Richa d
Pallascio,
CIRADE,
UQAM
Richa d Allai e,
UQAM
Pie e
Mongeau,
UQAR
Uni e si e du Quebec
A
Mon kal
C.P.
8888,
succu sale
A
Mon eal (Quebec)
H3C
3P8
Canada
+
Resea ch unding p o ided by he
Fondspou la
o ma ion de che cheu s e aide
1)
la eche che
FCAR],
go e nmen o Qubbec.
Les
eche ches don il se a ques ion
son
kaliskes a ec I’aide inancie e du
FCAR.
English ansla ion:
T aduc ion anglaise:
Pe e Bo bas
Spa ial ep esen a ion and
he eaching
o
geomeby
1
e a ew commen s on he eaching o geome y
in oday’s schools, we will ou line some o he e-
sea ch esul s ha ha e guided
us
in he de elop
men o a eaching sequence which is cu en ly a he expe i-
men al s age. This sequence o ac i i ies, in ended o nin h-
g ade s uden s
(14-15
yea s old), ocuses on gene a ing
wo-
and h ee-dimensional igu es, and on explo ing hei p ojec-
i e p ope ies. The sequence
will
be demons a ed using
symme ical h ee-dimensional igu es. Ini ial esul s ha e
shown ha lea ning ac i i ies which include he c ea i e
manipula ion o h ee-dimensional objec s os e he de el-
opmen o pe cep ion and ep esen a ion abili ies in he
weakes ma h s uden s, and ha he s uden s who a e he
weakes on he geome ic spa ial ep esen a ion es , make
he mos p og ess in ma hema ics.
Topologie s uc u ale
*
19
S uc u al Topology
1982
RepWn a ion de
I’espace
e
enseignemen de la gb n6 ie
p es quelques ema ques su l’enseignemen ac uel
de la geome ie dans les ecoles, nous exposons
A quelques esul a s dune eche che qui nous on
guide dans l’elabo a ion dune sequence didacbque, ac uelle-
men a l’e ape de l’expe imen a ion. Ce e sequence dac i i-
es, don
nous
p esen ons un exemple po an
SUT
les olumes
syme iques, a l’end oi dele es de secondai e
TI1
(14-15
ans),
p io ise la gene a ion de o mes e de
igu es,
dans
l’exploi-
a ion de leu s p op ie es p ojec i es. Les p emie s esul a s
on oi , en e au es, que les ac i i es d‘app en issage
incluan une manipula ion c ea ice dobje s geome iques
ihmensionnels a o isen le de eloppemen
des
habile es
pe cep i es e ep esen a i es des ele es les plus aibles en
ma hema iques e , ecip oquemen , que ce
son
les ele es les
plus aibles au es po an su la ep esen a ion spa iale geo-
me ique qui p og essen le plus en ma hema iques.
Spa ial ep esen don and Rspd en a lon
de
l’espace e
enseignamen de la g6om6 le
1
La eaching
o
geome y
*T ansla o ‘s no e:
CEGEP
e e s
o
he
pos -sec-
onda y, p e-uni e si y collegia e le el
in
he
Quebec educa ional sys em.
Commen s on
he
eaching
o
geome y
The
E a s
gh&aux
de
l’enseignemen
des
ma hha ques
au
Q&%ec,
a ask o ce on he eaching o ma hema ics in
Quebec, adop ed a esolu ion eques ing immedia e e ision
o he geome y componen s o compulso y ma h cou ses a
he seconda yle el([19], p.147-148). Bu wha ype o geom-
e y is in ol ed?
A one ime, s uden s de eloped logic hinking p ima ily
h ough he s udy o plane geome y, which was ollowed
la e by he s udy o A is o elian syllogism. Geome y has
g adually gi en way o algeb a, in which mo e mechanical,
algo i hmic modes o easoning p e ail. In Quebec,
logical
easoning
is cu en ly co e ed a he
CEGEP
le el
(1
7-1
9
yea s o age) pa icula ly in philosophy cou ses.* Can no h-
ing be done ea lie ? Ye a e geome y cou ses a panacea o
he de elopmen o logical easoning in s uden s? (Fo exam-
ple, conside he ollowing p oblem:
“The
o
ake:
I
a pa al-
lelog am has
wo
symme y axes, i mus be a ec angle.”)
Though oday’s s uden s know many ac s abou geome y,
hey do no seem o know how hose ac s in e ela e, no
a e hey awa e o how hey a e s uc u ed and o ganized.
Resea ch on lea ning has demons a ed ha
isual
aids
(g aphics) can be use ul o unde s and ma hema ical concep s
-and ha is no limi ed o geome y
[4].
Bu s uden s mus be
able
o
unde s and he g aphic ep esen a ions we use, and
we mus be able
o
each speci ic echniques o de eloping
hei spa ial- ep esen a ion abili ies. Wha be e oppo uni y
o do
so
han in a ma hema ics cou se- he only compulso y
subjec which o mally deals
wi h.
spa ial concep s?
Fu he mo e, s uden s who ha e no co e ed p ojec i e
geome y o spa ial ep esen a ion, ha e a g ea deal o di i-
cul y applying hei limi ed ma h knowledge
o
si ua ions in
which hey ha e
o
d aw upon hei isual/spa ial abili ies-
e.g., in d a ing cou ses a he CEGEP le el o a chi ec u e
cou ses a uni e si y, o when dealing wi h spa ial- ep esen-
a ion p oblems in e e yday si ua ions (which a e much
mo e common han p oblems equi ing numbe abili ies),
such as wide- ange a el in a ci y, mid- ange mo emen
h ough a pa king lo o ennis cou , o simply when exam-
ining p ojec i e diag ams in ex books (wi h p ojec ions ha
a e hope ully co ec !).
S uden s a e gene ally p esen ed wi h a ew eady-made
solids (whe he polyhed a o o he ), such
as
a cube, a pa al-
lelepiped p ism, o a egula -based py amid. This, howe e ,
Quelques ema ques
su
I’enseignemen de la g8omMe
Les
E a s gene aux
de
l’enseignemen
des
ma hha ques
au
Que%ec
on o e une esolu ion demandan la e ision p io i-
ai e
((
du con enu geome ique des p og ammes de ma he-
ma iques du cou s obliga oi e)) ([19], p.147-148), en pa icu-
lie au secondai e. Mais de quelle(s) geome ie(s) s’agi -il?
