Tribuna Plural monográfico número 8 : JBV paper "Planificación y secuenciación Heijunka con métodos electorales"

RAED - TRIBUNA PLURAL
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RAED
TRIBUNA PLURAL
La e is a cien í ica
 Monog á icoNúm.8
IVENCUENTROCIENTÍFICORAEDIVENCUENTROCIENTÍFICORAED
CONFERENCIASDEESTUDIOSACADÉMICOSCONFERENCIASDEESTUDIOSACADÉMICOS
PARAELMUNDOACTUALPARAELMUNDOACTUAL
VICHYCATALÁN(CaldesdeMala ella-Gi ona)VICHYCATALÁN(CaldesdeMala ella-Gi ona)
28de eb e oal1dema zode202028de eb e oal1dema zode2020
RAED
1914-2021
RAED
TRIBUNA PLURAL
La e is a cien í ica
Monog á ico Núm. 8
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PLANIFICACIÓN Y SECUENCIACIÓN HEIJUNKA
CON MÉTODOS ELECTORALES
D . Bau is a Valhondo, Joaquín
Académico de Núme o de la Real Academia Eu opea de Doc o es
Resumen
La egula idad de la p oducción es á inculada al é mino Heijunka aso-
ciado, a su ez, a una p opiedad deseable en odo plan de p oducción po
acili a la ges ión de ope aciones con la educción de s ocks, la capaci-
dad p oduc i a eque ida, los plazos de en ega y el olumen de la in o -
mación p ecisada, sua izando además la elación del sis ema p incipal
con los p o eedo es.
En es e con ex o, es ablecemos es p opiedades deseables que debe sa-
is ace un mé odo Heijunka de plani icación y de secuenciación, impo-
niendo ales condiciones a planes y secuencias egula es que deben se
accesibles, den o de lo posible, cuando se apliquen dichos mé odos: (1)
Cuo a, (2) Homogeneidad y (3) Mono onía en p oducción.
T as una b e e in oducción sob e el en o no p oduc i o que nos ocupa,
se o mula un p og ama ma emá ico, PM-Heijunka-Cuo as, pa a ob ene
planes egula es po cuo as de p oducción y se o ece un mé odo de eso-
lución inspi ado en el p ocedimien o de los Res os mayo es de Hamil on.
Es a he amien a de decisión se aplica a un ejemplo sencillo inculado a
la ab icación de mo o es.
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secuenciación HEIJUNKA con mé odos di iso es elec o ales
Después, se de inen los concep os de pe iodicidad ideal de p oduc os y
de secuenciación egula po echas idóneas de ab icación, quedando
ep esen ados en un p og ama ma emá ico, PM-Heijunka-Fechas, cuyo
obje i o es minimiza la suma de disc epancias cuad á icas en e echas
eales e ideales de ab icación.
También, se o ece una amilia de algo i mos: los Mé odos de los Mul-
iplicado es, y se es ablece una co espondencia con los Mé odos de los
Di iso es elec o ales, jus i icando así una analogía en e los sis emas de
ep esen ación p opo cional po lis as elec o ales y los sis emas de se-
cuenciación de p oduc os en con ex o Jus o a Tiempo.
Se concluye con la idea de que los mé odos mul iplicado es p opues os
son ú iles pa a secuencia p oduc os bajo el idea io Heijunka, pues o que
odos ellos e i ican al menos dos de las es p opiedades deseables im-
pues as.
Palab as cla e: Algo i mos; Cáma a de ep esen an es; Heijunka; Jus o
a Tiempo; Mé odos de los Di iso es; Mé odos de los Mul iplicado es;
P ocesos elec o ales; P og amación ma emá ica; Repa o P opo cional.
1. In oducción
A endiendo al í ulo de es e abajo, el lec o pod ía p egun a se: Qué ela-
ción exis e en e epa i escaños en una cáma a de ep esen an es y secuencia
y empo iza di e sos ipos de p oduc os ( .g . coches, mo o es, bas ido es,
e c.) en una línea de mon aje de modelos mix os.
Como se e á, en de e minados sis emas ab icación suje os al idea io de la
p oducción Jus o a Tiempo (JIT: Jus in Time), el p oblema del Repa o P opo -
cional (Appo ionmen P oblem), así como los mé odos empleados pa a esol-
e lo, esul an ú iles an o pa a plani ica como pa a secuencia y empo iza
los lanzamien os de los p oduc os a una línea de mon aje de modelos mix os.
La an e io a i mación equie e sin duda una explicación, po lo que ecu-
i emos a la his o ia ecien e de la P oducción Indus ial con el p opósi o de
conc e a los a ibu os p incipales del en o no p oduc i o al que nos e e imos.
En e p incipios y mediados del pasado siglo, muchas emp esas de au omo-
ción p oducían un solo p oduc o, sin a ian es y en g andes can idades. No obs-
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Joaquín Bau is a Valhondo
an e, en los años en que la emp esa Fo d (pa adigma de la p oducción masi a e
indi e enciada) había adqui ido una hegemonía indiscu ible en la indus ia del au-
omó il median e su modelo T ya se p oducían en sus áb icas algunas a ian es
del modelo T ( u ismos, u gone as, camiones de lige o onelaje, e c.); de hecho,
el p opio modelo T iba e olucionando con el paso del iempo. Pe o, llegó el mo-
men o en que la hegemonía de Fo d se de umbó con Gene al Mo o s, pues u o
la capacidad de o ece una amplia gama de ma cas y modelos, y así p opicia
que el consumido pudie a sa is ace adecuadamen e necesidades y ape encias.
El enómeno de la amplia gama (pe sonalización del p oduc o con la o e a
de opciones) se inco po ó a la mayo ía de indus ias clásicas y se icios. Las
emp esas más hábiles ue on capaces de gana cuo a de me cado, gene ando
nue os p oduc os, o eciendo a iedad de bienes y se icios, mien as que las
que no lo hicie on se ie on condenadas a desapa ece .
E iden emen e, el “ansia”, po no deci necesidad, de p oduci una amplia
a iedad de p oduc os gene ó nue os p oblemas de ges ión. La a iedad p opi-
ció la apa ición de los sis emas de p oducción de modelos mix os, en los que,
po ejemplo, una línea de mon aje se dedica a ab ica di e sos p oduc os que
se pa ecen en e sí sin llega a se idén icos. Empleamos el é mino a ian es
de un p oduc o pa a denomina concep ualmen e es a semblanza ela i a en e
cie os bienes o se icios ( .g . mo o es – e Figu a 1-).
La ab icación de a ian es de un p oduc o en un mismo sis ema p oduc i o
(plan a, alle , línea de mon aje, e c.) implica lle a a cabo a eas de p epa ación
cada ez que a anca la ab icación de una de ellas. Si los iempos de p epa a-
ción de una a o a a ian e son ele ados, en onces, la ab icación se e ec úa po
lo es de g an magni ud, lo que implica más s ocks y poca lexibilidad pa a hace
en e a des iaciones de la demanda eal en e a las p e isiones.
En es as ci cuns ancias, la apues a po la a iedad obliga a educi los iem-
pos de p epa ación. Tal educción se con ie e en obje i o a la ho a de diseña
el p oduc o y el p oceso, y obliga a es udia al de alle los mé odos de abajo
e ins umen os a u iliza en las a eas de p epa ación del sis ema p oduc i o.
Cuando los iempos de p epa ación del sis ema p oduc i o ( .g . línea de mon-
aje) se educen a alo es poco signi ica i os, se dice que se dispone de un
sis ema de p oducción lexible.
Dispone de un sis ema de p oducción lexible es condición necesa ia pa a
a on a la a iedad, pe o no su icien e. En e ec o, la lexibilidad equie e he-

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secuenciación HEIJUNKA con mé odos di iso es elec o ales
amien as ma emá icas que pe mi an ob ene y e alua planes egula es de
p oducción y secuencias egula es de modelos mix os.
El ocablo “ egula ” se emplea pa a exp esa que el obje o e e ido p esen-
a simili ud o con inuidad en su conjun o, desa ollo, dis ibución o du ación.
Pa a el p esen e abajo, se p oponen dos de iniciones que inculan la o ganiza-
ción de la p oducción con dicho é mino.
d1. Plan egula de p oducción mix a: Di emos que un plan de p oducción
es egula cuando, eniendo en cuen a la demanda y las es icciones de
capacidad del sis ema p oduc i o, las can idades a ab ica de los ipos
de p oduc o son lo más pa ecidas posible en odos los pe íodos (días,
semanas o meses) del ho izon e de plani icación.
d2. Secuencia egula de p oduc os mix os: Di emos que una secuencia es
egula en p oducción cuando su conca enación epe ida, el núme o de
eces que sea necesa io, pe mi e cons ui un plan egula de p oduc-
ción mix a, p ese ando así el mix de p oducción en la medida de lo
posible1.
La egula idad de la p oducción es á inculada al é mino japonés Heijunka2.
Es a p opiedad es deseable en odo plan de p oducción, independien emen e de
su ho izon e, pues o que acili a la di ección de ope aciones y pe mi e educi
las ine iciencias. Algunas en ajas que o ece Heijunka son:
(1) Reducción de s ocks, p oduciendo sólo lo necesa io pa a sa is ace la
demanda.
(2) Reducción de la capacidad p oduc i a eque ida, ajus ando los equi-
pos, maquina ia, ins umen os, ma e iales componen es y mano de
ob a.
1 Se ha de ene en cuen a los incon enien es causados po núme os p imos en el p oblema del
Repa o P opo cional y po la unidad de iempo que se es ablezca pa a medi la egula idad.
2 En Jus in Time, Heijunka (ni elación) se emplea pa a designa el alisado del plan o p og ama
de p oducción a pa i del mix de p oduc os y el olumen a ab ica en un ho izon e de e mi-
nado. El p opósi o de Heijunka es ab ica cada día la misma can idad man eniendo el mix de
p oducción, epa iendo de mane a uni o me la ab icación de los p oduc os a lo la go de un
día, una semana y un mes.
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Joaquín Bau is a Valhondo
(3) Reducción de plazos de en ega al p oceso siguien e y desde p ocesos
an e io es.
(4) Reducción del olumen de in o mación pa a di igi las ope aciones
p oduc i as y logís icas, an o a ni el in e no como en lo conce nien e
a p o eedo es ex e nos.
(5) T anspa encia en la elación con p o eedo es (ex e nos e in e nos),
p opiciando un es ue zo uni o me a lo la go del iempo pa a odos.
Los p óximos apa ados es án o ien ados a ilus a cómo aplica algunos
mé odos del p oblema del Repa o P opo cional a la plani icación y secuencia-
ción de modelos mix os, cuando inco po amos la p opiedad de egula idad de
la p oducción.
2. Plani icación Heijunka median e el mé odo de Hamil on (1792)
Pa a ilus a la aplicación del mé odo de epa o p opo cional de Alexan-
de Hamil on3 al p oblema de la plani icación Heijunka nos apoya emos en el
Ejemplo 1.
Ejemplo 1:
En una línea de modelos mix os (L1) se deben ensambla , du an e 8 u nos
de abajo, 1080 mo o es de 9 ipos (P1 a P9) clasi icados en 3 amilias: SUV,
VAN y TRUCK ( e ejemplo en Figu a 1). Las demandas plani icadas po ipo
de mo o pa a un ho izon e de 8 u nos se mues an en la Tabla 1. Conside ando
un con ex o de ab icación JIT, se debe de e mina un plan Heijunka p ese an-
do el mix de p oducción a lo la go del ho izon e y man eniendo cons an e el
olumen dia io de p oducción.
3 Alexande Hamil on (1755-1824) ue el p ime sec e a io del eso o y ayudan e del p esiden e
Geo ge Washing on de los en onces eme gen es EEUU. En el p oblema del epa o de pode
en e es ados, la p opues a de Hamil on consis ió en asigna a cada es ado: p ime o, la pa e
en e a de su cuo a (p opo cional al núme o de habi an es) y, después, epa i de uno en uno
los escaños no epa idos siguiendo el o den de mayo a meno de la pa e decimal de su cuo a.
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secuenciación HEIJUNKA con mé odos di iso es elec o ales
4

