Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol.
8,
4,
371-383( 1992)
EL CORTE DE LOS MODELOS DE VOLUMEN
UTILIZADOS PARA EL CALCULO
POR ELEMENTOS FINITOS
EDUARDO
E.
LAITANO*
PIERRE BECKERS**
Y
ALAIN SCHYNS**
*G upo de Tecnología Mecánica del INTEC, CONICET,
Uni e sidad Nacional del Li o al,
Guemes 3450, 3000 San a Fe, A gen ina.
**Labo a oi e de Techniques Aé onau iques e Spa iales,
Uni e si é de Lidge,
Rue E. Sol ay
21,
4000 Liige, Belgium.
RESUMEN
En es e abajo se p esen a un mé odo pa a calcula y ep esen a el co e de modelos
idimensionales. Pa a ep esen a esul ados se debe p e iamen e de e mina una supe icie.
En el caso de la ep esen ación de alo es en co es del modelo, es a supe icie es la in e sección
con el plano de co e. En es e abajo se desc ibe un mé odo ápido y simple pa a el cálculo de
la sección así como el mé odo empleado pa a la in e polación de los alo es a ep esen a .
SUMMARY
In his wo k, a me hod o compu e sec ion o 3D ini e elemen models is p esen ed.
A
su ace o model mus be e alua e o ep esen any esul s. In he sec ion ep esen a ion, his
su ace is he in e sec ion wi h he sec ion plane.
A
simple and as me hod o de e mine sec ion
model and o in e pola e esul s is he e de eloped.
INTRODUCCION
Cuando uno quie e ep esen a los esul ados de un cálculo po elemen os ini os,
en un modelo de olumen, se debe p e iamen e ob ene la supe icie sob e
la
cual se
a a hace la ep esen ación. En el caso de que dicha supe icie coincida con la piel del
modelo, se u ilizan algo i mos de eliminación de las pa es ocul as.
Si se desea conoce los esul ados en una sección del modelo, en una p ime a e apa
se debe calcula dicha sección, luego se debe p o ee una o ma de e alua la magni ud
a
ep esen a sob e es a sección, si es que no se iene una ecuación explíci a de la misma.
Recibido: No iemb e
1991
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
372
E.
LAITANO,
P.
BECKERS Y
A.
SCHYNS
Po úl imo, si se desea ep esen a la pa e isible del modelo con la sección, al
como se es ila en los co es en dibujo écnico, se debe de ec a cuáles son las pa es
isibles del mismo, eniendo en cuen a que la sección calculada pasa a se una pa e
isible y la pa e an e io al co e in isible.
En es e abajo se ha a ado, el cálculo de la sección
y
su ep esen ación sin
supe pone la con el es o del modelo, po lo cual la úl ima e apa mencionada no se
e ec úa.
Pa a analiza el p ocedimien o pa a ob ene es a ep esen ación, lo amos a
descompone en las e apas siguien es:
1)
Cálculo de la sección del modelo.
2)
E aluación de la magni ud a ep esen a sob e la sección.
3) Dibujo de la ep esen ación.
CALCULO DE LA SECCION DEL MODELO
El p oblema de la in e sección de un sólido con una supe icie, es siemp e a ado
como la in e sección de la supe icie ex e na del sólido
y
la supe icie en cues ión.
Luego la in e sección es cons i uída po la po ción de és a úl ima limi ada po la cu a
in e sección. Algunos ejemplos de cómo es esuel o es e p oblema son
[l],
[2]
y
[3].
Si el sólido iene aguje os, es deci que la in e sección es múl iplemen e conexa, se
debe es a el á ea de los mismos, lo cual complica en cie a medida el algo i mo.
T a ándose de un modelo de elemen os ini os, enemos dos mo i os pa a hace el
cálculo de la in e sección elemen o po elemen o. Uno de ellos es que con ecuencia,
in e esa conoce la on e a en e elemk os, y és a es la línea que se ob iene po la
in e sección de la supe icie ex e na del elemen o con el plano de co e. O o mo i o
pa a e ec ua el cálculo po elemen os es que la magni ud a ep esen a , en gene al
algún alo ob enido como esul ado del cálculo, es á de inida en unción de coo denadas
locales del mismo, y po lo an o es en es e sis ema que debe conoce se la supe icie de
in e sección.
INTERSECCION DE UN ELEMENTO
La in e sección de un elemen o de olumen, es nue amen e el p oblema a ado
en el pun o an e io . En consecuencia, la misma se ob iene calculando la in e sección
con la supe icie ex e na del mismo, es deci con sus ca as. En el caso de la sección de
elemen os ini os no exis e la di icul ad an es mencionada con los agu-je os.
