Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes

T eball de Fi de G au
G au en Enginye ia en Tecnologies Indus ials
ANÀLISI FREQÜENCIAL EN LA
DINÀMICA DE SISTEMES
MEMÒRIA
Au o /a: Víc o Rakosnik Mas
Di ec o /a: C is ina Lampón Dies e
Co-di ec o /a: En ic Fossas Cole
Con oca ò ia: Ab il 2025
Escola Tècnica Supe io
d’Enginye ia Indus ial de Ba celona
Pàg. 2 Memò ia
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 3
Resum
L’objec iu d’aques eball és aconsegui una no a p àc ica de labo a o i de l’assigna u a
Dinàmica de Sis emes del g au Enginye ia en Tecnologies Indus ial de l’ETSEIB en el domini
eqüencial. Aques a p àc ica consis eix a con ola un mo o de co en con inu que a de
plan a del sis ema amb un compensado .
Pe an , pe assoli aques objec iu s’han eali za di e en s es udis: modeli zació de la plan a
a con ola , de inició dels objec ius de con ol del sis ema, es udi, disseny i simulació del
compensado an pe a anç de ase com pe e a d de ase, mun a ge del ci cui , anàlisi
expe imen al del compensado i del sis ema compensa .
Un cop eali za s o s aques s es udis s’han aconsegui dissenya els dos ipus de
compensado s i s’ha eali za el mun a ge del ci cui del compensado pe a anç de ase.
També s’ha aconsegui la eali zació d’un nou model de p àc iques on es p oposen o un
ecull de p egun es i de codis de MATLAB pe què l’es udian pugui eali za la p àc ica, així
com la solució de o es aques es p egun es i la eo ia de l’assigna u a que es eballa en
cadascuna d’elles.
Pàg. 4 Memò ia
Resumen
El obje i o de es e abajo es consegui una nue a p ác ica de labo a o io de la asigna u a
Dinámica de Sis emas del g ado Ingenie ía en Tecnologías Indus ial de la ETSEIB en el
dominio de la ecuencia. Es a p ác ica consis e en con ola un mo o de co ien e con inuo
que hace de plan a del sis ema con un compensado .
Po lo an o, pa a log a es e obje i o se han ealizado di e en es es udios: modelización de
la plan a a con ola , de inición de los obje i os de con ol del sis ema, es udio, diseño y
simulación del compensado an o po a ance de ase como po e aso de ase, mon aje del
ci cui o, análisis expe imen al del compensado y del sis ema compensado.
Una ez ealizados odos es os es udios se han conseguido diseña los dos ipos de
compensado es y se ha ealizado el mon aje del ci cui o del compensado po a ance de
ase. También se ha conseguido la ealización de un nue o modelo de p ác icas donde se
p oponen oda una compilación de p egun as y de códigos de MATLAB pa a que el es udian e
pueda ealiza la p ác ica, así como la solución de odas es as p egun as y la eo ía de la
asigna u a que se abaja en cada una de ellas.
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 5
Abs ac
The aim o his wo k is o achie e a new labo a o y p ac ice o he Dynamic Sys ems subjec
o he deg ee in Indus ial Technology Enginee ing a he ETSEIB in he equency domain.
This p ac ice consis s o con olling a mo o ha ac s as a plan o he sys em wi h a
compensa o .
The e o e, o achie e his objec i e, di e en s udies ha e been ca ied ou : modeling o he
plan o be con olled, de ini ion o he con ol objec i es o he sys em, s udy, design and
simula ion o he compensa o bo h o phase-lead and o phase-lag, assembly o he ci cui ,
expe imen al analysis o he compensa o and he compensa ed sys em.
Once all hese s udies ha e been ca ied ou , he wo ypes o compensa o s ha e been
designed and he assembly o he compensa o ci cui by phase-lead. I has also been
achie ed he ealiza ion o a new model o p ac ices whe e a collec ion o ques ions and
MATLAB codes a e p oposed so ha he s uden can ca y ou he p ac ice, as well as he
solu ion o all hese ques ions and he heo y o he subjec ha is wo ked on in each o hem.

Pàg. 6 Memò ia
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 7
Con ingu
Resum .................................................................................................................................. 3
Resumen .............................................................................................................................. 4
Abs ac ................................................................................................................................. 5
Con ingu .............................................................................................................................. 7
Glossa i i nomencla u a ........................................................................................................ 9
Llis a de igu es .................................................................................................................. 10
Llis a de aules ................................................................................................................... 12
1-P e aci ............................................................................................................................. 13
2-In oducció ....................................................................................................................... 14
2.1-Mo i ació ................................................................................................................... 14
2.2-Abas del eball ......................................................................................................... 14
2.3-Reque imen s p e is ................................................................................................. 14
2.4-Objec ius del eball ................................................................................................... 14
3-Ma c eò ic ....................................................................................................................... 16
3.1-Dinàmica de sis emes ............................................................................................... 16
3.1.1-Sis ema ............................................................................................................... 16
3.1.2-Model ma emà ic ................................................................................................. 16
3.1.3-Sis ema genè ic .................................................................................................. 16
3.2- Respos a empo al ................................................................................................... 17
3.2.1-En ades ípiques ................................................................................................ 18
3.2.2-Sis emes de p ime o d e .................................................................................... 18
3.2.3-Sis emes de segon o d e .................................................................................... 20
3.2.4-Es abili a ............................................................................................................ 22
3.2.5-In e namen es able ............................................................................................ 23
3.2.6-E o en es a es aciona i .................................................................................... 23
3.2.7-Con olado s PID ................................................................................................ 24
3.3-Respos a eqüencial ................................................................................................. 25
3.4-Diag ama de Bode .................................................................................................... 27
3.4.1-Ressonància ....................................................................................................... 28
3.5-Diag ama de Nyquis ................................................................................................. 29
3.6-C i e i de Nyquis ....................................................................................................... 29
3.7-C i e i simpli ica de Bode .......................................................................................... 29
3.7.1-Ma ge de guany .................................................................................................. 29
3.7.2-Ma ge de ase ..................................................................................................... 30
3.8-Compensado s .......................................................................................................... 31
Pàg. 8 Memò ia
3.8.1-A anç de ase ..................................................................................................... 32
3.8.1.1-Mè ode exac e .............................................................................................. 32
3.8.1.2-Mè ode i e a iu .............................................................................................. 32
3.8.2-Re a d de ase .................................................................................................... 33
3.8.2.1-Mè ode exac e .............................................................................................. 33
3.8.2.2-Mè ode i e a iu .............................................................................................. 33
3.9-Ampli icado s ope acionals ........................................................................................ 34
4-Ma c P àc ic ..................................................................................................................... 36
4.1-In oducció ................................................................................................................. 36
4.2-Ma e ial del labo a o i ................................................................................................ 36
4.3-Es udi de la plan a ..................................................................................................... 37
4.3.1-Modeli za sis ema .............................................................................................. 38
4.3.2-Es udi eqüencial del sis ema en eloci a .......................................................... 40
4.3.3-Es udi eqüencial del sis ema en posició ............................................................ 44
4.3.4-Conclusió de l’es udi ........................................................................................... 46
4.4-Disseny del compensado ......................................................................................... 47
4.4.1-Model desi ja ...................................................................................................... 47
4.4.2-Disseny del ci cui ............................................................................................... 48
4.4.2.1-AO Guany .................................................................................................... 48
4.4.2.2-AO ze o i pol................................................................................................. 49
4.4.2.3-AO Compensado ......................................................................................... 49
4.4.3-Compa ació model amb ci cui ............................................................................ 50
4.5-Mun a ge del compensado ....................................................................................... 52
4.6-P o a del compensado ............................................................................................. 54
4.6.1-Compensado ..................................................................................................... 54
4.6.2-Sis ema compensa ............................................................................................ 55
4.6.2.1-Sis ema compensa en eloci a ................................................................... 55
4.6.2.1-Sis ema compensa en posició ..................................................................... 60
4.7-Plan eja no a p àc ica .............................................................................................. 62
5-Resul a s i discussió ........................................................................................................ 65
6-Plani icació ...................................................................................................................... 66
7-Es udi econòmic .............................................................................................................. 67
8-Es udi ambien al .............................................................................................................. 68
9-Es udi social i d’igual a de gène e ................................................................................... 69
10-Conclusió ....................................................................................................................... 70
11-Ag aïmen s .................................................................................................................... 71
12-Bibliog a ia ..................................................................................................................... 72
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 9
Glossa i i nomencla u a
PID: Con olado s P opo cionals In eg als De i a ius
AF: A anç de Fase
RF: Re a d de Fase
EDO: Equació Di e encial O dinà ia
𝐾𝑒 : Ampli ud de l’en ada impuls i g aó
K: Guany canònic
𝜏 : cons an de emps
VF: Valo Final
𝜔𝑛: F eqüència na u al
ξ: Coe icien d’esmo eïmen
TVF: Teo ema de Valo Final
GLA(s): Funció de ans e ència en llaç obe
dB: Decibels
𝜔𝑅: F eqüència de essonància
𝑀𝑅: Mòdul de essonància
𝑧: F eqüència del ze o del compensado
𝑝: F eqüència del pol del compensado
𝛾𝑑: Ma ge de ase desi ja
∆𝑃: Ma ge de segu e a
𝛾𝑠𝑐: Ma ge de ase del sis ema sense compensado
𝛾𝐴𝑐: Ma ge de ase del sis ema amb compensado
AO: Ampli icado Ope acional
Pàg. 16 Memò ia
3-Ma c eò ic
3.1-Dinàmica de sis emes
3.1.1-Sis ema
En la Dinàmica de Sis emes s’es udien sis emes lineals, és a di que la elació en e l’en ada
i la so ida es a de inida pe una equació di e encial lineal o, el que és equi alen , pe elacions
en e ans o mades de Laplace.
3.1.2-Model ma emà ic
El model ma emà ic gene al que pe me de ini sis emes lineals i in a ian s amb el emps i
que elaciona l’en ada 𝑥(𝑡) i la so ida 𝑦(𝑡) és una equació di e encial d’o d e 𝑛 que p esen a
la següen o ma:
𝑎𝑛⋅𝑑 𝑛 𝑦(𝑡)
𝑑𝑡 𝑛 + ··· + 𝑎1⋅𝑑 𝑦(𝑡)
𝑑𝑡 +𝑎0⋅𝑦(𝑡) = 𝑏𝑚⋅𝑑 𝑚 𝑥(𝑡)
𝑑𝑡 𝑚 + ··· + 𝑏1⋅𝑑 𝑥(𝑡)
𝑑𝑡 +𝑏0⋅𝑥(𝑡)   (Eq. 1.1)
Aplican ans o mada de Laplace a banda i banda de la igual a i suposan condicions
inicials nul·les, s’ob é:
𝑎𝑛⋅𝑠𝑛⋅𝑌(𝑠) + ··· + 𝑎1⋅𝑠⋅𝑌(𝑠) + 𝑎0⋅𝑌(𝑠)= 𝑏𝑚⋅𝑠𝑚⋅𝑋(𝑠) + ··· + 𝑏1⋅𝑠⋅𝑋(𝑠) + 𝑏0⋅𝑋(𝑠)
𝑌(𝑠) ⋅ ( 𝑎𝑛⋅𝑠𝑛 + ··· + 𝑎1⋅𝑠 + 𝑎0 ) = 𝑋(𝑠) ⋅ ( 𝑏𝑚⋅𝑠𝑚 + ··· + 𝑏1⋅𝑠 + 𝑏0 )
𝑊(𝑠) = 𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)= 𝑏𝑚⋅𝑠 𝑚 + ··· + 𝑏1⋅𝑠 + 𝑏0
𝑎𝑛⋅𝑠 𝑛 + ··· + 𝑎1⋅𝑠 + 𝑎0 (Eq. 1.2)
Així en lloc de eballa amb una equació di e encial o dinà ia (EDO) es passa a eballa amb
una di isió de polinomis en l’espai de Laplace que s’anomena unció de ans e ència o
ansmi ància. Relaciona l’en ada amb la so ida i no malmen , es ep esen a com a 𝑊(𝑠).
