad lag angiana (lag angiano po unidad de olumen) iene dimensio-
nes de [L]=E4. Deduci que las dimensiones de los campos son [φ]=[A]=E
pa a los campos escala es y ec o iales y [ψ]=E3/2pa a los espino es. Comp oba
que las exp esiones de las densidades lag angianas que se dan en es e capí ulo son
dimensionalmen e co ec as.
5. Exp esa en unidades na u ales, omando como unidad de ene gía el GeV, las si-
guien es can idades: a) 1 m; b) 10−22 s ; c) La cons an e de Fe mi GF= 89.62 ·
10−6MeV · m3; d) e=1.609 ·10−19 C.
6. Rep esen a el diag ama de Feynman del p oceso µ−→e−+¯νe+νµ, indicando los
é minos de la densidad lag angiana que ac úan en los é ices. ¿ Cuál es la pa ícula
i ual?
7. Pa a el p oceso π−+p→K0+Λ, ob enga el diag ama de Feynman más sencillo
que desc ibe la eacción. ¿Cuál es la pa ícula i ual? Exp esa los é minos del la-
g angiano de in e acción que apa ecen en cada é ice, conside ando la conse ación
del isospín.
76
Capí ulo 6
Modelo de Qua ks
6.1. Los qua ks u, d, s y el modelo SU(3)Fpa a los ha-
d ones
Los expe imen os de la cáma a de niebla y de acele ado es mos a on que apa ecían
en la na u aleza una g an a iedad de had ones. Inmedia amen e, se buscó alguna o ma
de o dena sus p opiedades, de mane a análoga a la abla pe iódica de Mendeleye . Se
obse ó que los alo es del isospín y la hipe ca ga de los had ones no apa ecían de mane a
a bi a ia, sino de mane a co elacionada, de o ma que los had ones (mesones y ba io-
nes) apa ecían en g upos, con el mismo espín y pa idad y masas simila es, denominados
single es (una pa ícula), oc e es (ocho pa ículas) y decuple es (diez pa ículas). En las
igu as 6.1 y 6.2 se mues an los mesones y ba iones de masa más pequeña que apa e-
cen en la na u aleza. La eo ía de g upos, en conc e o el g upo SU(3), podía desc ibi la
apa ición de es os single es, decuple es y oc e es, si se suponía que las pa ículas es aban
cons i uídas po en es más undamen ales denominados los qua ks.
La hipó esis undamen al del modelo de qua ks es que exis e una pa ícula, llamada
qua k, con es es ados in e nos o “sabo es”, llamados u,dys, que gene an la ep e-
sen ación undamen al del g upo SU(3)F. Es os es es ados, po an o, son au oes ados
de I3eY, co espondien e a los au o alo es mos ados en la abla. Po la elación de
Q=I3+Y/2, se iene que los es ados u,dys ienen ca ga acciona ia.
qua ks I3I Y Q BS
u 1/2 1/2 1/3 2/3 1/3 0
d -1/2 1/2 1/3 -1/3 1/3 0
s 0 0 -2/3 -1/3 1/3 -1
77
6.ModelodeQua ks
6.1.Losqua ksu;d;syelmodeloSU(3)Fpa aloshad ones
Modelo de Qua ks
Figu a 6.1: Oc e e de mesones, que co esponden a los mesones de masas más pequeñas
que apa ecen en la na u aleza con Jπ=0
−.
Figu a 6.2: Oc e e y Decuple e de ba iones. Co esponden a los ba iones con masa más
bajas que apa ecen en la na u aleza con Jπ=1/2+yJπ=3/2+, espec i amen e.
78
Modelo de Qua ks
La an ipa ícula del qua k, el an iqua k, iene es es ados o “sabo es”, ¯u, ¯
d, ¯s, cuyos
núme os cuán icos adi i os son los opues os a los de los es ados u, d, s. En lo que sigue,
se habla á de qua ks u, d y s, aunque el concep o co ec o es que se a a de es ados o
“sabo es” u, d, s del qua k.
En el modelo de qua ks, los mesones son sis emas qua k-an iqua k. Po an o, su
núme o ba iónico es 0. Los ba iones es án o mados po es qua ks. Su núme o ba iónico
es 1. Los an i-ba iones es án o mados po es an iqua ks. Su núme o ba iónico es -1. La
ex añeza de los had ones se ob iene a pa i del núme o de an iqua ks ¯s(S=1) y del de
qua ks s(S=-1).
La e ce a componen e del isospín de los had ones se ob iene a pa i del núme o de
qua ks u(I3=1/2), y del de qua ks d(I3=−1/2), así como de los an iqua ks espec i os.
El isospín de los had ones se ob iene del acoplamien o de los isospines de los qua ks u
ydo de los an iqua ks ¯u, ¯
dque los componen.
Mesones qua ks S I3I
π+u¯
d0 +1 1
π0u¯u,d¯
d00 1
π−d¯u0 -1 1
η u¯u,d¯
d,s¯s00 0
K+u¯s+1 +1/2 1/2
K0d¯s+1 -1/2 1/2
¯
K0s¯
d-1 +1/2 1/2
K−s¯u-1 -1/2 1/2
Ba iones qua ks S I3I
p uud 0 +1/2 1/2
n udd 0 -1/2 1/2
Σ+uus -1 +1 1
Σ0uds -1 0 1
Σ−dds -1 -1 1
Λuds -1 0 0
Ξ0uss -2 +1/2 1/2
Ξ−dss -2 -1/2 1/2
∆++ uuu 0 +3/2 3/2
∆+uud 0 +1/2 3/2
∆0udd 0 -1/2 3/2
∆−ddd 0 -3/2 3/2
Ωsss -3 0 0
79

