Metodología para la determinación de la permeabilidad de un yacimiento gasifero aplicando simulación numérica y regresión no lineal

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 4, 3, 297-311(1988) METODOLOGIA PARA LA DETERMINACION DE LA PERMEABILIDAD DE UN YACIMIENTO GASIFERO APLICANDO SIMULACION NUMERICA Y REGRESION NO LINEAL ENRIQUE A. DARDERES* VICTORIA C. VAMPA* OSCAR M. SORARRAIN** Y ' MIRTHA S. BIDNER*** Labo a o io de Ingenie ía de Rese o ios, Depa amen o de Ingenie ía Química, Facul ad de Ingenie ía *Uni e sidad Nacional de La Pla a, Calle 1 esquina 47, (1900) La Pla a, A gen ina. **Uni e sidad de Buenos Ai es, Ciudad Uni e si a ia, (1428) Bueno's Ai es, A gen ina. ***Depa amen o de Fisica, Facul ad de Ciencias Esac as, Uni e sidad Nacional de La Pla a, Calle 49 y 115, (1900) La Pla a, A gen ina. RESUMEN La ecuación di e encial pa cial, no lineal, de segundo o den que desc ibe el lujo adial de un gas eal a a és de un iiiedio po oso es esuel a u ilizando di e encias ini as1. Pa a ello se la disc e iza en coo denadas cilínd icas, coiiipoiien e adial, log ando un esqueiiia en di e encias ini as consis en e, conse a i o y e~ able~*~~~~~. Es e esqueiiia es iiiiplici o en ansiiiisi idades y p esiones, El iiiodelo nuiiié ico pe nii e la de e niinación de la pe iileabilidad del inedio po oso al lujo de un gas eal aplicando el iiié odo in e soe: se ajus an las soluciones nuiiié icas a las iiiediciones expe imeii ales de la p esión e ec uadas en un pozo p oduc o de gas iiiedian e la aplicación de écnicas de op iiiiizacióii. Es e p ocediniien o se aplica a la in e p e ación de eiisayas de pozos gasí e os. Las p esiones es iiiiadas po el iiiodelo nuiiié ico u ilizando la pe nieabilidad óp iiiia concue da sa is ac o iaiiieii e con las p esiones medidas du an e un ensayo de pozo a caudal cons an e ( es d awd~wn'~~~~). Recibido: Ene o 1988 @Uni e ei cl Poli bcnisa de C~ nlunya (España) ISSN 0213-1315 298 E.A. DARDERES, V.C. VAMPA, O.M. SORARRAIN Y M.S. BIDNER SUMMARY The second o de non-linea pa ial di e en ial equa ion, which desc ibes he adial low o a eal gas h ough a po ous iiiedium, is sol ed by applying a ini e-di e encel echnique. Tlie di e en ial equa ion in cylind ical coo dina es is disc e ized ob aining a ini e-di e ence consis en , con e a i e and ~ ablel*~*~~*~" scheiiie. This sclieiiie is iinplici in ansniisi i ies and p essu es. The nuliie ical iiiodel allows he de e mina ion o he po ous mediuin eal gas pe iiieabili y by applyiiig he iii e se me hode: nuine ical solu ions a e adjus ed o measu ed gas well p essu es by means o op iniiza ion echniques. This p ocedu e is applied o gas well es ing analysis. P essu es es iiiia ed wi h p essu es iiieasu ed du ing a d awdown es 73838. INTRODUCCION Se conside a el lujo ansi o io de un gas eal a a és de un.medio po oso suje o a las siguien es es icciones: 1- el medio po oso es inde o mable (po osidad cons an e), homogéneo e isó opo, la pe meabilidad es independien e de la p esión; 2- el lujo es mono ásico, iso é mico y los e ec os g a i acionales se desp ecian; 3- el lujo es lamina y obedece a la ley de Da cy o; 4- el gas es eal y se e i ica la ecuación de es ado": PM p=- ZRT En es as condiciones dicho lujo es á gobe nado po la ecuación di e encial pa cial no lineal de segundo o den1': donde p es la densidad del gas (ecuación (l)), P es la p esión del gas, M su peso molecula y p su iscosidad, R es la cons an e de los gases, T la empe a u a del medio po oso, y po lo an o del gas, K la pe meabilidad del medio po oso