Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño
en
Ingenie ía. Vol.
4,
3,
297-311(1988)
METODOLOGIA PARA LA DETERMINACION
DE LA PERMEABILIDAD DE
UN YACIMIENTO GASIFERO
APLICANDO SIMULACION NUMERICA
Y
REGRESION NO LINEAL
ENRIQUE A. DARDERES*
VICTORIA C. VAMPA*
OSCAR M. SORARRAIN**
Y
'
MIRTHA S. BIDNER***
Labo a o io de Ingenie ía de Rese o ios,
Depa amen o de Ingenie ía Química,
Facul ad de Ingenie ía
*Uni e sidad Nacional de La Pla a,
Calle 1 esquina
47,
(1900) La Pla a, A gen ina.
**Uni e sidad de Buenos Ai es,
Ciudad Uni e si a ia,
(1428)
Bueno's Ai es, A gen ina.
***Depa amen o de Fisica,
Facul ad de Ciencias Esac as,
Uni e sidad Nacional de La Pla a,
Calle 49
y
115,
(1900) La Pla a, A gen ina.
RESUMEN
La ecuación di e encial pa cial, no lineal, de segundo o den que desc ibe el lujo adial de
un gas eal a a és de un iiiedio po oso es esuel a u ilizando di e encias ini as1. Pa a ello se
la disc e iza en coo denadas cilínd icas, coiiipoiien e adial, log ando un esqueiiia en di e encias
ini as consis en e, conse a i o
y
e~ able~*~~~~~. Es e esqueiiia es iiiiplici o en ansiiiisi idades
y
p esiones,
El
iiiodelo nuiiié ico pe nii e la de e niinación de la pe iileabilidad del inedio po oso
al lujo de un gas eal aplicando el iiié odo in e soe: se ajus an las soluciones nuiiié icas
a
las iiiediciones expe imeii ales de la p esión e ec uadas en un pozo p oduc o de gas iiiedian e
la aplicación de écnicas de op iiiiizacióii. Es e p ocediniien o se aplica
a
la in e p e ación
de eiisayas de pozos gasí e os. Las p esiones es iiiiadas po el iiiodelo nuiiié ico u ilizando
la pe nieabilidad óp iiiia concue da sa is ac o iaiiieii e con las p esiones medidas du an e un
ensayo de pozo
a
caudal cons an e ( es d awd~wn'~~~~).
Recibido: Ene o 1988
@Uni e ei cl Poli bcnisa
de
C~ nlunya (España)
ISSN
0213-1315
298
E.A. DARDERES,
V.C.
VAMPA,
O.M.
SORARRAIN
Y
M.S.
BIDNER
SUMMARY
The second o de non-linea pa ial di e en ial equa ion, which desc ibes he adial
low
o
a eal gas h ough a po ous iiiedium, is sol ed by applying a ini e-di e encel echnique.
Tlie di e en ial equa ion in cylind ical coo dina es is disc e ized ob aining a ini e-di e ence
consis en , con e a i e and ~ ablel*~*~~*~" scheiiie. This sclieiiie is iinplici in ansniisi i ies
and p essu es. The nuliie ical iiiodel allows he de e mina ion
o
he po ous mediuin eal gas
pe iiieabili y by applyiiig he iii e se me hode: nuine ical solu ions a e adjus ed o measu ed
gas well p essu es by means
o
op iniiza ion echniques. This p ocedu e is applied o gas well
es ing analysis. P essu es es iiiia ed wi h p essu es iiieasu ed du ing a d awdown es
73838.
INTRODUCCION
Se conside a el lujo ansi o io de un gas eal a a és de un.medio po oso suje o
a las siguien es es icciones:
1-
el medio po oso es inde o mable (po osidad cons an e), homogéneo e isó opo, la
pe meabilidad es independien e de la p esión;
2- el lujo es mono ásico, iso é mico y los e ec os g a i acionales se desp ecian;
3-
el lujo es lamina y obedece a la ley de Da cy o;
4-
el gas es eal y se e i ica la ecuación de es ado":
PM
p=-
ZRT
En es as condiciones dicho lujo es á gobe nado po la ecuación di e encial pa cial
no lineal de segundo o den1':
donde
p
es la densidad del gas (ecuación
(l)),
P
es la p esión del gas,
M
su peso
molecula
y
p
su iscosidad,
R
es la cons an e de los gases,
T
la empe a u a del medio
po oso, y po lo an o del gas,
K
la pe meabilidad del medio po oso al lujo del gas,
6
su po osidad
y
Z
el ac o de des iación del gas eal conside ado. El é mino uen e
q
es la masa de gas ex aída (o inyec ada) po unidad de olumen y iempo. Z y
p
dependen de
P.