Figu a 1: Sis ema
𝑋(𝑠) ⋅ 𝑊(𝑠) = 𝑌(𝑠)  →  𝑊(𝑠) = 𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠) (Eq. 1.3)
3.1.3-Sis ema genè ic
Figu a 2: Sis ema genè ic

Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 17
En un sis ema p incipalmen es di e encien es componen s que es an de ini s pe blocs: el
con olado 𝐺𝐶(𝑠), la plan a 𝐺𝑃(𝑠) i el senso 𝐻(𝑠).
El con olado és l’elemen del sis ema que pe me e el con ol del sis ema. La plan a és
l’elemen del sis ema que gene a la a iable de so ida i sol se la pa del sis ema que
s’in en a con ola . El senso que és la pa del sis ema que pe me ecolli la a iable de
so ida pe a pode -la compa a amb l’en ada.
També es di e encien cinc a iables impo an s: l’en ada consigna del sis ema, 𝑋(𝑠),
l’en ada pe o bació, 𝑃(𝑠), el so oll, 𝑁(𝑠), la a iable de so ida, 𝑌(𝑠), i la a iable e o , 𝐸(𝑠).
La consigna és la a iable d’en ada que es po sin oni za pe aconsegui el alo espe a en
la so ida i la pe o bació és una en ada del sis ema desconeguda que en el millo s dels casos
se’n coneixen els lími s i la o ma. La so ida és la a iable que es desi ja con ola i l’e o és
una a iable in e na. Finalmen , po se que apa egui una al a pe o bació deguda al so oll
de la mesu a, no malmen si uada a la ealimen ació.
En la dinàmica de sis emes s’es udien els sis emes en dos dominis: el ègim empo al i el
ègim eqüencial. La di e ència p incipal es à a eu e com es compo a el sis ema en unció
de les di e en s en ades que s’in odueixen. En aques eball ens cen a em en el ègim
eqüencial enca a així s’ha de e una b eu pinzellada del ègim empo al pe a pode
en end e com modeli zem la plan a i com és el sis ema que in en a em con ola a la pa
p àc ica.
3.2- Respos a empo al
La espos a empo al, com bé indica el seu nom, consis eix a es udia la so ida del sis ema
exci an -lo amb una en ada que depèn del emps. La so ida es po calcula en la
ans o mada in e sa de Laplace de 𝑌(𝑠) de la següen mane a.
𝑦(𝑡)=ℒ−1[𝑌(𝑠)] (Eq. 2.1)
En el cas del diag ama de la Figu a 2 es po aplica el p incipi de supe posició, ja que el
sis ema és lineal i calcula pe una pa la so ida deguda únicamen a la consigna i pe l’al a
pa la so ida deguda únicamen a la pe o bació. En ambdós casos la so ida es po calcula
com el p oduc e de la ansmi ància pe l’en ada co esponen .
𝑌(𝑠)=𝑌𝑥(𝑠)+𝑌𝑝(𝑠)= 𝑊𝑥(𝑠)·𝑋(𝑠)+𝑊𝑝(𝑠)·𝑃(𝑠) (Eq. 2.2)
Les ansmi àncies WX(s) i WP(s) es poden calcula de la següen mane a:
𝑊𝑥(𝑠)=𝑌𝑥(𝑠)
𝑋(𝑠) =𝐺𝐶(𝑠)·𝐺𝑃(𝑠)
1+𝐺𝐶(𝑠)·𝐺𝑃(𝑠)·𝐻(𝑠) (Eq. 2.3)
𝑊𝑝(𝑠)=𝑌𝑝(𝑠)
𝑃(𝑠) =𝐺𝑃(𝑠)
1+𝐺𝐶(𝑠)·𝐺𝑃(𝑠)·𝐻(𝑠) (Eq. 2.4)
S’obse a que en les dues uncions de ans e ència, un cop es iguin simpli icades, el
denominado anomena polinomi ca ac e ís ic se à el ma eix. La aó és que el denominado
no depèn ni de l’en ada ni de la so ida, depèn únicamen del sis ema. Finalmen ,
s’iden i iquen quines són les en ades amb les quals es po exci a el sis ema.
Pàg. 18 Memò ia
3.2.1-En ades ípiques
En el ègim empo al es enen di e en s ipus d’en ades, les més impo an s són l’en ada
impuls i l’en ada g aó que es mos en a con inuació. Es conside a que l’ampli ud de l’en ada
és 𝐾𝑒.
-En ada impuls:
𝑥(𝑡)= 𝐾𝑒·𝛿(𝑡) →𝑋(𝑠)=𝐾𝑒 (Eq. 3.1)
Figu a 3: En ada impuls
-En ada g aó:
𝑥(𝑡)= 𝐾𝑒·𝑢(𝑡) →𝑋(𝑠)=𝐾𝑒
𝑠 (Eq. 3.2)
Figu a 4: En ada g aó
3.2.2-Sis emes de p ime o d e
La espos a dels di e en s sis emes es ca ac e i za p incipalmen pe com és el polinomi
ca ac e ís ic. És impo an conèixe el concep e d’o d e del sis ema que és p ecisamen el
g au del polinomi i ambé ho és el pol o pols del sis ema, que són les a els del denominado .
Els sis emes de p ime o d e p esen en aques a ansmi ància genè ica, on s’obse en els
di e en s pa àme es que la de ineixen; el guany canònic (𝐾) i la cons an de emps (𝜏), posi i a
i exp essada en segons.
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 19
𝑊(𝑠)= 𝐾
𝜏·𝑠+1 (Eq. 4.1)
A con inuació es mos en les espos es d’aques sis ema da an d’en ada impuls i g aó.
Aques es espos es s’ob enen de e la ans o mada in e sa de Laplace de la ansmi ància
mul iplicada pe l’en ada.
-Respos a impulsional:
𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒
𝜏·𝑒−𝑡
𝜏· 𝑢(𝑡) (Eq. 4.2)
Figu a 5: Respos a impulsional
-Respos a indicial:
𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒·(1−𝑒−𝑡
𝜏)·𝑢(𝑡) (Eq. 4.3)
Figu a 6: Respos a indicial
Aques a espos a p esen a dos alo s o ça impo an s: el p ime és el alo inal que assoleix
la so ida que es po calcula com el p oduc e de l’ampli ud de l’en ada pe el guany canònic
del sis ema. També és elle an el emps que a da la espos a a assoli ce s pe cen a ges
del alo inal (VF), aques a in o mació queda ecollida en la aula següen .
Pe cen a ge VF
63%
86%
95%
98%
Temps (s)
𝜏
2𝜏
3𝜏
4𝜏
Taula 1: Temps de la espos a indicial en sis emes de p ime o d e
Pàg. 20 Memò ia
3.2.3-Sis emes de segon o d e
Els sis emes de segon o d e p esen en dues ansmi àncies genè iques equi alen s, on es
poden obse a els di e en s pa àme es que les de ineixen; el guany canònic (𝐾), la cons an
de emps (𝜏), la eqüència na u al (𝜔𝑛), exp essada en ad/s i el coe icien d’esmo eïmen (ξ).
𝑊(𝑠)=𝐾
𝜏2·𝑠2+2·𝜏·ξ+1 =𝐾·𝜔𝑛2
𝑠2+2·𝜔𝑛·ξ+𝜔𝑛2 (Eq. 5.1)
La p ime a o ma canònica i la segona o ma canònica són equi alen s, ja que la eqüència
na u al i la cons an de emps són l’in e s l'una de l’al a.
𝜔𝑛=1
𝜏 (Eq. 5.2)
Els sis emes de segon o d e enen dos pols i en unció de com siguin es poden classi ica en
di e en s ipus de sis emes. En la aula següen es mos a la classi icació.
Classi icació
Pols
Es abili a
Sob esmo eï
Reals, amb pa eal nega i a i di e en s.
Es able
Esmo eïmen c í ic
Reals, amb pa eal nega i a i iguals.
Es able
Subesmo eï
Complexos amb pa eal i imaginà ia.
Es able
Oscil·lan
Complexos solamen amb pa imaginà ia.
Ma ginalmen es able
Ma ginalmen es able
Reals, un amb pa eal nul·la i l’al e nega i a.
Ma ginalmen es able
Ines able
Pa eal posi i a o pol epe i amb pa eal nul·la.
Ines able
Taula 2: Sis emes de segon o d e
Ens in e essa conèixe la espos a empo al d’aques s di e en s sis emes de segon o d e
da an d’en ada g aó, és a di la espos a indicial.
Val la pena des aca que la espos a del sis ema a di ec amen elacionada amb la posició
dels pols en el pla complex, la pa eal s’enca ega del esmo eïmen i la pa imaginà ia de
la eqüència oscil·lació. En els g à ics que es mos en a con inuació es an ep esen a s
di e en s sis emes de segon o d e amb guany canònic uni a i.
-Sis ema sob esmo eï :
𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒·(1+ 𝜔𝑛
2√ξ2−1·(−𝑒𝑠1·𝑡
𝑠1+𝑒𝑠2·𝑡
𝑠2))·𝑢(𝑡) (Eq. 5.3)
Figu a 7: Sis ema sob esmo eï
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 21
-Sis ema esmo eïmen c í ic:
𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒·(1−𝑒−𝜔𝑛·𝑡 ·(1+𝜔𝑛·𝑡))·𝑢(𝑡) (Eq. 5.4)
Figu a 8: Sis ema esmo eïmen c í ic
-Sis ema subesmo eï :
𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒·(1−𝑒−ξ 𝜔𝑛𝑡
√1−ξ2·sin(𝜔𝑛√1−ξ2+ an−1√1−ξ2
ξ))·𝑢(𝑡) (Eq. 5.5)
Figu a 9: Sis ema subesmo eï
-Sis ema oscil·lan :
𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒·(1−cos(𝜔𝑛𝑡))·𝑢(𝑡) (Eq. 5.6)
Figu a 10: Sis ema oscil·lan

Pàg. 22 Memò ia
3.2.4-Es abili a
Les solucions d’una EDO enen de inides pe unes condicions de con o n o condicions
inicials. En sis emes no lineals aques es solucions poden se an es ables com ines ables és
pe això que no es pa la de l’es abili a del sis ema sinó de l’es abili a de la solució. En EDO
lineals a coe icien s cons an s es po demos a que si una solució és es able o es ho se an,
pe aques mo iu, es po pa la de l’es abili a del sis ema.
