Re ia a In e nacional de Mé odos Numé icoi pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol.
6,
1,
286-310( 1990)
CONTRASTACION DE DIFERENTES CRITERIOS
NUMERICOS PARA LA RESOLUCION DE FLUJOS
POTENCIALES MEDIANTE EL EMPLEO
DE COORDENADAS CURVILINEAS.
Pa e 1: FUNCION DE CORRIENTE
C.D. PEREZ SEGARRA
A. OLIVA
Y
M.
COSTA
Labo a o i de Te mo icnia i Ene gi ica,
Depa amen de Mdquines
i
Mo o s TG mics,
E.T.S. d' Enginye s Indus ials de Te assa,
Uni e si a Poli icnica de Ca alunya.
RESUMEN
En es e abajo se analizan y con as an di e en es c i e ios numé icos pa a la esolución
de lujos po enciales subsónicos comp esibles median e el empleo de la unción de co ien e.
Los dominios son disc e izados en base a la gene ación de coo denadas cu ilíneas
adap ables a los con o nos. Las ecuaciones de disc e ización son ob enidas a pa i de la
ecuación di e encial de la unción de co ien e, o bien de e ec ua balances sob e olúmenes
de con ol ini os asignados
a
los nodos de la malla.
A modo de ejemplo y pa a el es udio numé ico se analizan dos si uaciones conc e as de
lujos con inados; los esul ados p esen ados ponen de mani ies o la in luencia del ipo de malla
gene ada y de los c i e ios numé icos u ilizados en la disc e ización de las ecuaciones.
SUMMARY
In his pape we analyse and con as di e en nume ical c i e ia o he solu ion o subsonic
po encial lows using he s eam unc ion.
The domains a e disc e izised on he basis o he gene a ion o bounda y i ed cu ilinea
coo dina e sys ems. The disc e ized equa ions a e ob ained om he di e en ial equa ion o
he s eam unc ion, o om making balances on ini e con ol olumes assigned o he nodes
o he g id.
By way o example and o he nume ical analysis we s udied wo conc e e si ua ions o
con ined lows; he esul s gi en show he in luence o he ype o g id and he nume ical c i e ia
employed in he disc e iza ion o he equa ions.
Recibido: Feb e o
1989
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
C.D. PEREZ SEGARRA, A. OLIVA
Y
M.
COSTA
INTRODUCCION: ECUACIONES CARACTERISTICAS.
MALLAS ADAPTABLES A LOS CONTORNOS
El análisis de nume osos lujos de in e és en la ingenie ía ( lujo en pe iles
ae odinámicos, lujo en álabes de u bina,
...)
puede se ealizado di idiendo el dominio
po el que ci cula la co ien e en dos zonas: a) po un lado unas delgadas egiones
p óximas a los con o nos sólidos (denominadas capas lími es) en donde los e ec os de
la icción
y
de la ans e encia de calo son condicionan es; b) de o o lado el es o
del dominio (denominado zona no iscosa) en donde los e ec os de la icción
y
de la
ans e encia de calo pueden desp ecia se.
La esolución de la egión no iscosa se p ecisa no sólo como modelo es ima i o
del compo amien o del lujo en dicha egión sino ambién como medio de aco ación
de las condiciones de con o no pa a las capas lími es. La o mulación de es a zona no
iscosa puede ealiza se, dependiendo de las hipó esis asumidas, median e el empleo
de la unción de co ien e o de la unción po e.ncial de elocidad. En es e abajo nos
ocupa emos de la esolución numé ica de lujos subsónicos comp esibles o mulados
median e el empleo de la unción de co ien e
y
en el supues o de que se a e de
gases pe ec os en égimen pe manen e, bidimensional, i o acional (o po encial) e
isoen ópico.
Pa a la egión no iscosa las ecuaciones de conse ación ienen exp esadas po
las ecuaciones de Eule l, en las que las a iables dependien es son las elocidades, la
p esión
y
la empe a u a. Bajo cie as hipó esis es ac ible la desc ipción del lujo
median e el empleo de unciones escala es de pun o; así, si suponemos que el lujo es
pe manen e
y
bidimensional es posible de ini una unción de co ien e adimensional
II>,
al que sa is aga la ecuación de conse ación de la masa, en la o ma1:
En es as condiciones
y
pa a el caso del lujo de un gas pe ec o supues o i o acional
e isoen ópico, las ecuaciones gobe nan es de la egión no iscosa en é minos de la
a iable dependien e
S,
y
en o ma adimensional son1:
p
=
1-
(12
-
1)Mo2
[
(u2
-
1)]
en donde la ecuación (2a), que denomina emos ecuación di e encial de la unción de
co ien e, exp esa la condición de i o acionalidad del lujo.
Las condiciones de con o no necesa ias pa a la in eg ación de las ecuaciones
indicadas, pa a un lujo conñnado dado (Figu a la), son del ipo:
CONTRASTACION DE CRITERIOS PARA LA RESOLUCION DE FLUJOS POTENCIALES
287
en donde
Ce
y
C
ep esen an, espec i amen e, la zona de en ada
y
de salida del
lujo; las líneas
Ci
y
Cs
simbolizan
un
con o no o canalización
y
coinciden, po an o,
con líneas de co ien e de lujo.
D
Llneas
L
ineas
]:c e
Figu a
1.
Geome ía
y
maila gene ada
en:
(a) el plano ísico
(a,
y);
(b)
el plano
ans o mado
(E,
).
La in eg ación numé ica de la ecuación di e encial de la unción de co ien e la
e ec ua emos en base a disc e iza el dominio po el que ci cula el lujo median e la
gene ación de sis emas de coo denadas cu ilíneas
[E
=
e(z, y), q
=
q(2, y)], de o ma
que los con o nos del dominio coincidan con líneas coo denadas. Así, una geome ía
i egula dada en el plano ísico
(2,
y) (Figu a la) adquie e una o ma egula en
el plano ans o mado (~,q) (Figu a lb); las ecuaciones ca ac e ís icas, esc i as en
dichas coo denadas cu ilíneas, se esuel en de o ma más con enien e en el plano
ans o mado
y
según c i e ios de di e encias o inc emen os ini os.
