Análisis de las soluciones numéricas de la ecuación de convección - dispersión - adsorción

Re is a h e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 3,4, 38%409(1987) 1 ANALISIS DE LAS SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION - DISPERSION - ADSORCION PATRICIA M. CARPANO* CARLOS A. GRATTONI* SUSANA C. GABBANELLI* Y MIRTHA S. BIDNER** *Depa amen o de Ingenie ía Química Facul ad de Ingenie ía Uni e sidad Nacional de La Pla a 1 esq. 47, 1900 La Pla a, A gen ina. **Depa amen o de Ingenie ía Quámica Facul ad de Ingenie ía Uni e sidad de Buenos Aims Pabellón de Indus ias, Ciudad Una e si a ia 1427 Buenos Ai es, A gen ina RESUMEN La ecuación di e encial pa cial no lineal que desc ibe el lujo bicomponen e miscible a a és de medios po osos, con dispe sión y adso ción del ipo Langmui , se esuel e numé icamen e. Se aplican cua o mé odos di e en es: explíci o, Ba aka -Cla k, C ank- Nicolson y ecuaciones di e enciales o dina ias. Se es ima el e o de uncación de los dis in os mé odos. Se ob ienen las condiciones de es abilidad de los mismos pa a el caso de adso ción lineal y se in ie en las condiciones de es abilidad pa a la ecuación no lineal. A e ec os de compa a los cua o mé odos, se siguen dos caminos. P ime o, se de ine un e o global que e alúa las di e encias en e cada una de las soluciones numé icas y la solución analí ica que ep esen a el caso de adso ción lineal. U ilizando es e e o se compa an las soluciones numé icas en e sí. Además se es udia la in luencia de los pa áme os de la ecuación di e encial y de los inc emen os espaciales y empo ales de la disc e ización en las soluciones ob enidas. En especial, se discu e el mé odo Ba aka -Cla k. Segundo, pa a la ecuación con adso ción no lineal, las cua o soluciones numé icas se compa an con a esul ados expe imen ales, po medio de un e o que e alúa las di e encias en e cada solución y los da os expe imen ales. SUMMARY The pa ial di e en ial nonlinea equa ion which desc ibes he bicomponen miscible low . h ough po ous media wi h dispe sion and Langmui equilib ium adso p ion is nume ically wo ked ou . Fou di e en me hods a e applied: explici , Ba aka -Cla k, C ank- Nicolson and o dina y di e en ial equa ions. T unca ion e o o he me hods a e es ima ed. Recibido: Junio 1987 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 02 13-1315 SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION 391 siendo +, la concen ación de solu o; +,, la ados ción del solu o en el medio po oso; Ií, el coe icien e de dispe sióin; V, la elocidad in e s icial; , la coo denada empo al; y X, la espacial. La ecuación (1) supone: - medio po oso homogéneo con sección ans e sal y po osidad cons an es; - lujo iso é mico y unidimensional; - elocidad in e s icial (ob enida di idiendo la elocidad Da cy po la po osidad), cons an e; - dispe sión del solu o sólo en la di ección longi udinal; - coe icien e de dispe sión independien e de la concen ación química; - no hay eacción química en e la solución inyec ada y la oca o el luido in-si u. El é mino % en (1) ep esen a la adso ción de solu o en la oca, conside ando que és a es gobe nada po la iso e ma de Langmui , que supone equilib io ins an áneo, as, s,T = - 1 + Ps, El pa áme o de adso ción a es adimensional y el pa áme o P iene unidades de in e sa de la concen ación. Di e enciando 1; ecuación (2) e in oduciéndola en la ecuación (l), esul a: as, a2$ as, = IL- - - a~ ax2 a~ donde El medio po oso puede supone se semi-in ini o o ini o, dando luga a dis in as condiciones de bq de" En ]nues a compa ación u iliza nos.la siguien e condición