Un sis ema lineal a coe icien s cons an s és es able si, i només si, la espos a impulsional
con e geix a ze o quan el emps endeix a in ini . A e ec es p àc ics pe sabe l’es abili a d’un
sis ema ens ixem en el polinomi ca ac e ís ic, depenen de com siguin les a els d’aques
polinomi pod em sabe si el sis ema és es able, ma ginalmen es able o ines able.
-Sis ema es able: Aquell sis ema que da an d’una en ada impuls s’ob é una espos a que
con e geix a ze o. Un sis ema es able é o s els pols amb pa eal nega i a.
Figu a 11: Exemple sis ema es able
-Sis ema ma ginalmen es able: Es pa la d’es abili a ma ginal quan la espos a impulsional
no endeix a ze o ni a in ini , és a di , es man é i ada. Un sis ema ma ginalmen es able é
algun pol sense pa eal i mul iplici a u, si é més pols, aques s han de se es ables. Cal
ema ca que un in eg ado pu és un sis ema ma ginalmen es able.
Figu a 12: Exemple sis ema ma ginalmen es able
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 23
-Sis ema ines able: Aquell sis ema que da an d’una en ada aco ada la se a espos a
s’escapa a l'in ini . Un sis ema ines able, o bé po p esen a un pol amb pa eal posi i a, o
bé algun pol sense pa eal i mul iplici a supe io a u.
Figu a 13: Exemple sis ema ines able
3.2.5-In e namen es able
Un sis ema de llaç anca és in e namen es able quan es ga an eix que el sis ema és es able
indi e en men de quina a iable s’u ili zi com en ada i de quina a iable com a so ida.
A la p àc ica pe què es pugui assegu a que un sis ema és in e namen es able, una de les
uncions que elacioni una en ada qualse ol amb una so ida qualse ol ha de se es able i
no es poden cancel·la pols ma ginalmen es ables o ines ables amb els ze os co esponen s
dels di e en s componen s que o men el sis ema.
3.2.6-E o en es a es aciona i
Pe a calcula e o s en es a es aciona i s’u ili za el eo ema de alo inal (TVF), que pe me
ans o ma un lími empo al a Laplace. Pe què es pugui e se i , el p oduc e 𝑠·𝐸(𝑠) ha de
eni o s els pols de pa eal nega i a, al amen no assoli à el ègim pe manen .
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑡→∞𝑒(𝑡)=𝑇𝑉𝐹= lim
𝑠 →0 𝑠·𝐸(𝑠)=lim
𝑠 →0 𝑠·𝑊𝐸(𝑠)·𝑋(𝑠) (Eq. 6.1)
D’aques lími es po dedui la aula d’e o s on es ecull el càlcul de l’e o en unció de
l’en ada i del ipus del sis ema, que és el nomb e d’in eg ado s pu s en la unció de
ans e ència de llaç obe .
Tipus 0
Tipus 1
Tipus 2
G aó
𝐾𝑒
1 + 𝐾𝑃
0
0
Rampa
∞
𝐾𝑒
𝐾𝑣
0
Pa àbola
∞
∞
𝐾𝑒
𝐾𝑎
Taula 3: E o en es a es aciona i
Els càlculs de 𝐾𝑝, 𝐾𝑣 i 𝐾𝑎 es poden eali za a pa i de la unció de ans e ència de llaç obe
(𝐺𝐿𝐴(𝑠)) amb les següen s ó mules:
Pàg. 24 Memò ia
𝐾𝑝= lim
𝑠 →0 𝐺𝐿𝐴(𝑠) (Eq. 6.2)
𝐾𝑣= lim
𝑠 →0 𝑠·𝐺𝐿𝐴(𝑠) (Eq. 6.3)
𝐾𝑎= lim
𝑠 →0 𝑠2·𝐺𝐿𝐴(𝑠) (Eq. 6.4)
3.2.7-Con olado s PID
Els con olado s enen la unció p incipal de minimi za o anul·la l’e o que gene a el sis ema
si no inguéssim aques con olado . També d’es abili za sis emes si es dona el cas. En
gene al, enen la unció d’assegu a que el compo amen del sis ema en llaç anca és el
desi ja . Pe aconsegui -ho hi ha di e en s ipus de con olado s.
-Con olado p opo cional (P):
𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝑃 (Eq. 7.1)
Un con olado p opo cional p incipalmen pe me e a ia el guany canònic del sis ema i en
conseqüència pode assoli el alo inal desi ja .
-Con olado in eg al (I):
𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝐼
𝑠 (Eq. 7.2)
El con olado in eg al pe me augmen a el ipus del sis ema i en conseqüència pe me edui
l’e o a ze o. En con a, po e augmen a l’o d e del sis ema, pe an , que apa egui un nou
pol i aques e a ia la espos a del sis ema de o ma indesi jada.
-Con olado de i a iu (D):
𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝐷·𝑠 (Eq. 7.3)
Un con olado de i a iu pe me egula la eloci a del sis ema, és a di el emps que a da el
sis ema a a iba al alo inal desi ja . En con a, aques ipus de con olado poden ampli ica
el so oll del sis ema.
-Con olado P opo cional In eg al (PI):
𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝑃·𝑠+ 𝐾𝐼
𝑠 (Eq. 7.4)
-Con olado P opo cional De i a iu (PD):
𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝐷· 𝑠+ 𝐾𝑃 (Eq. 7.5)
-Con olado P opo cional In eg al De i a iu (PID):
𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝐷·𝑠2+ 𝐾𝑃·𝑠+ 𝐾𝐼
𝑠 (Eq. 7.6)
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 25
3.3-Respos a eqüencial
La espos a eqüencial d'un sis ema consis eix en l'anàlisi de les espos es del sis ema
da an de uncions sinusoidals. A ès que es eballa amb sis emes lineals, la espos a en
ègim pe manen (suposan que el sis ema sigui es able) és una combinació lineal de sinus i
cosinus de la ma eixa eqüència i, al com es eu a con inuació, es po calcula àcilmen a
pa i de la unció de ans e ència.
L’en ada amb la qual s’exci a el sis ema p esen a la següen o ma:
𝑥(𝑡) = 𝐴sin(𝜔 𝑡)  →  𝑋(𝑠) =  𝐴 𝜔
𝑠2 + 𝜔2 =  𝐴 𝜔
(𝑠 + 𝑗𝜔)(𝑠 − 𝑗𝜔)  (Eq. 8.1)
A pa i d’aques a en ada, suposan que el sis ema p esen a la següen es uc u a, que és
un sis ema es able i p esen a pols eals, ob enim la següen espos a en ègim pe manen .
Figu a 14: Sis ema
𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) ⋅ 𝑊(𝑠) =  𝐴 𝜔
(𝑠+𝑗𝜔)(𝑠−𝑗𝜔)⋅𝑊(𝑠)=
=  𝐴 𝜔
(𝑠+𝑗𝜔)(𝑠−𝑗𝜔)⋅(𝑠−𝑧1)(𝑠−𝑧2) ··· (𝑠−𝑧𝑚)
(𝑠−𝑠1) (𝑠−𝑠2) ··· (𝑠−𝑠𝑛) =
=  𝐴1
𝑠+𝑗𝜔 +  𝐴2
𝑠−𝑗𝜔 +  𝐵1
𝑠−𝑠1 +  𝐵2
𝑠−𝑠2 + ··· +  𝐵𝑛
𝑠−𝑠𝑛 (Eq. 8.2)
Aplican la ans o mada de Laplace i enin en comp e que el sis ema és es able, les
exponencials degudes als pols del sis ema endeixen a ze o en ègim pe manen i així s’ob é
la següen exp essió:
𝑦(𝑡) = 𝐴1⋅𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝐴2⋅𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝐵1⋅𝑒 𝑠1𝑡 + 𝐵2⋅𝑒 𝑠2𝑡+ ··· + 𝐵𝑛⋅𝑒 𝑠𝑛𝑡=
= 𝐴1⋅𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝐴2⋅𝑒 𝑗𝜔𝑡  (Eq. 8.3)
A con inuació es oben els pa àme es 𝐴1 i 𝐴2.
𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) ⋅ 𝑊(𝑠) →  𝐴1
𝑠+𝑗𝜔+𝐴2
𝑠−𝑗𝜔 =  𝐴 𝜔
(𝑠+𝑗𝜔)(𝑠−𝑗𝜔)⋅𝑊(𝑠)  →
𝐴1 ⋅ (𝑠−𝑗𝜔) + 𝐴2 ⋅ (𝑠+𝑗𝜔)
(𝑠+𝑗𝜔)(𝑠−𝑗𝜔) =  𝐴 𝜔
(𝑠+𝑗𝜔)(𝑠−𝑗𝜔)⋅𝑊(𝑠)
𝐴1 ⋅ (𝑠−𝑗𝜔) + 𝐴2 ⋅ (𝑠+𝑗𝜔) = 𝐴 𝜔⋅𝑊(𝑠) (Eq. 8.4)
A aluan a 𝑠=𝑗·𝜔 i 𝑠=−𝑗·𝜔, s’ob é:
𝐴1 ⋅ (𝑗𝜔−𝑗𝜔) + 𝐴2 ⋅ (𝑗𝜔+𝑗𝜔) = 𝐴 𝜔⋅𝑊(𝑗𝜔) → 𝐴2= 𝐴
2𝑗⋅𝑊(𝑗𝜔)  (Eq. 8.5)
𝐴1 ⋅ (−𝑗𝜔−𝑗𝜔) + 𝐴2 ⋅ (−𝑗𝜔+𝑗𝜔) = 𝐴 𝜔⋅𝑊(−𝑗𝜔) → 𝐴1= −𝐴
2𝑗⋅𝑊(−𝑗𝜔)  (Eq. 8.6)
Subs i uin a l’equació un cop ans o mada ob enim.
𝑦(𝑡) =−𝐴
2𝑗⋅𝑊(−𝑗𝜔) ⋅ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝐴
2𝑗⋅𝑊(𝑗𝜔) ⋅ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 =
= 𝐴
2𝑗⋅(𝑊(𝑗𝜔) ⋅ 𝑒  𝑗𝜔𝑡 −𝑊(−𝑗𝜔) ⋅ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡) (Eq. 8.7)
Pàg. 32 Memò ia
𝐺𝑐𝑜𝑚(𝑠)= 𝐾·𝑠
𝑧+1
𝑠
𝑝+1 (Eq. 14)
Pe a dissenya un compensado es disposa d’almenys dues especi icacions: un ma ge de
ase desi ja (𝛾𝑑) i en el cas d’u ili za els mè odes i e a ius, d’un ma ge de segu e a (∆𝑃). El
alo de 𝐾 s’u ili za pe sa is e alguna especi icació ela i a a l’es a es aciona i com pod ia
se el alo d’un e o . Si es dona el cas, no es pè dua de gene ali a inco po a -la a la plan a
i a e ec es de disseny conside a que al un.
3.8.1-A anç de ase
Un compensado pe a anç de ase ac ua al ol an de la eqüència on el sis ema sense el
compensado p esen a un mòdul d’un, el que p e én és augmen a la ase en aques ang i
així aconsegui un ma ge de ase més g an, en conseqüència augmen an l’es abili a del
sis ema. Un compensado pe a anç de ase é 𝑧<𝑝, d’aques a mane a p ime augmen a la
ase i desp és la ecupe a.
En l’annex 1 es oben di e en s exemples de sis emes abans i desp ès de calcula
compensado s pe a anç de ase.
