Comparación de estrategias de control predictivo estocástico no lineal aplicadas a la quimioterapia

www. e is a- iai.o g
Re is a Ibe oame icana de Au om´a ica e In o m´a ica Indus ial 22 (2025) 156-162
Compa aci´on de es a egias de con ol p edic i o
es oc´as ico no lineal aplicadas a la quimio e apia
And ´es He n´andez-Ri e aa, Pablo Vela deb,∗, Ascensi´on Za a-Cabezaa, Jose
´ M. Maes ea
aDepa amen o de Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica, Uni e sidad de Se illa (Espa˜na).
bDepa amen o de Ingenie ´ıa, Uni e sidad Loyola Andaluc´ıa (Espa˜na).
To ci e his a icle: He n´andez-Ri e a, A., Vela de, P., Za a-Cabeza, A, Maes e, J. M. 2025. Compa ison o S ochas ic
Non-linea Model P edic i e Con ol S a egies o Chemo he apy. Re is a Ibe oame icana de Au om´a ica e In o -
m´a ica Indus ial 22, 156-162. h ps://doi.o g/10.4995/ iai.2025.21950
Resumen
El modelado ma em´
a ico de sis emas biom´
edicos puede ayuda a los p o esionales oncol´
ogicos a dise˜
na ciclos de adminis-
aci´
on de ´
a macos m´
as segu os y e icaces. Pa a log a es e obje i o, en el p oceso de oma de decisiones se u iliza el modelo
ma em´
a ico del c ecimien o umo al y el impac o de la quimio e apia. Sin emba go, los sis emas biom´
edicos son p opensos a un
al o g ado de ince idumb e, no s´
olo po los e o es de medici´
on, sino ambi´
en po la din´
amica del sis ema no modelada y la
a iabilidad en e pacien es. Pa a abo da es e p oblema, se han aplicado es icciones p obabil´
ıs icas al con ol del p oceso de
adminis aci´
on de ´
a macos, haci´
endolo m´
as obus o en e a pe u baciones. Es e abajo compa a una e si´
on no lineal y o a
linealizada de las o mulaciones es oc´
as icas del con ol p edic i o basado en modelo. Ambos algo i mos mejo an la e icacia y la
segu idad del a amien o, con di e encias en cuan o a conse adu ismo y cos e compu acional.
Palab as cla e: Con ol p edic i o, Con ol ´
op imo es oc´
as ico, Fa macocin´
e ica y adminis aci´
on de ´
a macos, Con ol p edic i o
no lineal
Compa ison o S ochas ic Non-linea Model P edic i e Con ol S a egies o Chemo he apy.
Abs ac
Ma hema ical models o biomedical sys ems can help p ac i ione s design sa e and mo e e ec i e d ug adminis a ion cycles.
To achie e his goal, he ma hema ical model o umo al g ow h and he impac o chemo he apy a e used in he decision-making
p ocess. Howe e , biomedical sys ems a e p one o a high deg ee o unce ain y, no only om measu emen e o s bu also om
unmodeled dynamics o he sys em and in e pa ien a iabili y. To add ess his issue, p obabilis ic cons ain s ha e been applied o
he con ol o he d ug adminis a ion p ocess, making i mo e obus agains dis u bances. This wo k compa es a non-linea and a
linea ized e sion o he s ochas ic o mula ions o he model p edic i e con ol. Bo h algo i hms enhance ea men e icacy and
sa e y, wi h di e ences in conse a i eness and compu a ional cos .
Keywo ds: P edic i e con ol, S ochas ic op imal con ol, Pha macokine ics and d ug deli e y, Nonlinea p edic i e con ol
1. In oducci´
on
El c´
ance es una en e medad con una asa de incidencia c e-
cien e en odo el mundo y con una posible epe cusi´
on humana,
econ´
omica y social cada ez m´
as g a e. Es e hecho e idencia
la necesidad de abo da el a amien o de la en e medad desde
un pun o de is a mul idisciplina , que pe mi a complemen a
las es a egias y conocimien os de dis in as amas de la in es i-
gaci´
on.