Ejemplo 1:
En una línea de modelos mix os (L1) se deben ensambla , du an e 8 u nos de abajo,
1080 mo o es de 9 ipos (P1 a P9) clasi icados en 3 amilias: SUV, VAN y TRUCK ( e
ejemplo en Figu a 1). Las demandas plani icadas po ipo de mo o pa a un ho izon e de
8 u nos se mues an en la Tabla 1. Conside ando un con ex o de ab icación JIT, se debe
de e mina un plan Heijunka p ese ando el mix de p oducción a lo la go del ho izon e y
man eniendo cons an e el olumen dia io de p oducción.

Figu a 1. Ca ac e ís icas p oduc o-p oceso: (i) 747 piezas y 330 e e encias ꞏ (ii) 140 ope aciones de
mon aje ꞏ (iii) 42 ope a ios pa a un u no de 135 mo o es ꞏ (i ) 9 ipos de mo o es de 3 amilias: SUV (p1
a p3), u gone as (p4, p5) y camiones MT (p6 a p9) ꞏ ( ) Tu no e ec i o 6h 45’ y ciclo de 3’.
Mo o P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 To al
Demanda (8T) 12 12 25 37 61 98 160 258 417 1080
Tabla 1. Demanda de mo o es po ipo con un ho izon e de 8 u nos de abajo en la Línea de p oducción.
In o malmen e, el p oblema consis e en de e mina 72 núme os en e os y coloca los en
una abla, a modo de sudoku ( e Tabla 2), de mane a que po ilas sumen las demandas

3 Alexande Hamil on (1755-1824) ue el p ime sec e a io del eso o y ayudan e del p esiden e Geo ge
Washing on de los en onces eme gen es EEUU. En el p oblema del epa o de pode en e es ados, la
p opues a de Hamil on consis ió en asigna a cada es ado: p ime o, la pa e en e a de su cuo a (p opo cional
al núme o de habi an es) y, después, epa i de uno en uno los escaños no epa idos siguiendo el o den de
mayo a meno de la pa e decimal de su cuo a.
Figu a 1. Ca ac e ís icas p oduc o-p oceso: (i) 747 piezas y 330 e e encias (ii)
140 ope aciones de mon aje · (iii) 42 ope a ios pa a un u no de 135 mo o es · (i )
9 ipos de mo o es de 3 amilias: SUV (p1 a p3), u gone as (p4, p5) y camiones MT
(p6 a p9) ( ) Tu no e ec i o 6h 45’ y ciclo de 3’.
Mo o P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 To al
Demanda (8T) 12 12 25 37 61 98 160 258 417 1080
Tabla 1. Demanda de mo o es po ipo con un ho izon e de 8 u nos de abajo
en la Línea de p oducción.
In o malmen e, el p oblema consis e en de e mina 72 núme os en e os y
coloca los en una abla, a modo de sudoku ( e Tabla 2), de mane a que po
ilas sumen las demandas de los p oduc os (Tabla 1), y po columnas sumen
la capacidad de p oducción de un u no de abajo (135 mo o es); además, los
alo es po ilas deben se lo más pa ecidos posible.
Plan H.1 Plan illa sudoku pa a cons ui el plan H.1 - Heijunka (Qi, )
Mo o /Tu no 1 2 3 4 5 6 7 8 To al
P1 12
P2 12
P3 25
P4 37
P5 61
Con …
83
Joaquín Bau is a Valhondo
Plan H.1 Plan illa sudoku pa a cons ui el plan H.1 - Heijunka (Qi, )
Mo o /Tu no 1 2 3 4 5 6 7 8 To al
P6 98
P7 160
P8 258
P9 417
To al 135 135 135 135 135 135 135 135 1080
Tabla 2. Ejemplo de sudoku pa a cons ui un plan Heijunka con 9 ilas que
co esponden a ipos de mo o (P1 a P9) y 8 columnas que co esponden a
u nos de abajo ( = 1,…,8).
La aguedad de la exp esión “los alo es po ilas deben se lo más pa eci-
dos posible” deja abie a la posibilidad de que exis a más de una solución. Un
plan Heijunka posible pa a el Ejemplo 1 es el que se mues a en la Tabla 3.
Plan H.1 Plan de p oducción po u nos de abajo:
Mo o /Tu no 1 2 3 4 5 6 7 8 To al
P1 2121212112
P2 1212121212
P3 3334333325
P4 5455454537
P5 8787887861
P6 12 13 12 12 12 12 13 12 98
P7 20 20 20 20 20 20 20 20 160
P8 32 33 32 32 32 32 33 32 258
P9 52 52 52 52 53 52 52 52 417
To al 135 135 135 135 135 135 135 135 1080
Tabla 3. Plan Heijunka 1: P oducción de cada ipo de mo o (P1 a P9)
en cada u no de abajo ( = 1,…,8) del ho izon e de plani icación. P oducciones
o ales po u no ( ila “To al”).
Pa a halla una solución del p oblema, se puede ecu i al an eo po p ueba
y e o en hoja de cálculo, ensayando con alo es en e os en la Tabla 2 has a
consegui que odos los núme os cuad en en el sudoku. Ob iamen e, es a no es
la o ma más ca esiana pa a esol e el p oblema, así que, después de algunas
de iniciones p e ias, u iliza emos la p og amación ma emá ica pa a o maliza
el p oblema que nos ocupa.
90
secuenciación HEIJUNKA con mé odos di iso es elec o ales
PM-Di iso es:
10
.
Los mé odos di iso es clásicos siguen el p incipio “una pe sona, un o o”, haciendo una
in e p e ación sob e la condición de que los alo es � (escaños asignados a la ue za 𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀) sean lo más pa ecidos posible a sus co espondien es cuo as 𝑞𝑞�, cuando se consigue
una asignación al que el alo máximo de los cocien es 𝑞𝑞�/𝑑𝑑�𝑥𝑥��adop a el alo mínimo.
Se a a po an o de un p oblema de op imización minimax con a iables en e as, al
como se ep esen a en el siguien e p og ama ma emá ico.
PM-Di iso es:
(6)
Suje o a:
(7)
(8)
Donde:
𝑀𝑀Conjun o de ue zas polí icas (comunidades, pa idos polí icos, e c.).
𝑚𝑚Núme o de ue zas polí icas del conjun o 𝑀𝑀.
𝑞𝑞�Cuo a co espondien e a la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀: 𝑞𝑞�����
��∀𝑖𝑖�𝑥
𝑣𝑣�Núme o de pe sonas ep esen adas po la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀, 𝑖𝑖�1,𝑥𝑥,𝑚𝑚
𝑉𝑉Núme o de pe sonas ep esen adas po odas las ue zas: 𝑉𝑉�∑𝑣𝑣�
�
���
ℎNúme o de escaños de la Cáma a.
𝑥𝑥�Núme o de escaños asignados a la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀.
𝑑𝑑�𝑥𝑥��Di iso asociado a la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀. Es una unción eal de inida sob e
los escaños asignados 𝑥𝑥��0,1,2,…,ℎ�, cumpliéndose la condición: 𝑑𝑑�𝑥𝑥���
𝑑𝑑�𝑥𝑥��1�𝑥En los mé odos clásicos, 𝑑𝑑�𝑥𝑥��adop a alo es eales que cumplen:
𝑥𝑥��𝑑𝑑�𝑥𝑥���𝑥𝑥
��1,∀𝑖𝑖 𝑖 𝑀𝑀, 𝑥𝑥��0,1,…,ℎ.
En el modelo PM-Di iso es, la igualdad (7) ue za el epa o de los ℎescaños de la cáma a
en e odas las ue zas, y las condiciones (8) es ablecen la in eg idad no nega i a de las
(6)
Suje o a:
10
.
Los mé odos di iso es clásicos siguen el p incipio “una pe sona, un o o”, haciendo una
in e p e ación sob e la condición de que los alo es 𝑥𝑥� (escaños asignados a la ue za 𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀) sean lo más pa ecidos posible a sus co espondien es cuo as 𝑞𝑞�, cuando se consigue
una asignación al que el alo máximo de los cocien es 𝑞𝑞�/𝑑𝑑�𝑥𝑥��adop a el alo mínimo.
Se a a po an o de un p oblema de op imización minimax con a iables en e as, al
como se ep esen a en el siguien e p og ama ma emá ico.
PM-Di iso es:
(6)
Suje o a:
(7)
(8)
Donde:
𝑀𝑀Conjun o de ue zas polí icas (comunidades, pa idos polí icos, e c.).
𝑚𝑚Núme o de ue zas polí icas del conjun o 𝑀𝑀.
𝑞𝑞�Cuo a co espondien e a la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀: 𝑞𝑞�����
��∀𝑖𝑖�𝑥
𝑣𝑣�Núme o de pe sonas ep esen adas po la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀, 𝑖𝑖�1,𝑥𝑥,𝑚𝑚
𝑉𝑉Núme o de pe sonas ep esen adas po odas las ue zas: 𝑉𝑉�∑𝑣𝑣�
�
���
ℎNúme o de escaños de la Cáma a.
𝑥𝑥�Núme o de escaños asignados a la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀.
𝑑𝑑�𝑥𝑥��Di iso asociado a la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀. Es una unción eal de inida sob e
los escaños asignados 𝑥𝑥��0,1,2,…,ℎ�, cumpliéndose la condición: 𝑑𝑑�𝑥𝑥���
𝑑𝑑�𝑥𝑥��1�𝑥En los mé odos clásicos, 𝑑𝑑�𝑥𝑥��adop a alo es eales que cumplen:
𝑥𝑥��𝑑𝑑�𝑥𝑥���𝑥𝑥
��1,∀𝑖𝑖 𝑖 𝑀𝑀, 𝑥𝑥��0,1,…,ℎ.
En el modelo PM-Di iso es, la igualdad (7) ue za el epa o de los ℎescaños de la cáma a
en e odas las ue zas, y las condiciones (8) es ablecen la in eg idad no nega i a de las
(7)
10
.
Los mé odos di iso es clásicos siguen el p incipio “una pe sona, un o o”, haciendo una
in e p e ación sob e la condición de que los alo es 𝑥𝑥� (escaños asignados a la ue za 𝑖𝑖𝑖
𝑀𝑀) sean lo más pa ecidos posible a sus co espondien es cuo as 𝑞𝑞�, cuando se consigue
una asignación al que el alo máximo de los cocien es 𝑞𝑞�/𝑑𝑑�𝑥𝑥��adop a el alo mínimo.
Se a a po an o de un p oblema de op imización minimax con a iables en e as, al
como se ep esen a en el siguien e p og ama ma emá ico.
PM-Di iso es:
(6)
Suje o a:
(7)
(8)
Donde:
𝑀𝑀Conjun o de ue zas polí icas (comunidades, pa idos polí icos, e c.).
𝑚𝑚Núme o de ue zas polí icas del conjun o 𝑀𝑀.
𝑞𝑞�Cuo a co espondien e a la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀: 𝑞𝑞�����
��∀𝑖𝑖�𝑥
𝑣𝑣�Núme o de pe sonas ep esen adas po la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀, 𝑖𝑖�1,𝑥𝑥,𝑚𝑚
𝑉𝑉Núme o de pe sonas ep esen adas po odas las ue zas: 𝑉𝑉�∑𝑣𝑣�
�
���
ℎNúme o de escaños de la Cáma a.
𝑥𝑥�Núme o de escaños asignados a la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀.
𝑑𝑑�𝑥𝑥��Di iso asociado a la ue za polí ica 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀. Es una unción eal de inida sob e
los escaños asignados 𝑥𝑥��0,1,2,…,ℎ�, cumpliéndose la condición: 𝑑𝑑�𝑥𝑥���
𝑑𝑑�𝑥𝑥��1�𝑥En los mé odos clásicos, 𝑑𝑑�𝑥𝑥��adop a alo es eales que cumplen:
𝑥𝑥��𝑑𝑑�𝑥𝑥���𝑥𝑥
��1,∀𝑖𝑖 𝑖 𝑀𝑀, 𝑥𝑥��0,1,…,ℎ.
En el modelo PM-Di iso es, la igualdad (7) ue za el epa o de los ℎescaños de la cáma a
en e odas las ue zas, y las condiciones (8) es ablecen la in eg idad no nega i a de las
(8)
Donde:
MConjun o de ue zas polí icas (comunidades, pa idos polí icos,
e c.).
mNúme o de ue zas polí icas del conjun o M.
qiCuo a co espondien e a la ue za polí ica i ∈ M: qi = (∀i).
iNúme o de pe sonas ep esen adas po la ue za polí ica i ∈ M,
i = 1,..,m
VNúme o de pe sonas ep esen adas po odas las ue zas: V = i
hNúme o de escaños de la Cáma a.
xiNúme o de escaños asignados a la ue za polí ica i ∈ M.
d (xi)
Di iso asociado a la ue za polí ica i ∈ M. Es una unción eal de-
inida sob e los escaños asignados xi (0,1,2,…,h), cumpliéndose la
condición: d (xi ) < d (xi + 1) En los mé odos clásicos, d (xi ) adop a
alo es eales que cumplen: xi ≤ d (xi) ≤ xi + 1, ∀i ∈ M, xi = 0,1…, h.
En el modelo PM-Di iso es, la igualdad (7) ue za el epa o de los h esca-
ños de la cáma a en e odas las ue zas, y las condiciones (8) es ablecen la in e-
g idad no nega i a de las a iables xi asociadas al núme o de escaños asignados
a cada ue za. Po su pa e, la unción obje i o (6) ep esen a la minimización
del máximo de los cocien es qi /d(xi) o, al e na i amen e, la minimización de
los cocien es i/ d (xi).
Pa a ob ene una solución óp ima del p oblema, bas a con aplica el algo i -
mo siguien e:

