Un estimador de error residual para el método de los elementos finitos

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 14,4, 557-582(1998) UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL PARA EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PEDRO DÍEZ, JUAN JOSÉ EGOZCUE Y ANTONIO HUERTA Escuela Técnica Supe io de Ingenie os de Caminos, Canales y Pue os Depa amen o de Ma emá ica Aplicada 111 Módulo C2, Campus No e UPC, G an Capi án s/n 08034 Ba celona, España Tel: i- 34-93-401 69 09 Fax: + 34-93-401 65 O4 E-mail: [email p o ec ed] RESUMEN Los es imado es de e o esiduales se basan en esol e de mane a ap oximada la ecuación que ca ac e iza al e o . En es e a ículo se p esen a un es imado de e o basado en la esolución de p oblemas locales median e submallas que disc e izan cada uno de los elemen os. En cada uno de es os p oblemas elemen ales se imponen condiciones de con o no de Di ichle . De es a mane a se ob iene una p ime a es ima que sólo iene en cuen a in o mación in e io a los elemen os. En es a p ime a ase no se conside a la con ibución al e o asociada a los sal os de lujo a a és de los lados de los elemen os. En una segunda ase se incluye es a in o mación. Sin emba go, a di e encia de o os es imado es, es o se lle a a cabo sin calcula los sal os y, po consiguien e, se e i a ene que equilib a los lujos de e o . Es o se hace conse ando la iloso ía de la p ime a ase, es deci esol iendo p oblemas locales disc e izados median e submallas. Los subdominios asociados a es os p oblemas se solapan con los elemen os y ecub en sus lados. Es o úl imo hace que es a segunda ase ecoja el e ec o de los sal os de lujo. En es a segunda ase, la es ima se some e a es icciones adicionales que pe mi en que se pueda suma al esul ado de la p ime a ase. El es imado que se calcula a pa i de la combinación de las dos ases p opo ciona buenos esul ados en los ejemplos de aplicación, compa ado con o os es imado es exis en es. A RESIDUAL TYPE-ERROR ESTIMATOR FOR THE FINITE ELEMENT METHOD SUMMARY Residual- ype e o es ima o s a e based on sol ing he e o equa ion. This pape p esen s an e o es ima o which sol es local e o p oblems using elemen a y submeshes. Each elemen a y p oblem is sol ed using i ial Di ichle bounda y condi ions. Thus, a i s es ima e is ob ained. This es ima e accoun s only o he e o in he in e io o he elemen s and, consequen ly, he e ec o he lux jump acc oss he elemen edges is no included. In a second phase he lux jumps a e accoun ed o . Howe e , in con as wi h o he esidual- ype e o Recibido: Julio 1997 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 557 558 P. DÍEZ, J. J. EGOZCUE Y A. HUERTA es ima o s, his is done wi hou compu ing he jumps. This p ecludes he need o balancing he ju ips along he edges and ob ain he e o luxes. This second phase ollows he same app oach o he i s one: local p oblems a e sol ed using submeshes. The subdomains associa ed wi h his second se o local p oblems o e lap he elemen s and co e hei edges. The es ima e associa ed wi h his second phase is cons ained o addi ional es ic ions allowing o sum up he c:o i ibu ions o he wo phases. The comple e es ima e compu ed om he combina ion o he wo phases gi es excellen esul s in he applica ion examples compa ed o exis ing e o es i ia o s. El uso de los p ocedimien os de cálculo adap able se ha con e ido en una he amien a imp escindible pa a la aplicación p ác ica del mé odo de los elenien os ini os. Una pieza cla e del cálculo adap able es el es imado de e o que se u ilice. El es imado de e o p opo ciona in o mación sob e la calidad global de la solución y sob e la dis ibución del e o en el dominio. Mien as que la es ima global e alúa la ad iisibilidad de la solución ap oximada, si la solución no es admisible: se c ea una nue a ialla a pa i de un indicado de emallado que u iliza la dis ibución de e o . Los elemen os se concen an allí donde la solución es menos p ecisa. El obje i o es co isegui , con la nue a malla, una solución con e o global po debajo de im alo p esc i o y dis ibuido uni o memen e. Los es imado es de e o a p io i son una he amien a básica pa a el es udio del mé odo de los elemen os ini os pe o no pe mi en ob ene una e aluación p ác