3.8.1.1-Mè ode exac e
En un compensado pe a anç de ase es p e én que la eqüència on el sis ema compensa
ingui un mòdul uni a i sigui la eqüència cen al (𝜔𝐶) del compensado . El possible guany del
compensado s’ha de calcula p è iamen al càlcul de 𝑧 i 𝑝 i inclou e’l en el llaç obe . El
sis ema es egeix pe les següen s equacions.
𝑀(𝐺𝑐𝑜𝑚(𝜔𝐶·𝑗))·𝑀(𝐺𝐿𝐴(𝜔𝐶·𝑗))=1 (Eq. 15.1)
𝑎𝑟𝑔(𝐺𝑐𝑜𝑚(𝜔𝐶·𝑗))+𝑎𝑟𝑔(𝐺𝐿𝐴(𝜔𝐶·𝑗))+180=𝛾𝑑 (Eq. 15.2)
𝜔𝐶= √𝑧·𝑝 (Eq. 15.3)
3.8.1.2-Mè ode i e a iu
Pe a acili a el càlcul s’u ili za el mè ode i e a iu, que cons a dels següen s passos. El
possible guany del compensado s’ha de calcula p è iamen al càlcul de 𝑧 i 𝑝 i inclou e’l en
el llaç obe .
1- Calcula el ma ge de ase del sis ema sense el compensado (𝛾𝑠𝑐).
𝛾𝑠𝑐 =180+ ∅ (𝜔 𝑡𝑞 𝑀(𝜔)=1) (Eq. 16.1)
2- Si el ma ge de ase del sis ema sense el compensado és in e io al ma ge desi ja , cal
dissenya el compensado , al amen , ja es compleixen les especi icacions necessà ies.
Calcula l’apo ació del compensado (∅𝐶𝑀).
∅𝐶𝑀 = 𝛾𝑑−𝛾𝑠𝑐 +∆𝑃 (Eq. 16.2)
Cal assegu a -se que ∅𝐶𝑀 <60, al amen , s’hau à de di idi pe nomb es na u als ins que
sigui meno . El na u al pel qual s’ha di idi , se à el nomb e de compensado s (𝑛) que hau em
de col·loca pe a compli l’especi icació.
3- Calcula la zona d’ac uació del compensado (𝛼).
𝛼=1+sin∅𝐶𝑀
1−sin∅𝐶𝑀 (Eq. 16.3)

Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 33
4- Calcula la eqüència mi ja del compensado (𝜔𝑚).
𝑀(𝜔𝑚)=(√1
𝛼)𝑛 (Eq. 16.4)
5- Calcula la eqüència del ze o (z) i del pol (p).
𝑧= 𝜔𝑚
√𝛼 (Eq. 16.5)
𝑝= 𝜔𝑚·√𝛼 (Eq. 16.6)
6- Calcula el ma ge amb el compensado dissenya (𝛾𝐴𝑐) i comp o a que sigui supe io al
desi ja , si és així, ja es é el compensado dissenya , al amen , epe i el p océs augmen an
el ma ge de segu e a .
3.8.2-Re a d de ase
Un compensado pe e a d de ase el que p e én és que el mòdul disminueixi mol més àpid,
pe an , que la eqüència on el mòdul és un sigui meno que en el cas sense compensado
i la ase enca a sigui supe io a menys 180. Un compensado pe e a d de ase e 𝑧 > 𝑝,
d’aques a mane a p ime e a da la ase i desp és la ecupe a.
En l’annex 1 es oben di e en s exemples de sis emes abans i desp ès de calcula
compensado s pe e a d de ase.
3.8.2.1-Mè ode exac e
En un compensado pe e a d de ase es p e én que la eqüència on el sis ema compensa
é un mòdul uni a i es obi a una dècada supe io de la del ze o del compensado . El possible
guany del compensado s’ha de calcula p è iamen al càlcul de 𝑧 i 𝑝 i inclou e’l en el llaç
obe . El sis ema es egeix pe les següen s equacions.
𝑀(𝐺𝑐𝑜𝑚(𝜔𝐶·𝑗))·𝑀(𝐺𝐿𝐴(𝜔𝐶·𝑗))=1 (Eq. 17.1)
𝑎𝑟𝑔(𝐺𝑐𝑜𝑚(𝜔𝐶·𝑗))+𝑎𝑟𝑔(𝐺𝐿𝐴(𝜔𝐶·𝑗))+180=𝛾𝑑 (Eq. 17.2)
𝜔𝐶= 10·𝑧 (Eq. 17.3)
3.8.2.2-Mè ode i e a iu
Pe a acili a el càlcul s’u ili za el mè ode i e a iu, que cons a dels següen s passos. El
possible guany del compensado s’ha de calcula p è iamen al càlcul de 𝑧 i 𝑝 i inclou e’l en
el llaç obe .
1- Calcula el ma ge de ase del sis ema sense el compensado .
𝛾𝑠𝑐 =180+ ∅ (𝜔 𝑡𝑞 𝑀(𝜔)=1) (Eq. 18.1)
2- Si el ma ge de ase del sis ema sense el compensado és in e io al ma ge desi ja , cal
dissenya el compensado , al amen , ja es compleixen les especi icacions necessà ies.
Calcula 𝜔𝐶.
∅ (𝜔𝐶)= −180+𝛾𝑑+∆𝑃 (Eq. 18.2)
Cal des aca que depenen de com sigui el sis ema po se que aques a eqüència no exis eixi
i, pe an , que no es pugui dissenya un compensado pe e a d de ase. De e , si el sis ema
sense el compensado no é el ma ge desi ja en la se a co ba de ase, no es pod à dissenya .
Pàg. 34 Memò ia
3- Calcula la zona d’ac uació del compensado (𝛼).
𝛼=𝑀(𝜔𝐶) (Eq. 18.3)
4- Calcula la eqüència del ze o (𝑧) i del pol (𝑝).
𝑧= 𝜔𝐶
10 (Eq. 18.4)
𝑝= 𝑧
𝛼 (Eq. 18.5)
5- Calcula el ma ge amb el compensado dissenya (𝛾𝐴𝑐) i comp o a que sigui supe io al
desi ja , si és així, ja es é el compensado dissenya , al amen , epe i el p océs augmen an
el ma ge de segu e a .
3.9-Ampli icado s ope acionals
Un ampli icado ope acional (AO) és un disposi iu elec ònic que se eix pe ampli ica la
di e ència de ensió en e dues en ades: una en ada no in e so a (𝑉+) i una en ada
in e so a (𝑉−). Un AO é un guany (𝐴) de ensió mol ele a (idealmen in ini ) i les en ades
consumeixen un co en mol pe i a (idealmen ze o). Pe què pugui unciona necessi a que
les ensions d’alimen ació es iguin connec ades: l’alimen ació posi i a (𝑉𝑐𝑐+) i l’alimen ació
nega i a (𝑉𝑐𝑐−).
Figu a 22: Ampli icado ope acional
𝑉𝑜𝑢𝑡 =𝐴·(𝑉+−𝑉−) (Eq. 19.1)
Pe a pode es udia el compo amen dels ci cui s en els quals in e enen i pode calcula les
uncions de ans e ència que elacionen els po encials a l’en ada i so ida d’aques s ci cui s
s’u ili za el mè ode del cu ci cui i ual.
El mè ode del cu ci cui i ual es basa en dues hipò esis: la p ime a és que les ensions a
les en ades són iguals, 𝑉+=𝑉− , això es po assumi , ja que el guany és mol g an ( endeix a
in ini ). La segona és que els co en s a les en ades són nul·les, 𝐼+=𝐼−=0, això és po
assumi , ja que la esis ència en l’en ada és mol g an ( endeix a in ini ).
Hi ha una g an di e si a de ci cui s que in oluc en AO, esis ències, condensado s i al es
componen s, els que al la pena des aca pe què desp és se an ú ils al ma c p àc ic són els
següen s:
-Ampli icado in e so : Com indica el nom, és un ci cui que pe me ampli ica el po encial
d’en ada a la egada que el can ia de signe.
𝐺(𝑠)= 𝑉𝑜
𝑉𝑖=−𝑅2
𝑅1 (Eq. 19.2)
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 35
Figu a 23: C icui AO ampli icado in e so
-In eg ado : És un ci cui que pe me in eg a el po encial d’en ada, ampli ica -lo i can ia -li
el signe. La elació en e els po encials es à en ègim empo al i en ans o mada de Laplace.
−1
R·c∫Vi( ) d = Vo( ) (Eq. 19.3)
𝐺(𝑠)= 𝑉𝑜
𝑉𝑖=− 1
𝑅·𝑐·𝑠 (Eq. 19.4)
Figu a 24: Ci cui AO in eg ado
-De i ado : És un ci cui que pe me de i a el po encial d’en ada, ampli ica -lo i can ia -li el
signe. La elació en e els po encials es à en ègim empo al i en ans o mada de Laplace.
𝑉𝑜(𝑡)= −𝑅·𝑐· 𝑑𝑉𝑖(𝑡)
𝑑𝑡 (Eq. 19.5)
𝐺(𝑠)= 𝑉𝑜
𝑉𝑖=−𝑅·𝑐·𝑠 (Eq. 19.6)
Figu a 25: Ci cui AO de i ado
Pàg. 36 Memò ia
4-Ma c P àc ic
4.1-In oducció
El que es p e én e en aques a pa p àc ica és p esen a una no a p àc ica de l’assigna u a
Dinàmica de Sis emes on es pugui con ola la posició d’un sis ema d’accionamen angula
acciona pe un mo o de co en con inu mi jançan anàlisi eqüencial.
Pe a pode e aques con ol s’han eali za di e en s es udis, el p ime d’ells ha sigu l’es udi
de la plan a que es ol con ola , on s’ha modeli za i anali za com es compo a. També s’ha
e un es udi de com hau ia de se un compensado an pe a anç com e a d de ase que
pe me és compli ce es especi icacions desi jades del con ol de posició. Això inclou la
selecció del ci cui , la simulació del ma eix i la selecció del ang de alo s dels pa àme es
dels compensado s. A con inuació s’ha eali za el mun a ge del ci cui , s’ha alida el co ec e
uncionamen i s’ha comp o a que con oles la plan a de la o ma desi jada. En úl im lloc,
s’ha dissenya una no a p àc ica de l’assigna u a, incloen -hi el mun a ge de l’expe imen , les
qües ions i les solucions d’aques es.
4.2-Ma e ial del labo a o i
En aques apa a s’expliquen els di e en s elemen s que in e enen en l’es udi que s’ha
eali za en el labo a o i, a pa del compensado que eu em de alladamen més enda an .
-Fon d'alimen ació: Se eix pe alimen a la plan a i el compensado dissenya .
-O dinado : Pe me e les uncions de gene ado de senyals de consigna i d'oscil·loscopi
u ili zan MATLAB/Simulink.
-Plan a: Aques a plan a és un mo o de co en con inu que, mi jançan un sis ema de
co e ges, p odueix mo imen a un eix de so ida, la posició del qual es p e én con ola .