91
Joaquín Bau is a Valhondo
Algo i mo A2: Mé odo de los Di iso es
Paso 1 Hace xi = 0 ∀ i ∈ M. Pone a ce o el con ado de epa o de escaños: k = 0 .
Paso 2: Calcula las cuo as de cada ue za polí ica: qi = (h × i) ⁄ V (∀i ∈ M).
Paso 3: Calcula los cocien es: ci = qi /d (xi ) (∀i ∈ M). Si d (xi ) = 0, Hace ci → ∞ (po
ejemplo, ci = 1012)
Paso 4: De e mina la ue za polí ica con mayo cocien e: i* = a gmaxi∈M (ci)
Paso 5: Asigna escaño a la ue za i*: Hace xi* = xi* + 1. Hace . Ac ualiza el con ado
de escaños: k = k +1 .
Paso 6 Tes de inalización: Si k ≤ h, I a Paso 3; Si no, Finaliza .
Nó ese que A2 es en ealidad una amilia de algo i mos compues a po in i-
ni os mé odos. Ob iamen e, pa a aplica un mé odo di iso conc e o es necesa-
io de ini las unciones d (xi) asociadas a las ue zas polí icas i ∈ M .
En e los in ini os mé odos di iso es (i.e. xi ≤ d (xi) ≤ xi + 1,∀i ∈ M, xi =
0,1,…,h), se mues an en la Tabla 9 aquellos casos pa icula es que han enido es-
pecial ele ancia his ó ica en el p oblema del epa o p opo cional o ienen en la
ac ualidad su aplicabilidad en los sis emas elec o ales de los países occiden ales.
Nomb e
Mé odo
Di iso d (xi)
xi = 0,1, …, hSucesión de di iso es P opiedad
Cuo a
Adams xi0 1 2 3 4 … Supe io
Dean xi (xi + 1) / (xi + 0,5) 0 1,33 2,40 3,43 …
Hill 0 1,41 2,45 3,46 …
Webs e 5xi + 0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 … Ce cano
Je e son6xi + 11 2 3 4 5 … In e io
Belga (xi + 2) / 2 1 1,5 2 2,5 3 …
Sain e-Laguë 2xi + 11 3 5 7 9 … Ce cano
Sain e-LaguëM(10xi + 5) / 7 0,71 2,14 3,57 5 … Ce cano
Tabla 9. Mé odos clásicos (A, D, H, W, J) y o os mé odos (B, SL, SLM).
La columna Di iso d (xi) ecoge las ó mulas que se aplican en el Algo i mo A2:
Mé odo de los Di iso es.
5 El mé odo de Webs e equi ale en o denación a los mé odos de Sain e-Laguë (genuino y mo-
di icado).
6 El mé odo de Je e son se conoce ambién con el nomb e ley de D’Hond . Se aplica en España,
Suiza, Aus ia, Bélgica, C oacia, Dinama ca, Eslo enia, Es onia, Finlandia, F ancia, Holanda,
Hung ía, Islandia, Po ugal, Reino Unido y República Checa.
92
secuenciación HEIJUNKA con mé odos di iso es elec o ales
A di e encia con el mé odo de Hamil on, odos los mé odos di iso es son
monó onos en cuan o a la asignación de escaños. Es o signi ica que odo p oce-
dimien o que cumpla las p opiedades gene ales de los mé odos di iso es e i a-
á la pa adoja de Alabama y la pa adoja de los o os.
Po o a pa e, Hamil on cumple la p opiedad cuo a (⌊qi⌋ ≤ xi ≤ ⌈qi⌉ ∀i ∈ M),
mien as que Adams solo cumple la p opiedad cuo a supe io (xi ≤ ⌈qi⌉ ∀i ∈
M), Je e son (ley de D’Hond ) cumple la p opiedad cuo a in e io (⌊qi⌋ ≤ xi ∀i
∈ M) y Webs e y mé odos de Sain e-Laguë o ecen soluciones ce canas a las
que cumplen la p opiedad cuo a. En la Tabla 10 se mues a un esumen del
compo amien o de los mé odos expues os en e a 4 p opiedades deseables en
el p oblema de epa o p opo cional: (i) cuo a, (ii) mono onía en escaños, (iii)
mono onía en o os y (i ) homogeneidad.
Nomb e Mé odo Cuo a Mono onía
escaños
Mono onía
o os Homogeneidad
Hamil on Ve i ica No e i ica No e i ica Ve i ica
Adams Supe io Ve i ica Ve i ica Ve i ica
Dean No e i ica Ve i ica Ve i ica Ve i ica
Hill No e i ica Ve i ica Ve i ica Ve i ica
Webs e Ce cano Ve i ica Ve i ica Ve i ica
Je e son In e io Ve i ica Ve i ica Ve i ica
Belga No e i ica Ve i ica Ve i ica Ve i ica
Sain e-Laguë Ce cano Ve i ica Ve i ica Ve i ica
Sain e-LaguëMCe cano Ve i ica Ve i ica Ve i ica
Tabla 10. Ve i icación de p opiedades deseables7: Cuo a, Mono onía en escaños, Mo-
no onía en o os y Homogeneidad, po pa e de 9 mé odos de epa o p opo cional (H,
A, D, H, W, J, B, SL, SLM)
7 El Teo ema de Imposibilidad de Balinski y Young (1982) demues a que no exis e ningún c i-
e io de asignación que cumpla simul áneamen e las 4 p opiedades deseables pa a el epa o
p opo cional.
93
Joaquín Bau is a Valhondo
4. Mé odos de los Mul iplicado es en Ingenie ía Indus ial
Vol iendo a la Ingenie ía Indus ial, se puede in e p e a que Heijunka al-
canza su pun o ex emo con las secuencias egula es de ab icación, de o ma
que, as el cálculo de las can idades a ab ica de cada ipo de p oduc o pa a un
día o u no de p oducción, se es ablece una secuencia de ab icación lo más e-
gula posible. Es e p oceso se denomina alisado de la secuencia de p oducción
y al p oblema en cues ión, cuando a ec a solo a los ipos de p oduc o igno ando
el es o de a ibu os de ab icación (componen es, ca gas de abajo, e c.), se le
conoce con el nomb e del P oblema de la Va iación de las Tasas de P oducción
(PRV: P oduc Ra e Va ia ion P oblem).
Po ejemplo, pa a el u no 1 del plan Heijunka mos ado en la Tabla 8, el
p ime p oblema a esol e consis e en halla una secuencia de 135 mo o es de
9 ipos (P1 a P9) con un plan de demanda = (2, 1, 3, 5, 8, 12, 20, 32, 52), p o-
cediendo de mane a análoga con el es o de u nos de abajo (2 al 8). Po an o,
con la in o mación de la Tabla 8, la solución inal del p oblema de secuencia-
ción pa a el plan H.1 consis e en halla una secuencia global de ab icación de
1080 mo o es, compues a po 8 secuencias pa ciales de 135 mo o es cada una,
cub iendo así un ho izon e empo al de 8 u nos de abajo.
La p ime a in e p e ación del concep o “alisado de la secuencia de p oduc-
ción” nos lle a a unciones obje i o basadas en las disc epancias en e las can-
idades de cada p oduc o ab icadas has a un de e minado momen o (ciclo)
y las can idades ideales que, según las cuo as, debe ían es a consolidadas en
dicho momen o ( e ó mula (2)). Pe o, exis en o as o mas de in e p e a el
é mino “ egula idad”, an como e emos a con inuación.
En e ec o, la egula idad ambién se puede cuan i ica median e las disc e-
pancias en e los ciclos de en ada (o salida) de los p oduc os en la línea de
p oducción y unos ciclos o echas ideales de en ada (o salida).
F en e a es a idea, podemos conside a que una secuencia es egula si en e
cualquie pa consecu i o de unidades de un mismo ipo de p oduc o exis e una
sepa ación, medida en ciclos, “lo más simila posible”. Po an o, una secuencia
se puede conside a egula si exis e una pe iodicidad en la en ada (o salida)
de unidades de cada ipo de p oduc o en la línea de p oducción, excep uando el
caso en que un p oduc o enga demanda uni a ia.
94
secuenciación HEIJUNKA con mé odos di iso es elec o ales
De e mina la sepa ación ideal en e unidades de un mismo ipo de p o-
duc o es elemen al a pa i del núme o o al de unidades de la secuencia, T =
D , y el ec o plan de demanda . En e ec o, dado un ipo de p oduc o i ∈ I,
su demanda di y el ho izon e de la secuencia T, el pe íodo en ciclos,Ti, que
debe anscu i en e la en ada a la línea de dos unidades consecu i as de
i ∈ I, así como la ecuencia de en ada co espondien e i se calculan de la
o ma siguien e:
13

