Generic Rigidity of Complete Bipartite Graphs in Rd

La igidi 6 g6n6 ique des g aphes bipa i-comple s dans Rd pa Jean-Luc Raymond I I RbumC Topologie s uc u ale #lo, 1984 Dans un a icle d jA commen 6 dans Topologie s uc u ale, E.D. Bolke e B. Ro h ((Bolke 1980), (Whi eley 1979)) amo qaien une classi ica ion g n ique des g aphes bipa i-comple s dans R2 e dans R’. Leu aisonnemen ai bas su le calcul de la dimension de l’espace des au ocon ain es (s ess) pou une alisa ion d’un g aphe bipa i-comple dans un espace donn . La classi ica ion qu’ils C ablis- saien se limi ai 21 R2 e A R’. Le ex e qui sui se eu une g n alisa ion de leu s sul a s A des espaces de dimension sup ieu e. Nous pou ons abli la classi ica- ion g n ique des s uc u es cons ui es su des g aphes bipa i-comple s en ega d de leu compo emen igide dans un espace ambian ix6 de dimension sup ieu e ou gale A 2. I I L’ ude de la igidi des g aphes bipa i-comple s a d jk ealis e dans un ex e de E.D. Bolke e B. Ro h, <<When is a bipa i e g aph a igid amewo k?. (Bolke 1980). Nous nous appuie ons, ici, su la plupa de leu s sul a s e nous ep end ons l’idh mai esse de leu cheminemen pou end e A des dimensions sup ieu es ce qu’ils d mon aien pou des g aphes bipa i-comple s alis s dans le plan ou dans I’espace. Nous ob iend ons A ce i e une classi ica ion g n ique conce nan la igidi de ou e s uc u e cons ui e su un g aphe bipa i-comple dam Rd. Ces a aux on ealis s dans le cad e d’une ude menan k la dac ion d’un m moi e de mai ise au d pa emen de ma h ma iques de I’Uni e si C du Qu bec 21 Mon al (Raymond 1982). D’ailleu s, je iens A eme cie monsieu Mau ice Ga anpn, mon di ec eu de eche ches, pou ses nomb euses e p cieuses sugges ions. Abs ac S uc u al Topology #lo, 1984 Gene ic Rigidi y o Comple e Bipa i e G aphs in Rd In an a icle e iewed ea lie in S uc u al Topology, E.D. Bolke and B. Ro h ((Bolke 1980), (Whi eley 1979)) pu oge he a gene ic classi ica ion o comple e bipa i e g aphs in R2 and R’. Thei easoning was based on calcula ing he dimension o he space o s esses o a ealiza ion o a comple e bipa i e g aph in a gi en space. The classi ica ion which hey es ablished applies only o RZ and R’. The ex which ollows is a gene aliza ion o hei esul s o spaces o highe dimension. We can es ablish he gene ic classi ica ion o s uc u es buil o e comple e bipa i e g aphs wi h ega d o hei igid beha io in a ixed ambien space o dimension g ea e han o equal o 2. I The s udy o igidi y o comple e bipa i e g aphs was ini ia ed by E.D. Bolke and B. Ro h “When is a bipa i e g aph a igid amewo k?“ (Bolke 1980). We ely he e on mos o hei esul s and we ake up again he main idea o hei p oo s o ex end o highe dimensions wha hey showed o comple e bipa i e g aphs in he plane o in space. We ob ain in his way a gene ic classi ica ion e ealing he igidi y o any s uc u e cons uc- ed o e a comple e bipa i e g aph in Rd. This wo k was p epa ed in he con ex o a s udy leading o he p epa a ion o a mas e ’s hesis in he Depa men o Ma hema ics o he Uni e si du Qu bec d Mon Cal (Raymond 1982). Mo eo e , we wish o hank P o . Mau ice Ga anqon, my esea ch di ec o , o his many help ul sugges ions. In oduc