Los alo es asignados a las coo denadas cu ilíneas den o del dominio son, en
p incipio, a bi a ios; no obs an e
y
en lo que sigue los supond emos uni o memen e
dis ibuidos en e
O
y
1.
Así, las coo denadas cu ilíneas co espondien es a un pun o
(i,
j)
de una malla de disc e ización cons i uida po
N
+
1
líneas
E
=
c e
y
M
+
1
líneas
q
=
c e se án:
De es a o ma, la geome ía i egula indicada en la Figu a la es con e ida,
en el plano ans o mado, en
un
dominio cuad ado con
una
malla de disc e ización
ec angula y uni o memen e dis ibuida (Figu a 2).
9
"M.l='
:i
IAII~IIIII~~
9,=O
1
c
*€
E
-0..
.
...
. . .
c
¡.
. . .
. .
.
. . .
cNe1
=l
1
-
Figu a
2.
Maiia de disc e ización
en
plano ans o mado
y
según exp esión
(4).
La complicación adicional que ep esen a la in eg ación de la ecuación de la unción
de co ien e esc i a en coo denadas cu ilíneas, ecuación (5) o ecuación (15), espec o
a su equi alen e en coo denadas ca esianas, ecuación (2a), se e compensada po la
en aja que se de i a de la eliminación de los p oblemas inhe en es
al
a amien o
de con o nos i egula es: in e secciones malla-con o no, ap oximación numé ica de las
de i adas en los con o nos, unciones de in e polación, e c.
El empleo de mallas adap ables a los con o nos puede acili a la concen ación de
la misma en las zonas de mayo es g adien es. No obs an e, el con ol de la malla en el
in e io del dominio no siemp e es ácil pudiendo eque i el ipo de p oblema a esol e
y la geome ia implicada un es udio especí ico.
En lo que sigue se indica án di e en es c i e ios numé icos pa a la esolución de
lujos po enciales subsónicos comp esibles o mulados en base
al
empleo de la unción de
co ien e y median e la disc e ización del dominio po mallas adap ables a los con o nos
ísicos. En un úl imo apa ado se con as a án los esul ados numé icos ob enidos pa a
dos si uaciones especí icas de lujos con inados.
INTEGRACION
NUMERICA
En es e apa ado indica emos el p oceso seguido pa a la esolución numé ica del
lujo po encial. Se ob end án, según dis in os c i e ios numé icos, las ecuaciones
disc e as co espondien es a las ecuaciones gobe nan es; dichas ecuaciones de
disc e ización (co espondien es a los pun os in e io es de la malla
y
a los pun os del
con o no) con igu an un sis ema de ecuaciones algeb aicas no lineales cuya esolución
p opo ciona los alo es de
?1,
y
p
en cada nodo de la malla.
A
pa i de es os alo es se
de e minan numé icamen e las componen es de la elocidad en coo denadas ca esianas
CONTRASTACION DE CRITERIOS PARA LA RESOLUCION DE FLUJOS POTENCIALES
289
y/o en coo denadas cu ilíneas; la dis ibución de p esiones y empe a u as
en
el
dominio se calculan
en
base a las elaciones isoen ópicas pa a
un
gas pe ec o.
Análisis numé ico de los pun os in e io es de
la
malla
Las ecuaciones de disc e ización, pa a las zonas in e io es del dominio, son
ob enidas según es c i e ios dis in os:
-
Esquema numé ico FC-1: Las ecuaciones disc e as son ob enidas de ap oxima
numé icamen e, median e desa ollos en se ies de Taylo , los é minos de
la ecuación di e encial de la unción de co ien e esc i a en coo denadas
cu ilíneas. Dicha ecuación es ob enida a pa i de la ecuación di e encial de
la unción de co ien e en coo denadas ca esianas, ecuación
(2a),
e ec uando los
co espondien es cambios de a iable.
-
Esquema numé ico FC-2: Las ecuaciones de disc e ización son ob enidas de
aplica la condición de i o acionalidad a olúmenes de con ol ini os asignados
a cada nodo de la malla y cen ados, en el plano ans o mado, en e las líneas
coo denadas.
-
Esquema numé ico FC-3:
A
di e encia del esquema FC-1, la ecuación di e encial
de la unción de co ien e es ob enida de aplica la condición de i o acionalidad del
lujo a elemen os di e enciales en las coo denadas cu ilíneas. Si bien la ecuación
di e encial así ob enida es idén ica ma emá icamen e a la deducida en FC-1, los
esquemas numé icos que se de i an de ambas son dis in os.
Esquema numé ico
FC-1
Pa a el desa ollo de es e p ime esquema numé ico pa imos de la ecuación
di e encial de la unción de co ien e (2a), exp esando los di e en es é minos de las
de i adai pa ciales en unción de las a iables independien es
E
=
~(z,
y) y 7
=
q(z, y).
De e ec ua los co espondien &s cambios de a iable, y de eo dena adecuadamen e,
se ob iene la siguien e ecuación di e encial de la unción de co ien e en coo denadas
cu ilíneas:
siendo los coe icien es mé icos de la ans o mación:
La ecuación de disc e ización co espondien e a la ecuación di e encial (5) se ob iene
ap oximando numé icamen e las de i adas median e desa ollos en se ies de Taylo
conside ando has a los é minos de segundo o den.
A
modo ilus a i o indica emos,
pa a el caso de una malla de disc e ización ec angula y uni o memen e dis ibuida,

C.D. PEREZ SEGARRA, A. OLIVA
Y
M.