Den o de sus posibles a amien os, la quimio e apia es una
de las p incipales es a egias pa a a a lo (Gus a son and Bai-
ley, 2019), si bien su uso adicional sigue empleando dosis ma-
yo men e cons an es a ecuencias ijas (Kneze ic and Cla ke,
∗Au o pa a co espondencia: [email p o ec ed]
A ibu ion-NonComme cial-Sha eAlike 4.0 In e na ional (CC BY-NC-SA 4.0)
2020). Es po ello que el uso de he amien as de ingenie ´
ıa de
con ol en la oma de decisiones ha ido inc emen ando en los
´
ul imos a˜
nos pa a log a una mejo a en la segu idad y e icien-
cia de es e a amien o. Po ejemplo, Panjwani e al. (2019) de-
sa oll´
o un esquema de con ol PID en cascada con dos g ados
de libe ad pa a el con ol de la concen aci´
on de ´
a maco y la
egulaci´
on del ni el de oxicidad en un ciclo quimio e ap´
eu i-
co. O o ejemplo in e esan e es el de Rokh o oz e al. (2017),
que implemen ´
o un con ol obus o adap a i o de la quimio e a-
pia. Adicionalmen e, exis en ejemplos del uso de con olado es
LQR aplicados al dise˜
no de a amien os oncol´
ogicos. En es-
e con ex o, el abajo de Liliopoulos and S a akakis (2021)
emplea dicho esquema de con ol pa a el c´
alculo de la dosis
de quimio e apia, de o ma que se log a educi el ama˜
no del
umo mien as se es ingen los ni eles de oxicidad del medi-
camen o. O o ejemplo a des aca es el abajo de Khalili and
Va ankhah (2019), donde se emplea un con olado LQR pa a
calcula las dosis de un ciclo conjun o de quimio e apia y an i-
angiog´
enicos.
El Con ol P edic i o Basado en Modelos (MPC, po su si-
glas en ingl´
es) es una es a egia de con ol ampliamen e u i-
lizada en dis in as aplicaciones, incluida la biom´
edica, debido
a su capacidad pa a maneja es icciones expl´
ıci as en las a-
iables manipuladas, es ados y salidas de un sis ema, adem´
as
de su su lexibilidad y capacidad pa a maneja no linealidades,
e a dos, po menciona algunas ca ac e ´
ıs icas (Maciejowski,
2002). Pa icula men e, la quimio e apia se a a de un p oceso
complejo de modela debido a la can idad de a iables a mane-
ja (Malinzi e al., 2021), muchas de las cuales no pueden se
medidas o p esen an un ca ´
ac e ue emen e es oc´
as ico. Las
o mulaciones cl´
asicas del MPC, aunque hayan sido u ilizadas
en algunos de los p ime os es udios en o no a la au oma iza-
ci´
on de es e a amien o (Flo ian J e al., 2004; Pa iha e al.,
2022), no suelen ene en cuen a dicho compo amien o no de-
e minis a, lo que puede conlle a se ios p oblemas de ca a a
su uso cl´
ınico. El uso de con olado es p edic i os es oc´
as icos
(SMPC) pe mi en abo da es a p oblem´
a ica, ya que ienen en
cuen a las ince idumb es asociadas a es e ipo de sis ema (Mes-
bah, 2016; Sha pe and Dob o olny, 2021). Algunos ejemplos
adicionales del uso de es as ´
ecnicas en el a amien o del c´
ance
incluyen es udios como los de Paluszczyszyn e al. (2013) y
Bum oongs i and Kheawhom (2015), donde se emplean con o-
lado es p edic i os pa a op imiza la adminis aci´
on de ´
a ma-
cos. Den o de los SMPC, des aca el uso de las es icciones
p obabil´
ıs icas (CC-MPC, po sus siglas en ingl´
es). Es a ´
ecnica
se basa en la ans o maci´
on de las es icciones p obabil´
ıs icas
del sis ema en su equi alen e de e minis a, dada una dis ibu-
ci´
on de p obabilidad conocida (Vela de e al., 2017).
O o aspec o impo an e a se conside ado en la aplicaci´
on
de ´
ecnicas de ingenie ´
ıa de con ol en el a amien o del c´
ance
y la quimio e apia es el ue e ca ´
ac e no lineal de es e ipo de
sis emas (Gha a i Laleh e al., 2022). Pa a hace en e a es e
hecho es con enien e la o mulaci´
on de algo i mos que combi-
nen el a amien o es oc´
as ico de las a iables del sis ema con
su no linealidad, lo cual esul a en el uso del NMPC con es-
icciones p obabil´
ıs icas (CC-NMPC). Es e abajo desa olla
el uso de dicha ´
ecnica pa a dise˜
na un ciclo de adminis aci´
on
de quimio e apia que sea e ec i o y segu o. Adicionalmen e, se
ha desa ollado o a es a egia en la que el modelo ma em´
a i-
co del sis ema es linealizado en cada pun o de ope aci´
on, lo
cual pe mi e emplea una es a egia de con ol u ilizando una
o mulaci´
on lineal del SMPC (Sequen ial Quad a ic P og am-
ming CC-MPC o SQP CC-MPC).
