El corte de los modelos de volumen utilizados para el cálculo por elementos finitos

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 8, 4, 371-383( 1992) EL CORTE DE LOS MODELOS DE VOLUMEN UTILIZADOS PARA EL CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS EDUARDO E. LAITANO* PIERRE BECKERS** Y ALAIN SCHYNS** *G upo de Tecnología Mecánica del INTEC, CONICET, Uni e sidad Nacional del Li o al, Guemes 3450, 3000 San a Fe, A gen ina. **Labo a oi e de Techniques Aé onau iques e Spa iales, Uni e si é de Lidge, Rue E. Sol ay 21, 4000 Liige, Belgium. RESUMEN En es e abajo se p esen a un mé odo pa a calcula y ep esen a el co e de modelos idimensionales. Pa a ep esen a esul ados se debe p e iamen e de e mina una supe icie. En el caso de la ep esen ación de alo es en co es del modelo, es a supe icie es la in e sección con el plano de co e. En es e abajo se desc ibe un mé odo ápido y simple pa a el cálculo de la sección así como el mé odo empleado pa a la in e polación de los alo es a ep esen a . SUMMARY In his wo k, a me hod o compu e sec ion o 3D ini e elemen models is p esen ed. A su ace o model mus be e alua e o ep esen any esul s. In he sec ion ep esen a ion, his su ace is he in e sec ion wi h he sec ion plane. A simple and as me hod o de e mine sec ion model and o in e pola e esul s is he e de eloped. INTRODUCCION Cuando uno quie e ep esen a los esul ados de un cálculo po elemen os ini os, en un modelo de olumen, se debe p e iamen e ob ene la supe icie sob e la cual se a a hace la ep esen ación. En el caso de que dicha supe icie coincida con la piel del modelo, se u ilizan algo i mos de eliminación de las pa es ocul as. Si se desea conoce los esul ados en una sección del modelo, en una p ime a e apa se debe calcula dicha sección, luego se debe p o ee una o ma de e alua la magni ud a ep esen a sob e es a sección, si es que no se iene una ecuación explíci a de la misma. Recibido: No iemb e 1991 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 372 E. LAITANO, P. BECKERS Y A. SCHYNS Po úl imo, si se desea ep esen a la pa e isible del modelo con la sección, al como se es ila en los co es en dibujo écnico, se debe de ec a cuáles son las pa es isibles del mismo, eniendo en cuen a que la sección calculada pasa a se una pa e isible y la pa e an e io al co e in isible. En es e abajo se ha a ado, el cálculo de la sección y su ep esen ación sin supe pone la con el es o del modelo, po lo cual la úl ima e apa mencionada no se e ec úa. Pa a analiza el p ocedimien o pa a ob ene es a ep esen ación, lo amos a descompone en las e apas siguien es: 1) Cálculo de la sección del modelo. 2) E aluación de la magni ud a ep esen a sob e la sección. 3) Dibujo de la ep esen ación. CALCULO DE LA SECCION DEL MODELO El p oblema de la in e sección de un sólido con una supe icie, es siemp e a ado como la in e sección de la supe icie ex e na del sólido y la supe icie en cues ión. Luego la in e sección es cons i uída po la po ción de és a úl ima limi ada po la cu a in e sección. Algunos ejemplos de cómo es esuel o es e p oblema son [l], [2] y [3]. Si el sólido iene aguje os, es deci que la in e sección es múl iplemen e conexa, se debe es a el á ea de los mismos, lo cual complica en cie a medida el algo i mo. T a ándose de un modelo de elemen os ini os, enemos dos mo i os pa a hace el cálculo de la in e sección elemen o po elemen o. Uno de ellos es que con ecuencia, in e esa conoce la on e a en e elemk os, y és a es la línea que se ob iene po la in e sección de la supe icie ex e na del elemen o con el plano de co e. O o mo i o pa a e ec ua el cálculo po elemen os es que la magni ud a ep esen a , en gene al algún alo ob enido como esul ado del cálculo, es á de inida en unción de coo denadas locales del mismo, y po lo an o es en es e sis ema que debe conoce se la supe icie de in e sección. INTERSECCION DE UN ELEMENTO La in e sección de un elemen o de olumen, es nue amen e el p oblema a ado en el pun o an e io . En consecuencia, la misma se ob iene calculando la in e sección con la supe icie ex e na del mismo, es deci con sus ca as. En el caso de la sección de elemen os ini os no exis e la di icul ad an es mencionada con los