Spatial Representation and the Teaching of Geometry

Richa d Pallascio, CIRADE, UQAM Richa d Allai e, UQAM Pie e Mongeau, UQAR Uni e si e du Quebec A Mon kal C.P. 8888, succu sale A Mon eal (Quebec) H3C 3P8 Canada + Resea ch unding p o ided by he Fondspou la o ma ion de che cheu s e aide 1) la eche che FCAR], go e nmen o Qubbec. Les eche ches don il se a ques ion son kaliskes a ec I’aide inancie e du FCAR. English ansla ion: T aduc ion anglaise: Pe e Bo bas Spa ial ep esen a ion and he eaching o geomeby 1 e a ew commen s on he eaching o geome y in oday’s schools, we will ou line some o he e- sea ch esul s ha ha e guided us in he de elop men o a eaching sequence which is cu en ly a he expe i- men al s age. This sequence o ac i i ies, in ended o nin h- g ade s uden s (14-15 yea s old), ocuses on gene a ing wo- and h ee-dimensional igu es, and on explo ing hei p ojec- i e p ope ies. The sequence will be demons a ed using symme ical h ee-dimensional igu es. Ini ial esul s ha e shown ha lea ning ac i i ies which include he c ea i e manipula ion o h ee-dimensional objec s os e he de el- opmen o pe cep ion and ep esen a ion abili ies in he weakes ma h s uden s, and ha he s uden s who a e he weakes on he geome ic spa ial ep esen a ion es , make he mos p og ess in ma hema ics. Topologie s uc u ale * 19 S uc u al Topology 1982 RepWn a ion de I’espace e enseignemen de la gb n6 ie p es quelques ema ques su l’enseignemen ac uel de la geome ie dans les ecoles, nous exposons A quelques esul a s dune eche che qui nous on guide dans l’elabo a ion dune sequence didacbque, ac uelle- men a l’e ape de l’expe imen a ion. Ce e sequence dac i i- es, don nous p esen ons un exemple po an SUT les olumes syme iques, a l’end oi dele es de secondai e TI1 (14-15 ans), p io ise la gene a ion de o mes e de igu es, dans l’exploi- a ion de leu s p op ie es p ojec i es. Les p emie s esul a s on oi , en e au es, que les ac i i es d‘app en issage incluan une manipula ion c ea ice dobje s geome iques ihmensionnels a o isen le de eloppemen des habile es pe cep i es e ep esen a i es des ele es les plus aibles en ma hema iques e , ecip oquemen , que ce son les ele es les plus aibles au es po an su la ep esen a ion spa iale geo- me ique qui p og essen le plus en ma hema iques. Spa ial ep esen don and Rspd en a lon de l’espace e enseignamen de la g6om6 le 1 La eaching o geome y *T ansla o ‘s no e: CEGEP e e s o he pos -sec- onda y, p e-uni e si y collegia e le el in he Quebec educa ional sys em. Commen s on he eaching o geome y The E a s gh&aux de l’enseignemen des ma hha ques au Q&%ec, a ask o ce on he eaching o ma hema ics in Quebec, adop ed a esolu ion eques ing immedia e e ision o he geome y componen s o compulso y ma h cou ses a he seconda yle el([19], p.147-148). Bu wha ype o geom- e y is in ol ed? A one ime, s uden s de eloped logic hinking p ima ily h ough he s udy o plane geome y, which was ollowed la e by he s udy o A is o elian syllogism. Geome y has g adually gi en way o algeb a, in which mo e mechanical, algo i hmic modes o easoning p e ail. In Quebec, logical easoning is cu en ly co e ed a he CEGEP le el (1 7-1 9 yea s o age) pa icula ly in philosophy cou ses.* Can no h- ing be done ea lie ? Ye a e geome y cou ses a panacea o he de elopmen o logical easoning in s uden s? (Fo exam- ple, conside he ollowing p oblem: “The o ake: I a pa al- lelog am has wo symme y axes, i mus be a ec angle.”) Though oday’s s uden s know many ac s abou geome y, hey do no seem o know how hose ac s in e ela e, no a e hey awa e o how hey a e s uc u ed and o ganized. Resea ch on lea ning has demons a ed ha isual aids (g aphics) can be use ul o unde s and ma hema ical concep s -and ha is no limi ed o geome y [4]. Bu s uden s mus be able o unde s and he g aphic ep esen a ions we use, and we mus be able o each speci ic echniques o de eloping hei spa ial- ep esen a ion abili ies. Wha be e oppo uni y o do so han in a ma hema ics cou se- he only compulso y subjec which o mally deals wi h. spa ial concep s? Fu he mo e, s uden s who ha e no co e ed p ojec i e geome y o spa ial ep esen a ion, ha e a g ea deal o di i- cul y applying hei limi ed ma h knowledge o si ua ions in which hey ha e o d aw upon hei isual/spa ial abili ies- e.g., in d a ing cou ses a he CEGEP le el o a chi ec u e cou ses a uni e si y, o when dealing wi h spa ial- ep esen- a ion p oblems in e e yday si ua ions (which a e much mo e common han p oblems equi ing numbe abili ies), such as wide- ange a el in a ci y, mid- ange mo emen h ough a pa king lo o ennis cou , o simply when exam- ining p ojec i e diag ams in ex books (wi h p ojec ions ha a e hope ully co ec !). S uden s a e gene ally p esen ed wi h a ew eady-made solids (whe he polyhed a o o he ), such as a cube, a pa al- lelepiped p ism, o a egula -based py amid. This, howe e , Quelques ema ques su I’enseignemen de la g8omMe Les E a s gene aux de l’enseignemen des ma hha ques au Que%ec on o e une esolu ion demandan la e ision p io i- ai e (( du con enu geome ique des p og ammes de ma he- ma iques du cou s obliga oi e)) ([19], p.147-148), en pa icu- lie au secondai e. Mais de quelle(s) geome ie(s) s’agi -il? Au e ois les ele es o maien leu esp i logique p incipa- lemen pa l‘e ude de la geome ie plane, puis, plus a d, pa l’e ude des syllogismes a la manie e dA is o e. lbu douce- men , la geome ie a cede la place a l’algeb e ou domine des modes de aisonnemen plus mecaniques, plus algo i h- miques. Ac uellemen au Quebec, le aisonnemen logique es e udie e de eloppe au cegep (1 7-1 9 ans) pa iculie e- men a l’in e ieu des cou s de philosophie ! N’y a- -il ien a ai e a an le cegep ? Le cou s de geome ie, bien que son bu soi de mai ise l’espace (2D, puis 3D), peu -il se i a de e- loppe l’esp i logique de l’ele e ? Les ele es daujou dhui connaissen plusieu s ai s geome iques, mais ne semblen pas sa oi quelles ela ions e abli en e ces ai s, ou en igno an leu s uc u e e leu o ganisa ion. Des eche ches su l’app en issage on demon e l’u ili e da oi ecou s au isuel, a des dessins, pou ai e com- p end e di e s concep s ma hema iques, e pas seulemen en geome ie [4]. Enco e au -il que les ele es soien en me- su e de comp end e les ep esen a ions qu’on leu p opose, e que l’on puisse leu enseigne ce aines echniques speci- iques leu pe me an de de eloppe leu ep esen a ion spa iale. E ou ealise cela, si ce n’es au cou s de ma hema- iques, le seul cou s obliga oi e qui ai e o mellemen de l’espace ? De plus, en l’absence dac i i es scolai es en geome ie p ojec i e ou su la ep esen a ion spa iale, les ele es ep ou- en beaucoup de di icul es a ans e e leu s quelques ac- quis ma hema iques dans des si ua ions ou ils au aien a exploi e leu s capaci es isuo-spa iales: cou s de dessin ech- nique au collegial ou da chi ec u e a l’uni e si e, p oblemes de ep esen a ion spa iale i es de la ie cou an e qui son beaucoup plus equen s que les p oblemes aisan appel a des habile es numk iques (ex : deplacemen s mac o-spa iaux dans une ille, deplacemen s meso-spa iaux dans un s a ion- nemen ou su un e ain de ennis.. .), simple lec u e des dessins p ojec i k dans des manuels scolai es (quand ceux-ci son co ec s p ojec i emen pa lan !). . . Les quelques o mes geome iques p oposees aux ele es Topologle s uc u ala * 19 - S uo u al Topology 1992 goes agains he p inciple o an ac i i y-o ien ed app oach o ma hema ics ha in ol es au hen ic p oblem sol ing-an app oach some imes used in o he a eas o ma hema ics. In gene al, p og ams and ex books, especially a he seconda y le el, do no e lec a dynamic app oach o lea ning, no do hey use hands-on ma e ials. The p oblem consis s in de el- oping a genm i e app oach ha uses analogous geome ic p ocesses, whe he wo-dimensional igu es @lane igu es), h ee-dimensional igu es (space igu es) o n-dimensional “hype igu es” a e in ol ed. E en he con en ional e minol- ogy limi s he gene a ion o igu es (e.g., solds a he han h ee-dimensional igu es o space igu es). Pe cep ion and ep esen a ion o a s uc u al geome ic space Spa ial abili ies may be he unde lying key o ma hema ical abili ies. Resea ch camed ou by Bishop [3] led o he hypo h- esis ha ma hema ical concep s could pe haps be de eloped no jus h ough he eaching o ma hema ics, bu also h ough he de elopmen o ce ain basic abili ies, including spa ial abili ies. Tha hypo hesis has no , o he bes o ou knowledge, been con i med; howe e , i could ha e in e es - ing implica ions o ma hema ics lea ning. Ou esea ch o e he las ew yea s may p o ide a pa ial answe o Bishop’s ques ions conce ning spa ial abili ies. A s udy camed ou among se e al hund ed subjec s o a ious ages has enabled us o iden i y ce ain ac o s whose signi i- cance lies in he ounda ions o ou esea ch me hod. We de eloped a new ins umen o measu e, which has been alida ed and is geome ically comple e, and is designed o assess geome ic de elopmen in spa ial ep esen a ion [ 151, [16], [18]. The ins umen o measu e consis s o 40 i ems, each o which con ains wo-dimensional geome ic ep esen- a ions o h ee-dimensional objec s-ei he g aphs, o cen- al, a ine o o hogonal p ojec ions. These i ems a e in keeping wi h he adi ion o psychome ic spa ial- ep esen- a ion es s using pape and pencil. They allow o an assess- men o he subjec s’ pe o mance in a ious ope a ions ha co espond o spa ial abili ies and a ious geome ic modes. Ou assessmen model, which is o he de elopmen al ype, was de eloped in la ge pa on an empi ical basis. I e y speci ically conside s spa ial abili ies in he con ex o an essen ially geome ic (as opposed o a physical, social, o o he ) space. The ma ix o he de elopmen o geome ic son ou es ai es: cube, p isme pa allelepipedique, py amide d oi e a base egulie e.. . Ce e app oche, ou l’ele e es passi , a a l’encon e des p incipes didac iques p omou an une ma hema ique a ai e, pa le biais dune e i able esolu ion de p oblemes. Les p og ammes e les manuels en gene al, su ou au secondai e, ne e le en pas un p ocessus dyna- mique dapp en issage e ne on jamais appel B du ma e iel manipula oi e. Le p obleme eside dans l’elabo a ion dune app oche pe me an de &nh pa des p ocessus geome- iques analogues, au an des igu es 2D que des o mes 3D (ou des hype o mes nD). MCme la e minologie u ilisee (. solides )) au lieu de (( o mes )), pa exemple) limi e ce a ail de gene a ion des o mes. La pe cep ion e la ep 6sen a ion d’un espace ghm&ique s uc u al I1 es possible que l’habile e spa iale soi l’habile e-cle sous- jacen e aux habile es ma hema iques. Le a ail de syn hese e ec ue pa Bishop [3] l’a amene a in ui ionne que les con- cep s ma hema iques pou aien C e de eloppgs, non seule- men pa l’enseignemen des ma hema iques, mais aussi en de