Po un lado, el SQP CC-MPC an es mencionado acili a la
implemen aci´
on de un con ol p edic i o lineal debido a la li-
nealizaci´
on del modelo en cada pun o de ope aci´
on. Es a ´
ecni-
ca asegu a p opiedades ampliamen e es udiadas de es abilidad y
con e gencia, esenciales pa a aplicaciones en iempo eal don-
de la e iciencia compu acional es c ´
ı ica (Mesbah, 2016). Po
o o lado, el CC-NMPC es especialmen e adecuado pa a sis-
emas con no linealidades signi ica i as, como es el caso del
c ecimien o umo al y la adminis aci´
on de ´
a macos. La ca-
pacidad de es e algo i mo pa a maneja es as no linealidades
pe mi e una mejo ep esen aci´
on del compo amien o eal del
sis ema. Adem´
as, al inco po a es icciones p obabil´
ıs icas, el
CC-NMPC mejo a la obus ez del a amien o en e a las in-
ce idumb es inhe en es al sis ema, ales como a iaciones in-
e indi iduales y e o es de medici´
on (Mayne e al., 2000). La
selecci´
on de es os dos algo i mos y su compa a i a se ha lle ado
a cabo po sus ca ac e ´
ıs icas complemen a ias y su ele ancia
en el con ol p edic i o de a amien os de quimio e apia. Es a
compa aci´
on pe mi e, adem´
as, e alua in eg almen e la e icacia
y la segu idad de los a amien os p opues os bajo di e en es
pe spec i as de o mulaci´
on de ambos con olado es.
Es e a ´
ıculo cons i uye, po an o, una con inuaci´
on al a-
bajo desa ollado p e iamen e po los au o es en (He n´
andez-
Ri e a e al., 2023a) y (He n´
andez-Ri e a e al., 2023b), u i-
lizando el modelo ma em´
a ico desa ollado po Chen e al.
(2012). Una de las p incipales di e encias es la aplicaci´
on an o
del SQP CC-MPC como del CC-NMPC, lo cual pe mi e una
adecuada compa aci´
on en e el compo amien o, e icacia y se-
gu idad de los ciclos de quimio e apia desa ollados po am-
bas ´
ecnicas. El p incipal obje i o que se busca es comp oba
las bondades de es as o mulaciones de ca a a su uso como
aid − ools pa a el desa ollo de la p ´
ac ica oncol´
ogica, esul-
ando en un a amien o m´
as e ec i o y segu o.
El es o del documen o es ´
a o ganizado de la siguien e ma-
ne a. La Secci´
on 2 p esen a el modelo ma em´
a ico del c eci-
mien o umo al, la a macocin´
e ica del medicamen o y los e ec-
os secunda ios (Chen e al., 2012); la Secci´
on 3 o mula los
con olado es que se aplica ´
an al sis ema (CC-NMPC y SQP
CC-MPC). La Secci´
on 4 mues a los esul ados ob enidos y, po
´
ul imo, en la Secci´
on 5 se es ablecen una se ie de conclusiones
y l´
ıneas u u as de in es igaci´
on.
2. Modelo ma em´
a ico
El modelo ma em´
a ico que ha sido empleado en es e do-
cumen o es ´
a basado en el abajo de Chen e al. (2012) y cu-
yos pa ´
ame os se mues an en la Tabla 1. Es e modelo e leja
la e oluci´
on del c ecimien o umo al en a ones comunes y la
a macocin´
e ica del medicamen o u ilizado, Tamoxi eno (TM).
Cabe ecalca que la adminis aci´
on de un a amien o de qui-
mio e apia iene una se ie de e ec os secunda ios no deseados,
des acando el de e io o del sis ema inmuni a io.
En p ime luga , el c ecimien o umo al se ha di idido
en es es ados en es e modelo: Xg ep esen a el olumen de
c´
elulas umo ales en es ado de quiesencia (Bum oongs i and
He nández-Ri e a, A. e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica Indus ial 22 (2025) 156-162
157
Kheawhom, 2015) y de c ecimien o; Xses el olumen de c´
elu-
las umo ales que ealizan la s´
ın esis del ADN y Xm ep esen a
el olumen de c´
elulas que se encuen an ealizando o p epa an-
do la mi osis.
˙
Xg( )=−kgXg( ) ln Θ
N( )!+2kmXm( ) ln Θ
N( )!
−kdXg( )X2
V+cX3
V,
(1)
˙
Xs( )=−ksXs( )+kgXg( ) ln Θ
N( )!,(2)
˙
Xm( )=−kmXm( ) ln Θ
N( )!+ksXs( ).(3)
Donde el olumen o al del umo se calcula como
N( )=Xg( )+Xs( )+Xm( ).(4)
Los alo es de los dis in os pa ´
ame os del modelo ue on
ob enidos de Chen e al. (2012) y, como ue mencionado an e-
io men e, se mues an en la Tabla 1. En pa icula , kg,kmyks
ep esen an las asas de ans e encia en e los es es ados de la
di isi´
on celula , Θ ep esen a la poblaci´
on pla eau del umo ,
c e leja la mayo e icacia de la ´
ul ima e apa de me aboliza-
ci´
on del ´
a maco, kdes la asa de mue e celula inducida po
el a amien o y Ves la olemia ( olumen o al de sang e en el
cue po) del pacien e. Adem´
as, X2yX3 ep esen an los ´
ul imos
me aboli os del TM.