agu-je os. La in e sección con cada ca a da una línea se á una ec a si la ca a es plana o una cu a en o os casos. El conjun o de es as líneas cons i uye el con o no de la sección del elemen o, que se encuen a en el plano de co e. Luego la adición de las secciones de odos los elemen os cons i uye la sección del modelo de olumen. Los elemen os de olumen son descompues os en sus ca as y se calcula la in e sección de cada una de ellas de la siguien e mane a. En una p ime a e apa se de e mina la in e sección con cada uno de los lados de la ca a, si és os son cu os, son ap oximados po a ios de segmen os de ec a. A CORTE DE LOS MODELOS DE VOLUMEN PARA EL CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS 373 pa i de es as in e secciones se calcula un pun o in e io a la ca a sob e la línea de in e sección, ap oximando la línea de in e sección po la cu a que pasa po los es pun os calculados. Luego euniendo las líneas así calculadas se ob iene el con o no de la sección. SISTEMA DE COORDENADAS PARA EL CALCULO Como se supone que el plano de co e es in ini o en la coo denada (2) y pe pendicula al plano (X,Y) en el sis ema de coo denadas en el cual se de ine el co e, u ilizando pa a el cálculo es e sis ema, la in e sección en e el plano de co e y los lados se pueden ob ene como un p oblema plano en (X,Y), disminuyendo el núme o de ope aciones pa a comp oba si exis e in e sección o no. La coo denada Z sob e los pun os de in e sección es calculada luego po la ecuación pa amé ica del lado o el segmen o ap oximan e co espondien e si el lado es cu o. Ob enidas las in e secciones con los lados, se calcula un pun o in e io a dichas in e secciones, di idiendo po 2 la di e encia en e una de las coo denadas en el sis ema local pa amé ico de la ca a ( , S), calculando la o a en o ma i e a i a po New on- Raphson. Una ez calculadas las coo denadas ( , s) de es os 3 pun os se pueden ob ene (x, y, z) y los alo es de la unción a ep esen a en los mismos. Luego u ilizando es os es alo es, se ap oxima la geome ía del lado de la sección del elemen o po una cu a de segundo g ado. VINCULACION ENTRE LAS LINEAS QUE FORMAN EL CONTORNO DE LA SECCION Pa a desc ibi es e p ocedimien o e emos como ejemplo el a amien o del elemen o pa alelepípedo de base cuad angula . Es e elemen o cuya opología se mues a en la Figu a 1, es descompues o en sub-elemen os, siendo cada uno de ellos cons i uido po los nodos co espondien es a una ca a. Así po ejemplo, pa a el elemen o de la Figu a 1 se ob ienen los siguien es sub- elemen os: ca a 1: 1 2 3 4 (base) ca a 2: 1 2 6 5 (la ca a la e al) ca a 3: 2 3 7 6 (2a ca a la e al) ca a 4: 3 4 8 7 (3a ca a la e al) ca a 5: 4 1 5 8 (4a ca a la e al) ca a 6: 5 6 7 8 (ca a supe io ) Como pa a odos los elemen os las ca a son gene adas del mismo modo, se puede ob ene pa a un lado dado cuáles son las ca as que lo con ienen. E. LAITANO, P. BECKERS Y A. SCHYNS 1 2 Figu a 1. Elemen o de olumen. Figu a2. G a o del elemen o de olumen. Es a elación en e los lados y aces del elemen o, puede se ep esen ada po un g a o (Figu a 2). En es a cada nodo ep esen a una ca a mien as que las líneas que las unen co esponden a las a is as de los elemen os. En la Figu a 2 la nume ación de las líneas co esponde a los nodos ex emos de cada lado del elemen o de la Figu a 1 pa a acili a la explicación. Pe o pa a la aplicación en el algo i mo se conside a el o den de los lados en las ca as y de es e modo, el g a o es el mismo pa a odos los elemen os de una opología dada. El mé odo pa a incula las cu as que o man el con o no de la sección del elemen o es el siguien e: se comienza po busca si exis e in e sección con las ca as en el o den en que es as son gene adas: 1, 2, 3, ..., p ime o haciendo una e aluación ápida po el es MINMAX4 en e el segmen o que de ine al co e y el lado o cada uno de los segmen os de ec a que lo ap oximan. Si es p obable que exis a in e sección se calcula la misma como se explica más abajo. Cuando se encuen a la p ime a ca a con in e sección, el o den de búsqueda de in e sección con las ca as, es ob enido po el g a o de la Figu a 2. Dada la p ime a in e sección con una ca a, se conse an los lados sob e los cuales se p oducen