ion In oduc ion Un g apbe bipa icompk K, es une s uc u e abs ai e compo an m + n somme s (x,, xz, ..., x,, yI, y,, ..., y,) e 14ensemble des a k (xi, xj) pou 1 I i I m e 1 I j 5 n. Une dallsa ioa dpap Rd de ce e s uc u e es la donnk de deux ensembles de poin s de Rd: A = (al, a,, ..., a,) E Rd x Rd x ... x Rd = Rmd e B = (bl, b,, ..., b,) e Rnd On no e a ce e halisa ion du g aphe K,, pa K(A, B). Pou dk e mine la classi ica ion gCnC ique du compo emen d’une s uc u e K,,, dans Rd pa appo A la igidi k, il su i de connai e le compo emen de la s uc u e alisc en un poin dgulie de sa onc ion d’a e es, . Pou ce ai e, nous allons calcule , pou ce e hlisa ion, le nomb e de deg k de libe 6 In e ne de la s uc u e, c’es idi e la di k ence en e les dimensions de I’espace des mou emen s in ini bimaux, Ke d (A, B), e I’espace angen A la a iC C des poin s de R(,+,W cong uen s A (A, B) au poin (A, B), T(A, B). On pu mon e que dim T(A, B) sd(d + I)/2e que 1’Cgali k es C iii& quand les somme s engend en au moins un hype plan de I’espace Rd. On se se i a, d’au m pa , du ai sui an : (1) ob IyA, B)es I’espace ec o iel des au oeonMn es (s ess)su la balisa ion K(A, B). Su I’ensemble de ces no ions on pou a consul e (Bolke 1980)’ (Raymond 1982) ou (Ro h 198 1). dim (Ke d (A, B)) = dim n(A, B) + (m + n)d - mn Le Qul a p incipal de Bolkc e Ro h (Bolke 1980) es dans I’Uabo a ion d’une m6 hode de calm1 de la dimension de ce de nie apace, n(A, B). I1 s’honce ainsi, si on no e X I’enn oppe a ine de X, soi K(A, B) une hlisa ion dans Rd du g aphe bipa i-comple K,, e soien C = (A n B) u (A n E), k = ICI, h = dim C! e Q(C), I’espace des su aces quadn iques dam C! con enan les somme s de C, alo s si D(X) es I’enscmble des dCpendances a nes de X on a dim WA, B) = dim D(A) dim D(B) + dim Q(C) k - (1/2)(h + I)@ + 2) (2) On ema que a que si X e R d on a la ela ion dim D(X) + dim X = 1 - 1. En ce qui conceme Q(C), on peu mon e le ai sui an : dim Q(C) 2 max (0, (1/2)(h + l)(h + 2) - k) Deplus,l’ensembledcspoin sC = (c,,c2, ..., ck)c Rkdpo~lesquelsl’Cgali Ces C i iCees un ou e dense de Rkd. Classi ica ion gM ique On peu , dans un p emie emps, classi ie ous les g aphcs bipa icomple s poss dan u op peu* d’a e es. ’lbdme 1 (Bolke 1980): Si mn < (m + n)d - (1/2)d(d + I), alo s ou e kalisa ion de K,, dans Rd es in ini ksimalemen lexible; K,, eil donc gCnC iquemen lexible dans Rd. A comple e bipa i e g aph K,,n is an abs ac s uc u e wi h m + n e ices (xl, x2, ..., x,, yI,y ,,...,y,,) and hese o edges{xi,xj) o Isismand 1 sjsn, A ealiu bnhBdo his s uc u e is he assignmen o wo se s o poin s in Rd: A = (a,, a2, ..., a,) Q Rd x Rd x ... x Rd = Rmd and B = el, b,, ..,, b,) c Rnd We deno e his ealiza ion o he g aph K,,, by K(A, B). To de e mine he gene ic classi ica ion o he beha io o a s uc u e K,,, in Rd wi h espec o igidi y, i su ices o know he beha io o he s uc u e ealized a a egula poin o i s edge unc ion . To do his we a e going o calcula e, o his ealiza ion, he numbe o in e nal deg ees o eedom o he s uc u e, ha is, he di e ence be ween he dimension o he space o in ini esimal mo ions, Ke d (A, B), and o he angen space o he a ie y o poin s o R(,+,@ cong