Figu a 26: Plan a
-El mic ocon olado A duino Due: Reali za les con e sions analògic-digi al (A/D) i digi al-
analògic (D/A). Com que aques a placa i la plan a ope en a ensions di e en s, s’ha dissenya
un shield d’adap ació de ni ells que ambé inco po a les on s d’alimen ació de l’A duino i del
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 37
shield. Aques shield ajus a guany i o se en cascada pe minimi za acoblamen s. La
comunicació amb l’o dinado es a ia USB, i o a la p og amació i con igu ació es ges iona
des de MATLAB/Simulink.
Figu a 27: A duino Due
4.3-Es udi de la plan a
La plan a consis eix en un sis ema d’accionamen angula acciona pe un mo o de co en
con inu. Pe acciona el mo o s’ha d’aplica una ensió a l'en ada, que en unció de si és
posi i a o nega i a, el mo o gi a en un sen i o en l’al e. Aques es ensions no poden passa
de 5 ol s o bé el sis ema se sa u a.
D’aques mo o es po mesu a an la eloci a com la posició angula . La eloci a es po
mesu a mi jançan un acòme e, solida i a l’eix del mo o , que dona una ensió p opo cional
a la eloci a . La posició es po mesu a g àcies a un po enciòme e que es à connec a al
mo o mi jançan dues co e ges educ o es. El po enciòme e, si es à emb aga , con e eix
la posició angula a una ensió p opo cional.
𝑲𝑻
Cons an del acòme e
0,017
𝑉·𝑠
𝑟𝑎𝑑
𝑲𝑷𝑶𝑻
Cons an del po enciòme e
1,62
𝑉
𝑟𝑎𝑑
Taula 5: Valo s acòme e i po enciòme e
També es po u ili za un e magnè ic, que s’aplica a l’eix del mo o , que pe me augmen a
el pa ell esis en i disminui el guany de la plan a. La plan a es po ep esen a amb un
diag ama de blocs de la mane a següen :

Pàg. 38 Memò ia
Figu a 28: Diag ama de blocs de la plan a
Com es po obse a en el diag ama de blocs an e io , el mo o es à ep esen a com un
sis ema de p ime o d e, les co e ges educ o es com una cons an i la con e sió de eloci a
a posició com un in eg ado pu . Pe a con e i la eloci a i la posició angula en ensió que
es pugui llegi a l’o dinado enim les cons an s del acòme e i po enciòme e espec i amen .
4.3.1-Modeli za sis ema
El p ime pas en l’es udi de la plan a consis eix a modeli za la plan a, en aques cas s'ha de
alida que el mo o amb so ida eloci a es compo a com un sis ema de p ime o d e i oba
els pa àme es que el de ineixen. El model de la plan a en eloci a en llaç obe és el següen :
𝐺Ω(𝑠)= 𝑉Ω
𝑉𝐼𝑁 =𝐾·𝐾𝑇
𝜏·𝑠+1 (Eq. 20.1)
Pe a pode e -ho, s’ha exci a el sis ema u ili zan el Simulink model de MATLAB
SM1_Oscilloscopi.slx que ens pe me , mi jançan el selec o de consigna, in odui una
en ada en o ma de g aó. Aques model ambé pe me llegi la espos a del sis ema en se i
l’oscil·loscopi.
Figu a 29: Gene ado d’en ades i oscil·loscopi
Inicialmen , es a exci a el sis ema amb un g aó uni a i i es a obse a que la espos a sí
que enia la o ma ca ac e ís ica d’un sis ema de p ime o d e, pe ò que en el ang inicial del
ansi o i no es compo a a de la o ma espe ada. Pe a co egi aques a si uació es a
augmen a l’ampli ud a es i es a in odui un o se que pe me és e i a la zona mo a del
mo o i eni una espos a més p ecisa.
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 39
Figu a 30: Respos a indicial plan a
Un cop alida el sis ema, es a p ocedi al càlcul del guany (𝐾) de la plan a i la cons an de
emps (𝜏). Pe a calcula el guany, s’ha u ili za la ó mula del alo inal del sis ema i pe llegi
els alo s expe imen als les eines de l’oscil·loscopi.
𝑉𝐹=𝐾·𝐾𝑇·𝐾𝑒 → 2,391=𝐾·0,017· 3 →𝐾=46,8823 (Eq. 20.2)
Figu a 31: Càlcul guany
Pe a e el càlcul de la cons an de emps, se sap que en la espos a indicial d’un sis ema de
p ime o d e, el emps que a da el sis ema a assoli el 63% del alo inal és (𝜏).
Saben que 𝑉𝐹=2,391 ol s es po calcula el 63%𝑉𝐹, col·loca l’eina de l’oscil·loscopi
jus amen en aques alo i mi a la di e ència empo al en e aques pun i l’inici del ansi o i.
𝑡(63%𝑉𝐹)= 𝜏=0,2561 s (Eq. 20.3)
Pàg. 40 Memò ia
Figu a 32: Càlcul de la cons an de emps
Finalmen s’ob é el següen sis ema:
𝐺Ω(𝑠)= 𝑉Ω
𝑉𝐼𝑁 =𝐾·𝐾𝑇
𝜏·𝑠+1= 0,7970
0,2561·𝑠+1 (Eq. 20.4)
4.3.2-Es udi eqüencial del sis ema en eloci a
En aques apa a es a l’es udi del sis ema posan la eloci a com a so ida de la plan a en
llaç obe . Aques es udi es eali za p incipalmen de dues mane es: el que s’anomena eò ic
i el que s’anomena expe imen al.
En el eò ic, s’es udia el compo amen de la espos a a pa i del model ob ingu p è iamen .
P incipalmen , es eali zen els diag ames de Bode i de Nyquis , i es calculen els ma ges de
guany i de ase del sis ema. En el que s’anomena expe imen al, s’exci a el sis ema amb sinus
de di e en s eqüències i es calcula el guany i la ase pe a cada eqüència. Desp és es
compa en els di e en s pun s expe imen als amb els eò ics.
Aques s dos es udis es an eali za en pa al·lel. De e , p ime es an eali za els diag ames
de Bode i Nyquis a pa i del model i en acaba es an selecciona les eqüències amb les
quals es conside a a in e essan exci a la plan a di ec amen . Aques es eqüències an se
seleccionades pe a cob i pun s epa i s al lla g de les co bes de Nyquis i de Bode.
Finalmen , es an ep esen a els pun s expe imen als sob e les co bes eò iques del sis ema
i es a comp o a que el compo amen del model i de la plan a és el ma eix.
Enca a així s’ha decidi p ime explica el càlcul dels pun s expe imen als, pe a no duplica
diag ames de Bode i Nyquis , an amb els pun s expe imen als ep esen a s com no. Pe a
pode exci a la plan a i llegi les espos es s’ha u ili za el Simulink model
SM1_Oscilloscopi.slx can ian el selec o de consigna pe in odui un sinus. A con inuació es
mos en les espos es de la plan a da an de sinus a les eqüències seleccionades.
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 41
Figu a 33: So ida eqüencial plan a en eloci a pe 𝜔 = 0,1
Figu a 34: So ida eqüencial plan a en eloci a pe 𝜔 = 1
Figu a 35: So ida eqüencial plan a en eloci a pe 𝜔 = 4
Pàg. 48 Memò ia
Especi icacions
Valo s ob ingu s amb MATLAB
Mè ode
𝛾𝑑 [º]
∆𝑃 [º]
𝐾
𝛾𝐴𝐶 [º]
𝑧
𝑝
1
AF
45
5
1
46,3737
4,6838
7,313
2
AF
70
5
1
64,4402
3,8021
15,7451
3
AF
70
10
1
68,0106
3,6129
18,8034
4
AF
70
15
1
71,5401
3,4159
22,7769
5
AF
90
5
1
78,4075
2,9891
35,5542
6
AF
90
10
1
81,6982
2,7524
46,5315
7
AF
90
15
1
84,8458
2,4932
63,947
8
AF
90
20
1
87,7879
2,2021
94,7152
9
AF
90
25
1
90,421
1,8639
159,506
10
RF
45
5
1
47,1249
0,3276
0,1661
11
RF
70
5
1
69,982
0,1046
0,0134
12
RF
70
10
1
74,7421
0,0689
0,0057
13
RF
80
5
1
79,5245
0,0342
0,0014
14
RF
80
10
1
80,4826
0,0273
0,00088
Taula 9: Ma ges desi ja s i els equi alen s alo s de 𝑧 i 𝑝
Com es po obse a a la aula, en el mè ode de AF els alo s de 𝑧 disminueixen a la egada
que els de 𝑝 augmen en a mesu a que el ma ge desi ja es a més g an. En el cas del
compensado pe RF an els alo s de 𝑧 com els de 𝑝 disminueixen a mesu a que augmen a
el ma ge desi ja , pe ò cal ema ca que la di e ència en e 𝑧 i 𝑝 si que augmen a igual que en
l’AF.
4.4.2-Disseny del ci cui
Com s’ha pogu obse a en el ma c eò ic exis eixen di e en s ci cui s elec ònics que
pe me en el disseny de di e en s uncions de ans e ència. En el cas del compensado es ol
aconsegui , pe una banda, un ci cui al que la se a ansmi ància sigui una cons an i pe
l’al a un ci cui al que la se a ansmi ància sigui un sis ema de p ime o d e amb un ze o i
un pol. Pe a pode simpli ica l’es udi, es a sepa a el compensado en dues pa s i a
pos e io i es a anali za el sis ema comple .
4.4.2.1-AO Guany
La p ime a pa del compensado que es a es udia a se la cons an que gene a el guany
del compensado . Es a busca un ci cui al que la se a ansmi ància os un únic alo i
p opo cional a esis ències. El ci cui que s’ha anali za és l’ampli icado in e so , ja que
pe me aques a ca ac e ís ica i es po oba al Simulink model SM4_AO_Guany.slx.
Figu a 45: AO guany

Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 49
Aques model gene a la següen ansmi ància:
𝐺(𝑠)= 𝑉𝑜
𝑉𝑖=−𝑅2
𝑅1 (Eq. 24.1)
4.4.2.2-AO ze o i pol
La segona pa del compensado que es a es udia an se el ze o i el pol. Es a busca un
ci cui al que la se a ansmi ància os un sis ema de p ime o d e amb una a el al nume ado
i una a el en el denominado . Es a pensa en el ci cui in eg ado pe aconsegui el pol i en
el de i ado pe aconsegui el ze o. Pe al a banda, es a obse a que si es posa a una
esis ència en pa al·lel al espec iu condensado es podia aconsegui un e me suman que
pe me ia eni una a el di e en de ze o. El ci cui que s’ha anali za i que pe me aques a
ca ac e ís ica és el següen i es po oba al Simulink model SM5_AO_Ze o_Pol.slx.
Figu a 46: AO ze o-pol
Aques model gene a la següen ansmi ància:
𝐺(𝑠)=𝑉𝑜
𝑉𝑖=−𝑅2
𝑅1·𝑐1·𝑅1·𝑠+1
𝑐2·𝑅2·𝑠+1 (Eq. 24.2)
4.4.2.3-AO Compensado
Una egada es udia s els dos ci cui s an e io s, es posa o en comú i s’a iba al ci cui
següen :
Figu a 47: AO compensado
Els dos sis emes an e io s e en in e so s, des aca el nega iu en les dues ansmi àncies, en
connec a els dos ci cui s aques s nega ius es compensen. Aques sis ema ens pe me
aconsegui una unció de ans e ència com la d’un compensado , com es po obse a en el
càlcul que es mos a a con inuació.
