Esquema CE/SE de alta ordem para simulação de fluxo de ruptura de barragem

High-o de CE/SE scheme o dam-b eak low simula ion Ad iano Rod igues de Melo1, L.M. G amani2, E. Ka iski2 1 Ins i u o Fede al de Educação, Ciência e Tecnologia Ca a inense, A aqua i, San a Ca a ina, B asil, P og ama de Pós-G aduação em Mé odos Numé icos em Engenha ia, UFPR, Cen o Poli écnico, Cu i iba, Pa aná, B asil 2 P og ama de Pós-G aduação em Mé odos Numé icos em Engenha ia, UFPR, Cen o Poli écnico, Cu i iba, Pa aná, B asil Abs ac This pape p esen s a new explici scheme o he solu ion o shallow wa e equa ions in one and wo space dimensions, de eloped om he space- ime conse a ion elemen and solu ion elemen (CE/SE) me hod. The basis unc ions used a e second-o de Taylo expansions in ime and space. This inc ease in he o de o he app oxima ion unc ions p oduces an inc ease in he numbe o unknowns in he scheme, he e o e, besides he low a iables and hei slopes, hei second-o de pa ial de i a i es a e also unknown in he p esen scheme. An i e a i e p ocess o he calcula ion o he i s and second o de de i a i es is o mula ed o p oblems wi h shocks and discon inui ies. Compu a ional expe imen s demons a e hi d-o de accu acy. The one-dimensional and wo-dimensional dam-b eak p oblems p esen ed alida e he accu acy and obus ness o his scheme. OPEN ACCESS Published: 03/01/2018 Accep ed: 08/05/2017 Submi ed: 25/11/2016 DOI: 10.23967/j. imni.2017.7.007 Keywo ds: Leis de conse ação Equações de águas asas Volume de con ole espaço- empo Al a o dem de acu ácia. High- O de CE/SE Scheme o Dam- B eak Flow Simula ion Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía Co espondence: Ad iano Rod igues de Melo ([email p o ec ed]), L.M. G amani ([email p o ec ed]), E. Ka iski ([email p o ec ed]). This is an a icle dis ibu ed unde he e ms o he C ea i e Commons BY-NC-SA license 1 Resumo Es e a igo ap esen a um no o esquema explíci o pa a a solução das equações de águas asas em uma e duas dimensões, desen ol ido a pa i do mé odo dos elemen os de conse ação e elemen os de solução espaço- empo, aqui ab e iado po mé odo CE/SE. As unções de base u ilizadas são expansões de Taylo de segunda o dem no empo e no espaço. Esse aumen o na o dem das unções de ap oximação p oduz o aumen o no núme o de a iá eis de ma cha no empo, po isso, além das a iá eis luxo e suas inclinações, ambém são incógni as no p esen e esquema suas de i adas espaciais de segunda o dem. Um p ocesso i e a i o pa a o cálculo das de i adas de p imei a e segunda o dem é o mulado pa a p oblemas com choques e descon inuidades. Expe imen os compu acionais demons am acu ácia de e cei a o dem. Os p oblemas de up u a de ba agem unidimensional e bidimensional conside ados alidam a acu ácia e obus ez do esquema. Pala as-Cha e: Leis de conse ação, Equações de águas asas, Volume de con ole espaço- empo, Al a o dem de acu ácia. 1 In odução As equações de águas asas cons i uem um dos modelos mais comumen e usados na análise de luxo de água em ios ou á eas cos ais [1], sob e udo no que ange à simulações de luxo de up u a de ba agem [2,3,4,5], pa e essencial do p oje o e a aliação da segu ança de ba agens, con ole de inundação de ios, mi igação de desas es de bacias hid og