Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 14,4, 557-582(1998)
UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL PARA EL
METODO DE
LOS
ELEMENTOS
FINITOS
PEDRO
DÍEZ,
JUAN
JOSÉ
EGOZCUE
Y
ANTONIO HUERTA
Escuela Técnica Supe io de Ingenie os de Caminos, Canales
y
Pue os
Depa amen o de Ma emá ica Aplicada
111
Módulo C2, Campus No e UPC, G an Capi án s/n
08034
Ba celona, España
Tel:
i-
34-93-401
69
09
Fax:
+
34-93-401
65
O4
E-mail: [email p o ec ed]
RESUMEN
Los es imado es de e o esiduales se basan en esol e de mane a ap oximada la ecuación
que ca ac e iza al e o . En es e a ículo se p esen a un es imado de e o basado en la
esolución de p oblemas locales median e submallas que disc e izan cada uno de los elemen os.
En cada uno de es os p oblemas elemen ales se imponen condiciones de con o no de Di ichle .
De es a mane a se ob iene una p ime a es ima que sólo iene en cuen a in o mación in e io
a los elemen os. En es a p ime a ase no se conside a la con ibución al e o asociada a los
sal os de lujo a a és de los lados de los elemen os. En una segunda ase se incluye es a
in o mación. Sin emba go, a di e encia de o os es imado es, es o se lle a a cabo sin calcula
los sal os y, po consiguien e, se e i a ene que equilib a los lujos de e o . Es o se hace
conse ando la iloso ía de la p ime a ase, es deci esol iendo p oblemas locales disc e izados
median e submallas. Los subdominios asociados a es os p oblemas se solapan con los elemen os
y ecub en sus lados. Es o úl imo hace que es a segunda ase ecoja el e ec o de los sal os
de lujo. En es a segunda ase, la es ima se some e a es icciones adicionales que pe mi en
que se pueda suma al esul ado de la p ime a ase. El es imado que se calcula a pa i de
la combinación de las dos ases p opo ciona buenos esul ados en los ejemplos de aplicación,
compa ado con o os es imado es exis en es.
A RESIDUAL TYPE-ERROR ESTIMATOR FOR THE FINITE ELEMENT METHOD
SUMMARY
Residual- ype e o es ima o s a e based on sol ing he e o equa ion. This pape p esen s
an e o es ima o which sol es local e o p oblems using elemen a y submeshes. Each
elemen a y p oblem is sol ed using i ial Di ichle bounda y condi ions. Thus, a i s es ima e
is ob ained. This es ima e accoun s only o he e o in he in e io o he elemen s and,
consequen ly, he e ec o he lux jump acc oss he elemen edges is no included. In a second
phase he lux jumps a e accoun ed o . Howe e , in con as wi h o he esidual- ype e o
Recibido: Julio 1997
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
557
558
P.
DÍEZ,
J.
J.
EGOZCUE
Y
A.
HUERTA
es ima o s, his is done wi hou compu ing he jumps. This p ecludes he need o balancing he
ju ips along he edges and ob ain he e o luxes. This second phase ollows he same app oach
o he i s one: local p oblems a e sol ed using submeshes. The subdomains associa ed wi h
his second se o local p oblems o e lap he elemen s and co e hei edges. The es ima e
associa ed wi h his second phase is cons ained o addi ional es ic ions allowing o sum up
he c:o i ibu ions o he wo phases. The comple e es ima e compu ed om he combina ion
o he wo phases gi es excellen esul s
in
he applica ion examples compa ed o exis ing e o
es i ia o s.
El uso de los p ocedimien os de cálculo adap able se ha con e ido en una
he amien a imp escindible pa a la aplicación p ác ica del mé odo de los elenien os
ini os. Una pieza cla e del cálculo adap able es el es imado de e o que se u ilice.
El es imado de e o p opo ciona in o mación sob e la calidad global de la solución
y sob e la dis ibución del e o en el dominio. Mien as que la es ima global e alúa
la ad iisibilidad de la solución ap oximada, si la solución no es admisible: se c ea una
nue a ialla a pa i de un indicado de emallado que u iliza la dis ibución de e o .
Los elemen os se concen an allí donde la solución es menos p ecisa. El obje i o es
co isegui , con la nue a malla, una solución con e o global po debajo de
im
alo
p esc i o
y
dis ibuido uni o memen e.
Los es imado es de e o a p io i son una he amien a básica pa a el es udio del
mé odo de los elemen os ini os pe o no pe mi en ob ene una e aluación p ác ica del
e o que se ha come ido. En cambio, los es imado es a pos e io i, sí p opo cionan
esul ados p ác icos. Es os es imado es se pueden clasi ica en dos g andes amilias:
es i nado es de p oyección de lujo y es imado es esiduales.