El modelo ma em´
a ico es udia ambi´
en la e oluci´
on de la
a macocin´
e ica del medicamen o, di idiendo el p oceso en
cua o e apas: X0,X1,X2yX3.
˙
X0( )=−k01X0( )+uc( ),(5)
˙
X1( )=−k12X1( )+k01X0( ),(6)
˙
X2( )=−k 2X2( )−k23X2( )+k12X1( ),(7)
˙
X3( )=−k 3X3( )+k23X2( ).(8)
Donde uc ep esen a la dosis de TM dia ia adminis ada al pa-
cien e y [k01,k12,k23] son las asas de ans e encia desde un es-
ad´
ıo al siguien e. Po o o lado, k 2yk 3 ep esen an las asas
de consumo del ´
a maco en dicha e apa de la me abolizaci´
on.
La quimio e apia no se a a de un a amien o selec i o, es
deci , el ´
a maco a ec a nega i amen e ambi´
en a c´
elulas y e-
jidos sanos. Una de las a ec aciones m´
as signi ica i as de es os
e ec os secunda ios se ´
ıan sob e el sis ema inmunol´
ogico del
pacien e. Pa a ello y, ambi´
en pa a e i a alcanza concen a-
ciones ´
oxicas de ´
a maco, se limi a la dosis dia ia de TM a 800
µg. Po o o lado, se ha modelado la e oluci´
on de los lin oci os,
pa a e leja el g ado de de e io o del sis ema inmunol´
ogico
˙
C( )=αC−βCC( )−kCC( ) X2( )
V+bX3( )
V!.(9)
Donde αCes la asa de gene aci´
on na u al de es as c´
elulas, βC
es la asa de mue e na u al, kC, la asa de mue e inducida po la
quimio e apia y b ep esen a la mayo e ec i idad de X3 en e
aX2. Adem´
as, exis e un l´
ımi e de segu idad que se ha es ableci-
do en el 40 % del alo inicial de es e ipo de c´
elula del sis ema
inmuni a io (Chen e al., 2012).
3. Fo mulaci´
on de los con olado es
En es e abajo se implemen an dos es a egias de SMPC
con el obje i o de es udia el compo amien o, segu idad y e i-
cacia de los ciclos de quimio e apia que se adminis an. El CC-
NMPC se a a de una es a egia de con ol no lineal y es oc´
as i-
ca que u iliza el modelo no lineal del sis ema pa a p edeci el
compo amien o u u o a lo la go de un ho izon e de p edicci´
on.
Po o o lado, el SQP CC-MPC compa e el uso de las es ic-
ciones p obabil´
ıs icas con el an e io , pe o di ie e en que ealiza
un p oceso de linealizaci´
on del modelo del sis ema al ededo de
un pun o de ope aci´
on co espondien e a cada ins an e de mues-
eo. El modelo no lineal ha sido disc e izado median e el uso
del m´
e odo de Eule hacia a ´
as con un iempo de mues eo de
1 ho a y se exp esa como
x[k+1] = (x[k],uc[k],˜x[k], ),(10a)
y[k]=g(x[k],uc[k], )+˜y[k],(10b)
donde uc[k] es la dosis dia ia de TM (que cons i uye la acci´
on
del con ol), yg ep esen an las unciones no lineales que
de inen el sis ema, y[k] es el ec o de salidas del sis ema, ˜y[k]
ep esen a los e o es de medici´
on de las a iable de salida, x[k]
es el ec o de es ados y ˜x[k] ep esen a la di e gencia en e el
modelo y el pacien e (modelado como una dis ibuci´
on no mal
del 1 %, seg´
un Chen e al. (2012)). Es a di e gencia es ´
a dada
an o po la p esencia de din´
amicas no modeladas, as´
ı como po
la posible in e a iabilidad en e pacien es. En conc e o, algu-
nas de las posibles causas de es as a iaciones en e pacien es
incluyen di e encias en las masas co po ales, olemia, edad o
sexo. Po lo an o, se hace e iden e la necesidad de desa olla
algo i mos que pe mi an el c´
alculo de ciclos de adminis aci´
on
de quimio e apia segu os an e la p esencia de dicho ipo de in-
ce idumb e y a iabilidad.
Las a iables de es ado,
x=[XgXsXmC X0X1X2X3]T,(11)
y el ec o de salidas, espec i amen e son
y=[N C X2X3]T.(12)
Tabla 1: Valo es de los pa ´
ame os.