(ciclo) y las can idades ideales que, según
las cuo as, debe ían es a consolidadas en dicho momen o ( e ó mula (2)). Pe o, exis en
o as o mas de in e p e a el é mino “ egula idad”, an como e emos a con inuación.
En e ec o, la egula idad ambién se puede cuan i ica median e las disc epancias en e
los ciclos de en ada (o salida) de los p oduc os en la línea de p oducción y unos ciclos o
echas ideales de en ada (o salida).
F en e a es a idea, podemos conside a que una secuencia es egula si en e cualquie pa
consecu i o de unidades de un mismo ipo de p oduc o exis e una sepa ación, medida en
ciclos, “lo más simila posible”. Po an o, una secuencia se puede conside a egula si
exis e una pe iodicidad en la en ada (o salida) de unidades de cada ipo de p oduc o en
la línea de p oducción, excep uando el caso en que un p oduc o enga demanda uni a ia.
De e mina la sepa ación ideal en e unidades de un mismo ipo de p oduc o es elemen al
a pa i del núme o o al de unidades de la secuencia, 𝑇𝑇��, y el ec o plan de demanda
𝑑𝑑
. En e ec o, dado un ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖, su demanda 𝑑𝑑� y el ho izon e de la secuencia
𝑇𝑇, el pe íodo en ciclos, 𝑇𝑇�, que debe anscu i en e la en ada a la línea de dos unidades
consecu i as de 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖, así como la ecuencia de en ada co espondien e 𝜈𝜈� se calculan
de la o ma siguien e:
(9)
En la Figu a 2, se ilus a la sepa ación ideal en e unidades de un mismo ipo de p oduc o,
así como una posible localización en la secuencia de las unidades del p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖.

Figu a 2. Localización de unidades de un mismo ipo en la secuencia pa a el en oque Pe iodicidad po
echas con desplazamien o de unidades. La sepa ación en e unidades consecu i as es igual a 1/𝜆𝜆�.
Exis en múl iples opciones pa a de e mina an o las echas y como los ciclos idóneos de
ab icación; en e dichas opciones son álidas las 5 siguien es:
(1) Fechas mínimas de inicio: co esponden al a ance de la p oducción, po lo que la
p ime a unidad de un ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 en a á a la línea en el ins an e 0 (p ime
ciclo: 𝑡𝑡�1). Las echas idóneas de ab icación de odas las unidades de un mismo
ipo de p oduc o se de e minan según (10):
(9)
En la Figu a 2, se ilus a la sepa ación ideal en e unidades de un mismo ipo
de p oduc o, así como una posible localización en la secuencia de las unidades
del p oduc o i ∈ I.
13

secuencia global de ab icación de 1080 mo o es, compues a po 8 secuencias pa ciales
de 135 mo o es cada una, cub iendo así un ho izon e empo al de 8 u nos de abajo.
La p ime a in e p e ación del concep o “alisado de la secuencia de p oducción” nos lle a
a unciones obje i o basadas en las disc epancias en e las can idades de cada p oduc o
ab icadas has a un de e minado momen o 𝑡𝑡 (ciclo) y las can idades ideales que, según
las cuo as, debe ían es a consolidadas en dicho momen o ( e ó mula (2)). Pe o, exis en
o as o mas de in e p e a el é mino “ egula idad”, an como e emos a con inuación.
En e ec o, la egula idad ambién se puede cuan i ica median e las disc epancias en e
los ciclos de en ada (o salida) de los p oduc os en la línea de p oducción y unos ciclos o
echas ideales de en ada (o salida).
F en e a es a idea, podemos conside a que una secuencia es egula si en e cualquie pa
consecu i o de unidades de un mismo ipo de p oduc o exis e una sepa ación, medida en
ciclos, “lo más simila posible”. Po an o, una secuencia se puede conside a egula si
exis e una pe iodicidad en la en ada (o salida) de unidades de cada ipo de p oduc o en
la línea de p oducción, excep uando el caso en que un p oduc o enga demanda uni a ia.
De e mina la sepa ación ideal en e unidades de un mismo ipo de p oduc o es elemen al
a pa i del núme o o al de unidades de la secuencia, 𝑇𝑇��, y el ec o plan de demanda
𝑑𝑑
. En e ec o, dado un ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖, su demanda 𝑑𝑑� y el ho izon e de la secuencia
𝑇𝑇, el pe íodo en ciclos, 𝑇𝑇�, que debe anscu i en e la en ada a la línea de dos unidades
consecu i as de 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖, así como la ecuencia de en ada co espondien e 𝜈𝜈� se calculan
de la o ma siguien e:
𝑇𝑇��𝑇𝑇
𝑑𝑑��1
𝜆𝜆�;𝜈𝜈
��𝑑𝑑�
𝑇𝑇�𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (9)
En la Figu a 2, se ilus a la sepa ación ideal en e unidades de un mismo ipo de p oduc o,
así como una posible localización en la secuencia de las unidades del p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖.