uen o (A, B) a he poin (A, B), T(A, B). We can show ha dim T(A, B) I d(d + 1)/2 and ha he equali y is e i ied when he e ices span a leas a hype plane in he space Rd. Fu he mo e, we make use o he ollowing ac : (1) whe e n(A, B) is he ec o space o s esses (sel -s esses) on he ealiza ion o K(A, B). Fo all o hese ideas he eade can consul (Bolke 1980). (Raymond 1982) o (Ro h 1981). dim (Ke d (A, B)) = dim a(A, B) + (m + n)d - mn The main esul o Bolke and Ro h (Bolke 1980) is in he de elopmen o a me hod o calcula ing he dimension o his la e space, n(A, B). One inds ha .i one deno es by x he a ne hull o X, and we le K(A, B) be a ealiza ion in Rd o he comple e bipa i e g aph K,,, and le C = (An B) u (A nE), k = (CI, h = dim C! and Q(C), he space o quad a ic su aces in C! con aining he e ices o C, hen i D(X) is he se o he a ine dependencies o X one has dim n(A, B) = dim D(A) dim D(B) + dim Q(C) + k - (1/2)(h + I)@ + 2) (2) We no ice ha i X e R d hen we ha e he ela ion dim D(X) + dim x = 1 - 1. Conce ning Q(C) we can show he ollowing ac : dim Q(C) 2 max (0, (1/2)(?1+ 1)(h + 2) - k] Mo eo e , he se o poin s C = (c,, cz, ..., ck) Rkd o which he equali y is sa is ied k an open se dense in Rkd. Gene ic Classinca ion Fi s o , we can classi y all hose comple e bipa i e g aphs ha ing “ oo ew” edges. lbeonm 1 (Bolkc 1980): I mn c (m +n)d - (1/2)d(d + I), hen e e y ealiza ion o K, in Rd is in ini esimally lexible; K,,, is hen gene ically lexible in Rd. a S uc u al Topology #lo, 1984 59 Dans ce con ex e, on ou e dans l’a icle de Bolke e Ro h, des sul a s conce nan la classi ica ion g n ique dans R2 e dans R’ des g aphes bipa i-comple s compo an assezw d’a s es en onc ion de la dimension de I’espace dans lequel ils son alis s. En e e , dans R2 comme dans R’, il su i que mn E (m + n)d - (1/2)d(d + 1) pou que le g aphe K,, soi g n iquemen igide. Les au eu s diplo en pa con e Ie ai que ce sul a ne puisse pas di ec emen s’applique A des dimensions supk ieu es e exhiben le g aphe K6;? qui es g n iquemen lexible dans R‘ malg le ai que le couple (6, 7) sa is asse I inequa ion mn 2 (m + n)d - (1/2)d(d + 1) a ec d = 4. In his con ex , we ind in he a icle by Bolke and Ro h, some esul s conce ning he gene ic classi ica ion in Rz and R’ o comple e bipa i e g aphs ha ing “enough” edges wi h espec o he dimension o he space in which hey a e ealized. Ac ually in R2 as in R’, i su ices ha mn 2 (m + n)d - (1/2)d(d + 1) o he g aph K,, o be gene ically igid. The au ho s lamen he ac ha his esul canno be di ec ly applied o highe dimen- sions and exhibi he g aph K6,, which is gene ically lexible in R‘despi e he ac ha he couple (6, 7) sa is ies he inequali y mn 2 (m + n)d - (1/2)d(d + 1) wi h d = 4. Le h o me sui an appo e la co ec ion n cessai e A une g n alisa ion des sul a s men ionn s. The ollowing heo em supplies he necessa y co ec ion o a gene aliza ion o he abo e esul s. lhh he 2: Soien m > 1 e n > 1 els que mn 2 (m + n)d - (1/2)d(d + 1) pou d ix , K, es g n iquemen igide dans Rd si m + n E (1/2)(d + l)(d + 2) e g n iquemen ledble si m + n < (1/2)(d + I)(d + 2). lheo em 2: Le m > 1 and n > 1 be such ha mn E (m + n)d - (1/2)d(d + 1) o d ixed, hen