ica del e o que se ha come ido. En cambio, los es imado es a pos e io i, sí p opo cionan esul ados p ác icos. Es os es imado es se pueden clasi ica en dos g andes amilias: es i nado es de p oyección de lujo y es imado es esiduales. Los es imado es de p oyección de lujo se conocen ambién como es imado es po posp oceso o sua izado. Se basan en el es imado o iginal de Zienkiewicz y Zhul. Es e es i iado ue modi icado en 1992 po los mismos au o es2. La idea p incipal de es e ipo de es imado es es halla una ap oximación del e o en lujos, es o es, la di e encia en e el lujo exac o, que es desconocido, y el lujo ap oximado, que es discon inuo. Los es imado es esiduales ap oximan el e o esol iendo p oblemas locales, donde el esiduo se in oduce como un é mino de uen e. En gene a13~4~5~6~7~8 se en iende po esiduo la no e i icación de la o ma ue e de la ecuación di e encial que se es á esol iendo. La ap oximación es ánda po elemen os ini os no iene de i adas con inuas en los lados in e io es de los elemen os y, así, apa ece un esiduo singula asociado a los sal os de lujog. La mayo pa e de los es imado es esiduales (los an e io es y algu ios m~S10,11,12,13,14'15,16 ) se basan en ap oxima las condiciones de con o no de los p oblemas locales epa iendo los sal os de lujo en e los elemen os adyacen es. El c i e io que se sigue en el epa o es consegui un cie o equilib ado de cada p oblema elemen a14,g. E i es e a ículo se in oduce un nue o en oque de la es ima de e o esidual. Las es imas se in e p e an como p oyecciones en espacios de unciones cuyo sopo e queda localizado en un dominio conc e o. Es as p oyecciones se calculan esol iendo p oblemas locales. Se e i a el cálculo del sal o de lujos y odos los incon enien es UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL 559 que es o compo a a los es imado es esiduales exis en es. Básicamen e, es o de i a de conside a el esiduo en la o ma débil en ez del esiduo en la ecuación o iginal. Además, el es imado que aquí se p esen a puede se aplicado a cualquie ipo de malla, incluso mezclando dis in os ipos de elemen os. La p og amación del es imado en un p og ama ípico no plan ea mayo es p oblemas, pues o que se pueden eu iliza las sub u inas exis en es. Po o a pa e, la es ima que se ob iene es una co a in e io del e o exac o. El es o del a ículo se es uc u a de la mane a siguien e: en el apa ado siguien e se p esen a el p oblema modelo y la no ación empleada. Los apa ados a con inuación se dedican a es ablece cómo calcula las p oyecciones del e o y a indaga en sus p opiedades básicas, a de ini un es imado elemen al in e io y a comple a lo añadiendo nue as p oyecciones del e o sob e o os subespacios. Al inal se mues an algunos ejemplos que dejan pa en e la e icacia del es imado . PROBLEMA MODELO Se a a conside a un p oblema elíp ico en un dominio aco ado R c con on e a sua e a ozos. La on e a se di ide en dos pa es n y d, donde se aplica án dis in os ipos de condiciones de con o no. El p oblema de con o no se de ine en su o ma ue e po las siguien es ecuaciones -V . (AVu) + bu = en R (1.4 u = O en d (14 Y (AVu) . n = g, en n (l..> donde u se de ine en R y equie e se ap oximada. La condición de con o no de Di ichle (1.b) se oma homogénea. Debido a la linealidad de (l.a), es o no supone una pé dida de gene alidad. De hecho, en los ejemplos se a a án condiciones de Di ichle no homogéneas. En el desa ollo eó ico del es imado , a e ec os de simpli ica la exposición, se a conside a u como unción escala . Sin emba go, la ex ensión a p oblemas con a iable ec o ial es di ec a y en los ejemplos se a a án p oblemas mecánicos. Pa a es udia la o ma débil del p oblema, equi alen e a la o ma ue e (l), es necesa io in oduci algunas de iniciones. Sea H'(R) el espacio de Sobole clásico de unciones con de i adas de cuad ado in eg able y sea H&(R) al que Hhd(R) = {w E H1(R) 1 w = O en d). La solución u de (1) es ambién la solución del siguien e p oblema in eg al: encuén ese u en H;~ (R) que e i ique .