High-o de CE/SE scheme o dam-b eak low simula ion
Ad iano Rod igues de Melo1, L.M. G amani2, E. Ka iski2
1 Ins i u o Fede al de Educação, Ciência e Tecnologia Ca a inense, A aqua i, San a Ca a ina, B asil, P og ama de Pós-G aduação em
Mé odos Numé icos em Engenha ia, UFPR, Cen o Poli écnico, Cu i iba, Pa aná, B asil
2 P og ama de Pós-G aduação em Mé odos Numé icos em Engenha ia, UFPR, Cen o Poli écnico, Cu i iba, Pa aná, B asil
Abs ac
This pape p esen s a new explici scheme o he solu ion o shallow wa e equa ions in
one and wo space dimensions, de eloped om he space- ime conse a ion elemen and
solu ion elemen (CE/SE) me hod. The basis unc ions used a e second-o de Taylo
expansions in ime and space. This inc ease in he o de o he app oxima ion unc ions
p oduces an inc ease in he numbe o unknowns in he scheme, he e o e, besides he low
a iables and hei slopes, hei second-o de pa ial de i a i es a e also unknown in he
p esen scheme. An i e a i e p ocess o he calcula ion o he i s and second o de
de i a i es is o mula ed o p oblems wi h shocks and discon inui ies. Compu a ional
expe imen s demons a e hi d-o de accu acy. The one-dimensional and wo-dimensional
dam-b eak p oblems p esen ed alida e he accu acy and obus ness o his scheme.
OPEN ACCESS
Published: 03/01/2018
Accep ed: 08/05/2017
Submi ed: 25/11/2016
DOI:
10.23967/j. imni.2017.7.007
Keywo ds:
Leis de conse ação
Equações de águas asas
Volume de con ole espaço-
empo
Al a o dem de acu ácia. High-
O de CE/SE Scheme o Dam-
B eak Flow Simula ion
Re is a In e nacional de Mé odos
Numé icos pa a Cálculo y Diseño
en Ingenie ía
Co espondence: Ad iano Rod igues de Melo ([email p o ec ed]), L.M. G amani ([email p o ec ed]), E. Ka iski ([email p o ec ed]). This is
an a icle dis ibu ed unde he e ms o he C ea i e Commons BY-NC-SA license 1
Resumo
Es e a igo ap esen a um no o esquema explíci o pa a a
solução das equações de águas asas em uma e duas
dimensões, desen ol ido a pa i do mé odo dos elemen os de
conse ação e elemen os de solução espaço- empo, aqui
ab e iado po mé odo CE/SE. As unções de base u ilizadas são
expansões de Taylo de segunda o dem no empo e no espaço.
Esse aumen o na o dem das unções de ap oximação p oduz o
aumen o no núme o de a iá eis de ma cha no empo, po isso,
além das a iá eis luxo e suas inclinações, ambém são
incógni as no p esen e esquema suas de i adas espaciais de
segunda o dem. Um p ocesso i e a i o pa a o cálculo das
de i adas de p imei a e segunda o dem é o mulado pa a
p oblemas com choques e descon inuidades. Expe imen os
compu acionais demons am acu ácia de e cei a o dem. Os
p oblemas de up u a de ba agem unidimensional e
bidimensional conside ados alidam a acu ácia e obus ez do
esquema.
Pala as-Cha e: Leis de conse ação, Equações de águas asas,
Volume de con ole espaço- empo, Al a o dem de acu ácia.
1 In odução
As equações de águas asas cons i uem um dos modelos mais
comumen e usados na análise de luxo de água em ios ou
á eas cos ais [1], sob e udo no que ange à simulações de luxo
de up u a de ba agem [2,3,4,5], pa e essencial do p oje o e
a aliação da segu ança de ba agens, con ole de inundação de
ios, mi igação de desas es de bacias hid og á icas, e c [6].
Além da impo ância p á ica em hid áulica e engenha ia cos al,
o necem um ó imo modelo ma emá ico pa a equações
di e enciais hipe bólicas não linea es que podem e soluções
como ondas de choque [7] e, po isso, ambém são
equen emen e u ilizadas como p oblema de e e ência pa a
no os esquemas de p e isão numé ica [8,9].
Ex ensi os es udos numé icos o am ei os no sen ido de
analisa os enômenos go e nados po essas equações e
di e sos mé odos o am desen ol idos, como de olumes
ini os [10,11,12], elemen os ini os [13,14,15,16], di e enças
ini as [17,18] e ou os [19,20].
Recen emen e, um no o mé odo baseado em olumes de
con ole, denominado mé odo dos elemen os de conse ação e
elemen os de solução espaço- empo, do inglês, space- ime
conse a ion elemen and solu ion elemen me hod (CE/SE), oi
p opos o po Chang e To (1991) [21] e aplicações do mesmo em
p oblemas de up u a de ba agem logo o am ei as [22,23,24].