La ecuación di e encial
(2)
con sus adecuadas condiciones iniciales
y
de bo de puede
esol e se numé icamen e sin ul e io es es icciones espec o de las p opiedades del gas.
Sin emba go, las p ime as soluciones numé icas que se encuen an en la li e a u a
ue on ealizadas pa a el caso pa icula de un gas ideal (Z
=
1)
y conside ando lujo
unidimensional en coo denadas ca esianas y cilínd icas componen e adial13. En 1966
dos abajos p esen an soluciones pa a el caso del lujo de un gas eal hacia un pozo de
p oducción. Ambos in oducen.el concep o de pseudop esión de
un
gas eal hacia
un
pozo de p oducción. En el abajo de AI'Hussainy e a1.12 se ans o ma a la ecuación
di e encial (2) en é minos de la pseudop esión adop ando una o ma "cuasi-lineal"
semejan e a la ecuación de di usi idad pa a líquidos. Po lo an o los au o es u ilizan
PERMEABILIDAD DE UN YACIMIENTO GASIFERO
299
las soluciones analí icas de es a úl ima ecuación. El incon enien e eside en que la
comp esibilidad y la iscosidad (y po ende la di usi idad) pa a el caso de gases eales
dependen de la p esión.
Pa alelamen e, la ecuación (2) esc i a en é minos de la pseudop esión es esuel a
po Russell e al.'* median e un mé odo de C ank-Nicolson i e a i o. Wa enba ge
e al.15 esol ie on numé icamen e la misma ecuación pe o incluyendo el e ec o de
u bulencia. D anchuk e al.lG incluyen además la dependencia de la pe meabilidad
con la p esión de acue do con el e ec o Klinke be g"Js p esen ando ambién soluciones
numé icas.
La ecuación di e encial (2) co espondien e al lujo unidimensional en coo denadas
ca esianas ue esuel a po Da de es e al.' median e dis in os esquemas i e a i os en
di e encias ini as: uno explíci o en ansmisi idades e implíci o en p esiones y o o
o almen e implíci o; complemen ándose es e úl imo median e el mé odo de New on-
Raphson gene alizado.
En es e abajo se esuel e el lujo adial ans o mando adecuadamen e a la
ecuación di e encial
(2)
en coo denadas cilínd icas, componen e adial, median e
cambios de a iables y de iniciones de nue os pa áme os, De al modo se log a un
esquema en di e encias, pa a el caso plan eado, idén ico, en su aspec o, al esquema
en di e encias pa a el caso unidimensional en coo denadas ca esianas p esen ado po
Da de es e al.'; consecuen emen e alen las conside aciones ace ca de es abilidad
y
con e gencia allí expues as po es os au o es pa a el p esen e caso.
El obje i o cen al de es a p opues a es aplica el mé odo in e so6 al lujo de un gas
eal. Se minimizan las di e encias en e las p esiones calculadas po el modelo numé ico
y las p esiones medidas du an e un ensayo de pozo de gas ( es d awdown7>'"), a iando
la pe meabilidad. La a iación se e ec úa median e el Mé odo de Fibonac~i'~~'~.
W. W-G.Yeh2' emplea el mé odo in e so desa ollando un algo i mo pa a la
iden i icación de pa áme os en una ecuación di e encial que desc ibe una acuí e a
en
un
medio inhomogéneo. En es e caso los pa áme os elegidos son: el coe icien e
de almacenamien o y las ansmisi idades, es as úl imas son unciones de la a iable
espacial. Aquí la a iable dependien e es el po encial del lujo en la acuí e a, que posee
dimensiones de longi ud, ajus ando los alo es calculados de és a a obse aciones de la
misma ob enidas den o del sis ema.
La es imación de la pe meabilidad del medio po oso al lujo del gas, es uno
de los p opósi os de los ensayos de pozos gasí e ~s'~'>~. Es a es imación se ealiza
habi ualmen e con p ocedimien os analí ico-g á icos que a eces incluyen supe posición
de cu as, es deci ajus e isual a cu as ipo de los da os medidos7~s~g~z2~23.