Modelo de Qua ks
6.1.1. P opiedades de los had ones en el modelo de qua ks
Los qua ks son e miones. Los qua ks, si ealmen e co esponden a pa ículas ísicas,
deben se e miones, ya que es de ellos o man un e mión, y una pa eja qua k-an iqua k
o ma un bosón. Po an o, pa a los es qua ks que o man un ba ión, su unción de onda
debe se o almen e an isimé ica en e al in e cambio de cualquie pa eja de qua ks.
In e cambia los qua ks es equi alen e a in e cambia odas sus a iables. És as son, en
p incipio, las a iables o bi ales, las de espín y las de sabo .
La unción de onda de un had ón (ba ión o mesón) puede ca ac e iza se a pa i del
p oduc o de una unción de onda o bi al, po una unción de onda de espín, po una
unción de onda de sabo .
El sabo : Isospín y ex añeza. La unción de onda de sabo ca ac e iza el ipo de
qua ks (u, d, s) que cons i uyen el had ón. La unción de onda de sabo iene ca ac e izada
po el isospín y la ex añeza del had ón. El isospín del had ón se ob iene acoplando los
isospines de los qua ks, eniendo en cuen a que el isospín de u, d, ¯u, ¯
des I=1/2y el
isospín de s, ¯ses I=0. Pa a los ba iones o mados po el mismo ipo de qua ks, como el
Ω−, la unción de onda de sabo es o almen e simé ica.
Función de onda o bi al de los had ones. La unción de onda o bi al ca ac e iza el
mo imien o de los qua ks den o del had ón. Es a unción iene desc i a po un momen o
angula o bi al L, que co esponde, en el caso de los ba iones, al momen o angula o bi al
de los 3 qua ks, y en el caso de los mesones, al momen o angula ela i o qua k-an iqua k.
Pa a los had ones de ene gía más baja (que son odos los que hemos is o en las ablas)
se cumple que L=01. No obs an e, exis en esonancias que ienen alo es de L=0.
La pa idad del mo imien o ela i o, pa a el caso de los mesones, co esponde a (−1)L.
Pa a el caso de los ba iones de ene gía más baja, con L=0, la pa idad del mo imien o
ela i o es +1, y la unción de onda o bi al es o almen e simé ica en e al in e cambio
de cualquie pa eja de qua ks.
Espín de los had ones. La unción de onda de espín ca ac e iza el es ado de espín
de los qua ks que cons i uyen el had ón. Es a unción iene desc i a po el espín o al
al que se acoplan los espines de los qua ks. Se conside a que el espín de cada qua k es
1Es o se debe a que un es ado con L=0es ñá ca ac e izado po una unción de onda o bi al que
a ía en unción de la di ección, mien as que un es ado con L=0es isó opo. A p io i, cabe pensa que
los es ados con L=0, al ene mayo a iabilidad espacial, ienen mayo ene gía ciné ica que aquellos
con L=0.
80
6.1.1.P opiedadesdeloshad onesenelmodelodequa ks
Modelo de Qua ks
s=1/2, po analogía con los lep ones. En un mesón, el espín del qua k y el del an iqua k
pueden acopla se a S=0oaS=1. En un ba ión, los es espines de los qua ks pueden
acopla se a S=1/2oaS=3/2. Pa a el caso de S=3/2, la unción de onda de espín es
o almen e simé ica.
Momen o angula o al, pa idad P y pa idad C. Los mesones pseudoescala es
se ca ac e izan po ene momen o angula J=0y pa idad nega i a. Son los piones, los
kaones y los mesones neu os ηyη. La unción de onda o bi al y de espín de odos los
mesones pseudoescala es es la misma, y iene dada en la abla.
Los mesones ec o iales ienen J=1y pa idad nega i a. Son los mesones ρ, las
esonancias de los kaones K∗, y los mesones neu os ω,φ.
Nó ese que la pa idad de los mesones iene dada po el p oduc o de la pa idad o bi al
(−1)Lpo la pa idad in ínseca, que es −1pa a un sis ema e mión-an i e mión. Además,
los mesones o almen e neu os son sis emas qua k-an iqua k, que ienen una pa idad-C
bien de inida, que iene dada po (−1)L+S, que ale +1 pa a los mesones pseudoescala es
neu os y −1pa a los mesones ec o iales neu os.
Los ba iones pueden que apa ecen a ene gía más bajas (p, n, Σ,Λ,Ξ) o man una es-
uc u a denominada oc e e. Sus unciones de onda o bi ales y de espín son idén icas, y
ienen dadas en la abla. Lo mismo ocu e pa a las pa ículas del decuple e (∆,Σ∗,Ξ∗,Ω).
Had ones L S (Espín) J P C (Sólo Neu os)
Mesones Pseudoescala es 0 0 0 -1 +1
Mesones Vec o iales 0 1 1 -1 -1
Ba iones del Oc e e 0 1/2 1/2 +1
Ba iones del Decuple e 0 3/2 3/2 +1
6.1.2. Colo de los qua ks
Si conside amos las a iables o bi ales, de espín y de sabo , la unción de onda del
decuple e es o almen e simé ica. Po an o, apa en emen e, no se cumpli ía el p incipio
de Pauli.
Pa a esol e es a pa adoja, se in oduce un nue o g ado de libe ad, el colo . Exis en
es es ados de colo pa a los qua ks, llamados a bi a iamen e, en español, ojo, e de y
azul, , , a. Se exige que en los ba iones, la unción de onda de colo debe se o almen e
an isimé ica en e al in e cambio de los colo es de los qua ks. La unción de onda de
colo de un ba ión cualquie a iene dada po
|Ψc(B)=A123| a=1/6(| a−| a +| a −| a+|a −|a )(6.1)
81
6.1.2.Colo delosqua ks
Modelo de Qua ks
Así, pa a ca ac e iza la unción de onda de los qua ks en los ba iones, hay que es-