(U, u) = 1(u) (2) pa a oda de H&(R). Las o mas a(., -) y l(.) ienen dadas po a(u, u) := Sn (VV AVu + bu ) dR y 1 (u) := Sn dR + S n g,dT (3) La solución po elemen os ini os de Gale kin uh pe enece a un espacio de dimeiisión ini a Vh, con enido en Hhd(R), y e i ica (2) pa a odas las del p opio Vh. El obje i o de la es ima del e o es ap oxima una medida del e o e, que se de ine po e := u - uh. Si A esul a se simé ica y de inida posi i a y b es no nega i o ( éase la ecuación (l.a)), la o ma bilineal a(., .) es a su ez simé ica y de inida posi i a, es o es, un p oduc o escala . La no ma 11 11 inducida po a(., S) se denomina no ma de la ene gía. Se iene así que ll ll := a( , )lI2 pa a cualquie . Si se es á modelando un p oblema ísico, ll ll se in e p e a como la ene gía asociada al es ado del sis ema que queda desc i o po . La no ma de la ene gía se a a u iliza pa a medi el e o e. La solución uh que p opo ciona el mé odo de los elemen os ini os se puede in e p e a como la p oyección de la solución exac a, que es desconocida, sob e el espacio Vh. Es a p oyección se ha de en ende según el p oduc o escala a(., S) y, en es e sen ido, el mé odo de Gale kin se denomina óp imo. Pa a desc ibi la dis ibución del e o en el dominio R se usan es icciones locales de la no ma de la ene gía 11.11. La no ma se puede es ingi a un subdominio cualquie a de R pe o, en gene al, se desea á medi el e o elemen o a elemen o. De es a mane a, los subdominios Rk a los que se es inge la no ma an a se siemp e los elemen os de la malla de cálculo que gene a el espacio de in e polación Vh. La exp esión de la medida eleme i al del e o e se á IIeIla := [a (e,e)li (4) donde se u iliza la es icción de a(., .) al subdominio Rk que se de ine po ak (u, ) := (V . AVu + bu ) dR S,, (5) PROYECCIONES DEL ERROR Un es imado de e o debe p opo ciona in o mación local pa a desc ibi la dis ibución espacial del e o . Pe o además, el cálculo de la es ima debe se ambién local. Es o es, pa a calcula la es icción del e o a un elemen o, sólo se debe u iliza in o mación con enida en és e o, e en ualmen e, en su en o no. Si no, la es ima se con ie e en un p oceso muy cos oso y esul a ía más ba a o usa una malla e inada pa a calcula una solución de e e encia más p ecisa. En es e caso, pa a e i a un cos oso cálculo global y ealiza sólo cálculos locales (y, po consiguien e, de cos e muy in e io ) se imponen condiciones de con o no lo más sencillas posible al p oblema local del e o . Po lo an o se oman condiciones UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL homogéneas pa a cada p oblema local. Es o pe mi e esol e el p oblema en un elemen o Rk de o ma que es independien e a los demás. Ob iamen e, el e o no es nulo sob e el con o no de los elemen os y, en consecuencia, en el penúl imo apa ado se plan ea una modi icación que mejo a la ap oximación al e o . Dado que la o ma débil (2) p opo ciona un p oblema bien plan eado y que la o ma a(., .) se oma como lineal en su p ime a gumen o, el e o e es el único elemen o de H;~ (O) que e i ica pa a oda en Hhd(R). Así, (6) esul a se una ecuación débil global (en odo el dominio) que ca ac e iza el e o . De es a mane a, aunque no se conozca el e o , u ilizando (6), se puede calcula el p oduc o escala del e o con cualquie unción dada. Es o es, la ecuación (6) pe mi e calcula la p oyección de e sob e cualquie subespacio de Hhd (O). Sea Vk un subespacio de Hhd(R) que con iene unciones con sopo e en Rk: es as unciones se anulan en el es o del dominio, y po lo an o, dado que las unciones de H;d (a) son con inuas, se anulan ambién en la pa e del con o no de Rk in e io a R. El subespacio Vk se gene a po una base de unciones de in e polación B = {Ni,. . . ,N,) po simplicidad, la e e encia al índice k en la designación de la base y de sus elemen os se sup ime. La p oyección de e sob e Vk se designa po ~k. El elemen o ~k se ep esen a po el ec o columna [&k] de sus componen es en la base B mien as que el p oduc o escala a(., .) queda ep esen ado po la ma iz K, de é mino gené ico K,, = a(N,, N,) (i, j =-1,. . . , n) y la o ma l(.) queda ep esen ada po el ec o [1] de é mino gené ico [ij, = V,) = V,) - a(uhlN,). Finalmen e, el esul ado de la p oyección &k se ob iene esol iendo el sis ema de ecuaciones lineales Una ez esuel o, la no ma de la ene gía de ~k se puede calcula de mane a di ec a según la siguien e exp esión Los subespacios Vk son o ogonales en e sí con espec o de a(., .). Es