Los es imado es de p oyección de lujo se conocen ambién como es imado es po
posp oceso o sua izado. Se basan en el es imado o iginal de Zienkiewicz y Zhul. Es e
es i iado ue modi icado en
1992
po los mismos au o es2. La idea p incipal de es e
ipo de es imado es es halla una ap oximación del e o en lujos, es o es, la di e encia
en e el lujo exac o, que es desconocido, y el lujo ap oximado, que es discon inuo.
Los es imado es esiduales ap oximan el e o esol iendo p oblemas locales, donde
el esiduo se in oduce como un é mino de uen e. En gene a13~4~5~6~7~8 se en iende
po esiduo la no e i icación de la o ma ue e de la ecuación di e encial que se
es á esol iendo. La ap oximación es ánda po elemen os ini os no iene de i adas
con inuas en los lados in e io es de los elemen os y, así, apa ece un esiduo singula
asociado a los sal os de lujog.
La mayo pa e de los es imado es esiduales (los an e io es
y
algu ios
m~S10,11,12,13,14'15,16
)
se basan en ap oxima las condiciones de con o no de los p oblemas
locales epa iendo los sal os de lujo en e los elemen os adyacen es. El c i e io que se
sigue en el epa o es consegui un cie o equilib ado de cada p oblema elemen a14,g.
E i es e a ículo se in oduce un nue o en oque de la es ima de e o esidual.
Las es imas se in e p e an como p oyecciones en espacios de unciones cuyo sopo e
queda localizado en un dominio conc e o. Es as p oyecciones se calculan esol iendo
p oblemas locales. Se e i a el cálculo del sal o de lujos y odos los incon enien es
UN
ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL
559
que es o compo a a los es imado es esiduales exis en es. Básicamen e, es o de i a de
conside a el esiduo en la o ma débil en ez del esiduo en la ecuación o iginal.
Además, el es imado que aquí se p esen a puede se aplicado a cualquie ipo de
malla, incluso mezclando dis in os ipos de elemen os. La p og amación del es imado
en un p og ama ípico no plan ea mayo es p oblemas, pues o que se pueden eu iliza
las sub u inas exis en es. Po o a pa e, la es ima que se ob iene es una co a in e io
del e o exac o.
El es o del a ículo se es uc u a de la mane a siguien e: en el apa ado siguien e
se p esen a el p oblema modelo y la no ación empleada. Los apa ados a con inuación
se dedican a es ablece cómo calcula las p oyecciones del e o y a indaga en sus
p opiedades básicas, a de ini un es imado elemen al in e io
y
a comple a lo añadiendo
nue as p oyecciones del e o sob e o os subespacios. Al inal se mues an algunos
ejemplos que dejan pa en e la e icacia del es imado .
PROBLEMA MODELO
Se a a conside a un p oblema elíp ico en un dominio aco ado R
c
con on e a
sua e a ozos. La on e a
se di ide en dos pa es
n
y
d,
donde se aplica án
dis in os ipos de condiciones de con o no. El p oblema de con o no se de ine en su
o ma ue e po las siguien es ecuaciones
-V
.
(AVu)
+
bu
=
en R (1.4
u
=
O
en
d
(14
Y
(AVu)
.
n
=
g,
en
n
(l..>
donde u se de ine en R y equie e se ap oximada. La condición de con o no de
Di ichle (1.b) se oma homogénea. Debido a la linealidad de (l.a), es o no supone
una pé dida de gene alidad. De hecho, en los ejemplos se a a án condiciones de
Di ichle no homogéneas. En el desa ollo eó ico del es imado , a e ec os de simpli ica
la exposición, se a conside a u como unción escala . Sin emba go, la ex ensión a
p oblemas con a iable ec o ial es di ec a y en los ejemplos se a a án p oblemas
mecánicos.
Pa a es udia la o ma débil del p oblema, equi alen e a la o ma ue e
(l),
es
necesa io in oduci algunas de iniciones. Sea
H'(R)
el espacio de Sobole clásico de
unciones con de i adas de cuad ado in eg able y sea H&(R) al que Hhd(R)
=
{w
E
H1(R)
1
w
=
O
en
d).
La solución u de
(1)
es ambién la solución del siguien e
p oblema in eg al: encuén ese u en
H;~
(R) que e i ique
.(U,
u)
=
1(u)
(2)
pa a oda de H&(R). Las o mas a(.,
-)
y
l(.)
ienen dadas po
a(u,
u)
:=
Sn
(VV AVu
+
bu ) dR y
1
(u)
:=
Sn
dR
+
S n
g,dT
(3)
La solución po elemen os ini os de Gale kin uh pe enece a un espacio de
dimeiisión ini a Vh, con enido en Hhd(R),
y
e i ica
(2)
pa a odas las del p opio
Vh. El obje i o de la es ima del e o es ap oxima una medida del e o e, que se
de ine po e
:=
u
-
uh.