Pa ´
ame o Valo Unidad Pa ´
ame o Valo Unidad Pa ´
ame o Valo Unidad
kg0.0013 ho a−1c 25 - k 21.1450 ho a−1
ks0.0390 ho a−1θ104mm3k 339.5250 ho a−1
km0.0169 ho a−1k01 0.0480 ho a−1αC1,21×105ho a−1
V 8.592 ml k12 0.9930 ho a−1βC1,2×10−2ho a−1
kd0.0062 ho a−1k23 35.9230 ho a−1kc0.010 ml×µg×ho a−1
b 25 -
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He nández-Ri e a, A. e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica Indus ial 22 (2025) 156-162
Figu a 1: Esquema del sis ema en bucle ce ado pa a el SQP CC-MPC.
Donde los alo es de las des iaciones ´
ıpicas de los e o es
de medici´
on de las salidas del sis ema son σ1=20 mm3,
σ2=105,σ3=0,001 µg/ml y σ4=0,001 µg/ml, espec i-
amen e. Aqu´
ı solo se han omado como salidas las ´
ul imas dos
e apas de la me abolizaci´
on del TM, X2yX3, ya que es as e a-
pas son las que ealmen e in luyen en la educci´
on del olumen
del umo , como se desc ibe en la Ecuaci´
on (1).
Adicionalmen e el sis ema es ´
a suje o a una se ie de es-
icciones (Chen e al., 2012). En conc e o y pa a la acci´
on de
con ol:
0≤uc[k]≤800 µg.(13)
Mien as que las es icciones pa a las a iables de es ado son
[Xg[k],Xs[k],Xm[k] ] ≥0 mm3,(14a)
C[k]≥4×106,(14b)
[X0[k],X1[k],X2[k],X3[k] ] ≥0µg/ml.(14c)
El obje i o de ambas o mulaciones de NMPCs es conse-
gui la mayo educci´
on posible del olumen del umo que, a
su ez, limi e los e ec os secunda ios a una zona segu a pa a el
pacien e, dado que un de e io o excesi o del sis ema inmuni a-
io del a ´
on pod ´
ıa se casi an g a e como la en e medad que
se quie e a a .
3.1. Fo mulaci´on del CC-NMPC
El CC-NMPC combina los bene icios de un con olado
p edic i o, es deci , el uso de un modelo ma em´
a ico pa a p ede-
ci el compo amien o u u o del sis ema en cues i´
on, con el uso
de es icciones p obabil´
ıs icas que do en al sis ema de mayo
segu idad en e a las ince idumb es que a ec an a las a iables
de es ado. Es as es icciones se exp esan como
Pxi[k+1] ≥xmini≥1−δx,(15)
donde P(·) es el ope ado de p obabilidad, xmini ep esen a la
es icci´
on exp esada en la Ecuaci´
on (14) y δxse a a del ies-
go acep ado de incumplimien o de la p opia es icci´
on (en es e
caso del 5 %). Pa a pode implemen a es a es icci´
on p oba-
bil´
ıs ica pa a cada a iable de es ado i, es necesa io la ob enci´
on
de su equi alen e de e minis a, es deci ,
Pxi[k+1] ≥xmini≥1−δx⇔
P i(x[k],uc[k],˜x[k], )≥xmini≥1−δx⇔
P0≥xmini− i(x[k],uc[k],˜x[k], )≥1−δx⇔
P0<xmini− i(x[k],uc[k],˜x[k], )< δx⇔
ϕixmini− i(x[k],uc[k],˜x[k], )< δx⇔
xmini− i(x[k],uc[k],˜x[k], )< ϕ−1
i(δx)⇔
i(x[k],uc[k],˜x[k], )≥yminj+ϕ−1
i(1−δx).(16)
Donde ϕies la unci´
on de p obabilidad acumulada (cd , po
sus siglas en ingl´
es) pa a cada a iable de es ado i∈[1,8]. Po
an o, ϕ−1
ideno a la cd in e sa pa a la ince idumb e, ˜x[k], de
cada a iable de es ado.
Adicionalmen e, la unci´
on de cos e de es a es a egia de
con ol se de ine como
J(y[k],uc[k]) =(y e −y[k])TRy(y e −y[k]) +uc[k]TQuuc[k].
(17)
La cual co esponde a una unci´
on cuad ´
a ica pa a pode as´
ı pe-
naliza las des iaciones de la e e encia y asegu a la exis encia
de un m´
ınimo local. Adem´
as, y e se a a del ec o de e e en-
cias pa a las salidas del sis ema exp esadas en la Ecuaci´
on (12),
cuyos alo es son [0 mm3, 107, 0 µg/ml, 0 µg/ml ]T. Los alo-
es de las ma ices de pesos RyyQuson [100,2,5,10−4,10−4]
y 0,2, espec i amen e. Den o del ec o Ry, las ponde aciones
asociadas a N y C son a ios ´
o denes de magni ud supe io es
a los de X2yX3. Ello se debe a la p io idad que debe ene
He nández-Ri e a, A. e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica Indus ial 22 (2025) 156-162
159
la educci´
on del olumen umo y la limi aci´
on de la inmuno-
de iciencia inducida po el TM en e al no inc emen o de los
me aboli os inales del medicamen o. Po o o lado, es impo -
an e des aca que la unci´
on de cos e p esen ada en la Ecuaci´
on
(17) emplea el alo de la dosis, es deci de la se˜
nal de con ol,
en luga de sus inc emen os ya que se busca penaliza el uso de
´
a maco y no sus a iaciones espec o a dosis pasadas (Ju ado
e al., 2016).