Es e mé odo oi desen ol ido com o obje i o de ob e soluções
numé icas de leis de conse ação e possui ca ac e ís icas
impo an es [25,26,27,28]: sua cons ução combina in o mações
de ambas as o mas di e encial e in eg al das leis de
conse ação; o conjun o de a iá eis de ma cha é o mado
pelas a iá eis luxo e suas de i adas espaciais; não são
u ilizadas écnicas de in e polação ou ex apolação nos alo es
da malha; não são u ilizadas écnicas baseadas nas
ca ac e ís icas, o que o na o mé odo de ácil ex ensão à á ias
dimensões, bem como aplicá el à equações não hipe bólicas,
como as equações de Na ie -S okes, po exemplo; possui uma
simples no ação es êncil, o que acili a a p og amação. É
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mé odos numé . cálc. diseño ing. (2018). Vol. 34, (1), 9
ca ac e izado, ambém, po sua e sa ilidade, endo em is a
que pode se adap ado à malhas não uni o mes e não
es u u adas [29,30], bem como pode se es endido à al as
o dens [31,32], azão pela qual possui aplicações nas mais
di e sas á eas [33,34,35,36].
O obje i o des e abalho é ap esen a a cons ução de um
no o esquema CE/SE explíci o de al a o dem pa a as equações
de águas asas e e i ica sua e iciência em p oblemas de
up u a de ba agem. Pa a isso, es e a igo es á o ganizado da
seguin e manei a: na seção 2 é ap esen ado o modelo
ma emá ico a se es udado (subseção 2.1), bem como é
desen ol ido o esquema numé ico disc e o (subseção 2.2); na
seção 3, expe imen os numé icos unidimensionais e
bidimensionais são conside ados com a inalidade de alida o
mé odo; as conclusões são ecidas jun o à seção 4 e, ao inal, na
seção 5, dispõe-se a lis a de e e ências.
2 Equações Go e nan es e Mé odo CE/SE
2.1 Equações de Águas Rasas
As equações de águas asas, ambém conhecidas como
equações de Sain Venan , possuem a seguin e o ma e o ial
conse a i a
∂Q
∂ +∂F(Q)
∂x+∂G(Q)
∂y= S(Q), (1)
em que
Q =
[
q1
q2
q3
]
=
[
h
hu
h
]
, F =
[
1
2
3
]
=
[
hu
hu2+gh2/2
hu
]
=
[
q2
q2
2/q1+gq1
2/2
q2q3/q1
]
,
(2)
G =
[
g1
g2
g3
]
=
[
h
hu
h 2+gh2/2
]
=
[
q3
q2q3/q1
q3
2/q1+gq1
2/2
]
e S
=
[
S1
S2
S3
]
=
[
0
gq1(S0x−S x )
gq1(S0y−S y )
]
,
(3)
sendo h a p o undidade do luxo (m); u e são as elocidades
médias do escoamen o (m/s) nas di eções x e y,
espec i amen e; g é a acele ação da g a idade (9.812m/s2);
S0x= ∂Zb/∂x e S0y= ∂Zb/∂y são as inclinações do undo do canal
cuja opog a ia é dada po Zb; S x e S y são os e mos de
esis ência ao escoamen o, nas di eções x e y, espec i amen e,
de inidos po
S x =n2u u2+ 2
h4/3 =
n2q2q2
2+q3
2
q1
10/3 eS y =
n2 u2+ 2
h4/3 =
n2q3q2
2+q3
2
q1
10/3 ,
(4)
em que n (s/m1/3) é o coe icien e de icção de Manning.
2.2 Esquema CE/SE
Conside e, po simplicidade, a Eq. (1) como
∂qm
∂ +∂ m
∂x+∂gm
∂y=Sm,m= 1, 2, 3 (5)
en ão, pelo eo ema da di e gência no espaço ℝ3, em-se que a
Eq. (5) ep esen a a o ma di e encial da lei in eg al de
conse ação
∮
S(V)Hm⋅ds =
∫
VSmdV,
(6)
em que Hm= ( m,gm,qm), m= 1, 2, 3 e S(V) ep esen a o
con o no de uma egião espaço- empo V⊂ ℝ3.
No mé odo CE/SE, um elemen o de conse ação (CE) é uma
egião espaço- empo em que a conse ação do luxo, Eq. (6), é
o çada, enquan o que um elemen o de solução (SE) é uma
egião espaço- empo, no malmen e dis in a, em que as
a iá eis luxo são supos amen e sua es e a Eq. (5) é álida.
Pa a de ini es es dois impo an e obje os, conside e
p imei amen e uma malha no plano x-y, con o me Fig. 1a.