de bo de: donde es la concen ación de inyección. La condición inicial es, donde 392 P.M. CARPANO, C.A. GRATTONI, S.C. GABBANELLI Y M.S. BIDNER l - Se de inen las siguien es a iables adimensionales: $ X u C=- x=- =- $0 I I (6) u y pa áme os adimensionales l NPe = - K b = BIlo (7) siendo Npe el núme o de Pécle ; 1 la longi ud del medio po oso y b pa áme o de adso ción adimensional. Las ecuaciones (3), (4) y (5) esul an ac 1 a2c ac ~(c)~ = -- - - ax2 ax (8) a = 1 + [ (1 + b~)'] C(0, ) = 1 ; >O C(x, O) = o SOLUCIONES ANALITICAS Las soluciones analí icas pa a la ecuación de con ección-dispe sión (g(C) = 1) y dis in as condiciones de bo de es án dadas en la bibliog a ía1. Conside ando las ecs. (8), (9) y (lo), la solución es á ep esen ada po C = - e c - - NP~ x+ l[ ~x~ )+e~pe~e c($7)] 2 (11) que puede se ex endida al caso de adso ción lineal (g(C) = 1 + a) con sólo cambia po /(l + a). SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION 393 SOLUCIONES NUMERICAS La ecuación (8) ue esuel a numé icamen e, conside ando x = 5 como in ini o, en una compu ado a IBM 4361 po los mé odos que se desc iben a con inuación, donde c,u y w ep esen an las ap oximaciones numé icas de C. 1. Mé odo explíci o5, (E): ap oxima la ecuación (8) de una mane a simple, en o ma cen ada al ededo del pun o (i, n): 2. Mé odo de Ba aka -Cla k4, (BC): la ecuación es ap oximada po las siguien es exp esiones en di e encias ini as. - "Fo wa d" , (F) i u?+, - un - u;+1 + uy l U~+l - n+l - --[ 'i-i + u:~~~u~] NP~ Az2 1 - [ 2Az (13) - "Backwa d", (B) La concen ación cY+l puede se e aluada po : un+', la solución de (F), se calcula explíci amen e a pa i de la ecuación (13) desde x = O en una sucesión de i c ecieii es. De la misma. mane a, w?+', la solución 394 P.M. CARPANO, C.A. GRATTONI, S.C. GABBANELLI Y M.S. BIDNER de (B), se calcula de la ecuacióii (14) comenzando en x = 5 en una sucesión de .i dec ecien es. 3. Mé odo de C ank-Nicolson5, (CN): al aplica lo a la ecuación (8) esul a 'n+l - n+l - [ <+! 'i-i + '?+í - e?-1 4Ax 4Ax 1 La solución es ob enida esol iendo ecuaciones algeb aicas simul áneamen e e i e ando en cada.paso de iempo debido a la no linealidad de la ecuación. 4. Mé odo de las Ecuacjones Di e enciales O dina ias7, (ODE): se disc e iza la pa e espacial pa a, educi la a una ecuación o dina ia. Ap oximando las de i adas pa ciales espaciales y el e mino de adso ción como en el mé odo explíci o, se ob iene Pa a ealiza la in eg ación numé ica se p oba on a ios mé odos: Milne (50. o den, paso a iable), Runge-Ku a (40. o den, paso ijo y a iable), S i (paso a iable), Adams (20. o den, paso ijo). En e ellos se eligi6 el de Runge-Ku a debido a que p oduce iguales e o es que los de 119ilne y S i pe o u iliza meno can idad de pasos. El de Adams iene mayo es e o es que el de Runge-Ku a de paso ijo pa a el mismo A . An e la necesidad de compa a con los o os mé odos (E, BC, CN) se u ilizó el de Runge-I<ii a de paso ijo, sac i icando la es abilidad incondicional que p esen a el de paso a iable. Pa a compa a la exac i ,ud de los dis in os mé odos en e a las di e en es si uaciones se usó la siguien e exp esión del e o , SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION 395 debido a que es la más ep esen a i a del compo amien o global de la solución, donde 1 es el núme o de pasos en el espacio y N el núme o de pasos en el iempo. E o de uncación Pa a la ecuación no lineal po expansiones en se ie de Taylo se es ima el e o de uncación (E:)~ de los mé odos u ilizados; con la excepción del mé odo ODE, pa a el que se es ima el e o de uncación en o ma empí ica. - Explíci o: Se obse a que la no linealidad de la ecuación (8) no in luye sob e el o den de ap oximación. - Ba aka -Cla k: el e o de uncación se es ima examinando cada una de las ecuaciones (13) y (14), 396 P.M. CARPANO, C.A. GRATTONI, S.C. GABBANELLI Y M.S. BIPNER d3wp 1 d4~? 