Finalmen e, el p oblema de op imizaci´
on de es e con ola-
do se o mula como
m´
ın
uc[k:k+Np−1]
k+Np−1
X
l=k
EJ(y[l],uc[l]),(18)
suje o a (10), (13) y (16), ∀l∈[k,k+NP−1]. Adicionalmen e,
E[·] ep esen a el alo espe ado de la unci´
on obje i o dada la
Ecuaci´
on (17), adem´
as el ho izon e de p edicci´
on Npes de 7
d´
ıas, lo cual es cohe en e con la ida media del medicamen o a
la go plazo (Fabian e al., 1981).
3.2. Fo mulaci´on del SQP CC-MPC
Es a es a egia de con ol se basa en la linealizaci´
on en cada
pun o de ope aci´
on del modelo no lineal del sis ema (Be be-
ich e al., 2022), pa a pode as´
ı implemen a un SMPC lineal.
Las en ajas de es e en oque adican en el uso de un con ola-
do p edic i o lineal lo que pe mi e asegu a las p opiedades de
un con olado lineal en cuan o a su es abilidad y con e gencia
hacia una soluci´
on.
4. Resul ados y discusi´
on
El p oceso de linealizaci´
on se ealiza a a ´
es del c´
alculo de
las siguien es ma ices en espacio de es ados:
Ak=∂ (x[k],uc[k],˜x[k], )
∂xop
,Bk=∂ (x[k],uc[k],˜x[k], )
∂uop
,
Ck=∂g(x[k],uc[k], )
∂xop
,Ek=∂ (x[k],uc[k],˜x[k], )
∂˜xop
.
(19)
Donde “op” hace e e encia al pun o de ope aci´
on en o no al
cual se ealiza la linealizaci´
on. Es o esul a en un modelo de
con ol lineal de la o ma
x[k+1] =Akx[k]+Bkuc[k]+Ek˜x[k],(20a)
y[k]=Ckx[k]+˜y[k].(20b)
Las a iables x[k+1] e y[k] co esponden a a iables es oc´
as i-
cas que cuan i ican la des iaci´
on de es as a pa i de dichos pun-
os de ope aci´
on en ˜x[k] e ˜y[k], espec i amen e.
De mane a simila al caso del CC-NMPC, es e algo i mo
de con ol ambi´
en implemen a una es a egia de con ol basa-
da en es icciones p obabil´
ıs icas. El c´
alculo del equi alen e
de e minis a de es as es icciones se exp esa como
Pxi[l+1] ≥xmini≥1−δx⇔
PAkx[l]+Bkuc[l]+Ek˜x[l]≥xmini≥1−δx⇔
PEk˜x[l]≥xmini−(Akx[l]+Bkuc[l])≥1−δx⇔
PEk˜x[l]<xmini−(Akx[l]+Bkuc[l])< δx⇔
ϕi[l]Ek˜xxmini−(Akx[l]+Bkuc[l])< δx⇔
xmini−(Akx[l]+Bkuc[l])< ϕi[l]−1
Ek˜x(δx)⇔
Akx[l]+Bkuc[l]≥xmin +ϕi[l]−1
Ek˜x(1−δx),
∀l∈[k,k+NP−1],(21)
donde ϕi[l]−1
Ek˜xes la cd in e sa de la a iable es oc´
as ica Ek˜x[l].
As´
ı, el p oblema de op imizaci´
on implemen ado en es a es a-
egia de con ol se exp esa como (18) suje o a (13), (20) y (21).
La Figu a 1 mues a el esquema del sis ema en bucle ce a-
do pa a el uso de es e algo i mo de con ol. Como puede ap e-
cia se en el esquema, el modelo linealizado (Ak,Bk,CkyEk) es
calculado en cada ins an e de mues eo, a in de pode ealiza
las p edicciones sob e el compo amien o del sis ema.
Pa a analiza el endimien o de cada con olado , se han
simulado 500 a amien os de un a˜
no cada uno. Los alo es
iniciales pa a las a iables de es ado son Xg=900 mm3,
Xs=50 mm3,Xm=50 mm3,C=107,X0=0µg, X1=0
µg, X2=0µg y X3=0µg. Las simulaciones se ealizan sob e
el mismo pacien e inicial, cuyo modelo end ´
a los mismos alo-
es nominales en sus pa ´
ame os. Sin emba go, las di e gencias
que su gen en e las dis in as e oluciones del a amien o ie-
nen dadas po las ince idumb es de dicho modelo (el 1 % an es
mencionado) y la ince idumb e en la medida de las salidas.