Au e ois les ele es o maien leu esp i logique p incipa-
lemen pa l‘e ude de la geome ie plane, puis, plus a d, pa
l’e ude des syllogismes
a
la manie e dA is o e. lbu douce-
men , la geome ie a cede la place
a
l’algeb e
ou
domine des
modes de aisonnemen plus mecaniques, plus algo i h-
miques. Ac uellemen au Quebec, le
aisonnemen logique
es e udie e de eloppe au cegep
(1
7-1
9
ans) pa iculie e-
men
a
l’in e ieu des cou s de philosophie
!
N’y a- -il ien
a
ai e a an le cegep
?
Le cou s de geome ie, bien que son bu
soi de mai ise l’espace
(2D,
puis
3D),
peu -il se i
a
de e-
loppe l’esp i logique de l’ele e
?
Les ele es daujou dhui
connaissen plusieu s ai s geome iques, mais ne semblen
pas sa oi quelles ela ions e abli en e ces ai s, ou en
igno an leu s uc u e e leu o ganisa ion.
Des eche ches su l’app en issage on demon e l’u ili e
da oi ecou s au
isuel,
a
des dessins, pou ai e com-
p end e di e s concep s ma hema iques, e pas seulemen
en geome ie
[4].
Enco e au -il que les ele es soien en me-
su e de comp end e les ep esen a ions qu’on leu p opose,
e que l’on puisse leu enseigne ce aines echniques speci-
iques leu pe me an de de eloppe leu ep esen a ion
spa iale. E
ou
ealise cela, si ce n’es au cou s de ma hema-
iques, le seul cou s obliga oi e qui ai e o mellemen de
l’espace
?
De plus, en l’absence dac i i es scolai es en geome ie
p ojec i e ou su la ep esen a ion spa iale, les ele es ep ou-
en beaucoup de di icul es
a
ans e e leu s quelques ac-
quis ma hema iques dans des si ua ions
ou
ils
au aien
a
exploi e leu s capaci es isuo-spa iales: cou s de dessin ech-
nique au collegial
ou
da chi ec u e
a
l’uni e si e, p oblemes
de ep esen a ion spa iale i es de la ie cou an e qui son
beaucoup plus equen s que les p oblemes aisan appel
a
des habile es numk iques
(ex
:
deplacemen s mac o-spa iaux
dans une ille, deplacemen s meso-spa iaux dans un s a ion-
nemen
ou
su un e ain de ennis..
.),
simple lec u e des
dessins p ojec i k dans des manuels scolai es (quand ceux-ci
son co ec s p ojec i emen pa lan
!).
. .
Les quelques o mes geome iques p oposees aux ele es
Topologle s uc u ala
*
19
-
S uo u al
Topology
1992
goes agains he p inciple o an ac i i y-o ien ed app oach o
ma hema ics ha in ol es au hen ic p oblem sol ing-an
app oach some imes used in o he a eas o ma hema ics. In
gene al, p og ams and ex books, especially a he seconda y
le el, do no e lec a dynamic app oach o lea ning, no do
hey use hands-on ma e ials. The p oblem consis s in de el-
oping a
genm i e
app oach ha uses analogous geome ic
p ocesses, whe he wo-dimensional igu es
@lane igu es),
h ee-dimensional igu es
(space igu es)
o n-dimensional
“hype igu es” a e in ol ed. E en he con en ional e minol-
ogy
limi s he gene a ion o igu es (e.g.,
solds
a he han
h ee-dimensional
igu es
o
space igu es).
Pe cep ion and ep esen a ion
o
a
s uc u al
geome ic
space
Spa ial abili ies may be he unde lying key o ma hema ical
abili ies. Resea ch camed ou by Bishop
[3]
led o he hypo h-
esis ha ma hema ical concep s could pe haps be de eloped
no jus h ough he eaching o ma hema ics, bu also
h ough he de elopmen o ce ain basic abili ies, including
spa ial abili ies. Tha hypo hesis has no , o he bes o
ou
knowledge, been con i med; howe e , i could ha e in e es -
ing implica ions o ma hema ics lea ning.
Ou esea ch o e he las ew yea s may p o ide a pa ial
answe o Bishop’s ques ions conce ning spa ial abili ies.
A
s udy camed ou among se e al hund ed subjec s o a ious
ages has enabled
us
o iden i y ce ain ac o s whose signi i-
cance lies in he ounda ions o ou esea ch me hod. We
de eloped a new ins umen o measu e, which has been
alida ed and is geome ically comple e, and is designed o
assess geome ic de elopmen in spa ial ep esen a ion
[
151,
[16],
[18].
The ins umen o measu e consis s o
40
i ems,
each o which con ains wo-dimensional geome ic ep esen-
a ions o h ee-dimensional objec s-ei he g aphs, o cen-
al, a ine o o hogonal p ojec ions. These i ems a e in
keeping wi h he adi ion o psychome ic spa ial- ep esen-
a ion es s using pape and pencil. They allow o an assess-
men o he subjec s’ pe o mance in a ious ope a ions ha
co espond o spa ial abili ies and a ious geome ic modes.
Ou assessmen model, which is o he de elopmen al
ype, was de eloped in la ge pa on an empi ical basis.
I
e y speci ically conside s spa ial abili ies in he con ex o
an
essen ially
geome ic
(as opposed o a physical, social,
o o he )
space.
The ma ix o he de elopmen o geome ic
son ou es ai es: cube, p isme pa allelepipedique, py amide
d oi e
a
base egulie e..
.
Ce e app oche,
ou
l’ele e es passi ,
a
a
l’encon e des p incipes didac iques p omou an une
ma hema ique
a
ai e, pa le biais dune e i able esolu ion
de p oblemes. Les p og ammes e les manuels
en
gene al,
su ou au secondai e, ne e le en pas un p ocessus dyna-
mique dapp en issage e ne on jamais appel
B
du ma e iel
manipula oi e. Le p obleme eside dans l’elabo a ion dune
app oche pe me an de
&nh
pa des p ocessus geome-
iques analogues, au an des igu es
2D
que des o mes
3D
(ou des hype o mes
nD).
MCme la e minologie u ilisee
(.
solides
))
au lieu de
((
o mes
)),
pa exemple) limi e ce a ail
de gene a ion des o mes.
La
pe cep ion
e
la ep 6sen a ion d’un
espace
ghm&ique
s uc u al
I1
es possible que l’habile e spa iale soi l’habile e-cle
sous-
jacen e aux habile es ma hema iques. Le a ail de syn hese
e ec ue pa Bishop
[3]
l’a amene
a
in ui ionne que les con-
cep s ma hema iques pou aien C e de eloppgs, non seule-
men pa l’enseignemen des ma hema iques, mais aussi en
de eloppan ce aines habile es ondamen ales, don les ha-
bile es spa iales.
