Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie la.
Vol.
5,
1,
39-57(1989)
APROXIMACION AL TRATAMIENTO UNIFICADO
DE LA NO LINEAL1DA.D GEOMETRICA
DE LAS BARRAS RECTAS
IGNACIO DUQUE OLIART
Y
ANGEL APARICIO BENGOECHEA
Cá ed a de Puen es
E.
T.S.
de Ingenie os de Caminos de Ba celona.
RESUMEN
El p opósi o del p esen e a ículo es segui la e olución de las o inulaciones de elemen os
ini os más conocidas pa a el es udio de la no linealidad ge~mé ica''.~~ haciendo hincapié en el
pa alelismo en e es os mé odos y los mé odos expli'ci os adicionalmen e usados en el análisis
de es uc u as de ba as (coe icien es de es abilidad, ma iz geomé ica y P-del a) y mos ando
las simpli icaciones que és os in oducen.
SUMMARY
The pu pose o his a icle is o ollow he e olu ion o he mos well known ini e elemen
o iiiula ions iii o de o s udy hei nonlinea geome ical aspec s, paying pa icula a en ion o
he pa alelisni be weeii hese me hods, and he explnci me hods adi ionally used on s uc u al
analysis o ba s (s abili y coe icien s, geonie ical s i ness ma ix aad P-Del a) and o sliow
he simpli ica ions ha he o me iiie hods in oduce.
INTRODUCCION
El
hecho de que la bibliog a ía exis en e sob e
la
no linealidad geomé ica sea
ex ao dina iamen e ab~ndan e~J~1~~3~~ implica a ios iesgos:
1)
Imposibilidad de accede
a
odos los a ículos, incluso pa a los especialis as.
2)
Re aimien o po pa e de los no especialis as a in oduci se en
un
e eno en
ocasiones complejo, lo que se debe, al menos pa cialmen e, a la o mulación
ma emá ica que la no linealidad conlle a.
Es o es debido
a
que los mé odos no lineales se han desa ollado plenamen e a
pa i de
la
i upción del mé odo de los elemen os ini os en ingenie ía
y
las di e en es
o mulaciones u ilizadas, así como la gene alidad de las mismas, o igina que, en muchos
casos, no sea e iden e la aplicación inmedia a de sus p ocedi nien os pa a los no
Recibido: Sep iemb e 1987
OUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315
3
9
40
1.
DUQUE
Y
A. APARICIO
iniciados. Es a ci cuns ancia, unida a aspec os p ác icos en elación con el uso de
pequeños o denado es (aho o de memo ia
y
iempo de cálculo, undamen almen e),
hace que sigan siendo álidos di e en es mé odos que se desa olla on con an e io idad
al
mé odo de los elemen os mi os ( unciones de es abilidad) o simul áneamen e
al
mismo,
in oduciendo simpli icaciones di e sas, (ma iz geomé ica, P-del a), odos ellos ú iles
en el es udio de las es uc u as modelizables po medio de ba as.
d
Los a ículos en que se analizan y emplean es as o mulaciones son nume osos,
pe o no son menos nume osos aquellos a ículos en los cuales se u ilizan con e iden e
desconocimien o del undamen o eó ico que las sus en a. Habla emos aquí del
pa alelismo exis en e en e odas ellas y de sus limi aciones y posibilidades, ealizando
una b e e e isión his ó ica de las líneas de desa ollo más conocidas, haciendo hincapié
en los aspec os an e io men e ci ados.
En las o mulaciones explíci as
y
pa a una mayo sencillez nos ceñi emos a las
exp esiones de pó ico plano, aunque son pe ec amen e gene alizables al caso espacial.
ALGUNOS ASPECTOS DE LA TERMINOLOGIA
An es de en a en la e olución his ó ica, es impo an e acla a algunos aspec os de
la e minología es echamen e ligados
a
la o mulación de los p oblemas de es uc u as
conside ando la no linealidad geomé ica.
Pequeñas de o maciones
y
g andes mo imien os.