Recien emen e se ha p opues o la aplicación de écnicas de op imización pa a la
in e p e ación de los ensayos de pozos pe olí e os, empleando modelos de lujos de
luídos lige amen e comp esibles.
La ecuación de di usi idad que ige el lujo de pe óleo hacia un pozo iene solución
analí ica po ans o mada de Laplace; de es a mane a Guillo e al.24 calculan la
p esión y sus de i adas espec o
de
la pe meabilidad (y o os pa áme os ca ac e ís icos
del ese o io y del lujo) en el espacio de la ans o mada de Laplace e in ie en
numé icamen e esas de i adas pa a pode aplica écnicas de eg esión no lineal.
Pe o el lujo de un gas eal es á gobe nado po una ecuación no lineal, que no posee
300
E.A.
DARDERES, V.C. VAMPA,
O.M.
SORARRAIN
Y
M.S. BIDNER
solución ce ada. Po eso, en es e abajo se esuel e la ecuación numé icamen e. Po
úl imo pa a de e mina la pe meabilidad se ajus an las soluciones numé icas a los da os
medidos aplicando écnicas de op imización.
MODELO MATEMATICO. ESQUEMA EN DIFERENCIAS FINITAS
De la ecuación di e encial
(2)
se ob iene la siguien e ecuación de di usión iso é mica
de un gas eal en un ese o io homogéneo, isó opo e inde o mable con sime ía
cilínd ica pa a la componen e adial:
donde
=
5,
=
2q9,
$J
=
p2
y
C
es la comp esibilidad del gas dada po
1
1
'&
C=-
-
-
P
Z
dP'
Las condiciones iniciales
y
de con o no conside adas san las siguien es: lujo nulo
en el bo de ex e io del ese o io (es deci , en
=
e
donde
e
es el adio del cilind o
de d enaje7>'lg), caudal olumé ico de p oducción cons an e en
el
pozo (cuyo adio es
=
,) y p esión inicial uni o me a a és de odo el ese o io.
Exp esando a la ley de Da cy en coo denadas cilínd icas, componen e adial, se
ob iene:
siendo
q,
el caudal mola (moles de
gas
po unidad de iempo)
y
h la
al u a de
18
o mación po osa (o sea del cilind o de d enaje). Combinando la ecuacion de es ado
(1)
con la exp esión
(4)
y despejando
q,
se ob iene:
Aho a pueden exp esa se las condiciones iniciales
y
de con o no de la siguien e
mane a:
Una ap oximación en di e encias ini as consis en e pa a la ecuación di e encial
(3)
es de la o ma
PERMEABILIDAD DE
UN
YACIMIENTO GASIFERO
301
donde
Aquí
A
indica el paso en el iempo y an o
n
como
n
+
1
el ni el de iempo
co espondien e en la disc e ización empo al.
Mul iplicando a la ecuación en di e encias
(6)
po
y disc e izando
la
exp esión
(5)
como sigue
se llega a
que
lo cual da signi icado ísico a la disc e ización consis en e e ec uada en (6) ya que
las
yM,+
1
son
108
caudales mola es en an es y salien es, espec i amen e, del i-ésimo
3
bloque de la gsilla ci cula que se desc ibi á más adelan e.
Pa a ob ene un esquema en di e encias conse a i o, con su co espondien e ma iz
simé ica asociada, deben impone se las siguien es dos condiciones2:
1-
la ecuación disc e izada
(8)
debe p opo ciona el caudal mola exac o pa a un dado
A$
(caída del cuad ado de la p esión) con
X/Z
cons an e;
2-
el olumen disc e izado, p opo cional a C,,, debe se igual al olumen eal del
i-ésimo bloque de la g illa ci cula dado po :
2 2
V.
="
h
(Ti+$
-
Ti-$)
Luego, la condición
1-
puede esc ibi se así:
qMi+
L
=
qMn
=
cons an e
2
(11)
siendo
q,,
la
in eg ación de la exp esión
(5))
suponiendo es ado es aciona io
(q,,
=
cons an e), en e los bloques
i
e
i
+
1;
lo cual da

302
E.A. DARDERES,
V.C.
VAMPA,
O.M.
SORARRAIN
Y
M.S.