Exis em dois g upos de pon os, ma cados po cí culos e c uzes,
que ep esen am nós da malha em dois ní eis de empo
di e en es. A cada pon o (i,j,k) da malha associa-se um CE e
um SE. O CE é de inido como o quad ilá e o EFGHE′F′G′H′ e o SE
é a união do quad ilá e o P″Q″R″S″P′Q′R′S′ e o polígono EFGH
( eja Fig. 1b).
(a) (b)
Figu a 1: (a) Pon os da malha ep esen a i a no plano x-y e (b) as de inições dos
elemen os de solução SE(i,j,k) e elemen os de conse ação CE(i,j,k) no pon o (i,j,k) da
malha [23,37].
Pa a odo (x,y, )∈SE(i,j,k), ap oxima-se qm po um
polinômio de Taylo de segunda o dem
qm
∗(x,y, ;i,j,k) = (qm)i,j
k+ [(qm)x]i,j
k(x−xi) + [(qm)y]i,j
k(y−
yj) + [(qm) ]i,j
k( − k) + [(qm)x ]i,j
k(x−xi)( − k)
+ [(qm)y ]i,j
k(y−yj)( − k) + [(qm)xy ]i,j
k(x−xi)(y−yj) +
1
2[(qm)xx ]i,j
k(x−xi)2
+1
2[(qm)yy ]i,j
k(y−yj)2+1
2[(qm) ]i,j
k( − k)2,m= 1, 2, 3.
(7)
Ap oximações análogas são ei as sob e as unções m e gm,
m= 1, 2, 3. O e mo on e, po ou o lado, é ap oximado po
uma o dem a menos:
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A. Rod igues de Melo, L. G amani and E. Ka iski, High-o de CE/SE scheme o dam-b eak low simula ion, Re . in .
mé odos numé . cálc. diseño ing. (2018). Vol. 34, (1), 9
Sm
∗(x,y, ;i,j,k) = (Sm)i,j
k+ [(Sm)x]i,j
k(x−xi) + [(Sm)y]i,j
k(y−
yj) + [(Sm) ]i,j
k( − k), m= 1, 2, 3.
(8)
Dessa o ma, a Eq. (5) pode se ap oximada no SE(i,j,k) po di
Hm
∗=Sm
∗, em que Hm
∗=
(
m
∗,gm
∗,qm
∗
)
, m= 1, 2, 3, ao mesmo
empo em que a Eq. (6) é ap oximada no CE(i,j,k) po
∮
S(CE(i,j,k))Hm
∗⋅ds =
∫
CE(i,j,k)Sm
∗dV,m= 1, 2, 3.
(9)
2.2.1 A aliação de (qm)i,j
k
Subs i uindo as unções qm
∗, m
∗,gm
∗ e Sm
∗ em (9), após di e sas
simpli icações, ob ém-se o esquema de a anço no empo pa a a
a iá el (qm)i,j
k:
(qm)i,j
k+Δx2
48 [(qm)xx ]i,j
k+Δy2
48 [(qm)yy ]i,j
k= [Pm
y(Δx, m,
gm)]i−1/2,j
k−1/2 + [Pm
y( − Δx, m,gm)]i+1/2,j
k−1/2 +
[Pm
x(Δy,gm, m)]i,j−1/2
k−1/2 + [Pm
x( − Δy,gm, m)]i,j+1/2
k−1/2 ,m= 1, 2,
3
(10)
em que
Pm
ζ(Δξ,ϕ,ψ) = 1
4
{
qm+Δξ
4(qm)ξ+Δ
4
[
ϕξ−ψζ
]
+
2Δ
Δξ
[
ϕ+Δ
4ϕ
]
+Δ 2
16
[
ϕξ −ψζ
]
+Δ
48Δξ
[
Δζ2ϕζζ +
Δξ2ϕξξ
]
+Δ
12Δξ
[
Δ 2ϕ −Δξ2
2ψζξ
]
+Δζ2
192 (qm)ζζ +7Δξ2
192 (qm)ξξ +
Δ
2
[
Sm+Δ
4(Sm) +Δξ
4(Sm)ξ
]
}
.
(11)
É impo an e no a que as Equações (10) e (11) dependem
apenas das incógni as qm, (qm)x, (qm)y, (qm)xx , (qm)yy e (qm)xy do
empo k−1/2, pa a m= 1, 2, 3 pois, pelas Equações (1)-(4), m, gm
e Sm ambém dependem des as úl imas. Po ou o lado, é
p eciso conhece [(qm)xx ]i,j
k e [(qm)yy ]i,j
k p e iamen e à ob enção
de (qm)i,j
k no empo k, con o me Eq. (10). A seção a segui
desc e e a ob enção dessas de i adas espaciais duplas.