á icas, e c [6]. Além da impo ância p á ica em hid áulica e engenha ia cos al, o necem um ó imo modelo ma emá ico pa a equações di e enciais hipe bólicas não linea es que podem e soluções como ondas de choque [7] e, po isso, ambém são equen emen e u ilizadas como p oblema de e e ência pa a no os esquemas de p e isão numé ica [8,9]. Ex ensi os es udos numé icos o am ei os no sen ido de analisa os enômenos go e nados po essas equações e di e sos mé odos o am desen ol idos, como de olumes ini os [10,11,12], elemen os ini os [13,14,15,16], di e enças ini as [17,18] e ou os [19,20]. Recen emen e, um no o mé odo baseado em olumes de con ole, denominado mé odo dos elemen os de conse ação e elemen os de solução espaço- empo, do inglês, space- ime conse a ion elemen and solu ion elemen me hod (CE/SE), oi p opos o po Chang e To (1991) [21] e aplicações do mesmo em p oblemas de up u a de ba agem logo o am ei as [22,23,24]. Es e mé odo oi desen ol ido com o obje i o de ob e soluções numé icas de leis de conse ação e possui ca ac e ís icas impo an es [25,26,27,28]: sua cons ução combina in o mações de ambas as o mas di e encial e in eg al das leis de conse ação; o conjun o de a iá eis de ma cha é o mado pelas a iá eis luxo e suas de i adas espaciais; não são u ilizadas écnicas de in e polação ou ex apolação nos alo es da malha; não são u ilizadas écnicas baseadas nas ca ac e ís icas, o que o na o mé odo de ácil ex ensão à á ias dimensões, bem como aplicá el à equações não hipe bólicas, como as equações de Na ie -S okes, po exemplo; possui uma simples no ação es êncil, o que acili a a p og amação. É h ps://www.scipedia.com/public/Rod igues_e _al_2017 2 A. Rod igues de Melo, L. G amani and E. Ka iski, High-o de CE/SE scheme o dam-b eak low simula ion, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. (2018). Vol. 34, (1), 9 ca ac e izado, ambém, po sua e sa ilidade, endo em is a que pode se adap ado à malhas não uni o mes e não es u u adas [29,30], bem como pode se es endido à al as o dens [31,32], azão pela qual possui aplicações nas mais di e sas á eas [33,34,35,36]. O obje i o des e abalho é ap esen a a cons ução de um no o esquema CE/SE explíci o de al a o dem pa a as equações de águas asas e e i ica sua e iciência em p oblemas de up u a de ba agem. Pa a isso, es e a igo es á o ganizado da seguin e manei a: na seção 2 é ap esen ado o modelo ma emá ico a se es udado (subseção 2.1), bem como é desen ol ido o esquema numé ico disc e o (subseção 2.2); na seção 3, expe imen os numé icos unidimensionais e bidimensionais são conside ados com a inalidade de alida o mé odo; as conclusões são ecidas jun o à seção 4 e, ao inal, na seção 5, dispõe-se a lis a de e e ências. 2 Equações Go e nan es e Mé odo CE/SE 2.1 Equações de Águas Rasas As equações de águas asas, ambém conhecidas como equações de Sain Venan , possuem a seguin e o ma e o ial conse a i a ∂Q ∂ +∂F(Q) ∂x+∂G(Q) ∂y= S(Q), (1) em que Q = [ q1 q2 q3 ] = [ h hu h ] , F = [ 1 2 3 ] = [ hu hu2+gh2/2 hu ] = [ q2 q2 2/q1+gq1 2/2 q2q3/q1 ] , (2) G = [ g1 g2 g3 ] = [ h hu h 2+gh2/2 ] = [ q3 q2q3/q1 q3 2/q1+gq1 2/2 ] e S = [ S1 S2 S3 ] = [ 0 gq1(S0x−S x ) gq1(S0y−S y ) ] , (3) sendo h a p o undidade do luxo (m); u e são as elocidades médias do escoamen o (m/s) nas di eções x e y, espec i amen e; g é a acele ação da g a idade (9.812m/s2); S0x= ∂Zb/∂x e S0y= ∂Zb/∂y são as inclinações do undo do canal cuja opog a ia é dada po Zb; S x e S y são os e mos de esis ência ao escoamen o, nas di eções x e y, espec i amen e, de inidos po S x =n2u u2+ 2 h4/3 = n2q2q2 2+q3 2 q1 10/3 eS y = n2 u2+ 2 h4/3 = n2q3q2 2+q3 2 q1 10/3 , (4) em que n (s/m1/3) é o coe icien e de icção de Manning. 