La igidi 6 g6n6 ique des g aphes bipa i-comple s
dans
Rd
pa Jean-Luc Raymond
I
I
RbumC
Topologie s uc u ale
#lo, 1984
Dans un a icle d jA commen 6 dans Topologie s uc u ale, E.D. Bolke e B. Ro h
((Bolke 1980), (Whi eley 1979)) amo qaien une classi ica ion g n ique des
g aphes bipa i-comple s dans R2 e dans R’. Leu aisonnemen ai bas su le
calcul de la dimension de l’espace des au ocon ain es (s ess) pou une alisa ion
d’un g aphe bipa i-comple dans un espace donn . La classi ica ion qu’ils C ablis-
saien se limi ai
21
R2 e
A
R’. Le ex e qui sui se eu une g n alisa ion de leu s
sul a s
A
des espaces de dimension sup ieu e.
Nous
pou ons abli la classi ica-
ion g n ique des s uc u es cons ui es su des g aphes bipa i-comple s en ega d
de leu compo emen igide dans un espace ambian ix6 de dimension sup ieu e
ou
gale
A
2.
I
I
L’ ude de la igidi des g aphes bipa i-comple s
a
d jk ealis e dans un ex e de
E.D. Bolke e
B.
Ro h, <<When is a bipa i e g aph a igid amewo k?. (Bolke 1980).
Nous
nous appuie ons, ici, su la plupa de leu s sul a s e nous ep end ons l’idh
mai esse de leu cheminemen pou end e
A
des dimensions sup ieu es ce qu’ils
d mon aien pou des g aphes bipa i-comple s alis s dans le plan
ou
dans I’espace.
Nous
ob iend ons
A
ce i e une classi ica ion g n ique conce nan la igidi de ou e
s uc u e cons ui e su un g aphe bipa i-comple dam Rd.
Ces a aux on ealis s dans le cad e d’une ude menan
k
la dac ion d’un m moi e
de mai ise au d pa emen de ma h ma iques de I’Uni e si C du Qu bec
21
Mon al
(Raymond 1982). D’ailleu s, je iens
A
eme cie monsieu Mau ice Ga anpn, mon
di ec eu de eche ches, pou ses nomb euses e p cieuses sugges ions.
Abs ac
S uc u al
Topology
#lo, 1984
Gene ic Rigidi y
o
Comple e Bipa i e G aphs
in
Rd
In
an a icle e iewed ea lie in S uc u al Topology, E.D. Bolke and B. Ro h
((Bolke 1980), (Whi eley 1979)) pu oge he
a
gene ic classi ica ion
o
comple e
bipa i e g aphs in R2 and R’. Thei easoning was based on calcula ing he
dimension o he space o s esses o a ealiza ion o a comple e bipa i e g aph in
a
gi en space. The classi ica ion which hey es ablished applies only o
RZ
and R’.
The ex which ollows is a gene aliza ion o hei esul s o spaces o highe
dimension. We can es ablish he gene ic classi ica ion o s uc u es buil o e
comple e bipa i e g aphs wi h ega d o hei igid beha io in a ixed ambien
space
o
dimension g ea e han o equal o 2.
I
The s udy o igidi y o comple e bipa i e g aphs was ini ia ed by
E.D.
Bolke and
B. Ro h “When is a bipa i e g aph a igid amewo k?“ (Bolke 1980).
We
ely he e
on
mos o hei esul s and we ake up again he main idea o hei p oo s o ex end o highe
dimensions wha hey showed o comple e bipa i e g aphs in he plane o in space. We
ob ain in his way
a
gene ic classi ica ion e ealing he igidi y o any s uc u e cons uc-
ed o e
a
comple e bipa i e g aph in Rd.
This wo k was p epa ed
in
he con ex o a s udy leading o he p epa a ion o
a
mas e ’s
hesis in he Depa men o Ma hema ics o he Uni e si du Qu bec
d
Mon Cal
(Raymond 1982). Mo eo e , we wish o hank P o . Mau ice Ga anqon, my esea ch
di ec o , o his many help ul sugges ions.