o es así ya que los subdominios Rk, es deci los elemen os ini os de la malla de cálculo ienen in e secciones de medida nula: a lo sumo ienen en común pa e de sus con o nos. De es a mane a se puede aplica la desigualdad de Bessel y se deduce que que las no mas de las p oyecciones EI, e i can donde M es el núme o de elemen os de la malla. La co a que p opo ciona (9) es ambién álida a ni el local. En e ec o, dado que ek es la p oyección de e sob e Vk según la o ma global a(., e), la di e encia e - ~k es o ogonal a ek, es deci a(e - ~k, E~) = O. Además, es a condición de o ogonalidad se e i ica ambién al u iliza la o ma local ak(., S), es deci ak(e - ek,~~) = O, ya que el sopo e de ~k es á incluido en Rk. Así se iene que IlellE = ak(e,e) = a e ([e - ~k] + ~k, [e - ~k] + ~lc) = ak (~k, ~k) + ak (e - ~k, e - ~k) 2 = ll~k 112 + (le - &k 111, Es o pe mi e aco a la medida local del e o llEkll = Il&kllk 5 llellk (lo) pues o que [le - ekllk es posi i o. De es a mane a se deduce que una amilia cualquie a de subespacios Vk de H:~ (O), que se de inen sob e subdominios disjun os o con in e sección con medida nula Ok pe mi e calcula p oyecciones locales ~k que e i ican: la no ma de cada ~k es una co a in e io de la no ma local del e o exac o e ( éase la ecuación (10)) y se puede oma como una es ima local del e o , si se de ine E como la suma de las EI, la no ma global de E se puede calcula ácilmen e a pa i de las p oyecciones locales y esul a se una co a in e io de la medida global del e o llell M ll&12 = E ll&kl12 5 lle1I2 k=l (12) an o la ap oximación global como la local, e y los ~k, se ían mejo es a medida que el espacio V, gene ado po los espacios Vk, V := Vi $ V2 $ . . . $ VM, se ace ca a H d (0) (el compo amien o asin ó ico de la desigualdad de Bessel iene dado po la igualdad de Pa se al). La ap oximación global E es, de hecho, la p oyección do e sob e V. Las unciones de cada subespacio Vk se anulan en la pa e del con o no de Rk in e io a R. Po lo an o la ap oximación global E asociada a una amilia de subespacios Vk, de inida a pa i de una pa ición de R en subdominios Ok, se anula en odos los pun os de los con o nos de los subdominios Rk que son in e io es a R. Es os pun os se denominan pun os ocul os de la ap oximación, pues o que la ap oximación E se es á o zando a i icialmen e a anula se en és os. El espacio V no puede se una buena ap oximación de H:~(R) si pe manecen ocul os muchos pun os del dominio R. En los apa ados sucesi os se de ini án nue as amilias de subespacios asociados a nue as pa iciones de R. De es a mane a, p oyec ando de nue o, se educi á el conjun o de pun os ocul os. UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL Como se ha is o en el apa ado an e io , la de inición de los subespacios de unciones locales Vk ca ac e iza las p oyecciones ~k. Cada una de las EI, se oma como una ap oximación local del e o , es o es como una ap oximación de e o en el in e io del elemen o Rk sob e el que se de ine el subespacio Vk. Típicamen e, los espacios de in e polación local que han usado los es imado es esi- duales se han de inido a pa i de e inamien os de ipo p 8>17j18119 O h 20. En p incipio, el es imado que aquí se p esen a pod ía segui los dos caminos pe o sólo se aplica á el e inamien o ipo h: las unciones de in e polación N, que gene an Vk se de inen a pa i de una disc e ización del elemen o Rk. Las unciones de in e polación N, que gene an Vk se de inen a pa i de una disc e ización del elemen o Rk. Las submallas que disc e izan los elemen os se denominan submallas elemen ales. Pa a consegui sis ema iza los cálculos, las submallas elemen ales se de inen a pa i de una disc e ización del elemen o de e e encia. Es deci , cada submalla elemen al es la ans o mación de una malla de inida sob e el elemen o de e e encia. Es a malla pa ón se aplica sob e cada elemen o Rk median e la ans o mación isopa amé ica (Figu a 1). De es a mane a las unciones de in e polación N, quedan asociadas a nodos de la submalla elemen al que disc e iza Rk. Figu a 1. Submalla elemen al sob e el elemen o de e e encia (a) y submallas elemen ales inducidas en una malla egula (b) y una malla a bi a ia (c) Al ensambla odas las submallas elemen ales