2.2 Esquema CE/SE Conside e, po simplicidade, a Eq. (1) como ∂qm ∂ +∂ m ∂x+∂gm ∂y=Sm,m= 1, 2, 3 (5) en ão, pelo eo ema da di e gência no espaço ℝ3, em-se que a Eq. (5) ep esen a a o ma di e encial da lei in eg al de conse ação ∮ S(V)Hm⋅ds = ∫ VSmdV, (6) em que Hm= ( m,gm,qm), m= 1, 2, 3 e S(V) ep esen a o con o no de uma egião espaço- empo V⊂ ℝ3. No mé odo CE/SE, um elemen o de conse ação (CE) é uma egião espaço- empo em que a conse ação do luxo, Eq. (6), é o çada, enquan o que um elemen o de solução (SE) é uma egião espaço- empo, no malmen e dis in a, em que as a iá eis luxo são supos amen e sua es e a Eq. (5) é álida. Pa a de ini es es dois impo an e obje os, conside e p imei amen e uma malha no plano x-y, con o me Fig. 1a. Exis em dois g upos de pon os, ma cados po cí culos e c uzes, que ep esen am nós da malha em dois ní eis de empo di e en es. A cada pon o (i,j,k) da malha associa-se um CE e um SE. O CE é de inido como o quad ilá e o EFGHE′F′G′H′ e o SE é a união do quad ilá e o P″Q″R″S″P′Q′R′S′ e o polígono EFGH ( eja Fig. 1b). (a) (b) Figu a 1: (a) Pon os da malha ep esen a i a no plano x-y e (b) as de inições dos elemen os de solução SE(i,j,k) e elemen os de conse ação CE(i,j,k) no pon o (i,j,k) da malha [23,37]. Pa a odo (x,y, )∈SE(i,j,k), ap oxima-se qm po um polinômio de Taylo de segunda o dem qm ∗(x,y, ;i,j,k) = (qm)i,j k+ [(qm)x]i,j k(x−xi) + [(qm)y]i,j k(y− yj) + [(qm) ]i,j k( − k) + [(qm)x ]i,j k(x−xi)( − k) + [(qm)y ]i,j k(y−yj)( − k) + [(qm)xy ]i,j k(x−xi)(y−yj) + 1 2[(qm)xx ]i,j k(x−xi)2 +1 2[(qm)yy ]i,j k(y−yj)2+1 2[(qm) ]i,j k( − k)2,m= 1, 2, 3. (7) Ap oximações análogas são ei as sob e as unções m e gm, m= 1, 2, 3. O e mo on e, po ou o lado, é ap oximado po uma o dem a menos: h ps://www.scipedia.com/public/Rod igues_e _al_2017 3 A. Rod igues de Melo, L. G amani and E. Ka iski, High-o de CE/SE scheme o dam-b eak low simula ion, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. (2018). Vol. 34, (1), 9 Sm ∗(x,y, ;i,j,k) = (Sm)i,j k+ [(Sm)x]i,j k(x−xi) + [(Sm)y]i,j k(y− yj) + [(Sm) ]i,j k( − k), m= 1, 2, 3. (8) Dessa o ma, a Eq. (5) pode se ap oximada no SE(i,j,k) po di Hm ∗=Sm ∗, em que Hm ∗= ( m ∗,gm ∗,qm ∗ ) , m= 1, 2, 3, ao mesmo empo em que a Eq. (6) é ap oximada no CE(i,j,k) po ∮ S(CE(i,j,k))Hm ∗⋅ds = ∫ CE(i,j,k)Sm ∗dV,m= 1, 2, 3. (9) 2.2.1 A aliação de (qm)i,j k Subs i uindo as unções qm ∗, m ∗,gm ∗ e Sm ∗ em (9), após di e sas simpli icações, ob ém-se o esquema de a anço no empo pa a a a iá el (qm)i,j k: (qm)i,j k+Δx2 48 [(qm)xx ]i,j k+Δy2 48 [(qm)yy ]i,j k= [Pm y(Δx, m, gm)]i−1/2,j k−1/2 + [Pm y( − Δx, m,gm)]i+1/2,j k−1/2 + [Pm x(Δy,gm, m)]i,j−1/2 k−1/2 + [Pm x( − Δy,gm, m)]i,j+1/2 k−1/2 ,m= 1, 2, 3 (10) em que Pm ζ(Δξ,ϕ,ψ) = 1 4 { qm+Δξ 4(qm)ξ+Δ 4 [ ϕξ−ψζ ] + 2Δ Δξ [ ϕ+Δ 4ϕ ] +Δ 2 16 [ ϕξ −ψζ ] +Δ 48Δξ [ Δζ2ϕζζ + Δξ2ϕξξ ] +Δ 12Δξ [ Δ 2ϕ −Δξ2 2ψζξ ] +Δζ2 192 (qm)ζζ +7Δξ2 192 (qm)ξξ + Δ 2 [ Sm+Δ 4(Sm) +Δξ 4(Sm)ξ ] } . (11) É impo an e no a que as Equações (10) e (11) dependem apenas das incógni as qm, (qm)x, (qm)y, (qm)xx , (qm)yy e (qm)xy do empo k−1/2, pa a m= 1, 2, 3 pois, pelas Equações (1)-(4), m, gm e Sm ambém dependem des as úl imas. Po ou o lado, é p eciso conhece [(qm)xx ]i,j k e [(qm)yy ]i,j k p e iamen e à ob enção de (qm)i,j k no empo k, con o me Eq. (10). A seção a segui desc e e a ob enção dessas de i adas espaciais duplas. 2.2.2 A aliação de [(qm)xx]i,j k, [(qm)xy]i,j k e [(qm)yy]i,j k Pa a p ossegui com o cálculo de [(qm)xx ]i,j k, cons ói-se p imei amen e uma equação auxilia a pa i da Eq. (5), de i ando-a duas ezes em elação a x, ob endo as seguin es o mas di e encial e in eg al ∂(qm)xx ∂ +∂ ∂x [ ( m)xx − (Sm)x ] +∂(gm)xx ∂y= di H ^m= 0 e ∮ S(V)H ^m⋅ds = 0, m= 1, 2, 3. (12) As Equações em (12) possuem, con o me Equações (7) e (8), pa a odo (x,y, )∈ SE(i,j,k), os seguin es análogos numé icos: di H ^m ∗= 0 e ∮ S(CE(i,j,k))H ^m ∗⋅ds = 0, m= 1, 2, 3. (13) O campo e o ial ap oximado H ^m ∗= (( m ∗)xx − (Sm ∗)x, (gm ∗)xx , (qm ∗)xx ) é cons an e, de modo que a a aliação da Eq. (13) sob e o elemen o de conse ação desc i o pela Fig. 1a e o na, pa a m= 1, 2, 3: [(qm)xx ]i,j k=1 4 { [(qm)xx ]i−1/2,j k−1/2 + [(qm)xx ]i+1/2,j k−1/2 + [(qm)xx ]i,j−1/2 k−1/2 + [(qm)xx ]i,j+1/2 k−1/2 } +Δ 2Δx { [( m)xx ]i−1/2,j k−1/2 −[( m)xx ]i+1/2,j k−1/2 + [(Sm)x]i+1/2,j k−1/2 − [(Sm)x]i−1/2,j k−1/2 } + Δ 2Δy { [(gm)xx ]i,j−1/2 k−1/2 − [(gm)xx ]i,j+1/2 k−1/2 } . (14) Pa a compu a as a iá eis de ma cha [(qm)yy ]i,j k e [(qm)xy ]i,j k p ocede-se de modo análogo, ob endo-se após odos os cálculos e simpli icações: [(qm)yy ]i,j k=1 4 { [(qm)yy ]i−1/2,j k−1/2 + [(qm)yy ]i+1/2,j k−1/2 + [(qm)yy ]i,j−1/2 k−1/2 + [(qm)yy ]i,j+1/2 k−1/2 } +Δ 2Δy { [(gm)yy ]i,j−1/2 k−1/2 −[(gm)yy ]i,j+1/2 k−1/2 + [(Sm)y]i,j+1/2 k−1/2 − [(Sm)y]i,j−1/2 k−1/2 } + Δ 2Δx { [( m)yy ]i−1/2,j k−1/2 − [( m)yy ]i+1/2,j k−1/2 } , (15) [(qm)xy ]i,j k=1 4 { [(qm)xy ]i−1/2,j k−1/2 + [(qm)xy ]i+1/2,j k−1/2 + [(qm)xy ]i,j−1/2 k−1/2 + [(qm)xy ]i,j+1/2 k−1/2 } +Δ 2Δx { [( m)xy ]i−1/2,j k−1/2 − [( m)xy ]i+1/2,j k−1/2 +1 2[(Sm)y]i+1/2,j k−1/2 − 1 2[(Sm)y]i−1/2,j k−1/2 } +Δ 2Δy { [(gm)xy ]i,j−1/2 k−1/2 − [(gm)xy ]i,j+1/2 k−1/2 +1 2[(Sm)x]i,j+1/2 k−1/2 − 1 2[(Sm)x]i,j−1/2 k−1/2 } ,m= 1, 2, 3. (16) Abo da-se na seção a segui o cálculo das de i adas de p imei a o dem das a iá eis dinâmicas qm, m= 1, 2, 3. 2.2.3 A aliação de [(qm)x]i,j k e [(qm)y]i,j k As a iá eis [(qm)x]i,j k e [(qm)y]i,j k podem se de e minadas po meio de uma es a égia análoga àquela ap esen ada na seção [[#2.2.2 A aliação de [(qm)xx ]i,j k, [(qm)xy ]i,j k e [(qm)yy ]i,j k|2.2.2]] an e io , bas ando, pa a isso, cons ui leis di e enciais de conse ação (já nas o mas ap oximadas) ∂(qm ∗)x ∂ +∂( m ∗)x ∂x+∂(gm ∗)x ∂y= di H ˇm ∗= (Sm ∗)x, ∂(qm ∗)y ∂ + ∂( m ∗)y ∂x+∂(gm ∗)y ∂y= di H ~m ∗= (Sm ∗)y (17) e in eg ais ∮ S(CE(i,j,k))H ˇm ∗⋅ds = ∫ CE(i,j,k)(Sm ∗)xdV e ∮ S(CE(i,j,k))H ~m ∗⋅ds = ∫ CE(i,j,k)(Sm ∗)ydV,m= 1, 2, 3. (18) h ps://www.scipedia.com/public/Rod igues_e _al_2017 4 A. Rod igues de Melo, L. G amani and E. Ka iski, High-o de CE/SE scheme o dam-b