In oduc ion In oduc ion
Un
g apbe
bipa icompk
K,
es une s uc u e abs ai e compo an m
+
n somme s
(x,, xz,
...,
x,, yI, y,,
...,
y,) e 14ensemble
des
a k (xi, xj) pou
1
I
i
I
m e
1
I
j
5
n. Une
dallsa ioa
dpap
Rd
de ce e s uc u e es la donnk de deux ensembles de poin s de Rd:
A
=
(al, a,,
...,
a,)
E
Rd
x
Rd
x
...
x
Rd
=
Rmd e B
=
(bl,
b,,
...,
b,)
e
Rnd
On no e a ce e halisa ion du g aphe K,, pa K(A, B).
Pou dk e mine la classi ica ion gCnC ique du compo emen d’une s uc u e
K,,,
dans
Rd pa appo
A
la igidi k, il su i de connai e le compo emen de la s uc u e alisc
en
un
poin dgulie de
sa
onc ion d’a e es, . Pou
ce
ai e, nous allons calcule , pou
ce e hlisa ion,
le
nomb e
de
deg k
de
libe 6
In e ne
de
la
s uc u e, c’es idi e la
di k ence en e les dimensions de I’espace des mou emen s in ini bimaux, Ke d (A, B),
e I’espace angen
A
la
a iC C des poin s de R(,+,W cong uen s
A
(A,
B)
au poin
(A,
B),
T(A, B).
On
pu mon e que dim T(A, B) sd(d
+
I)/2e que 1’Cgali k es C iii&
quand
les
somme s engend en au moins un hype plan de I’espace Rd.
On
se
se i a,
d’au m pa , du ai sui an :
(1)
ob
IyA, B)es I’espace ec o iel des
au oeonMn es
(s ess)su la balisa ion K(A, B). Su
I’ensemble de
ces
no ions on pou a consul e (Bolke 1980)’
(Raymond
1982) ou (Ro h
198
1).
dim
(Ke d (A, B))
=
dim n(A,
B)
+
(m
+
n)d
-
mn
Le
Qul a p incipal de Bolkc e Ro h (Bolke 1980) es
dans
I’Uabo a ion d’une m6 hode
de
calm1
de
la dimension
de
ce
de nie
apace,
n(A,
B).
I1
s’honce ainsi, si on no e
X
I’enn oppe a ine de X, soi K(A,
B)
une hlisa ion
dans
Rd du g aphe bipa i-comple
K,, e soien
C
=
(A
n
B)
u
(A
n
E),
k
=
ICI, h
=
dim
C!
e
Q(C),
I’espace des su aces
quadn iques
dam
C!
con enan
les
somme s de
C,
alo s si D(X) es I’enscmble des
dCpendances a nes de X on
a
dim WA, B)
=
dim D(A) dim
D(B)
+
dim
Q(C)
k
-
(1/2)(h
+
I)@
+
2)
(2)
On
ema que a que si X
e
R d on
a
la ela ion dim D(X)
+
dim
X
=
1
-
1.
En
ce
qui
conceme
Q(C), on peu mon e
le
ai sui an :
dim
Q(C)
2
max
(0,
(1/2)(h
+
l)(h
+
2)
-
k)
Deplus,l’ensembledcspoin sC
=
(c,,c2,
...,
ck)c
Rkdpo~lesquelsl’Cgali Ces
C i iCees
un ou e dense de Rkd.
Classi ica ion gM ique
On peu ,
dans
un p emie emps, classi ie ous
les
g aphcs bipa icomple s poss dan
u op
peu*
d’a e es.
’lbdme
1
(Bolke
1980): Si
mn
<
(m
+
n)d
-
(1/2)d(d
+
I),
alo s
ou e kalisa ion de
K,, dans Rd es in ini ksimalemen lexible; K,, eil donc gCnC iquemen lexible
dans
Rd.
A
comple e
bipa i e
g aph
K,,n
is
an abs ac s uc u e wi h m
+
n
e ices (xl,
x2,
...,
x,,
yI,y ,,...,y,,)
and hese o edges{xi,xj) o
Isismand
1
sjsn, A ealiu bnhBdo his
s uc u e is
he
assignmen o wo
se s
o poin s in Rd:
A
=
(a,, a2,
...,
a,)
Q
Rd
x
Rd
x
...
x
Rd
=
Rmd and B
=
el,
b,,
..,,
b,)
c
Rnd
We
deno e his ealiza ion o he g aph
K,,,
by K(A, B).