se cons uye una malla e inada que disc e iza odo el dominio R. Es a malla e inada se pod ía usa pa a calcula una solución más p ecisa que si iese como e e encia. El amaño ca ac e ís ico de es a malla se designa po y la solución de e e encia asociada se designa po uh. Sin emba go, el cos e de calcula es a solución de e e encia se ía demasiado ele ado ya que en la malla de e e encia se manejan un g an núme o de g ados de libe ad. Po lo an o, la de e minación di ec a de u6 se debe e i a . La solución de e e encia uh pe mi e de ini lo que se a a denomina e o de e- e encia, e, := uh - uh. Es e e o e, se puede e como la p oyección del e o exac o e sob e el espacio de in e polación que gene a la malla de e e encia, Vil Nó ese que e, es el e o de uh espec o de la uh y no coincide con el e o de la solución de e e encia, u - uh, que ha de se muy pequeño espec o de e o e,. De hecho, el e o o al e es la suma del e o de e e encia e, y el e o come ido en la solución de e e encia: e =e, + (u - uL). Dado que la malla de e e encia se cons uye a pa i de la malla o iginal de cálculo, se iene que Vh es á incluido en Vh. Además, el espacio VL incluye a odos los espacios Vj gene ados po las submallas elemen ales, y po lo an o ambién a su suma V (V := C9 & $ . . . $ Vj c VL). Es a inclusión es es ic a y no puede se una igualdad ya que Vi con iene odas las unciones de in e polación Ni que gene an los Vj, es deci las que es án asociadas a nodos in e io es, pe o, además, con iene ambién las que co esponden a los pun os ocul os, es o es, a los nodos de la malla de e e encia que es án en el con o no de los elemen os Rk. Se iene, po lo an o, que e es á en H+~(W), que e, es la p oyección de e sob e Vi c Hid(R) y que E es la p oyección de e sob e V c VA c H+d(R). Así, E es ambién la p oyección de e, sob e V y, en consecuencia, su no ma in a alo a ambién la no ma de e,. Re omando (12), se iene que Il~ll L Ile ll L Ilell. El obje i o del es imado que aquí se p esen a es ap oxima las no mas global y locales de e, e i ando esol e el p oblema global. De hecho, E, la p oyección de e, sob e V, es ya una p ime a ap oximación a e,. En es e caso la p oyección E esul a de ensambla las p oyecciones locales ~k sob e cada espacio Vk. Po lo an o, cada p oyección EI, se calcula esol iendo un p oblema local, con pocos g ados de libe ad y de cos e educido. Es e p oblema conduce a un sis ema de ecuaciones como (7). Tal como es habi ual en el mé odo de los elemen os ini os, el sis ema se cons uye, en una p ime a ase, sin ene en cuen a las condiciones de con o no. En es e caso, es o quie e deci que se incluyen las incógni as asociadas a los nodos del con o no en la submalla que disc e iza Rk. En una segunda ase el sis ema de ecuaciones se modi ica pa a impone las condiciones de con o no. Las condiciones de con o no del p oblema local que se esuel e pa a de e mina ~j son las siguien es: 1) Di ichle homogéneas, es deci ~k = O en I'd, donde I': es la pa e del con o no de Rk que es in e io a R o que es á en d. Recué dese que d es la pa e del con o no de R donde se han impues o condiciones ipo Di ichle (no impo a si son homogéneas o no lo son). Las condiciones de Di ichle se imponen di ec amen e sob e uh, y po lo an o el e o e es nulo en Vd. UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL 2) Neumann homogéneas, de lujo nulo (condiciones na u ales) en n. Se de ine l?: como la pa e del con o no decRk que es á en ,, que es la pa e del con o no de R donde se ha p esc i o el lujo (condiciones de con o no de ipo Neumann). Es o es debido a que el é mino independien e de la ecuación (6) incluye los esiduos en el con o no ( éase la de inición de 1 (.) en (3)). Obsé ese que mien as d es no acío en odo elemen o Rk, I'n puede no exis i . Desde el pun o de is a algo í mico sólo es necesa io impone las p ime as condiciones pues o que las segundas son condiciones na u ales. Además, las condiciones de Di ichle homogéneas son muy sencillas, pues o que sólo equie en exigi que los alo es nodales en algunos nodos del con o no sean nulos. El cálculo del é mino esidual [1], que se de ine en la ecuación (6), es sencillo, pues o que uh pe enece al espacio de e e encia VL. De es a mane a, uh se puede ep esen a en la base de unciones in e polación asociadas a la malla de e e encia. Po lo an o la es icción de uh a Qk se ep esen a á po el ec o columna [uh] de sus alo es nodales. Así, el é mino a(uh, Nj), éase la pa e de echa de la ecuación (6), se calcula como el p oduc o de la ma iz K y el ec o [uh]. Finalmen e, se ob iene [l] = [ll - K [~hl (13) Median e es a exp esión se puede de e mina la pa e de la de echa de la ecuación (7) en unción de los obje os que apa ecen en la o mulación ípica del mé odo de los elemen os ini os. El cálculo del esiduo, es o es el é mino de la de echa de (7), no equie e in eg a la solución ap oximada uh, pues o que las in eg ales necesa ias ya se han calculado pa a de e mina K. El é mino esidual [l] asociado a un subespacio Vk de unciones con sopo e en el elemen o Ok se denomina esiduo in e io . Así, consecuen emen e, la es ima que p opo ciona la ecuación (7) se denomina es ima in e io . La es ima in e io , eniendo en cuen a lo que se ha dicho has a aho a, queda pe ec amen e ca ac e izada al elegi una de e minada submalla elemen al. Resul a muy sencillo de ini submallas pa a elemen os cuad ilá e os. Bas a (Figu a 1) de ini una malla es uc u ada egula en el elemen o de e e encia que, en es e caso, es un cuad ado. Po supues o, aunque la submalla elemen al sea es uc u ada la malla de cálculo que se ha empleado no iene po qué se lo. Es e ipo de submallas e i ica: a) se de inen de mane a sencilla en el elemen o de e e encia, b) pe mi en de ini ácilmen e la es icción de uh a lk y c) pueden se e inadas uni o memen e, an o como desee el usua io. El cálculo de la p oyección ~k, al como se desc ibe en la ecuación (7), equie e esol e un p oblema local en Rk, con una disc e ización inducida po la submalla elemen al co espondien e y donde se han impues o condiciones de con o no de ipo Di ichle homogéneas en odo el con o no de Rk. La no ma de EI, aumen a con el " amaño" del subespacio asociado Vj, es o es con el núme o de g ados de libe ad de la submalla elemen al. Cuan o meno es h, el amaño ca ac e ís ico de la malla de e e encia, mayo es la dimensión de los espacios Vk asociados a cada elemen o y mayo es la no ma de ~k. en las submallas. Los esul ados globales ob enidos se mues an en las Tablas 1 y 11. Como se puede e , a medida que c ece el núme o de elemen os en las submallas, la es ima global con e ge ápidamen e a la medida del e o exac o. Nodos submalla Elemen os submalla Es ima global Índice de e ec i idad 2 3 0,01488 94,3 % 4 5 0,015463 98,O % 8 9 0,015687 99,4 % 16 17 0,015758 99,s % Tabla 1. Es ima del e o global e índice de e ec i idad asociado pa a el p oblema unidimensional con elemen os lineales 1 Nodos submalla 1 Elemen os submalla 1 Es ima global 1 Índice de e ec i idad 1 Tabla 11. Es ima del e o global e índice de e ec i idad asociado pa a el p oblema unidimensional con elemen os cuad á icos Las dis ibuciones del e o es imado a a és de las medidas locales se pueden e en la Figu a 4. Las es imas que se p esen an en la Figu a 4 se han calculado con submallas elemen ales g ose as (5 elemen os lineales y 2 elemen os cuad á icos, espec i amen e), con submallas más inas no se dis inguen en el dibujo la dis ibución exac a de la ap oximada. Así, en es e caso esul a que la es ima in e io es ya una ap oximación muy buena del e o exac o. Es o es así aunque se man engan pun os ocul os, que son los nodos de la malla de cálculo o iginal. No pa ece pues necesa io en iquece la es ima in e io con una es ima de pa ch. Nó ese que aquí los pa ches debe ían ecub i los nodos (y elimina odos los pun os ocul os). Es e enómeno apa ece sólo en es e caso sencillo y es debido a que se obse an p opiedades de supe con e gencia. En e ec o, en es e p oblema la solución po elemen os ini os iene un o den de ap oximación supe io en los nodos 20. Po lo an o el e o en los nodos, que son p ecisamen e los pun os ocul os, es muy in e io al e o en el es o del dominio. Dicho de o a mane a, las condiciones de con o no de Di ichle homogéneas que se u ilizan en la es ima in e io son muy p ecisas. La con ibución de los pa ches a la es ima no se ía en es e caso signi ica i a. UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL 5 73 Figu a 