Figu a 2. Localización de unidades de un mismo ipo en la secuencia pa a el en oque Pe iodicidad po
echas con desplazamien o de unidades. La sepa ación en e unidades consecu i as es igual a 1/𝜆𝜆
�
.
Exis en múl iples opciones pa a de e mina an o las echas y como los ciclos idóneos de
ab icación; en e dichas opciones son álidas las 5 siguien es:
(1) Fechas mínimas de inicio: co esponden al a ance de la p oducción, po lo que la
p ime a unidad de un ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 en a á a la línea en el ins an e 0 (p ime
ciclo: 𝑡𝑡�1). Las echas idóneas de ab icación de odas las unidades de un mismo
ipo de p oduc o se de e minan según (10):
Figu a 2. Localización de unidades de un mismo ipo en la secuencia pa a el en oque
Pe iodicidad po echas con desplazamien o de unidades. La sepa ación en e unida-
des consecu i as es igual a 1/λi.
Exis en múl iples opciones pa a de e mina an o las echas y como los ci-
clos idóneos de ab icación; en e dichas opciones son álidas las 5 siguien es:
(1) Fechas mínimas de inicio: co esponden al a ance de la p oducción, po
lo que la p ime a unidad de un ipo de p oduc o i ∈ I en a á a la línea en
el ins an e 0 (p ime ciclo: = 1). Las echas idóneas de ab icación de
odas las unidades de un mismo ipo de p oduc o se de e minan según
(10):
(10)
Donde:
𝑢𝑢� Núme o de o den de las unidades de ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1,��,�� (1ª, 2ª,…, e c.)
𝑓𝑓
�� Fecha de ab icación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖)
(2) Fechas máximas de inalización: co esponden al e aso de la p oducción, po lo que
la úl ima unidad de un ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sale de la línea de p oducción en el
ins an e 𝑇𝑇 (úl imo ciclo: ��𝑇𝑇). En es e caso, las echas idóneas de ab icación de
odas las unidades de un mismo ipo se de e minan según (11):
(10)
95
Joaquín Bau is a Valhondo
Donde:
uiNúme o de o den de las unidades de ipo i ∈ I: ui = 1,..,di (1ª, 2ª,…, e c.)
uiFecha de ab icación idónea de la unidad ui (i ∈ I )
(2) Fechas máximas de inalización: co esponden al e aso de la p oduc-
ción, po lo que la úl ima unidad de un ipo de p oduc o i ∈ I sale de la
línea de p oducción en el ins an e T (úl imo ciclo: = T ). En es e caso,
las echas idóneas de ab icación de odas las unidades de un mismo
ipo se de e minan según (11):
𝑓𝑓
��≡�𝑢𝑢��1��𝑇𝑇
��𝑢𝑢��1
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (10)
Donde:
𝑢𝑢� Núme o de o den de las unidades de ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1,��,�� (1ª, 2ª,…, e c.)
𝑓𝑓
�� Fecha de ab icación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖)
(2) Fechas máximas de inalización: co esponden al e aso de la p oducción, po lo que
la úl ima unidad de un ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sale de la línea de p oducción en el
ins an e 𝑇𝑇 (úl imo ciclo: ��𝑇𝑇). En es e caso, las echas idóneas de ab icación de
odas las unidades de un mismo ipo se de e minan según (11):
(11)
(3) Fechas a i mé icas de ab icación: co esponden a las medias a i mé icas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Las
echas idóneas de ab icación se de e minan según (12):
𝑓𝑓
��≡�𝑢𝑢���,���𝑇𝑇��𝑢𝑢���,�
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (12)
(4) Fechas geomé icas de ab icación: co esponden a las medias geomé icas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Los
ins an es idóneos de ab icación se de e minan según (13):
𝑓𝑓
��≡�𝑢𝑢��𝑢𝑢��1��𝑇𝑇
���𝑢𝑢��𝑢𝑢��1�
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (13)
(5) Fechas a mónicas de ab icación: co esponden a las medias a mónicas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Los
ins an es idóneos de ab icación se de e minan según (14):
𝑓𝑓
��≡𝑢𝑢��𝑢𝑢��1�
𝑢𝑢���,� �𝑇𝑇
��𝑢𝑢��𝑢𝑢��1�
𝑢𝑢���,� �1
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (14)
Nó ese que las exp esiones pa a el cálculo de ins an es idóneos ( e ó mulas (10) a (14))
admi en una gene alización inmedia a.
En e ec o, en odas ellas apa ecen el alo del mix de p oducción 𝜆𝜆� como di iso , o el
pe íodo 𝑇𝑇� mul iplicando, y, además, un ac o mul iplica i o, al que llama emos 𝑏𝑏�𝑢𝑢��,
que depende del núme o de o den de la unidad �𝑢𝑢��.
Po consiguien e, el cálculo de echas y ciclos idóneos de ab icación, pa a el caso de
pe iodicidad po echas con desplazamien o de unidades, se puede gene aliza así:
𝑓𝑓
��≡𝑏𝑏�𝑢𝑢���𝑇𝑇
��𝑏𝑏�𝑢𝑢��
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (15)
(11)
(3) Fechas a i mé icas de ab icación: co esponden a las medias a i mé-
icas en e la echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización
pa a cada alo de ui. Las echas idóneas de ab icación se de e minan
según (12):
𝑓𝑓
��≡�𝑢𝑢��1��𝑇𝑇
��𝑢𝑢��1
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (10)
Donde:
𝑢𝑢� Núme o de o den de las unidades de ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1,��,�� (1ª, 2ª,…, e c.)
𝑓𝑓
�� Fecha de ab icación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖)
(2) Fechas máximas de inalización: co esponden al e aso de la p oducción, po lo que
la úl ima unidad de un ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sale de la línea de p oducción en el
ins an e 𝑇𝑇 (úl imo ciclo: ��𝑇𝑇). En es e caso, las echas idóneas de ab icación de
odas las unidades de un mismo ipo se de e minan según (11):
𝑓𝑓
��≡𝑢𝑢��𝑇𝑇
��𝑢𝑢�
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (11)
(3) Fechas a i mé icas de ab icación: co esponden a las medias a i mé icas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Las
echas idóneas de ab icación se de e minan según (12):
(12)
(4) Fechas geomé icas de ab icación: co esponden a las medias geomé icas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Los
ins an es idóneos de ab icación se de e minan según (13):
𝑓𝑓
��≡�𝑢𝑢��𝑢𝑢��1��𝑇𝑇
���𝑢𝑢��𝑢𝑢��1�
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (13)
(5) Fechas a mónicas de ab icación: co esponden a las medias a mónicas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Los
ins an es idóneos de ab icación se de e minan según (14):
𝑓𝑓
��≡𝑢𝑢��𝑢𝑢��1�
𝑢𝑢���,� �𝑇𝑇
��𝑢𝑢��𝑢𝑢��1�
𝑢𝑢���,� �1
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (14)
Nó ese que las exp esiones pa a el cálculo de ins an es idóneos ( e ó mulas (10) a (14))
admi en una gene alización inmedia a.
En e ec o, en odas ellas apa ecen el alo del mix de p oducción 𝜆𝜆� como di iso , o el
pe íodo 𝑇𝑇� mul iplicando, y, además, un ac o mul iplica i o, al que llama emos 𝑏𝑏�𝑢𝑢��,
que depende del núme o de o den de la unidad �𝑢𝑢��.
Po consiguien e, el cálculo de echas y ciclos idóneos de ab icación, pa a el caso de
pe iodicidad po echas con desplazamien o de unidades, se puede gene aliza así:
𝑓𝑓
��≡𝑏𝑏�𝑢𝑢���𝑇𝑇
��𝑏𝑏�𝑢𝑢��
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (15)
(12)
(4) Fechas geomé icas de ab icación: co esponden a las medias geomé-
icas en e la echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización
pa a cada alo de ui. Los ins an es idóneos de ab icación se de e mi-
nan según (13):
𝑓𝑓
��≡�𝑢𝑢��1��𝑇𝑇
��𝑢𝑢��1
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (10)
Donde:
𝑢𝑢� Núme o de o den de las unidades de ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1,��,�� (1ª, 2ª,…, e c.)
𝑓𝑓
�� Fecha de ab icación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖)
(2) Fechas máximas de inalización: co esponden al e aso de la p oducción, po lo que
la úl ima unidad de un ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sale de la línea de p oducción en el
ins an e 𝑇𝑇 (úl imo ciclo: ��𝑇𝑇). En es e caso, las echas idóneas de ab icación de
odas las unidades de un mismo ipo se de e minan según (11):
𝑓𝑓
��≡𝑢𝑢��𝑇𝑇
��𝑢𝑢�
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (11)
(3) Fechas a i mé icas de ab icación: co esponden a las medias a i mé icas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Las
echas idóneas de ab icación se de e minan según (12):
𝑓𝑓
��≡�𝑢𝑢���,���𝑇𝑇��𝑢𝑢���,�
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (12)
(4) Fechas geomé icas de ab icación: co esponden a las medias geomé icas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Los
ins an es idóneos de ab icación se de e minan según (13):
(13)
(5) Fechas a mónicas de ab icación: co esponden a las medias a mónicas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Los
ins an es idóneos de ab icación se de e minan según (14):
𝑓𝑓
��≡𝑢𝑢��𝑢𝑢��1�
𝑢𝑢���,� �𝑇𝑇
��𝑢𝑢��𝑢𝑢��1�
𝑢𝑢���,� �1
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (14)
Nó ese que las exp esiones pa a el cálculo de ins an es idóneos ( e ó mulas (10) a (14))
admi en una gene alización inmedia a.
En e ec o, en odas ellas apa ecen el alo del mix de p oducción 𝜆𝜆� como di iso , o el
pe íodo 𝑇𝑇� mul iplicando, y, además, un ac o mul iplica i o, al que llama emos 𝑏𝑏�𝑢𝑢��,
que depende del núme o de o den de la unidad �𝑢𝑢��.
Po consiguien e, el cálculo de echas y ciclos idóneos de ab icación, pa a el caso de
pe iodicidad po echas con desplazamien o de unidades, se puede gene aliza así:
𝑓𝑓
��≡𝑏𝑏�𝑢𝑢���𝑇𝑇
��𝑏𝑏�𝑢𝑢��
𝜆𝜆∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (15)
(13)
(5) Fechas a mónicas de ab icación: co esponden a las medias a mónicas
en e la echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a
cada alo de ui. Los ins an es idóneos de ab icación se de e minan
según (14):
𝑓𝑓
��≡�𝑢𝑢�����𝑇𝑇
��𝑢𝑢���
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (10)
Donde:
𝑢𝑢� Núme o de o den de las unidades de ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢���,��,�� (1ª, 2ª,…, e c.)
𝑓𝑓
�� Fecha de ab icación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖)
(2) Fechas máximas de inalización: co esponden al e aso de la p oducción, po lo que
la úl ima unidad de un ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sale de la línea de p oducción en el
ins an e 𝑇𝑇 (úl imo ciclo: ��𝑇𝑇). En es e caso, las echas idóneas de ab icación de
odas las unidades de un mismo ipo se de e minan según (11):
𝑓𝑓
��≡𝑢𝑢��𝑇𝑇
��𝑢𝑢�
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (11)
(3) Fechas a i mé icas de ab icación: co esponden a las medias a i mé icas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Las
echas idóneas de ab icación se de e minan según (12):
𝑓𝑓
��≡�𝑢𝑢���,���𝑇𝑇��𝑢𝑢���,�
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (12)
(4) Fechas geomé icas de ab icación: co esponden a las medias geomé icas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Los
ins an es idóneos de ab icación se de e minan según (13):
𝑓𝑓
��≡�𝑢𝑢��𝑢𝑢�����𝑇𝑇
���𝑢𝑢��𝑢𝑢����
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (13)
(5) Fechas a mónicas de ab icación: co esponden a las medias a mónicas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Los
ins an es idóneos de ab icación se de e minan según (14):
(14)
Nó ese que las exp esiones pa a el cálculo de ins an es idóneos ( e ó mulas (10) a (14))
admi en una gene alización inmedia a.
En e ec o, en odas ellas apa ecen el alo del mix de p oducción 𝜆𝜆� como di iso , o el
pe íodo 𝑇𝑇� mul iplicando, y, además, un ac o mul iplica i o, al que llama emos 𝑏𝑏�𝑢𝑢��,
que depende del núme o de o den de la unidad �𝑢𝑢��.
Po consiguien e, el cálculo de echas y ciclos idóneos de ab icación, pa a el caso de
pe iodicidad po echas con desplazamien o de unidades, se puede gene aliza así:
(14)
Nó ese que las exp esiones pa a el cálculo de ins an es idóneos ( e ó mu-
las (10) a (14)) admi en una gene alización inmedia a.