COSTA
ecuación
(4),
algunas de las ap oximaciones ealizadas sob e el elemen o disc e o de la
Figu a
3:
Figu a
3.
Elemen o disc e o,
en
plano ans o mado, co espondien e a la
zona
in e io del dominio.
La densidad se calcula, en cada nodo
(i,
j)
de la malla, median e la ecuación
(2b) p e ia de e minación del módulo de la elocidad. La exp esión del módulo de
la elocidad, en é minos de la unción de co ien e
y
en las coo denadas cu ilíneas,
iene dada po la ecuación (21), en la que las de i adas de la unción de co ien e son
ap oximadas numé icamen e según el c i e io indicado en la exp esión (7a).
Los coe icien es mé icos que apa ecen en la ecuación
(5)
se e alúan pa a cada
nodo
(i,
j) de la malla an es de inicia se el p oceso i e a i o de esolución del sis ema de
ecuaciones disc e as. El cálculo de dichos coe icien es se e ec úa de o ma más sencilla en
el plano ans o mado; pa a ello se sus i uye, e ec uando los co espondien es cambios
de a iable, las de i adas espec o a las coo denadas ca esianas po de i adas espec o
a las coo denadas cu ilíneas:
CONTRASTACION DE CRITERIOS PARA LA RESOLUCION DE FLUJOS POTENCIALES
291
[(g22~cc
+
2912xc0
+
gii~ l ))~c
-
(g22~ec
+
2g12yc )
+
gll~ ) ))2c]
P
=
D3
siendo:
2
2 2 2
911
=
ze
+
y,
;
S22
=
x, +y,
;
912
=
Zez,
+
yey,
;
D
=
zcy,
-
z,yc
Las de i adas espec o de las coo denadas cu ilíneas son e aluadas numé icamen e
y
según c i e ios análogos a los indicados en las ecuaciones
(7)
pa a la unción de co ien e.
Esquema numé ico
FC-2
Es e segundo esquema xkmé ico se basa en aplica di ec amen e sob e olúmenes
de con ol (V.C.) hi os, asignados a cada nodo de la malla, la condición de
i o acionalidad del lujo. Los V.C. es án o mados po líneas coo denadas del sis ema
de coo denadas cu ilíneas gene ado (Figu a 4a); las ca as del V.C. se hallan cen adas,
en el plano ans o mado, en e el nodo en cues ión y los nodos adyacen es (Figu a 4b).
Según el eo ema de S okes, la in eg al de supe icie de la componen e no mal
del o acional de la elocidad sob e cualquie á ea
A
cuyo con o no sea la ayec o ia
ce ada
C,
debe se igual a la in eg al cu ilínea de la componen e del ec o elocidad
al ededo de dicha ayec o ia. Pa a el caso de lujos o acionales se sigue, po an o,
que la ci culación
I'
al ededo de cualquie cu a ce ada
C
es nula:
=
j .di
=
o
(9)
C
Pa a un sis ema dado de coo denadas cu ilíneas qi(ql
=
E,
q2
=
q),
los ec o es
e;
de inidos po
e;
=
a /aqi,
se denominan ec o es de la base local
y
son angen es
en cada pun o a las heas coo denadas; el ec o di e encial de longi ud sob e dichas
líneas end á dado en la o ma: dl
=
e;dqi, en donde el signo
+
o
-
depende á del
sen ido elegido pa a la ci culación. Así, de aplica la in eg al cu ilínea (9) al con o no
delimi ado po el V.C. de la Figu a 4a, se iene:
ei-1/2#'lJ+l/2
"i+l/2
*'lj+l/i
ci+l/2~'lj-l/2
ei-1/2
j-1/2
1
.e2dq-
/
.e1d&+
/
.e2dq+
/
-e1dc
=
0
i-112
Plj-112
ei-l/21'lj+1/2
ei+i/~Jlj+i/~
Ci+1/2s'lj-l/~
(10)
Los p oduc os escala es .e; de inen las componen es co a ian es de la elocidad
Vi
en la base local. En la exp esión an e io la ap oximación numé ica de las in eg ales se
ealiza suponiendo que la componen e co a ian e de la elocidad se man iene uni o me
a lo la go de la co espondien e ca a del V.C.; la ecuación de disc e ización de la
unción de co ien e se ob iene al exp esa dichas componen es co a ian es en é minos
de la unción de co ien e, ecuación
(22),
y
al sus i ui las de i adas po cocien e de
inc emen os. Así, po ejemplo, pa a la p ime a de las in eg ales de la ecuación (10):
C.D. PEREZ SEGARRA, A. OLIVA
Y
M.
COSTA
Figu a 4. Volumen de con ol (V.C.) ini o asignado
al
nodo
(i,
j)
de la malla en:
a)
el
plano ísico;
b)
el plano ans o mado.
en donde las ap oximaciones numé icas de las de i adas son del ipo:
La densidad en las ca as del V.C. se calculan p omediando las ob enidas en los
nodos adyacen es de la malla según la o ma indicada en el esquema FC-1. Así po
pi,j+pi+i,j
ejemplo:
p;+i/ ,j
=
(
2
En la e aluación numé ica de los coe icien es mé icos en las ca as del
V.C.
se
han conside ado dos c i e ios dis in os: a) se p omedian los ob enidos en los nodos
adyacen es de la malla en la o ma indicada en FC-1; b) se calculan di ec amen e en
la ca a co espondien e del V.C., e aluándose las de i adas de las coo denadas según
un
c i e io análogo al indicado en las ecuación (12) pa a la unción de co ien e. El
empleo del p ime o del segundo c i e io se indica á, espec i amen e, po la no ación
FC-2a o FC-2b. Como e emos
más
adelan e, la e aluación numé ica de los coe icien es
mé icos iene una g an impo ancia en la p ecisión del esquema numé ico.