4. Dis ibución del e o exac o (línea con inua) y es imado (línea a azos) pa a elemen os lineales (a iba) y cuad á icos (abajo) El segundo ejemplo es un p oblema plano, se esuel e la ecuación de Poisson en el dominio que se mues a en la Figu a 5. Es o es, se busca u que e i ique con condiciones de Di ichle en odo el con o no de mane a que u(x, y) = x2 + y2 sea la solución exac a del p oblema. La solución ap oximada se calcula usando la malla no es uc u ada de cuad ilá e os que se puede e en la Figu a 5. Figu a 5. Dis ibución del e o exac o Figu a 6. Dis ibución del e o es i- en el p oblema escala plano mado en el p oblema escala plano Nodos submalla Elemen os submalla Es ima global Índice de e ec i idad 9 16 0,24759 91,9 % Tabla 111. Es ima del e o global e índice de e ec i idad asociado pa a el p oblema plano con elemen os cuad ilá e os de cua o nodos y submallas de pa ches nodales Como se puede e en las Tablas 111 y IV, en es e caso la es ima con pa ches nodales p opo ciona esul ados lige amen e mejo es que la es ima con pa ches asociados a los lados. De cualquie modo, la es ima local se ajus a bien a la o ma de la dis ibución UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL Tabla IV. Es ima del e o global e índice de e ec i idad asociado pa a el p oblema plano con elemen os cuad ilá e os de cua o nodos y submallas de pa ches asociados a los lados - del e o exac o. En la Figu a 5 se puede e la o ma de la dis ibución del e o exac o en el dominio. Obsé ese que es a dis ibución es muy simila , desde un pun o de is a cuali a i o, a la del e o es imado que se p esen a en la Figu a 6 (la dis ibución co esponde a la es ima con pa ches nodales y una submalla elemen al con 16 elemen os). La dis ibución de la Figu a 6 se ha ob enido usando pa ches nodales Nodos submalla 9 41 177 con submallas elemen ales de 16 elemen os. Es ima global 0,23381 0,24315 0,24691 Elemen os submalla 12 48 92 Figu a 7. Dis ibución del índice de e ec i idad pa a el p oblema escala plano. Se ep esen a pa a la es ima con pa ches nodales y submalla elemen al de 16 elemen os Índice de e ec i idad 86,8 % 90,2 % 91,6 % En la Figu a 7 se mues a la dis ibución del índice de e ec i idad en el dominio. Pa a examina cuan i a i amen e la calidad de la es ima local, se a a es udia la dis ibución de los índices de e ec i idad local. En la Figu a 8 se mues a un his og ama 576 P. DIEZ, J. J. EGOZCUE Y A. HUERTA que ep esen a el núme o de elemen os con un cie o alo del índice de e ec i idad local, la in aes ima local. Se puede e que la dis ibución es á bas an e concen ada, odos los alo es es án en e 0,83 y 0,95. Po lo an o la calidad de la es ima es ap oximadamen e la misma en odo el dominio. Es o esul a muy impo an e si se a a u iliza la es ima en un p oceso de mallado adap able, ya que los c i e ios de op imalidad equie en uni o midad del e o en la malla óp ima. Es con enien e ecalca , además, que aunque la es ima es mejo en el in e io del dominio, ce ca del con o no los esul ados son ambién acep ables (el índice de e ec i idad no baja del 83 %). Los esul ados indican, po lo an o, que el compo amien o del es imado es bueno ce ca de los con o nos de Di ichle , donde o os es imado es suelen plan ea p oblemasz2. a !l -, 3 O 10 O XO o YO I W 1 10 Figu a 8. His og ama que ep esen a la dis ibución de ecuencias de apa ición de los índices de e ec i idad locales en el p oblema escala plano. Se ep esen a pa a la es ima con pa ches nodales y submalla elemen al de 16 elemen os El e ce ejemplo es un p oblema mecánico plano (en la hipó esis de de o mación plana) debido a Zienkiewicz y Zhul. Se a a de de e mina el es ado de una p esa de g a edad bajo las ca gas que p opo cionan la p esión hid os á ica sob e el pa amen o mojado y su peso p opio. Se p esc iben los desplazamien os en la pa e del con o no que co esponde al con ac o con el macizo ocoso. Se calcula una ap oximación uh a los desplazamien os de la p esa u ilizando el mé odo de los elemen os ini os. En es e caso no se dispone de una solución analí ica, y po lo an o se alida á la es ima ob enida compa ándola con la dis ibución de e e encia que se ob iene al hace un cálculo global con una malla e inada. La dis ibución del e o de e