La in e sección con cada ca a da una línea se á una ec a si la ca a es plana
o una cu a en o os casos. El conjun o de es as líneas cons i uye el con o no de la
sección del elemen o, que se encuen a en el plano de co e. Luego la adición de las
secciones de odos los elemen os cons i uye la sección del modelo de olumen.
Los elemen os de olumen son descompues os en sus ca as y se calcula la
in e sección de cada una de ellas de la siguien e mane a.
En una p ime a e apa se de e mina la in e sección con cada uno de los lados de
la ca a, si és os son cu os, son ap oximados po a ios de segmen os de ec a. A
CORTE DE LOS MODELOS DE VOLUMEN PARA EL CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
373
pa i de es as in e secciones se calcula un pun o in e io a la ca a sob e la línea de
in e sección, ap oximando la línea de in e sección po la cu a que pasa po los es
pun os calculados. Luego euniendo las líneas así calculadas se ob iene el con o no de
la sección.
SISTEMA DE COORDENADAS PARA EL CALCULO
Como se supone que el plano de co e es in ini o en la coo denada
(2)
y
pe pendicula al plano (X,Y) en el sis ema de coo denadas en el cual se de ine el
co e, u ilizando pa a el cálculo es e sis ema, la in e sección en e el plano de co e
y los lados se pueden ob ene como un p oblema plano en
(X,Y),
disminuyendo el
núme o de ope aciones pa a comp oba si exis e in e sección o no.
La coo denada
Z
sob e los pun os de in e sección es calculada luego po la ecuación
pa amé ica del lado o el segmen o ap oximan e co espondien e si el lado es cu o.
Ob enidas las in e secciones con los lados, se calcula un pun o in e io a dichas
in e secciones, di idiendo po
2
la di e encia en e una de las coo denadas en el sis ema
local pa amé ico de la ca a ( ,
S),
calculando la o a en o ma i e a i a po New on-
Raphson. Una ez calculadas las coo denadas ( ,
s)
de es os 3 pun os se pueden ob ene
(x,
y,
z)
y los alo es de la unción a ep esen a en los mismos.
Luego u ilizando es os es alo es, se ap oxima la geome ía del lado de la sección
del elemen o po una cu a de segundo g ado.
VINCULACION ENTRE
LAS
LINEAS QUE FORMAN
EL CONTORNO
DE
LA SECCION
Pa a desc ibi es e p ocedimien o e emos como ejemplo el a amien o del
elemen o pa alelepípedo de base cuad angula . Es e elemen o cuya opología se mues a
en la Figu a
1,
es descompues o en sub-elemen os, siendo cada uno de ellos cons i uido
po los nodos co espondien es a una ca a.
Así po ejemplo, pa a el elemen o de la Figu a
1
se ob ienen los siguien es sub-
elemen os:
ca a 1:
1
2
3 4 (base)
ca a 2:
1
2
6
5
(la ca a la e al)
ca a 3:
2
3
7
6
(2a ca a la e al)
ca a 4: 3 4
8
7
(3a ca a la e al)
ca a 5:
4
1
5
8
(4a ca a la e al)
ca a 6: 5 6
7
8
(ca a supe io )
Como pa a odos los elemen os las ca a son gene adas del mismo modo, se puede
ob ene pa a un lado dado cuáles son las ca as que lo con ienen.
E.
LAITANO,
P.
BECKERS Y
A.
SCHYNS
1
2
Figu a
1.
Elemen o de olumen. Figu a2. G a o del elemen o de
olumen.
Es a elación en e los lados
y
aces del elemen o, puede se ep esen ada po un
g a o (Figu a 2). En es a cada nodo ep esen a una ca a mien as que las líneas que
las unen co esponden a las a is as de los elemen os.
En la Figu a
2
la nume ación de las líneas co esponde a los nodos ex emos de cada
lado del elemen o de la Figu a
1
pa a acili a la explicación. Pe o pa a la aplicación
en el algo i mo se conside a el o den de los lados en las ca as y de es e modo, el g a o
es el mismo pa a odos los elemen os de una opología dada.
El mé odo pa a incula las cu as que o man el con o no de la sección del elemen o
es el siguien e: se comienza po busca si exis e in e sección con las ca as en el o den en
que es as son gene adas:
1,
2,
3,
...,
p ime o haciendo una e aluación ápida po el es
MINMAX4 en e el segmen o que de ine al co e
y
el lado o cada uno de los segmen os
de ec a que lo ap oximan. Si es p obable que exis a in e sección se calcula la misma
como se explica más abajo. Cuando se encuen a la p ime a ca a con in e sección, el
o den de búsqueda de in e sección con las ca as, es ob enido po el g a o de la Figu a
2.
Dada la p ime a in e sección con una ca a, se conse an los lados sob e los cuales
se p oducen las in e secciones. Con la ca a in e sec ada y uno de es os lados se u iliza
el g a o de la Figu a
2
po el cual pa iendo del nodo que ep esen a la ca a
y
siguiendo
la línea que ep esen a a dicho lado del elemen o de olumen se ob iene la p óxima ca a
con la que se con inúa el con o no de la sección.