eloppan ce aines habile es ondamen ales, don les ha- bile es spa iales. A no e connaissance, ce e hypo hese n’a pas enco e e e con i nee, bien qu’elle pou ai en aine des consequences in e essan es pou l’app en issage des ma he- ma iques. Le a ail que nous a ons e ec ue ces de nie es annees peu nous pe me e de epond e pa iellemen au ques ion- nemen de Bishop au ni eau des habile es spahales. A in de alue le de eloppemen geome ique de la ep esen a- ion spa iale, nous a ons elabo e un nou el ins umen de mesu e base su di e en s modes geome iques e nous l’a ons alid6 aup es de plusieu s cen aines de suje s d8ge ane [15], [16], [18]. Ce ins umen compo e 40 i ems, ous cons i ues de ep esen a ions geome iques bidimension- nelles dobje s idimensionnels, soi des g aphe s, soi des p ojec ions cen ales, a ines ou o hogonales. Ce ype di ems s’insc i dans la adi ion des es s psychome iques de ep esen a ion spa iale de ype papie -c ayon e pe me l’e alua ion de la pe o mance des suje s po an su di e- en es ope a ions co espondan a des habile es spa iales e di e s modes geome iques. Elabo e en bonne pa ie su des bases empi iques, no e modele, de ype de eloppemen al, ien comp e de aCon pa ial ep esen a ion and ie eaching o geo ne ly Rep ben a ion de espace e enseignemen de la gbomb ie Topologique Topological Oph ions I Ope a ion Habile bs Abili ies P ojec i A ine Me ique P ojec i e A ine Me ic Modes gbomb iques I Geome ic Mode Classi ica ion Classi jing I Rela ion spa iale Spa ial ela ionships (Analy ique) (Anak ical) S uc u a ion I S uc u ing De e mina ion Visualisa ion spa iale Spa ial isualiza on [Ope a oi e) (Ope a ional) De e mining Gene a ion I Gene a ing igu e 1 la ix o he de elopmen o geome ic spa ial ?p esen a ion. la ice du d6 eloppemen de la ep esen a ion Da iale g6om&ique. The opologica mode co esponds p ima ily ) he s udy o he p ope ies o adjacency and onnec edness o spa ial s uc u es, which a e iain ained ollowing one o se e al con inuous ans o ma ions, such as ex ending, con ac ing, )Iding and o sion. The pq*kcUie mode p ima- ly e e s o he s udy o he p ope ies o inci- ence o s aigh lines and planes, which a e iain ained ollowing a cen al p ojec ion. The ine mode co esponds p ima ily o he s udy o ie p ope ies o pa allelism and con exi y, which e main ained ollowing a pa allel p ojec ion. The n? /ic mode co esponds p ima ily o he s udy he p ope ies o dis ance and angula ion. Le mode qohgique co espond p incipale- len a I’6 ude des p op ie es d’adjacence e de onnexi 6 des s uc u es spa iales, lesquelles son onse ks sui e B une ou des de o ma ions on inues. elles que I’e i emen le k nkissemen : phage e la o sion. Le modep ojec i co es- ond p incipalemen a I’k ude des p op ie es ’incidence des d oi es e des plans, lesquelles on conse ks sui e a une p ojec ion cen ale. Le wde a ine co espond p incipalemen I’e ude es p op ie es de pa allelisme e de con exi k. :squelles son conse 6es sui e A une p ojec ion a alli?le. Le mode m&ique co espond p inci- alemen a I’e ude des p op i6 6s de dis ance e ‘angula ion. spa ial ep esen a ion (Figu e 1) akes in o accoun he p i- ma y elemen s o ou model. The geome ic modes’ a e deal wi h acco ding o an axioma ic hie a chy [22]. In addi- ion, we ha e iden i ied i e in ellec ual ope a ions2 [l], [17], [ 151: classi&ng and s uc u ing, which a e ela ed o he ana- lybcal spa ial abili y known as “ o m ecogni ion” (spa ial ela ionships); de e mining and gene a ing, which a e ela ed o an ope a ional spa ial abili y, “spa ial isualiza ion” ( o m ans o ma ion). The las in ellec ual ope a ion, ansposing, seems o be linked o bo h he analybcal and ope a ional ac o s; i could he e o e ha e an impo an ole as a b idge be ween he wo ypes o abili ies wi h espec o he de el- opmen o geome ic spa ial- ep esen a ion abili ies. An analysis o es esul s has enabled us o iden i y a numbe o cha ac e is ics o he de elopmen o spa ial abili- ies acco ding o a ypology o geome ic modes (see Figu e 1). Signi ican imp o emen s in es esul s become e iden in subjec s be ween app oxima ely 10 and 15 yea s o age. A ma ked imp o emen in pe o mance occu s be ween child- hood and adolescence, a e which pe o mance s abilizes. Though in a sligh ly di e en con ex , Ma io i’s indings [ 121 a e simila . We ad ance he hypo hesis ha he age span om 10 o 15 is a a ou able ime o ac i i ies designed o adequa ely s uc u e s uden s’ capaci y o spa ial ep esen- a ion, as spa ial- ep esen a ion abili ies de elop na u ally and signi ican ly (albei in a limi ed way) du ing ha pe iod. We main ain, as do o he au ho s (Ba acs [2], Bishop [3], Lean e al. [9], Lunkenbein [ll], Mi chelmo e [14], Pelleg ino e al. [20], Van Hiele [231), ha i no e o s a e made o impa ce ain concep s and p ope ies o geome y, s uden s’ men- es speci ique des habile es spa iales dans le con ex e dun espace essen iellemen ghme ique (plu b que physique, social ou au e). La ma ice du de eloppemen de la ep e- sen a ion spa iale ( oi la igu e 1) end comp e des p inci- paux elemen s de no e modele. Les modes geome iques’ son ai es selon leu hie a chie axioma ique [22], alo s que nous a ons eussi a ci consc i e cinq ope a ions in ellec- uelles2 [l], [17], [15]. Deux son eliees a une habile e spa iale de ype analy ique, connue dans la li e a u e sous le ocable (( ela ion spa iale )) (ou econnaissance des o mes), a