e encia y la del e o es imado se pueden e en la Figu a 9. También en la Figu a 9, se mues a la dis ibución del e o es imado usando el es imado de Zienkiewicz y Zhul. Desde - 1/88, c.. - - m - - 0 - - - - - - I,/II I -,,,,, n 1'"' - - - UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL el pun o de is a cuali a i o las es dis ibuciones son simila es: en la Figu a 9, se puede e que an o el es imado que se in oduce en es e abajo como el de Zienkiewicz y Zhu p opo cionan esul ados sa is ac o ios. Sin emba go, pa a compa a de una Figu a 9. Dis ibuciones espaciales del e o en el p oblema mecánico: e o de e e encia (a iba), e o es imado con el p esen e es imado (cen o) y e o es imado con el es imado Zienkiewicz y Zhu, 1987 (abajo) mane a cuan i a i a los esul ados de las dos es imas se p esen an en la Figu a 10 los his og amas, análogos al de la Figu a 7, que co esponden a ambas es imas. So puede ap ecia que los alo es co espondien es al es imado que aquí se p esen a, se concen an en una banda más es echa. Es o se aduce en que al compa a las dis ibuciones espaciales del índice de e ec i idad pa a el es imado p esen ado y pa a el de Zienkiewicz y Zhu, la que co esponde al p ime o esul a se más uni o me (Figu a 11). De ca a a su u ilización en un p oceso de cálculo adap able es a uni o midad es muy deseable. Figu a 10. His og ama que ep esen a la dis ibución de ecuencias de apa ición de los índices de e ec i idad locales en el p oblema mecánico plano). Se ep esen a la es ima con pa ches nodales y submalla elemen al de 16 elemen os (línea con inua) y el es imado de Zienkiewicz y Zhu, 1987 (línea a azos) Además, en es e ejemplo la es ima del e o se ha u ilizado en un p oceso de cálculo adap able. El obje i o que se plan ea es consegui una solución con un e o ela i o in e io al 5 % de la no ma (de la ene gía) de la solución. Se sigue el c i e io de emallado que in oducen Zienkiewicz y Zhul y se u iliza el gene ado au omá ico de mallas cuad angula es no es uc u adas desa ollado po Sa a eZ3. La sucesión de mallas esul an es se mues a en la Figu a 12. UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL Figu a 11. Dis ibución del índice de e ec i idad pa a el p oblema mecánico: usando el es imado que se p esen a aquí (a iba) y el de Zienkiewicz y Zhu, 1987 (abajo) 193 el. 11.48% 484 el. 5.85% 522 el. 5.40% 596 el. 5.03% 602 el. 4.93% Figu a 12. Sucesión de mallas que con e ge a una que p opo ciona un e o in e io al 5 % 1 UN ESTIMADOR DE ERROR RESIDUAL 58 1 CONCLUSIONES Se ha in oducido un mé odo de es ima del e o que supone un en oque dis in o a los es imado es esiduales. La idea básica es p oyec a el e o median e la esolución de p oblemas locales sencillos. En los ejemplos que se es udia on, el es imado se mues a e icaz, pues o que se ob ienen dis ibuciones de e o es imado muy ap oximadas a las exac as. El es imado que se ha p esen ado p opo ciona co as in e io es del e o an o global como local. Las es imas que se han conseguido esul an buenas ap oximaciones an o al alo global del e o como a su dis ibución. Aún a ándose de un es imado esidual, el que aquí se p esen a no equie e calcula los sal os de lujo a a és de los lados y dis ibui los en e los elemen os según un p oceso de equilib ado. Así, el e o que se in oduce en es os p ocesos, uno de los p incipales incon enien es de los es imado es esiduales, se elimina comple amen e. Además, es e es imado puede aplica se a mallas que combinan dis in os ipos de elemen os. La solución de e e encia se ap oxima esol iendo p oblemas locales suje os a condiciones de con o no de Di ichle homogéneas. Po lo an o en la p og amación del es imado se pod án ecicla las sub u inas exis en es en un p og ama de elemen os ini os. REFERENCIAS 1. O.C. Zienkiewicz y J.Z. Zhu, "A Simple E o Es ima o and Adap i e P ocedu e o P ac ica1 Enginee ing Analysis" , In e na ional Jou nal o Nume ical Me hods in Enginee ing, Vol. 24, pp. 337-357, (1987). 2. O.C. Zienkiewicz y J.Z. Zhu, "The Supe con e gen Pa ch Reco e y (SPR) and Adap i e Fini e Elemen Re inemen ", Compu e Me hods in Applied Mechanics and Enginee ing, Vol. 101, pp. 207-224, (1992). 3. M. Ainswo h y J.T. 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