peci ica la unción de onda o bi al, de espín, de sabo y de colo . Po an o, pa a las
pe mu aciones de odas las a iables, la unción de onda de los qua ks en el decuple e es
o almen e an isimé ica, y es, po an o, consis en e con el p incipio de Pauli.
Pa a el oc e e, ocu e que las unciones de onda de espín y de sabo se combinan pa a
da una unción o almen e simé ica en e al in e cambio simul aneo de a iables de espín
y de sabo . Como la unción de onda o bi al es simé ica y la de colo es an isimé ica, la
unción de onda o al es an isimé ica.
Los an iqua ks ienen es es ados de colo , que pueden denomina se, a bi a iamen e,
an i ojo, an i e de, an iazul, ca ac e izados po es ados ¯ , ¯ ,¯a, que son las combinaciones
an isimé icas de los colo es o iginales. Así, ¯ =1/2( a −a ),¯ =1/2(a − a),¯a=
1/2( − ),. En el caso de los mesones, la unción de onda de colo iene dada po
|Ψc(M)=1/3(| ¯ +| ¯ +|a¯a)(6.2)
6.1.3. Masas de los qua ks
Los qua ks no se han encon ado nunca aislados, y hay azones eó icas p o undas
pa a que es o sea así. Es lo que se denomina el con inamien o2. Po ello, no puede medi se
di ec amen e la masa de los qua ks.
Puede hace se una p ime a es imación de la masa de los qua ks conside ando que la
masa de un had ón se ob iene como la suma de las masas de los qua ks que los cons i uyen.
Las masas así ob enidas inclui ían el e ec o de la in e acción y de la ene gía ciné ica de
los qua ks den o del had ón. Se denominan masas cons i uyen es, y dependen no sólo
del qua k, sino del had ón en que el qua k se encuen e inme so. Según es a es imación,
la masa de los qua ks uyd, pa a los ba iones se ía m(u, d)≃0.3GeV , y pa a el qua k
sse ía m(s)≃0.5GeV. No obs an e, pa a los mesones pseudoescala es la masa de los
qua ks uydse ía m(u, d)≃0.07 GeV y pa a el qua k sm(s)≃0.4GeV.
Las masas co ien es pueden ob ene se sus ayendo el e ec o de la ene gía ciné ica
y de la in e acción en e qua ks en las masas de los had ones. Es e p ocedimien o da un
alo pa a la masa que es dependien e del modelo, y es an o más imp eciso cuan o meno
sea la masa del qua k. Así, se ob iene:
2Como hemos is o, los qua ks ienen una p opiedad que llamamos colo . Es ealmen e el colo lo
que es á con inado, y po ello, los qua ks, y o as pa ículas con colo , como son los gluones, apa ecen
con inados en la na u aleza.
82
6.1.3.Masasdelosqua ks
Modelo de Qua ks
Qua ks (2010) Ca ga Masa(GeV)
u 2/3 0.0015-0.0033
d -1/3 0.0035-0.006
s -1/3 0.090-0.130
c 2/3 1.16-1.34
b -1/3 4.13-4.37
2/3 171.3±1.1±1.2
6.1.4. Momen o magné ico
Como imos en el caso de los lep ones, el momen o magné ico es un c i e io adecuado
pa a conside a si una pa ícula es elemen al. Si los qua ks son ealmen e elemen ales y
ienen s=1/2, su momen o magné ico iene de e minado po la ecuación de Di ac
µ(q)=q,+|µz|q,+=Z(q)e/2m(q)c.
Usa emos la no ación |q,+pa a ca ac e iza que enemos un qua k de ipo qcon un
es ado de espín dado po s=1/2,m=1/2. Podemos es ima que la masa de los qua ks
uyd, den o de un ba ión ienen dadas po mu=md≃mp/3. La masa del qua k s
es supe io , y puede es ima se como ms≃5/9mp. En unidades del magne ón nuclea
µN=e/2mpc, enemos que µ(u)=2µN,µ(d)=−µNyµ(s)=−3/5µN. A pa i de
es os alo es, pueden calcula se los momen os magné icos de algunos had ones.
Qua ks Ca ga Masa Cons i uyen e Mom. Magne ico µ
u 2/3 1/3 mp2µN
d -1/3 1/3 mp-1 µN
s -1/3 5/9 mp-3/5 µN
Pa a calcula el momen o magné ico de un sis ema de pa ículas (qua ks en nues o
caso), hay que conside a la con ibución del momen o angula o bi al y del momen o
angula in ínseco de cada pa ícula. Pa a los ba iones del oc e e con J=1/2+, y pa a
los del decuple e con J=3/2+, y pa a los mesones pseudoescala es y ec o iales, el
momen o angula o bi al es ce o, po lo que S=Jy sólo hay que conside a el momen o
angula in ínseco de los qua ks. Po an o, el momen o magné ico del sis ema A(ba ión
o mesón), iene dado po :
µ(A)=A;J, M =J|µz|A;J, M =J=A;S, M =S|
i
µz(i)|A;S, M =S,(6.3)
83
6.1.4.Momen omagné ico
Modelo de Qua ks
Figu a 6.6: Desc ipción de la in e acción ue e en é minos de qua ks.
In e acción de colo .
Los qua ks in e accionan en e ellos como esul ado de su ca ga de colo . De la misma
o ma que la in e acción elec omagné ica es á asociada a la ca ga eléc ica, la in e acción
en e qua ks es á asociada a su colo .
En la in e acción elec omagné ica, ca gas del mismo signo se epelen mien as que
las ca gas de dis in o signo se a aen. En la in e acción de colo , las combinaciones de
qua ks simé icas en e al in e cambio de colo es se epelen, mien as que las combina-
ciones an isimé icas se a aen. Ello hace que los had ones sean siemp e combinaciones
an isimé icas de colo es.
Sis ema Es ado de colo In e accion
q−q(| −| )/√2A ac i a
q−q(| +| )/√2Repulsi a
q−¯q(| ¯ +| ¯ +|a¯a)/√3A ac i a
q−¯q| ¯ Repulsi a
q−q−q A123| aA ac i a
q−q−q(| a+| a )/√2Repulsi a
90