To
de e mine he gene ic classi ica ion
o
he beha io
o
a s uc u e K,,, in Rd wi h
espec o igidi y, i su ices o know he beha io o he s uc u e ealized a
a
egula
poin o i s edge unc ion .
To
do his we a e going o calcula e, o his ealiza ion, he
numbe o in e nal
deg ees
o
eedom
o he s uc u e, ha is, he di e ence be ween he
dimension o he space o in ini esimal mo ions, Ke d (A, B), and o he angen space o
he a ie y o poin s o R(,+,@ cong uen o (A,
B)
a he poin (A, B), T(A, B).
We
can
show ha dim T(A, B)
I
d(d
+
1)/2 and
ha
he equali y is e i ied when he e ices
span
a leas a hype plane in he space Rd. Fu he mo e, we make use o he ollowing ac :
(1)
whe e n(A, B)
is
he ec o space
o
s esses
(sel -s esses) on
he
ealiza ion
o
K(A,
B).
Fo
all
o
hese
ideas he eade
can
consul (Bolke 1980). (Raymond 1982) o (Ro h
1981).
dim
(Ke
d (A, B))
=
dim a(A, B)
+
(m
+
n)d
-
mn
The
main esul o Bolke and Ro h (Bolke 1980) is in he de elopmen o a me hod o
calcula ing he dimension o his la e space, n(A,
B).
One inds ha .i one deno es by
x
he a ne hull
o
X,
and
we le K(A, B)
be
a ealiza ion in Rd
o
he comple e bipa i e
g aph K,,, and le C
=
(An
B)
u
(A
nE),
k
=
(CI,
h
=
dim
C!
and
Q(C),
he space o
quad a ic su aces in
C!
con aining he e ices o C, hen i D(X) is
he
se
o
he
a ine
dependencies o
X
one has
dim n(A,
B)
=
dim D(A) dim D(B)
+
dim Q(C)
+
k
-
(1/2)(h
+
I)@
+
2)
(2)
We
no ice ha i X
e
R d hen we ha e he ela ion dim D(X)
+
dim
x
=
1
-
1.
Conce ning Q(C) we can show he ollowing ac :
dim
Q(C)
2
max
(0,
(1/2)(?1+
1)(h
+
2)
-
k]
Mo eo e ,
he
se o poin s
C
=
(c,, cz,
...,
ck)
Rkd
o
which he equali y
is
sa is ied
k
an
open se dense in Rkd.
Gene ic Classinca ion
Fi s o , we can classi y all hose comple e bipa i e g aphs ha ing “ oo ew” edges.
lbeonm
1
(Bolkc 1980): I mn
c
(m +n)d
-
(1/2)d(d
+
I),
hen e e y ealiza ion o K,
in Rd is in ini esimally lexible; K,,,
is
hen gene ically lexible in
Rd.
a
S uc u al
Topology
#lo,
1984
59
Dans ce con ex e,
on
ou e dans l’a icle de Bolke e Ro h, des sul a s conce nan la
classi ica ion g n ique dans R2 e dans R’ des g aphes bipa i-comple s compo an
assezw d’a s es en onc ion de la dimension de I’espace dans lequel ils son alis s. En
e e , dans
R2
comme dans R’, il su i que mn
E
(m
+
n)d
-
(1/2)d(d
+
1) pou que le
g aphe K,, soi g n iquemen igide. Les au eu s diplo en pa con e Ie ai que ce
sul a ne puisse pas di ec emen s’applique
A
des dimensions supk ieu es e exhiben le
g aphe K6;? qui es g n iquemen lexible dans R‘ malg le ai que le couple
(6,
7)
sa is asse
I
inequa ion mn
2
(m
+
n)d
-
(1/2)d(d
+
1) a ec d
=
4.