K,,n is gene ically igid in Rd i m + n E (1/2)(d + I)(d + 2) and is gene ically lexible i m + n < (1/2)(d + 1)(d + 2). Demons a ion: Soi V = {(A, B) s R(m+nM : A =B = Rd), Ves un ou e dense de R(, nM. D’au e pa , consid ons I’ensemble des poin s (A, B) pou lesquels dim Q(A, B) es minimale: W = {(A, B) e R(m nM: dim Q(A, B) = max {0, (1/2)(d + l#d + 2) - (m + n))) P oo : Le V = {(A, B) e R(m n)d :A =B = Rd), so V is an open se dense in R(m+nM- Then conside he se o poin s (A, B) o which dim Q(A, B) is minimal: W = {(A, B) B R(,+@ : dim Q(A, B) = max {0, (1/2)(d + l)(d + 2) - (m + n)]} Comme on I’a signi i plus hau , ce ensemblees un ou e densede R(m+n)d. Ainsi, Vn W es un ou e non ide de R(m+nM &an I’in e sec ion de deux ou e s denses. Jus as abo e, his se is an open se dense in R(m n)d. Thus V n W is a non-emp y open subse o R(,+”M, being he in e sec ion o wo dense open se s. Pou m, n e d ixbe els que mn 2 (m + n)d - (1/2)d(d + l), nous che che ons, dans un p emie emps, A connai e le compo emen d’une alisa ion K(A, B) dans Rddu g aphe K,,n en un poin (A, B) appa enan A Vn W. L’exp ession (2) nous pe me de calcule la dimension de I’espace des au ocon ain es dans le cas qui nous in i esse. On a dim n(A, B) = (m - d - l)(n - d - 1) + dim Q(A, B) + m + n - (1/2)(d + l)(d + 2) = mn - (m + n)d + (1/2)d(d + 1) + dim Q(A, B) En u ilisan l’exp ession (I), on ob ien dim (Ke d (A, B)) = (1/2)d(d + 1) + dim Q(A, B) pou un poin (A, B) de V n W. Fo m, n and d ixed and such ha mn E (m + n)d - (1/2)d(d + l), we will i s y o unde s and he beha io o a ealiza ion K(A, B) in Rdo he g aph K,,n a a poin (A, B) belonging o Vn W. The exp ession (2) pe mi s us o calcula e he dimension o he space o s esses in he case which in e es s us. We ha e dim n(A, B) = (m - d - l)(n - d - 1) + dim Q(A, B) + m + n + (1/2)(d + l)(d + 2) = mn - (m + n)d + (1/2)d(d + 1) + dim Q(A, B) By using he exp ession (1) we ob ain dim (Ke d (A, B)) = (1/2)d(d + 1) + dim Q(A, B) o a poin (A, B) o V n W. O , si (A, B) B V, on a dim T(A, B) = (1/2)d(d + 1). Ainsi, pou un poin appa enan A V n W, le nomb e de deg s de libe in e ne de la s uc u e es gal A dim Q(A, B), c’es -Adi e ha is dim (Ke d (A, B)) - dim T(A, B) = max {0, (1/2)(d + I)(d + 2) - (m + n)) Now, i (A, B) e V, we ha e dim T(A, B)= (1/2)d(d + 1). Thus o a poin belonging o V n W, he numbe o in e nal deg ees o eedom o he s uc u e is equal o dim Q(A, B), dim (Ke d (A, B)) - dim T(A, B) = max {0, (1/2)(d + I)(d + 2) - ( n + n)) 60 Topologie s uc umle #lo, 1984 De 18 on pu conclu e que ou e alisa ion d'un g aphe bipa icomple Km,n en un poin (A,B)~VnWcR(~+~)~es in ini dsimalemen igidesi(1/2)(d+ l)(d+2)-(m+n)sOe in ini ksimalemen lexible si (1/2)(d + 1Md + 2) - (m + n) > 0. D'au e pa , on sai que I'ensemble des poin s egulie s de la onc ion d'a es de K,,n es un ou e dense de R(m+nM (Ro h 1981). Ce ensemble a doncune in e sec ion non idea ec l'ou e Vn W. Cela su i pou conclu e su le compo emen in ini esimal de ous les poin s kgulie s e puisque igidi 6 e igidi 6 in ini ksimale son deux concep s Cqui alen s su des poin s 0 kgulie s, on ob ien le esul a oulu. De aCon iden e, dimension de l'espace ambian . Aussi, ou es leu s alisa ions dans Rd (d -s 2). Ainsi, on connal le compo emen gkn6 ique de ou g aphe bipa icomple K,, ialisk dans un espace Rd ix& On e ou e, en e au es, 8 i e de co ollai es, des kul a s Cnonds dans (Bolke 1980). Co ollai e 3: Si mn > 3(m + n) - 6 alo s Km,n es gine iquemen igide dans R3. 