sa oi la ckmx iu ion e la s uc u u ion. Deux au es son eliees a une habile e spa iale de ype ope a oi e, la (( isualisa ion spa iale )) (ou ans o ma ion des o mes) : la de e mina ion e la gene a ion. Une de nie e ope a ion in ellec uelle, la am- posi ion, semble C e eliee aux deux ac eu s analyhque e ope a oi e, ce qui lui con e e un 81e po en iel p ecieux pou a o ise le passage dune habile e e s l’au e, eu ega d au de eloppemen de la ep esen a ion spa iale geome ique chez l’indi idu. L’analyse des pe o mances des suje s au es spa ial pe - me diden i ie plusieu s ca ac e is iques du de eloppemen des habile es spa iales, eu ega d a une ypologie selon les modes geome iques ( oi la igum 1). Les majo a ions signi- ica i es dans les pe o mances appa aissen en e 10 e 15 ans en i on. En e e , la pe o mance des indi idus s’acc oi b usquemen en e l’en ance e l’adolescence, puis se s abi- lise ensui e. Ma io i [12], dam un con ex e un peu di e en , a ai ou e des esul a s semblables. Nous aisons l’hypo- hese que ce in e alle diige es ou indique pou des in e - en ions isan a s uc u e adequa emen la capaci e de ep esen a ion spa iale des indi idus, puisque celle-ci sly de eloppe alo s de apn na u elle e signi ica i e, bien que de aqon enco e modes e. En e e , en acco d a ec dau es au eu s (Ba acs [2], Bishop [3], Lean e al. [9], Lunkenbein [ll], Mi chelmo e [14], Pelleg ino e al. [20], Van Hiele [23]), nous es imons que sans ac i i es o qan l‘acquisi ion de ce aines no ions e p op ie es geome iques, les images in e nes ela- bo ees pa le suje peu en es bien demeu e la ie du an au ni eau de ce que Piage appelle les g oupe nen s in iub glques [21]. D’au e pa , des analyses s a is iques indiquen ce ains pa cou s p i ilegies dans le de eloppemen de la ep esen a- ion spa iale. Ce de eloppemen se p opage ai de l’analy- ique e s l’opk a ok, dans le sens des ac eu s psychome- Topologie s uc u ale 19 *S uc u al Topology 1982 S n c u ing: he iden i ica ion o he geome ic p ope ies and possible combina ion o elemen s in a spa ial s uc u e. T amon: he es ab- lishmen o co ela ions and equi alences, and ansi ions be ween he a ious geome ic le els and modes o ep esen a ion. Gene a ion: he p oduc ion o modi ica ion o a spa ial s uc u e so ha i mee s ce ain p ede e mined geome ic c i e ia. De e mina ion: he use o geome ic bounda ies o deduce he elemen s o pa ame e s o a spa ial s uc u e. Uassi ica ion: he g ouping o spa ial s uc u es acco ding o speci ic geome - ic p ope ies o pa ame e s hey ha e in common. La sUuc u a ion: iden i ie les p op iB Bs e la combina oi e g6omB iques d’une s uc u e spa iale; la ansposi ion: B abli les co espon- dances, les Bqui alences, e e ec ue le passage en e les di k en s modes de ep 6sen a ion e ni eaux g6omB iques; la @&a ion: p odui e ou modi ie une s uc u e spa iale de apn B ce qu’elle 6ponde B ce ains c i k es gBom6 iques p BdB ennin6.s; la d6 emina ion: delimi e les BlBmen s ou les pa ame es dB inis pa des con- ain es g6omB iques su une s uc u e spa iale; e la dassi ica ion: g oupe des s uc u es spa- iales selon un choix de p op iB Bs ou pa ame es gBomB iques communs. As opposed o a meso-space jn which he mo emen o objec s akes place in a isually con- olled en i onmen ], and a mac o-space an ol - ing implici ep esen a ion o mo emen s by means o a se o men al ”maps.” Pa opposi ion au nBso-espace [dBplacemen d’un obje dans un milieu con ol6 pa la ue) e le mac o-espace [ ep Bsen a ion implici e des mou- emen s pa ecollemen men al de ((ca es))). al images will likely ne e de elop beyond he s age ha Piage e e s o as in alogcal g oupings [Zl]. in he de elopmen o spa ial- ep esen a ion abili ies. The p og ession seems o go om he analy ical o he ope a- ional in e ms o psychome ic ac o s-in o he wo ds, om o m ecogni ion o o m ans o ma ion. Spa ial abili y de elopmen seems o begin wi h he opological mode and p og ess owa ds he me ic mode (wi h a deg ee o o e lap ping), acco ding o he model based on he axioma ic hie a - chy o geome ic p ope ies; howe e , in an en i onmen which is i ually de oid o ep esen a ions o he han a ine and me ic, a hia us may occu a he p ojec i e le el. Ac i i- ies ha in ol e c a s o mechanics (low-le el ac i i ies) seem o be use ul o indi iduals who ha e inhe en di icul- ies in isualizing h eedimensional o ms, whe eas ac i i- ies ha equi e he p og essi e use o deduc i e easoning (high-le el ac i i ies), such as hose in ol ed in using geo- me ic pa ame e s o de e mine he speci ic elemen s o a spa ial s uc u e, a e mo e pe inen o hose who ha e na u- al acili y, p e ious expe ience, o pa icula in e es . This pa ially answe s he ques ion aised by Bishop in 1980 ([3], p.266) conce ning he di e en eaching s a egies ha can be used wi h di e en ypes o clien ele. The de elopmen o spa ial- ep esen a ion abili ies implies a g adual shi om ac i i ies ha in ol e opological and pmjec i e igu es o c ea ing and wo king wi h spa ial ep esen a ions h ough a ious means (physical, g aphic, algeb aic and linguis ic), When limi ed o a mic o-space3-i.e., an en i onmen sui ed o handling small objec s, which can be ep esen ed on pape o on a compu e ized subs a um- he concep s ha we associa e wi h geome ic spa ial abili ies encompass he ollowing elemen s: g aphs (isomo phic, con iguous, he e o- mo phic, iso opic, he e o opic, plana , non-plana ); in e sec - ing lines; a eas; su aces ( igh , le ); p ojec ions (cen al, pa allel); polyhed a (con ex, conca e, enan iomo phous, unca ed, egula , semi- egula , homogeneous, dual); pa al- lelism, symme y ( e lec ion, o a ion, o a y e lec ion); e c. As o in ellec ual ma hema ical ope a ions, we e e o he main ac i i ies o ma hema ician-geome e s wi h espec o g aphs, ans o ma ional geome y, and he s udy o conic sec ions.. . -e.g., compa ing, disc imina ing, classi jmg, con- s uc ing, s uc u ing, pe cei ing in a ian s, analyzing, syn- hesizing, ep esen ing, and c ea ing models. In doing, so, Fu he mo e, s a is ics poin o ce ain op imal pa hways iques, allan de la (( econnaissance dune o me )) e s la (( ans o ma ion d’une o me)). Les habile es spa iales se de- eloppe aien , a ec ce ains che auchemen s, du mode o- pologique au mode me ique, selon le modele onde su la hie a chie axioma ique des p op ie es geome iques, mais a ec un hia us au ni eau p ojec , in e p e e pa le con ex e cul u e1 qui ne laisse p a iquemen de place qu’a des ep e- sen a ions de ype a ine ou me ique. Des ac i i es impli- quan des Gches de b im@ e de mecanique semblen en ables pou les indi idus ayan des di icul e s (( na u elles )) a isualise des o mes idimensionnelles blow-le el D), alo s que des ac i i es demandan un ecou s g aduel au aison- nemen dkduc i p op e a la de e mina ion des elemen s de inis pa des con ain es geome iques su une s uc u e spa iale (u high-le el N) in e essen da an age ceux qui on soi de la acili e, soi une expe ience p ealable, soi un in e & pa iculie . Ce aspec epond en pa ie a une ques ion que se posai Bishop en 1980 ([3], p.266)) a p opos des s a egies pedagogiques di e en es a o i aux di e en s ypes de clien ele. En in, le de eloppemen de la ep esen a ion spa- iale implique un deplacemen g aduel dac i ices impliquan des igu es opologiques e pmjec i es, e s la manipula- ion e la c ea ion de ep esen a ions spa iales selon di e s medias (physique, g aphique, algeb ique, linguis ique). nu en se limi an au micm-espace3, c’es -a-di e a un en i onnemen p i ilegian la manipula ion de pe i s obje s e leu ep esen a ion su papie ou su subs a in o ma- ique, les concep s que nous elions aux habile es spa iales geome iques ecou en les elemen s sui an s : les g aphes (isomo phes, connexes, he e omo phes, iso opes, he e o- opes, planai es, non planai es), les lignes inciden es, les egions, les su aces (d oi es, gauches), les p ojec ions (cen- ales, pa alleles), les polyed es (con exes, conca es, enan- iomo phes, onques, egulie s, semi- egulie s, homogenes, duals), le pa allelisme, la syme ie ( e lexion, o a ion, o a- ion- e lexion). . . Quan aux ope a ions in ellec uelles ma he na iques, nous nous e e ons aux p incipales ac i i es des ma hema i- ciens-geome es, ac i i es eliees aux g aphes, la geome ie des ans o ma ions, a l‘e ude des sec ions coniques.. . : com- pa e , disc imine , classi ie , cons ui e, s uc u e , pe ce oi des in a ian s, analyse , syn he ise , ep esen e , c ee des modeles.. . Nous nous limi ons pa con e aux concep s elies a l’enseignemen e l’app en issage de la geome ie de Spa ial ep esen a lon and he eaching o geome y Rephen a lon do I’espaw e enselgnemen de la gbomb le The lea ning ac i i ies we e designed in pa by A pa icip6 B la concep ion de ces ac i i ks, esea ch assis an Dominique Dion. Dominique Dion, agen de eche che. howe e , we limi ou sel es o he concep s ha pe ain o eaching and lea ning geome y a he seconda y le el: measu emen , angles, dis ance, a ea, olume, polygons, lines (bisec ing, pa allel, pe pendicula , and diagonal lines; se- can s; axes o symme y), simila i y, cong uence, e lec ion, o a ion, ansla ion, scaling, isome y, coo dina es, planes and polyhed a (p isms, py amids) (Minis e e de l’Educa ion du Quebec, [13]). Ou goal is o e ine he heo y while pe ec ing ou peda- gogical ools h ough he de elopmen o be e es s and mo e e ec i e eaching ma e ials in o de o achie e g ea e s uden success in ma hema ics. ’I.. . In ma hema ics educa- ion much mo e emphasis should be pu on a ious ypes o plane ep esen a ions o h ee-dimensional shapes and ela- ions.. .” [5]. ‘‘Genem i e” geome y In he sp ing o 1991, we de eloped and p e- es ed a “ each- ing sequence” ha includes a concep ual ou line (Figu e 1) o he con en s, ac i i y si ua ions, lea ning ac i i ies: appli- ca ion me hods, eache guidelines, and o he esul s ex- pec ed om he s uden s in e ms o pe o mance and e alu- a ion. The sequence consis s o eigh sessions o app oxi- ma ely one hou . These sessions a e based on a ious con- cep s pe aining o he pe cep ion o a s uc u al o ope a i e geome ic space: in e sec ion and space igu es, isome ic space igu es, p ojec ions o space igu es, and measu emen o space igu es. The pedagogical app oach unde lying he eaching se- quence includes: he manipula ion and ans o ma ion o h eedimen- sional igu es (made ma e ials such as polys y ene); ein o ced by ep esen a ions in di e en media o di e - en ypes o p ojec ions; small-g oup wo k in ol ing h ee-dimensional objec s; he use o igu a i e and non- igu a i e s imuli [8], [9]; p oblem sol ing equi ing e ec i e pe cep ion and ep e- sen a ion o geome ic space; he e baliza ion and communica ion o spa ial ideas among pee s and be ween s uden and eache , including he olun a y eh a ion o hose ideas, which