BIDNER
*
h
(1)
($i+~
-
$i)
QME
=
-
-
RT
2'
In
(y)
En onces compa ando (8) con (12) se e que la condición
1-
se cumple si
L
Ti+1
-
Ti
T.
1
= .
1
=
+~
Z+?
ln
(W)
i
En cuan o a la condición 2- se e que és a se e i ica si
2
2
2
Ti
( i+'
-
Ti-')
=
Ti i
-
T.
%-'
(14)
Las elaciones (13) y (14) no pueden sa is ace se simul áneamen e pa a cualquie
elección de los bo des. Pa a sa is ace simul áneamen e a las condiciones
1-
y
2- se
ans o ma según
7
=
2
a la ecuación di e encial
(3),
ob eniéndose:
a
x
as,
4c
a$
4-&("%)
+-
q'=Zz
cuya ap oximación consis en e en di e encias ini as mul iplicada po el olumen eal,
dado en
(lo),
de la i-ésima celda ci cula esul a:
Di idiendo po
RT
y de iniendo
se ob iene nue amen e la ecuación
(9).
Teniendo en cuen a las exp esiones (8) y (13)
se obse a que se cumplen las condiciones
1-
y 2- si se impone que
La elación
(19)
es i ial
y
siemp e se sa is ace. En cuan o a la elación (18) se
u iliza pa a halla los
i*$
que esul an
PERMEABILIDAD DE UN YACIMIENTO GASIFERO
303
Reemplazando (18) en (16) se llega a:
siendo
En onces, se ob iene el esquema en di e encias consis en e
y
conse a i o (21) si
las ansmisi idades, Ti++, se calculan con las exp esiones loga i micas en dadas en
(13),
y
si los bo des de los bloques, pa a el cálculo del olumen de cada celda ci cula
i*i, se calcula según la exp esión loga í mica en 2 dada po (20).
2
Se es ablece el siguien e c i e io pa a calcula los pun os ep esen a i os de los
bloques de la g illa ci cula :
-
Pa a lujo en es ado es aciona io en
un
medio homogéneo se deduce, conside ando
la ecuación (12), que igual espaciamien o en In( ) esul a á en igual caída del
cuad ado de la p esión. En onces si se desea una g illa de
N
pun os en .la cual
TI
=
,
y
TN
=
e se ob iene:
de donde su ge la siguien e ó mula de ecu encia2
con
i=
1,2,
...
Es a elección de los pun os ep esen a i os de los bloques e i ica que la dis ancia
en e és os es cada ez meno a medida que
+
,, lo cual es esencial pa a man ene
uni o me la p ecisión de los esul ados numé icos en odos los pun os de la g illa.
La g illa ci cula ob enida median e (23) p esen a el aspec o al amen e i egula
que se e en la Figu a
1.
METODOLOGIA DE LA INTERPRETACION DE LOS ENSAYOS DE
POZOS GASIFEROS APLICANDO EL PROBLEMA INVERSO
Pa a ealiza es udios de ingenie ía de yacimien os gasí e os
y
p onós icos de
p oducción es necesa io conoce los pa áme os ca ac e ís icos de la oca- ese o io:
pe meabilidad
y
po osidad.
Su
medición di ec a en el labo a o io sob e mues a de
oca p esen a g a es incon enien es. Po un lado la ex acción de las mues as que se
304
E.A. DARDERES, V.C. VAMPA, O.M. SORARRAIN
Y
M.S. BIDNER
Figu a
1.
G illa ci cula
en
la cual los pun os ep esen a i os de sus bloques
se
calculan
según
(23)
- azo con inuo-. Los pun os in e bloques - azo
discon inuo-
se
calculan con la exp esión
(20).
Se onió
N
=
10
en
(23)
con
T,
=
0.20m
y
T,
=
0.004m.
ealiza pa ando la pe o ación de los pozos es cos osa. Po el o o, la ep esen a i idad
de dichas pequeñas mues as (del o den de pocos cen íme os cúbicos) es, ob iamen e,
ela i a en e a las dimensiones de un yacimien o. Po eso se han diseñado mediciones
indi ec as de ambos pa áme os.
La po osidad se puede de e mina con a ias écnicas ísicas de pe ilajes de pozo
abie o: sónica, de densidad, neu ónica y de ayos gamma,
La pe meabilidad, en cambio, se puede es ima median e los ensayos de pozos en
p oducción. El más di undido de los ensayos es el "d awdown es " que consis e en
medi la p esión dinámica en el ondo del pozo,
Pwj( ),
du an e un pe íodo de lujo
a
caudal cons an e; comenzando desde un alo es abilizado de la p esión
en
el ese o io.