al lujo del gas, 6 su po osidad y Z el ac o de des iación del gas eal conside ado. El é mino uen e q es la masa de gas ex aída (o inyec ada) po unidad de olumen y iempo. Z y p dependen de P. La ecuación di e encial (2) con sus adecuadas condiciones iniciales y de bo de puede esol e se numé icamen e sin ul e io es es icciones espec o de las p opiedades del gas. Sin emba go, las p ime as soluciones numé icas que se encuen an en la li e a u a ue on ealizadas pa a el caso pa icula de un gas ideal (Z = 1) y conside ando lujo unidimensional en coo denadas ca esianas y cilínd icas componen e adial13. En 1966 dos abajos p esen an soluciones pa a el caso del lujo de un gas eal hacia un pozo de p oducción. Ambos in oducen.el concep o de pseudop esión de un gas eal hacia un pozo de p oducción. En el abajo de AI'Hussainy e a1.12 se ans o ma a la ecuación di e encial (2) en é minos de la pseudop esión adop ando una o ma "cuasi-lineal" semejan e a la ecuación de di usi idad pa a líquidos. Po lo an o los au o es u ilizan PERMEABILIDAD DE UN YACIMIENTO GASIFERO 299 las soluciones analí icas de es a úl ima ecuación. El incon enien e eside en que la comp esibilidad y la iscosidad (y po ende la di usi idad) pa a el caso de gases eales dependen de la p esión. Pa alelamen e, la ecuación (2) esc i a en é minos de la pseudop esión es esuel a po Russell e al.'* median e un mé odo de C ank-Nicolson i e a i o. Wa enba ge e al.15 esol ie on numé icamen e la misma ecuación pe o incluyendo el e ec o de u bulencia. D anchuk e al.lG incluyen además la dependencia de la pe meabilidad con la p esión de acue do con el e ec o Klinke be g"Js p esen ando ambién soluciones numé icas. La ecuación di e encial (2) co espondien e al lujo unidimensional en coo denadas ca esianas ue esuel a po Da de es e al.' median e dis in os esquemas i e a i os en di e encias ini as: uno explíci o en ansmisi idades e implíci o en p esiones y o o o almen e implíci o; complemen ándose es e úl imo median e el mé odo de New on- Raphson gene alizado. En es e abajo se esuel e el lujo adial ans o mando adecuadamen e a la ecuación di e encial (2) en coo denadas cilínd icas, componen e adial, median e cambios de a iables y de iniciones de nue os pa áme os, De al modo se log a un esquema en di e encias, pa a el caso plan eado, idén ico, en su aspec o, al esquema en di e encias pa a el caso unidimensional en coo denadas ca esianas p esen ado po Da de es e al.'; consecuen emen e alen las conside aciones ace ca de es abilidad y con e gencia allí expues as po es os au o es pa a el p esen e caso. El obje i o cen al de es a p opues a es aplica el mé odo in e so6 al lujo de un gas eal. Se minimizan las di e encias en e las p esiones calculadas po el modelo numé ico y las p esiones medidas du an e un ensayo de pozo de gas ( es d awdown7>'"), a iando la pe meabilidad. La a iación se e ec úa median e el Mé odo de Fibonac~i'~~'~. W. W-G.Yeh2' emplea el mé odo in e so desa ollando un algo i mo pa a la iden i icación de pa áme os en una ecuación di e encial que desc ibe una acuí e a en un medio inhomogéneo. En es e caso los pa áme os elegidos son: el coe icien e de almacenamien o y las ansmisi idades, es as úl imas son unciones de la a iable espacial. Aquí la a iable dependien e es el po encial del lujo en la acuí e a, que posee dimensiones de longi ud, ajus ando los alo es calculados de és a a obse aciones de la misma ob enidas den o del sis ema. La es imación de la pe meabilidad del medio po oso al lujo del gas, es uno de los p opósi os de los ensayos