Modelo de Qua ks
Figu a 6.7: Desc ipción de un neu ón en é minos de qua ks y gluones. Se ep esen an
los colo es posibles de los qua ks, no así los de los gluones, que ambién se ían colo eados.
Gluones
La in e acción de colo se debe al in e cambio de ocho pa ículas, denominadas gluo-
nes. Los gluones pueden se abso bidos o emi idos po cualquie pa ícula que enga la
p opiedad del colo . Ello incluye los qua ks, los an iqua ks y los p opios gluones. Cuando
un qua k abso be o emi e un gluon, puede modi ica su colo . En la igu a 6.7 se hace
una p esen ación esquemá ica que indica cómo, en un p o ón, los qua ks modi ican sus
colo es median e elin e cambio de gluones, aunque en odo momen o, el es ado de colo
de los qua ks y los gluones que cons i uyen el p o ón co esponde al es ado single e de
colo . No obs an e, los gluones no modi ican el sabo de los qua ks.
Los gluones ienen ca ga de colo , po lo que in e ac úan en e sí, y p oducen que la
in e acción aumen e con la dis ancia en e qua ks. Es o p o oca el con inamien o de los
qua ks, que deben apa ece siemp e como ba iones o como mesones.
Hay 8 gluones, que co esponden a los posibles es ados colo -an icolo , excluyendo la
combinación “single e” o “incolo a” (| ¯ +| ¯ +|a¯a)/√3, que desc ibe el es ado de colo
de los mesones. Así, los ocho gluones ienen los siguien es es ados de colo :
| ¯ ,| ¯a,| ¯a,| ¯ ,|a¯ ,|a¯ ,| ¯ −| ¯ 
√2,| ¯ +| ¯ −2|a¯a
√6(6.10)
91
Modelo de Qua ks
Así, cuando un qua k en el es ado |q; abso be un gluon en el es ado |g; ¯ , se p oduce un
qua k en el es ado |q; . Los gluones, además de cambia el es ado de colo de los qua ks,
pueden gene a pa ejas qua k-an iqua k. Po ejemplo, un gluón en el es ado |g; ¯ , puede
da luga a un qua k |q; y a un an iqua k |¯q;¯ . No obs an e, el es ado de colo del
sis ema qua ks-gluones siemp e se conse a.
6.3.2. In e acción elec omagné ica.
La in e acción elec omagné ica en e qua ks es básicamen e igual a la in e acción
elec omagné ica en e had ones, en la que simplemen e hay que conside a el alo ac-
ciona io de la ca ga de los qua ks. En la igu a 6.8 se mues a cómo la in e acción elec-
omagné ica de un p o ón con un elec ón puede desc ibi se como una suma de las in-
e acciones elec omagné icas de cada uno de los qua ks con el elec ón. Cada qua k o
an iqua k puede acopla se al campo elec omagné ico, con una in ensidad de acoplamien-
o que depende de la ca ga del qua k. Así, la co ien e elec omagné ica had ónica puede
exp esa se como una suma de las con ibuciones de la co ien es de los di e en es qua ks
j=(u, d, s, c, b, ), que lle an asociadas sus ca gas co espondien es q(j).
jhad
µ=
j
q(j)¯
ψj(x)γµψj(x)(6.11)
La con ibución al diag ama de Feynman de cualquie p oceso elec omagné ico en el
que in e inie an had ones puede e alua se sumando las ampli udes en las que el o ón es
abso bido o emi ido po cada uno de los qua ks que o man el had ón. Pa a ello, hab ía
que conoce la desc ipción de los had ones en é minos de qua ks. El modelo de qua ks
pe mi e, en p incipio, calcula el decaimien o de π0→2γcomo un p oceso de aniquilación
qua k-an iqua k, o el decaimien o de Σ0→Λ+γcomo una ansición en la que los espines
de los qua ks uydpasan de es a acoplados a S=1en la Σ0a es a acoplados a S=0
en la Λ.
6.3.3. In e acción débil. Ángulo de Cabibbo. Ma iz CKM.
Los p ocesos de in e acción débil pueden desc ibi se en el modelo de qua ks median e
diag amas de Feynmann en los que los qua ks cambian su sabo , abso biendo o emi iendo
los bosones W±. El diag ama ele an e se ep esen a en la igu a 6.9.
Exis en p ocesos débiles en los que no cambia la ex añeza de los had ones, y p ocesos
débiles con cambio de ex añeza.
92
6.3.2.In e acciónelec omagné ica
6.3.3.In e accióndébil.ÁngulodeCabibbo.Ma izCKM
Modelo de Qua ks
Figu a 6.8: In e acción elec omagné ica en e un p o ón y un elec ón, desc i a en é -
minos de las in e acciones de los qua ks. Solamen e se ep esne a la con ibución de uno
de los qua ks.
Figu a 6.9: In e acción débil desc i a en é minos de had ones y lep ones, y en é minos
de qua ks y lep ones. Sólo se conside a el e ec o de uno de los qua ks.
93
Modelo de Qua ks
Los p ocesos débiles sin cambio de ex añeza pueden desc ibi se median e una co ien e
que aniquila un qua k d y c ea un qua k u:
j+had
µ(∆S= 0) = cos(θc)¯
ψu(x)γµ
1−γ5
2ψd(x)(6.12)
Los p ocesos débiles con cambio de ex añeza pueden desc ibi se median e una co-
ien e que aniquila un qua k s y c ea un qua k u:
j+had
µ(∆S= 1) = sin(θc)¯
ψu(x)γµ
1−γ5
2ψs(x)(6.13)
Es as exp esiones son idén icas a las de las co ien es débiles de los lep ones, sal o po
los ac o es cos(θc), cuando no cambia la ex añeza y sin(θc)cuando sí cambia. θces el
ángulo de Cabibbo.
Es ú il desc ibi los p ocesos débiles como p ocesos en los que puede cambia el sabo
de los qua ks. Como desc ibimos p e iamen e, un qua k lige o puede ene es es ados
de sabo , que desc ibimos como |u,|d,|s. La in e acción débil conec a el es ado |u, de
ca ga 2/3, con una combinación de los es ados |d,|s, de ca ga -1/3, dada po cos(θc)|d+
sin(θc)|s. Glashow, Iliopoulos y Maiani deduje on que debe ía exis i o o es ado, |c, de
ca ga 2/3que se conec a a con la combinación o ogonal −sin(θc)|d+ cos(θc)|s. Es o
lle ó a la p edicción del qua k c.
Los p ocesos de in e acción débil conec an los qua ks lige os con los qua ks pesados
c,by . Pa a desc ibi es e acoplamien o, se de inen unos es ados |d,|s,|b, de ca ga
-1/3, que es a ían acoplados exclusi amen e con los es ados de sabo |u,|c,| , de ca ga
2/3 . Es os es ados son una combinación de los es ados de sabo |d,|s,|b, dadas po
una ma iz 3×3, llamada ma iz CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa),
|d=Vud|d+Vus|s+Vub|b
|s=Vcd|d+Vcs|s+Vcb|b(6.14)
|b=V d|d+V s|s+V b|b
Los é minos diagonales de la ma iz CKM son dominan es. Ello implica que la in e -
acción débil conec a p incipalmen e al qua k u con el d, al qua k c con el s y al qua k con
el b. No obs an e, exis en é minos no diagonales, que son esponsables de que los qua ks
ayan decayendo pa a acaba en qua ks uyd, que son los componen es de la ma e ia
o dina ia.
La ma iz CKM es uni a ia, y puede exp esa se en é minos de cua o pa áme os.
Uno de es os pa áme os es el ángulo de Cabibbo, que ale sin θC=0.2252(9) = Vus
94
Modelo de Qua ks
La in e acción débil queda o almen e de e minada po el alo de la cons an e de
acoplo de la in e acción débil gw, la masa de los bosones W±, y los cua o pa áme os que
de e minan la ma iz CKM.
6.4. E idencias expe imen ales de los qua ks
Los qua ks no se han de ec ado nunca aislados, y ello es á elacionado con el hecho
de que el colo , bien sea de qua ks o de gluones, debe apa ece siemp e en el es ado
llamado single e. Es el llamado “con inamien o”. En el caso de ba iones, compues os de es
qua ks, el es ado single e se ob iene median e una combinación o almen e an isimé ica.
En el caso de los mesones, compues os de un qua k y un an iqua k, el es ado se ob iene
con la combinación de colo es desc i a an e io men e. No obs an e, exis en e idencias
expe imen ales indi ec as, basadas en colisiones de lep ones a al a ene gía, que a alan la
exis encia de los qua ks.
6.4.1. Expe imen os de análisis
Son expe imen os en los que se dispe sa una pa ícula muy ene gé ica con ene gía E,
ípicamen e un elec ón, po un p o ón o un neu ón. Se obse a el elec ón salien e con
ene gía E<E, y a pa i de és e se in ie e la ene gía y el momen o que se ha ans e ido
al nucleón. Es e p oceso se analiza conside ando que el nucleón es á compues o po una
se ie de agmen os (pa ones) que in e ac úan indi idualmen e con el elec ón. El obje i o
del análisis es ob ene las p opiedades de es os pa ones, y su dis ibución de momen os
den o del nucleón.
Los expe imen os de dispe sión de elec ones indican que los pa ones que cons i uyen
los p o ones y neu ones son pa ículas elemen ales, sin es uc u a in e na, y ienen espín
1/2.
Los expe imen os de dispe sión de elec ones no son capaces de de e mina si el pa -
ón co esponde a un qua k o a un an iqua k, ya que las secciones e icaces dependen del
cuad ado de la ca ga eléc ica. No obs an e, la dispe sión de neu inos pa a da lep o-
nes sí pe mi e esa di e enciación, ya que, po ejemplo, puede ocu i νµd→µ−upe o no
νµ¯
d→µ−¯u. Del análisis de es os expe imen os se encuen a que pa a alo es del momen o
pequeños, exis en en los nucleones una acción impo an e de an iqua ks, pe o pa a alo-
es del momen o g andes p edominan los qua ks. Puede e alua se una egla de suma, que
co esponde a la in eg al pa a odos los alo es del momen o, que indica que el núme o
de qua ks menos el núme o de an iqua ks es consis en e con 3
95
6.4.E idenciasexpe imen alesdelosqua ks
6.4.1.Expe imen osdeanálisis