necessa ily in ol es o ming mo e highly de eloped concep s o spa- ial ep esen a ion. This ype o ela i ely sys ema ic app oach, in ol ing ni eau secondai e: mesu e, angle, dis ance, ai e, olume, polygone, lignes (bissec ice, pa allele, pe pendiculai e, dia- gonale, secan e, axe de syme ie), simili ude, cong uence, e lexion, o a ion, ansla ion, homo he ie, isome ie, coo - donnees, plan e polyed e (p isme, py amide) (Minis e e de I’Educa ion du Quebec, [13]). No e bu es de a ine la heo ie, ou en pe ec ionnan nos ou ils pedagogiques pa l’eme gence de meilleu s es s, de ma e iel didac ique plus pe o man , de p ocedu es e de p a iques educa i es qui e on que les ele es aien plus de succes en ma hema iques : ((. . . in ma hema ics educa ion much mo e emphasis should be pu on a ious ypes o plane ep esen a ions o h ee-dimensional shapes and ela ions.. . )) [5]. Une g&m&ie ccg6n6m i eu Nous a ons elabo e e p e-expe imen e au p in emps 1991 une ((sequence didac ique )) qui inclu un scheme concep uel ( igu n l), des sa oi s, des si ua ions dac ion, des ac i i es dapp en issage,4 des modali ks dapplica ion e des nonnes su les in e en ions, les p oduc ions a endues des ele es e leu e alua ion. Le plan des in e en ions comp end hui encon es den i on une heu e. Celles-ci son basees su di e en es no ions eliees a la pe cep ion dun espace geo- me ique s uc u al ou ope a oi e : les in e sec ions e les olumes, les olumes isome iques, les p ojec ions des o- lumes, e la mesu e de olumes. La pedagogie sous-jacen e a la sequence didac ique, inclu les composan es sui an es : 0 la manipula ion e la ans o ma ion de o mes 3D ( o mes en polys y ene.. .) doublees de leu s ep esen a ions sous di e en s medias ou di e en s ypes de p ojec ions; 0 le a ail en pe i s g oupes au ou dobje s 3D; 0 la p esence de s imuli igu a i s e non igu a i s [8], [9]; la esolu ion de p oblemes obligean une pe cep ion e une ep esen a ion e icace de l’espace geome ique ; 0 la e balisa ion e la communica ion des (( idees )) spa iales en e pai s e a ec l’enseignan ou l’enseignan e, incluan la e u a ion olon ai e de ces idees e impliquan une necessai e s uc u a ion de concep ions majo ees su la ep esen a ion spa iale. C’es au p ix d’un el disposi i ela i emen sys ema ique, a la ealisa ion duquel au on p is pa les enseignan es e enseignan s pa icipan s, que nous pou ons a i e a mesu- e les consequences dune elle sequence didac ique, en Topdogle uc umle - 19 -S uc u al Topology * 1992 Table 1 /Tableau 1 Typology o ac i i ies in he eaching scena io. (Legend: (ope a ions) G =gene a ing; D = de e mining; T = ansposing; S = s uc u ing; C = classi ying; (geome ic mode) T= opological; P = p ojec i e; A = a ine; M = me ic.) Typologie des ac i i es du &na io dapp en is- sage. gende: (ope a ions) G: gene a ion; D: de e mina ion; T: ansposi ion; S: s mc u a ion; C: classi ica ion; (g6om6 ies) T: opologique; P: p ojec i e; A: a ine; M: me ique.) eache pa icipa ion, allows o he esul s o he eaching sequence o be measu ed in e ms o he ans e o a gen- e al spa ial abili ies o mo e geome ic abili ies, in e ms o p e equisi e abili ies, and in e ms o a mo e sa is ac o y means o in eg a ing geome y in o he school en i onmen . The ac ual es ing was ca ied ou in 1991. Ac i i ies in ol ing pe cep ion and ep esen a ion abili ies we e cen ed on he s uden s’ abili y o gene a e we and h eedimensional shapes using hands-on lea ning ma e ials. The o he ope a ions in ou concep ual ou line-de e min- ing, ansposing, s uc u ing and classl ymg-a e p esen ed as seconda y o gene a ing. Al hough seemingly con adic- o y, as gene a ion is conside ed a high-le el ac i i y, we wo ked on he p emise ha s uden s abou 15 yea s o age ha e acqui ed in ui i e pe cep ion h ough expe ience, e en hough hey may ne e ha e been equi ed o de elop hei spa ial abili ies as such. When we adminis e ed he pe cep ion and spa ial- ep esen a ion es s, he analy ical o ela- ional asks (57.6%) we e sys ema ically comple ed mo e success ully han he ope a ional o isual asks (39.4%), which coincides wi h he ope a ional inadequacies in ol ed in academic p og ams. Fu he mo e, in iew o he dyna- mism in ol ed in gene a ing wo- and h eedimensional shapes in semi-conc e e p oblem sol ing ( h eedimensional objec s and diag ams), i seemed app op ia e o use ha as a sp ingboa d o ou o he ac i i ies (see lable 1). e mes de ans e s d’une habile e spa iale gene ale e s une habile e plus geome ique, en e mes de p ealables de l’une pa appo a l’au e, e en e mes d’une ins i u ionnali- sa ion plus sa is aisan e du sa oi geome ique a l’ecole. L‘ex- pe imen a ion p op emen di e a eu lieu a l’au omne 1991. Su le plan des habile es pe cep i es e ep esen a i es, les ac i i es on e e cen ees su la capaci e a ge ne e des igu es 2D e des o mes 3D, a ec l’aide dun ma e iel ddac- ique manipula oi e. Les au es ope a ions de no e scheme concep uel, la de e mina ion, la ansposi ion, la s uc u a- ion e la classi ica ion, se p esen en de aCon subsidiai e a l’ope a ion consis an a gene e . Bien que cela pa aisse con- adic oi e, la gene a ion e an conside ee comme une ope a- ion de hau ni eau, nous a ons able su le ai que des ele- es dune quinzaine d’annees, mCme s’ils n’on jamais ai- men e e appeles a-de eloppe leu s habile es spa iales, pos- seden une expe ience pe cep i e in ui i e. Dans l’adminis- a ion de nos es s de pe cep ion e de ep esen a ion spa- iale, les iiches analy iques ou ela ionnelles (57,6 %) son sys ema iquemen mieux eussies que les iches ope a oi es ou isuelles (39,4 %), en conco dance a ec les lacunes ope- a oi es obse ees dans les p og ammes scolai es. De plus, ce e ope a ion consis an a gene e o mes e igu es, dun poin de ue didac ique, e an donne le dynamisme qu’elle p ocu e dans la esolu ion de p oblemes semi-conc e s (ob- je s 3D e dessins), a ai in e e a se i de mo eu p emie dans nos ac i i es ( oi le ableau 1). 