El análisis con encional de las mediciones de p esión ecabadas du an e el ensayo a
caudal cons an e con el
in
de es ima la pe meabilidad, se ealiza con p ocedimien os
g á icos y/o con ajus e isual a cu as ipo7~6~g~22.
Ambos p ocedimien os es án basados en la solución analí ica de una modi icación
de la ecuación de lujo
(2).
La modi icación consis e en in oduci el concep o de pseudo-
p esión de gases eales pa a ob ene una o ma "cuasi-lineal" de dicha ecuación12.
Es a solución se u iliza pa a cons ui cu as ipo pa a dis in os alo es del
pa áme o pe meabilidad. Con es e mé odo, la pe meabilidad se de e mina buscando
isualmen e cual cu a ipo se ajus a mejo a los da os medidos. El ajus e es isual y,
po lo an o, subje i o.
La p opues a de es a comunicación es ajus a los esul ados del modelo numé ico
a las mediciones expe imen ales ecabadas du an e el ensayo, a iando el pa áme o
pe meabilidad y man eniendo ijos los demás pa áme os del modelo.
Se iene en onces un p oblema de eg esión no lineal: se busca el alo de K
que pe mi a ob ene el mejo ajus e a las p esiones medidas. Si se deno a median e
APzT( l),
1
=
1,.
.
.
n, a las caídas de p esión expe imen ales egis adas en los iempos
l
du an e un ensayo de pozo a caudal cons an e y po AP,"ym( l, K) a las soluciones del
modelo numé ico pa a los mismos iempos en onces el alo de K buscado se á aquel
que minimice a la unción obje i o siguien e:
La elección del mé odo pa a la esolución del p oblema de op imización plan eado
se ealizó eniendo en cuen a los siguien es aspec os:
-
la unción a minimiza (24) depende de una sola a iable;
-
no es posible ob ene la de i ada de la unción obje i o sino numé icamen e;
-
es posible de e mina a p io i un in e alo de soluciones posibles
(O,
K1) siendo K1
el alo que se ob iene in eg ando la ley de Da cy en el cilind o de d enaje bajo la
suposición de p oducción a caudal cons an e ( alo del caudal en el ensayo) y lujo
en es ado es aciona io. Es o es
donde los subíndices inic y
s
indican a la p esión inicial del ese o io
y
medida
en condiciones s anda d
(1
a m
y
15OC) espec i amen e.
Uno de los mé odos de búsqueda di ec a más e icien e pa a el caso de una sola
a iable es la busqueda
de
Fibonacci (Fibonacci sea ch)
lgl2O.
Es e algo i mo u iliza la
es a egia óp ima pa a educi el in e alo de ince idumb e pa a un núme o dado
de e aluaciones de la unción. Se basa en la sucesión de Fibonacci que sa is ace
Fk
=
Fk-1
+
Fk-2
con
F,
=
Fl
=
1
y
k
=
2,.
.
.
,
n
(los
Fk
se denominan núme os de
Fibonacci), siendo necesa ia una sola e aluación de la unción en cada paso de i e ación.
Luego de
N
e aluaciones el in e alo inal de ince idumb e es de longi ud
l/FN
eces
el in e alo o iginal, en onces
N
se de e mina de acue do a la p ecisión deseada. La
unicidad de
la
solución se dedujo cambiando los alo es iniciales de K y obse ando
que la solución esul a independien e de és os.
EJEMPLO
DE
APLICACION
Pa a ejempli ica el p ocedimien o expues o se u ilizan da os de un ese o io
y
de un ensayo
de
pozo a caudal cons an e, que ue on publicados po Al7Hussainy e
En la Tabla
1,
se p esen an los da os del ese o io: p esión inicial, espeso de la
o mación p oduc i a, adios del pozo y ex e no, empe a u a, po osidad y po cen aje
de olumen po al ocupado po el gas. En la Tabla I(b), se mues an la a iación de
las p opiedades del gas con la p esión. En la Tabla I(c), se uelcan las mediciones del
ensayo, es deci , la e olución en el iempo de la p esión dinámica en el ondo del pozo a