A
no e connaissance, ce e hypo hese n’a
pas enco e e e con i nee, bien qu’elle pou ai en aine des
consequences in e essan es pou l’app en issage des ma he-
ma iques.
Le a ail que nous a ons e ec ue ces de nie es annees
peu nous pe me e de epond e pa iellemen
au
ques ion-
nemen de Bishop au ni eau des habile es spahales. A in
de alue le de eloppemen geome ique de la ep esen a-
ion spa iale, nous a ons elabo e
un
nou el ins umen de
mesu e base su di e en s modes geome iques e nous
l’a ons alid6 aup es de plusieu s cen aines de suje s d8ge
ane
[15], [16], [18].
Ce ins umen compo e
40
i ems, ous
cons i ues de ep esen a ions geome iques bidimension-
nelles dobje s idimensionnels, soi des g aphe
s,
soi des
p ojec ions cen ales, a ines ou o hogonales. Ce ype
di ems s’insc i dans la adi ion des es s psychome iques
de ep esen a ion spa iale de ype papie -c ayon e pe me
l’e alua ion de la pe o mance des suje s po an su di e-
en es ope a ions co espondan
a
des habile es spa iales e
di e s modes geome iques.
Elabo e en bonne pa ie su des bases empi iques, no e
modele, de ype de eloppemen al, ien comp e de aCon
pa ial ep esen a ion and
ie eaching
o
geo ne ly Rep ben a ion de
espace
e
enseignemen de
la
gbomb ie
Topologique
Topological
Oph ions
I
Ope a ion
Habile bs
Abili ies
P ojec i A ine Me ique
P ojec i e A ine Me ic
Modes gbomb iques
I
Geome ic Mode
Classi ica ion
Classi
jing
I
Rela ion spa iale
Spa ial ela ionships
(Analy ique)
(Anak ical)
S uc u a ion
I
S uc u ing
De e mina ion
Visualisa ion spa iale
Spa ial isualiza on
[Ope a oi e)
(Ope a ional)
De e mining
Gene a ion
I
Gene a ing
igu e 1
la ix o he de elopmen o geome ic spa ial
?p esen a ion.
la ice du d6 eloppemen de la ep esen a ion
Da iale g6om&ique.
The
opologica mode
co esponds p ima ily
)
he s udy o he p ope ies o adjacency and
onnec edness o spa ial s uc u es, which a e
iain ained ollowing one o se e al con inuous
ans o ma ions, such as ex ending, con ac ing,
)Iding and o sion. The
pq*kcUie
mode
p ima-
ly
e e s o he s udy o he p ope ies o inci-
ence o s aigh lines and planes, which a e
iain ained ollowing a cen al p ojec ion. The
ine
mode
co esponds p ima ily o he s udy o
ie p ope ies
o
pa allelism and con exi y, which
e main ained ollowing a pa allel p ojec ion. The
n? /ic
mode
co esponds p ima ily o he s udy
he p ope ies
o
dis ance and angula ion.
Le
mode
qohgique
co espond p incipale-
len
a
I’6 ude des p op ie es d’adjacence e de
onnexi 6 des s uc u es spa iales, lesquelles son
onse ks sui e
B
une
ou
des de o ma ions
on inues. elles que I’e i emen le k nkissemen
:
phage e la o sion.
Le
modep ojec i co es-
ond p incipalemen
a
I’k ude des p op ie es
’incidence des d oi es e des plans, lesquelles
on conse ks sui e
a
une p ojec ion cen ale.
Le
wde
a ine
co espond p incipalemen I’e ude
es p op ie es de pa allelisme e de con exi k.
:squelles son conse 6es sui e
A
une p ojec ion
a alli?le.
Le
mode
m&ique
co espond p inci-
alemen
a
I’e ude des p op i6 6s de dis ance e
‘angula ion.
spa ial ep esen a ion
(Figu e
1)
akes in o accoun he p i-
ma y elemen s o ou model. The geome ic modes’ a e
deal wi h acco ding o an axioma ic hie a chy
[22].
In addi-
ion, we ha e iden i ied i e in ellec ual ope a ions2
[l], [17],
[
151:
classi&ng
and
s uc u ing,
which a e ela ed o he ana-
lybcal spa ial abili y
known
as “ o m ecogni ion” (spa ial
ela ionships);
de e mining
and
gene a ing,
which a e ela ed
o an ope a ional spa ial abili y, “spa ial isualiza ion” ( o m
ans o ma ion). The las in ellec ual ope a ion,
ansposing,
seems
o
be linked o bo h he analybcal and ope a ional
ac o s; i could he e o e ha e an impo an ole as a b idge
be ween he wo ypes o abili ies wi h espec o he de el-
opmen o geome ic spa ial- ep esen a ion abili ies.
An
analysis o es esul s has enabled us o iden i y a
numbe o cha ac e is ics o he de elopmen o spa ial abili-
ies acco ding o a ypology o geome ic modes (see
Figu e
1).
Signi ican imp o emen s in es esul s become e iden
in subjec s be ween app oxima ely
10
and
15
yea s o age.
A
ma ked imp o emen in pe o mance occu s be ween child-
hood and adolescence, a e which pe o mance s abilizes.
Though in a sligh ly di e en con ex , Ma io i’s indings
[
121
a e simila . We ad ance he hypo hesis ha he age span
om
10
o
15
is a a ou able ime o ac i i ies designed
o
adequa ely s uc u e s uden s’ capaci y o spa ial ep esen-
a ion, as spa ial- ep esen a ion abili ies de elop na u ally
and signi ican ly (albei in a limi ed way) du ing ha pe iod.
We main ain, as do o he au ho s (Ba acs
[2],
Bishop
[3],
Lean
e al.
[9],
Lunkenbein
[ll],
Mi chelmo e
[14],
Pelleg ino e
al.
[20],
Van Hiele
[231),
ha i no e o s a e made o impa
ce ain concep s and p ope ies o geome y, s uden s’ men-
es speci ique des habile es spa iales dans le con ex e dun
espace essen iellemen ghme ique
(plu b que physique,
social ou au e). La ma ice du de eloppemen de la ep e-
sen a ion spa iale ( oi la
igu e
1)
end comp e des p inci-
paux elemen s de no e modele. Les modes geome iques’
son ai es selon leu hie a chie axioma ique
[22],
alo s que
nous a ons eussi
a
ci consc i e cinq ope a ions in ellec-
uelles2
[l],
[17], [15].
Deux son eliees
a
une habile e spa iale
de ype analy ique, connue dans la li e a u e sous le ocable
(( ela ion spa iale
))
(ou econnaissance des o mes),
a
sa oi
la
ckmx iu ion
e la
s uc u u ion.