2.2.2 A aliação de [(qm)xx]i,j
k, [(qm)xy]i,j
k e [(qm)yy]i,j
k
Pa a p ossegui com o cálculo de [(qm)xx ]i,j
k, cons ói-se
p imei amen e uma equação auxilia a pa i da Eq. (5),
de i ando-a duas ezes em elação a x, ob endo as seguin es
o mas di e encial e in eg al
∂(qm)xx
∂ +∂
∂x
[
( m)xx − (Sm)x
]
+∂(gm)xx
∂y= di H
^m= 0 e
∮
S(V)H
^m⋅ds = 0, m= 1, 2, 3.
(12)
As Equações em (12) possuem, con o me Equações (7) e (8),
pa a odo (x,y, )∈ SE(i,j,k), os seguin es análogos
numé icos:
di H
^m
∗= 0 e
∮
S(CE(i,j,k))H
^m
∗⋅ds = 0, m= 1, 2, 3.
(13)
O campo e o ial ap oximado H
^m
∗= (( m
∗)xx − (Sm
∗)x, (gm
∗)xx ,
(qm
∗)xx ) é cons an e, de modo que a a aliação da Eq. (13) sob e o
elemen o de conse ação desc i o pela Fig. 1a e o na, pa a
m= 1, 2, 3:
[(qm)xx ]i,j
k=1
4
{
[(qm)xx ]i−1/2,j
k−1/2 + [(qm)xx ]i+1/2,j
k−1/2 +
[(qm)xx ]i,j−1/2
k−1/2 + [(qm)xx ]i,j+1/2
k−1/2
}
+Δ
2Δx
{
[( m)xx ]i−1/2,j
k−1/2
−[( m)xx ]i+1/2,j
k−1/2 + [(Sm)x]i+1/2,j
k−1/2 − [(Sm)x]i−1/2,j
k−1/2
}
+
Δ
2Δy
{
[(gm)xx ]i,j−1/2
k−1/2 − [(gm)xx ]i,j+1/2
k−1/2
}
.
(14)
Pa a compu a as a iá eis de ma cha [(qm)yy ]i,j
k e [(qm)xy ]i,j
k
p ocede-se de modo análogo, ob endo-se após odos os
cálculos e simpli icações:
[(qm)yy ]i,j
k=1
4
{
[(qm)yy ]i−1/2,j
k−1/2 + [(qm)yy ]i+1/2,j
k−1/2 +
[(qm)yy ]i,j−1/2
k−1/2 + [(qm)yy ]i,j+1/2
k−1/2
}
+Δ
2Δy
{
[(gm)yy ]i,j−1/2
k−1/2
−[(gm)yy ]i,j+1/2
k−1/2 + [(Sm)y]i,j+1/2
k−1/2 − [(Sm)y]i,j−1/2
k−1/2
}
+
Δ
2Δx
{
[( m)yy ]i−1/2,j
k−1/2 − [( m)yy ]i+1/2,j
k−1/2
}
,
(15)
[(qm)xy ]i,j
k=1
4
{
[(qm)xy ]i−1/2,j
k−1/2 + [(qm)xy ]i+1/2,j
k−1/2 +
[(qm)xy ]i,j−1/2
k−1/2 + [(qm)xy ]i,j+1/2
k−1/2
}
+Δ
2Δx
{
[( m)xy ]i−1/2,j
k−1/2 − [( m)xy ]i+1/2,j
k−1/2 +1
2[(Sm)y]i+1/2,j
k−1/2 −
1
2[(Sm)y]i−1/2,j
k−1/2
}
+Δ
2Δy
{
[(gm)xy ]i,j−1/2
k−1/2 − [(gm)xy ]i,j+1/2
k−1/2 +1
2[(Sm)x]i,j+1/2
k−1/2 −
1
2[(Sm)x]i,j−1/2
k−1/2
}
,m= 1, 2, 3.
(16)
Abo da-se na seção a segui o cálculo das de i adas de p imei a
o dem das a iá eis dinâmicas qm, m= 1, 2, 3.
2.2.3 A aliação de [(qm)x]i,j
k e [(qm)y]i,j
k
As a iá eis [(qm)x]i,j
k e [(qm)y]i,j
k podem se de e minadas po
meio de uma es a égia análoga àquela ap esen ada na seção
[[#2.2.2 A aliação de [(qm)xx ]i,j
k, [(qm)xy ]i,j
k e [(qm)yy ]i,j
k|2.2.2]]
an e io , bas ando, pa a isso, cons ui leis di e enciais de
conse ação (já nas o mas ap oximadas)
∂(qm
∗)x
∂ +∂( m
∗)x
∂x+∂(gm
∗)x
∂y= di H
ˇm
∗= (Sm
∗)x, ∂(qm
∗)y
∂ +
∂( m
∗)y
∂x+∂(gm
∗)y
∂y= di H
~m
∗= (Sm
∗)y
(17)
e in eg ais
∮
S(CE(i,j,k))H
ˇm
∗⋅ds =
∫
CE(i,j,k)(Sm
∗)xdV e
∮
S(CE(i,j,k))H
~m
∗⋅ds =
∫
CE(i,j,k)(Sm
∗)ydV,m= 1, 2, 3.