In his con ex , we ind in he a icle by Bolke and Ro h, some esul s conce ning he
gene ic classi ica ion in Rz and R’ o comple e bipa i e g aphs ha ing “enough” edges
wi h espec o he dimension
o
he space in which hey a e ealized. Ac ually in R2 as in
R’, i su ices ha mn
2
(m
+
n)d
-
(1/2)d(d
+
1) o he g aph K,, o be gene ically igid.
The au ho s lamen he ac ha his esul canno be di ec ly applied o highe dimen-
sions and exhibi he g aph K6,, which is gene ically lexible in R‘despi e he ac ha he
couple
(6,
7)
sa is ies he inequali y mn
2
(m
+
n)d
-
(1/2)d(d
+
1) wi h d
=
4.
Le h o me sui an appo e la co ec ion n cessai e
A
une g n alisa ion des sul a s
men ionn s. The ollowing heo em supplies he necessa y co ec ion o
a
gene aliza ion o he abo e
esul s.
lhh he
2:
Soien m
>
1 e n
>
1 els que mn
2
(m
+
n)d
-
(1/2)d(d
+
1)
pou d ix ,
K, es g n iquemen igide dans Rd si m
+
n
E
(1/2)(d
+
l)(d
+
2) e g n iquemen
ledble si m
+
n
<
(1/2)(d
+
I)(d
+
2).
lheo em
2:
Le m
>
1 and n
>
1
be
such ha mn
E
(m
+
n)d
-
(1/2)d(d
+
1)
o d ixed,
hen
K,,n
is gene ically igid in Rd i m
+
n
E
(1/2)(d
+
I)(d
+
2) and is gene ically lexible
i
m
+
n
<
(1/2)(d
+
1)(d
+
2).
Demons a ion:
Soi V
=
{(A, B)
s
R(m+nM
:
A
=B
=
Rd), Ves un ou e dense de R(, nM.
D’au e pa , consid ons I’ensemble des poin s (A,
B)
pou lesquels dim Q(A,
B)
es
minimale:
W
=
{(A, B)
e
R(m nM: dim Q(A, B)
=
max
{0,
(1/2)(d
+
l#d
+
2)
-
(m
+
n)))
P oo :
Le
V
=
{(A,
B)
e
R(m n)d
:A
=B
=
Rd),
so
V
is an open se dense in
R(m+nM-
Then
conside he se o poin s (A, B) o which dim Q(A,
B)
is minimal:
W
=
{(A,
B)
B
R(,+@
:
dim Q(A,
B)
=
max
{0,
(1/2)(d
+
l)(d
+
2)
-
(m
+
n)]}
Comme
on
I’a signi i plus hau , ce ensemblees un ou e densede R(m+n)d. Ainsi,
Vn
W
es un ou e non ide de R(m+nM &an I’in e sec ion de deux ou e s denses. Jus as abo e, his se is an open se dense in R(m n)d. Thus
V
n
W
is a non-emp y open
subse o R(,+”M, being he in e sec ion o wo dense open se s.
Pou m, n e d ixbe els que mn
2
(m
+
n)d
-
(1/2)d(d
+
l), nous che che ons, dans un
p emie emps,
A
connai e le compo emen d’une alisa ion K(A,
B)
dans Rddu g aphe
K,,n en un poin (A,
B)
appa enan
A
Vn
W.
L’exp ession (2) nous pe me de calcule la
dimension de I’espace des au ocon ain es dans le cas qui nous in i esse. On a
dim n(A,
B)
=
(m
-
d
-
l)(n
-
d
-
1)
+
dim Q(A,
B)
+
m
+
n
-
(1/2)(d
+
l)(d
+
2)
=
mn
-
(m
+
n)d
+
(1/2)d(d
+
1)
+
dim Q(A,
B)
En u ilisan l’exp ession
(I),
on ob ien
dim (Ke d (A,
B))
=
(1/2)d(d
+
1)
+
dim Q(A, B)
pou un poin (A,
B)
de
V
n
W.
Fo m, n and d ixed and such ha mn
E
(m
+
n)d
-
(1/2)d(d
+
l), we will i s y o
unde s and he beha io o a ealiza ion K(A, B) in Rdo he g aph K,,n a
a
poin (A,
B)
belonging o
Vn
W.