Pàg. 50 Memò ia
Aplican el mè ode del cu ci cui i ual en el p ime ampli icado ope acional (𝐴1) s’ob é:
𝑉𝑖−0
𝑅1+𝑉𝑖−0
1
𝑐1·𝑠 =0−𝑉𝑎
𝑅2+0−𝑉𝑎
1
𝑐2·𝑠 (Eq. 24.3)
𝑉𝑖·(1
𝑅1+𝑐1· 𝑠)=− 𝑉𝑎·(1
𝑅2+𝑐2·𝑠) (Eq. 24.4)
𝑉𝑎
𝑉𝑖=−𝑐1·𝑅1·𝑠+1
𝑅1
𝑐2·𝑅2·𝑠+1
𝑅2=−𝑅2
𝑅1·𝑐1·𝑅1·𝑠+1
𝑐2·𝑅2·𝑠+1 (Eq. 24.5)
Aplican el mè ode del cu ci cui i ual en el segon ampli icado ope acional (𝐴2) s’ob é:
𝑉𝑎−0
𝑅3=0−𝑉𝑜
𝑅4 (Eq. 24.6)
𝑉𝑜
𝑉𝑎=−𝑅2
𝑅1 (Eq. 24.7)
Unin les elacions ob ingudes en els dos ampli icado s ope acionals s’ob é:
𝐺(𝑠)= 𝑉𝑜
𝑉𝑖 =𝑅2·𝑅4
𝑅1·𝑅3·𝑐1·𝑅1·𝑠+1
𝑐2·𝑅2·𝑠+1 (Eq. 24.8)
4.4.3-Compa ació model amb ci cui
Una egada s’ha ob ingu la ansmi ància del ci cui dissenya es po p ocedi a la compa ació
d’aques a amb la ansmi ància d’un compensado .
𝐺𝑐𝑜𝑚(𝑠)= 𝐾·𝑠
𝑧+1
𝑠
𝑝+1 (Eq. 25.1)
𝐺𝑐𝑜𝑚(𝑠)=𝑅2·𝑅4
𝑅1·𝑅3·𝑐1·𝑅1·𝑠+1
𝑐2·𝑅2·𝑠+1 (Eq. 25.2)
Pe compa ació di ec a en e la ansmi ància del compensado i l’ob inguda mi jançan el
cu ci cui i ual en el ci cui an e io es poden ob eni les següen s elacions:
𝑧= 1
𝑐1𝑅1 (Eq. 25.3)
𝑝= 1
𝑐2𝑅2 (Eq. 25.4)
𝐾= 𝑅2𝑅4
𝑅1𝑅3 (Eq. 25.5)
Una egada s’han ob ingu aques es elacions es po dedui que pe a pode con ola el ang
de alo s del ze o del compensado , ja sigui 𝑅1 o 𝑐1 ha de se a iable. Es decideix u ili za
un po enciòme e pe egula el ang de alo s de 𝑅1. Pe què es pugui con ola el ang de
alo s del pol del compensado ens obem amb la ma eixa si uació i es decideix que 𝑅2 ha
de se un po enciòme e ambé. Pe a pode con ola el guany del compensado es poden
ajus a o es les esis ències, com que 𝑅1 i 𝑅2 ja egulen 𝑧 i 𝑝 espec i amen i que 𝑅3 é la
unció de no iguala els po encials en e la so ida del p ime ampli icado ope acional i
l’en ada del segon es decideix que 𝑅4 se à el pa àme e egulable i, pe an , un
po enciòme e.
Pe a pode calcula el ang de alo s que p end an els po enciòme es s’aïllen els alo s de
𝑅1, 𝑅2 i 𝑅3, i es deixen en unció de la es a de pa àme es.
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 51
𝑅1= 1
𝑐1·𝑧 (Eq. 25.6)
𝑅2= 1
𝑐2·𝑝 (Eq. 25.7)
𝑅4= 𝐾·𝑅1·𝑅3
𝑅2 (Eq. 25.8)
Una egada es é la elació en e els pa àme es del compensado eò ic i eal, es poden
calcula o s els alo s de les esis ències pels casos plan eja s an e io men en el model
desi ja . Pe a e el càlcul es conside a que el guany del compensado ha de se uni a i i així
que el compensado no a ec i el guany de la plan a. Els càlculs que es mos en a la aula
següen s’han eali za amb Excel.
Especi icacions
Ci cui
Mè ode
𝛾𝑑 [º]
∆𝑃 [º]
C1(nF)
C2(nF)
R3(𝑘Ω)
R1(𝑘Ω)
R2(𝑘Ω)
R4(𝑘Ω)
1
AF
45
5
470
470
1
454,259
290,942
1,561
2
AF
70
5
470
470
1
559,601
135,132
4,141
3
AF
70
10
470
470
1
588,906
113,153
5,205
4
AF
70
15
470
470
1
622,869
93,413
6,668
5
AF
90
5
470
470
1
711,806
59,843
11,895
6
AF
90
10
470
470
1
773,020
45,725
16,906
7
AF
90
15
470
470
1
853,385
33,272
25,649
8
AF
90
20
470
470
1
966,195
22,464
43,011
9
AF
90
25
470
470
1
1.141,51
13,339
85,576
10
RF
45
5
470
470
1
6.494,69
12.809,51
0,507
11
RF
70
5
470
470
1
20.340,9
158.780,6
0,128
12
RF
70
10
470
470
1
30.880,4
373.273,6
0,083
13
RF
80
5
470
470
1
62.212,3
1.519.756
0,041
14
RF
80
10
470
470
1
77.936,2
2.417.794
0,032
Taula 10: Valo de les esis ències i condensado s a pa i de 𝑧, 𝑝 i 𝐾
Els alo s que in e essen especialmen són els alo s màxims i mínims de les esis ències 𝑅1,
𝑅2 i 𝑅3, que pe me en conèixe el ang de alo s dels po enciòme es. Aques s alo s es
mos en a la aula següen :
R1(𝑘Ω)
R2(𝑘Ω)
R4(𝑘Ω)
Valo mínim
454,259
13,339
0,032
Valo màxim
77.936,2
2.417.794
85,576
Taula 11: Valo s mínims i màxims de les esis ències
Val la pena des aca que els alo s dels condensado s i 𝑅3 no són alea o is, aques a aula ha
sigu ac uali zada i calculada a mesu a que s’ana a en el mun a ge i es eia de quin ma e ial
es disposa a.
Pàg. 52 Memò ia
4.5-Mun a ge del compensado
Una egada selecciona s el ang de alo s desi ja s i conseqüen men oba s els alo s de
les esis ències es po p ocedi al mun a ge del ci cui .
Inicialmen , es a ana al labo a o i i es an aga a di e en s alo s de condensado s i
po enciòme es. Tenin en comp e el ma e ial del qual es disposa a es a e un p ime càlcul
de la aula amb el ma e ial disponible i així selecciona un cas conc e . Es a e el mun a ge
u ili zan esis ències pe a alida que el disseny del ci cui és co ec e i que els di e en s
componen s del ci cui uncionessin adequadamen . Malau adamen , no es an eali za
o og a ies d’aques mun a ge, ja que àpidamen es a alida i es a e el mun a ge amb
po enciòme es.
Un cop alida el p ime mun a ge del ci cui es a anali za amb més p o undi a el ang de
alo s de la aula. El p ime que es a obse a a se que els alo s màxims de 𝑅1 i 𝑅2 e en
mol g ans, de 76 𝑀Ω i de 2 𝐺Ω. Pe a disminui els alo s d’aques es esis ències es a
pensa a aga a condensado s amb capaci a s més g ans. El p oblema és que u ili za
condensado s amb capaci a s més g ans p o oca a el mal uncionamen del sis ema. Pe
al a banda, això ampoc pe me ia soluciona que la di e ència en e els alo s màxims i
mínims de cada esis ència e en mol ele a s. Pe a pode con inua amb el mun a ge del
compensado , s’ha ien de edui els casos plan eja s inicialmen , i pe an es a decidi que
no es eali za ia el mun a ge del compensado pe e a d de ase. Aques a decisió es a
p end e p incipalmen pe dos mo ius: p ime , augmen a la capaci a dels condensado s
p o oca a que el sis ema os més len a causa de la cà ega i descà ega dels condensado s.
Segon, man eni les capaci a s pe i es obliga a a u ili za esis ències mol ele ades que
p o oca en mol so oll. I en qualse ol cas, no es podia disminui el ang de alo s dels
po enciòme es.
Una egada s’han desca a els casos on s’u ili za el mè ode pe RF, es an selecciona els
alo s de les esis ències i condensado s de les que es disposen al labo a o i i que pe me en
un bon uncionamen del ci cui . Es poden obse a en la aula següen :
Especi icacions
Ci cui
Mè ode
𝛾𝑑 [º]
∆𝑃 [º]
C1(nF)
C2(nF)
R3(𝑘Ω)
R1(𝑘Ω)
R2(𝑘Ω)
R4(𝑘Ω)
1
AF
45
5
470
470
1
454,259
290,942
1,561
2
AF
70
5
470
470
1
559,601
135,132
4,141
3
AF
70
10
470
470
1
588,906
113,153
5,205
4
AF
70
15
470
470
1
622,869
93,413
6,668
5
AF
90
5
470
470
1
711,806
59,843
11,895
6
AF
90
10
470
470
1
773,020
45,725
16,906
7
AF
90
15
470
470
1
853,385
33,272
25,649
8
AF
90
20
470
470
1
966,195
22,464
43,011
9
AF
90
25
470
470
1
1.141,51
13,339
85,576
Taula 12: Valo de ini ius de les esis ències i condensado s a pa i de 𝑧, 𝑝 i 𝐾
Els alo s mínims i màxims de les esis ències són els següen s:
R1(𝑘Ω)
R2(𝑘𝛺)
R4(𝑘Ω)
Valo mínim
454,259
13,339
1,561
Valo màxim
1.141,51
290,942
85,576
Taula 13: Valo s de ini ius mínims i màxims de les esis ències
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 53
Val la pena des aca que el ang de alo s de les esis ències és mol més con ingu , i que el
alo màxim es oba en 𝑅1 que és ap oximadamen de 1,1 𝑀Ω.
A con inuació es mos a una llis a de o s els elemen s que inalmen s’han u ili za pel
mun a ge del compensado .
-2 Ampli icado s ope acionals: OP07CP.
-2 Condensado s: 47J63 de 470 nF.
-3 Po enciòme es: -2: 3266 de 1 𝑀Ω.
-1: T93 de 100 𝑘Ω.
-3 Resis ències: -1 de 1 𝑘Ω.
-2 de 82 𝑘Ω.
Pe a la eali zació del mun a ge s’ha segui el ci cui p oposa an e io men i pe aconsegui
el ang de alo s de 𝑅1 s’ha u ili za un po enciòme e de 1 𝑀Ω en sè ie amb dues esis ències
de 82 𝑘Ω. A con inuació es mos a una ima ge del ci cui mun a en una placa de p o es:
Figu a 48: Compensado

Pàg. 54 Memò ia
4.6-P o a del compensado
Una egada mun a el ci cui del compensado s’ha es udia el compo amen . Pe a pode
alida el uncionamen s’han eali za dos es udis: al p ime s’ha p o a el compensado pe
si sol i en el segon s’ha connec a a la plan a.