0 Co ollai e 4: Si mn > z(m + n) - 3 alo s K,,n es gbnk iquemen igide dans R2. 0 A i e d'exemple, on peu d esse la lis e des g aphes bipa i-comple s qui son gknk i- quemen lexibles dans R' e dans Rs ou en posskdan <<assez. d'a es. es igide dans ou es ses kalisa ions e quelle que soi la (m > 1) son lexibles dans (n > 1) e Dans R': K6,7 K6,8 K7,7 R': ',,I0 '7.11 ',,I2 '7.13 '8,9 ',,I0 '8,Il '*,I2 '9,9 '9.10 '9,Il 'I0,lO I1 au se appele que ceci demeu e une classi ica ion gCnC ique du compo emen , c'es -A-di e selon le compo emen des ealisa ions en des poin s egulie s de la onc ion d'a es. Pou une C ude des mou emen s in ini ksimaux des alisa ions de g aphes bipa icomple s, on consul e a les Ccen s a icles de Wal e Whi eley (Whi eley 198 I), (Whi eley 1982). Son C ude geome ique des mou emen s am ne une ponse comple e A la ques ion posb dans le i e de Pa icle de Ro h e Bolke , <<When is a bipa i e g aph a igid amewo k?.. G aphes mul ipa icomple s Les hCo mes qui p Cdden nous pe me en d'C abli un esul a pa iel au suje du compo emen gCnC ique des g aphes mul ipa i-comple s, En ai , nous pou ons econ- nai e ce ains de ceux-ci comme des s uc u es gkne iquemen igides dans un espace donne. lModme 5: Soi Km,,m,,.,.mk un g aphe kpa icomple . Si il exis e unepa i ion (I, J)de l'ensemble { 1,2, ..., k) elle que Km,n es un g aphe bipa icomple gCnC iquemen igide dans Rd, oh m = X mi e n = X mj, alo s Ie g aphe Km1,,, ,..., mk es gkne iquemen igide dans Rd. I J F om his, one can conclude ha e e y ealiza ion o a comple e bipa i e g aph K,,n a a poin (A, B) V n W c R(m+nN is in ini esimally igid i (1/2)(d I)(d + 2) - (m n) 5 Oand in ini esimally lexible i (1/2)(d + I)(d 2) - (m n) > 0. Fu he mo e, one knows ha he se o egula poin s o he edge unc ion o Km,n is an open dense subse o R(m+nM (Ro h 1981). This se , hus, has a non-emp y in e sec ion wi h he open se Vn W. This pe mi s us o d aw conclusions conce ning he in ini esimal beha io o all egula poin s, and since igidi y and in ini esimal igidi y a e equi alen concep s a egula poin s, one has he desi ed esul . 0 Clea ly, is igid in all i s ealiza ions, wha e e be he dimension o he ambien space. Also (n > 1) and (m > 1) a e lexible in all hei ealiza ions in Rd (d 2 2). Thus, one knows he gene ic beha io o e e y comple e bipa i e g aph Kp,n ealized in a ixed space Rd. We eco e as co olla ies, among o he s, he esul s gi en in (Bolke 1980). Co olla y 3: Co olla y 4: I mn > 3(m n) - 6, hen Km,n is gene ically igid in R'. I mn > 2(m + n) - 3, hen K,,n is gene ically igid in R2. 