The exp ession
(2)
pe mi s
us
o calcula e he dimension o he space
o s esses in he case which in e es s
us.
We ha e
dim n(A, B)
=
(m
-
d
-
l)(n
-
d
-
1)
+
dim Q(A,
B)
+
m
+
n
+
(1/2)(d
+
l)(d
+
2)
=
mn
-
(m
+
n)d
+
(1/2)d(d
+
1)
+
dim Q(A,
B)
By using he exp ession
(1)
we ob ain
dim (Ke d (A,
B))
=
(1/2)d(d
+
1)
+
dim Q(A,
B)
o
a
poin (A,
B)
o V
n
W.
O , si (A,
B)
B
V,
on a dim T(A, B)
=
(1/2)d(d
+
1). Ainsi, pou un poin appa enan
A
V
n
W,
le nomb e de deg s de libe in e ne de la s uc u e es gal
A
dim Q(A,
B),
c’es -Adi e ha is
dim (Ke d (A, B))
-
dim T(A, B)
=
max
{0,
(1/2)(d
+
I)(d
+
2)
-
(m
+
n))
Now, i (A,
B)
e
V,
we ha e dim T(A,
B)=
(1/2)d(d
+
1). Thus o a poin belonging o
V
n
W,
he numbe o in e nal deg ees o eedom o he s uc u e is equal
o
dim Q(A,
B),
dim (Ke d (A, B))
-
dim T(A,
B)
=
max
{0,
(1/2)(d
+
I)(d
+
2)
-
( n
+
n))
60
Topologie
s uc umle
#lo,
1984
De
18
on pu conclu e que ou e alisa ion d'un g aphe bipa icomple
Km,n
en un poin
(A,B)~VnWcR(~+~)~es in ini dsimalemen igidesi(1/2)(d+
l)(d+2)-(m+n)sOe
in ini ksimalemen lexible si (1/2)(d
+
1Md
+
2)
-
(m
+
n)
>
0.
D'au e pa ,
on
sai que
I'ensemble des poin s egulie s de la onc ion d'a es de
K,,n
es un ou e dense
de
R(m+nM
(Ro h 1981). Ce ensemble a doncune in e sec ion non idea ec l'ou e
Vn
W.
Cela su i pou conclu e su le compo emen in ini esimal de ous les poin s kgulie s e
puisque igidi 6 e igidi 6 in ini ksimale son deux concep s Cqui alen s su des poin s
0
kgulie s, on ob ien le esul a oulu.
De aCon iden e,
dimension de l'espace ambian . Aussi,
ou es leu s alisa ions dans Rd (d
-s
2).
Ainsi, on connal le compo emen gkn6 ique de ou g aphe bipa icomple K,, ialisk
dans
un
espace Rd ix&
On
e ou e, en e au es,
8
i e de co ollai es, des kul a s
Cnonds dans (Bolke 1980).
Co ollai e
3:
Si mn
>
3(m
+
n)
-
6
alo s
Km,n
es gine iquemen igide dans
R3.
0
Co ollai e
4:
Si
mn
>
z(m
+
n)
-
3 alo s
K,,n
es gbnk iquemen igide dans
R2.
0
A
i e d'exemple,
on
peu d esse la lis e des g aphes bipa i-comple s qui son gknk i-
quemen lexibles dans R' e dans Rs ou en posskdan <<assez. d'a es.
es igide dans ou es ses kalisa ions e quelle que soi la
(m
>
1)
son lexibles dans
(n
>
1) e
Dans R':
K6,7
K6,8
K7,7
R':
',,I0
'7.11
',,I2
'7.13
'8,9
',,I0
'8,Il
'*,I2
'9,9
'9.10
'9,Il
'I0,lO
I1
au se appele que ceci demeu e une classi ica ion gCnC ique du compo emen ,
c'es -A-di e selon le compo emen des ealisa ions en des poin s egulie s de la onc ion
d'a es. Pou une C ude des mou emen s in ini ksimaux des alisa ions de g aphes
bipa icomple s, on consul e a les Ccen s a icles de Wal e Whi eley (Whi eley 198
I),
(Whi eley 1982).