96
secuenciación HEIJUNKA con mé odos di iso es elec o ales
En e ec o, en odas ellas apa ecen el alo del mix de p oducción λi como
di iso , o el pe íodo Ti mul iplicando, y, además, un ac o mul iplica i o, al
que llama emos b (ui), que depende del núme o de o den de la unidad .
Po consiguien e, el cálculo de echas y ciclos idóneos de ab icación, pa a
el caso de pe iodicidad po echas con desplazamien o de unidades, se puede
gene aliza así:
14

: co esponden a las medias a mónicas en e la
echa mínima de inicio y la echa máxima de inalización pa a cada alo de 𝑢𝑢�. Los
ins an es idóneos de ab icación se de e minan según (14):
𝑓𝑓
��≡𝑢𝑢��𝑢𝑢��1�
𝑢𝑢���,� �𝑇𝑇
��𝑢𝑢��𝑢𝑢��1�
𝑢𝑢���,� �1
𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (14)
Nó ese que las exp esiones pa a el cálculo de ins an es idóneos ( e ó mulas (10) a (14))
admi en una gene alización inmedia a.
En e ec o, en odas ellas apa ecen el alo del mix de p oducción 𝜆𝜆� como di iso , o el
pe íodo 𝑇𝑇� mul iplicando, y, además, un ac o mul iplica i o, al que llama emos 𝑏𝑏�𝑢𝑢��,
que depende del núme o de o den de la unidad �𝑢𝑢��.
Po consiguien e, el cálculo de echas y ciclos idóneos de ab icación, pa a el caso de
pe iodicidad po echas con desplazamien o de unidades, se puede gene aliza así:
(15)
(15)
Donde el mul iplicado b (ui) lo de inimos como una unción eal sob e los
núme os na u ales ui (1, 2,…,
d
i ) sa is aciendo dos condiciones: (i) mono onía
espec o a ui, es deci , b (ui – 1) < b (ui), y (ii) aco ación espec o a ui, es o es,
ui – 1 ≤ b (ui) ≤ ui.
Es a gene alización pe mi e dispone de in ini os mé odos de asignación de
las echas idóneas de ab icación, esul ando que cada uno de los mé odos es á
asociado a un c i e io mul iplica i o que se ca ac e iza po el mul iplicado .
Pa a ilus a la aplicación de las ó mulas (10) a (14), conside emos una
secuencia de 12 mo o es de 3 ipos (P1, P2 y P3) suje a a un plan de demanda
= (6,5,1) y un mix = (0,50; 0,42; 0,08). Los esul ados se mues an en la
Tabla 11.
i ∈ I ui min max med geo ha min max med geo ha
P1 1 0,0 2,0 1,0 0,0 0,0 1 2 1 1 1
2 2,0 4,0 3,0 2,8 2,7 24333
3 4,0 6,0 5,0 4,9 4,8 4 6 555
4 6,0 8,0 7,0 6,9 6,9 6 8 7 7 7
58,0 10,0 9,0 8,9 8,9 8 10 9 9 9
610,0 12,0 11,0 11,0 10,9 10 12 11 11 11
P2 1 0,0 2,4 1,2 0,0 0,0 1 3211
22,4 4,8 3,6 3,4 3,2 3 5444
3 4,8 7,2 6,0 5,9 5,8 58666
4 7,2 9,6 8,4 8,3 8,2 8 10 9 9 9
59,6 12,0 10,8 10,7 10,7 10 12 11 11 11
P3 1 0,0 12,0 6,0 0,0 0,0 1 12 61 1
Tabla 11. Fechas y ciclos idóneos de p oducción pa a Pe iodicidad po echas des-
plazando unidades. Fechas: mínima (min), máxima (max), media a i mé ica (med),
geomé ica (geo) y a mónica (ha ).
97
Joaquín Bau is a Valhondo
Los concep os Pe iodicidad ideal y Fechas idóneas de ab icación dan lu-
ga a una in e p e ación del p oblema de la a iación de las asas de p oducción
(PRV) algo dis in a a la co espondien e a su plan eo y o mulación o iginales.
En e ec o, el PRV puede e se como un p oblema de p og amación de ope-
aciones en una sola máquina asignando, a cada unidad de p oduc o, una echa
con ac ual de en ada (o salida) en la cadena de p oducción, con el p opósi o
de educi al mínimo los adelan os y los e asos en e las echas eales de
en ada (o salida) y las echas idóneas calculadas. Un p og ama ma emá ico
ep esen an e del p oblema es el que sigue.
PM-Heijunka-Fechas:
15

3 4,8 7,2 6,0 5,9 5,8 5 8 6 6 6
4 7,2 9,6 8,4 8,3 8,2 8 10 9 9 9
5 9,6 12,0 10,8 10,7 10,7 10 12 11 11 11
P3 1 0,0 12,0 6,0 0,0 0,0 1 12 6 1 1
Tabla 11. Fechas y ciclos idóneos de p oducción pa a Pe iodicidad po echas desplazando unidades.
Fechas: mínima (min), máxima (max), media a i mé ica (med), geomé ica (geo) y a mónica (ha ).
Los concep os Pe iodicidad ideal y Fechas idóneas de ab icación dan luga a una
in e p e ación del p oblema de la a iación de las asas de p oducción (PRV) algo dis in a
a la co espondien e a su plan eo y o mulación o iginales.
En e ec o, el PRV puede e se como un p oblema de p og amación de ope aciones en
una sola máquina asignando, a cada unidad de p oduc o, una echa con ac ual de en ada
(o salida) en la cadena de p oducción, con el p opósi o de educi al mínimo los adelan os
y los e asos en e las echas eales de en ada (o salida) y las echas idóneas calculadas.
Un p og ama ma emá ico ep esen an e del p oblema es el que sigue.
PM-Heijunka-Fechas:
(16)
Suje o a:
(16)
Suje o a:
(17)
(18)
(19)
Donde:
𝑢𝑢� Núme o de o den de las unidades de ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1𝐶��𝐶��.
𝑓𝑓
�� Fecha de ab icación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖)
ℱ Conjun o de echas de ab icación idóneas: �
𝑓𝑓
��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖��
𝐶𝐶�� Ciclo de ab icación o compleción eal de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖)
𝐶𝐶 Conjun o de ciclos de compleción eales: �𝐶𝐶��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖��
𝑥𝑥��𝐶� Va iable bina ia que adop a el alo 1 si la 𝑢𝑢-ésima unidad de p oduc o de
ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ocupa la posición 𝑡𝑡 �𝑡𝑡�1𝐶��𝐶�� de la secuencia, y ale 0 en caso
con a io. La elación en e la secuencia 𝜋𝜋
�

y las a iables 𝑥𝑥��𝐶� es: 𝑥𝑥��𝐶� �
1⟹𝜋𝜋�� 𝑖𝑖𝐶∀𝑢𝑢�∀𝑡𝑡.
En el modelo PM-Heijunka-Fechas, la unción obje i o (16) exp esa la minimización de
la suma de las des iaciones cuad á icas en e los ciclos de compleción eal �𝐶𝐶��� de las
unidades 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖), y las echas de ab icación idóneas (𝑓𝑓��� de dichas unidades. Las
igualdades (17) si en pa a de e mina los ciclos de compleción eal. Las es icciones
(18) ue zan la mono onía c ecien e de los ciclos de compleción en unción del núme o
de o den de las unidades de cada ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. Finalmen e, las condiciones (19)
es ablecen como bina ias las a iables 𝑥𝑥��𝐶�.
O a al e na i a a (16) como unción obje i o es la minimización de la suma de
des iaciones absolu as en e las echas idóneas de ab icación y los ciclos en los que
ealmen e se comple an las unidades en secuencia - e ó mula (20) -.
(17)
(17)
(18)
(19)
Donde:
𝑢𝑢� Núme o de o den de las unidades de ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1𝐶��𝐶��.
𝑓𝑓
�� Fecha de ab icación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖)
ℱ Conjun o de echas de ab icación idóneas: �
𝑓𝑓
��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖��
𝐶𝐶�� Ciclo de ab icación o compleción eal de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖)
𝐶𝐶 Conjun o de ciclos de compleción eales: �𝐶𝐶��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖��
𝑥𝑥��𝐶� Va iable bina ia que adop a el alo 1 si la 𝑢𝑢-ésima unidad de p oduc o de
ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ocupa la posición 𝑡𝑡 �𝑡𝑡�1𝐶��𝐶�� de la secuencia, y ale 0 en caso
con a io. La elación en e la secuencia 𝜋𝜋
�

y las a iables 𝑥𝑥��𝐶� es: 𝑥𝑥��𝐶� �
1⟹𝜋𝜋�� 𝑖𝑖𝐶∀𝑢𝑢�∀𝑡𝑡.
En el modelo PM-Heijunka-Fechas, la unción obje i o (16) exp esa la minimización de
la suma de las des iaciones cuad á icas en e los ciclos de compleción eal �𝐶𝐶��� de las
unidades 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖), y las echas de ab icación idóneas (𝑓𝑓��� de dichas unidades. Las
igualdades (17) si en pa a de e mina los ciclos de compleción eal. Las es icciones
(18) ue zan la mono onía c ecien e de los ciclos de compleción en unción del núme o
de o den de las unidades de cada ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. Finalmen e, las condiciones (19)
es ablecen como bina ias las a iables 𝑥𝑥��𝐶�.
O a al e na i a a (16) como unción obje i o es la minimización de la suma de
des iaciones absolu as en e las echas idóneas de ab icación y los ciclos en los que
ealmen e se comple an las unidades en secuencia - e ó mula (20) -.
(18)
(17)
(18)
(19)
Donde:
𝑢𝑢� Núme o de o den de las unidades de ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1𝐶��𝐶��.
𝑓𝑓
�� Fecha de ab icación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖)
ℱ Conjun o de echas de ab icación idóneas: �
𝑓𝑓
��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖��
𝐶𝐶�� Ciclo de ab icación o compleción eal de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖)
𝐶𝐶 Conjun o de ciclos de compleción eales: �𝐶𝐶��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖��
𝑥𝑥��𝐶� Va iable bina ia que adop a el alo 1 si la 𝑢𝑢-ésima unidad de p oduc o de
ipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ocupa la posición 𝑡𝑡 �𝑡𝑡�1𝐶��𝐶�� de la secuencia, y ale 0 en caso
con a io. La elación en e la secuencia 𝜋𝜋
�

y las a iables 𝑥𝑥��𝐶� es: 𝑥𝑥��𝐶� �
1⟹𝜋𝜋�� 𝑖𝑖𝐶∀𝑢𝑢�∀𝑡𝑡.
En el modelo PM-Heijunka-Fechas, la unción obje i o (16) exp esa la minimización de
la suma de las des iaciones cuad á icas en e los ciclos de compleción eal �𝐶𝐶��� de las
unidades 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖), y las echas de ab icación idóneas (𝑓𝑓��� de dichas unidades. Las
igualdades (17) si en pa a de e mina los ciclos de compleción eal. Las es icciones
(18) ue zan la mono onía c ecien e de los ciclos de compleción en unción del núme o
de o den de las unidades de cada ipo de p oduc o 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. Finalmen e, las condiciones (19)
es ablecen como bina ias las a iables 𝑥𝑥��𝐶�.
O a al e na i a a (16) como unción obje i o es la minimización de la suma de
des iaciones absolu as en e las echas idóneas de ab icación y los ciclos en los que
ealmen e se comple an las unidades en secuencia - e ó mula (20) -.
(19)
Donde:
uiNúme o de o den de las unidades de ipo i ∈ I: ui = 1,.., di.
uiFecha de ab icación idónea de la unidad ui (i ∈ I)
FConjun o de echas de ab icación idóneas: { ui: (ui = 1,…, di) ⋏
(i ∈ I)}
C
uiCiclo de ab icación o compleción eal de la unidad ui (i ∈ I)
C
Conjun o de ciclos de compleción eales: {
C
ui : (ui = 1 ,…, di) ⋏
(i ∈ I)}
98
secuenciación HEIJUNKA con mé odos di iso es elec o ales
xui,
Va iable bina ia que adop a el alo 1 si la u-ésima unidad de p o-
duc o de ipo i ∈ I ocupa la posición ( = 1,..,T) de la secuencia,
y ale 0 en caso con a io. La elación en e la secuencia y las
a iables xui, es: xui, = 1 ⟹ π = i,∀ui ∀ .
En el modelo PM-Heijunka-Fechas, la unción obje i o (16) exp esa la mi-
nimización de la suma de las des iaciones cuad á icas en e los ciclos de com-
pleción eal (
C
ui) de las unidades ui (i ∈ I), y las echas de ab icación idóneas
( ui) de dichas unidades. Las igualdades (17) si en pa a de e mina los ciclos
de compleción eal. Las es icciones (18) ue zan la mono onía c ecien e de
los ciclos de compleción en unción del núme o de o den de las unidades de
cada ipo de p oduc o i ∈ I. Finalmen e, las condiciones (19) es ablecen como
bina ias las a iables xui, .
O a al e na i a a (16) como unción obje i o es la minimización de la suma
de des iaciones absolu as en e las echas idóneas de ab icación y los ciclos en
los que ealmen e se comple an las unidades en secuencia - e ó mula (20) -.
16

(19)
Donde:
𝑢𝑢� Núme o de o den de las unidades de ipo 𝑖𝑖∈𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1,��,��.
𝑓𝑓
�� Fecha de ab icación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 ∈𝑖𝑖)
ℱ Conjun o de echas de ab icación idóneas: �
𝑓𝑓
��𝑖�𝑢𝑢��1,�,�����𝑖𝑖 ∈𝑖𝑖��
𝐶𝐶�� Ciclo de ab icación o compleción eal de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 ∈ 𝑖𝑖)
𝐶𝐶 Conjun o de ciclos de compleción eales: �𝐶𝐶��𝑖�𝑢𝑢��1,�,�����𝑖𝑖 ∈𝑖𝑖��
𝑥𝑥��,� Va iable bina ia que adop a el alo 1 si la 𝑢𝑢-ésima unidad de p oduc o de
ipo 𝑖𝑖∈𝑖𝑖 ocupa la posición 𝑡𝑡 �𝑡𝑡�1,��,�� de la secuencia, y ale 0 en caso
con a io. La elación en e la secuencia 𝜋𝜋
�

y las a iables 𝑥𝑥��,� es: 𝑥𝑥��,� �
1⟹𝜋𝜋�� 𝑖𝑖,∀𝑢𝑢�∀𝑡𝑡.
En el modelo PM-Heijunka-Fechas, la unción obje i o (16) exp esa la minimización de
la suma de las des iaciones cuad á icas en e los ciclos de compleción eal �𝐶𝐶��� de las
unidades 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 ∈𝑖𝑖), y las echas de ab icación idóneas (𝑓𝑓��� de dichas unidades. Las
igualdades (17) si en pa a de e mina los ciclos de compleción eal. Las es icciones
(18) ue zan la mono onía c ecien e de los ciclos de compleción en unción del núme o
de o den de las unidades de cada ipo de p oduc o 𝑖𝑖∈𝑖𝑖. Finalmen e, las condiciones (19)
es ablecen como bina ias las a iables 𝑥𝑥��,�.
O a al e na i a a (16) como unción obje i o es la minimización de la suma de
des iaciones absolu as en e las echas idóneas de ab icación y los ciclos en los que
ealmen e se comple an las unidades en secuencia - e ó mula (20) -.
(20)
Conc e amen e, la unción (20) se e ie e a la suma de adelan os y e asos en las en egas
espec o a las echas es ablecidas �𝑓𝑓���, y la unción (16) co esponde a la suma de dichos
adelan os y e asos ele ados al cuad ado. En de ini i a, se p e ende que las unidades de
un mismo ipo de p oduc o ocupen en la secuencia posiciones equidis an es en la medida
de lo posible.
Es ácil demos a que el óp imo pa a la unción obje i o (16) se consigue o denando las
unidades de p oduc o (secuenciación) según el o den no dec ecien e de las echas de
ab icación idóneas 𝑓𝑓��; es deci , o denando las unidades po echas según la egla EDD
(Ea lies Due Da e).
En e ec o, desa ollando Δ��𝐶𝐶,ℱ�, enemos:
(20)
Conc e amen e, la unción (20) se e ie e a la suma de adelan os y e asos
en las en egas espec o a las echas es ablecidas ( ui), y la unción (16) co es-
ponde a la suma de dichos adelan os y e asos ele ados al cuad ado. En de i-
ni i a, se p e ende que las unidades de un mismo ipo de p oduc o ocupen en la
secuencia posiciones equidis an es en la medida de lo posible.
Es ácil demos a que el óp imo pa a la unción obje i o (16) se consigue
o denando las unidades de p oduc o (secuenciación) según el o den no dec e-
cien e de las echas de ab icación idóneas ui; es deci , o denando las unidades
po echas según la egla EDD (Ea lies Due Da e).
En e ec o, desa ollando Δ
Q
(
C, F
), enemos:
En el desa ollo an e io , la suma de los é minos 𝐶𝐶��
� es una cons an e, pues o que es a
co esponde a la suma de los cuad ados de los 𝑇𝑇 p ime os núme os na u ales, eniendo en
cuen a que cada unidad de p oduc o �𝑢𝑢�� ocupa una (y solo una) posición en la secuencia
de ab icación 𝜋𝜋�

��𝜋𝜋�,𝜋𝜋�,…,𝜋𝜋��. Po o a pa e, es ob io que la suma de los cuad ados
de las echas idóneas (𝑓𝑓��
�� es una cons an e. Po an o, podemos esc ibi la siguien e
equi alencia en e unciones obje i o:
99
Joaquín Bau is a Valhondo
17

En el desa ollo an e io , la suma de los é minos 𝐶𝐶��
� es una cons an e, pues o que es a
co esponde a la suma de los cuad ados de los 𝑇𝑇 p ime os núme os na u ales, eniendo en
cuen a que cada unidad de p oduc o �𝑢𝑢�� ocupa una (y solo una) posición en la secuencia
de ab icación 𝜋𝜋�

��𝜋𝜋�,𝜋𝜋�,…,𝜋𝜋��. Po o a pa e, es ob io que la suma de los cuad ados
de las echas idóneas (𝑓𝑓��
�� es una cons an e. Po an o, podemos esc ibi la siguien e
equi alencia en e unciones obje i o:
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚��𝐶𝐶,𝐶��� � �𝐶𝐶���𝑓𝑓
����
��
����
�
��� ⟺𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐶𝐶,𝐶��� � 𝐶𝐶
���𝑓𝑓
��
��
����
�
���
En ales condiciones, la maximización de la unción obje i o 𝑚�𝐶𝐶,𝐶� co esponde a la
suma de p oduc os bina ios de los elemen os de dos sucesiones numé icas �𝐶𝐶��,𝑓𝑓
��),
ambas con alo es no nega i os, esul ando que el alo máximo de dicha suma-p oduc o
se consigue o denando las sucesiones en el mismo o den (no dec ecien e, en nues o caso)
y mul iplicando, posición a posición, sus elemen os empa ejados.
En de ini i a, la unción obje i o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐶𝐶,𝐶�, equi alen e a 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚��𝐶𝐶,𝐶�, alcanza el
óp imo con secuencias 𝜋𝜋�

��𝜋𝜋�,𝜋𝜋�,…,𝜋𝜋�� o denadas po echas 𝑓𝑓��, según la egla EDD.
Así, el p og ama ma emá ico PM-Heijunka-Fechas se puede esol e al como sigue.
(1) De e mina el conjun o de echas ideales 𝐶 ��𝑓𝑓����𝑢𝑢���,…,���⋏�𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖��
(2) O dena las echas ideales del conjun o 𝐶 de meno a mayo : Regla EDD.
(3) Secuencia las unidades �𝑢𝑢���,…,��,∀𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖� siguiendo el o den Regla EDD.
Las p opiedades de la egla EDD son ex ensi as a cualquie conjun o 𝐶 de echas idóneas,
no obs an e, pa a ija ideas, nos cen a emos en conjun os de echas idóneas que adop an
el siguien e o ma o:
𝑓𝑓
�����𝑢𝑢���𝑇𝑇
����𝑢𝑢��
𝜈𝜈��𝑢𝑢���,…,���⋏�𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖�
Cumpliendo: ���𝑢𝑢���� ���𝑢𝑢���⋏ �𝑢𝑢��� ���𝑢𝑢���𝑢𝑢�� ∀𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖
(21)
Cada conjun o de echas (21) da luga a un mé odo que llama emos “mul iplicado ”,
eniendo en cuen a que los alo es ��𝑢𝑢�� ac úan como ac o es mul iplica i os de la
pe iodicidad ep esen ada po los pe íodos ideales 𝑇𝑇�.
En e los in ini os Mé odos de los Mul iplicado es posibles, en la Tabla 12 se mues an
los co espondien es a las echas básicas (10) a (14).
Nó ese que los mé odos de la Tabla 12 p esen an sucesiones de mul iplicado es que
coinciden, espec i amen e, con las sucesiones de di iso es de los cinco mé odos clásicos
del p oblema de epa o p opo cional inculados al epa o de escaños ( e Tabla 9). Es a
coincidencia pe mi e es ablece conexiones in e esan es en e p oblemas de á eas de
conocimien o apa en emen e dispa es como son la Polí ica y la Ingenie ía Indus ial.
En el desa ollo an e io , la suma de los é minos es una cons an e, pues-
o que es a co esponde a la suma de los cuad ados de los T p ime os núme os
na u ales, eniendo en cuen a que cada unidad de p oduc o (ui) ocupa una (y
solo una) posición en la secuencia de ab icación = (π1,π2, …,πT). Po o a
pa e, es ob io que la suma de los cuad ados de las echas idóneas es una
cons an e. Po an o, podemos esc ibi la siguien e equi alencia en e unciones
obje i o:
17

Δ��𝐶𝐶𝐶𝐶�� � � �𝐶𝐶���𝑓𝑓
����
��
����
�
��� �
�� � 𝐶𝐶
��
�
��
����
�
��� �� � 𝑓𝑓
��
�
��
����
�
��� ��� � 𝐶𝐶���𝑓𝑓
��
��
����
�
���
En el desa ollo an e io , la suma de los é minos 𝐶𝐶��
� es una cons an e, pues o que es a
co esponde a la suma de los cuad ados de los 𝑇𝑇 p ime os núme os na u ales, eniendo en
cuen a que cada unidad de p oduc o �𝑢𝑢�� ocupa una (y solo una) posición en la secuencia
de ab icación 𝜋𝜋�

��𝜋𝜋�𝐶𝜋𝜋�𝐶…𝐶𝜋𝜋��. Po o a pa e, es ob io que la suma de los cuad ados
de las echas idóneas (𝑓𝑓��
�� es una cons an e. Po an o, podemos esc ibi la siguien e
equi alencia en e unciones obje i o:
En ales condiciones, la maximización de la unción obje i o Π�𝐶𝐶𝐶𝐶� co esponde a la
suma de p oduc os bina ios de los elemen os de dos sucesiones numé icas �𝐶𝐶��𝐶𝑓𝑓
��),
ambas con alo es no nega i os, esul ando que el alo máximo de dicha suma-p oduc o
se consigue o denando las sucesiones en el mismo o den (no dec ecien e, en nues o caso)
y mul iplicando, posición a posición, sus elemen os empa ejados.
En de ini i a, la unción obje i o 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚Π�𝐶𝐶𝐶𝐶�, equi alen e a 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚Δ��𝐶𝐶𝐶𝐶�, alcanza el
óp imo con secuencias 𝜋𝜋�

��𝜋𝜋�𝐶𝜋𝜋�𝐶…𝐶𝜋𝜋�� o denadas po echas 𝑓𝑓��, según la egla EDD.
Así, el p og ama ma emá ico PM-Heijunka-Fechas se puede esol e al como sigue.
(1) De e mina el conjun o de echas ideales 𝐶 ��𝑓𝑓����𝑢𝑢���𝐶…𝐶���⋏�𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖��
(2) O dena las echas ideales del conjun o 𝐶 de meno a mayo : Regla EDD.
(3) Secuencia las unidades �𝑢𝑢���𝐶…𝐶��𝐶∀𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖� siguiendo el o den Regla EDD.
Las p opiedades de la egla EDD son ex ensi as a cualquie conjun o 𝐶 de echas idóneas,
no obs an e, pa a ija ideas, nos cen a emos en conjun os de echas idóneas que adop an
el siguien e o ma o:
𝑓𝑓
�����𝑢𝑢���𝑇𝑇
����𝑢𝑢��
𝜈𝜈��𝑢𝑢���𝐶…𝐶���⋏�𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖�
Cumpliendo: ���𝑢𝑢����� ��𝑢𝑢���⋏ �𝑢𝑢������𝑢𝑢���𝑢𝑢�� ∀𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖
(21)
Cada conjun o de echas (21) da luga a un mé odo que llama emos “mul iplicado ”,
eniendo en cuen a que los alo es ��𝑢𝑢�� ac úan como ac o es mul iplica i os de la
pe iodicidad ep esen ada po los pe íodos ideales 𝑇𝑇�.
En e los in ini os Mé odos de los Mul iplicado es posibles, en la Tabla 12 se mues an
los co espondien es a las echas básicas (10) a (14).
Nó ese que los mé odos de la Tabla 12 p esen an sucesiones de mul iplicado es que
coinciden, espec i amen e, con las sucesiones de di iso es de los cinco mé odos clásicos
del p oblema de epa o p opo cional inculados al epa o de escaños ( e Tabla 9). Es a
coincidencia pe mi e es ablece conexiones in e esan es en e p oblemas de á eas de
conocimien o apa en emen e dispa es como son la Polí ica y la Ingenie ía Indus ial.
En ales condiciones, la maximización de la unción obje i o Π(
C,F
) co-
esponde a la suma de p oduc os bina ios de los elemen os de dos sucesiones
numé icas (
C
ui,
ui), ambas con alo es no nega i os, esul ando que el alo
máximo de dicha suma-p oduc o se consigue o denando las sucesiones en el
mismo o den (no dec ecien e, en nues o caso) y mul iplicando, posición a po-
sición, sus elemen os empa ejados.
En de ini i a, la unción obje i o max Π (
C,F
), equi alen e a min Δ
Q
(
C,F
),
alcanza el óp imo con secuencias = (π1,π2, …,πT) o denadas po echas ui, se-
gún la egla EDD. Así, el p og ama ma emá ico PM-Heijunka-Fechas se puede
esol e al como sigue.
(1) De e mina el conjun o de echas ideales F = { ui : (ui = 1,…,di) ⋏(i ∈ I)}
(2) O dena las echas ideales del conjun o F de meno a mayo : Regla EDD.
(3) Secuencia las unidades (ui = 1,…,di,∀i ∈ I ) siguiendo el o den Regla
EDD.
Las p opiedades de la egla EDD son ex ensi as a cualquie conjun o F de
echas idóneas, no obs an e, pa a ija ideas, nos cen a emos en conjun os de
echas idóneas que adop an el siguien e o ma o:
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