Si A esul a se simé ica y de inida posi i a y
b
es no nega i o ( éase la ecuación
(l.a)), la o ma bilineal
a(.,
.)
es a su ez simé ica
y
de inida posi i a, es o es, un
p oduc o escala . La no ma
11
11
inducida po a(.,
S)
se denomina no ma de la ene gía.
Se iene así que ll ll
:=
a( , )lI2 pa a cualquie . Si se es á modelando un p oblema
ísico, ll ll se in e p e a como la ene gía asociada al es ado del sis ema que queda
desc i o po . La no ma de la ene gía se a a u iliza pa a medi el e o e.
La solución uh que p opo ciona el mé odo de los elemen os ini os se puede
in e p e a como la p oyección de la solución exac a, que es desconocida, sob e el espacio
Vh. Es a p oyección se ha de en ende según el p oduc o escala a(.,
S)
y,
en es e sen ido,
el mé odo de Gale kin se denomina óp imo.
Pa a desc ibi la dis ibución del e o en el dominio
R
se usan es icciones locales
de la no ma de la ene gía 11.11. La no ma se puede es ingi a un subdominio cualquie a
de
R
pe o, en gene al, se desea á medi el e o elemen o a elemen o. De es a mane a,
los subdominios Rk a los que se es inge la no ma an a se siemp e los elemen os de la
malla de cálculo que gene a el espacio de in e polación
Vh.
La exp esión de la medida
eleme i al del e o e se á
IIeIla
:=
[a (e,e)li
(4)
donde se u iliza la es icción de a(.,
.)
al subdominio
Rk
que se de ine po
ak (u,
)
:=
(V
.
AVu
+
bu ) dR
S,,
(5)
PROYECCIONES DEL ERROR
Un es imado de e o debe p opo ciona in o mación local pa a desc ibi la
dis ibución espacial del e o . Pe o además, el cálculo de la es ima debe se ambién
local. Es o es, pa a calcula la es icción del e o a un elemen o, sólo se debe u iliza
in o mación con enida en és e o, e en ualmen e, en su en o no. Si no, la es ima se
con ie e en un p oceso muy cos oso
y
esul a ía más ba a o usa una malla e inada
pa a calcula una solución de e e encia más p ecisa.
En es e caso, pa a e i a un cos oso cálculo global y ealiza sólo cálculos locales
(y, po consiguien e, de cos e muy in e io ) se imponen condiciones de con o no lo
más sencillas posible al p oblema local del e o . Po lo an o se oman condiciones
UN
ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL
homogéneas pa a cada p oblema local. Es o pe mi e esol e el p oblema en un
elemen o Rk de o ma que es independien e a los demás. Ob iamen e, el e o no
es nulo sob e el con o no de los elemen os y, en consecuencia, en el penúl imo apa ado
se plan ea una modi icación que mejo a la ap oximación al e o .
Dado que la o ma débil
(2)
p opo ciona un p oblema bien plan eado y que la o ma
a(.,
.)
se oma como lineal en su p ime a gumen o, el e o e es el único elemen o de
H;~
(O) que e i ica
pa a oda
en Hhd(R). Así, (6) esul a se una ecuación débil global (en odo el
dominio) que ca ac e iza el e o . De es a mane a, aunque no se conozca el e o ,
u ilizando (6), se puede calcula el p oduc o escala del e o con cualquie unción
dada. Es o es, la ecuación (6) pe mi e calcula la p oyección de e sob e cualquie
subespacio de
Hhd
(O).
Sea Vk un subespacio de Hhd(R) que con iene unciones con sopo e en Rk: es as
unciones se anulan en el es o del dominio, y po lo an o, dado que las unciones de
H;d
(a)
son con inuas, se anulan ambién en la pa e del con o no de Rk in e io a R. El
subespacio Vk se gene a po una base de unciones de in e polación
B
=
{Ni,.
. .
,N,)
po simplicidad, la e e encia al índice
k
en la designación de la base y de sus elemen os
se sup ime. La p oyección de e sob e Vk se designa po ~k. El elemen o
~k
se ep esen a
po el ec o columna
[&k]
de sus componen es en la base
B
mien as que el p oduc o
escala a(.,
.)
queda ep esen ado po la ma iz K, de é mino gené ico
K,,
=
a(N,, N,)
(i,
j
=-1,.
.
.
,
n)
y la o ma
l(.)
queda ep esen ada po el ec o
[1]
de é mino gené ico
[ij,
=
V,)
=
V,)
-
a(uhlN,).
Finalmen e, el esul ado de la p oyección
&k
se ob iene esol iendo el sis ema de
ecuaciones lineales
Una ez esuel o, la no ma de la ene gía de
~k
se puede calcula de mane a di ec a
según la siguien e exp esión
Los subespacios Vk son o ogonales en e sí con espec o de a(.,
.).