de pozos gasí e ~s'~'>~. Es a es imación se ealiza habi ualmen e con p ocedimien os analí ico-g á icos que a eces incluyen supe posición de cu as, es deci ajus e isual a cu as ipo de los da os medidos7~s~g~z2~23. Recien emen e se ha p opues o la aplicación de écnicas de op imización pa a la in e p e ación de los ensayos de pozos pe olí e os, empleando modelos de lujos de luídos lige amen e comp esibles. La ecuación de di usi idad que ige el lujo de pe óleo hacia un pozo iene solución analí ica po ans o mada de Laplace; de es a mane a Guillo e al.24 calculan la p esión y sus de i adas espec o de la pe meabilidad (y o os pa áme os ca ac e ís icos del ese o io y del lujo) en el espacio de la ans o mada de Laplace e in ie en numé icamen e esas de i adas pa a pode aplica écnicas de eg esión no lineal. Pe o el lujo de un gas eal es á gobe nado po una ecuación no lineal, que no posee 300 E.A. DARDERES, V.C. VAMPA, O.M. SORARRAIN Y M.S. BIDNER solución ce ada. Po eso, en es e abajo se esuel e la ecuación numé icamen e. Po úl imo pa a de e mina la pe meabilidad se ajus an las soluciones numé icas a los da os medidos aplicando écnicas de op imización. MODELO MATEMATICO. ESQUEMA EN DIFERENCIAS FINITAS De la ecuación di e encial (2) se ob iene la siguien e ecuación de di usión iso é mica de un gas eal en un ese o io homogéneo, isó opo e inde o mable con sime ía cilínd ica pa a la componen e adial: donde = 5, = 2q9, $J = p2 y C es la comp esibilidad del gas dada po 1 1 '& C=- - - P Z dP' Las condiciones iniciales y de con o no conside adas san las siguien es: lujo nulo en el bo de ex e io del ese o io (es deci , en = e donde e es el adio del cilind o de d enaje7>'lg), caudal olumé ico de p oducción cons an e en el pozo (cuyo adio es = ,) y p esión inicial uni o me a a és de odo el ese o io. Exp esando a la ley de Da cy en coo denadas cilínd icas, componen e adial, se ob iene: siendo q, el caudal mola (moles de gas po unidad de iempo) y h la al u a de 18 o mación po osa (o sea del cilind o de d enaje). Combinando la ecuacion de es ado (1) con la exp esión (4) y despejando q, se ob iene: Aho a pueden exp esa se las condiciones iniciales y de con o no de la siguien e mane a: Una ap oximación en di e encias ini as consis en e pa a la ecuación di e encial (3) es de la o ma PERMEABILIDAD DE UN YACIMIENTO GASIFERO 301 donde Aquí A indica el paso en el iempo y an o n como n + 1 el ni el de iempo co espondien e en la disc e ización empo al. Mul iplicando a la ecuación en di e encias (6) po y disc e izando la exp esión (5) como sigue se llega a que lo cual da signi icado ísico a la disc e ización consis en e e ec uada en (6) ya que las yM,+ 1 son 108 caudales mola es en an es y salien es, espec i amen e, del i-ésimo 3 bloque de la gsilla ci cula que se desc ibi á más adelan e. Pa a ob ene un esquema en di e encias conse a i o, con su co espondien e ma iz simé ica asociada, deben impone se las siguien es dos condiciones2: 1- la ecuación disc e izada (8) debe p opo ciona el caudal mola exac o pa a un dado A$ (caída del cuad ado de la p esión) con X/Z cons an e; 2- el olumen disc e izado, p opo cional a C,,, debe se igual al olumen eal del i-ésimo bloque de la g illa ci cula dado po : 2 2 V. =" h (Ti+$ - Ti-$) Luego, la condición 1- puede esc ibi se así: qMi+ L = qMn = cons an e 2 (11) siendo q,, la in eg ación de la exp esión (5)) suponiendo es ado es aciona io (q,, = cons an e), en e los bloques i e i + 1; lo cual da 302 E.A. DARDERES, V.C. VAMPA, O.M. SORARRAIN Y M.S. BIDNER * h (1) ($i+~ - $i) QME = - - RT 2' In (y) En onces compa ando (8) con (12) se e que la condición 1- se cumple si L Ti+1 - Ti T. 1 = . 