Modelo de Qua ks
Po o o lado, si se in eg a el alo del momen o de odos los pa ones, no se ob ie-
ne el momen o o al del nucleón. Ello lle a a conside a que exis en componen es en el
nucleón que no in e accionan con los elec ones o los neu inos, pe o que con ibuyen al
momen o o al. Es os son p ecisamen e los gluones que son las pa ículas in e media ias
de la in e acción ue e, pe o que no ienen ca ga eléc ica ni débil.
La conclusión de los expe imen os de análisis es que, den o del p o ón y del neu ón,
hay pa ículas elemen ales que se compo an como los qua ks, pa ículas elemen ales que
se compo an como an iqua ks, y debe habe o as pa ículas, que no in e accionan con
elec ones y neu inos, pe o que con ibuyen al momen o o al del nucleón. El núme o
de qua ks menos el núme o de an iqua ks es 3. Así que hay 3 qua ks “de alencia”, un
núme o a iable de pa ejas qua k-an iqua k, y gluones.
6.4.2. Expe imen os de sín esis
En la colisión de un elec ón y un posi ón a al a ene gía, se p oducen muchas pa -
ículas. No obs an e, podemos sepa a los sucesos en los que se p oducen lep ones, como
µ+µ−, y los p ocesos en los que se p oducen had ones. En ambos casos, e+ye−se ani-
quilan pa a p oduci un o ón i ual. Es e o ón puede p oduci µ+µ−, o bien p oduci
q¯q, en cuyo caso se obse a án had ones. El cocien e R en e la p obabilidad de p oduci
had ones y la p obabilidad de p oduci µ−µ+es igual a la suma de los cuad ados de las
ca gas eléc icas de los qua ks que pueden p oduci se (supues o que se igno an las co ec-
ciones que p o ienen de la in e acción ue e en e qua k y an iqua k, y el e ec o de la
di e encia de masa en e had ones y muones).
R=σ(e−e+→had ones)
σ(e−e+→µ−µ+)≃
j
q(j)2(6.15)
Así, pa a ene gías supe io es a 10 GeV, pueden p oduci se pa ejas qua k-an iqua k de
los qua ks u,d,s,c,b. Además, hay que conside a que exis en es ipos de colo es pa a
cada qua k, con lo que R=11/3. La igu a 6.10 mues a el acue do del alo expe imen al
de R con la es imación del modelo de qua ks.
Los p ocesos desc i os an e io men e se basan en el análisis de las secciones e icaces
o ales de dis in as colisiones. No obs an e, las p opiedades de los qua ks pueden es udia se
en mayo de alle ya que, en los p ocesos de colisión a al as ene gías, se p oducen cho os
de pa ículas que se mue en en la misma di ección. Es os cho os de pa ículas p o ienen
de un p oceso elemen al en el que se p oducen qua ks (o gluones) a ene gías al as. El
momen o o al de las pa ículas del cho o es á elacionado con el momen o que enía
96
6.4.2.Expe imen osdesín esis
Modelo de Qua ks
Figu a 6.10: Relación R en unción de la ene gía. Se puede obse a cómo, una ez aspa-
sados los umb ales de ene gía pa a la o mación de las di e en es pa ejas qua k-an iqua k,
el alo de R es consis en e con la suma de las ca gas de los qua ks al cuad ado.
o iginalmen e el qua k. Los p ocesos más impo an es son los de dos je s, en los que se
conside a que se ha p oducido una pa eja q¯q, y los de es je s, en los que se p oduce
además un gluon. Las co elaciones angula es en es os sucesos de es je s con i man que
el espín del gluon es 1. En la igu a 6.11 se mues a un suceso de es je s.
97
Modelo de Qua ks
Figu a 6.11: Suceso de 3 je s en una colisión ee+, medido en el anillo de almacenamien o
PETRA, del labo a o io DESY, Hambu go en 1979. Se conside a una e idencia di ec a
de la p oducción de una pa eja qua k-an iqua k y un gluon.
P oblemas
1. Conside a un modelo en el que la masa de los ba iones p,nyΛse exp esa como
suma de las masas de los qua ks cons i uyen es.
a) Ob ene las masas cons i uyen es de los qua ks u,dys.
b) Ob ene las masas del es o de los ba iones del oc e e como suma de las masas
de los qua ks que los componen. Σ+,Σ0,Σ−,Ξ−,Ξ0. Compa a con los alo es
expe imen ales.
2. Conside a un modelo en el que la masa de los mesones K+,K0yπ+se exp esa
como suma de las masas de los qua ks y an iqua ks cons i uyen es.
a) Ob ene las masas cons i uyen es de los qua ks u,dys.
b) Ob ene la masa del es o de los mesones pseudoescala es K−,¯
K0,π−,π0,η,
η, conside ando que la masa de los an i-qua ks deben se las mismas que las
de los qua ks. Compa a con los alo es expe imen ales.
98
P oblemas
Modelo de Qua ks
3. Teniendo en cuen a que un p o ón iene un adio cuad á ico medio de 0.8 m, es i-
ma el alo del cuad ado del momen o lineal de los qua ks den o de los ba iones.
Conside ando que los alo es ob enidos en 1a) pa a las masas de los qua ks co es-
ponden a la ene gía o al de los qua ks, ob ene qué ene gía end ían si es u ie an en
eposo. Ob ene la ene gía ciné ica de los qua ks en los ba iones. Discu i la alidez
de la ap oximación no ela i is a en un modelo de qua ks.
4. Ob ene el alo del momen o magné ico de la pa ícula Λ. No a: Los qua ks uy
den la Λse acoplan a isospín ce o, po lo que su unción de onda de sabo es
an isimé ica. Po an o, los qua ks uydse acoplan a espín 0.
5. Explica , u ilizando el modelo de qua ks, cuál es el momen o angula o bi al y el
espín al que se acoplan los qua ks que o man los mesones pseudoescala es J=
0,P =−1y los ec o iales J=1,P =−1. Deduci el alo que iene la pa idad
C de los mesones pseodoescala es neu os π0,η,ηy la de los mesones ec o iales
neu os ρ0,ω,φ.
6. Explica , en el modelo de qua ks, po qué la in e acción débil, en p ime o den,
solamen e p oduce p ocesos en los que la ex añeza cambia en una unidad. Explica
po qué cuando ∆S=±1, el isospín cambia en ∆I=±1/2mien a que si ∆S=0,
∆I=±1,0.
7. Desc ibe cómo es la unción de onda de sabo de la ∆+en el modelo de qua ks.
Explica cuál es la di e encia en e es a unción de onda y la del p o ón.
8. Desc ibe cómo se compo a la unción de onda o bi al, de espín y de sabo del la ∆−
en e al in e cambio de los qua ks. Jus i ica en es e caso la necesidad de in oduci
el colo .
9. Desc ibe el π+el modelo de qua ks. ¿Cómo se desc ibe en es e modelo que el isospín
sea I=1,I
3= +1, momen o angula del pión sea J=0y la pa idad-P sea nega i a?
10. Exp esa el diag ama de Feynman que desc ibe el decaimien o del π+→µ++νµ, en
el modelo de qua ks. Exp esa el é mino de la densidad lag angiana de in e acción
que ac úa en cada é ice.
11. Pa a el p oceso π−+p→K0+Λ, desc ibe las pa ículas pa icipan es en é minos
de qua ks. Exp esa el diag ama de Feynman que desc ibe la eacción en é minos
de qua ks.
99
El pa adigma de la ísica ac ual: Modelo Es ánda
Los e miones que sien en la in e acción o man una ep esen ación i educible del
g upo. Eso quie e deci que las ans o maciones del g upo pueden cambia unas
pa ículas en o as, pe o no hay ningun es ado (combinación de pa ículas) que
pe manezca in a ian e en e a las ans o maciones del g upo.
La in e acción se p oduce po el in e cambio de pa ículas, llamadas bosones gauge,
de los que hay uno po cada gene ado del g upo. Los gene ado es del g upo son los
ope ado es que desc iben las ans o maciones del g upo p óximas a la iden idad.
Los bosones gauge ienen siemp e espín uno, y masa ce o, aunque pueden adqui i
masa po el mecanismo de Higgs de up u a espon ánea de la sime ía.
La in ensidad de la in e acción iene de e minada po una o a ias cons an es de
acoplo, que cons i uyen los únicos pa áme os lib es de la eo ía.
El acoplamien o de los bosones gauge con los e miones que sien en la in e acción
iene de e minado a a és del acoplamien o del campo asociado a los bosones gauge
con la co ien e asociada a los e miones.
La co ien e asociada a los e miones, pa a cada campo gauge, iene de e minada
po la ma iz que ca ac e iza al gene ado en la ep esen ación del g upo.
Los é minos de in e acción de los bosones gauge en e sí apa ecen si el g upo no es
abeliano, es deci , si los gene ado es del g upo no conmu an.
106

