1
4.1 In oducció
-P eceden s de la Mecànica Quàn ica
-Na u alesa co puscula de la llum: e ec e o oelèc ic i e ec e
Comp on. Fonamen s de la Teo ia Especial de la Rela i i a
-Espec es a òmics. Model de Boh
4.2 P opie a s ondula ò ies de les pa ícules
-Expe imen de Young amb elec ons: el “D . Quàn ic”
4.3 P incipi d’ince esa de Heisenbe g
-Al es p incipis onamen als: p incipi d’exclusió de Pauli
-Exemple: e ec e Casimi
4.4 Equació de Sch ödinge
-Exemples: pa ícula en una caixa 1D, ba e a de po encial,
oscil·lado ha mònic.
4.5 E ec e únel
-Scanning Tunneling Mic oscope (STM)
-Díode d’e ec e únel
4.6 Teo ia quàn ica a òmica
-À om d’hid ogen
-Spin de l’elec ó
-Taula pe iòdica dels elemen s
4.7 Aplicacions
-Magne o esis ència gegan
-Ressonància Magnè ica Nuclea (RMN)
4. FÍSICA QUÀNTICA
Assigna u a: ”Física dels disposi ius de Memò ia”
Au o : Jo di Ma í Rabassa
2
■P eceden s: Radiació del cos neg e.
Cos neg e: Sis ema ideal que
abso beix o a la adiació que li a iba
■Llei de Rayleigh-Jeans: dis ibució
espec al clàssica: P(,T) = 8kBT -4
■Max Planck (1900): Hipò esi del quan um d’ene gia
■E= h , on h=6.625·10-34 Js
4.1 In oducció
■Pe ò…ca às o e ul a- iole a
3
-L’ene gia dels
e- emesos no
augmen a amb I
-El nomb e d’e-
emesos depèn de
i no de .
Na u alesa co puscula de la
llum!!! E = h = h c / λ
Teo ia: Eins ein 1905
Expe imen : He z 1887, Lenna d 1900, Millikan 1914
■E ec e o oelèc ic
Hi ha una llinda d’emissió
E.cinè ica màxima
Po encial de enada
Funció de eball del me all
4
Exe cici 1. E ec e o oelèc ic. La unció de eball del ungs è (un
me all que oba eu a la aula pe iòdica com a wol ami) és de 4.58 eV.
(a) Calculeu la eqüència llinda i la longi ud d’ona llinda pe l’e ec e
o oelèc ic.
(b) A alueu el po encial de enada si la longi ud d’ona inciden és de
2000 Å.
(c) Idem si és de 2500 Å.
(a) Pe al de oba la eqüència llinda , cal suposa que els
elec ons a enca s su en amb ene gia cinè ica 0:
alesho es, enim que:
que co espòn a llum ul a iole a
(b) De l’equació d’Eins ein
deduïm:
(c) Si posem una longi ud d’ona de 2500 Å, ens queda:
No a: P o eu de e l’exe cici 3. En egable
5
■Rela i i a especial, Eins ein (1905)
■Pos ula s:
1) No exis eix un sis ema de e e ència absolu
2) Veloci a de la llum = independen de l’es a de
mo imen de la on i l’obse ado
c = 300000 km/s
■T ans o mació de Lo en z:
Y
Z
Y’
Z’ XX’
■Conseqüències:
1) Con acció de longi uds
2) Dila ació del emps
3) Augmen de la massa
(X,Y,Z): sis ema ix
(X’,Y’,Z’): sis ema mòbil
6
■Dila ació del Temps
Model: un ello ge de llum…dins un en
ic
ac
d
(1)
(mo imen a eloci a cons an !)
Si l’obse ado és a din e…cas (1) -> sis ema mòbil
7
Pe ò si l’obse ado és a o a…cas (2): sis ema ix
D’on podem dedui àcilmen …
Dila ació
del emps !!! < 1
ic
ac
(2)
d
·Δ (2) ic
c·Δ (2) ic
Pe la qual cosa…
En de ini i a, si de inim , ens queda:
8
El enomen de la dila ació del emps ens acili a ia
mol els ia ges espacials…
Te a Plane a X
d
Suposem: d=300 anys-llum = 2.8x1015 km,
=295000 km/s (0.9833 c)
Resul a: Δ nau= 10.1 anys!