I
En la elas icidad bidimensional la elación en e las de o maciones
y
los co imien os
iene exp esada po el enso de de o maciones de G een:
Si los é minos de segundo o den (p oduc os de de i adas) son desp eciables en e
a
los de p ime o den, cabe u iliza sólo los é minos lineales
y
se dice que se abaja
en eo ía lineal. Po con a, si se u iliza la exp esión an e io o una simpli icación de la
misma no lineal es amos en el caso de pequeñas de o maciones
y
g andes mo imien os.
Si los co imien os (u, )
y
SUS
g adien es son pequeños la ap oximación es
lineal siemp e álida, sin emba go pueden exis i g andes co imien os con pequeñas
de o maciones como ocu e, po ejemplo, con un gi o de sólido ígido.
No debe ol ida se que es a simpli icación implica, en el caso de una ba a ec a,
.
desp ecia la in luencia que iene el co imien o en el sen ido ans e sal ( ) sob e la
de o mación en el sen ido longi udinal (E,).
NO LINEALIDAD GEOMETRICA DE BARRAS RECTAS
Pequeños gi os.
La hipó esis de pequeños gi os consis e en acep a como álida la ap oximación:
8
=
g
0
=
sen
8
COS
e
=
1
Lo que conduce a la conocida simpli icación pa a la cu a u q:
C
=
~II,
acep ada en
la mayo ía de las o mulaciones de ba as, como ocu e en la exp esión de la de o mación
de una iga con g andes desplazamien os debida a Wa~hizu~~, con lo cual, si exis en
g andes gi os, las o mulaciones ob enidas a pa i de la misma son sólo ap oximadasz7.
No linealidad geomé ica.
En muchas ocasiones en el es udio de las es uc u as, es acep able la hipó esis de
que se compo an linealmen e, es o es, que los desplazamien os
q
son una unción lineal
de las ue zas aplicadas, (llamando desplazamien os a los co imien os
(u,
u)
y los gi os
en los ex emos del elemen o). Es o es comple amen e admisible si los co imien os son
pequeños, de al o ma que puede acep a se que la geome ía de los elemen os no a ía
du an e
la
ac uación de las ue zas ex e io es y las de o maciones pueden ap oxima se
de o ma lineal y asimila se
a
inñni ésimos de p ime o den. En caso con a io se dice
que la es uc u a p esen a no linealidad geomé ica.
La no linealidad geomé ica es un enómeno único que, de acue do con PowellZ6, se
debe undamen almen e a:
a) La elación que liga los desplazamien os de un elemen o
y
las de o maciones del
mismo es no lineal. Es o es lo que Powell llama compa ibilidad geomé ica (Figu a
1).
b)
Al
conside a el equilib io del elemen o, se obse a que la elación en e las ue zas
y los desplazamien os es no lineal y depende de dichos desplazamien os (Figu a
5.a.).
c) El equilib io debe plan ea se en la posición de o mada.
Aho a bien, si el enómeno es único, en. cuan o
al
análisis pueden ob ia se o
simpli ica se algunos de los pun os an e io es, en cuyo caso la solución ob enida se á
sólo ap oximada.
La u ilización de una o mulación angen e pe mi e linealiza las elaciones an es
ci adas, de ahí el in e és y la u ilidad del uso de dicha o mulación. Po supues o, no
debe ol ida se que lo e dade amen e impo an e es el equilib i~ y la compa ibilidad de
los elemen os en la posición de o mada, sin impo a el p oceso analí ico e ec uado pa a
llega a la solución. Po an o, el uso de la o mulación angen e "exac a" sólo es p eciso
cuando se ealiza un cálculo inc emen al (sin e i ica el equilib io y la compa ibilidad),
pues en ese caso exis e una cie a ga an ía de que si los inc emen os son pequeños y
el p oblema no p esen a
un
ca ác e ma cadamen e no lineal,
lia
solución así ob enida
se ap oxima á a la solución eal de una o ma acep able (Figu a
2).
Las o mulaciones
42
1.
