Re is a h e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía.
Vol.
3,4, 38%409(1987)
1
ANALISIS DE LAS SOLUCIONES
NUMERICAS DE LA ECUACION DE
CONVECCION
-
DISPERSION
-
ADSORCION
PATRICIA M. CARPANO*
CARLOS A. GRATTONI*
SUSANA C. GABBANELLI*
Y
MIRTHA S. BIDNER**
*Depa amen o de Ingenie ía Química
Facul ad de Ingenie ía
Uni e sidad Nacional de La Pla a
1
esq. 47,
1900
La Pla a, A gen ina.
**Depa amen o de Ingenie ía Quámica
Facul ad de Ingenie ía
Uni e sidad de Buenos Aims
Pabellón de Indus ias, Ciudad Una e si a ia
1427 Buenos Ai es, A gen ina
RESUMEN
La ecuación di e encial pa cial no lineal que desc ibe el lujo bicomponen e miscible
a a és de medios po osos, con dispe sión
y
adso ción del ipo Langmui , se esuel e
numé icamen e. Se aplican cua o mé odos di e en es: explíci o, Ba aka -Cla k, C ank-
Nicolson
y
ecuaciones di e enciales o dina ias. Se es ima el e o de uncación de los
dis in os mé odos. Se ob ienen las condiciones de es abilidad de los mismos pa a el caso
de adso ción lineal
y
se in ie en las condiciones de es abilidad pa a la ecuación no lineal.
A
e ec os de compa a los cua o mé odos, se siguen dos caminos. P ime o, se de ine un
e o global que e alúa las di e encias en e cada una de las soluciones numé icas
y
la solución
analí ica que ep esen a el caso de adso ción lineal. U ilizando es e e o se compa an las
soluciones numé icas en e sí. Además se es udia la in luencia de los pa áme os de la
ecuación di e encial y de los inc emen os espaciales
y
empo ales de la disc e ización en
las soluciones ob enidas. En especial, se discu e el mé odo Ba aka -Cla k. Segundo, pa a
la ecuación con adso ción no lineal, las cua o soluciones numé icas se compa an con a
esul ados expe imen ales, po medio de un e o que e alúa
las
di e encias en e cada
solución y los da os expe imen ales.
SUMMARY
The pa ial di e en ial nonlinea equa ion which desc ibes he bicomponen miscible
low . h ough po ous media wi h dispe sion and Langmui equilib ium adso p ion is
nume ically wo ked ou . Fou di e en me hods a e applied: explici , Ba aka -Cla k, C ank-
Nicolson and o dina y di e en ial equa ions. T unca ion e o o he me hods a e es ima ed.
Recibido: Junio 1987
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya
(España)
ISSN
02
13-1315
SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION
391
siendo
+,
la concen ación de solu o;
+,,
la ados ción del solu o en el medio po oso;
Ií,
el coe icien e de dispe sióin;
V,
la elocidad in e s icial; , la coo denada empo al;
y
X,
la espacial.
La ecuación (1) supone:
-
medio po oso homogéneo con sección ans e sal y po osidad cons an es;
-
lujo iso é mico y unidimensional;
-
elocidad in e s icial (ob enida di idiendo la elocidad Da cy po la po osidad),
cons an e;
-
dispe sión del solu o sólo en la di ección longi udinal;
-
coe icien e de dispe sión independien e de la concen ación química;
-
no hay eacción química en e la solución inyec ada y la oca o el luido in-si u.
El é mino
%
en (1) ep esen a la adso ción de solu o en la oca, conside ando
que és a es gobe nada po la iso e ma de Langmui , que supone equilib io
ins an áneo,
as,
s,T
=
-
1
+
Ps,
El pa áme o de adso ción
a
es adimensional y el pa áme o
P
iene unidades
de in e sa de la concen ación.
Di e enciando
1;
ecuación
(2)
e in oduciéndola en la ecuación
(l),
esul a:
as, a2$
as,
=
IL-
-
-
a~
ax2
a~
donde
El medio po oso puede supone se semi-in ini o o ini o, dando luga a dis in as
condiciones de bq de" En ]nues a compa ación u iliza nos.la siguien e condición de
bo de:
donde es la concen ación de inyección.