eak low simula ion, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. (2018). Vol. 34, (1), 9 As a aliações das equações em (18) o necem as inclinações equacionadas po [(qm)ξ]i,j k= [Qm (1)(Δx,ξ)]i−1/2,j k−1/2 + [Qm (1)( − Δx,ξ)]i+1/2,j k−1/2 + [Qm (2)(Δy,ξ)]i,j−1/2 k−1/2 + [Qm (2)( − Δy,ξ)]i,j+1/2 k−1/2 , (19) pa a ξ=x,y e m= 1, 2, 3, em que Qm (1)(Δx,ξ) = 1 4 { (qm)ξ+Δx 4(qm)xξ +Δ 4 [ ( m)xξ − (gm)yξ ] + 2Δ Δx [ ( m)ξ+Δ 4( m) ξ ] +Δ 2(Sm)ξ } , (20) Qm (2)(Δy,ξ) = 1 4 { (qm)ξ+Δy 4(qm)yξ +Δ 4 [ (gm)yξ − ( m)xξ ] + 2Δ Δy [ (gm)ξ+Δ 4(gm) ξ ] +Δ 2(Sm)ξ } . (21) O esquema o mado pelo conjun o de Equações (10), (14)-(16) e (19) é in e essan e apenas em p oblemas com soluções de compo amen o sua e. Pa a p oblemas com descon inuidades ou o mação de choque, é necessá io modi ica o cálculo das a iá eis em (14)-(16) e (19). A p opos a ap esen ada nes e a igo é uma a iação do p ocedimen o ado ado po [38,39] e consis e num p ocesso i e a i o. Pa a p ossegui , conside e as seguin es o mas eg essi as e p og essi as: [(qm ±)ξ]i,j k=δξ ±(qm) e [(qm ±)ζξ ]i,j k=δξ ±[(qm)ζ], ξ=x,y, ζ=x,yem= 1, 2, 3 (22) al que o ope ado δξ ± seja de inido como δξ ±(ϕ) = { ±2 Δξ [ (ϕ′)i±1/2,j k−ϕi,j k ] , se ξ=x ±2 Δξ [ (ϕ′)i,j±1/2 k−ϕi,j k ] , se ξ=y e ϕ′= { ϕ+Δ 2ϕ +Δ 2 8ϕ , se ϕ= (qm)x, (qm)y, ϕ+Δ 2ϕ , se ϕ= (qm)xx , (qm)xy , (qm)yy . (23) As ap oximações pa a as de i adas se ão de inidas como [(qm)ξ]i,j k=W { [(qm +)ξ]i,j k, [(qm −)ξ]i,j k,α } ,(24) [(qm)ζξ ]i,j k=W { [(qm +)ζξ ]i,j k, [(qm −)ζξ ]i,j k,α } , m= 1, 2, 3, ξ=x,y,ζ=x,yeα≥ 0, (25) e a unção W [26,24]: W(x−,x+,α) = { |x+|αx−+ |x−|αx+ |x+|α+ |x−|α, se |x+|α+ |x−|α≠ 0, 0, casocon a io. (26) Obse e que nes e caso, as Equações (24) e (25) ep esen am médias ponde adas das di e enças p og essi as e eg essi as desc i as em (22) e (23). No caso de α= 0, (24) e (25) o nam-se di e enças ini as cen ais [23]. Ado a-se nes e abalho α= 1. Impo an e no a , no en an o, que as Equações (24) e (25) dependem da a iá el (qm)i,j k que, po sua ez, depende de [(qm)xx ]i,j k e [(qm)yy ]i,j k, con o me Eq. (10). Di o de ou a o ma, pa a ob e (qm)i,j k é necessá io ob e an es [(qm)xx ]i,j k e [(qm)yy ]i,j k, e ice- e sa. Pa a sana es a di iculdade, cons uímos o p ocesso i e a i o desc i o no Algo i mo 1. Algo i mo 1: Algo i mo CE/SE pa a o cálculo das a iá eis de ma cha sob e um de e minado pon o (i,j,k) da malha. início De ina uma ole ância τ Faça m=1 epi a Faça l=1; Calcule [(qm)xx ]i,j k e [(qm)yy ]i,j k com as Equações (14) e (15), espec i amen e; Calcule (qm l)i,j k com a Eq. (10); epi a Calcule [(qm)x]i,j k e [(qm)y]i,j k com a Eq. (24); Calcule [(qm)xx ]i,j k, [(qm)xy ]i,j k e [(qm)yy ]i,j k com a Eq.(25); Calcule (qm l+1)i,j k com a Eq. (10); a é ||(qm l+1)i,j k−(qm l)i,j k||<τ; a é m=3; im A es abilidade do esquema CE/SE sa is az a condição de Cou an -F ied ichs-Lewy (CFL) que, pa a as equações de Sain Venan unidimensional e bidimensional são as es ições [23] CFL =Δ Δxmax ( |u| + gh ) e CFL = max { Δ Δx ( |u| + gh ) ,Δ Δy ( | | + gh ) } , (27) espec i amen e, onde o núme o de Cou an sa is az 0 < CFL ≤ 1. Maio es de alhes sob e es abilidade do mé odo CE/SE pode se encon ado em [40]. 