Deux au es son eliees
a
une habile e spa iale de ype ope a oi e, la
((
isualisa ion
spa iale
))
(ou
ans o ma ion des o mes)
:
la
de e mina ion
e
la
gene a ion.
Une de nie e ope a ion in ellec uelle,
la
am-
posi ion,
semble C e eliee aux deux ac eu s analyhque e
ope a oi e, ce qui lui con e e un 81e po en iel p ecieux pou
a o ise le passage dune habile e e s l’au e, eu ega d au
de eloppemen de la ep esen a ion spa iale geome ique
chez l’indi idu.
L’analyse des pe o mances des suje s au es spa ial pe -
me diden i ie plusieu s ca ac e is iques du de eloppemen
des habile es spa iales, eu ega d
a
une ypologie selon les
modes geome iques ( oi la
igum
1).
Les majo a ions signi-
ica i es dans les pe o mances appa aissen en e
10
e
15
ans en i on. En e e , la pe o mance des indi idus s’acc oi
b usquemen en e l’en ance e l’adolescence, puis se s abi-
lise ensui e. Ma io i
[12],
dam un con ex e un peu di e en ,
a ai ou e des esul a s semblables. Nous aisons l’hypo-
hese que ce in e alle diige es ou indique pou des in e -
en ions isan
a
s uc u e adequa emen la capaci e de
ep esen a ion spa iale des indi idus, puisque celle-ci sly
de eloppe alo s de apn na u elle e signi ica i e, bien que
de aqon enco e modes e. En e e , en acco d a ec dau es
au eu s (Ba acs
[2],
Bishop
[3],
Lean e al.
[9],
Lunkenbein
[ll],
Mi chelmo e
[14],
Pelleg ino e al.
[20],
Van Hiele
[23]),
nous
es imons que sans ac i i es o qan l‘acquisi ion de ce aines
no ions e p op ie es geome iques, les images in e nes ela-
bo ees pa le suje peu en es bien demeu e la ie du an
au ni eau de ce que Piage appelle les
g oupe nen s in iub
glques
[21].
D’au e pa , des analyses s a is iques indiquen ce ains
pa cou s p i ilegies dans le de eloppemen de la ep esen a-
ion spa iale. Ce de eloppemen se p opage ai de
l’analy-
ique
e s
l’opk a ok,
dans le sens des ac eu s psychome-
Topologie
s uc u ale
19
*S uc u al
Topology
1982
S n c u ing:
he iden i ica ion o he geome ic
p ope ies and possible combina ion
o
elemen s
in a spa ial s uc u e.
T amon:
he es ab-
lishmen o co ela ions and equi alences, and
ansi ions be ween he a ious geome ic le els
and modes o ep esen a ion.
Gene a ion:
he
p oduc ion o modi ica ion o a spa ial s uc u e
so
ha
i
mee s ce ain p ede e mined geome ic
c i e ia.
De e mina ion:
he use o geome ic
bounda ies o deduce he elemen s o pa ame e s
o a spa ial s uc u e.
Uassi ica ion:
he g ouping
o spa ial s uc u es acco ding o speci ic geome -
ic p ope ies o pa ame e s hey ha e in common.
La
sUuc u a ion:
iden i ie les p op iB Bs e la
combina oi e g6omB iques d’une s uc u e
spa iale; la
ansposi ion:
B abli les co espon-
dances, les Bqui alences, e e ec ue le passage
en e les di k en s modes de ep 6sen a ion e
ni eaux g6omB iques; la
@&a ion:
p odui e
ou
modi ie une s uc u e spa iale de apn
B
ce
qu’elle 6ponde
B
ce ains c i k es gBom6 iques
p BdB ennin6.s; la
d6 emina ion:
delimi e les
BlBmen s
ou
les pa ame es dB inis pa des con-
ain es g6omB iques su une s uc u e spa iale;
e la
dassi ica ion:
g oupe des s uc u es spa-
iales selon un choix de p op iB Bs
ou
pa ame es
gBomB iques communs.
As
opposed o a meso-space jn which he
mo emen
o
objec s akes place in a isually con-
olled en i onmen ], and a mac o-space an ol -
ing implici ep esen a ion
o
mo emen s by
means o a se
o
men al ”maps.”
Pa opposi ion au nBso-espace [dBplacemen
d’un obje dans un milieu con ol6 pa la ue) e le
mac o-espace [ ep Bsen a ion implici e des mou-
emen s pa ecollemen men al de ((ca es))).
al
images will likely ne e de elop beyond he s age ha
Piage e e s o as
in alogcal
g oupings
[Zl].
in he de elopmen o spa ial- ep esen a ion abili ies. The
p og ession seems o go om he
analy ical
o he
ope a-
ional
in e ms
o
psychome ic ac o s-in o he wo ds,
om o m ecogni ion o o m ans o ma ion. Spa ial abili y
de elopmen seems o begin wi h he
opological
mode and
p og ess owa ds he
me ic
mode (wi h a deg ee o o e lap
ping), acco ding o he model based on he axioma ic hie a -
chy o geome ic p ope ies; howe e , in an en i onmen
which is i ually de oid o ep esen a ions o he han a ine
and me ic, a hia us may occu a he p ojec i e le el. Ac i i-
ies ha in ol e c a s o mechanics (low-le el ac i i ies)
seem o be use ul o indi iduals who ha e inhe en di icul-
ies in isualizing h eedimensional o ms, whe eas ac i i-
ies ha equi e he p og essi e use o
deduc i e
easoning
(high-le el ac i i ies), such as hose in ol ed in using geo-
me ic pa ame e s o de e mine he speci ic elemen s o a
spa ial s uc u e, a e mo e pe inen o hose who ha e na u-
al acili y, p e ious expe ience, o pa icula in e es . This
pa ially answe s he ques ion aised by Bishop in
1980
([3],
p.266) conce ning he di e en eaching s a egies ha can
be used wi h di e en ypes o clien ele. The de elopmen o
spa ial- ep esen a ion abili ies implies a g adual shi om
ac i i ies ha in ol e
opological and pmjec i e
igu es
o
c ea ing and wo king wi h spa ial ep esen a ions h ough
a ious means (physical, g aphic, algeb aic and linguis ic),
When limi ed o a
mic o-space3-i.e.,
an en i onmen
sui ed o handling small objec s, which can be ep esen ed on
pape o on a compu e ized subs a um- he concep s ha
we associa e wi h geome ic spa ial abili ies encompass he
ollowing elemen s: g aphs (isomo phic, con iguous, he e o-
mo phic, iso opic, he e o opic, plana , non-plana ); in e sec -
ing lines; a eas; su aces ( igh , le ); p ojec ions (cen al,
pa allel); polyhed a (con ex, conca e, enan iomo phous,
unca ed, egula , semi- egula , homogeneous, dual); pa al-
lelism, symme y ( e lec ion, o a ion, o a y e lec ion); e c.