Además, como odo con o no de sección del elemen o cons i uye un camino ce ado
sob e el g a o de la Figu a 2, se e mina con la búsqueda de in e secciones cuando
se uel e a encon a una in e sección que po el g a o conduce a la p ime a ca a
in e sec ada.
En una p ime a e sión se de e minaba cuál e a el ex emo de la línea que se epi e
en la ca a siguien e, po compa ación de sus coo denadas. Pa a es o se deben hace
3 subs acciones de alo es eales y su compa ación en alo absolu o con un alo
CORTE DE LOS MODELOS DE
VOLUMEN
PARA EL CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
375
pequeño.
Una mejo a impo an e se ob u o al u iliza al g a o de la Figu a 2 pa a ob ene
el núme o del lado en el cual se p oduci á la in e sección epe ida según el o den de
los lados en la ca a a in e sec a . De es e modo, se ob iene cuál es la in e sección po
la cual se incula la p óxima línea al es o del con o no ya calculado, po una sola
compa ación en e dos alo es en e os.
CALCULO DE LAS INTERSECCIONES CON LOS LADOS
Pa a calcula las in e secciones con los lados de las ca as se e ec úa un lazo
eco iendo cada uno de ellos. Como ya se mencionó an es, se hace una ap oximación
de los lados cuad á icos y cúbicos po a ios segmen os de ec a.
Los segmen os ap oximan es son calculados de igual longi ud medida en el
pa áme o 8 del lado cu o. Po ejemplo, pa a ob ene
M-1
segmen os, si conside amos
que dicho pa áme o iene po ex emos
(-1,l)
la coo denada pa amé ica sob e el
lado cu o co espondien e a los ex emos del "k-esimo" segmen o ap oximan e se á:
y
las coo denadas en el sis ema global pueden se e aluadas en unción del mismo:
XK
=
F(Bk) XL; Yk
=
F(Bk) YL; Zk
=
E'(8k) ZL
donde F(8) son unciones de in e polación y XL, YL, ZL ep esen an las coo denadas
de los es o cua o nodos que de inen al lado cuad á ico o cúbico.
Es os segmen os son e i icados po el es
MINMAX
con el segmen o que de ine el
co e en el plano (X, Y), y luego se calcula la in e sección eemplazando pa a es o, su
ep esen ación pa amé ica (ecuaciones 1) en la ecuación canónica de la ec a (ecuación
2), p oyección del plano de co e.
De es e modo se puede e alua el pa alelismo en e los dos segmen os po el
p oduc o escala
(3)
y
el pa áme o
sob e el segmen o ap oximan e po
(4).
Si se encuen a que el p oduc o
XX
es igual a ce o, los segmen os son pa alelos;
pe o pa a u iliza un alo de compa ación que no dependa de los módulos de los

E.
LAITANO,
P.
BECKERS Y
A.
SCHYNS
segmen os se u iliza la ap oximación (5) pa a no maliza el p oduc o. Luego se compa a
el esul ado con un alo pequeño.
A
con inuación, se calcula el pa áme o sob e el lado en el pun o de in e sección po
una ap oximación lineal en e los dos ex emos del segmen o ap oximan e (Figu a
3):
Figu a
3.
Ap oximación
de
lados cu os.
Pa a o os Cálculos nos in e esa ambién conse a el pa áme o sob e el segmen o
que ep esen a al plano de co e, que se calcula en es e momen o a pa i de las
coo denadas globales del pun o de in e sección.
Reco idos los
M
-
1
segmen os que ap oximan a un lado, se pasa al lado siguien e,
y
así has a e mina con los lados de la ca a. Si el núme o de in e secciones pa a la misma
es
O,
la ca a se abandona
y
pasa a la ca a siguien e. Si el núme o de in e secciones
es impa uno de los ex emos del segmen o de de inición del co e es in e io a la ca a
del elemen o. En es e caso se conside a que no hubo in e secciones
y
se pasa a la ca a
siguien e. Es o equi ale a deci que no se hace el co e pa cial de elemen os.
Po úl imo, si el núme o de in e secciones es pa , pueden da se dos si uaciones
dis in as, dos o cua o in e secciones como se mues a en la Figu a
4.
En el caso de que
enga cua o in e secciones se puede p esen a la si uación de la Figu a 5 no p e is a
has a el momen o. En es e caso se conside an como in e secciones los dos pun os más
alejados.