CONTRASTACION DE CRITERIOS PARA IiA RESOLUCION DE FLUJOS POTENCIALES
293
Esquema numé ico
FC-3
P ocede emos, en p ime luga , a la ob ención de la ecuación di e encial de la
unción de co ien e esc i a en las coo denadas
(E,
7);
pa a ello aplicamos la condición
de i o acionalidad, exp esada po la in eg al cu ilínea
(9);
a
un
elemen o di e encial
de las coo denadas cu ilíneas:
Sus i uyendo
e;
po y desa ollando se iene:
De exp esa en la ecuación an e io las componen es co a ian es de la elocidad
en é minos de la unción de co ien e, ecuación (22), se ob iene la siguien e ecuación
di e encial de la unción de co ien e en coo denadas cu ilíneas:
La ap oximación numé ica de es a ecuación di e encial (15) la ealiza emos
omando los pun os medios en e nodos; dado que la malla es ec angula y es á
uni o memen e dis ibuida (Figu a
3),
se iene
:
De aplica pa a la e aluación de las de i adas de la unción de co ien e c i e ios
numé icos análogos a los indicados en las ecuaciones (12), esul a una ecuación disc e a
de la unción de co ien e equi alen e a la que se de i a del esquema numé ico an e io
FC-2.
La densidad
y
los coe icien es mé icos en los pun os medios en e nodos,
(i
112,
j
1/2), se ob ienen de la misma mane a que la indicada en FC-2 pa a las ca as
del V.C.
En es e apa ado se han indicado es esquemas numé icos pa a el a amien o de
los pun os in e io es del dominio. El segundo de ellos, el FC-2, es de ipo in eg al
mien as que el p ime o
y
el e ce o, el FC-1
y
el FC-3, son de ipo di e encial.
Como consecuencia del empleo de mallas uni o memen e dis ibuidas en el plano
ans o mado y de los c i e ios u ilizados en la ap oximación numé ica de las in eg ales
y de las de i adas, se ha cons a ado la pa icula idad de que los esquemas FC-2 y
FC-3 p opo cionan unas ecuaciones de disc e ización equi alen es dando, po an o,
los mismos esul ados numé icos.
C.D.
PEREZ SEGARRA,
A.
OLIVA
Y
M.
COSTA
a)
Las coo denadas cu ilíneas son gene adas median e la esolución del siguien e
sis ema de ecuaciones di e enciales de ipo elíp ico6:
E22
+
Eyy
=
P(E, 7)
7122
+
~VV
=
Q(E,~)
(27)
en donde las unciones P(E, q)
y
Q(E, q) ienen como obje o el pe mi i un con ol del
espaciado de la malla de disc e ización en el in e io del dominio6. Las condiciones de
con o no son de Di ichle debiéndose especi ica la localización en el plano isico de las
líneas coo denadas
E
y
.
La in eg ación numé ica del sis ema de ecuaciones indicado
y
de sus condiciones de
con o no se ealiza, de o ma más con enien e, en el plano ans o mado. De e ec ua
los co espondien es cambios de a iable las ecuaciones (27) oman la o ma:
g22xee
-
2912xeq
+
g11xqq
=
-D2(pze
+
Qxq)
g22~ee
-
2g12~eq
+
gii~qq
=
-D2(Pye
+
QY~)
(28)
En los con o nos se especi ican los alo es de las coo denadas (x, y) co espondien es
a la dis ibución elegida de las coo denadas cu ilíneas.
El esul ado de la in eg ación numé ica de las ecuaciones
y
de sus condicio ies de
con o no es una ma iz de alo es (z, y), co espondien es a los pun os de in e sección
de las coo denadas cu ilíneas en el plano ísico. Pa a la esolución de las ecuaciones se
ha empleado el mé odo i e a i o de Gauss-Seidel apoyado en un TDMA
y
en écnicas
de sob e elajación.
Pa a la geome ía especi icada en es e p ime ejemplo de esolución la malla
gene ada, según la dis ibución ijada de pun os en los con o nos, se ha ep esen ado en
la Figu a 7a. Dicha malla co esponde
al
caso de P(E, q)
=
Q(E, q)
=
O
y
se la designa á
con la no ación
ZUEX.
Una ca ac e ís ica inhe en e a es e mé odo de gene ación de
malla es la de que p opo ciona una dis ibución de líneas egula en el in e io del
dominio.
b)
Las cu as co espondien es a las coo denadas cu ilíneas son de inidas po una
exp esión algeb aica del ipo:
x
E=-
'
Y
-
Yi(4
H
l=
Yb(4
-
Yib)
(29)
en donde y,(z) e y;(x) son unciones que de inen la geome ía de los con o nos la e ales
Ci
y
Cs
espec i amen e. La malla gene ada median e la exp esión an e io se ha
ep esen ado en la Figu a 7b y se la designa á po la no ación
YUEX.
Nó ese que el
mé odo algeb aico iene la en aja, espec o a mé odos del ipo indicado an e io men e,
de que la gene ación de las coo denadas cu ilíneas se ealiza con mínimo es ue zo
compu acional; no obs an e,
y
a di e encia del mé odo an e io , las discon inuidades
en
los con o nos son p opagadas al in e io de la malla.
c)
Las coo denadas cu ilíneas son gene adas de o ma que coinciden con las que
se ían líneas de co ien e del lujo, supues o és e incomp esible,
y
con sus o ogonales.
Pa a el caso que nos ocupa, la ecuación pa amé ica de las líneas de co ien e,

CONTRASTACION DE CRITERIOS PARA LA RESOLUCION
DE
FLUJOS POTENCIALES
301
Figu a
7.
Coo denadas cu ilíneas gene adas pa a la esolución del lujo po encial
al ededo de un cilind o (a,b,c,d,e)
y
del lujo po encial a a és
de
una
obe a con e gen e
( ).