Es o es así ya
que los subdominios Rk, es deci los elemen os ini os de la malla de cálculo ienen
in e secciones de medida nula: a lo sumo ienen en común pa e de sus con o nos. De
es a mane a se puede aplica la desigualdad de Bessel y se deduce que que las no mas
de las p oyecciones
EI,
e i can
donde
M
es el núme o de elemen os de la malla.
La co a que p opo ciona
(9)
es ambién álida a ni el local. En e ec o, dado que
ek es la p oyección de
e
sob e Vk según la o ma global a(.,
e),
la di e encia
e
-
~k
es

o ogonal a ek, es deci a(e
-
~k,
E~)
=
O. Además, es a condición de o ogonalidad se
e i ica ambién al u iliza la o ma local ak(.,
S),
es deci ak(e
-
ek,~~)
=
O,
ya que el
sopo e de
~k
es á incluido en
Rk.
Así se iene que
IlellE
=
ak(e,e)
=
a e
([e
-
~k]
+
~k,
[e
-
~k]
+
~lc)
=
ak
(~k, ~k)
+
ak (e
-
~k,
e
-
~k)
2
=
ll~k
112
+
(le
-
&k
111,
Es o pe mi e aco a la medida local del e o
llEkll
=
Il&kllk
5
llellk
(lo)
pues o que [le
-
ekllk es posi i o.
De es a mane a se deduce que una amilia cualquie a de subespacios Vk de
H:~
(O),
que se de inen sob e subdominios disjun os o con in e sección con medida nula Ok
pe mi e calcula p oyecciones locales
~k
que e i ican:
la no ma de cada
~k
es una co a in e io de la no ma local del e o exac o e ( éase
la ecuación (10)) y se puede oma como una es ima local del e o ,
si se de ine
E
como la suma de las
EI,
la no ma global de
E
se puede calcula ácilmen e a pa i de las p oyecciones locales
y esul a se una co a in e io de la medida global del e o llell
M
ll&12
=
E
ll&kl12
5
lle1I2
k=l
(12)
an o la ap oximación global como la local, e y los
~k,
se ían mejo es a medida que
el espacio V, gene ado po los espacios Vk, V
:=
Vi
$
V2
$
.
. .
$
VM, se ace ca a
H d
(0)
(el compo amien o asin ó ico de la desigualdad de Bessel iene dado po
la igualdad de Pa se al). La ap oximación global
E
es, de hecho, la p oyección do
e
sob e V.
Las unciones de cada subespacio Vk se anulan en la pa e del con o no de Rk
in e io a R. Po lo an o la ap oximación global
E
asociada a una amilia de subespacios
Vk, de inida a pa i de una pa ición de R en subdominios Ok, se anula en odos los
pun os de los con o nos de los subdominios Rk que son in e io es a R. Es os pun os
se denominan
pun os ocul os
de la ap oximación, pues o que la ap oximación
E
se es á
o zando a i icialmen e a anula se en és os. El espacio V no puede se una buena
ap oximación de H:~(R) si pe manecen ocul os muchos pun os del dominio R. En
los apa ados sucesi os se de ini án nue as amilias de subespacios asociados a nue as
pa iciones de R. De es a mane a, p oyec ando de nue o, se educi á el conjun o de
pun os ocul os.
UN ESTIMADOR DE
ERROR
RESIDUAL
Como se ha is o en el apa ado an e io , la de inición de los subespacios de
unciones locales
Vk
ca ac e iza las p oyecciones
~k.
Cada una de las
EI,
se oma como
una ap oximación local del e o , es o es como una ap oximación de e o en el in e io
del elemen o
Rk
sob e el que se de ine el subespacio
Vk.
Típicamen e, los espacios de in e polación local que han usado los es imado es esi-
duales se han de inido a pa i de e inamien os de ipo
p
8>17j18119
O
h
20.
En p incipio,
el es imado que aquí se p esen a pod ía segui los dos caminos pe o sólo se aplica á
el e inamien o ipo
h:
las unciones de in e polación
N,
que gene an
Vk
se de inen a
pa i de una disc e ización del elemen o
Rk.
Las unciones de in e polación
N,
que gene an
Vk
se de inen a pa i de una
disc e ización del elemen o
Rk.
Las submallas que disc e izan los elemen os se
denominan submallas elemen ales. Pa a consegui sis ema iza los cálculos, las
submallas elemen ales se de inen a pa i de una disc e ización del elemen o de
e e encia. Es deci , cada submalla elemen al es la ans o mación de una malla de inida
sob e el elemen o de e e encia. Es a malla pa ón se aplica sob e cada elemen o
Rk
median e la ans o mación isopa amé ica (Figu a
1).
De es a mane a las unciones de
in e polación
N,
quedan asociadas a nodos de la submalla elemen al que disc e iza
Rk.
Figu a
1.