1 = +~ Z+? ln (W) i En cuan o a la condición 2- se e que és a se e i ica si 2 2 2 Ti ( i+' - Ti-') = Ti i - T. %-' (14) Las elaciones (13) y (14) no pueden sa is ace se simul áneamen e pa a cualquie elección de los bo des. Pa a sa is ace simul áneamen e a las condiciones 1- y 2- se ans o ma según 7 = 2 a la ecuación di e encial (3), ob eniéndose: a x as, 4c a$ 4-&("%) +- q'=Zz cuya ap oximación consis en e en di e encias ini as mul iplicada po el olumen eal, dado en (lo), de la i-ésima celda ci cula esul a: Di idiendo po RT y de iniendo se ob iene nue amen e la ecuación (9). Teniendo en cuen a las exp esiones (8) y (13) se obse a que se cumplen las condiciones 1- y 2- si se impone que La elación (19) es i ial y siemp e se sa is ace. En cuan o a la elación (18) se u iliza pa a halla los i*$ que esul an PERMEABILIDAD DE UN YACIMIENTO GASIFERO 303 Reemplazando (18) en (16) se llega a: siendo En onces, se ob iene el esquema en di e encias consis en e y conse a i o (21) si las ansmisi idades, Ti++, se calculan con las exp esiones loga i micas en dadas en (13), y si los bo des de los bloques, pa a el cálculo del olumen de cada celda ci cula i*i, se calcula según la exp esión loga í mica en 2 dada po (20). 2 Se es ablece el siguien e c i e io pa a calcula los pun os ep esen a i os de los bloques de la g illa ci cula : - Pa a lujo en es ado es aciona io en un medio homogéneo se deduce, conside ando la ecuación (12), que igual espaciamien o en In( ) esul a á en igual caída del cuad ado de la p esión. En onces si se desea una g illa de N pun os en .la cual TI = , y TN = e se ob iene: de donde su ge la siguien e ó mula de ecu encia2 con i= 1,2, ... Es a elección de los pun os ep esen a i os de los bloques e i ica que la dis ancia en e és os es cada ez meno a medida que + ,, lo cual es esencial pa a man ene uni o me la p ecisión de los esul ados numé icos en odos los pun os de la g illa. La g illa ci cula ob enida median e (23) p esen a el aspec o al amen e i egula que se e en la Figu a 1. METODOLOGIA DE LA INTERPRETACION DE LOS ENSAYOS DE POZOS GASIFEROS APLICANDO EL PROBLEMA INVERSO Pa a ealiza es udios de ingenie ía de yacimien os gasí e os y p onós icos de p oducción es necesa io conoce los pa áme os ca ac e ís icos de la oca- ese o io: pe meabilidad y po osidad. Su medición di ec a en el labo a o io sob e mues a de oca p esen a g a es incon enien es. Po un lado la ex acción de las mues as que se 304 E.A. DARDERES, V.C. VAMPA, O.M. SORARRAIN Y M.S. BIDNER Figu a 1. G illa ci cula en la cual los pun os ep esen a i os de sus bloques se calculan según (23) - azo con inuo-. Los pun os in e bloques - azo discon inuo- se calculan con la exp esión (20). Se onió N = 10 en (23) con T, = 0.20m y T, = 0.004m. ealiza pa ando la pe o ación de los pozos es cos osa. Po el o o, la ep esen a i idad de dichas pequeñas mues as (del o den de pocos cen íme os cúbicos) es, ob iamen e, ela i a en e a las dimensiones de un yacimien o. Po eso se han diseñado mediciones indi ec as de ambos pa áme os. La po osidad se puede de e mina con a ias écnicas ísicas de pe ilajes de pozo abie o: sónica, de densidad, neu ónica y de ayos gamma, La pe meabilidad, en cambio, se puede es ima median e los ensayos de pozos en p oducción. El más di undido de los ensayos es el "d awdown es " que consis e en medi la p esión dinámica en el ondo del pozo, Pwj( ), du an e un pe íodo de lujo a caudal cons an