Maiias ipo: (a)
ZUEX;
(b)
YUEX;
(c)
XULT;
(d)
XUFI;
(e)
XUEX.
ecuación
(26),
y de sus o ogonales [líneas equipo enciales
4
=
x
+
(z
-
H )/[(x
-
H )2
+
Y2)
+
l/H ]
es conocida; la cons ucción del sis ema de coo denadas se ha
ealizado
a
pa i de dichas ecuaciones.
Pa a el es udio numé ico hemos gene ado, basándonos en el c i e io indicado,
es ipos de coo denadas cu ilíneas o ogonales. En odos ellos, las líneas
]
=
c e,
co espondien es a las líneas de co ien e, es án dis ibuidas de o ma que
]
=
donde
?C,
es á dada po la ecuación
(26)
y
po el alo de
1C,
en la línea del con o no
Cs;
pa a el haz de cu as o ogonales, líneas
e
=
c e, se
han
ensayado es c i e ios:
cl)
Las líneas pa en del con o no in e io
Ci
en pun os dis ibuidos de o ma que
la dis ancia medida sob e dicho con o no en e dos pun os consecu i os es cons an e.
La
malla
gene ada se ep esen a en la Figu a 7c
y
se la designa po la no ación XULT.
c2)
Las líneas se dis ibuyen de o ma que
e
=
4/b
,
indicando
4
la unción que
C.D.
PEREZ SEGARRA, A. OLIVA
Y
M.
COSTA
dehe las líneas equipo enciales del lujo incomp esible al ededo de un cilind o1
y
siendo
#
el alo de
#
en el con o no C . La malla así gene ada se ep esen a en
Ia Figu a 7d y se la 'designa po la no ación XUFI. Nó ese que es a malla, pa a la
dis ibución de líneas dada en el con o no, esul a ía de la esolución del sis ema de
ecuaciones elíp icas (27) con
P =
Q
=
0.
c3) Las líneas pa en del con o no in e io Ci en pun os dis ibuidos de o ma que
la dis ancia medida sob e el eje
z
en e dos pun os consecu i os es cons an e. La malla
gene ada es ep esen ada en la Figu a 7e y se la designa po la no ación XUEX.
Todas es as mallas gene adas, XULT, XUFI y XUEX, son o ogonales
geomé icamen e no obs an e,
en
la e aluación numé ica de los coe icien es mé icos, el
ydo de
gij
no es en gene al nulo pa a
i
#
j.
Pa a
el
caso
del
lujo
a
a és de una obe a con e gen e, la sime ía del
conjun o pe mi e oma como dominio pa a la esolución numé ica el de inido po el
con o no in e io (con o no Ci) y po la línea de sime ía (con o no Cs). En la Figu a 7
se ep esen a la malla de disc e ización gene ada median e la ecuación (29).
Resul ados numé icos
y
conclusiones
Pa a el p ime caso seleccionado, lujo al ededo de un cilind o, los esul ados
numé icos ob enidos son los indicados en las Tablas
1
a IV y en las Figu as 8 y
9.
Los esul ados ob enidos pa a el segundo ejemplo, lujo a a és de una obe a, son los
indicados en la Tabla
V
y en la Figu a 10.
En
la
Tabla
1
se indica, pa a el caso de lujo incomp esible, el e o de los dis in os
esquemas numé icos en la e aluación de la unción de co ien e según la densidad y el
ipo de malla gene ada.
En odos los casos p esen ados, a excepción de los ob enidos con el esquema
FC-1 pa a la malla XUEX, un inc emen o en la densidad de malla epe cu e en una
mayo p ecisión en los esul ados numé icos. Pa a el caso mencionado, esq. num.
FC-l/malla XUEX, el inc emen o de densidad de malla no educe el e o ; ello es
debido, p esumiblemen e, a e o es de uncamien o ocasionados po la dis ibución
i egula de heas
E
=
c e. Los esquemas del ipo FC-2 no p esen an es a p oblemá ica
y p opo cionan, pa a es e caso, unos esul ados mucho más p ecisos.
En gene al, pa a una densidad y ipo de malla dado, el esquema numé ico más
p eciso es el FC-2b. Los esul ados ob enidos en base al empleo de mallas o ogonales
son, a excepción de FC-l/XUEX, más p ecisos que los que se de i an del empleo de
mdas no o ogonales; de en e es os úl imos, los esul ados más imp ecisos han sido
los ob enidos con la malla YUEX.
En
las
Figu as 8a,b,c,d se ep esen a el e o come ido en la e aluación numé ica
de las elocidades en el con o no la e al Cs; la densidad de la malla empleada ha sido,
en
odos los casos, de 32
x
16. Los esul ados ob enidos con los dis in os ipos de malla
(ZUEX, YUEX,
. . .
)
y según los esquemas FC-1/V-2 y FC-2b/V-2 se ep esen an
espec i amen e en las Figu as 8a y 8b. Los esul ados ob enidos según los dis in os
c i e ios de e aluación de las elocidades en los con o nos
(E-1,
E-2,
E-3,
V-1 y V-2)
y según las mallas XULT y ZUEX se ep esen an espec i amen e en las Figu as 8c y
8d.