1. In e sec ion and space igu e / In e sec ions e olumes GDTS TP 2. Isome ic space igu es / Volumes isome iques a) o a ion / pa o a ion b) e lec ion / pa k lexion c) o a y e lec ion / pa compode a) cen al / cen ales b) pa allel / pa all&les 4. Measu ing space igu es / Mesu es de olumes a) Simple polyhed on / POlyM e le plus simple b) “Te ahed iza ion” o polyhed a / T& aM isa ion des polyM es cl Minimal “Te ahed iza ion” / Te a6d isa ion minimale 3. P ojec ions o space igu es / P ojec ions de olumes GDTSC GDTSC GDTSC PM PM PM GDTSC GDTSC GD S GDTSC GDTS P A T T AM TP d, T isec ion o a hal cube /T isec ion du demi-cube GDTSC TPAM e) Volume o an oblique iangula p ism /Volume du p isme iangulai e oblique GD AM ) Volume o an oblique quad ila e al p ism /Volume du p isme quad ila e al oblique G D AM g) Volume o any iangula p ism /Volume du p isme iangulai e quelconque GD AM h) Applica ion /Applica ion GD SC PM Spa lal ep esen a ion and he eaching o geomeby Rap Qema ion de I’wpace e enseignemen de la gbomb ie Figu e 2 Te ahed on wi h a symme y o e lec ion. Tk aBd e compose dune symk ie de e lexion. An example o an ac i i y in ol ing isome ic space igu es The objec i e o his ac i i y is o explo e he gene a ion o space igu es by means o isome ic ans o ma ions: o a- ion, e lec ion and o a y e lec ion. A his s age, he each- e ’s p esen a ion would include he ollowing: an explana ion o he dis inc ion be ween a pai o cong uen space igu es and a space igu e and i s e lec ion image; a desc ip ion o isome ic ans o ma ions in space camed ou on a o a ion axis and on a plane o e lec ion symme y; a demons a ion o he ela ionship be ween he posi ions o he o a ion axis and he plane o e lec ion symme y and a ious o he planes (pe pendicula , pa allel o oblique); and an o e iew o he possible combina ions o a ious ypes o symme y. The eache explains o he s uden s how o p og ess om wo lung wi h planes ha a e conside ed unlimi ed, as in he i s ac i i y (In e sec ion and space igu es), o wo king wi h he edges and e ices o space igu es in he second ac i i y. The in e sec ing planes (lines and poin s) become he edges and e ices o space igu es; he planes a e hen called aces. Thus, he cons uc ion s icks and join s used in he ac i i y a e he edges and e ices o he igu e, and he in e sec ions o in ini e planes. a) Re lec ion In his ac i i y, an imagina y plane o e lec ion, ep esen ed by a ci cula pla e o anspa en plas ic (see Figu e Z), is used o cons uc a iangula py amid cha ac e ized by he isome y o a plane e lec ion. In heoy, he py amid is cons uc ed as ollows. The i s plane (AABE) in e sec s he plane o e lec ion obliquely; he plane o e lec ion ep oduces plane ABE on he o he side (AABD). The in e sec ion o he esul ing dihed on (whe e wo planes mee ) is in he plane o e lec ion (AABC). Wo o he planes (AADE and ABDE), which a e pe pendicula o he plane o e lec ion bu canno be ep oduced by ha plane, comple e py amid ABDE wi h in e sec ions ha a e common o he ou planes. In his isome ic ans o ma ion, all he poin s o he space igu e a e ep oduced a an equal dis ance om plane o e lec ion and a e pe pendicula o ha plane. a e isosceles iangles, bu unequal ones (o he wise he e would be a second plane o e lec ion in e sec ing DE and he cen e o AB); AADB and ABAE a e scalene iangles ( o No e: AABC is in he plane o e lec ion; AADE and ABDE Un exemple d’ac i i e su les olumes isom&nques L‘objec i de ce e ac i i e es dexplo e la gene a ion de o- lumes dans l’espace a pa i des ans o ma ions isome- iques : la o a ion, la e lexion e la o a ion- e lexion. La p esen a ion de l’enseignan ou de l’enseignan e inclu ici des explica ions su la dis inc ion en e les o mes egales cong uen es e enan iomo phes, une desc ip ion des ans- o ma ions isome iques dans l’espace, ope ees a pa i dun axe de o a ion e d’un plan de e lexion, une demons a ion des appo s de posi ions en e ces elemen s e un plan quel- conque (pe pendiculai e, pa allele e oblique), e se e mine pa un ape cu des combinaisons possibles en e les elemen s de syme ie. On explique aux ele es le passage de la cons uc ion a ec des plans conside es comme illimi es execu ee au cou s de l’ac i i e p eceden e (In e sec ions e olumes), a la cons- uc ion a pa i des a 6 es e des somme s du olume dans la p esen e ac i i e. En ai , les in e sec ions aux c oisemen s des plans (d oi es e poin s) de iennen alo s les a i es e les somme s du olume e les plans p ennen le nom de aces. Ainsi les iges e les noeuds &assemblage son a la ois les a e es e les somme s du olume, a la ois les in e sec ions en e des plans in inis. a) La~ lexion En u ilisan un plan imaginai e, ep esen e dans ce e ac i- i e pa une plaque ci culai e en plas ique anspa en ( oi la igu e Z), on eu cons ui e une py amide iangulai e qui possede une isome ie de