As
o in ellec ual ma hema ical ope a ions, we e e o
he main ac i i ies o ma hema ician-geome e s wi h espec
o g aphs, ans o ma ional geome y, and he s udy o conic
sec ions..
.
-e.g., compa ing, disc imina ing, classi jmg, con-
s uc ing, s uc u ing, pe cei ing in a ian s, analyzing, syn-
hesizing, ep esen ing, and c ea ing models. In doing, so,
Fu he mo e, s a is ics poin
o
ce ain op imal pa hways
iques, allan de la (( econnaissance dune o me
))
e s la
(( ans o ma ion d’une o me)). Les habile es spa iales se de-
eloppe aien , a ec ce ains che auchemen s,
du
mode
o-
pologique
au mode
me ique,
selon le modele onde su la
hie a chie axioma ique des p op ie es geome iques, mais
a ec un hia us au ni eau p ojec , in e p e e
pa
le con ex e
cul u e1 qui ne laisse p a iquemen de place qu’a des ep e-
sen a ions de ype a ine
ou
me ique. Des ac i i es impli-
quan des Gches de
b im@
e de
mecanique
semblen
en ables pou les indi idus ayan des di icul e
s
((
na u elles
))
a isualise des o mes idimensionnelles blow-le el
D),
alo s
que des ac i i es demandan un ecou s g aduel
au
aison-
nemen dkduc i
p op e a la de e mina ion des elemen s
de inis pa des con ain es geome iques su une s uc u e
spa iale
(u
high-le el
N)
in e essen da an age ceux qui on soi
de la acili e, soi une expe ience p ealable, soi un in e &
pa iculie . Ce aspec epond en pa ie
a
une ques ion que
se posai Bishop en
1980
([3],
p.266))
a
p opos
des
s a egies
pedagogiques di e en es a o i aux di e en s ypes de
clien ele. En in, le de eloppemen de la ep esen a ion spa-
iale implique un deplacemen g aduel dac i ices impliquan
des
igu es
opologiques e pmjec i es,
e s la manipula-
ion e la c ea ion de ep esen a ions spa iales selon di e s
medias
(physique, g aphique, algeb ique, linguis ique).
nu en se limi an au
micm-espace3,
c’es -a-di e a un
en i onnemen p i ilegian la manipula ion de pe i s obje s
e leu ep esen a ion su papie
ou
su subs a in o ma-
ique, les concep s que nous elions aux habile es spa iales
geome iques ecou en les elemen s sui an s
:
les g aphes
(isomo phes, connexes, he e omo phes, iso opes, he e o-
opes, planai es, non planai es), les lignes inciden es, les
egions, les su aces (d oi es, gauches), les p ojec ions (cen-
ales, pa alleles), les polyed es (con exes, conca es, enan-
iomo phes, onques, egulie s, semi- egulie s, homogenes,
duals), le pa allelisme, la syme ie ( e lexion, o a ion, o a-
ion- e lexion).
. .
Quan aux ope a ions in ellec uelles ma he na iques,
nous nous e e ons aux p incipales ac i i es des ma hema i-
ciens-geome es, ac i i es eliees aux g aphes, la geome ie
des ans o ma ions,
a
l‘e ude des sec ions coniques..
.
:
com-
pa e , disc imine , classi ie , cons ui e, s uc u e , pe ce oi
des in a ian s, analyse , syn he ise , ep esen e , c ee des
modeles..
.
Nous nous limi ons pa con e aux concep s elies
a l’enseignemen e l’app en issage de la geome ie de

Spa ial ep esen a lon and
he eaching
o
geome y Rephen a lon do I’espaw e
enselgnemen de
la
gbomb le
The lea ning ac i i ies we e designed in pa
by
A
pa icip6
B
la
concep ion de ces ac i i ks,
esea ch assis an Dominique Dion.
Dominique Dion, agen de eche che.
howe e , we limi ou sel es o he concep s ha pe ain o
eaching and lea ning geome y a he seconda y le el:
measu emen , angles, dis ance, a ea, olume, polygons, lines
(bisec ing, pa allel, pe pendicula , and diagonal lines; se-
can s; axes
o
symme y), simila i y, cong uence, e lec ion,
o a ion, ansla ion, scaling, isome y, coo dina es, planes
and polyhed a (p isms, py amids) (Minis e e de l’Educa ion
du Quebec, [13]).
Ou goal is o e ine he heo y while pe ec ing ou peda-
gogical ools h ough he de elopmen
o
be e es s and
mo e e ec i e eaching ma e ials in o de o achie e g ea e
s uden success in ma hema ics.
’I..
.
In ma hema ics educa-
ion much mo e emphasis should be pu on a ious ypes o
plane ep esen a ions
o
h ee-dimensional shapes and ela-
ions..
.”
[5].
‘‘Genem i e”
geome y
In he sp ing o 1991, we de eloped and p e- es ed a “ each-
ing sequence” ha includes a concep ual ou line
(Figu e
1)
o
he con en s, ac i i y si ua ions, lea ning ac i i ies: appli-
ca ion me hods, eache guidelines, and
o
he esul s ex-
pec ed om he s uden s in e ms
o
pe o mance and e alu-
a ion. The sequence consis s o eigh sessions
o
app oxi-
ma ely one hou . These sessions a e based on a ious con-
cep s pe aining o he pe cep ion o a s uc u al o ope a i e
geome ic space: in e sec ion and space igu es, isome ic
space igu es, p ojec ions o space igu es, and measu emen
o
space igu es.
The pedagogical app oach unde lying he eaching se-
quence includes:
he manipula ion and ans o ma ion o h eedimen-
sional igu es (made ma e ials such as polys y ene);
ein o ced by ep esen a ions in di e en media o di e -
en ypes
o
p ojec ions;
small-g oup wo k in ol ing h ee-dimensional objec s;
he use
o
igu a i e and non- igu a i e s imuli [8],
[9];
p oblem sol ing equi ing e ec i e pe cep ion and ep e-
sen a ion o geome ic space;
he e baliza ion and communica ion o spa ial ideas
among pee s and be ween s uden and eache , including
he olun a y eh a ion o hose ideas, which necessa ily
in ol es o ming mo e highly de eloped concep s o spa-
ial ep esen a ion.