CONTRASTACION DE CRITERIOS PARA LA RESOLUCION DE FLUJOS POTENCIALES
303
Tipo de C i e io Densidad de
la
maUa
mda numé ico 16
x
8 32
x
16 64
x
32
FC-1 .O15183 (9,3) .O06263 (17,3) .O02718 (33,2)
.O01131 .O00330 .O00079
ZUEX FC-2a .O20257 (9,3) .O08660 (17,3) .O03088 (33,3)
.O01575 .O00452 .O00102
FC-2b .O15790 (9,3) .O06646 (17,3) .O02829 (33,2)
.O01176 .O00323 .O00072
FC-1 .O20399 (9,5) .O12637 (17,9) .O09072 (33,16)
.O02247 .O00943 .O00502
YUEX FC-2a .O28761 (9,5) .O17406 (17,8) .O10695 (33,22)
.O01884 .O00772 .O00294
FC-2b .O14749 (9,5) .O06839 (17,8) .O04045 (34,20)
.O01299 .O00487 .O00168
FC-1 .O03768 (8,3) .O02458 (14,5) .O00779 (25,6)
.O00627 .O00354 .O00105
XULT FC-2a .O01434 (7,3) .O00765 (33,9) .O00411 (65,17)
.O00253 .O00088 .O00026
FC-2b .O02426 (7,2) .O00785 (13,2) .O00204 (26,2)
.O00190 .O00051 .O00012
FC-1 .O01792 (5,4) .O02149 (7,3) .O00802 (14,2)
.O00184 .O00116 .O00021
XUFI FC-2a .O07337 (4,4) .O02356 (7,7) .O02167 (14,6)
.O00633 .O00189 .O00066
FC-2b .O03042 (5,4) .O02116 (8,4) .O00669 (13,4)
.O00210 .O00088 .O00020
FC-1 .O21776 (9,3) .O22632 (17,5) .O25197 (33,9)
.O02569 .O02268 .O02361
XUEX FC-2a .O11099 (9,3) .O05160 (17,3) .O02296 (33,3)
.O00910 .O00286 .O00074
FC-2b .O10490 (9,2) .O04998 (17,2) .O02292 (33,2)
.O00805 .O00271 .O00060
Tabla 1. Flujo po encial incomp esible ahededo de un cilind o. Se indica:
-
el
alo absolu o de
la
di e encia máxima en e los als es de
4
ob enidos
numé icamen e
y
los que se de i an de la solución exac a así como el pun o
(i,
j)
de la malia en donde se ha p oducido;
-
el alo medio
de
las di e encias,
en alo absolu o, en e los esul ados ob enidos numé icamen e
y
la solución
exac a. En odo el dominio 0.005
1C,
50.1885.
C.D. PEREZ SEGARRA, A. OLIVA
Y
M.
COSTA
10
XULT
Figu a
8.
Flujo po encial incomp esible al ededo de
un
cilind o. Po cen aje de e o ,
e,
de las elocidades ob enidas numé icamen e espec o de la solución exac a
en los con o nos la e ales.
Los esul ados e e en es a la in luencia del esquema numé ico y a la o ogonalidad
o no de la malla con i man los ya comen ados pa a la Tabla
1.
Re e en e a los c i e ios
de e aluación de las elocidades en el con o no la e al Cs, el menos p eciso ha sido
el V-1; los esul ados ob enidos con los c i e ios
El,
E-2,
E-3
y
V-2 han sido muy
pa ecidos, no mani es ándose ninguno de ellos cla amen e supe io
al
es o.
En
la Tabla
11
se indican, pa a el caso de lujo incomp esible, el e o come ido en
la e aluación, según los dis in os c i e ios numé icos, de las elocidades en el con o no
de salida
C
.
El esquema más p eciso ambién ha sido el FC-2b; el empleo del c i e io
V-2 ha esul ado más e icaz que el V-l.
En
la Tabla
111
se indica pa a el caso de lujo incomp esible, el núme o de
i e aciones eque ido pa a ob ene una de e minada p ecisión según dis in os: mé odos
i e a i os, ac o es de sob e elajación
pa a la unción de co ien e, esquemas
CONTRASTACION DE CRITERIOS PARA LA RESOLUCION DE FLUJOS POTENCIALES
305
Tabla
11.
Flujo po encial incomp esible al ededo de un cilind o. Se ep esen a el
po cen aje de e o ,
e,
de la solución numé ica de las elocidades, en el
con o no
C ,
espec o de la solución exac a. Malla XULT de densidad
16 x 8.
Coo d.
Y
1.099
1.073
1.048
1.024
1.000
Tabla
111.
Flujo po encial incomp esible al ededo de un cilind o. Se indica el núme o
de i e aciones eque ido pa a ob ene una p ecisión de
(
=
.0000001.
Malla
XULT.
FC-2a
V-1 V-2
+1.34% -0.06%
+0.75% -0.04%
-0.26% -0.00%
-1.30% '00.03%
-1.86% +0.10%
numé icos
y
densidades de malla. Pa a el inicio de las i e aciones se ha omado
coma mapa inicial de la unción de co ien e el co espondien e a la solución analí ica,
ecuación (26). En la esolución po el mé odo TDMAi/j, se puede inc emen a la
apidez de con e gencia u ilizando ac o es de sob e elajación di e enciados en ambas
di ecciones; así, si pa a la di ección
i
se emplea
=
1.3
y
pa a la
j
=
1.1, el núme o
de i e aciones eque ido con una malla de 32
x
16
y
según los esquemas FC-1, FC-2a
y
FC-2b
V-1 V-2
-0.83% -0.03%
-0.29% -0.01%
-0.29% -0.00%
-0.29% +0.01%
+0.29% +0.03%
Sol. exac-
a el.
1.8285
1.8686
1.9104
1.9542
2.0000
Esq.
num.
FC-1
FC-2a
FC-2b
FC-1
V-1 V-2
+58.8% +1.49%
+19.5% +0.01%
+8.44% -0.00%
+21.0% -0.02%
-157.% -1.46%
TDMAj,
:
1.0
1.1
1.2 1.3
24 17 16 30
106 83 64
di
20 14 17 29
68 53 76
di
23 17 15 25
85 68 59
di
TDMAi/j,
:
1.0
1.1
1.2
32 25 19
100 76 61
27 21 15
73 56 67
29 23 19
72 54 53
Dens.
malla
16x18
32
x
16
16x18
32x16
16x8
32
x
16
Gauss,
:
1.0 1.4 1.8
63 27 47
215 103 44
55 24 45
152 75 42
56 24 44
151 76 37
TDMAi,
:
1.0 1.3 1.6
49 24 35
146 77 116
44 21 28
111
59 64
41 20 34
96 51 217

C.D.