las in e secciones. Con la ca a in e sec ada y uno de es os lados se u iliza el g a o de la Figu a 2 po el cual pa iendo del nodo que ep esen a la ca a y siguiendo la línea que ep esen a a dicho lado del elemen o de olumen se ob iene la p óxima ca a con la que se con inúa el con o no de la sección. Además, como odo con o no de sección del elemen o cons i uye un camino ce ado sob e el g a o de la Figu a 2, se e mina con la búsqueda de in e secciones cuando se uel e a encon a una in e sección que po el g a o conduce a la p ime a ca a in e sec ada. En una p ime a e sión se de e minaba cuál e a el ex emo de la línea que se epi e en la ca a siguien e, po compa ación de sus coo denadas. Pa a es o se deben hace 3 subs acciones de alo es eales y su compa ación en alo absolu o con un alo CORTE DE LOS MODELOS DE VOLUMEN PARA EL CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS 375 pequeño. Una mejo a impo an e se ob u o al u iliza al g a o de la Figu a 2 pa a ob ene el núme o del lado en el cual se p oduci á la in e sección epe ida según el o den de los lados en la ca a a in e sec a . De es e modo, se ob iene cuál es la in e sección po la cual se incula la p óxima línea al es o del con o no ya calculado, po una sola compa ación en e dos alo es en e os. CALCULO DE LAS INTERSECCIONES CON LOS LADOS Pa a calcula las in e secciones con los lados de las ca as se e ec úa un lazo eco iendo cada uno de ellos. Como ya se mencionó an es, se hace una ap oximación de los lados cuad á icos y cúbicos po a ios segmen os de ec a. Los segmen os ap oximan es son calculados de igual longi ud medida en el pa áme o 8 del lado cu o. Po ejemplo, pa a ob ene M-1 segmen os, si conside amos que dicho pa áme o iene po ex emos (-1,l) la coo denada pa amé ica sob e el lado cu o co espondien e a los ex emos del "k-esimo" segmen o ap oximan e se á: y las coo denadas en el sis ema global pueden se e aluadas en unción del mismo: XK = F(Bk) XL; Yk = F(Bk) YL; Zk = E'(8k) ZL donde F(8) son unciones de in e polación y XL, YL, ZL ep esen an las coo denadas de los es o cua o nodos que de inen al lado cuad á ico o cúbico. Es os segmen os son e i icados po el es MINMAX con el segmen o que de ine el co e en el plano (X, Y), y luego se calcula la in e sección eemplazando pa a es o, su ep esen ación pa amé ica (ecuaciones 1) en la ecuación canónica de la ec a (ecuación 2), p oyección del plano de co e. De es e modo se puede e alua el pa alelismo en e los dos segmen os po el p oduc o escala (3) y el pa áme o sob e el segmen o ap oximan e po (4). Si se encuen a que el p oduc o XX es igual a ce o, los segmen os son pa alelos; pe o pa a u iliza un alo de compa ación que no dependa de los módulos de los E. LAITANO, P. BECKERS Y A. SCHYNS segmen os se u iliza la ap oximación (5) pa a no maliza el p oduc o. Luego se compa a el esul ado con un alo pequeño. A con inuación, se calcula el pa áme o sob e el lado en el pun o de in e sección po una ap oximación lineal en e los dos ex emos del segmen o ap oximan e (Figu a 3): Figu a 3. Ap oximación de lados cu os. Pa a o os Cálculos nos in e esa ambién conse a el pa áme o sob e el segmen o que ep esen a al plano de co e, que se calcula en es e momen o a pa i de las coo denadas globales del pun o de in e sección. Reco idos los M - 1 segmen os que ap oximan a un lado, se pasa al lado siguien e, y así has a e mina con los lados de la ca a. Si el núme o de in e secciones pa a la misma es O, la ca a se abandona y pasa a la ca a siguien e. Si el núme o de in e secciones es impa uno de los ex emos del segmen o de de inición del co e es in e io a la ca a del elemen o. En es e caso se conside a que no hubo in e secciones y se pasa a la ca a siguien e. Es o equi ale a deci que no se hace el co e pa cial de elemen os. Po úl imo, si el núme o de in e secciones es pa , pueden da se dos si uaciones dis in as, dos o cua o in e secciones como se mues a en la Figu a 4. En el caso de que enga cua o in e secciones se puede p esen a la si uación de la Figu a 5 no p e is a has a el momen o. En es e caso se conside an como in e secciones los dos pun os más alejados. Pa a con a el núme o de in e secciones, exis e la di icul ad que