This ype o ela i ely sys ema ic app oach, in ol ing
ni eau secondai e: mesu e, angle, dis ance, ai e, olume,
polygone, lignes (bissec ice, pa allele, pe pendiculai e, dia-
gonale, secan e, axe de syme ie), simili ude, cong uence,
e lexion, o a ion, ansla ion, homo he ie, isome ie, coo -
donnees, plan e polyed e (p isme, py amide) (Minis e e de
I’Educa ion du Quebec, [13]).
No e bu es de a ine la heo ie, ou en pe ec ionnan
nos
ou ils
pedagogiques pa l’eme gence de meilleu s es s,
de ma e iel didac ique plus pe o man , de p ocedu es e de
p a iques educa i es qui e on que les ele es aien plus de
succes en ma hema iques
:
((.
. .
in ma hema ics educa ion
much mo e
emphasis
should be
pu
on a ious ypes
o
plane
ep esen a ions
o
h ee-dimensional shapes and ela ions..
.
))
[5].
Une g&m&ie ccg6n6m i eu
Nous
a ons elabo e e p e-expe imen e au p in emps
1991
une ((sequence didac ique
))
qui inclu un scheme concep uel
( igu n
l),
des sa oi s, des si ua ions dac ion, des ac i i es
dapp en issage,4 des modali ks dapplica ion e des nonnes
su les in e en ions, les p oduc ions a endues des ele es e
leu e alua ion. Le plan des in e en ions comp end hui
encon es den i on une heu e. Celles-ci son basees su
di e en es no ions eliees
a
la pe cep ion dun espace geo-
me ique s uc u al
ou
ope a oi e
:
les in e sec ions e les
olumes, les olumes isome iques, les p ojec ions des o-
lumes, e la mesu e de olumes.
La pedagogie sous-jacen e
a
la sequence didac ique, inclu
les composan es sui an es
:
0
la manipula ion e la ans o ma ion de o mes 3D ( o mes
en polys y ene..
.)
doublees de leu s ep esen a ions
sous
di e en s medias
ou
di e en s ypes de p ojec ions;
0
le a ail en pe i s g oupes au ou dobje s
3D;
0
la p esence de s imuli igu a i s e non igu a i s
[8],
[9];
la esolu ion de p oblemes obligean une pe cep ion e
une ep esen a ion e icace de l’espace geome ique
;
0
la e balisa ion e la communica ion des
((
idees
))
spa iales
en e pai s e a ec l’enseignan
ou
l’enseignan e, incluan
la e u a ion olon ai e de ces idees e impliquan une
necessai e s uc u a ion de concep ions majo ees su la
ep esen a ion spa iale.
C’es au p ix d’un el disposi i ela i emen sys ema ique,
a
la ealisa ion duquel au on p is pa les enseignan es e
enseignan s pa icipan s, que nous pou ons a i e
a
mesu-
e les consequences dune elle sequence didac ique, en
Topdogle
uc umle
-
19
-S uc u al
Topology
*
1992
Table
1
/Tableau
1
Typology o ac i i ies in he eaching scena io.
(Legend: (ope a ions)
G
=gene a ing;
D
=
de e mining;
T
=
ansposing;
S
=
s uc u ing;
C
=
classi ying; (geome ic mode) T= opological;
P
=
p ojec i e; A
=
a ine;
M
=
me ic.)
Typologie des ac i i es du &na io dapp en is-
sage. gende: (ope a ions)
G:
gene a ion;
D: de e mina ion;
T:
ansposi ion;
S:
s mc u a ion;
C: classi ica ion; (g6om6 ies) T: opologique;
P:
p ojec i e;
A:
a ine;
M:
me ique.)
eache pa icipa ion, allows o he esul s
o
he eaching
sequence o be measu ed in e ms o he ans e o a gen-
e al spa ial abili ies o mo e geome ic abili ies, in e ms o
p e equisi e abili ies, and in e ms o a mo e sa is ac o y
means o in eg a ing geome y in o he school en i onmen .
The ac ual es ing was ca ied ou in 1991.
Ac i i ies in ol ing pe cep ion and ep esen a ion abili ies
we e cen ed on he s uden s’ abili y o gene a e
we
and
h eedimensional shapes using hands-on lea ning ma e ials.
The o he ope a ions in ou concep ual ou line-de e min-
ing, ansposing, s uc u ing and classl ymg-a e p esen ed
as seconda y o gene a ing. Al hough seemingly con adic-
o y,
as
gene a ion is conside ed a high-le el ac i i y, we
wo ked on he p emise ha s uden s abou
15
yea s o age
ha e acqui ed in ui i e pe cep ion h ough expe ience, e en
hough hey may ne e ha e been equi ed o de elop hei
spa ial abili ies
as
such. When we adminis e ed he pe cep
ion and spa ial- ep esen a ion es s, he analy ical o ela-
ional
asks
(57.6%)
we e sys ema ically comple ed mo e
success ully
han
he ope a ional o isual asks (39.4%),
which coincides wi h he ope a ional inadequacies in ol ed
in academic p og ams. Fu he mo e, in iew o he dyna-
mism in ol ed in gene a ing
wo-
and h eedimensional
shapes in semi-conc e e p oblem sol ing ( h eedimensional
objec s and diag ams), i seemed app op ia e o use ha as a
sp ingboa d o ou o he ac i i ies (see
lable
1).
e mes de ans e s d’une habile e spa iale gene ale e s
une habile e plus geome ique, en e mes de p ealables de
l’une pa appo a l’au e, e en e mes d’une ins i u ionnali-
sa ion plus sa is aisan e du sa oi geome ique
a
l’ecole. L‘ex-
pe imen a ion p op emen di e a eu lieu
a
l’au omne 1991.
Su le plan des habile es pe cep i es e ep esen a i es,
les ac i i es on e e cen ees su la capaci e a ge ne e des
igu es
2D
e des o mes 3D, a ec l’aide dun ma e iel ddac-
ique manipula oi e. Les au es ope a ions de
no e
scheme
concep uel, la de e mina ion, la ansposi ion,
la
s uc u a-
ion e la classi ica ion, se p esen en de aCon subsidiai e
a
l’ope a ion consis an a gene e . Bien que cela pa aisse con-
adic oi e, la gene a ion e an conside ee comme une ope a-
ion de hau ni eau, nous a ons able su le ai que des ele-
es dune quinzaine d’annees, mCme s’ils n’on jamais ai-
men e e appeles a-de eloppe leu s habile es spa iales, pos-
seden une expe ience pe cep i e in ui i e. Dans l’adminis-
a ion de nos es s de pe cep ion e de ep esen a ion spa-
iale, les iiches analy iques ou ela ionnelles
(57,6
%)
son
sys ema iquemen mieux eussies que les iches ope a oi es
ou
isuelles (39,4
%),
en conco dance a ec les lacunes ope-
a oi es obse ees dans les p og ammes scolai es. De plus,
ce e ope a ion consis an a gene e o mes e igu es, dun
poin de ue didac ique, e an donne le dynamisme qu’elle
p ocu e dans la esolu ion de p oblemes semi-conc e s (ob-
je s 3D e dessins), a ai in e e
a
se i de mo eu p emie
dans nos ac i i es ( oi le
ableau
1).