PEREZ SEGARRA, A. OLNA
Y
M.
COSTA
FC-2b son:
54,42
y
38
i e aciones espec i amen e. Pa a es e ipo de malla se obse a
una mayo apidez de con e gencia con los esquemas FC-2b que con el esquema FC-1.
Mo
16
x
8(') 32
x
16(') 16
x
8(2) 32
x
16(~)
XULT ZUEX XULT ZUEX XULT ZUEX XULT ZUEX
0.10 110 106 109 106 110 107 149 107
0.25 35 34 70 35 4 1
42
150 47
.200 0.50 20 19 70 26 91
nc
183 513
0.75 19 16 70
28
30 21 149 4
1
1.00
20
20 70 61 30 22 150 62
7
0.10 110 106 109 106 110 107 149 107
0.25 5 7 52 73 53 54 6 3
nc nc
.225 0.50 3 5 31 73 33
nc nc nc nc
0.75 25 23 78 74 32 72 148 98
1.00 34 33
nc nc
37 38
nc nc
,
Tabla IV. Flujo po encial comp esible al ededo de un cilind o. Núme o de i e aciones
eque ido pa a ob ene una p ecisión de
<
=
.0000001.
Mapa inicial:
(1)INIinc; (2)INIuni .
En
la Tabla
IV
se indica, pa a el caso de lujo comp esible al ededo del cilind o, el
núme o de i e aciones eque ido pa a la con e gencia del mé odo numé ico a la p ecisión
exigida en unción de: el ac o de sub elajación empleado pa a las elocidades; el
núme o de Mach a la en ada del dominio; el mapa inicial de
S,
y
p
pa a el inicio de
las i e aciones; la densidad y el ipo de malla empleada. Es os esul ados han sido
ob enidos con el esquema numé ico FC-2b/V-2
y
con el mé odo i e a i o TDMAj. La
no ación 'nc' indica la no con e gencia del mé odo numé ico. La no ación INIinc e
INIuni indican que pa a el inicio de las i e aciones se ha omado como mapa inicial
pa a la unción de co ien e
y
la densidad los alo es co espondien es a la solución
numé ica del lujo con Mo=.001 (INIinc), o bien unos alo es uni o mes en odo el
dominio de 0.1 pa a la unción de co ien e
y
1
.O
pa a la densidad (INIuni ).
De los esul ados ob enidos se sigue que, pa a los alo es ele ados del núme o de
Mach, el empleo de adecuados ac o es de sub elajación pa a las elocidades educe el
núme o de i e aciones; ambién queda de mani ies o la impo ancia de inicia el p oceso
i e a i o con mapas p óximos a la solución numé ica.
En
la
Figu a
9
se ep esen a pa a el lujo comp esible al ededo de
un
cilind o,
la dis ibución del coe icien e de p esión
Cp
en los con o nos la e ales
Ci
y
Cs
pa a
di e en es alo es del núme o de Mach a la en ada del dominio. Es os esul ados han
sido ob enidos con el esquema numé ico FC-2b/V-2
y
con una densidad de malla al
CONTRASTACION DE CRITERIOS PARA LA RESOLUCION DE FLUJOS POTENCIALES
307
Figu a 9. Flujo po encial comp esible al ededo de un cilind o. Coe icien e de p esión
a di e en es
Mo
en los con o nos la e ales
Ci
y
Cs.
Tabla
V.
Flujo po encial a a és de una obe a. Po cen aje de e o ,
e,
de las
elocidades ob enidas numé icamen e en
Ci
y
Cs
espec o de la solución
numé ica de e e encia.
el.
Mo
=
.190
e . FC-1 FC-2a FC-2b
1.0000 0.00% 0.00% 0.00%
0.9668 0.41% 1.35% 0.42%
0.9084 -0.58% -1.40% -0.54%
1.1018 -0.24% -0.37% -0.22%
1.4957 0.17% -0.27% -0.17%
2.2265 -0.13% -0.24% -0.14%
2.7933 -0.09% -0.16% -0.11%
3.5098 -0.07% 0.40% -0.06%
4.1616 1.18% 2.21% 1.28%
3.9922 -0.29% -1.16 -0.28%
3.9874 0.12% 0.00% 0.00%
1.0000 0.00% 0.00% 0.00%
1.0244 -0.07% -0.26% -0.07%
1.0939 0.06% 0.22% -0.07%
1.2660 0.07% 0.00% -0.08%
1.6138 0.04% 0.01% -0.04%
2.2597 0.04% 0.08% 0.04%
2.7459 0.07% 0.07% 0.07%
3.3355 0.05% -0.19% 0.05%
3.8550 -0.39% -0.84% -0.42%
3.9828 0.13% 0.52% 0.13%
3.9874 -0.07% 0.00% 0.00%
el.
Mo
=
.O01
e . FC-1 FC-2a FC-2b
1.0000 0.00% 0.00% 0.00%
0.9666 0.40% 1.32% 0.41%
0.9081 -0.58% -1.40% -0.55%
1.0947 -0.25% -0.38% -0.24%
1.4623 -0.20% -0.29% -0.20%
2.0824 -0.16% -0.23% -0.16%
2.4918 -0.08% -0.06% -0.08%
2.8991 0.09% 0.58% 0.11%
3.1319 0.84% 1.62% 0.86%
3.0107 -0.23% -0.95% -0.23%
3.0002 0.13% -0.01% 0.00%
1.0000 0.00% 0.00% 0.00%
1.0244 -0.07% -0.24% -0.07%
1.0915 -0.08% 0.20% -0.08%
1.2536 -0.07% 0.00% -0.08%
1.5670 -0.03% 0.01% -0.03%
2.0888 0.04% 0.06% 0.04%
2.4176 0.05% 0.01% 0.05%
2.7299 0.01% -0.25% 0.00%
2.9296 -0.11% -0.46% -0.11%
2.9905 0.07% 0.38% 0.08%
2.9998 -0.07% 0.01% 0.00%
Con .