La condición inicial es,
donde
392
P.M. CARPANO, C.A. GRATTONI, S.C. GABBANELLI
Y
M.S. BIDNER
l
-
Se de inen las siguien es a iables adimensionales:
$
X
u
C=-
x=-
=-
$0
I
I
(6)
u
y
pa áme os adimensionales
l
NPe
=
-
K
b
=
BIlo
(7)
siendo
Npe
el núme o de Pécle ;
1
la
longi ud del medio po oso
y
b
pa áme o de
adso ción adimensional.
Las
ecuaciones
(3),
(4)
y
(5)
esul an
ac
1
a2c
ac
~(c)~
=
--
-
-
ax2
ax
(8)
a
=
1
+
[
(1
+
b~)']
C(0, )
=
1
;
>O
C(x,
O)
=
o
SOLUCIONES ANALITICAS
Las
soluciones analí icas pa a la ecuación de con ección-dispe sión
(g(C)
=
1)
y
dis in as condiciones de bo de es án dadas en la bibliog a ía1. Conside ando las
ecs.
(8),
(9)
y
(lo),
la solución es á ep esen ada po
C
=
-
e c
-
-
NP~
x+
l[
~x~ )+e~pe~e c($7)]
2
(11)
que puede se ex endida
al
caso de adso ción lineal
(g(C)
=
1
+
a)
con sólo cambia
po
/(l
+
a).
SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION
393
SOLUCIONES NUMERICAS
La ecuación (8) ue esuel a numé icamen e, conside ando
x
=
5
como in ini o,
en una compu ado a IBM 4361 po los mé odos que se desc iben a con inuación,
donde c,u
y
w
ep esen an las ap oximaciones numé icas de
C.
1.
Mé odo explíci o5, (E): ap oxima la ecuación (8) de una mane a simple, en o ma
cen ada al ededo del pun o
(i,
n):
2.
Mé odo de Ba aka -Cla k4, (BC): la ecuación es ap oximada po las siguien es
exp esiones en di e encias ini as.
-
"Fo wa d"
,
(F)
i
u?+,
-
un
-
u;+1
+
uy l U~+l
-
n+l
-
--[
'i-i
+
u:~~~u~]
NP~
Az2
1
-
[
2Az
(13)
-
"Backwa d",
(B)
La concen ación cY+l puede se e aluada po :
un+', la solución de
(F),
se calcula explíci amen e a pa i de la ecuación (13)
desde
x
=
O
en una sucesión de
i
c ecieii es. De la misma. mane a, w?+', la solución

394
P.M. CARPANO, C.A. GRATTONI, S.C. GABBANELLI
Y
M.S. BIDNER
de
(B),
se calcula de la ecuacióii (14) comenzando en
x
=
5
en una sucesión de
.i
dec ecien es.
3.
Mé odo de C ank-Nicolson5, (CN):
al
aplica lo a la ecuación
(8)
esul a
'n+l
-
n+l
-
[
<+!
'i-i
+
'?+í
-
e?-1
4Ax 4Ax
1
La solución es ob enida esol iendo ecuaciones algeb aicas simul áneamen e e
i e ando en cada.paso de iempo debido a la no linealidad de la ecuación.
4.
Mé odo de las Ecuacjones Di e enciales O dina ias7, (ODE): se disc e iza la
pa e espacial pa a, educi la a una ecuación o dina ia. Ap oximando las
de i adas pa ciales espaciales y el e mino de adso ción como en el mé odo
explíci o, se ob iene
Pa a ealiza la in eg ación numé ica se p oba on a ios mé odos: Milne (50.
o den, paso a iable), Runge-Ku a (40. o den, paso ijo y a iable), S i (paso
a iable), Adams (20. o den, paso ijo). En e ellos se eligi6 el de Runge-Ku a
debido a que p oduce iguales e o es que los de 119ilne
y
S i pe o u iliza meno
can idad de pasos. El de Adams iene mayo es e o es que el de Runge-Ku a de
paso ijo pa a el mismo A . An e la necesidad de compa a con los o os mé odos
(E,
BC,
CN)
se u ilizó el de Runge-I<ii a de paso ijo, sac i icando la es abilidad
incondicional que p esen a el de paso a iable.
Pa a compa a la exac i ,ud de los dis in os mé odos en e
a
las di e en es
si uaciones se usó la siguien e exp esión del e o ,
SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION
395
debido a que es la más ep esen a i a del compo amien o global de la solución,
donde
1
es el núme o
de
pasos en el espacio
y
N
el núme o de pasos en el iempo.