Son
C ude geome ique des mou emen s am ne une ponse comple e
A
la ques ion posb dans le i e de Pa icle de Ro h e Bolke , <<When is a bipa i e g aph a
igid amewo k?..
G aphes mul ipa icomple s
Les hCo mes qui p Cdden nous pe me en d'C abli un esul a pa iel au suje du
compo emen gCnC ique des g aphes mul ipa i-comple s, En ai , nous pou ons econ-
nai e ce ains de ceux-ci comme des s uc u es gkne iquemen igides dans un espace
donne.
lModme
5:
Soi
Km,,m,,.,.mk
un g aphe kpa icomple . Si il exis e unepa i ion
(I,
J)de
l'ensemble
{
1,2,
...,
k) elle que
Km,n
es un g aphe bipa icomple gCnC iquemen igide
dans
Rd,
oh
m
=
X
mi
e n
=
X
mj, alo s Ie g aphe
Km1,,,
,...,
mk
es gkne iquemen igide
dans Rd.
I
J
F om his, one can conclude ha e e y ealiza ion o a comple e bipa i e g aph
K,,n
a
a
poin
(A,
B)
V
n
W
c
R(m+nN
is in ini esimally igid i (1/2)(d
I)(d
+
2)
-
(m
n)
5
Oand
in ini esimally lexible i (1/2)(d
+
I)(d
2)
-
(m
n)
>
0.
Fu he mo e, one knows ha
he se o egula poin s o he edge unc ion o
Km,n
is an open dense subse
o
R(m+nM
(Ro h 1981). This se , hus, has a non-emp y in e sec ion wi h he open se
Vn
W.
This
pe mi s
us
o d aw conclusions conce ning he in ini esimal beha io o all egula poin s,
and since igidi y and in ini esimal igidi y a e equi alen concep s a egula poin s, one
has he desi ed esul .
0
Clea ly, is igid in all i s ealiza ions, wha e e be he dimension
o
he ambien space.
Also
(n
>
1)
and (m
>
1)
a e lexible in all hei ealiza ions in
Rd
(d
2
2).
Thus,
one knows he gene ic beha io
o
e e y comple e bipa i e g aph
Kp,n
ealized in a
ixed space
Rd.
We eco e as co olla ies, among o he s, he esul s gi en in (Bolke
1980).
Co olla y
3:
Co olla y
4:
I mn
>
3(m
n)
-
6,
hen
Km,n
is gene ically igid in
R'.
I mn
>
2(m
+
n)
-
3,
hen
K,,n
is gene ically igid in
R2.
0
0
As
examples we gi e he lis o comple e bipa i e g aphs which a e gene ically lexible in
R'
and in RS despi e he ac hey ha e "enough" edges.
In
R':
'6,7
'6.8
'7,7
In
"'
'7,IO
'7,Il
',,I2
'7.13
'8.9
'8,IO
'&I1
'8.12
'9,9
',,I0
',,I1
'I0,lO
One should emembe ha his is a gene ic classi ica ion
o
beha io , ha is, acco ding o
he beha io o ealiza ions a egula poin s o he edge unc ion. Fo a s udy o
in ini esimal mo emen s
o
ealiza ions o comple e bipa i e g aphs, consul he ecen
a icles by Wal e Whi eley (Whi eley 1981), (Whi eley 1982). His geome ic s udy
o
mo emen s p o ides a comple e esponse o he ques ion posed
in
he i le o he a icle by
Ro h and Bolke , "When is
a
bipa i e g aph a igid amewo k?".
Comple e mul i-pa i e g aphs
The p eceding heo ems pe mi
us
o es ablish a pa ial esul conce ning he gene ic
beha io o comple e mul ipa i e g aphs. In ac , we can ecognize ce ain
o
hem as
gene ically igid s uc u es in a gi en space.
n~ em
5:
Le
'mp
be a comple e k-pa i e g aph. I he e is a pa i ion (I, J) o
he se
(1,
2,
...,
k) such ha ,
Km,n
is a comple e bipa i e g aph, gene ically igid in
Rd
whe e m
=
Z
mi
and n
=
Z
mj, hen he g aph
Km,,m2
,,,,,
mk
is gene ically igid
in
Rd.