4.6.1-Compensado
Pe a alida el uncionamen del ci cui , s’ha eali za el model de Simulink
SM7_Comp_ eo ic.slx i s’ha compa a amb l’expe imen al. El model eò ic consis eix en el
diag ama de blocs del compensado , un gene ado de uncions pe a pode exci a el sis ema
amb un sinus i un scope pe a pode isuali za la espos a del sis ema. Pe a pode exci a
el compensado dissenya s’u ili za el Simulink model SM1_Oscilloscope.slx.
Pe a e aques a alidació se selecciona el qua cas dels desi ja s i es egulen els alo s dels
po enciòme es ins als alo s calcula s. En el model de Simulink se seleccionen els alo s de
𝑧 i 𝑝 co esponen s i es comp o a que les g à iques quan s’exci a el sis ema amb di e en s
sinus siguin iguals.
𝐺𝑐𝑜𝑚(𝑠)= 𝑠
3,4159+1
𝑠
22,7769+1 (Eq. 26)
Figu a 49: Respos a eqüencial a pa i del model a 𝜔 = 0,1
Figu a 50: Respos a eqüencial expe imen al a 𝜔 = 0,1
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 55
Figu a 51: Respos a eqüencial a pa i del model a 𝜔 = 1
Figu a 52: Respos a eqüencial expe imen al a 𝜔 = 1
Com es po obse a en les g à iques les espos es da an dels sinus són les ma eixes, cal
des aca que les espos es p esen en so oll.
4.6.2-Sis ema compensa
El compensado es à dissenya pe unciona en posició, pe ò a causa de l’in eg ado pu s’ha
hagu de eballa en eloci a i desp és e les con e sions pe inen s a posició, s’ha segui el
ma eix p ocedimen que en l’es udi de la plan a. Pe a e aques es udi s’ha selecciona el
qua cas dels desi ja s.
4.6.2.1-Sis ema compensa en eloci a
A con inuació es a l’es udi del sis ema compensa posan la eloci a com a so ida del
sis ema. Pe a e aques es udi s’ha selecciona el qua cas dels desi ja s.
𝐺𝐿𝐴(𝑠)= 0,7970·( 𝑠
3,4159+1)
(0,2561·𝑠+1)(𝑠
22,7769+1) (Eq. 27)
Aques es udi es eali za p incipalmen de dues mane es: el que s’anomena eò ic i el que
s’anomena expe imen al. En el eò ic, s’es udia el compo amen de la espos a a pa i del
model. P incipalmen , es eali zen els diag ames de Bode i de Nyquis del sis ema. En el que
s’anomena expe imen al, s’exci a el sis ema amb sinus de di e en s eqüències i es calcula
el guany i la ase pe a cada eqüència. Desp és es compa en els di e en s pun s
expe imen als amb els eò ics.
Pàg. 56 Memò ia
Aques s dos es udis es an eali za en pa al·lel. De e , p ime es an eali za els diag ames
de Bode i Nyquis a pa i del model i en acaba es an selecciona les eqüències amb les
quals es conside a a in e essan exci a la plan a di ec amen . Finalmen , es an ep esen a
els pun s expe imen als sob e les co bes eò iques del sis ema i es a comp o a que el
compo amen del model i de la plan a és el ma eix.
Enca a així s’ha decidi p ime explica el càlcul dels pun s expe imen als, pe a no duplica
diag ames de Bode i Nyquis , an amb els pun s expe imen als ep esen a s com no. Pe a
pode exci a el sis ema i llegi les espos es s’ha u ili za el Simulink model
SM1_Oscilloscopi.slx can ian el selec o de consigna pe in odui un sinus. S’ha connec a
el sis ema de la o ma següen :
Figu a 53: Mun a ge del sis ema compensa en eloci a
A con inuació es mos en les espos es de la plan a da an de sinus a les eqüències
seleccionades.
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 57
Figu a 54: So ida eqüencial sis ema compensa en eloci a pe 𝜔 = 1
Figu a 55: So ida eqüencial sis ema compensa en eloci a pe 𝜔 = 3
Figu a 56: So ida eqüencial sis ema compensa en eloci a pe 𝜔 = 10
Pàg. 64 Memò ia
L4.7 – Es udi del sis ema compensa amb so ida posició
En aques a p àc ica es pod ia e la con e sió dels pun s expe imen als del sis ema
compensa amb so ida eloci a a posició. Reali za els diag ames de Bode i Nyquis a pa i
del model i comp o a que els pun s ob ingu s expe imen almen a la p àc ica an e io es
dibuixen a sob e de les co bes de Bode i de Nyquis . Comp o a que el compensado
dissenya pe me compli les especi icacions p è iamen mencionades.
Amb aques a p àc ica l’es udian es pod ia amilia i za amb el uncionamen d’un
compensado pe a anç de ase, isuali za com a ec a en els diag ames de Bode i Nyquis i
e i ica l’expe imen eali za .

Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 65
5-Resul a s i discussió
En aques apa a es discu eixen els esul a s ob ingu s en el ma c p àc ic del eball, els
di e en s p oblemes que s’han hagu de soluciona al lla g de o l’es udi de la plan a i en el
disseny, mun a ge i alidació de uncionamen del compensado .
El p ime p oblema que es a ha e de soluciona a se que la plan a p esen a una banda
mo a quan la eloci a és p ope a a ze o, jus amen en el momen d’a enca . En l’apa a
4.3.1 es modeli za la plan a del sis ema i pe a pode -ho e s’exci a el sis ema amb una
en ada g aó. Pe e i a aques a banda mo a i aconsegui un model del sis ema més p ecís,
s’in odueix un o se en l’en ada, així el sis ema ja no passa pe eloci a ze o i simplemen
es a a ia la eloci a en e dos alo s. Aques no a se un p oblema especialmen g eu i
es a oba una solució ela i amen senzilla.
També es a e on al e que la plan a quan es posa la posició com a so ida, é un
in eg ado pu . En l’apa a 4.3.3 es a l’es udi eqüencial del sis ema en posició, pe a pode -
lo e s’ha d’exci a el sis ema amb un sinus, i en el momen de llegi la espos a no s’ob é un
al e sinus amb di e en ampli ud i des asa . Pe a soluciona aques p oblema es a mi a la
elació que é la plan a en eloci a i en posició i es an con e i els pun s ob ingu s
expe imen almen de eloci a a posició. La solució mencionada es a oba a pos e io i als
es udis eqüencials eali za s a pa i del model. Jun amen amb el e que el sis ema on enia
sen i dissenya el compensado e a el de posició, no a e més que ag euja la sensació
d’ince esa ins que no es a pensa en la con e sió dels pun s.
Un al e p oblema que es a ha e d’a on a a se pensa i selecciona el ci cui adequa pe
a pode dissenya un compensado an pe a anç com pe e a d de ase. Conc e amen , la
mane a d’aconsegui un ze o di e en de ze o i un pol di e en de ze o. Pe a pode -lo
soluciona es an ha e de e di e en s p o es amb ci cui s ins que es a esb ina que una
esis ència en pa al·lel amb el condensado pe me ia egula les a els.
El p incipal p oblema en el disseny i mun a ge del compensado que es a ha e d’a on a
a se la limi ació dels alo s dels po enciòme es i condensado s pe a compli amb o es les
especi icacions inicialmen desi jades. L’única mane a iable que es a oba pe soluciona
aques p oblema a se limi a el ang de casos que es olia ac a i ha e de desca a el
disseny del compensado pe e a d de ase.
Una al a si uació que es a ha e de soluciona a se en l’es udi del compensado . El
compensado es à dissenya pe a compli ce es especi icacions del con ol de posició. A
causa de l’in eg ado en el sis ema amb so ida posició es a ha e de o na a e les
con e sions e es en l’es udi de la plan a p è iamen menciona .
Finalmen , s’ha ingu el p oblema que el disseny del compensado s’ha queda en un p o o ip
i no s’han pogu plan eja no es p àc iques on se’n pugui e ús. Aques és un p oblema que
queda o a de l’abas empo al del eball i es p oposa pe a eball u u .
Al lla g de o el ma c p àc ic s’han oba di e en s p oblemes i s’han busca les millo s
mane es pe a pode -los soluciona . En gene al, els expe imen s eali za s han sigu
sa is ac o is i s’han eali za o s els es udis que es an plan eja inicialmen . Es conclou que
enca a que el compensado s’hagi queda en un p o o ip, unciona i pe me compli les
especi icacions desi jades. També es ol des aca que malg a que en la no a p àc ica (L4)
no s’u ili zi el compensado dissenya sí que s’han pogu plan eja ce s exe cicis que ja es
pod ien implemen a . Finalmen , ambé s’han plan eja com pod ien se alguns exe cicis més
un cop es ingués un compensado manipulable pe l’es udian .
Pàg. 66 Memò ia
6-Plani icació
Aques eball inicialmen es a ma icula el eb e del 2024, pe ò pe di e sos mo ius
pe sonals no es a comença la se a eali zació ins al no emb e del 2024. En el diag ama
de Gan que es mos a a con inuació es po eu e en quin momen empo al s’han acomple
les asques que s’han du a e me al lla g d’aques p ojec e.
Figu a 66: Diag ama de Gan
En gene al, es conside a que les asques han sigu eali zades amb una quan i a de
se manes aonable i que han es a epa ides co ec amen . Es conside a que la eali zació
de la pa expe imen al s’ha eali za amb un ma ge especialmen co ec e, pe ò que la
edacció de la memò ia s’hau ia d’ha e epa i una mica millo en el anscu s del eball. Es
ol des aca que la quan i a d’ho es dedicades al lla g del ma ç i especialmen de l’ab il ha
sigu mol supe io a la es a de mesos.
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 67
7-Es udi econòmic
El p ojec e desen olupa p esen a una o ien ació acadèmica amb un en ocamen
d’op imi zació de ecu sos, minimi zan cos os addicionals i ap o i an la in aes uc u a de la
qual ja es disposa a l’ETSEIB. Els cos os han sigu ag upa s en di e en s g ups.
-Cos os d’equipamen : L’ús d’equipamen s com la on d'alimen ació, l’o dinado , la plan a
a con ola i el mic ocon olado A duino Due no ha suposa cap despesa addicional, ja que
són equips ja p esen s als labo a o is de la uni e si a . En el cas que s’haguessin hagu de
comp a el cos se ia de 3272,69 €.
-Cos os de p og ama i: Les simulacions i es udis compu acionals s'han du a e me u ili zan
MATLAB, p og ama i pe al qual l'Escola disposa de llicències educa i es. Pe a la edacció i
desen olupamen del eball ambé s’han e se i p og ames del paque Mic oso O ice dels
quals ambé es disposa llicència educa i a. En el cas que s’haguessin hagu de comp a el
cos es ima se ia d’uns 100 €.
-Cos os ma e ials: Pe a la cons ucció del compensado de ase i el mun a ge expe imen al,
s'han u ili za componen s elec ònics com ampli icado s ope acionals, esis ències,
condensado s, una placa de p o es, cables i al es pe i s elemen s elec ònics. El cos es ima
d’aques s ma e ials ha es a de 50 €.