e lexion. Theoo iquemen , un p emie plan (AABE) c oise dans une posi ion oblique le plan de e lexion qui le ep odui une ois de l’au e cB e (AABD). Le died e (ou deux plans qui se en- con en ) ainsi o me a son in e sec ion si uee dans le plan de e lexion (AABC). Deux au es plans (AADE e ABDE) places pe pendiculai emen au plan de e lexion, qui ne peu les double dans ce e posi ion, comple en la py amide ABDE pa des in e sec ions communes en e les qua e plans. Dans ce e ans o ma ion isome ique, ous les poin s de la o me son epo es pe pendiculai emen e a egale dis ance du plan de e lexion. No e: le AABC es dans le plan de syme ie, les AADE e ABDE son isoceles, mais inegaux (sans quoi il y au ai un second plan de syme ie passan pa DE e le milieu de AB), les AADB e ABAE son scalenes (m6me aison que cide- Topologie s uc u aie * 19 * S uc ls al Topology * 1 9BZ Figu e 3 Te ahed on wi h a combined symme y o o a ion- e lec ion. T6 aM e compose d'une syme ie composke o a ion- 6 lexion. he same eason ha AADE and ABDE a e isosceles); BCD and BCE a e igh angles; and DC = CE. In p ac ice, iangula py amids a e cons uc ed wi h s icks and join s (hinges) a ound he plas ic pla e, which ep esen s he plane o e lec ion. The s uden s s a by cons uc ing wo cong uen scalene iangles, wi h segmen AB as a base. Deduc i ely, hey de e mine he las edge o he e ahed on ha joins he wo e ices o he wo iangles, wi h C as i s median. The inal edge poses an in e es ing p oblem: Is he inal edge de e mined uniquely by he beginning o he s uc u e? The e ahed on which is gene a ed has h ee di e en ypes o iangula aces: wo equal scalene iangles and wo un- equal isosceles iangles. b) Rol%y-n? %c ion This ac i i y in ol es cons uc ing a iangula py amid by means o an isome y which combines a o a ion axis wi h a plane o symme y. In heoy, a single plane is ep oduced h ee imes as he esul o e lec ions combined wi h successi e 90" o a ions a ound he axis. In he diag am o Figu e 3, axis o symme- y A is pe pendicula o plane o symme y x. A i s plane, which we shall call FGH, is oblique in ela ion o plane o symme y x and axis o o a ion A; a o a ion o 90" a ound axis A (coun e -clockwise) and a e lec ion in plane x will gene a e plane FGI. This second plane will, in u n, gene a e plane FHI in he same way. This hi d plane will hen gene - a e plane GHI. The in e sec ion o hese ou planes esul s in e ahed on FGHI. Squa e BCDE is he in e sec ion o e ahed on FGHI and plane o symme y x. The e ices o squa e BCDE a e he cen es o edges FG, GH, HI and IF espec i ely. Axis o symme y A goes h ough he cen e o edges FH and GI and is pe pendicula o hem. In p ac ice, he ou e ices o he py amid, F, G, H and I, can be posi ioned in he p e ious diag am (Figu e 3) in ela- ion o he isome ic ans o ma ions: F and H a e on one side o he plane o symme y, while G and I a e on he o he side. S icks o equal leng h a e used o ep esen cong uen segmen s FG, FI, HI and HG; he wo las edges o he e a- hed on can hen be iden i ied: GI and FH. The s uden s a e once again asked o d aw he di e en aces o he e ahe- d on ha has been gene a ed. ' an ), les angles BCD e BCE son d oi s, DC = CE.. . iges e des noeuds, au ou de la plaque anspa en e, qui ep esen e le plan de e lexion. Les ele es co nmencen pa cons ui e deux iangles scalenes cong us ayan pou base le segmen AB. 11s deduisen la de nie e a & e du e aed e qui join les deux somme s de ces iangles, en ayan C comme poin milieu. de nie e a & e : es -elle de e minee de acon unique pa le debu de la cons uc ion ? Le e aed e gene e possede ce e oisci ois ypes We en s de aces iangulai es, a sa oi deux iangles scalenes egaux, e deux iangles isoceles inegaux. Enp a zque, on cons ui la py amide iangulai e a ec des Un beau p obleme de de e mina ion se pose conce nan la b) La m a io& kxion A pa i de l'elemen de syme ie compose dun axe de o a- ion combine a un plan de e lexion, l'idee es oujou s de cons ui e une py amide iangulai e qui possede une isomb ie de o a ion- e lexion. Thw iqumn , un seul plan es ep odui ois ois ap es des ope a ions de e lexion combinees a des o a ions succes- si es de 90" au ou de l'axe. Eaxe de syme ie A, si ue dans le plan du dessin cidessous ( oi la i- 3), es pe pendiculai e au plan de syme ie x. Un p emie plan, disons FGH, oblique pa appo au plan de syme ie x e l'axe de o a ion A, ap es une o a ian de 90" au ou de l'axe A (dans le sem igonome ique ou an i-ho ai e) e une e lexion pa appo au plan n, gene e le plan FGI. Ce second plan, gene e a son ou , de la m&me manie e, le plan FHI. E ce oisieme plan gene e en in le plan GHI. L'in e sec ion de ces qua e plans o me le e aed e FGHI- Le ca e BCDE es l'in e sec ion du e aed e FGHI e du plan de syme- ie 7c. Les somme s du ca e BCDE son les diem des a g es FG, GH, HI e IF espec i emen . Eaxe de syme ie A passe pa les milieux des a c es FH e GI e leu es pe pendiculai e. En p a zque, on peu posi ionne a l'aide du c oquis de la igu e 3 les qua e somme s F, G, H e I de la py amide au ou des elemen s de syme ie : F e H son d'un c8 e du plan de e lexion, alo s que G e I son de l'au e c8 e. On u dise des iges de longueu egale pou ep esen e les seg- men s cong us FG, FI, HI e HG, e on peu alo s dedui e les deux de nie es a & es du e aed e, a sa oi GI e FH. De nou eau les ele es son in i es a dessine les di e en es aces du e aed e gene e.