El pa adigma de la ísica ac ual: Modelo Es ánda
Teo ia Gauge QED QCD EW
G upo U(1) SU(3) SU(2)×U(1)
T ans o mación eiqφ ( , , a)(e, ν)[2 ×2](e, ν)
[3 ×3]( , , a) (u, d)[2 ×2](u, d)
Gene ado Q λa(8) I,σ1,σ
2,σ
3
Campos Gauge AµAµ
a(8) Cµ,Wµ
1,Wµ
2,Wµ
3
Cons an es de acoplo e gsg,g
Campos ( as Higgs) Aµ,Wµ,(Wµ)∗,Zµ
Cons an es ( as Higgs) e, gw,g
z
Bosones gauge γ( o ón) gluones (8) γ,W+,W−,Z0
Co ien es jµja
µjµ,j+
µ,j−
µ,j0
µ
In e acciones ejµAµgsaja
µAµ
aejµAµ+
gw
√2(j+
µWµ+j−
µ(Wµ)∗)
+gzj0
µZµ
7.3. In e acciones
7.3.1. C omodinámica Cuán ica
La in e acción de colo es á desc i a po la c omodinámica cuán ica (QCD). La QCD
es una eo ía gauge local que p o iene de exigi que el lag angiano sea in a ian e en e
a ans o maciones gauge locales del g upo SU(3). Es as ans o maciones cambia ían el
campo co espondien e a un qua k de cada colo de e minado en combinaciones de campos
de los es colo es.
107
7.3. In e acciones
7.3.1. C omodinámica Cuán ica
El pa adigma de la ísica ac ual: Modelo Es ánda