DUQUE
Y
A. APARICIO
0,
PB
I
U
*
l
COI(PAT1BILIDAD GEOMETRICA
C
=
JGK7-
1
@A=
e*
-
ORlg
A
l+u
+B
=
eB
-a g
I-
l+u
EXPRESIONES LINEALXZADIS
e-
u
=
e,
-
-
1
=
eB
-
-
1
Figu a
1.
Fo iiiulación de la coiiipa ibilidad geomé ica
y
siiiipli icación lineal
liabi ualiiien e u ilizada
de ipo angen e son las más ampliamen e u ilizadas
y
básicamen e nos ceñi emos a
ellas, aunque en muchos casos se u ilizan de un modo secan e, ap oximación que en la
p ác ica suele se admisible (Figu a
3).
FUNCIONES
DE ESTABILIDAD
La causa más impo an e de la apa ición de enómenos no lineales en una ba a es,
sin duda, la p esencia de un axil que ac úe sob e la misma. Si es e axil es de comp esión,
puede lle a a la uina de la pieza debido a un enómeno de ines abilidad (pandeo).
Es lógico, po an o, que los p ime os abajos sob e no linealidad se cen a an en el
pandeo de ba as (Eule , 1744)
y
sólo más a de, en el compo amien o no lineal de los
elemen os en p esencia de
un
axil. Dicho e ec o es incluido en la elación que liga las
ue zas
y
los desplazamien os en los ex emos de un elemen o po Mande la en 1880, po
nedio de unas exp esiones analí icas que dependían del axil
y
que en o ma ma icial
pueden exp esa se:
P
=
K
(4)-q
(2)
donde las
4
eciben el nomb e de " unciones de es abilidad". En su o ma ac ualmen e
NO
LINEALIDAD GEOMETRICA DE BARRAS RECTAS
2.3
Cu o
ue zo-6csplozmimio
e ical
1
Figu a
2.
Cu a Fue za-desplazamien o
y
ap oximación angen e en un enómeno
al amen e no lineal
más ~ ilizada~~~~~ se deben a James (1935) y a Ludquis y K oll (1944). (Ci ado en
e e encias
1,
9,
20).
Sin en a en de alle en el p oceso analí ico seguido pa a la ob ención de las
mis na~~~~~~, si c eemos impo an e eco da que pa a su ob ención:
-
se pa e de la ba a ec a some ida a un axil.
-
se incluye el e ec o de dicho axil en la ecuación di e encial que liga los es ue zos y
los co imien os.
-
la in eg ación de dicha ecuación di e encial al impclne
un
de e minado
desplazamien o en los ex emos de la ba a pe mi e ob ene las unciones de
es abilidad buscadas.
Po lo an o, al u iliza es e p ocedimien o de cálculo, hay que ene en cuen a:
-
el mé odo ga an iza el equilib io de la pieza en la posición de o mada.

44
1.
DUQUE
Y
A. APARICIO
P
p
A1
P
lP
1)
-1
I
1
1
p(A*
,
O
O----
4
P.Al
-.
&---
-
P(A,+ A2>
,.-
.-
IP
1P
'
A2
P
lP
P
2
1
A
?'.O
2
O
6---
<P.Al
y:,
62
IP
IP
(a
(b)
(c)
Pa a un desplazamien o de los ex emos de la
ba a. Al, apa ece una ue za de compa ibilidad de
alo P.A1 (e ec o P-del a). En un cllculo secan e, si
el desplazamien o se inc emen a (A2), la ue za de
compa ibilidad aumen a de o ma lineal, siendo P.(Al+
A~)
( ig.l.cj, mien as que, si el p oceso es angen e,
ac ualizando coo denadas, el desplazamien o y las
acciones hay que e e i lo a la posici6n alcanzada en
la e apa p eceden e; el axil a la.
y
el esul ado no
coincide con el an e io ( ig.2.c)
Figu a
3.
Es udio del coiiipo amien o de una ba a bia iculada, sin ac ualiza
(secan e)
y
ac ualizando coo denadas ( angen e)
-.
es
un
p oceso angen e en el que se pa e de la ba a ec a (sin de o maciones
p e ias) some ida a axil cons an e. Si los co imien os son pequeños
y
el axil no
a ía sensiblemen e a lo la go del p oceso, es o almen e admisible el u iliza dicha
o mulación como secan e
y
acep a como solución al p oblema la di ec amen e
ob enida del cálculo ma icial.