3 Exemplos Numé icos Es a seção em po obje i o a alia e alida o esquema numé ico desen ol ido. Pa a isso, alguns p oblemas es e são a aliados, como es es de acu ácia em uma e duas dimensões, bem como p oblemas clássicos de up u a de ba agem unidimensionais (subseção 3.1) e bidimensionais (subseção 3.2). 3.1 Exemplos Unidimensionais Exemplo 3.1.1: O obje i o des e exemplo es e é e i ica expe imen almen e a o dem de acu ácia do esquema CE/SE. Conside e o sis ema hipe bólico linea unidimensional U + F(U)x= 0, onde U = (ϕ,u), F = (cu,cϕ)(28) e c é uma cons an e dada. Impondo as condições inicias ϕ(x, 0) = − c−1sin(2πx) e u(x, 0) = 0, é possí el ob e a seguin e solução exa a [41,42]: ϕ(x, ) = − c−1cos(2πc )sin(2πx) e u(x, ) = c−1sin(2πc )cos(2πx) . (29) As soluções são compu adas com as Equações (10), (14)-(16) e ( 19). A Tabela 1 ap esen a os e os calculados nas no mas L1 e L2, nas simulações ealizadas sob e o domínio compu acional − 1 ≤ x≤ 1, c= 1, CFL = 0.8 a é a ingi o empo = 1.2s, sendo n o núme o de células no espaço. O expe imen o e i ica a e cei a o dem de acu ácia do esquema pa a ambas as a iá eis u e ϕ. Tabela 1. O dem de acu ácia expe imen al do mé odo CE/SE pa a o sis ema hipe bólico linea unidimensional. h ps://www.scipedia.com/public/Rod igues_e _al_2017 5 A. Rod igues de Melo, L. G amani and E. Ka iski, High-o de CE/SE scheme o dam-b eak low simula ion, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. (2018). Vol. 34, (1), 9 No ma L1No ma L2 nE o (ϕ)O dem E o (u)O dem E o (ϕ)O dem E o (u)O dem 20 8.322 ×10−3 –1.662 ×10−2 –7.157 ×10−3 –1.347 ×10−2 – 40 1.849 ×10−3 2.170 2.524 ×10−3 2.719 1.488 ×10−3 2.266 2.042 ×10−3 2.722 80 3.067 ×10−4 2.592 3.401 ×10−4 2.892 2.443 ×10−4 2.607 2.715 ×10−4 2.911 160 4.369 ×10−5 2.811 4.386 ×10−5 2.955 3.493 ×10−5 2.806 3.465 ×10−5 2.970 320 5.813 ×10−6 2.910 5.566 ×10−6 2.978 4.665 ×10−6 2.904 4.369 ×10−6 2.987 640 7.490 ×10−7 2.956 7.010 ×10−7 2.989 6.030 ×10−7 2.952 5.490 ×10−7 2.992 Exemplo 3.1.2: Conside a-se ago a um p oblema ideal de up u a de ba agem sob e um domínio molhado, is o é, a queb a de ba agem é ins an ânea, o undo é plano e não exis e esis ência ao escoamen o. As condições iniciais pa a es a con igu ação seguem o clássico p oblema de Riemann h(x, 0) = { hl, pa a0m ≤ x≤x0m h , pa ax0m < x≤Lm, com hl≥h e u(x, 0) = 0m/s . (30) O domínio conside ado é 0m ≤x≤ 2000m, x0= 1000m e a solução analí ica pode se encon ada em [43] ou [44]. U iliza- se, pa a ins de análise de compo amen o, a mesma elação de equações do Ex. 3.1.1 an e io , is o é, Equações (10), (14)-(16) e ( 19). As Fig. 2a e Fig. 2b demons am o compo amen o da solução numé ica em elação à analí ica, calculadas no empo = 52s, com n+ 1 = 201 pon os, inc emen o espacial Δx= 10m, CFL = 0.8 e p o undidades iniciais a mon an e e a jusan e hl= 10m e h = 5m, espec i amen e. No e que a espos a numé ica é coe en e com a analí ica, embo a ap esen e sua idade que a dis ancie nas egiões com mudanças ab up as. (a) (b) Figu a 2. Ele ação da supe ície da água h e elocidade u pa a o p oblema de up u a de ba agem, compu ada no empo =52s, u ilizando uma malha uni o me com 201 pon os, inc emen o espacial Δx=10m e h /hl=0.5. U ilizando o Algo i mo 1, sob as mesmas condições e com os mesmos pa âme os, ob ém-se os g á icos cons an