1 + %:] A 2- + [ai" zg(":) - a,zaii 4Np, axa 2 4 [a2~? i la [@w: i - -- -- a3w: ']AxA~+ dxd Npe Ax ¿3x3 d 6 Np, dx2 d 4 d3w: 1 d41u: 1 dx3 6 8x4 12 Np, Debido a que cada una de las ecuaciones (13) y (14) puede se usada pa a ap oxima la solución de la ecuación (8), cada uno de los é minos en las exp esiones (20) y (21) iene ap oximadamen e la misma magni ud. Po lo an o al calcula los pe iles de concen ación según la ecuación (15), aquellos é minos que ienen signos opues os ende ían a cancela se y comoconsecuencia el e o de uncación se ía E: E O(A ) + 0(Ax2) P2) Nó ese que pa a el caso de lujo sin adso ción (g(C) = 1) el é mino de O(A ) en las ecuaciones (20) y (21) se anula y po lo an o el e o de uncación se ía E; E 0(A 2) + 0(Ax2) (23) - C ank-Nicolson n+i n+b n+" [u3ai3 ~(ci '1 + d2ci "+* ac;+* ag(cn+?> :- E i 24 d 2 d aen+$ 4 1 a3e7+! 1 --- + --] a 2+ 8x2 d 2 8 Npe d5 d 2 8 = 0(A 2) + 0(Ax2) La exp esión an e io mues a como en el caso explíci o que la adso ción no modi ica el e o de uncación. SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION 397 - Ecuaciones Di e enciales O dina ias: se puede deci que a causa de la disc e- ización espacial el e o es de 0(Aa2). El mé odo de Runge-Icu a pa a la in eg ación empo al iene un e o de 0(A 5). Po lo an o: Con espec o al o den de ap oximación el mé odo más con enien e es el ODE. Análisis de es abilidad La es abilidad de un esquema en di e encias queda de e minada po la no ampli icación de los e o es de un cie o ni el de iempo sob e el siguien e, según Peaceman5, Aziz7 y o os8~'. Pa a comenza el análisis de la es abilidad se oma el caso sin adso ción con lo cual la ecuación (8) esul a se una ecuación lineal a coe icien es cons an es. En es e ipo de ecuaciones es condición necesa ia y su icien e pa a que un esquema bien plan eado esul e es able8*' que se e i ique el c i e io de on Neuman5J0. De la aplicación de dicho c i e io se ob u ie on las condiciones siguien es, sal o pa a el ODE, cuyo análisis se hace empí icamen e: - Explíci o - Ba aka -Cla k y "Backwa d" - Ecuaciones di e enciales o dina ias Las condiciones an e io es pueden se gene alizadas al caso de adso ción lineal (b - 0) con sólo eemplaza A po A /(l+ a). De es a mane a la elección de A y Ax es menos es ic i a que en el ca.so de lujo sin adso ción. En base a p uebas compu acionales, conside ando adso ción ipo Langmui se obse ó que las condiciones de es abilidad es án comp endidas en e las de e minadas pa a los dos casos: sin adso ción y con adso ción lineal. En onces, pa a el caso no lineal, si se sa is acen las ecuaciones (26), (27) y (28) espec i amen e, las soluciones son es ables. 404 P.M. CARPANO, C.A. GRASTONI, S.C. GABBANELLI Y M.S. BIDNER Figu a 5. Va iación del e o global pa a las soluciones " o wa d", (F), "backwa d", (B), y su p omedio, (BC). A: en unción del inc emen o espacial. B: en unción del inc emen ,~ empo al. La a iación del e o local con los pa áme os de disc e ización en el espacio se mues a en la Figu a 9-A y en el iempo en la Figu a 9-B, pa a los cua o mé odos. Cuali a i amen e el compo amien o es simila al de las Figu as 3 y 4, espec i amen e. En la Figu a 9-A se isualiza que odos los mé odos ienen un compo amien o simila pa a Ax 2 0.015625. A meno es Ax, los mé odos E y BC p esen an mínimos y aumen os sua