(1)
(2)
9
Exe cici 4. Pa adoxa dels bessons. Siguin 2 bessons A i B. Si el
p ime d’ells, A, oman a la Te a i el segon, B, ia ja a un
plane a llunyà, si ua a 8 anys-llum de dis ància a una eloci a
= 0.8 c, quin se à més ell a la o nada? Si ac ualmen enen 20
anys, quina eda ind à cadascun?
Un esquema simpli ica se ia:
Te a
Plane a X
A
B
d = 8 anys-llum = 8c
= 0.8 c
Des del pun de is a de B, iga un emps:
pe a i a al plane a X. Quan o ni a la Te a, ind à 20+2*10
= 40 anys.
Des del pun de is a d’A, el ia ge iga un emps:
pe a i a al plane a X. Quan o ni a la Te a, ind à
20+2*16.7 = 53.4 anys. En de ini i a, A se à més ell.
16
“Ene gia o al (de l’elec ó) = Cinè ica + Po encial”
Ze
m
-e
17
Exe cici 10. Model de Boh . Quina ene gia, momen i longi ud
d’ona é un o ó emès pe un à om d’hid ogen quan l’elec ó passa
de l’es a amb n=3 a l’es a amb n=1.
Si ens ixem en la ó mula de Boh pe les ansicions en e ni ells,
on la eqüència d’un o ó (abso bi o emès) és:
On hem e ús de (pe l’a om de Boh de l’hid ogen):
Pel momen lineal ens queda:
Tenim que l’ene gia del o ó emès se à:
i la longi ud d’ona:
o ambé:
No a: P o eu de e l’exe cici 11. En egable
18
■Pa ícules
mac oscòpiques
■Ones/elec ons
4.2 P opie a s ondula ò ies de les pa ícules
19
■Duali a ona-pa ícula:
De B oglie (1924)
■Expe imen de Da isson & Ge me : di acció
d’elec ons (1926-27)
■Exemples, pe escle xa de amany d = 1 Angs öem
Pilo a de ennis:
Elec ó en un cable elèc ic:
Només en el segon cas, com que , es p odueix
di acció -> es euen e ec es ondula o is
20
Expe imen de Young amb elec ons: el “D . Quàn ic”
h ps://www.you ube.com/wa ch? =82Ea0_6T-Mw
(Ve sió doblada al cas ellà)
21
■Enuncia : L’ince esa en el alo de a iables
conjugades és in ínseca i semp e supe io a una co a
in e io :
4.3 P incipi d’ince esa de Heisenbe g
Exemple: Pola i zació del bui = C eació de pa elles
pa ícula-an ipa ícula en in e als de emps mol cu s
Expe imen : E ec e Casimi (p oposa 1948, de ec a 1996)
■P incipi d’exclusió de Pauli: Dos elec ons no
poden es a en el ma eix es a quàn ic
22
Exemple. P incipi d’ince esa de Heisenbe g. Un jugado de
beisbol llana una pilo a de 200 g. Tenin en comp e que es po
de e mina la se a posició amb un e o de l'o d e de la longi ud
d'ona de la llum emp ada (500 pm), de e mina quina se la ince esa
que s'ob ind ia en la mesu a simul nia de la se a eloci a .
Tenim que les dades són:
Segons el p incipi d’ince esa de Heisenbe g:
Finalmen :
No a: P o eu de e l’exe cici 12.
23
■Cada e- é associada una unció d’ona Ψ(x, ) que sa is à
l’equació de Sch ödinge dependen del emps:
■Si l’ene gia po encial U és independen del emps
(conside em només di ecció X), alesho es podem
esc iu e:
on:
i ens queda l’equació de Sch ödinge independen del
emps:
■Cada Ψ inclou la ep esen ació dels es a s pe mesos pe
un e-, in oduin -se la quan i zació de o ma na u al.
■|Ψ(x)|2 és p opo cional a la p obabili a de oba un e- en
un pun x de l’espai.