(18)
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A. Rod igues de Melo, L. G amani and E. Ka iski, High-o de CE/SE scheme o dam-b eak low simula ion, Re . in .
mé odos numé . cálc. diseño ing. (2018). Vol. 34, (1), 9
As a aliações das equações em (18) o necem as inclinações
equacionadas po
[(qm)ξ]i,j
k= [Qm
(1)(Δx,ξ)]i−1/2,j
k−1/2 + [Qm
(1)( − Δx,ξ)]i+1/2,j
k−1/2 +
[Qm
(2)(Δy,ξ)]i,j−1/2
k−1/2 + [Qm
(2)( − Δy,ξ)]i,j+1/2
k−1/2 ,
(19)
pa a ξ=x,y e m= 1, 2, 3, em que
Qm
(1)(Δx,ξ) = 1
4
{
(qm)ξ+Δx
4(qm)xξ +Δ
4
[
( m)xξ − (gm)yξ
]
+
2Δ
Δx
[
( m)ξ+Δ
4( m) ξ
]
+Δ
2(Sm)ξ
}
,
(20)
Qm
(2)(Δy,ξ) = 1
4
{
(qm)ξ+Δy
4(qm)yξ +Δ
4
[
(gm)yξ − ( m)xξ
]
+
2Δ
Δy
[
(gm)ξ+Δ
4(gm) ξ
]
+Δ
2(Sm)ξ
}
.
(21)
O esquema o mado pelo conjun o de Equações (10), (14)-(16) e
(19) é in e essan e apenas em p oblemas com soluções de
compo amen o sua e. Pa a p oblemas com descon inuidades
ou o mação de choque, é necessá io modi ica o cálculo das
a iá eis em (14)-(16) e (19). A p opos a ap esen ada nes e
a igo é uma a iação do p ocedimen o ado ado po [38,39] e
consis e num p ocesso i e a i o.
Pa a p ossegui , conside e as seguin es o mas eg essi as e
p og essi as:
[(qm
±)ξ]i,j
k=δξ
±(qm) e [(qm
±)ζξ ]i,j
k=δξ
±[(qm)ζ], ξ=x,y,
ζ=x,yem= 1, 2, 3
(22)
al que o ope ado δξ
± seja de inido como
δξ
±(ϕ) = {
±2
Δξ
[
(ϕ′)i±1/2,j
k−ϕi,j
k
]
, se ξ=x
±2
Δξ
[
(ϕ′)i,j±1/2
k−ϕi,j
k
]
, se ξ=y
e ϕ′=
{
ϕ+Δ
2ϕ +Δ 2
8ϕ , se ϕ= (qm)x, (qm)y,
ϕ+Δ
2ϕ , se ϕ= (qm)xx , (qm)xy , (qm)yy .
(23)
As ap oximações pa a as de i adas se ão de inidas como
[(qm)ξ]i,j
k=W
{
[(qm
+)ξ]i,j
k, [(qm
−)ξ]i,j
k,α
}
,(24)
[(qm)ζξ ]i,j
k=W
{
[(qm
+)ζξ ]i,j
k, [(qm
−)ζξ ]i,j
k,α
}
, m= 1, 2, 3,
ξ=x,y,ζ=x,yeα≥ 0,
(25)
e a unção W [26,24]:
W(x−,x+,α) =
{
|x+|αx−+ |x−|αx+
|x+|α+ |x−|α, se |x+|α+ |x−|α≠ 0,
0, casocon a io.
(26)
Obse e que nes e caso, as Equações (24) e (25) ep esen am
médias ponde adas das di e enças p og essi as e eg essi as
desc i as em (22) e (23). No caso de α= 0, (24) e (25) o nam-se
di e enças ini as cen ais [23]. Ado a-se nes e abalho α= 1.
Impo an e no a , no en an o, que as Equações (24) e (25)
dependem da a iá el (qm)i,j
k que, po sua ez, depende de
[(qm)xx ]i,j
k e [(qm)yy ]i,j
k, con o me Eq. (10). Di o de ou a o ma,
pa a ob e (qm)i,j
k é necessá io ob e an es [(qm)xx ]i,j
k e
[(qm)yy ]i,j
k, e ice- e sa. Pa a sana es a di iculdade,
cons uímos o p ocesso i e a i o desc i o no Algo i mo 1.