Ci
Cs
x
0.000
0.738
1.475
2.213
2.950
3.688
4.056
4.425
4.794
5.162
5.900
0.000
0.738
1.475
2.213
2.950
3.688
4.056
4.425
4.794
5.162
5.900
C.D.
PEREZ SEGARRA, A. OLIVA
Y
M.
COSTA
(128
x
64) que.no hay p ác icamen e di e encias con los esul ados que se ob ienen con
mallas de mayo densidad.
En
la
Tabla
V
se indican los e o es come idos, espec o a una solución numé ica
de e e encia, en la e aluación de las elocidades en los con o nos la e ales
Ci
y
Cs
del
lujo
a
a és de
una
obe a según los dis in os esquemas numé icos y pa a una malla
ela i amen e poco densa: 16
x
8. La solución numé ica de e e encia ha sido ob enida
con el esquema numé ico FC-2bJV-2 y pa a una malla de 128x64; mayo densi icación
de la malla no p oduce p ác icamen e al e ación de es os esul ados. Nó ese que: los
esul ados ob enidos con
Mo
=
0.001 y
Mo
=
0.190 p esen an un g ado de e o simila ;
no apa ecen di e encias signi ica i as en e los esquemas FC-2b/V-2 y FC-1IV-2; el
esquema numé ico FC-2a/V-2 es el que ha dado esul ados algo menos p ecisos.
En
la
Figu a
10
se ep esen a la dis ibución del coe icien e de p esión
Cp
en
los con o nos la e ales a di e en es núme os de Mach a la en ada de la obe a. Es os
esul ados
han
sido ob enidos con el esquema numé ico FC-2b/V-1 y con una malla
de 128
x
64.
Figu a
10.
Flujo po encial a a és de una obe a. Coe icien e de p esión a di e en es
Mo
en con o nos la e ales
Ci
y
Cs.
Conclusiones inales
En
es e a iculo se
han
p esen ado di e en es esquemas numé icos pa a la esolución
del lujo subsónico po encial median e el empleo de mallas de disc e ización adap ables
a los con o nos del dominio. De los esquemas ensayados, el FC-2 es el que pe mi e
(seguido del FC-3) una más ácil in e p e ación isica de los c i e ios numé icos
CONTRASTACION DE CRITERIOS PARA LA RESOLUCION DE FLUJOS POTENCIALES
309
adop ados, así como un análisis más con enien e de las condiciones de con o no de ipo
Neumann. Pa a el a amien o de posibles pun os singula es (discon inuidades en el
con o no, discon inuidades en pun os in e io es de la malla gene ada,
.
.
.
)
el esquema
más adecuado es el FC-2. Como consecuencia de los c i e ios numé icos empleados
en la ap oximación de las de i adas e in eg ales, se ha cons a ado que los esquemas
FC-2
y
FC-3 dan unas ecuaciones de disc e ización equi alen es y, po an o, idén icos
esul ados numé icos.
Pa a el p ime caso seleccionado ( lujo al ededo de un cilind o) el esquema que ha
dado, en gene al, mejo es esul ados ha sido el FC-2b; pa a el segundo caso seleccionado
( lujo a a és de una obe a) los esquemas FC-1
y
FC-2b han dado unos esul ados
simila es. De o a pa e, el c i e io numé ico V-2 pa a la e aluación de las de i adas en
el con o no se ha mos ado en gene al más e icaz que el V-l. Los esul ados ob enidos
han pues o además de mani ies o la in luencia de: la geome ía del lujo; el ipo de malla
gene ada (dis ibución líneas, discon inuidades, o ogonalidad), los mé odos i e a i os,
los ac o es elajación, e c.
APENDICE: TERMINOLOGIA
En es e apéndice se elacionan aquellas a iables no exp esamen e indicadas en el
a ículo así como exp esiones ma emá icas de in e és.
L
m
n
NxM
Coe icien e de p esión,
Cp
=
(p
-
po)/(0.5poü~).
Po cen aje de e o :
e
=
100
(u e
-
wum)/ e , siendo
e
la solución
analí ica o numé ica de e e encia y n- el esul ado numé ico.
Jacobiano de la ans o mación xi
=
zi(ql, q2);
D
=
(gllgz2
-
g12g21)1/2;
D
=
1/J.
Fac o de elajación pa a la unción de co ien e;
y5 j
=
.
+ej
-
(
-
1)
$:;l.
Fac o de elajación pa a las elocidades .,
=
.
j
-
(
-
1)
-
:jl.
Componen es del enso mé ico con a a ian e,
=
~;=l(aqi/axk)>caqj/axk).
Componen es del enso mé ico co a ian e, g;,
=
zkzl
(dxk/aqi)(axk/8qj).
Jacobiano de la ans o mación
qi
=
qi(xl, z2);
J
=
(g11g22
-
g12g21)1/2.
Núme o de i e ación; elación en e el calo especí ico a p esión cons an e y a
olumen cons an e (en los casos ensayados se ha omado k
=
1.40).
Longi ud ca ac e ís ica.
Flujo másico po unidad de al u a,
m
=
m/(poüoL).
Di ección no mal al con o no.
Densidad de la malla:
N
+
1
pun os en la di ección
e
y
M
+
1
pun os en la
di ección
q.
Núme o de Mach:
M
=
ü/(kRT)'12, en donde
R
es la cons an e del gas.
Vec o posición.
Tempe a u a,
T
=
TITO.
Vec o elocidad
=
i?/üo; módulo de la elocidad
=
.U/@,.
Componen es ca esianas de la elocidad, ,
=
ü,/üo, ,
=
ü,/üo.