-Cos os humans: Pe a calcula els cos os humans s’ha eali za el següen càlcul: el eball
de inal de g au ep esen en 12 c èdi s ECTS, cada c èdi co espon a unes 25 ho es de
dedicació pe pa de l’es udian i l’ho a de l’es udian es alo a a 15 €/ho a, pe an , el cos
humà és de 4500 €.
En esum, els cos os o als del p ojec e ascendeixen a 7922,69 €. Es conside a que el
desen olupamen d’aques a no a p àc ica ep esen a un impo an es al i pe a l'escola en
compa ació amb la possible adquisició del compensado . A més, es gene a un model de
p àc ica pe sonali za que s'ajus a als con ingu s de l'assigna u a i millo a l'ap enen a ge de
l'es udian . Pe an , el alo d’aques p ojec e que a més enllà de l’econòmic és doble: pe
una banda, s’op imi zen ecu sos, i pe al a, es millo a la quali a de la docència.
Pàg. 68 Memò ia
8-Es udi ambien al
Du an la eali zació del p ojec e, s'han gene a impac es ambien als associa s p incipalmen
al consum elèc ic i a l'ús de componen s elec ònics. A con inuació, es quan i iquen aques s
impac es mi jançan di e en s indicado s ambien als:
P ime es calcula el consum ene gè ic i les emissions de gasos d'e ec e hi e nacle (CO₂e).
S'es ima que, al lla g dels sis mesos de du ada del eball, s'ha u ili za un o dinado pe sonal
unes 300 ho es. Conside an un consum d'uns 60 W/h el consum o al ha es a
ap oximadamen de 18 kWh.
A egin -hi el consum pun ual del labo a o i que po ha e gene a la on d’alimen ació, el
mo o de co en con inu i el mic ocon olado A duino Due s'es ima un consum addicional de
30 kWh, esul an un consum o al ap oxima de 48 kWh.
Segons el mix ene gè ic espanyol ac ual, amb una emissió mi jana de 0,2 kg CO₂e/kWh, les
emissions associades se ien de 9,6 kg CO₂e.
Quan a esidus gene a s, l'ús de componen s elec ònics ha es a mode a , pe an , es
calcula que la quan i a de esidus elec ònics gene a s és in e io a 1 kg, conside an
subs i ucions i p o es de mun a ge.
L'impac e ambien al gene a és ela i amen baix en e mes absolu s. Pe posa -ho en
pe spec i a, compensa les emissions de CO₂ equi alen s (9,6 kg) eque i ia plan a
ap oximadamen un a b e ( eco dan que un a b e abso beix en e 20-30 kg de CO₂ du an el
seu c eixemen ).
Pe edui enca a més l’impac e, es pod ien: op imi za les ho es d'ús d'o dinado i equips
elec ònics, u ili za on s d'ene gia eno able en la mesu a del possible i con inua eu ili zan
els componen s elec ònics. En conclusió, l'impac e ambien al del p ojec e ha es a baix, pe ò
semp e és ecomanable adop a bones p àc iques ambien als pe edui -lo enca a més.
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 69
9-Es udi social i d’igual a de gène e
Aques p ojec e no gene a, ni p e én gene a , di e enciacions disc imina ò ies de gène e ni
d’es a us social. L’accés a la ecnologia eballada no p esen a ba e es especí iques ni pe a
homes ni dones, pe sones no binà ies, ni pe a cap al e col·lec iu ulne able. No obs an això,
la ba e a econòmica pe a la comp a d’equipamen elec ònic bàsic (l’o dinado , mo o a
con ola , on d’alimen ació, l’A duino Due i el ma e ial de labo a o i) pod ia suposa un ep e
pe a col·lec ius amb ecu sos limi a s.
L’equip de eball del p ojec e (es udian , di ec o a i codi ec o ) p esen a una composició
ela i amen equilib ada de gène e (p esència de dona i d’homes), o i que pod ia millo a -se
pe assoli una pa i a o al. El esul a no ha es a busca especí icamen , i se ia con enien
que u u s p ojec es po enciessin equips més iguali a is.
No s’han de ec a impac es di e en s en e homes i dones de i a s de la p opos a e a, a ès
que el desen olupamen d'una no a p àc ica educa i a no disc imina l’alumna pe aons de
gène e ni pe al es condicions socials. Tampoc s’ha necessi a eajus a la p opos a pe
equilib a impac es.
Pel que a al llengua ge, s’ha p ocu a u ili za una exp essió neu a i inclusi a al lla g de la
memò ia del eball. No s’ha enal i cap polí ica ni idea di e enciado a pe aons de aça,
cul u a o ni ell econòmic.
Quan als objec ius de desen olupamen sos enible (ODS), el eball con ibueix especialmen
a:
-ODS 4: Educació de quali a , p omo en p àc iques d'ap enen a ge inno ado es.
-ODS 5: Igual a de gène e, en omen a un accés iguali a i al coneixemen .
-ODS 9: Indús ia, inno ació i in aes uc u a, en omen a l’ús de ecnologia a ançada en la
o mació d’enginye s i enginye es.
En conclusió, el p ojec e é un impac e social posi iu i es mos a espec uós i inclusiu amb la
di e si a de gène e i condicions socials.

Pàg. 70 Memò ia
10-Conclusió
En aques apa a es oben les conclusions a les que s’han a iba un cop inali za o el
p ojec e. Pe a pode -ho e es ecupe en els objec ius de ini s en l’inici del eball i es
comen en pun a pun , alo an si s’han pogu assoli pa cial o comple amen i aonan els
mo ius.
L’objec iu gene al d’aques eball és aconsegui plan eja una no a p àc ica de l’assigna u a
Dinàmica de Sis emes on s’es udiï la plan a del labo a o i en domin eqüencial. Es conside a
que aques objec iu s’ha assoli de o ma pa cial, s’ha pogu eali za una no a p àc ica de
l’assigna u a on es eballa en domini eqüencial i s’ha dissenya el compensado que pe me
e aques es udi. El compensado que s’ha dissenya és un p o o ip i no es à p epa a pe a
pode se manipula pe l’es udian és pe aques mo iu s’han pogu plan eja di e en s
exe cicis expe imen als pe ò que enca a no es poden eali za o s.
Pe a pode dissenya aques es p àc iques p ime s’ha ien d’es udia o s els concep es que
hi es a en elaciona s i que es olien eballa en els exe cicis p oposa s. Aques s concep es
són la espos a eqüencial, els diag ames de Bode i Nyquis , el c i e i de Nyquis i el simpli ica
de Bode, els ma ges de guany i de ase, i els compensado s pe AF i RF. Es conside a que
aques s concep es han sigu es udia s an en el ma c eò ic amb l’annex co esponen com
en el ma c p àc ic.
Pel que a l’es udi del mo o del labo a o i es conside a que s’ha es udia amb p o undi a .
S’ha pogu eali za el model a pa i de la se a espos a empo al i s’ha es udia el
compo amen del sis ema an amb so ida eloci a com amb so ida posició en el domini
eqüencial. G àcies a aques s es udis s’ha pogu p end e la decisió de en quina so ida alia
la pena dissenya un compensado .
Respec e l’objec iu p incipal d’aques eball, que és el disseny, mun a ge i anàlisi del
compensado que pe me el con ol del mo o , es conside a que s’ha assoli de o ma pa cial.
S’ha eali za l’es udi de quins pa àme es hau ia de eni el compensado dissenya an pe
AF com pe RF pe a compli ce es especi icacions. També s’ha dissenya el ci cui mi jançan
AO que pe me ob eni la ansmi ància d’un compensado . En la ase de mun a ge i degu a
els alo s de les esis ències i condensado s es a ha e de desca a el disseny del
compensado pe e a d de ase. En elació amb el disseny, mun a ge i anàlisi del
compensado es conside a que aques a és la única pa que p o oca que s’hagi assoli
l’objec iu pa cialmen . Pel que a a la simulació i a les p o es expe imen als es conside en un
èxi ja que el compensado pe AF unciona de la o ma espe ada.
Un al e objec iu impo an és comp o a que el compensado pe AF és capaç de con ola
la plan a de la o ma desi jada i que pe me assoli les especi icacions pels quals ha sigu
dissenya . Es conside a que g àcies als es udis eali za s s’ha pogu comp o a i que el
compensado unciona pe ec amen .
En esum, es conside a que s’han comple o s els objec ius enca a que alguns no s’han
pogu assoli de o ma comple a. Les dues si uacions que no han pe mès la eali zació
comple a de o s els objec ius inicialmen plan eja s han sigu : el p oblema en el disseny del
compensado pe RF i que el compensado pe AF és un p o o ip i enca a no es po manipula
pe a pode -lo inclou e en les p àc iques de l’assigna u a. Aques es dues si uacions no es
euen com una limi ació del eball sinó com un ap enen a ge i com a línies obe es pe a
pode segui in es igan i eballan .
Anàlisi eqüencial en la dinàmica de sis emes Pàg. 71
11-Ag aïmen s
Aques eball ha sigu un ep e pe mi, especialmen en les úl imes se manes abans de
l’en ega a causa del olum de eina, pe ha e de compagina els es udis, amb les p àc iques
en emp esa i la eina a l’acadèmia.
M’ag ada ia dona les g àcies als u o s que m’han acompanya i ajuda al lla g de o el eball,
no solamen en l’àmbi acadèmic sinó ambé pe sonal. Vull ag ai a l’En ic en especial, que
o i que a un pa ell de mesos que s’ha jubila ha con inua ajudan -me i guian -me. Vull ag ai
a la C is ina que, a més a més, de o es les ho es dedicades al labo a o i, m’ha e una mica
de “coaching” i m’ha mo i a a con inua eballan .
També m’ag ada ia dona les g àcies als meus pa es, pel supo , la mo i ació i en especial
pe o es les ges ions logís iques que s’han de con inua en ; en ado es, ape s i al es.
Finalmen , ull ag ai a la me a pa ella la comp ensió pe la al a de emps, la mo i ació
p opo cionada i pe e -me cos a , en especial, en els momen s més du s del eball.
Pàg. 72 Memò ia
12-Bibliog a ia
[1] Vilà, Rica d. Dinàmica de Sis emes. Ve sió 21.
[2] Fossas, En ic i G iñó, Robe . Disseny de con olado s en el domini eqüencial.
Se emb e 2023.
[3] E.Lupon i S.Busque s. Ampli icado Ope acional. Se emb e 2022.
[4] E.Lupon, L.Balado, S.Busque s, A.Gómez i J.A.Ca asco. P ocessamen lineal a ança .
Se emb e 2022.
[5] Le ma, Eneko. De elopmen o a MATLAB/Simulink A duino en i onmen o
expe imen al p ac ices in con ol enginee ing eaching. Juliol 2019.
[6] The Ma hWo ks, Inc. MATLAB Documen a ion. [En línia] Disponible a:
h ps://es.ma hwo ks.com/help/ma lab/
[7] Texas ins umen s. OP07x P ecision Ope a ional Ampli ie s. Re isa al Ma ç 2023.
[8] Depa amen d’Enginye ia de Sis emes, Au omà ica i In o mà ica Indus ial. T eballs
p àc ics de Con ol digi al. Se emb e 2021.
[9] Depa amen ESAII, UPC. Dinàmica de Sis emes, P àc iques. Desemb e 2024.
[10] Depa amen ESAII, UPC. Dinàmica de Sis emes, In oducció a l’oscil·loscopi i
Gene ado de senyals. Desemb e 2024.