Adicionalmen e, con obje o de ealiza una compa aci´
on
m´
as ep esen a i a, se ha conside ado el paque e de 500 simula-
ciones usando un con olado cl´
asico odo-nada. Es e algo i mo
da ´
a la dosis m´
axima de TM mien as los lin oci os se encuen-
en po encima del l´
ımi e de segu idad y 0 en caso con a io.
Los da os esul an es de es as simulaciones se han analizado
median e la de inici´
on de los siguien es indicado es de endi-
mien o (IR):IR1: iempo compu acional, IR2: olumen umo al
es an e, IR3: lin oci os es an es, IR4: consumo o al de TM,
IR5: magni ud de la iolaci´
on de la es icci´
on de lin oci os,
IR6: Po cen aje de iolaciones de es icciones.
Figu a 2: E oluci´
on del a amien o bajo el CC-NMPC.
160
He nández-Ri e a, A. e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica Indus ial 22 (2025) 156-162

Figu a 3: E oluci´
on del a amien o bajo el SQP CC-MPC.
La Tabla 2 con iene el alo medio y la des iaci´
on es ´
anda
pa a cada IR, que se ob u ie on u ilizando MATLAB 2023b
(Na ick, MA, EE. UU.). IR1mues a que el CC-NMPC simula
un a˜
no de a amien o en, ap oximadamen e, una d´
ecima pa e
del iempo que le oma al SQP CC-MPC. Po o o lado, ambos
con olado es log an educciones umo ales simila es, como se
e idencia en IR2, incluso si el en oque no lineal log a una ma-
yo eliminaci´
on de c´
elulas cance osas. Sin emba go, es a ma-
yo eliminaci´
on umo al implica un mayo consumo de TM al
y como se indica en IR4. Adem´
as, el CC-NMPC p esen a una
es a egia m´
as ag esi a que da luga a una mayo iolaci´
on de
es icciones (IR3, IR5y IR6). Po o o lado, los esul ados ob e-
nidos del uso de un con ol “ odo-nada” e idencian c´
omo es a
es a egia da luga a un ciclo m´
as ag esi o de quimio e apia,
an o po el meno olumen inal del umo (IR2), como po su
mayo magni ud media de iolaci´
on de es icciones (IR5) y el
po cen aje de las mismas (IR6).
El con olado SQP CC-MPC demues a que un ajus e en la
ma iz de pesos de la unci´
on de cos e pod ´
ıa lle a a un esul a-
do menos conse ado . Sin emba go, es os alo es se dise˜
na on
pa a compa a ambos con olado es, conduciendo a esquemas
de adminis aci´
on de quimio e apia adecuados en ambos algo-
i mos. Adem´
as, la iolaci´
on de es icciones e lejada en IR6,
se conside a acep able en ambos casos, ya que el alo de δx
se es ableci´
o en 5 %. Adicionalmen e, se puede menciona que
ambos algo i mos di ie en no ablemen e en su es ue zo compu-
acional (IR1). Es e pa ´
ame o e idencia la mayo ca ga compu-
acional en el SQP CC-MPC de i ada de la linealizaci´
on del
sis ema en cada pun o de ope aci´
on. Es e p oceso, sin emba -
go, ga an iza el cumplimien o de las cualidades, ampliamen e
discu idas, del MPC lineal (Camacho and Bo dons, 2007).
Adicionalmen e, las Figu as 2 y 3 mues an una simulaci´
on
de un ciclo de adminis aci´
on de TM pa a los con olado es CC-
NMPC y SQP CC-MPC, espec i amen e. Aqu´
ı se e idencia
c´
omo el SQP CC-MPC es ablece un a amien o de quimio e a-
pia con un meno g ado de a iabilidad en la dosis dia ia inyec-
ada. La di e encia en e ambos con olado es adica en el uso,
en el p ime o de ellos, de d´
ıas de descanso de o ma que no o-
dos los d´
ıas se adminis e el ´
a maco. El uso de es a es a egia,
en e a un a amien o oncol´
ogico adicional, adica en que el
con olado de e mina el n´
ume o d´
ıas de descanso y que es os
no engan una ecuencia de adminis aci´
on ija. Po o o lado,
el SQP CC-MPC dise˜
na un ciclo de a amien o de concepci´
on
m´
as ecien e en el que se p e ie e una adminis aci´
on dia ia aun-
que sea a dosis bajas. Ambas es a egias buscan, po an o, que
la concen aci´
on de me aboli os e ec i os del TM se man engan
a magni udes e icaces y segu as. Es impo an e se˜
nala que la
di e encia en las es a egias u ilizadas, como los d´
ıas de descan-
so en el con olado CC-NMPC y la adminis aci´
on con inua de
´
a macos en el con olado SQP CC-MPC, no esponde a una
decisi´
on in encionada, sino que es una consecuencia inhe en e
a las ca ac e ´
ıs icas de cada ipo de con olado .