I
J
S uc u a1
Topo/ogy
#lo,
1984
61
bike
1980
E han Bolke e Ben Ro h
A-M-R
DPmons u ion
:
Le g aphe
Km,n
poss de
m
+
n somme s e mn a e es alo s que le g aphe
When L6
a
Bipa l e
G aph
a
Ri&I
F amewo k?
Paci ic Jou nal
o
Ma h.,
90
(1980).
27-44.
Espace des au ocon ain es des g aphes bipa isomple s, su aces
quad iques The s ess space
o
comple e bipa i e g aphs, quad a ic
spaces.
possede
3
mi
somme s e
X
mimj
a e es.
Km,,m
z,...,mk
1=I
Iskjsk
O
e
mi=Zmi+X
m.=m+n
Z
i=l
I
JJ
m.m.
>
(Z
mi)(X
mj)
=
mn
Iskjsk
'
J
-
I
J
De plus, ou ea e de
Km,n
es unea e e de
Kml,mz,,.~mk.
Ainsi ce de nie n'es ien d'au e
que le g aphe
Km,n
auquel on a ajou un ce ain nomb e d'a es. Donc la igidi
g ne ique de
Km,n
dans Rd en aine a la igidi g ne ique de
Kml,m,,,..mk
dans
Rd.
0
Exemple:
Consid ons le g aphe ipa i-comple
K3,2,,
dans ses alisa ions dans le plan.
On sai , pa le
hh hne
1,
que les g aphes
K,,5
e
K2,4
on ou es leu s alisa ions
in ini simalemen lexibles dans
R2.
Mais
K3,3
es g n iquemen igide dans
R2
(Co ol-
lai e
4);
plus que cela, une alisa ion de
K3,,
dans
R2
es in ini simalemen igide
a
moins
que ses six somme s se si uen
su
une conique (Th o hne 14de (Bolke 1980)). Ainsi
K,,2,,
es in ini simalemen igide dans
R2
au moins quand ses six somme s ne se si uen pas
su
une conique; il es donc g n iquemen igide dans
R2.
Ad esse de I'au eu :
Jean-Luc Raymond
Cha g de cou s
DCpa emen de ma hima iques
Uni e si e du Qu bec
a
Mon al
C.P. 8888, Succu sale "A"
Mon eal, Qu bec, H3C 3P8, Canada
Bibliog aphie
Le code qui appa ai dans la p emib e colonne de chaque en k bibliog aphique es cons i ub de ois pa ies
sdpa kes pa des i e s. La p emihe pa ie indique s'il s'agi d'un Li e, d'un A icle, d'une P e-imp ession
ou
de
No es de cou s. La deuxieme pa ie indique si le ex e a e e Mige pou des Ma hCma iciens, des A chi ec es
ou
des
Ingenleu s. La pa ie inale indique si
le
ex e ouche
un
ou
plusieu s des hhes p incipaux de la opologie
s uc u ale: GeomC ie (en gene al), PolyM es, Jux aposi ion
ou
Rigidi e.
Les mo s4s
ou
les anno a ions de la colonne inale signalen la pe inence de I'ou age
a
la eche cheen opologie
s uc u ale, mais ne emoignen pas nkcessai emen de I'ensemble du con enu
ou
de
I'in en ion de I'au eu .
P oo :
The g aph
Km,n
has
m
+
n e ices and mn edges,
so
ha he g aph
Kml,mz,...,mk
has
X
mi e icesand
X
mimjedges.
k
i=l I$<jsk
Now
Z
k
ni=Zmi+Z
mj=m+n
i=l
I
J
and
Z
mm
(Z
mi)(Z mj)
=
mn
ki<is
I J-
I
J
Fu he mo e, e e y edge
o
Km,n
is an edge o
Kml,mz,,,,mk.
Thus,
he la e is none o he
han he g aph
Km,n
o which one has added a ce ain numbe o edges.
Thus,
he gene ic
0
igidi y
o
in
Rd
implies he gene ic igidi y o
Km,,mz,.,,mk
in
Rd.