Submalla elemen al sob e el elemen o de e e encia (a)
y
submallas
elemen ales inducidas en una malla egula (b)
y
una malla a bi a ia (c)
Al ensambla odas las submallas elemen ales se cons uye una malla e inada que
disc e iza odo el dominio R. Es a malla e inada se pod ía usa pa a calcula una
solución más p ecisa que si iese como e e encia. El amaño ca ac e ís ico de es a
malla se designa po y la solución de e e encia asociada se designa po uh. Sin
emba go, el cos e de calcula es a solución de e e encia se ía demasiado ele ado ya que
en la malla de e e encia se manejan un g an núme o de g ados de libe ad. Po lo
an o, la de e minación di ec a de u6 se debe e i a .
La solución de e e encia uh pe mi e de ini lo que se a a denomina
e o de e-
e encia, e,
:=
uh
-
uh. Es e e o
e,
se puede e como la p oyección del e o exac o
e
sob e el espacio de in e polación que gene a la malla de e e encia, Vil Nó ese que
e,
es el e o de uh espec o de la uh y no coincide con el e o de la solución de e e encia,
u
-
uh, que ha de se muy pequeño espec o de
e
o
e,.
De hecho, el e o o al
e
es la suma del e o de e e encia e, y el e o come ido en la solución de e e encia:
e =e,
+
(u
-
uL).
Dado que la malla de e e encia se cons uye a pa i de la malla o iginal de cálculo,
se iene que Vh es á incluido en Vh. Además, el espacio VL incluye a odos los espacios
Vj gene ados po las submallas elemen ales, y po lo an o ambién a su suma V
(V
:=
C9
&
$
. . .
$
Vj
c
VL). Es a inclusión es es ic a y no puede se una igualdad
ya que Vi con iene odas las unciones de in e polación
Ni
que gene an los Vj, es
deci las que es án asociadas a nodos in e io es, pe o, además, con iene ambién las
que co esponden a los pun os ocul os, es o es, a los nodos de la malla de e e encia
que es án en el con o no de los elemen os Rk. Se iene, po lo an o, que
e
es á en
H+~(W),
que
e,
es la p oyección de
e
sob e Vi
c
Hid(R) y que
E
es la p oyección
de
e
sob e V
c
VA
c
H+d(R). Así,
E
es ambién la p oyección de
e,
sob e V y, en
consecuencia, su no ma in a alo a ambién la no ma de
e,.
Re omando
(12),
se iene
que
Il~ll
L
Ile ll
L
Ilell.
El obje i o del es imado que aquí se p esen a es ap oxima las no mas global y
locales de
e,
e i ando esol e el p oblema global. De hecho,
E,
la p oyección de
e,
sob e V, es ya una p ime a ap oximación a
e,.
En es e caso la p oyección
E
esul a
de ensambla las p oyecciones locales
~k
sob e cada espacio Vk. Po lo an o, cada
p oyección
EI,
se calcula esol iendo un p oblema local, con pocos g ados de libe ad y
de cos e educido.
Es e p oblema conduce a un sis ema de ecuaciones como
(7).
Tal como es habi ual
en el mé odo de los elemen os ini os, el sis ema se cons uye, en una p ime a ase,
sin ene en cuen a las condiciones de con o no. En es e caso, es o quie e deci
que se incluyen las incógni as asociadas a los nodos del con o no en la submalla que
disc e iza Rk. En una segunda ase el sis ema de ecuaciones se modi ica pa a impone
las condiciones de con o no. Las condiciones de con o no del p oblema local que se
esuel e pa a de e mina
~j
son las siguien es:
1)
Di ichle homogéneas, es deci
~k
=
O
en
I'd,
donde
I':
es la pa e del con o no
de Rk que es in e io a R o que es á en
d.
Recué dese que
d
es la pa e del
con o no de R donde se han impues o condiciones ipo Di ichle (no impo a si son
homogéneas o no lo son). Las condiciones de Di ichle se imponen di ec amen e
sob e uh, y po lo an o el e o e es nulo en
Vd.
UN
ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL
2)
Neumann homogéneas, de lujo nulo (condiciones na u ales) en n. Se de ine l?:
como la pa e del con o no decRk que es á en
,,
que es la pa e del con o no de
R
donde se ha p esc i o el lujo (condiciones de con o no de ipo Neumann). Es o
es debido a que el é mino independien e de la ecuación (6) incluye los esiduos en
el con o no ( éase la de inición de
1
(.)
en (3)).
Obsé ese que mien as
d
es no acío en odo elemen o Rk,
I'n
puede no exis i .
Desde el pun o de is a algo í mico sólo es necesa io impone las p ime as condiciones
pues o que las segundas son condiciones na u ales. Además, las condiciones de Di ichle
homogéneas son muy sencillas, pues o que sólo equie en exigi que los alo es nodales
en algunos nodos del con o no sean nulos.