es na Fig. 3. Obse a-se que es a solução numé ica é supe io à an e io , sob e udo no que ange às egiões de ápidas mudanças. Con o me Zhang e al. (2012) [23], a azão h /hl é um impo an e índice pa a julga a aplicabilidade e a acu ácia de esquemas numé icos no modelo 1D de up u a de ba agem. Segundo os mesmos au o es, os egimes de escoamen os subc í ico e supe c í ico exis em simul aneamen e num canal sem icção, ho izon al e e angula , quando h /hl< 0.138. Al e a-se, nes e sen ido, es es pa âme os pa a uma azão h /hl= 0.001. Os esul ados simulados são mos ados nas Figs. 3c e 3d. (a) (b) (c) (d) Figu a 3. Ele ação da supe ície da água h e elocidade u pa a o p oblema de up u a de ba agem, no empo =52s, numa malha uni o me com 201 pon os e espec i o inc emen o espacial Δx=10m, calculados com o Algo i mo 1, sendo: (a)-(b) hl=10m e h = 5m, (c)-(d) hl=10m e h =0.01m. 3.2 Exemplos Bidimensionais Exemplo 3.2.1: Conside e ago a o sis ema hipe bólico linea bidimensional U + F(U)x+ G(U)y= 0, onde U = (ϕ,u, ), F = (cu, cϕ, 0), G = (c , 0, cϕ) (31) e c é uma cons an e dada. Pa a os dados iniciais ϕ(x,y, 0) = − c−1[sin(2πx) + sin(2πy)] e u(x,y, 0) = (x,y, 0) = 0, es e p oblema admi e a seguin e solução exa a [41,42]: ϕ= − c−1cos(2πc )[sin(2πx) + sin(2πy)], u= c−1sin(2πc )cos(2πx) e =c−1sin(2πc )cos(2πy) . (32) A Tabela 2 ap esen a os e os numé icos calculados nas no mas L1 e L2, no empo = 0.2s, com pa âme os especi icados em c= 1, CFL = 0.4 e domínio compu acional de inido em − 1 ≤ x, y≤ 1, sendo nx×ny o núme o de células u ilizadas na disc e ização. O expe imen o con i ma no amen e a acu ácia de e cei a o dem do esquema CE/SE. Tabela 2. O dem de acu ácia expe imen al do mé odo CE/SE pa a o sis ema hipe bólico linea bidimensional.. No ma L1No ma L2 nx×nyE o (ϕ)O de mE o (u, )O de mE o (ϕ)O de mE o (u, )O de m 20×20 2.595 ×10−3 –1.283 ×10−2 –1.797 ×10−3 –7.478 ×10−3 – 40×40 4.231 ×10−4 2.617 2.032 ×10−3 2.658 3.377 ×10−4 2.412 1.169 ×10−3 2.678 80×80 7.519 ×10−5 2.492 2.924 ×10−4 2.797 6.111 ×10−5 2.466 1.653 ×10−4 2.822 160×160 1.197 ×10−5 2.651 3.938 ×10−5 2.892 9.602 ×10−6 2.670 2.217 ×10−5 2.898 320×320 1.735 ×10−6 2.786 5.128 ×10−6 2.941 1.397 ×10−6 2.781 2.895 ×10−6 2.937 640×640 2.364 ×10−7 2.876 6.554 ×10−7 2.968 1.939 ×10−7 2.849 3.723 ×10−7 2.959 Exemplo 3.2.2: Es e p oblema hipo é ico bidimensional é um h ps://www.scipedia.com/public/Rod igues_e _al_2017 6 A. Rod igues de Melo, L. G amani and E. Ka iski, High-o de CE/SE scheme o dam-b eak low simula ion, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. (2018). Vol. 34, (1), 9 exemplo u ilizado po [23,45,46]. Nes e p oblema as elocidades iniciais são odas nulas, a p o undidade a mon an e é de 10m, enquan o que a p o undidade a jusan e é assumida se 5m ou 0.1m. O domínio compu acional consis e de uma egião de 200m × 200m, com uma pa ede que se es ende pa alelamen e ao eixo y, endo 10m de la gu a e es á cen ada em x= 100m. A alha é supos a se ins an ânea, possui 75m de ex ensão a pa i de y= 95m. O canal é ho izon al e desconside a-se esis ência ao escoamen o. Espe a-se a o mação de uma en e de choque após o ompimen o. Os esul ados em = 7.2s são compu ados a pa i de uma malha uni o me compos a po 101 × 101 células e CFL = 0.4. Cons am nas Figu as 4a e 4b g á icos da p o undidade, e o es elocidade e cu as de ní el pa a o p oblema com p o undidade inicial a jusan e de 5m, enquan o que as Figu as 4c e 4d e e em-se ao p oblema com p o undidade inicial a jusan e de 0.1m. Os esul ados são consis en es com aqueles p esen es na li e a u a [23,45,46]. (a) (b) (c) (d) Figu a 4. Ele ação da supe ície da água h, (a) e (c), e o es elocidade e cu as de ní el, (b) e (d), pa a a solução calculada no empo =7.2s com CFL =0.4, do p oblema de up u a de ba agem an i-simé ica em um domínio ho izon al e sem icção, com p o undidades a mon an e de 10m e a jusan e de 5m (a)-(b) e 0.1m (c)-(d). Exemplo 3.2.3: Es e p oblema es e isa a alia a habilidade do esquema em p ese a sime ia. Conside a-se um domínio de 50m × 50m com condições iniciais: h(x,y, 0) = { 10m, se (x− 25)2+ (y− 25)2≤ 10.52 1 m, caso con a io eu(x,y, 0) = (x,y, 0) = 0. (33) No ins an e da alha da ba agem, supõe-se que a pa ede ci cula seja emo ida comple amen e e, subsequen emen e, o mam-se ondas que se espalham adialmen e. A solução numé ica é compu ada numa malha e angula uni o me com 101 × 101 células e o passo de empo é al que CFL = 0.6. A Fig. 5a ap esen a o pe il da supe ície da água 0.72s após a hipo é ica alha na ba agem ci cula . Ve o es elocidade e cu as ní el ela i as à supe ície h es ão dispos os na Fig. 5b. A sime ia da solução numé ica é bem p ese ada e es á de aco do com a li e a u a [7,47]. (a) (b) Figu a 5. Pe il da supe ície da água h (a), e o es elocidade e cu as de ní el (b), pa a a solução calculada no empo =0.72s com CFL =0.6, do p oblema de up u a de ba agem ci cula em um domínio ho izon al e sem icção. 4. Conclusões Es e a igo ap esen ou o desen ol imen o de um no o esquema CE/SE explíci o pa a a solução das equações de águas asas em uma e duas dimensões. Na o mulação cons uída, as a iá eis dinâmicas e, consequen emen e, as leis di e encial e in eg al de conse ação, o am ap oximadas localmen e po expansões de Taylo de segunda o dem. O conjun o de a iá eis de ma cha o nou-se cons i uído pelas a iá eis luxo qm e suas de i adas espaciais de p imei a (qm)x, (qm)y e segunda o dem (qm)xx , (qm)xy e (qm)yy . Os expe imen os compu acionais ealizados indica am acu ácia de e cei a o dem sob e os p oblemas hipe bólicos linea es es ados. As soluções numé icas dos p oblemas es e de up u a de ba agem unidimensional e bidimensional, ca ac e izados pela o mação de choque, descon inuidade ou sime ia, ap esen a am conco dância com as soluções analí icas e/ou com a li e a u a. Conclui-se, com isso, que o esquema p opos o possui conside á el habilidade em cap u a choques e descon inuidades azendo com que seja uma boa e amen a pa a análise de luxo de up u a de ba agem. Ag adecimen os Os au o es ag adecem à CAPES pelo apoio inancei o, ao P og ama de Pós-G aduação em Mé odos Numé icos em Engenha ia (PPGMNE - UFPR) e ao Ins i u o Fede al de Educação, Ciência e Tecnologia Ca a inense, Campus A aqua i, pelo apoio à pesquisa. Re e ências [1] S. Yang, A. Ku gano , Y. Liu, Well-balanced cen al schemes on o e lapping cells wi h cons an sub ac ion echniques o he Sain -Venan shallow wa e sys em. 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