Example:
We conside he comple e ipa i e g aph
K3,2,,
in i s ealiza ions in he plane.
We know by
Theo em
1
ha he g aphs
Kl,5
and
Kb4
ha e all hei ealiza ions in ini esi-
mally lexible in
R2.
Bu
K3,3
is gene ically igid in
R2
(Co olla y
4);
mo eo e , a
ealiza ion
o
K3,3
in
R2
is in ini esimally igid unless i s six e ices lie
on
aconic (Theo em
14 (Bolke 1980)).
Thus,
K3z2,!
is in ini esimally igid in
R2
unless i s six e ices lie
on
a
conic; i is hus gene ically igid in
R2.
Add ess
o
he au ho :
Jean-Luc Raymond
Cha g de cows
DCpa emen de ma h ma iques
Uni e si d du
QuCbec
A
Mon al
C.P. 8888, Succu sale
"A"
Mon Cal, Quebec, H3C 3P8, Canada
Bibliog aphy
The code
in
he
i s
block
o
each bibliog aphic i em consis
o
h ee pa s, sepa a ed by dashes. The i s le e
indica es whe he he i em is a book (Li e), A icle, Rep in
o
cou se no es (No es de cou s). The middle le e (s)
indica es whe he he piece was in ended p ima ily
o
an audience
o
Ma hema icians, A chi ec s o enginee s
(IngCnieu s). The inal le e (s) indica es i he piece ouches
on
one
o
mo e
o
he p incipal hemes
o
s uc u al
opology:
Geome y (in gene al), Polyhed a, Jux aposi ion
o
Rigidi y.
The key-wo ds
o
o he anno a ions in he hi d
column
a e in ended o show he ele ance o he wo k o esea ch
in s uc u al opology, and do no necessa ily e lec i s o e all con en s
o
he in en
o
he au ho .

62
Topologie
s uc u ale
#lo,
1984
A-M-R
w
Wbi eky
1982
Wal e Whi eley
A-MIA-R
Jean-Luc Raymond
Mo loll
o
lha
id
Bipu i e
Ramenoh
Topologie
s uc u ale,
7
(1982). 61-68.
MCmoi e de mai ise, Mpa emen de ma h ma iques, Uni e si C du
QuCbec
B
Mon Cal, aoii 1982.
P-M-R
Ro b
1981
Ben
Ro h
Rigid
ud
Fkxibk
F amewo ks
Ame ican Ma h. Mon hly, ol.
88,
no.
1,
621.
A-M-R
Wbi eky
1979
Wal e Whi eley
Mo ions
o
a
Bh i e
F anwwo k
Topologie s uc u ale, 3 (1979). 62-63.
A-MIA-R
Whl cley
1981
Wal e Whi eky
ln lnl esimal
Mo h
o
a
Bipu i e
F amewo k
Paci ic Jou nal
o
Ma h.,
B
pa ai .
Rigidi k simple, in ini simale
e
s a ique, g aphes bipa i-comp s,
s uc u es endues. igidi 6 e Cne gie Simple igidi y, in ini esimal
and s a ic, comple e bipa i e g aphs, ensile s uc u es, igidi y md
ene gy.
In oduc ionB la igidi ,simple,in ini Csimak e s a iquc In ocuc-
ion
o
igidi y, simple, in ini esimal and s a ic.
Commen aim su
(Bolke
1980) awc des obse a ions
su
les
mu u-
emcn s Commen s
on
(Bolke
1980) wi h obse a ions abou
mo emen s.
Mou emen s in ini kimaux
A
pa i des su aces quad iques, I'ajeu
de
ba ns
B
un
g aphe bipa i-comple , I'applica ion aux cha pen ej
In ini esimal mo emen s s a ing om quad a ic
su aces,
adding b
s
o a comple e bipa i e g aph, applica ion o amewo ks.
Mou emen s
des
g aphes bipa i-comple s e applica ion au
Csau
oc e
e
kau misc akd ique aCd ique
9
Mo emcn so comp e
bipa i e g aphs wi h applica ion o he hal -oc ahed al e ahed al
uss.