El cálculo del é mino esidual
[1],
que se de ine en la ecuación
(6),
es sencillo,
pues o que uh pe enece al espacio de e e encia
VL.
De es a mane a, uh se puede
ep esen a en la base de unciones in e polación asociadas a la malla de e e encia.
Po lo an o la es icción de uh a Qk se ep esen a á po el ec o columna [uh] de sus
alo es nodales. Así, el é mino a(uh,
Nj),
éase la pa e de echa de la ecuación (6), se
calcula como el p oduc o de la ma iz
K
y el ec o [uh]. Finalmen e, se ob iene
[l]
=
[ll
-
K
[~hl
(13)
Median e es a exp esión se puede de e mina la pa e de la de echa de la ecuación
(7) en unción de los obje os que apa ecen en la o mulación ípica del mé odo de los
elemen os ini os. El cálculo del esiduo, es o es el é mino de la de echa de (7), no
equie e in eg a la solución ap oximada uh, pues o que las in eg ales necesa ias ya se
han calculado pa a de e mina
K.
El é mino esidual
[l]
asociado a un subespacio Vk de unciones con sopo e en
el elemen o Ok se denomina
esiduo in e io .
Así, consecuen emen e, la es ima que
p opo ciona la ecuación
(7)
se denomina
es ima in e io .
La es ima in e io , eniendo
en cuen a lo que se ha dicho has a aho a, queda pe ec amen e ca ac e izada al elegi
una de e minada submalla elemen al.
Resul a muy sencillo de ini submallas pa a elemen os cuad ilá e os. Bas a
(Figu a
1)
de ini una malla es uc u ada egula en el elemen o de e e encia que, en
es e caso, es un cuad ado. Po supues o, aunque la submalla elemen al sea es uc u ada
la malla de cálculo que se ha empleado no iene po qué se lo. Es e ipo de submallas
e i ica:
a) se de inen de mane a sencilla en el elemen o de e e encia,
b) pe mi en de ini ácilmen e la es icción de uh a
lk
y
c) pueden se e inadas uni o memen e, an o como desee el usua io.
El cálculo de la p oyección
~k,
al como se desc ibe en la ecuación (7), equie e
esol e un p oblema local en Rk, con una disc e ización inducida po la submalla
elemen al co espondien e y donde se han impues o condiciones de con o no de ipo
Di ichle homogéneas en odo el con o no de Rk.
La no ma de
EI,
aumen a con el " amaño" del subespacio asociado
Vj,
es o es con
el núme o de g ados de libe ad de la submalla elemen al. Cuan o meno es
h,
el
amaño ca ac e ís ico de la malla de e e encia, mayo es la dimensión de los espacios
Vk asociados a cada elemen o y mayo es la no ma de ~k.
en las submallas. Los esul ados globales ob enidos se mues an en las Tablas
1
y
11.
Como se puede e , a medida que c ece el núme o de elemen os en las submallas, la
es ima global con e ge ápidamen e a la medida del e o exac o.
Nodos submalla Elemen os submalla Es ima global Índice de e ec i idad
2
3 0,01488 94,3
%
4 5 0,015463 98,O
%
8 9 0,015687 99,4
%
16 17 0,015758 99,s
%
Tabla
1.
Es ima del e o global e índice de e ec i idad asociado pa a el p oblema
unidimensional con elemen os lineales
1
Nodos submalla
1
Elemen os submalla
1
Es ima global
1
Índice de e ec i idad
1
Tabla
11.
Es ima del e o global e índice de e ec i idad asociado pa a el p oblema
unidimensional con elemen os cuad á icos
Las dis ibuciones del e o es imado a a és de las medidas locales se pueden
e en la Figu a 4. Las es imas que se p esen an en la Figu a 4 se han calculado
con submallas elemen ales g ose as (5 elemen os lineales
y
2
elemen os cuad á icos,
espec i amen e), con submallas más inas no se dis inguen en el dibujo la dis ibución
exac a de la ap oximada. Así, en es e caso esul a que la es ima in e io es ya
una ap oximación muy buena del e o exac o. Es o es así aunque se man engan
pun os ocul os, que son los nodos de la malla de cálculo o iginal. No pa ece pues
necesa io en iquece la es ima in e io con una es ima de
pa ch.
Nó ese que aquí
los
pa ches
debe ían ecub i los nodos (y elimina odos los pun os ocul os). Es e
enómeno apa ece sólo en es e caso sencillo y es debido a que se obse an p opiedades
de supe con e gencia. En e ec o, en es e p oblema la solución po elemen os ini os
iene un o den de ap oximación supe io en los nodos
20.