es del e o . Los o os dos, CN y ODE man ienen el e o casi cons an e. En la Figu a 9-B se mues a que pa a odos los mé odos el e o disminuye con A endiendo a un alo común. El mínimo que mues a el mé odo de CN se debe a que és e ue u ilizado pa a la op imización an es mencionada pa a halla los pa áme os Npe, a, b. SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION 405 Figu a 6. Pe iles de concen ación, pá a lujo sin adso ción, de las soluciones analí ica, " o wa d", (F), y "backwa d", (B). CONCLUSIONES Pa a esol e la ecuación de con ección-dispe sión-adso ción se han u ilizado cua o mé odos numé icos. Es os ue on compa ados con la solución di e encial (pa a el caso de adso ción lineal) y con da os expe imen ales (pa a el caso de adso ción no lineal). De es a compa ación su ge: . CN es el de meno iesgo, po se el único incondicionalmen e es able, si bien bajo cie as condiciones puede p esen a pequeñas oscilaciones que se amo iguan con el iempo, al igual que los demás mé odos. Mues a un buen compo amien o en e a los pa áme os ísicos (Npe,a) y de disc e ización (Ax,A ). Lamen ablemen e equie e mayo iempo de CPU y en gene al iene un e o global g ande. . ODE iene como en ajas sob e el CN su mayo o den de ap oximación, meno e o global y meno iempo de cálculo, aunque es condicionalmen e es able. . BC es un mé odo explíci o, muy supe io al explíci o adicional. Requie e meno iempo de cómpu o que los demás. Su p incipal incon enien e es el compo amien o anómalo en e a los pa áme os con la apa ición de mínimos p onunciados, lo cual puede causa e o es mayo es que los p e isibles, aunque SOLUCIONES NUMERICAS DE LA ECUACION DE CONVECCION 407 és os sean siemp e meno es que los de las soluciones "Fo wa d" y "Backwa dn que lo componen. E es el más des en ajoso en odo sen ido. I Figu a 9. Va iación del e o local pa a odos los mé odos. A: en unción del inc emen o espacial. B: en unción del inc emen o empo al. NOMENCLATURA pa áme os pa a el modelo de adso ción de Langmui , [adimensionales] concen ación de solu o, [adimensional] concen ación de solu o expe imen al, [adimensional] ap oximaciones numé icas de C, [adimensional] coe icien e de dispe sión longi udinal, [L2 / TI e o global de inido po la ecuación (18) e o local de inido po la ecuación (31) coe icien e de las ecuaciones (3) y (8) núme o de bloques en el espacio longi ud del medio po oso, [L] núme o de pasos en el iempo coe icien e de dispe sión, de inido po la ecuación (7), [adimensional] 408 P.M. CARPANO, C.A. GRATTONI, S.C. GABBANELLI Y M.S. BIDNER iempo, [adimensional] elocidad in e s icial, [L/T] x dis ancia, [adimensional] Le as G iegas E e o de uncación A inc emen o de la a iable /? pa áme o pa a el modelo de adso ción de Langmui , [L3/ M] S, concen ación de solu o, [M/L~] S, can idad de solu o adso bido/ olumen de luído [M/L~] T iempo, [TI X dis ancia, [L] Sub y Sup aindices i índice de la coo denada espacial n índice de la coo denada empo al o de inyección, x = O AGRADECIMIENTOS Los au o es ag adecen la colabo ación b indada po el Seño Juan Ramón Melendi en la ealización de las igu as de es e abajo. REFERENCIAS K.H. Coa s. y B.D. Smi h, "Dead-Eiid Po e Volume and Dispe sion in Po ous Media", Soc. Pe . Eng. J., Vol. 4, pp. 73-84, (1964). S.P. Gup a y R.A. G eenko n, "Dispe sion Du ing Flow in Po ous Media wi h Bilinea Adso p ion", Wa e Resou . Res., Vol. 9, pp. 1357-1368, (1973). A. Sa e , Y.M. Shum, W.T. Adams y L.A. Da is, "Chemical T anspo in Po ous Media wi h Dispe sion and Ra e-Con olled Adso p ion", Soc. Pe . 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