4.4 Equació de Sch ödinge
24
■Exemple 1: Pa ícula en una caixa 1D (pou in ini )
x
L
U(x)
0
e-
■Pa icula i zan l’eq. Sch ödinge indep. del emps…
■Queda una equació “anàloga” a la de l’oscil·lado
ha mònic
amb solució:
on
2
25
■Si ho adap em al cas:
■I saben que (condicions de con o n):
on a a la cons an k és:
■Les solucions són:
(1) (2)
Condició (1)
■Es po dedui una solució gene al del ipus:
Condició (2)
alesho es, aïllan la kn enim:
Es a onamen al (n = 1):
32
■Exemple 3: Oscil·lado ha mònic
Clàssic
Solució:
on
I l’ene gia és:
Equació New oniana del mo imen :
33
Quàn ic
L’ene gia po encial és:
i l’equació de Sch ödinge esde é:
Es demos a que, en l’es a d’ene gia més baixa Ψ0:
La solució és:
amb ni ell ene gè ic:
Solució gene al:
amb ni ells ene gè ics:
34
■Eisbe g, R., Resnick, R. Quan um Physics o a oms, molecules,
solids, nuclei and pa icles, J.Wiley and Sons (1985)
35
■Pe i a sonda me àl·lica que es ableix un
co en amb els à oms d’una supe ície.
4.5 E ec e únel
■Basa en el po encial de ba e a
Scanning Tunneling Mic oscope (STM)
36
Cu-111: pe me “mesu a ” la longi ud d’ona dels e-
Niquel
Ima ges p eses amb STM:
37
STM: Mic oscopi d’e ec e únel. Més exemples
Fe en Cu-111
38
Díode d’e ec e únel
■En si uació de pola i zació (di ec a), el co en
de únel es po inc emen a (camp pe i ,
esque a) o edui (camp g an, d e a)
Pe a alo s g ans
del camp ex e n, el
díode es compo a
com un díode pn
es ànda d
E ec e únel
39
■À om d’hid ogen: cas pa icula de l’equació de
Sch ödinge amb el po encial de Coulomb
■Solució:
Þ apa eixen 3 nomb es quàn ics (n,l,m)
R( ) és la pa adial, que depen de la dis ància
elec ó-nucli, men e que les pa s angula s
depenen de coo denades es è iques.
4.6 Teo ia quàn ica a òmica.
}
(x,y,z)
( )
2
40
■L’es a d’un e- en un à om e de ini pels nomb es
quàn ics:
n: 1, 2, 3 n.q. p incipal
l: 0,1,2,…n-1 n.q. o bi al
ml: -l,-l+1,….,l-1,l n.q. magnè ic
ms: 1/2, -1/2 n.q. spin
■Pe à oms plu ielec ònics:
■L’ene gia d’un e- depèn de n i l.
■P incipi d’exclusió de Pauli.
■O bi als s, p, d,
■Es uc u a elec ònica: 1s2, 2s2, 2p6…
■Com es comp en els es a s?
41
Classes d’o bi als
48
2. Ressonància Magnè ica Nuclea (RMN)
-Fou descobe a el 1946 pe Felix Bloch i
Edwa d Mills Pu cell, que an guanya el P emi
Nobel de Física pe aques descob imen el
1952.
-Els nuclis a òmics enen spin. Els nuclis (enlloc dels
elec ons ex e io s) són els que in e enen en el
p océs d’abso ció de adiació.
-El alo del spin nuclea depèn del nomb e a òmic:
els p o ons i neu ons són e mions de spin ± 1/2, de
mane a que el spin o al po se : 0, 1/2, -1/2, 1, e c.
-RMN mesu a l’abso ció de adiació
elec omagnè ica en la egió de àdio- equència
(~4 a 900 MHz).
-La mos a ha d’es a en un camp magnè ic ->
es a s d’ene gia di e en s.
49
De l’ene gia d’in e acció spin-nucli ∆E, podem ob eni
la eqüència de adiació 𝜈0:
𝛾 és la aó gi omagnè ica:
RMN: Quan s’aplica un B sob e els nuclis, can ien els
spins, abso bin i eme en adiació elec omagnè ica
50
P incipals aplicacions:
1. Cap u a d’ima ges de l’in e io
del cos pe a diagnòs ic mèdic
2. De e minació d’es uc u es
molecula s: p o eïnes, políme s,
mac omolècules…
3. Disseny i anàlisi de à macs:
llocs de connexió de
medicamen s a enzims,
ecep o s, p o eïnes, e c.
2015, Na ional Ins i u e o Ma e ials Science
(Japan): The NMR wi h wo ld's highes
magne ic ield, 1020 MHz.