Po lo an o el e o en los
nodos, que son p ecisamen e los pun os ocul os, es muy in e io al e o en el es o del
dominio. Dicho de o a mane a, las condiciones de con o no de Di ichle homogéneas
que se u ilizan en la es ima in e io son muy p ecisas. La con ibución de los
pa ches
a
la es ima no se ía en es e caso signi ica i a.

UN
ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL
5
73
Figu a
4.
Dis ibución del e o exac o (línea con inua) y es imado (línea a azos)
pa a elemen os lineales (a iba) y cuad á icos (abajo)
El segundo ejemplo es un p oblema plano, se esuel e la ecuación de Poisson en el
dominio que se mues a en la Figu a 5. Es o es, se busca u que e i ique
con condiciones de Di ichle en odo el con o no de mane a que u(x,
y)
=
x2
+
y2
sea
la solución exac a del p oblema. La solución ap oximada se calcula usando la malla no
es uc u ada de cuad ilá e os que se puede e en la Figu a 5.
Figu a
5.
Dis ibución del e o exac o Figu a
6.
Dis ibución del e o es i-
en el p oblema escala plano mado en el p oblema escala
plano
Nodos submalla Elemen os submalla Es ima global Índice de e ec i idad
9 16 0,24759 91,9
%
Tabla
111.
Es ima del e o global e índice de e ec i idad asociado pa a el p oblema
plano con elemen os cuad ilá e os de cua o nodos
y
submallas de
pa ches
nodales
Como se puede e en las Tablas 111
y
IV, en es e caso la es ima con
pa ches
nodales
p opo ciona esul ados lige amen e mejo es que la es ima con
pa ches
asociados
a
los
lados. De cualquie modo, la es ima local se ajus a bien a la o ma de la dis ibución
UN
ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL
Tabla
IV.
Es ima del e o global e índice de e ec i idad asociado pa a el p oblema
plano con elemen os cuad ilá e os de cua o nodos
y
submallas de
pa ches
asociados a los lados
-
del e o exac o. En la Figu a
5
se puede e la o ma de la dis ibución del e o
exac o en el dominio. Obsé ese que es a dis ibución es muy simila , desde un
pun o de is a cuali a i o, a la del e o es imado que se p esen a en la Figu a 6 (la
dis ibución co esponde a la es ima con
pa ches
nodales y una submalla elemen al con
16 elemen os). La dis ibución de la Figu a 6 se ha ob enido usando
pa ches
nodales
Nodos submalla
9
41
177
con submallas elemen ales de 16 elemen os.
Es ima global
0,23381
0,24315
0,24691
Elemen os submalla
12
48
92
Figu a
7.
Dis ibución del índice de e ec i idad pa a el p oblema escala plano. Se
ep esen a pa a la es ima
con
pa ches
nodales
y
submalla elemen al de
16
elemen os
Índice de e ec i idad
86,8
%
90,2
%
91,6
%
En la Figu a
7
se mues a la dis ibución del índice de e ec i idad en el dominio.
Pa a examina cuan i a i amen e la calidad de la es ima local, se a a es udia la
dis ibución de los índices de e ec i idad local. En la Figu a
8
se mues a un his og ama
576
P.
DIEZ,
J.
J.
EGOZCUE
Y
A.
HUERTA
que ep esen a el núme o de elemen os con un cie o alo del índice de e ec i idad
local, la in aes ima local. Se puede e que la dis ibución es á bas an e concen ada,
odos los alo es es án en e 0,83 y 0,95. Po lo an o la calidad de la es ima es
ap oximadamen e la misma en odo el dominio. Es o esul a muy impo an e si
se a a u iliza la es ima en un p oceso de mallado adap able, ya que los c i e ios
de op imalidad equie en uni o midad del e o en la malla óp ima. Es con enien e
ecalca , además, que aunque la es ima es mejo en el in e io del dominio, ce ca del
con o no los esul ados son ambién acep ables (el índice de e ec i idad no baja del
83
%).
Los
esul ados indican, po lo an o, que el compo amien o del es imado
es bueno ce ca de los con o nos de Di ichle , donde o os es imado es suelen plan ea
p oblemasz2.
a
!l
-,
3
O
10
O
XO
o
YO
I
W
1 10
Figu a
8.
His og ama que ep esen a la dis ibución de ecuencias de apa ición de los
índices de e ec i idad locales en
el
p oblema escala plano. Se ep esen a
pa a la es ima con
pa ches
nodales
y
submalla elemen al de
16
elemen os
El e ce ejemplo es un p oblema mecánico plano (en la hipó esis de de o mación
plana) debido a Zienkiewicz y Zhul. Se a a de de e mina el es ado de una p esa de
g a edad bajo las ca gas que p opo cionan la p esión hid os á ica sob e el pa amen o
mojado y su peso p opio. Se p esc iben los desplazamien os en la pa e del con o no
que co esponde al con ac o con el macizo ocoso. Se calcula una ap oximación
uh
a
los desplazamien os de la p esa u ilizando el mé odo de los elemen os ini os.