e; comenzando desde un alo es abilizado de la p esión en el ese o io. El análisis con encional de las mediciones de p esión ecabadas du an e el ensayo a caudal cons an e con el in de es ima la pe meabilidad, se ealiza con p ocedimien os g á icos y/o con ajus e isual a cu as ipo7~6~g~22. Ambos p ocedimien os es án basados en la solución analí ica de una modi icación de la ecuación de lujo (2). La modi icación consis e en in oduci el concep o de pseudo- p esión de gases eales pa a ob ene una o ma "cuasi-lineal" de dicha ecuación12. Es a solución se u iliza pa a cons ui cu as ipo pa a dis in os alo es del pa áme o pe meabilidad. Con es e mé odo, la pe meabilidad se de e mina buscando isualmen e cual cu a ipo se ajus a mejo a los da os medidos. El ajus e es isual y, po lo an o, subje i o. La p opues a de es a comunicación es ajus a los esul ados del modelo numé ico a las mediciones expe imen ales ecabadas du an e el ensayo, a iando el pa áme o pe meabilidad y man eniendo ijos los demás pa áme os del modelo. Se iene en onces un p oblema de eg esión no lineal: se busca el alo de K que pe mi a ob ene el mejo ajus e a las p esiones medidas. Si se deno a median e APzT( l), 1 = 1,. . . n, a las caídas de p esión expe imen ales egis adas en los iempos l du an e un ensayo de pozo a caudal cons an e y po AP,"ym( l, K) a las soluciones del modelo numé ico pa a los mismos iempos en onces el alo de K buscado se á aquel que minimice a la unción obje i o siguien e: La elección del mé odo pa a la esolución del p oblema de op imización plan eado se ealizó eniendo en cuen a los siguien es aspec os: - la unción a minimiza (24) depende de una sola a iable; - no es posible ob ene la de i ada de la unción obje i o sino numé icamen e; - es posible de e mina a p io i un in e alo de soluciones posibles (O, K1) siendo K1 el alo que se ob iene in eg ando la ley de Da cy en el cilind o de d enaje bajo la suposición de p oducción a caudal cons an e ( alo del caudal en el ensayo) y lujo en es ado es aciona io. Es o es donde los subíndices inic y s indican a la p esión inicial del ese o io y medida en condiciones s anda d (1 a m y 15OC) espec i amen e. Uno de los mé odos de búsqueda di ec a más e icien e pa a el caso de una sola a iable es la busqueda de Fibonacci (Fibonacci sea ch) lgl2O. Es e algo i mo u iliza la es a egia óp ima pa a educi el in e alo de ince idumb e pa a un núme o dado de e aluaciones de la unción. Se basa en la sucesión de Fibonacci que sa is ace Fk = Fk-1 + Fk-2 con F, = Fl = 1 y k = 2,. . . , n (los Fk se denominan núme os de Fibonacci), siendo necesa ia una sola e aluación de la unción en cada paso de i e ación. Luego de N e aluaciones el in e alo inal de ince idumb e es de longi ud l/FN eces el in e alo o iginal, en onces N se de e mina de acue do a la p ecisión deseada. La unicidad de la solución se dedujo cambiando los alo es iniciales de K y obse ando que la solución esul a independien e de és os. EJEMPLO DE APLICACION Pa a ejempli ica el p ocedimien o expues o se u ilizan da os de un ese o io y de un ensayo de pozo a caudal cons an e, que ue on publicados po Al7Hussainy e En la Tabla 1, se p esen an los da os del ese o io: p esión inicial, espeso de la o mación p oduc i a, adios del pozo y ex e no, empe a u a, po osidad y po cen aje de olumen po al ocupado po el gas. En la Tabla I(b), se mues an la a iación de las p opiedades del gas con la p esión. En la Tabla I(c), se uelcan las mediciones del ensayo, es deci , la e olución en el iempo de la p esión dinámica en el ondo del pozo a