Es impo an e des aca que, enpa a las 500 simulaciones
ealizadas pa ade ambos con olado es, se u iliz´
oha pa ido de
un mismo pun o inicial ycon los mismos alo es de los pa ´
ame-
os del a ´
on, con el obje i o de analiz pa a as´
ı pode con em-
pla la in luencia de la es ocas icidad del sis ema. Fu u os es-
udios se cen oca ´
an en in es iga el es udio de a amien os
aplicados pa a dis in os pacien es y condiciones iniciales, a in
de e alupa a as´
ı a la adap abilidad de las es a egias de con ol.
Finalmen e, ambos con olado es ealizan un balance en-
e el dise˜
no de ciclos de a amien os que consiguen la ma-
yo educci´
on del umo posible, con la limi aci´
on de los po-
sibles e ec os secunda ios de la quimio e apia. Los algo i mos
log an, de o ma simila , dise˜
na a amien os segu os y e ica-
ces, si bien el CC-NMPC p esen a un meno g ado de conse -
adu ismo pa a las mismas ma ices de pesos en la unci´
on de
cos e.
5. Conclusiones
En es e abajo, el modelo ma em´
a ico del c ecimien o u-
mo al, la a macocin´
e ica del ´
a maco y los e ec os secunda ios
se han in oducido en dos es a egias de con ol, los cuales pe -
mi en, una educci´
on signi ica i a del olumen umo al mien-
as se man ienen unos es ´
anda es m´
ınimos de segu idad. Es e
es udio p e ende se un p ime paso en el desa ollo de he a-
mien as que ayuden a los p o esionales en la oma de decisiones
y el dise˜
no de a amien os oncol´
ogicos. Adem´
as, es impo an e
des aca que el desa ollo del con ol au om´
a ico en los sis emas
biom´
edicos es ´
a suje o a di icul ades in ´
ınsecas, especialmen e
las din´
amicas no modeladas y las a iaciones in e pe sonales en
los pa ´
ame os del sis ema. Respec o a es e ´
ul imo pun o, uno
de los mayo es e os del uso cl´
ınico de es as ´
ecnicas adica en
el a ance en la pe sonalizaci´
on de los pa ´
ame os de los mode-
los, de o ma que es os p edigan de o ma m´
as iable la posible
e oluci´
on de cada pacien e.
Tabla 2: IRs pa a los 3 con olado es dis in os.
Con olado IR1(g
IR1) s IR2(g
IR2) mm3IR3(g
IR3) IR4(g
IR4) mg IR5(g
IR5) h−1IR6(g
IR6) %
Todo-nada 0,18 (0,01) 160,49 (9,87) 3,97 ·106(7 ·104) 223,53(1,21) 7,25 ·104(5,92 ·104) 22,59 (1,85)
CC-NMPC 6,56 (0,92) 187,01 (10,40) 4,26 ·106(7 ·104) 208,47 (1,51) 5,13 ·104(4,76 ·104) 1,52 (1,29)
SQP CC-MPC 62,49 (8,75) 194,46 (9,23) 4,47 ·106(4 ·104) 204,74 (0,62) 3,64 ·104(3,36 ·104) 0,78 (0,24)
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161
Ambas es a egias mues an po encial pa a pode inc emen-
a las posibilidades de supe i encia de los pacien es, al mismo
iempo que pod ´
ıan llega a mejo a su calidad de ida al limi a
los e ec os secunda ios del a amien o. Compa ando ambos al-
go i mos, des aca el meno g ado de conse adu ismo del CC-
NMPC, a pesa de que la implemen aci´
on de un con olado
p edic i o lineal po pa e del SQP CC-MPC consigue ealiza
un balance en e la educci´
on del umo y ga an iza las p opie-
dades de iabilidad p opia de es e ipo de con olado es.
Los abajos u u os se en oca ´
an en el dise˜
no de nue as
´
ecnicas de con ol que eduzcan el compo amien o conse a-
do en el ciclo de adminis aci´
on de ´
a macos y el uso de nue-
os modelos ma em´
a icos que conside en aspec os adicionales
de la en e medad y el a amien o. Adicionalmen e se busca ´
a
ealiza colabo aciones con especialis as m´
edicos de ca a a la
discusi´
on de la iabilidad de es a p opues a.
Ag adecimien os
Es e p oyec o ha ecibido inanciaci´
on del p o-
yec o C3PO-R2D2 (PID2020119476RB-I00) inancia-
do po MCIN/AEI/10.13039/501100011033, y del p o-
yec o PID2022-142069OB-I00 inanciado po MCIN/
AEI/10.13039/501100011033/FEDER, UE.
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