E o
de
uncación
Pa a la ecuación no lineal po expansiones en se ie de Taylo se es ima el e o
de uncación
(E:)~
de los mé odos u ilizados; con la excepción del mé odo
ODE,
pa a el que se es ima el e o de uncación en o ma empí ica.
-
Explíci o:
Se obse a que la no linealidad de la ecuación
(8)
no in luye sob e el o den de
ap oximación.
-
Ba aka -Cla k: el e o de uncación se es ima examinando cada una
de
las
ecuaciones (13) y (14),
396
P.M. CARPANO, C.A. GRATTONI, S.C. GABBANELLI
Y
M.S. BIPNER
d3wp 1 d4~? 1
+
%:]
A 2-
+
[ai"
zg(":)
-
a,zaii
4Np,
axa 2
4
[a2~?
i
la
[@w:
i
-
--
--
a3w:
']AxA~+
dxd
Npe
Ax ¿3x3 d
6
Np,
dx2 d 4
d3w: 1 d41u: 1
dx3
6
8x4 12
Np,
Debido a que cada una de las ecuaciones
(13)
y
(14)
puede se usada pa a
ap oxima la solución de la ecuación
(8),
cada uno de los é minos en las exp esiones
(20)
y
(21)
iene ap oximadamen e la misma magni ud. Po lo an o al calcula los
pe iles de concen ación según la ecuación
(15),
aquellos é minos que ienen signos
opues os ende ían a cancela se
y
comoconsecuencia el e o de uncación se ía
E:
E
O(A )
+
0(Ax2)
P2)
Nó ese que pa a el caso de lujo sin adso ción
(g(C)
=
1)
el é mino de
O(A )
en las ecuaciones
(20)
y
(21)
se anula
y
po lo an o el e o de uncación se ía
E;
E
0(A 2)
+
0(Ax2) (23)
-
C ank-Nicolson
n+i
n+b
n+"
[u3ai3
~(ci
'1
+
d2ci
"+*
ac;+*
ag(cn+?>
:-
E
i
24
d 2 d aen+$
4
1
a3e7+!
1
---
+
--]
a 2+
8x2 d 2
8
Npe
d5 d 2
8
=
0(A 2)
+
0(Ax2)
La exp esión an e io mues a como en el caso explíci o que la adso ción no
modi ica el e o de uncación.
SOLUCIONES NUMERICAS
DE
LA ECUACION DE CONVECCION
397
-
Ecuaciones Di e enciales O dina ias: se puede deci que a causa de la disc e-
ización espacial el e o es de
0(Aa2).
El mé odo de Runge-Icu a pa a la
in eg ación empo al iene un e o de
0(A 5).
Po lo an o:
Con espec o al o den de ap oximación el mé odo más con enien e es el ODE.
Análisis de es abilidad
La es abilidad de un esquema en di e encias queda de e minada po la no
ampli icación de los e o es de un cie o ni el de iempo sob e el siguien e, según
Peaceman5, Aziz7 y o os8~'.
Pa a comenza el análisis de la es abilidad se oma el caso sin adso ción con
lo cual la ecuación
(8)
esul a se una ecuación lineal a coe icien es cons an es. En
es e ipo de ecuaciones es condición necesa ia y su icien e pa a que un esquema bien
plan eado esul e es able8*' que se e i ique el c i e io de on Neuman5J0. De la
aplicación de dicho c i e io se ob u ie on las condiciones siguien es, sal o pa a el
ODE, cuyo análisis se hace empí icamen e:
-
Explíci o
-
Ba aka -Cla k y "Backwa d"
-
Ecuaciones di e enciales o dina ias
Las condiciones an e io es pueden se gene alizadas al caso de adso ción lineal
(b
-
0)
con sólo eemplaza
A
po
A /(l+
a).
De es a mane a la elección de
A
y
Ax
es menos es ic i a que en el ca.so de lujo sin adso ción.
En base a p uebas compu acionales, conside ando adso ción ipo Langmui
se obse ó que las condiciones de es abilidad es án comp endidas en e las
de e minadas pa a los dos casos: sin adso ción y con adso ción lineal. En onces, pa a
el caso no lineal, si se sa is acen las ecuaciones (26), (27) y (28) espec i amen e, las
soluciones son es ables.
404
P.M. CARPANO, C.A. GRASTONI, S.C. GABBANELLI
Y
M.S. BIDNER
Figu a
5.
Va iación del e o global pa a las soluciones " o wa d",
(F),
"backwa d",
(B),
y
su p omedio, (BC).