a


αβγ
δρ
µνψ



a
(7.13)
La ma iz de la ans o mación es una ma iz 3·3, que debe se uni a ia y con de e -
minan e 1. Es as son las ca ac e ís icas del g upo SU(3).
Las ma ices del g upo SU(3) pueden exp esa se en unción de ocho gene ado es, que
pueden oma se como las ma ices siguien es, llamadas ma ices de Gell-Mann:


010
100
000

,

001
000
100

,

000
001
010

,

00i
0 00
−i00

,

000
00i
0−i0
,


0i0
−i00
0 00

,

100
0−10
000

,
1/30 0
01/30
00−4/3
(7.14)
El lag angiano de in e acción en e los qua ks y los gluones iene dado po :
Lc=gs
a
ja
µ(x)Aµ
a(x)(7.15)
donde gses una cons an e que da la in ensidad de la in e acción de colo ; Aµ
a(x)es el
campo que c ea o aniquila gluones de ipo a. Hay ocho ipos de gluones, po lo que a
oma alo es desde 1 has a 8. El campo Aµ
a(x)es un cuad i ec o . Po an o, los gluones
son pa ículas de espín uno. La co ien e ja
µ(x)es un ope ado que cambia el colo de los
qua ks, pe o no modi ica su sabo . Su exp esión es
ja
µ(x)=1
2
ijk
¯
ψik(x)γµψjk(x)(λa)ij (7.16)
donde i, j son los colo es de los qua ks, po lo que oman los alo es , , a,ykindica el
sabo de los qua ks, que puede se u, d, s, c, b, . El ope ado ψjk(x)aniquila un qua k de
colo jy sabo k, o bien c ea un an iqua k de colo ¯
jy sabo ¯
k. El ope ado ¯
ψik(x)c ea un
qua k de colo iy sabo k, o bien aniquila un an iqua k de colo ¯
iy sabo ¯
k.λason ocho
ma ices 3×3, llamadas ma ices de Gell-Mann, que co esponden a la ep esen ación
undamen al de los gene ado es del g upo SU(3).
El único pa áme o de la c omodinámica cuán ica es el alo de la cons an e gs. Es a
“cons an e”, debido al e ec o de la eno malizacion, oma alo es e ec i os que dependen de
108
El pa adigma de la ísica ac ual: Modelo Es ánda
la ene gía. A ene gías bajas, del o den del MeV, la cons an e αs=g2
s
4πse hace compa able
con la unidad, con lo que su alo no puede de e mina se con p ecisión po p ocedimien os
pe u ba i os. A ene gías del o den de la masa de la pa ícula τ(1.777 GeV), αs≃0.35,
con lo cual gs≃2.1. Sin emba go, a ene gías del o den de la masa de la Z0(90 GeV),
αs=0.1184(8), con lo que gs=1.22. El hecho de que la cons an e gsaumen e su alo
con o me disminuye la ene gía es á elacionado con que la in e acción ue e aumen a
con o me aumen a la dis ancia de las pa ículas colo eadas. Es o lle a al con inamien o
del colo .
Los gluones in e ac úan en e sí, debido a que el g upo SU(3) no es abeliano. Es a
in e acción p o oca el con inamien o del colo , po el que sis emas colo eados (qua ks o
gluones) no pueden apa ece lib emen e en la na u aleza. Solamen e ba iones y mesones
pueden apa ece en la na u aleza, aunque ambién se ha p edicho que pod ían exis i sis-
emas o mados sólo po gluones (glueballs). La QCD es la esponsable de las p opiedades
de los had ones, y de las in e acciones ue es en e ellos. No obs an e, la no alidez del
a amien o pe u ba i o pa a la QCD a ene gías bajas (1 GeV) di icul a la p edicción de
las p opiedades de los had ones a pa i de la QCD. No obs an e, los cálculos no pe u ba-
i os de QCD en un espacio- iempo disc e izado, llamados QCD en el e ículo o "Lá ice
QCD", a anzan en la desc ipción de las masas y o as p opiedades de los had ones.
7.3.2. Teo ía Elec odébil
La eo ía elec odébil (EW) uni ica la in e acción elec omagné ica y la in e acción
débil. La EW es una eo ía gauge local que p o iene de exigi que el lag angiano sea in-
a ian e en e a ans o maciones del gauge locales del g upo SU(2)L×U(1)Y. El g upo
SU(2) ac úa solamen e sob e los e miones que ienen qui alidad nega i a, po lo que se
ep esen a po SU(2)L. Po ejemplo, cambia ía un elec ón con qui alidad nega i a po
una combinación de elec ón con qui alidad nega i a y un neu ino con qui alidad ne-
ga i a. Igualmen e, cambia ía un qua k ucon qui alidad nega i a po una combinación
de qua ks uydcon qui alidad nega i a. Las ans o maciones de SU(2)Lno modi ican
elec ones o qua ks con qui alidad posi i a. El g upo U(1)Yac úa sob e qua ks y lep o-
nes, induciéndoles una ase exp(iY θ), donde la hipe ca ga Yes un núme o cuán ico que
depende de cada pa ícula y de su qui alidad. En é minos gene ales, las ans o maciones
de SU(2)L×U(1)Ypueden desc ibi se po
e
ν→αβ
δ
e
ν.(7.17)
Las ma ices del g upo SU(2)L×U(1)Ypueden exp esa se en unción de cua o gene-
109
7.3.2. Teo ía Elec odébil
El pa adigma de la ísica ac ual: Modelo Es ánda
ado es, que pueden oma se como las ma ices siguien es, que son la unidad pa a U(1)Y
y las es ma ices de Pauli pa a SU(2):
10
01
,01
10
,0i
−i0,10
0−1.(7.18)
La in e acción elec odébil iene de e minada po dos cons an es de acoplo gyg. Es o
ocu e po que el gene ado de U(1)Y, conmu a con los gene ado es de SU(2)L. En la
EW apa ecen cua o campos gauge, asociados a los gene ado es an e io es. Es os campos,
Cµ,Wµ
1,Wµ
2,Wµ
3inicialmen e, ienen espín 1 y masa ce o.
Los campos Gauge se acoplan al campo de Higgs, y como e ec o de dicho acoplamien o,
apa ecen, a ene gías bajas, en las que el campo de Higgs oma un alo de expec ación en
el acío no nulo φ(x)=η, é minos cuad á icos en los campos Cµ,Wµ
1,Wµ
2,Wµ
3.Sise
diagonalizan es os é minos cuad á icos, apa ecen nue os campos gauge, combinaciones
de los an e io es, cada uno con su é mino cuad á ico, que co esponde a una masa e ec i a
debidas al acoplamien o con el alo de expec ación del campo de Higgs. Es os nue os
campos gauge son:
Un campo sin masa, ep esen ado po Aµ, que se iden i ica con el campo elec o-
magné ico. Es e campo lle a asociada una cons an e de acoplo gg/g2+g2, que
se iden i ica con la cons an e e. La pa ícula asociada con es e campo es el o ón. La
in e acción de es e campo con los e miones iene dada po la densidad lag angiana
Lem =ejµ(x)Aµ(x)(7.19)
donde la co ien e elec omagné ica jµ(x)es la suma de una co ien e elec omag-
né ica lep ónica y una had ónica (asociada a los qua ks).
Dos campos conjugados Wµ,(Wµ)∗, con una masa dada po m(W)=gη/2, que se
asocian a los bosones ec o iales W+yW−. Es os campos lle an asociadas una cons-
an e de acoplo g, que se iden i ica con la de la in e acción débil gw. La in e acción
de es os campos con los e miones iene dada po la densidad lag angiana
Lw=gw
√2Wµ(x)j+
µ(x)+(Wµ(x))∗j−
µ(x)(7.20)
donde las co ien es débiles ca gadas j±
µ(x)son la suma de una co ien e lep ónica
(que con ie e, po ejemplo, elec ón en neu ino) y una co ien e had ónica (que
con ie e, po ejemplo, qua ks u en qua ks d).
110
El pa adigma de la ísica ac ual: Modelo Es ánda
Un campo Zµ, con una masa dada po m(Z)=g2+g2η/2, al que se asocia
una nue a pa ícula neu a Z0. Es e campo lle a asociada una cons an e de acoplo
gz=g2+g2, que se iden i ica con una nue a in e acción débil asociada a co-
ien es neu as. Es a in e acción iene dada dada po la densidad lag angiana de
in e acción:
Lw0=gzj0
µ(x)Zµ(x)(7.21)
donde la co ien e débil neu a es una suma de co ien es debidas a los qua ks, a los
lep ones ca gados y a los neu inos.
La co ien e neu a debida a los neu inos da la con ibución p incipal del decaimien o
de la Z0. A pa i de la anchu a de es a pa ícula, puede deduci se el núme o de neu inos
que exis en en la na u aleza, y es e esul a que es 3. Es e a gumen o indica que no se
espe an nue as gene aciones de qua ks y lep ones, que con engan pa ículas lige as, con
masa in e io a la mi ad de la Z0.
La in e acción elec odébil iene de e minada po dos cons an es g,g. Los alo es de
es as cons a es, e aluados pa a E≃100GeV , son g=0.65185 yg=0.35744. A pa i
de es as cons an es puede ob ene se la cons an e elec omagné ica e, la cons an e de la
in e acción débil con co ien es ca gadas gw, y la cons an e de la in e acción débil con
co ien es neu as gz.
7.4. El bosón de Higgs
Las Teo ías Gauge locales no pe mi en que los bosones gauge engan una masa in ín-
seca. No pueden in oduci se é minos cuad á icos en el lag angiano de los campos gauge,
ya que es o iola ía la sime ía gauge local.
No obs an e, si odo el espacio es u ie a ocupado po un campo escala , que, a di e-
encia de los campos habi uales, no endie a a anula se a ene gía baja, las in e acciones
gauge de es e campo con los bosones gauge, gene a ían é minos que, a baja ene gía,
da ían una masa e ec i a a los campos gauge.
El mecanismo de Higgs de up u a espon ánea de la sime ía implica que los bosones
gauge se acoplan a un campo escala φ(x), que iene la p opiedad de que su ene gía
es mínima cuando el campo escala oma un alo di e en e de ce o φ(x)|min =η. Los
é minos de acoplamien o del campo de Higgs con el campo escala apa ecen, de o ma
e ec i a a bajas ene gías, como é minos cuad á icos que dan luga a la masa de los
bosones gauge, de o ma que dejan ssin masa a uno (el o ón) y dan masa a los o os es,
de o ma que m(W±)=gη/2,m(Z0)=g2+g2η/2. El alo del campo escala ηque
111
7.4. El bosón de Higgs