1.
In e sec ion and space igu e
/
In e sec ions e olumes GDTS TP
2.
Isome ic space igu es
/
Volumes isome iques
a) o a ion
/
pa o a ion
b) e lec ion
/
pa k lexion
c) o a y e lec ion
/
pa compode
a) cen al
/
cen ales
b) pa allel
/
pa all&les
4.
Measu ing space igu es
/
Mesu es de olumes
a) Simple polyhed on
/
POlyM e le plus simple
b) “Te ahed iza ion” o polyhed a
/
T& aM isa ion des polyM es
cl Minimal “Te ahed iza ion”
/
Te a6d isa ion minimale
3.
P ojec ions o space igu es
/
P ojec ions de olumes
GDTSC
GDTSC
GDTSC
PM
PM
PM
GDTSC
GDTSC
GD
S
GDTSC
GDTS
P
A
T
T AM
TP
d,
T isec ion o a hal cube /T isec ion du demi-cube GDTSC TPAM
e) Volume o an oblique iangula p ism /Volume du p isme iangulai e oblique GD AM
)
Volume o an oblique quad ila e al p ism /Volume du p isme quad ila e al oblique
G
D
AM
g) Volume o any iangula p ism /Volume du p isme iangulai e quelconque GD AM
h) Applica ion /Applica ion GD SC
PM
Spa lal
ep esen a ion and
he eaching
o
geomeby Rap Qema ion de
I’wpace
e
enseignemen de
la
gbomb ie
Figu e
2
Te ahed on wi h
a
symme y o e lec ion.
Tk aBd e compose dune symk ie de e lexion.
An
example
o
an ac i i y in ol ing
isome ic
space igu es
The objec i e o his ac i i y is o explo e he gene a ion o
space igu es by means
o
isome ic ans o ma ions: o a-
ion, e lec ion and o a y e lec ion. A his s age, he each-
e ’s p esen a ion would include he ollowing: an explana ion
o he dis inc ion be ween a pai o cong uen space igu es
and a space igu e and i s e lec ion image; a desc ip ion o
isome ic ans o ma ions in space camed ou on a o a ion
axis and
on
a plane o e lec ion symme y; a demons a ion
o he ela ionship be ween he posi ions o he o a ion axis
and he plane o e lec ion symme y and a ious o he
planes (pe pendicula , pa allel o oblique); and an o e iew
o he possible combina ions o a ious ypes o symme y.
The eache explains o he s uden s how o p og ess om
wo lung wi h planes ha a e conside ed unlimi ed, as in he
i s ac i i y (In e sec ion and space igu es), o wo king wi h
he edges and e ices o space igu es in he second ac i i y.
The in e sec ing planes (lines and poin s) become he
edges
and
e ices
o space igu es; he planes a e hen called
aces.
Thus, he cons uc ion s icks and join s used in he ac i i y
a e he edges and e ices o he igu e, and he in e sec ions
o in ini e planes.
a)
Re lec ion
In his ac i i y, an imagina y plane o e lec ion, ep esen ed
by a ci cula pla e o anspa en plas ic (see
Figu e
Z),
is
used o cons uc a iangula py amid cha ac e ized by he
isome y o a plane e lec ion.
In
heoy,
he py amid is cons uc ed as ollows. The i s
plane (AABE) in e sec s he plane o e lec ion obliquely; he
plane o e lec ion ep oduces plane
ABE
on he o he side
(AABD). The in e sec ion o he esul ing dihed on (whe e
wo
planes mee ) is in he plane o e lec ion (AABC).
Wo
o he planes (AADE and ABDE), which a e pe pendicula o
he plane o e lec ion bu canno be ep oduced by ha
plane, comple e py amid ABDE wi h in e sec ions ha a e
common o he ou planes. In his isome ic ans o ma ion,
all he poin s o he space igu e a e ep oduced a an equal
dis ance om plane o e lec ion and a e pe pendicula o
ha plane.
a e isosceles iangles, bu unequal ones (o he wise he e
would be a second plane o e lec ion in e sec ing DE and
he cen e o AB); AADB and
ABAE
a e scalene iangles ( o
No e:
AABC
is in he plane o e lec ion; AADE and
ABDE
Un exemple d’ac i i e su
les
olumes isom&nques
L‘objec i de ce e ac i i e es dexplo e la gene a ion de
o-
lumes dans l’espace
a
pa i des ans o ma ions isome-
iques
:
la o a ion, la e lexion e la o a ion- e lexion. La
p esen a ion de l’enseignan ou de l’enseignan e inclu ici
des explica ions su la dis inc ion en e les o mes egales
cong uen es e enan iomo phes, une desc ip ion des ans-
o ma ions isome iques dans l’espace, ope ees
a
pa i dun
axe de o a ion e d’un plan de e lexion, une demons a ion
des appo s de posi ions en e ces elemen s e un plan quel-
conque (pe pendiculai e, pa allele e oblique), e se e mine
pa un ape cu des combinaisons possibles en e les elemen s
de syme ie.
On explique aux ele es le passage de la cons uc ion a ec
des plans conside es comme illimi es execu ee au cou s de
l’ac i i e p eceden e (In e sec ions e olumes),
a
la
cons-
uc ion
a
pa i des a 6 es e des somme s du olume dans
la p esen e ac i i e. En ai , les in e sec ions aux c oisemen s
des plans (d oi es e poin s) de iennen alo s les
a i es
e les
somme s
du olume e les plans p ennen le nom de
aces.
Ainsi les iges e les noeuds &assemblage son
a
la ois les
a e es e les somme s du olume,
a
la ois les in e sec ions
en e des plans in inis.
a)
La~ lexion
En u ilisan un plan imaginai e, ep esen e dans ce e ac i-
i e pa une plaque ci culai e en plas ique anspa en ( oi
la
igu e
Z),
on eu cons ui e une py amide iangulai e
qui possede une isome ie de e lexion.