0 0 As examples we gi e he lis o comple e bipa i e g aphs which a e gene ically lexible in R' and in RS despi e he ac hey ha e "enough" edges. In R': '6,7 '6.8 '7,7 In "' '7,IO '7,Il ',,I2 '7.13 '8.9 '8,IO '&I1 '8.12 '9,9 ',,I0 ',,I1 'I0,lO One should emembe ha his is a gene ic classi ica ion o beha io , ha is, acco ding o he beha io o ealiza ions a egula poin s o he edge unc ion. Fo a s udy o in ini esimal mo emen s o ealiza ions o comple e bipa i e g aphs, consul he ecen a icles by Wal e Whi eley (Whi eley 1981), (Whi eley 1982). His geome ic s udy o mo emen s p o ides a comple e esponse o he ques ion posed in he i le o he a icle by Ro h and Bolke , "When is a bipa i e g aph a igid amewo k?". Comple e mul i-pa i e g aphs The p eceding heo ems pe mi us o es ablish a pa ial esul conce ning he gene ic beha io o comple e mul ipa i e g aphs. In ac , we can ecognize ce ain o hem as gene ically igid s uc u es in a gi en space. n~ em 5: Le 'mp be a comple e k-pa i e g aph. I he e is a pa i ion (I, J) o he se (1, 2, ..., k) such ha , Km,n is a comple e bipa i e g aph, gene ically igid in Rd whe e m = Z mi and n = Z mj, hen he g aph Km,,m2 ,,,,, mk is gene ically igid in Rd. I J S uc u a1 Topo/ogy #lo, 1984 61 bike 1980 E han Bolke e Ben Ro h A-M-R DPmons u ion : Le g aphe Km,n poss de m + n somme s e mn a e es alo s que le g aphe When L6 a Bipa l e G aph a Ri&I F amewo k? Paci ic Jou nal o Ma h., 90 (1980). 27-44. Espace des au ocon ain es des g aphes bipa isomple s, su aces quad iques The s ess space o comple e bipa i e g aphs, quad a ic spaces. possede 3 mi somme s e X mimj a e es. Km,,m z,...,mk 1=I Iskjsk O e mi=Zmi+X m.=m+n Z i=l I JJ m.m. > (Z mi)(X mj) = mn Iskjsk ' J - I J De plus, ou ea e de Km,n es unea e e de Kml,mz,,.~mk. Ainsi ce de nie n'es ien d'au e que le g aphe Km,n auquel on a ajou un ce ain nomb e d'a es. Donc la igidi g ne ique de Km,n dans Rd en aine a la igidi g ne ique de Kml,m,,,..mk dans Rd. 0 Exemple: Consid ons le g aphe ipa i-comple K3,2,, dans ses alisa ions dans le plan. On sai , pa le hh hne 1, que les g aphes K,,5 e K2,4 on ou es leu s alisa ions in ini simalemen lexibles dans R2. Mais K3,3 es g n iquemen igide dans R2 (Co ol- lai e 4); plus que cela, une alisa ion de K3,, dans R2 es in ini simalemen igide a moins que ses six somme s se si uen su une conique (Th o hne 14de (Bolke 1980)). Ainsi K,,2,, es in ini simalemen igide dans R2 au moins quand ses six somme s ne se si uen pas su une conique; il es donc g n iquemen igide dans R2. Ad esse de I'au eu : Jean-Luc Raymond Cha g de cou s DCpa emen de ma hima iques Uni e si e du Qu bec a Mon al C.P. 8888, Succu sale "A" Mon eal, Qu bec, H3C 3P8, Canada Bibliog aphie Le code qui appa ai dans la p emib e colonne de chaque en k bibliog aphique es cons i ub de ois pa ies sdpa kes pa des i e s. La p emihe pa ie indique s'il s'agi d'un Li e, d'un A icle, d'une P e-imp ession ou de No es de cou s. La deuxieme pa ie indique si le ex e a e e Mige pou des Ma hCma iciens, des A chi ec es ou des Ingenleu s. La pa ie inale indique si le ex e ouche un ou plusieu s des hhes p incipaux de la opologie s uc u ale: GeomC ie (en gene al), PolyM es, Jux aposi ion ou Rigidi e. Les mo s4s ou les anno a ions de la colonne inale signalen la pe inence de I'ou age a la eche cheen opologie s uc u ale, mais ne emoignen pas nkcessai emen de I'ensemble du con enu ou de I'in en ion de I'au eu . P oo : The g aph Km,n has m + n e ices and mn edges, so ha he g