Pa a con a el núme o de in e secciones, exis e la di icul ad que cuando el segmen o
que de ine al co e, pasa po un nodo apa ece como in e sección en los dos lados. Pa a
elimina es a si uación se e i ica que dos in e secciones que coinciden en el plano
(X,
Y)
en el que se calculan, no co espondan al mismo nodo. De es a o ma, se iene en cuen a
que cuando la ca a es pe pendicula al plano (X,
Y)
dos in e secciones sob e los lados
que se supe ponen son di e en es.
CORTE DE LOS MODELOS DE VOLUMEN PARA EL CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
377
2
in e secciones
4
.in e secciones
Figu a
4.
Posibilidades de in e sección.
Figu a
5.
In e sección no p e is a.
CALCULO DE UN PUNTO INTERMEDIO
La misma u ina que calcula las in e secciones que iene una ca a, calcula pun os
in e medios en e las in e secciones con los lados pa a mejo a la ep esen ación de la
geome ía de la magni ud.
El p og ama es gene al en el sen ido, que se pueden gene a
N
pun os in e medios,
incluso pa a los sub-segmen os que de ine la in e sección en el caso en que se ienen
M
in e secciones, con
M
pa mayo que dos.
Ac ualmen e sólo se u iliza
N
=
1
con lo cual se ob ienen esul ados acep ables
y sin un aumen o conside able de cos o compu acional, con espec o a los esul ados
pa a
N
=
0.
En gene al pa a
M
in e secciones, los da os que se conse an de las mismas son los
de la Tabla
1.
378
E.
LAITANO,
P.
BECKERS Y
A.
SCHYNS
Pun o Pa áme o Núme o del lado Pa áme o sob e
sob e lado segmen o co e
Pi
ei
ncj
TTi
Pi+i ei+i
nci+i
TZ+I
Tabla
1.
Da os en los pun os de in e sección.
Si se conoce el núme o de
nc;
y el pa áme o sob e el mismo
O;,
se conocen las
coo denadas in ínsecas del pun o de in e sección en el sis ema local de la ca a ( ;, S;).
Po ejemplo, si
ncj
=
1,
implica que
;
=
O;
y
S;
=
-1
( e Figu a
6).
Figu a
6.
Relación en e pa áme os.
A
pa i de las coo denadas ;,
si,
;+l,
s;+l,
se calculan las di e encias:
di idiendo luego, la coo denada de mayo di e encia en
N
+
1
pa es si se quie en
calcula N pun os in e medios. Luego se calcula la o a coo denada en o ma i e a i a
po el mé odo de New on-Raphson, u ilizando pa a comenza el p oceso una es imación
lineal.
Supongamos como ejemplo que D
2
Ds en onces:
k
=
;
+
D /(N
+
1)*k;
con
k=
1,
...,
N
CORTE DE LOS MODELOS DE VOLUMEN PARA EL CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
379
la ap oximación lineal pa a
S
se á:
sk
=
S;
+
Ds/(N
+
1)*
k
;
con
k
=
1,.
.
.,N
I
y la unción a la que se le busca un ce o po el mé odo de New on-Raphson es la
ecuación de la ec a p oyección del plano de co e (Ec.
2),
donde se eemplazan
x
e
y
en unción de las coo denadas in ínsecas de la ca a.
La in e polación sob e la ca a se u iliza ambién pa a calcula el alo de la
I
magni ud que se quie e ep esen a sob e la sección calculada, como ya se mencionó.
DIBUJO
DEL
CORTE
El dibujo de la sección del modelo de olumen se ob iene po la supe posición de
las secciones ob enidas. Cada ez que se ob iene la sección de un elemen o, es a es
dibujada y de es e modo la memo ia u ilizada co esponde a la in o mación de una sola
sección.
An es de e ec ua el dibujo de la sección se le debe e ec ua una ans o mación
de coo denadas que e emos a con inuación. Pa a es o se hace necesa io de ini los
siguien es sis emas de coo denadas.
-
Sis ema de coo denadas del modelo: es el sis ema en el cual el modelo es gene ado.
-
Sis ema de coo denadas de e e encia: es el sis ema de coo denadas en el que
se e ec úan los cálculos de las in e secciones en e ca as y el plano de co e.
Reco demos que en el mismo siemp e el plano de co e es pe pendicula al plano
(X,
Y).
No malmen e coincide con el úl imo dibujo de las mallas de olumen, sob e
el cual se selecciona el co e, simplemen e dando dos pun os de paso de la ec a
p oyección del mismo. La elación en e es e sis ema y el sis ema del modelo es
una ma iz de ans o mación que suminis a el usua io.
-
El sis ema de la ep esen ación del co e: es un sis ema que se ob iene po una
o ación de
90
g ados, al ededo del eje de inido po la in e sección del plano de
co e con el plano
(X,
Y)
del sis ema de e e encia. Es a ans o mación se calcula
en o ma au omá ica y coloca la sección pa alela al plano de dibujo, que es el plano
(X,
Y)
del sis ema de ep esen ación del co e.