Algo i mo 1: Algo i mo CE/SE pa a o cálculo das a iá eis de ma cha sob e um
de e minado pon o (i,j,k) da malha.
início
De ina uma ole ância τ
Faça m=1
epi a
Faça l=1;
Calcule [(qm)xx ]i,j
k e [(qm)yy ]i,j
k com as Equações (14) e (15),
espec i amen e;
Calcule (qm
l)i,j
k com a Eq. (10);
epi a
Calcule [(qm)x]i,j
k e [(qm)y]i,j
k com a Eq. (24);
Calcule [(qm)xx ]i,j
k, [(qm)xy ]i,j
k e [(qm)yy ]i,j
k com a Eq.(25);
Calcule (qm
l+1)i,j
k com a Eq. (10);
a é ||(qm
l+1)i,j
k−(qm
l)i,j
k||<τ;
a é m=3;
im
A es abilidade do esquema CE/SE sa is az a condição de
Cou an -F ied ichs-Lewy (CFL) que, pa a as equações de Sain
Venan unidimensional e bidimensional são as es ições [23]
CFL =Δ
Δxmax
(
|u| + gh
)
e CFL =
max
{
Δ
Δx
(
|u| + gh
)
,Δ
Δy
(
| | + gh
)
}
,
(27)
espec i amen e, onde o núme o de Cou an sa is az
0 < CFL ≤ 1. Maio es de alhes sob e es abilidade do mé odo
CE/SE pode se encon ado em [40].
3 Exemplos Numé icos
Es a seção em po obje i o a alia e alida o esquema
numé ico desen ol ido. Pa a isso, alguns p oblemas es e são
a aliados, como es es de acu ácia em uma e duas dimensões,
bem como p oblemas clássicos de up u a de ba agem
unidimensionais (subseção 3.1) e bidimensionais (subseção 3.2).
3.1 Exemplos Unidimensionais
Exemplo 3.1.1: O obje i o des e exemplo es e é e i ica
expe imen almen e a o dem de acu ácia do esquema CE/SE.
Conside e o sis ema hipe bólico linea unidimensional
U + F(U)x= 0, onde U = (ϕ,u), F = (cu,cϕ)(28)
e c é uma cons an e dada. Impondo as condições inicias ϕ(x,
0) = − c−1sin(2πx) e u(x, 0) = 0, é possí el ob e a seguin e
solução exa a [41,42]:
ϕ(x, ) = − c−1cos(2πc )sin(2πx) e u(x, ) =
c−1sin(2πc )cos(2πx) .
(29)
As soluções são compu adas com as Equações (10), (14)-(16) e (
19). A Tabela 1 ap esen a os e os calculados nas no mas L1 e
L2, nas simulações ealizadas sob e o domínio compu acional
− 1 ≤ x≤ 1, c= 1, CFL = 0.8 a é a ingi o empo = 1.2s, sendo
n o núme o de células no espaço. O expe imen o e i ica a
e cei a o dem de acu ácia do esquema pa a ambas as a iá eis
u e ϕ.
Tabela 1. O dem de acu ácia expe imen al do mé odo CE/SE pa a o sis ema hipe bólico
linea unidimensional.
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A. Rod igues de Melo, L. G amani and E. Ka iski, High-o de CE/SE scheme o dam-b eak low simula ion, Re . in .
mé odos numé . cálc. diseño ing. (2018). Vol. 34, (1), 9
No ma L1No ma L2
nE o (ϕ)O dem E o (u)O dem E o (ϕ)O dem E o (u)O dem
20 8.322
×10−3 –1.662
×10−2 –7.157
×10−3 –1.347
×10−2 –
40 1.849
×10−3 2.170 2.524
×10−3 2.719 1.488
×10−3 2.266 2.042
×10−3 2.722
80 3.067
×10−4 2.592 3.401
×10−4 2.892 2.443
×10−4 2.607 2.715
×10−4 2.911
160 4.369
×10−5 2.811 4.386
×10−5 2.955 3.493
×10−5 2.806 3.465
×10−5 2.970
320 5.813
×10−6 2.910 5.566
×10−6 2.978 4.665
×10−6 2.904 4.369
×10−6 2.987
640 7.490
×10−7 2.956 7.010
×10−7 2.989 6.030
×10−7 2.952 5.490
×10−7 2.992
Exemplo 3.1.2: Conside a-se ago a um p oblema ideal de
up u a de ba agem sob e um domínio molhado, is o é, a
queb a de ba agem é ins an ânea, o undo é plano e não
exis e esis ência ao escoamen o. As condições iniciais pa a es a
con igu ação seguem o clássico p oblema de Riemann
h(x, 0) =
{
hl, pa a0m ≤ x≤x0m
h , pa ax0m < x≤Lm, com hl≥h e
u(x, 0) = 0m/s .