A:
en unción del inc emen o espacial.
B:
en
unción del inc emen ,~ empo al.
La a iación del e o local con los pa áme os de disc e ización en el espacio
se mues a en la Figu a
9-A
y
en el iempo en la Figu a 9-B, pa a los cua o
mé odos. Cuali a i amen e el compo amien o es simila al de las Figu as
3
y
4,
espec i amen e.
En la Figu a
9-A
se isualiza que odos los mé odos ienen un compo amien o
simila pa a
Ax
2
0.015625.
A
meno es
Ax,
los mé odos E
y
BC p esen an mínimos
y aumen os sua es del e o . Los o os dos, CN y ODE man ienen el e o casi
cons an e.
En la Figu a
9-B
se mues a que pa a odos los mé odos el e o disminuye
con
A
endiendo a un alo común. El mínimo que mues a el mé odo de CN se
debe a que és e ue u ilizado pa a la op imización an es mencionada pa a halla los
pa áme os
Npe,
a,
b.

SOLUCIONES NUMERICAS
DE
LA ECUACION
DE
CONVECCION
405
Figu a
6.
Pe iles de concen ación, pá a lujo sin adso ción, de
las
soluciones
analí ica, " o wa d",
(F),
y
"backwa d",
(B).
CONCLUSIONES
Pa a esol e la ecuación de
con ección-dispe sión-adso ción
se han u ilizado
cua o mé odos numé icos. Es os ue on compa ados con la solución di e encial (pa a
el caso de adso ción lineal) y con da os expe imen ales (pa a el caso de adso ción
no lineal). De es a compa ación su ge:
.
CN
es el de meno iesgo, po se el único incondicionalmen e es able, si
bien bajo cie as condiciones puede p esen a pequeñas oscilaciones que se
amo iguan con el iempo, al igual que los demás mé odos. Mues a un buen
compo amien o en e a los pa áme os ísicos
(Npe,a)
y de disc e ización
(Ax,A ). Lamen ablemen e equie e mayo iempo de CPU y en gene al iene
un e o global g ande.
.
ODE iene como en ajas sob e el
CN
su mayo o den de ap oximación, meno
e o global y meno iempo de cálculo, aunque es condicionalmen e es able.
.
BC
es un mé odo explíci o, muy supe io al explíci o adicional. Requie e
meno iempo de cómpu o que los demás. Su p incipal incon enien e es el
compo amien o anómalo en e a los pa áme os con la apa ición de mínimos
p onunciados, lo cual puede causa e o es mayo es que los p e isibles, aunque
SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION
407
és os sean siemp e meno es que los de las soluciones "Fo wa d" y "Backwa dn
que lo componen.
E es el más des en ajoso en odo sen ido.
I
Figu a
9.
Va iación del e o local pa a odos los mé odos.
A:
en unción del
inc emen o espacial.
B:
en unción del inc emen o empo al.
NOMENCLATURA
pa áme os pa a el modelo de adso ción de Langmui , [adimensionales]
concen ación de solu o, [adimensional]
concen ación de solu o expe imen al, [adimensional]
ap oximaciones numé icas de C, [adimensional]
coe icien e de dispe sión longi udinal, [L2
/
TI
e o global de inido po la ecuación (18)
e o local de inido po la ecuación (31)
coe icien e de las ecuaciones (3) y (8)
núme o de bloques en el espacio
longi ud del medio po oso,
[L]
núme o de pasos en el iempo
coe icien e de dispe sión, de inido po la ecuación
(7),
[adimensional]
408
P.M.
CARPANO, C.A. GRATTONI, S.C. GABBANELLI
Y
M.S. BIDNER
iempo, [adimensional]
elocidad in e s icial, [L/T]
x
dis ancia, [adimensional]
Le as G iegas
E
e o de uncación
A
inc emen o de la a iable
/?
pa áme o pa a el modelo de adso ción de Langmui , [L3/ M]
S,
concen ación de solu o, [M/L~]
S,
can idad de solu o adso bido/ olumen de luído
[M/L~]
T
iempo,
[TI
X
dis ancia, [L]
Sub
y
Sup aindices
i índice de la coo denada espacial
n índice de la coo denada empo al
o de inyección,
x
=
O
AGRADECIMIENTOS
Los au o es ag adecen la colabo ación b indada po el Seño Juan Ramón
Melendi en la ealización de las igu as de es e abajo.
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