El pa adigma de la ísica ac ual: Modelo Es ánda
hace mínima la ene gía iene comple amen e de e minado po la cons an e de Fe mi, GF,
y co esponde a η= 246 GeV. A pa i de aquí, pueden ob ene se los alo es de las masas
de los bosones W±yZ0, que es án en muy buen acue do con los alo es expe imen ales
m(W±)c2= 80.377(12) GeV y m(Z0)c2= 91.1876(21) GeV.
No obs an e, si es e mecanismo es co ec o, debe apa ece una nue a pa ícula de
espín ce o, llamada bosón de Higgs, desc i a po un campo que desc ibe las des iaciones
del campo escala con espec o al alo espe ado en el acío, h(x)=φ(x)−η. Es a
pa ícula, que debe se neu a y ene espín ce o, es necesa ia pa a que enga sen ido el
mecanismo de Higgs, que es el que do a de masa a los bosones W±yZ0. El 14 de ab il de
2013), se anunció en el CERN el descub imien o de una nue a pa ícula neu a, de masa
125,09 GeV, con las p opiedades del bosón de Higgs. Se con i mó pos e io men e que es a
pa ícula iene espín ce o.
Las medidas ac uales (2023) indican un alo de la masa de 125,25(17) GeV. En la
igu a 7.1 se mues a la e idencia del bosón de Higgs en el canal de dos o ones. Se ha
comp obado que el bosón de Higgs se acopla con los qua ks más pesados ( op y bo om),
según p edice el modelo es anda . También se acopla, de la o ma p e is a po el modelo
es ánda , a los bosones W±yZ0, y al lep ón τ. Incluso hay e idencias de acoplamien os
al qua k cha m y al muón, consis en es con el modelo es ánda .
112
El pa adigma de la ísica ac ual: Modelo Es ánda
Figu a 7.1: E idencias del bosón de Higgs en el canal de dos o ones. Los esul ados son
de la colabo ación CMS en 2020, con dos p ocedimien os pa a el il ado de da os.
113
Epílogo
Es e lib o en a iza el modelo es ánda , como una desc ipción consis en e, he mosa
y p ecisa de la na u aleza, que explica un g an núme o de esul ados expe imen ales
ob enidos en los úl imos 100 años. No obs an e, el modelo es ánda no p e ende se la
eo ía inal de la na u aleza. El modelo es ánda es, más bien, una base sólida, de la
cual puede pa i se pa a p o undiza en el conocimien o de la na u aleza. Mos amos aquí
algunas p egun as que el lec o de es e lib o puede plan ea se, aunque la espues a exceda
de su con enido.
Hemos is o que QCD es la eo ía básica de la in e acción ue e. ¿Qué enómenos
su gen de la QCD, en el égimen no pe u ba i o? ¿Po qué p o ones y neu ones ienen
una masa g ande, aún es ando compues os de qua ks muy lige os? ¿Exis en es ados de la
ma e ia, compues os de qua ks y gluones, di e en es a los ba iones y mesones conocidos?
¿Cómo es la es uc u a del acío, cuando se ienen campos de qua ks y gluones ue emen e
in e accionan es? ¿Se ompen en el acío sime ías p esen es en el lag angiano de la QCD?
El modelo es ánda incluye seis ipos de qua ks, y seis ipos de lep ones. Qua ks y
lep ones sien en odos la in e acción elec odébil, que es uni e sal, y ienen di e en es
masas. ¿Po qué los qua ks y lep ones, que apa ecen en la na u aleza con masas de inidas,
no co esponden a los au oes ados de la in e acción elec odébil? ¿Cuál es el o igen de la
ma iz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa que da es a elación? ¿De dónde salen los cua o
pa áme os de es a ma iz, cuyos alo es no explica el modelo es ánda ? ¿De dónde salen
los alo es de las masas de los seis qua ks y los es lep ones ca gados? ¿Pueden es as
masas apa ece como esul ado del acoplamien o del campo de Higgs, como es el caso de
las masas de los bosones gauge? ¿Puede el modelo es ánda explica la iolación de CP
que sugie e nues o uni e so, dominado po la ma e ia?
El modelo es ánda , en su o mulación canónica, con iene solamen e neu inos con
qui alidad nega i a, y po an o, sin masa. No obs an e, sabemos que los neu inos ienen
masa, aunque muy pequeña. ¿Po qué los neu inos ienen masa? ¿Po qué esa masa es an
pequeña? ¿Po qué los neu inos lib es son di e en es a los que se acoplan a los lep ones
ca gados e, µ, τ? ¿Son los neu inos pa ículas de Di ac, o pa ículas de Majo ana, que no
114
Epílogo
Epílogo
conse an el núme o lep ónico? ¿Pueden exis i neu inos de qui alidad posi i a?
La es uc u a del modelo es ánda , SU(3) ×SU(2) ×U(1), no p edice una elación
en e las ca gas eléc icas de qua ks y lep ones. ¿Po qué las ca gas de los lep ones son
mul iplos de las ca gas de los qua ks, pe mi iendo que los á omos sean es ic amen e neu-
os? ¿Pueden uni ica se las in e acciones ue e y elec odébil, de la misma o ma que
se uni ica on la débil y la elec omagné ica? ¿Pod ía es a desc i a la na u aleza po una
sime ía gauge más amplia, de la que SU(3) ×SU(2) ×U(1) ue a un subg upo? ¿Po-
d ían se los bosones gauge que conocemos un subconjun o de un sis ema de bosones,
gene ado es del g upo más amplio? ¿Pod ían los qua ks con e i se en lep ones, y ice-
e sa? ¿Pod ía no conse a se, po sepa ado, el núme o ba iónico y el lep ónico? ¿Pod ía
el p o ón se ines able?
La e idencia cosmológica indica que exis e ma e ia oscu a, que no sien e la in e acción
ue e o elec omagné ica. ¿Pod ía habe o as pa ículas es ables, di e en es a las p e-
dichas po el modelo es ánda ? ¿Cómo se ex ende ía el modelo es ánda pa a acomoda
es as pa ículas?
Finalmen e, queda el sueño de encon a una desc ipción uni icada pa a odas las
in e acciones, incluida la g a i a o ia. ¿Puede uni ica se la in e acción g a i a o ia, con
las demás ( ue e y elec odébil)?
No es es e epílogo el luga pa a esponde es as p egun as, pe o sí puede se un luga
idóneo pa a de deja las plan eadas. Es o delimi a pa a el lec o el pe íme o de conoci-
mien o que es e lib o apo a, así como el in igan e y ascinan e pano ama que queda más
allá.
115