(30)
O domínio conside ado é 0m ≤x≤ 2000m, x0= 1000m e a
solução analí ica pode se encon ada em [43] ou [44]. U iliza-
se, pa a ins de análise de compo amen o, a mesma elação de
equações do Ex. 3.1.1 an e io , is o é, Equações (10), (14)-(16) e (
19). As Fig. 2a e Fig. 2b demons am o compo amen o da
solução numé ica em elação à analí ica, calculadas no empo
= 52s, com n+ 1 = 201 pon os, inc emen o espacial Δx= 10m,
CFL = 0.8 e p o undidades iniciais a mon an e e a jusan e hl=
10m e h = 5m, espec i amen e. No e que a espos a numé ica
é coe en e com a analí ica, embo a ap esen e sua idade que a
dis ancie nas egiões com mudanças ab up as.
(a) (b)
Figu a 2. Ele ação da supe ície da água h e elocidade u pa a o p oblema de up u a de
ba agem, compu ada no empo =52s, u ilizando uma malha uni o me com 201 pon os,
inc emen o espacial Δx=10m e h /hl=0.5.
U ilizando o Algo i mo 1, sob as mesmas condições e com os
mesmos pa âme os, ob ém-se os g á icos cons an es na Fig. 3.
Obse a-se que es a solução numé ica é supe io à an e io ,
sob e udo no que ange às egiões de ápidas mudanças.
Con o me Zhang e al. (2012) [23], a azão h /hl é um
impo an e índice pa a julga a aplicabilidade e a acu ácia de
esquemas numé icos no modelo 1D de up u a de ba agem.
Segundo os mesmos au o es, os egimes de escoamen os
subc í ico e supe c í ico exis em simul aneamen e num canal
sem icção, ho izon al e e angula , quando h /hl< 0.138.
Al e a-se, nes e sen ido, es es pa âme os pa a uma azão
h /hl= 0.001. Os esul ados simulados são mos ados nas Figs.
3c e 3d.
(a) (b)
(c) (d)
Figu a 3. Ele ação da supe ície da água h e elocidade u pa a o p oblema de up u a de
ba agem, no empo =52s, numa malha uni o me com 201 pon os e espec i o
inc emen o espacial Δx=10m, calculados com o Algo i mo 1, sendo: (a)-(b) hl=10m e h =
5m, (c)-(d) hl=10m e h =0.01m.
3.2 Exemplos Bidimensionais
Exemplo 3.2.1: Conside e ago a o sis ema hipe bólico linea
bidimensional
U + F(U)x+ G(U)y= 0, onde U = (ϕ,u, ), F = (cu,
cϕ, 0), G = (c , 0, cϕ)
(31)
e c é uma cons an e dada. Pa a os dados iniciais ϕ(x,y, 0) = −
c−1[sin(2πx) + sin(2πy)] e u(x,y, 0) = (x,y, 0) = 0, es e
p oblema admi e a seguin e solução exa a [41,42]:
ϕ= − c−1cos(2πc )[sin(2πx) + sin(2πy)], u=
c−1sin(2πc )cos(2πx) e =c−1sin(2πc )cos(2πy) .
(32)
A Tabela 2 ap esen a os e os numé icos calculados nas no mas
L1 e L2, no empo = 0.2s, com pa âme os especi icados em
c= 1, CFL = 0.4 e domínio compu acional de inido em − 1 ≤ x,
y≤ 1, sendo nx×ny o núme o de células u ilizadas na
disc e ização. O expe imen o con i ma no amen e a acu ácia de
e cei a o dem do esquema CE/SE.
Tabela 2. O dem de acu ácia expe imen al do mé odo CE/SE pa a o sis ema hipe bólico
linea bidimensional..