cuando el segmen o que de ine al co e, pasa po un nodo apa ece como in e sección en los dos lados. Pa a elimina es a si uación se e i ica que dos in e secciones que coinciden en el plano (X, Y) en el que se calculan, no co espondan al mismo nodo. De es a o ma, se iene en cuen a que cuando la ca a es pe pendicula al plano (X, Y) dos in e secciones sob e los lados que se supe ponen son di e en es. CORTE DE LOS MODELOS DE VOLUMEN PARA EL CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS 377 2 in e secciones 4 .in e secciones Figu a 4. Posibilidades de in e sección. Figu a 5. In e sección no p e is a. CALCULO DE UN PUNTO INTERMEDIO La misma u ina que calcula las in e secciones que iene una ca a, calcula pun os in e medios en e las in e secciones con los lados pa a mejo a la ep esen ación de la geome ía de la magni ud. El p og ama es gene al en el sen ido, que se pueden gene a N pun os in e medios, incluso pa a los sub-segmen os que de ine la in e sección en el caso en que se ienen M in e secciones, con M pa mayo que dos. Ac ualmen e sólo se u iliza N = 1 con lo cual se ob ienen esul ados acep ables y sin un aumen o conside able de cos o compu acional, con espec o a los esul ados pa a N = 0. En gene al pa a M in e secciones, los da os que se conse an de las mismas son los de la Tabla 1. 378 E. LAITANO, P. BECKERS Y A. SCHYNS Pun o Pa áme o Núme o del lado Pa áme o sob e sob e lado segmen o co e Pi ei ncj TTi Pi+i ei+i nci+i TZ+I Tabla 1. Da os en los pun os de in e sección. Si se conoce el núme o de nc; y el pa áme o sob e el mismo O;, se conocen las coo denadas in ínsecas del pun o de in e sección en el sis ema local de la ca a ( ;, S;). Po ejemplo, si ncj = 1, implica que ; = O; y S; = -1 ( e Figu a 6). Figu a 6. Relación en e pa áme os. A pa i de las coo denadas ;, si, ;+l, s;+l, se calculan las di e encias: di idiendo luego, la coo denada de mayo di e encia en N + 1 pa es si se quie en calcula N pun os in e medios. Luego se calcula la o a coo denada en o ma i e a i a po el mé odo de New on-Raphson, u ilizando pa a comenza el p oceso una es imación lineal. Supongamos como ejemplo que D 2 Ds en onces: k = ; + D /(N + 1)*k; con k= 1, ..., N CORTE DE LOS MODELOS DE VOLUMEN PARA EL CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS 379 la ap oximación lineal pa a S se á: sk = S; + Ds/(N + 1)* k ; con k = 1,. . .,N I y la unción a la que se le busca un ce o po el mé odo de New on-Raphson es la ecuación de la ec a p oyección del plano de co e (Ec. 2), donde se eemplazan x e y en unción de las coo denadas in ínsecas de la ca a. La in e polación sob e la ca a se u iliza ambién pa a calcula el alo de la I magni ud que se quie e ep esen a sob e la sección calculada, como ya se mencionó. DIBUJO DEL CORTE El dibujo de la sección del modelo de olumen se ob iene po la supe posición de las secciones ob enidas. Cada ez que se ob iene la sección de un elemen o, es a es dibujada y de es e modo la memo ia u ilizada co esponde a la in o mación de una sola sección. An es de e ec ua el dibujo de la sección se le debe e ec ua una ans o mación de coo denadas que e emos a con inuación. Pa a es o se hace necesa io de ini los siguien es sis emas de coo denadas. - Sis ema de coo denadas del modelo: es el sis ema en el cual el modelo es gene ado. - Sis ema de coo denadas de e e encia: es el sis ema de coo denadas en el que se e ec úan los cálculos de las in e secciones en e ca as y el plano de co e. Reco demos que en el mismo siemp e el plano de co e es pe pendicula al plano (X, Y). No malmen e coincide con el úl imo dibujo de las mallas de olumen, sob e el cual se selecciona el co e, simplemen e dando dos pun os de paso de la ec a p oyección del mismo. La elación en e es e sis ema y el sis ema del modelo es una ma iz de ans o mación que suminis a el usua io. - El sis ema de la ep esen ación del co e: es un sis ema que se ob iene po una o ación de 90 g ados, al ededo del eje de inido po la in e sección del plano de co e con el plano (X, Y) del sis ema de e e encia. Es a ans o mación se calcula en o ma au omá ica y coloca la sección pa alela al plano de dibujo, que es el plano (X, Y) del sis ema de ep esen ación del co e.