En es e caso no se dispone de una solución analí ica, y po lo an o se alida á la
es ima ob enida compa ándola con la dis ibución de e e encia que se ob iene al hace
un cálculo global con una malla e inada. La dis ibución del e o de e e encia y la
del e o es imado se pueden e en la Figu a 9. También en la Figu a 9, se mues a
la dis ibución del e o es imado usando el es imado de Zienkiewicz y Zhul. Desde
-
1/88,
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UN
ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL
el pun o de is a cuali a i o las es dis ibuciones son simila es: en la Figu a
9,
se
puede e que an o el es imado que se in oduce en es e abajo como el de Zienkiewicz
y
Zhu p opo cionan esul ados sa is ac o ios. Sin emba go, pa a compa a de una
Figu a
9.
Dis ibuciones espaciales del e o en el p oblema mecánico: e o de
e e encia (a iba), e o es imado con el p esen e es imado (cen o) y e o
es imado con el es imado Zienkiewicz y Zhu,
1987
(abajo)

mane a cuan i a i a los esul ados de las dos es imas se p esen an en la Figu a
10
los his og amas, análogos al de la Figu a
7,
que co esponden a ambas es imas.
So
puede ap ecia que los alo es co espondien es al es imado que aquí se p esen a,
se concen an en una banda más es echa. Es o se aduce en que al compa a las
dis ibuciones espaciales del índice de e ec i idad pa a el es imado p esen ado
y
pa a
el de Zienkiewicz
y
Zhu, la que co esponde al p ime o esul a se más uni o me
(Figu a
11).
De ca a a su u ilización en un p oceso de cálculo adap able es a
uni o midad es muy deseable.
Figu a
10.
His og ama que ep esen a la dis ibución de ecuencias de apa ición de
los índices de e ec i idad locales en el p oblema mecánico plano). Se
ep esen a la es ima con
pa ches
nodales
y
submalla elemen al de
16
elemen os (línea con inua)
y
el es imado de Zienkiewicz
y
Zhu,
1987
(línea
a
azos)
Además, en es e ejemplo la es ima del e o se ha u ilizado en un p oceso de
cálculo adap able. El obje i o que se plan ea es consegui una solución con un e o
ela i o in e io al
5
%
de la no ma (de la ene gía) de la solución. Se sigue el c i e io
de emallado que in oducen Zienkiewicz
y
Zhul
y
se u iliza el gene ado au omá ico
de mallas cuad angula es no es uc u adas desa ollado po Sa a eZ3. La sucesión de
mallas esul an es se mues a en la Figu a
12.
UN
ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL
Figu a
11.
Dis ibución del índice de e ec i idad pa a el p oblema mecánico: usando
el es imado que se p esen a aquí (a iba)
y
el de Zienkiewicz
y
Zhu,
1987
(abajo)
193 el. 11.48%
484 el. 5.85%
522 el. 5.40%
596
el.
5.03%
602 el. 4.93%
Figu a
12.
Sucesión de mallas que con e ge a una que p opo ciona un e o in e io
al
5
%
1
UN
ESTIMADOR
DE
ERROR RESIDUAL
58
1
CONCLUSIONES
Se ha in oducido un mé odo de es ima del e o que supone un en oque dis in o a
los es imado es esiduales. La idea básica es p oyec a el e o median e la esolución
de p oblemas locales sencillos.
En los ejemplos que se es udia on, el es imado se mues a e icaz, pues o que se
ob ienen dis ibuciones de e o es imado muy ap oximadas a las exac as.
El es imado que se ha p esen ado p opo ciona co as in e io es del e o an o global
como local. Las es imas que se han conseguido esul an buenas ap oximaciones an o al
alo global del e o como a su dis ibución. Aún a ándose de un es imado esidual,
el que aquí se p esen a no equie e calcula los sal os de lujo
a
a és de los lados
y
dis ibui los en e los elemen os según un p oceso de equilib ado. Así, el e o que se
in oduce en es os p ocesos, uno de los p incipales incon enien es de los es imado es
esiduales, se elimina comple amen e.
Además, es e es imado puede aplica se a mallas que combinan dis in os ipos de
elemen os. La solución de e e encia se ap oxima esol iendo p oblemas locales suje os
a condiciones de con o no de Di ichle homogéneas. Po lo an o en la p og amación
del es imado se pod án ecicla las sub u inas exis en es en un p og ama de elemen os
ini os.
REFERENCIAS
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,
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y
J.T.
Oden, "A P ocedu e o a pos e io i E o Es ima ion o h-p Fini e
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(1978).
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9. D.W. Kelly, "The Sel -Equilib a ion o Residuals and Complemen a y a pos e io i E o
Es ima es in he Fini e Elemen Me hod", In e na ional Jou nal o Nume ical Me hods
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