Theoo iquemen ,
un p emie plan (AABE) c oise dans une
posi ion oblique le plan de e lexion qui le ep odui une ois
de l’au e cB e (AABD). Le died e (ou deux plans qui se en-
con en ) ainsi o me a son in e sec ion si uee dans le plan
de e lexion (AABC). Deux au es plans (AADE e ABDE)
places pe pendiculai emen au plan de e lexion, qui ne
peu les double dans ce e posi ion, comple en la py amide
ABDE
pa des in e sec ions communes en e les qua e
plans. Dans ce e ans o ma ion isome ique, ous les poin s
de la o me son epo es pe pendiculai emen e
a
egale
dis ance du plan de e lexion.
No e: le
AABC
es dans le plan de syme ie, les AADE e
ABDE
son isoceles, mais inegaux (sans quoi il y au ai un
second plan de syme ie passan pa DE e le milieu de AB),
les AADB e
ABAE
son scalenes (m6me aison que cide-
Topologie s uc u aie
*
19
*
S uc ls al
Topology
*
1
9BZ
Figu e
3
Te ahed on wi h a combined symme y
o
o a ion- e lec ion.
T6 aM e
compose
d'une syme ie
composke
o a ion- 6 lexion.
he same eason ha AADE and
ABDE
a e isosceles);
BCD
and
BCE
a e igh angles; and DC
=
CE.
In
p ac ice,
iangula py amids a e cons uc ed wi h s icks
and join s (hinges) a ound he plas ic pla e, which ep esen s
he plane o e lec ion. The s uden s s a by cons uc ing
wo
cong uen scalene iangles, wi h segmen
AB
as
a base.
Deduc i ely, hey de e mine he las edge o he e ahed on
ha joins he
wo
e ices o he
wo
iangles, wi h
C
as i s
median.
The inal edge poses an in e es ing p oblem: Is he inal
edge de e mined uniquely by he beginning o he s uc u e?
The e ahed on which is gene a ed has h ee di e en ypes
o iangula aces:
wo
equal scalene iangles and
wo
un-
equal isosceles iangles.
b)
Rol%y-n? %c ion
This ac i i y in ol es cons uc ing a iangula py amid by
means o an isome y which combines a o a ion axis
wi h
a
plane o symme y.
In heoy,
a single plane is ep oduced h ee imes as he
esul o e lec ions combined
wi h
successi e
90"
o a ions
a ound he axis.
In
he diag am o
Figu e
3,
axis
o symme-
y
A
is pe pendicula o plane o symme y
x.
A
i s plane,
which we shall call FGH, is oblique in ela ion o plane o
symme y
x
and axis o o a ion
A;
a o a ion o
90"
a ound
axis
A
(coun e -clockwise) and a e lec ion in plane
x
will
gene a e plane FGI. This second plane will, in u n, gene a e
plane FHI in he same way. This hi d plane will hen gene -
a e plane GHI. The in e sec ion o hese ou planes esul s
in e ahed on FGHI. Squa e
BCDE
is he in e sec ion o
e ahed on FGHI and plane o symme y
x.
The e ices o
squa e
BCDE
a e he cen es o edges FG, GH, HI and IF
espec i ely.
Axis
o symme y
A
goes h ough he cen e o
edges FH and
GI
and is pe pendicula o hem.
In
p ac ice,
he ou e ices o he py amid,
F,
G,
H and
I,
can be posi ioned in he p e ious diag am
(Figu e
3)
in ela-
ion o he isome ic ans o ma ions: F and H a e on one
side o he plane o symme y, while
G
and
I
a e on he o he
side. S icks o equal leng h a e used o ep esen cong uen
segmen s FG, FI, HI and HG; he
wo
las edges o he e a-
hed on can hen be iden i ied: GI and FH. The s uden s a e
once again asked o d aw he di e en aces o he e ahe-
d on ha has been gene a ed.
'
an ), les angles
BCD
e
BCE
son d oi s,
DC
=
CE..
.
iges e des noeuds, au ou de la plaque anspa en e, qui
ep esen e le plan de e lexion. Les ele es co nmencen pa
cons ui e deux iangles scalenes cong us ayan pou base
le segmen
AB.
11s
deduisen la de nie e a & e
du
e aed e
qui join les deux somme s de ces iangles, en ayan
C
comme poin milieu.
de nie e a & e
:
es -elle de e minee de acon unique pa le
debu de la cons uc ion
?
Le e aed e gene e possede ce e
oisci ois ypes We en s de aces iangulai es,
a
sa oi deux
iangles scalenes egaux, e deux iangles isoceles inegaux.
Enp a zque,
on cons ui la py amide iangulai e a ec des
Un beau p obleme de de e mina ion
se
pose conce nan la
b)
La
m a io& kxion
A
pa i de l'elemen de syme ie compose
dun
axe de o a-
ion combine
a
un plan de e lexion, l'idee es oujou s de
cons ui e une py amide iangulai e qui possede une isomb
ie de o a ion- e lexion.
Thw iqumn ,
un seul plan es ep odui ois ois ap es
des ope a ions de e lexion combinees
a
des o a ions succes-
si es de
90"
au ou de l'axe.
Eaxe de syme ie
A,
si ue
dans
le plan du dessin cidessous
( oi la
i-
3),
es pe pendiculai e au plan de syme ie
x.
Un p emie plan, disons FGH, oblique pa appo au plan de
syme ie
x
e l'axe de o a ion
A,
ap es une o a ian de
90"
au ou de l'axe
A
(dans
le sem igonome ique
ou
an i-ho ai e)
e une e lexion pa appo au plan
n,
gene e le plan FGI. Ce
second plan, gene e
a
son ou , de la m&me manie e, le plan
FHI. E ce oisieme plan gene e en in le plan
GHI.
L'in e sec
ion de ces qua e plans o me le e aed e FGHI-
Le
ca e
BCDE
es l'in e sec ion du e aed e FGHI e du plan de syme-
ie
7c.
Les
somme s du
ca e
BCDE son les diem des a g es
FG, GH, HI e
IF
espec i emen . Eaxe de syme ie
A
passe pa
les milieux des a c es FH e
GI
e leu es pe pendiculai e.
En
p a zque,
on peu posi ionne
a
l'aide du c oquis de la
igu e
3
les qua e somme s
F,
G,
H e
I
de la py amide
au ou des elemen s de syme ie
:
F e H son d'un c8 e du
plan de e lexion, alo s que
G
e
I
son de l'au e c8 e. On
u dise des iges de longueu egale pou ep esen e les seg-
men s cong us FG, FI, HI e HG, e on peu
alo s
dedui e les
deux de nie es a & es du e aed e,
a
sa oi
GI
e FH.
De
nou eau les ele es son in i es
a
dessine les di e en es
aces du e aed e gene e.