No ma L1No ma L2
nx×nyE o (ϕ)O de
mE o (u, )O de
mE o (ϕ)O de
mE o (u, )O de
m
20×20 2.595
×10−3 –1.283
×10−2 –1.797
×10−3 –7.478
×10−3 –
40×40 4.231
×10−4 2.617 2.032
×10−3 2.658 3.377
×10−4 2.412 1.169
×10−3 2.678
80×80 7.519
×10−5 2.492 2.924
×10−4 2.797 6.111
×10−5 2.466 1.653
×10−4 2.822
160×160 1.197
×10−5 2.651 3.938
×10−5 2.892 9.602
×10−6 2.670 2.217
×10−5 2.898
320×320 1.735
×10−6 2.786 5.128
×10−6 2.941 1.397
×10−6 2.781 2.895
×10−6 2.937
640×640 2.364
×10−7 2.876 6.554
×10−7 2.968 1.939
×10−7 2.849 3.723
×10−7 2.959
Exemplo 3.2.2: Es e p oblema hipo é ico bidimensional é um

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exemplo u ilizado po [23,45,46]. Nes e p oblema as
elocidades iniciais são odas nulas, a p o undidade a mon an e
é de 10m, enquan o que a p o undidade a jusan e é assumida
se 5m ou 0.1m. O domínio compu acional consis e de uma
egião de 200m × 200m, com uma pa ede que se es ende
pa alelamen e ao eixo y, endo 10m de la gu a e es á cen ada
em x= 100m. A alha é supos a se ins an ânea, possui 75m de
ex ensão a pa i de y= 95m. O canal é ho izon al e
desconside a-se esis ência ao escoamen o. Espe a-se a
o mação de uma en e de choque após o ompimen o. Os
esul ados em = 7.2s são compu ados a pa i de uma malha
uni o me compos a po 101 × 101 células e CFL = 0.4. Cons am
nas Figu as 4a e 4b g á icos da p o undidade, e o es
elocidade e cu as de ní el pa a o p oblema com p o undidade
inicial a jusan e de 5m, enquan o que as Figu as 4c e 4d
e e em-se ao p oblema com p o undidade inicial a jusan e de
0.1m. Os esul ados são consis en es com aqueles p esen es na
li e a u a [23,45,46].
(a) (b)
(c) (d)
Figu a 4. Ele ação da supe ície da água h, (a) e (c), e o es elocidade e cu as de ní el,
(b) e (d), pa a a solução calculada no empo =7.2s com CFL =0.4, do p oblema de up u a
de ba agem an i-simé ica em um domínio ho izon al e sem icção, com p o undidades
a mon an e de 10m e a jusan e de 5m (a)-(b) e 0.1m (c)-(d).
Exemplo 3.2.3: Es e p oblema es e isa a alia a habilidade do
esquema em p ese a sime ia. Conside a-se um domínio de
50m × 50m com condições iniciais:
h(x,y, 0) =
{
10m, se (x− 25)2+ (y− 25)2≤ 10.52
1 m, caso con a io
eu(x,y, 0) = (x,y, 0) = 0.
(33)
No ins an e da alha da ba agem, supõe-se que a pa ede
ci cula seja emo ida comple amen e e, subsequen emen e,
o mam-se ondas que se espalham adialmen e. A solução
numé ica é compu ada numa malha e angula uni o me com
101 × 101 células e o passo de empo é al que CFL = 0.6. A Fig.
5a ap esen a o pe il da supe ície da água 0.72s após a
hipo é ica alha na ba agem ci cula . Ve o es elocidade e
cu as ní el ela i as à supe ície h es ão dispos os na Fig. 5b. A
sime ia da solução numé ica é bem p ese ada e es á de
aco do com a li e a u a [7,47].
(a) (b)
Figu a 5. Pe il da supe ície da água h (a), e o es elocidade e cu as de ní el (b), pa a a
solução calculada no empo =0.72s com CFL =0.6, do p oblema de up u a de ba agem
ci cula em um domínio ho izon al e sem icção.
4. Conclusões
Es e a igo ap esen ou o desen ol imen o de um no o
esquema CE/SE explíci o pa a a solução das equações de águas
asas em uma e duas dimensões. Na o mulação cons uída, as
a iá eis dinâmicas e, consequen emen e, as leis di e encial e
in eg al de conse ação, o am ap oximadas localmen e po
expansões de Taylo de segunda o dem. O conjun o de
a iá eis de ma cha o nou-se cons i uído pelas a iá eis luxo
qm e suas de i adas espaciais de p imei a (qm)x, (qm)y e
segunda o dem (qm)xx , (qm)xy e (qm)yy . Os expe imen os
compu acionais ealizados indica am acu ácia de e cei a
o dem sob e os p oblemas hipe bólicos linea es es ados. As
soluções numé icas dos p oblemas es e de up u a de
ba agem unidimensional e bidimensional, ca ac e izados pela
o mação de choque, descon inuidade ou sime ia,
ap esen a am conco dância com as soluções analí icas e/ou
com a li e a u a. Conclui-se, com isso, que o esquema p opos o
possui conside á el habilidade em cap u a choques e
descon inuidades azendo com que seja uma boa e amen a
pa a análise de luxo de up u a de ba agem.
Ag adecimen os
Os au o es ag adecem à CAPES pelo apoio inancei o, ao
P og ama de Pós-G aduação em Mé odos Numé icos em
Engenha ia (PPGMNE - UFPR) e ao Ins i u o Fede al de
Educação, Ciência e Tecnologia Ca a inense, Campus A aqua i,
pelo apoio à pesquisa.
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