aph Kml,mz,...,mk has X mi e icesand X mimjedges. k i=l I$<jsk Now Z k ni=Zmi+Z mj=m+n i=l I J and Z mm (Z mi)(Z mj) = mn ki<is I J- I J Fu he mo e, e e y edge o Km,n is an edge o Kml,mz,,,,mk. Thus, he la e is none o he han he g aph Km,n o which one has added a ce ain numbe o edges. Thus, he gene ic 0 igidi y o in Rd implies he gene ic igidi y o Km,,mz,.,,mk in Rd. Example: We conside he comple e ipa i e g aph K3,2,, in i s ealiza ions in he plane. We know by Theo em 1 ha he g aphs Kl,5 and Kb4 ha e all hei ealiza ions in ini esi- mally lexible in R2. Bu K3,3 is gene ically igid in R2 (Co olla y 4); mo eo e , a ealiza ion o K3,3 in R2 is in ini esimally igid unless i s six e ices lie on aconic (Theo em 14 (Bolke 1980)). Thus, K3z2,! is in ini esimally igid in R2 unless i s six e ices lie on a conic; i is hus gene ically igid in R2. Add ess o he au ho : Jean-Luc Raymond Cha g de cows DCpa emen de ma h ma iques Uni e si d du QuCbec A Mon al C.P. 8888, Succu sale "A" Mon Cal, Quebec, H3C 3P8, Canada Bibliog aphy The code in he i s block o each bibliog aphic i em consis o h ee pa s, sepa a ed by dashes. The i s le e indica es whe he he i em is a book (Li e), A icle, Rep in o cou se no es (No es de cou s). The middle le e (s) indica es whe he he piece was in ended p ima ily o an audience o Ma hema icians, A chi ec s o enginee s (IngCnieu s). The inal le e (s) indica es i he piece ouches on one o mo e o he p incipal hemes o s uc u al opology: Geome y (in gene al), Polyhed a, Jux aposi ion o Rigidi y. The key-wo ds o o he anno a ions in he hi d column a e in ended o show he ele ance o he wo k o esea ch in s uc u al opology, and do no necessa ily e lec i s o e all con en s o he in en o he au ho . 62 Topologie s uc u ale #lo, 1984 A-M-R w Wbi eky 1982 Wal e Whi eley A-MIA-R Jean-Luc Raymond Mo loll o lha id Bipu i e Ramenoh Topologie s uc u ale, 7 (1982). 61-68. MCmoi e de mai ise, Mpa emen de ma h ma iques, Uni e si C du QuCbec B Mon Cal, aoii 1982. P-M-R Ro b 1981 Ben Ro h Rigid ud Fkxibk F amewo ks Ame ican Ma h. Mon hly, ol. 88, no. 1, 621. A-M-R Wbi eky 1979 Wal e Whi eley Mo ions o a Bh i e F anwwo k Topologie s uc u ale, 3 (1979). 62-63. A-MIA-R Whl cley 1981 Wal e Whi eky ln lnl esimal Mo h o a Bipu i e F amewo k Paci ic Jou nal o Ma h., B pa ai . Rigidi k simple, in ini simale e s a ique, g aphes bipa i-comp s, s uc u es endues. igidi 6 e Cne gie Simple igidi y, in ini esimal and s a ic, comple e bipa i e g aphs, ensile s uc u es, igidi y md ene gy. In oduc ionB la igidi ,simple,in ini Csimak e s a iquc In ocuc- ion o igidi y, simple, in ini esimal and s a ic. Commen aim su (Bolke 1980) awc des obse a ions su les mu u- emcn s Commen s on (Bolke 1980) wi h obse a ions abou mo emen s. Mou emen s in ini kimaux A pa i des su aces quad iques, I'ajeu de ba ns B un g aphe bipa i-comple , I'applica ion aux cha pen ej In ini esimal mo emen s s a ing om quad a ic su aces, adding b s o a comple e bipa i e g aph, applica ion o amewo ks. Mou emen s des g aphes bipa i-comple s e applica ion au Csau oc e e kau misc akd ique aCd ique 9 Mo emcn so comp e bipa i e g aphs wi h applica ion o he hal -oc ahed al e ahed al uss.