ELEMENTOS FINITOS
Desa ollo his ó ico.
En
1960,
Tu ne e al32 dan un impo an e paso en el es udio de la no linealidad
al
in oduci una nue a ma iz en las ecuaciones de equilib io pa a ene en cuen a los
e ec os de segundo o den: la ma iz geomé ica.
De es a o ma, la ecuación de equilib io queda:
NO LINEALIDAD GEOMETRICA DE BARRAS RECTAS
45
Siendo
Ko
la ma iz de igidez lineal y
Kg
la ma iz geomé ica, que depende del
es ue zo axil.
A
pa i de es e abajo apa ecen una la ga se ie de a ículos en los cuales la
o mulación no lineal a adqui iendo pleno desa ollo
3,471472a.
En 1968 Malle y Ma calZ1 plan ean con absolu a gene alidad la esolución de los
p oblemas de no linealidad geomé ica al abo da su esolución an o a ni el ene gé ico,
esol iendo la ecuación de la ene gía po encial, como a ni el de esolución di ec a o
po
un
p oceso inc emen al, ob eniendo en los es casos unas exp esiones cla amen e
coinciden es.
La ecuación ob enida es de la o ma:
Ene gía po encial:
Ii
=
qT
[
K
+
6~~
+
kN2]
q
-
qTp
Equilib io:
Inc emen al:
[K
+
NI
NZ]
~q
-
AP
=
{O)
Las ma ices K,Nl y N2 son simé icas y, espec i amen e, lineales, de p ime
y segundo o den; es deci , K es la ma iz elás ica con encional;
NI
depende de los
desplazamien os
y
N2 de los desplazamien os al cuad ado.
En las ó mulas an e io es K,
Ni y N2 ienen siemp e la misma exp esión analí ica,
pe o mien as en los dos p ime os casos las incógni as apa ecen en
NI
y N2, di icul ando
así la esolución del sis ema de ecuaciones,
en
el mé odo inc emen al Ni
y
N2 son
unción de los desplazamien os calculados en la e apa de cálculo p eceden e, con lo cual
el sis ema esul an e es lineal.
Hay que eco da que Malle y Ma ca1 u ilizan una desc ipción lag angiana del
mo imien o e indican que en el caso de ac ualiza coo denadas se ían nulos algunos de
los é minos ob enidos en las ma ices NI y NI.
Pos e io men e, Raj aseka an y Mu ayZ8 ponen de mani ies o que la p e endida
igualdad en e las ma ices NI y N2 en los di e en es casos no es inmedia a, pues
dichas ma ices cabe ob ene las a pa i de di e en es exp esiones analí icas. En su
abajo, hallan las exp esiones
a
u iliza pa a que la igualdad se man enga.
Po su pa e, en 1971, Zienkiewicz y Nayak (ci ado en la e e encia
34)
desa ollan
una o mulación pa alela a la an e io con la cual ob ienen una, ma iz de igidez
angen e del ipo:
Siendo KL la ma iz de desplazamien os iniciales ("geome ic e ec ") y
Ku
la
ma iz de de o maciones iniciales ("ini ial s ain").
Wood
y
S~h e le ~~ demues an pos e io nen e que es a elxp esión es idén ica a
46
1.
DUQUE
Y
A. APARICIO
la ob enida po Malle
y
Ma ca1 pe o ag upando de o ma di e en e los é minos que
o man las dis in as ma ices, pues an o KL como Ku dependen de los desplazamien os
lineal
y
cuad á icamen e.
Po úl imo indica que Oli e
y
Oña eZ3, eplan eando el p oblema con absolu a
gene alidad a ni el de desplazamien os
y
de o maciones, in oducen los g andes gi os
en la o mulación de Zienkiewicz.
Algunas obse aciones.
La en aja de u iliza la o mulación p opues a po Zienkiewicz
y
Nayak con
elación a la de Malle
y
Ma ca1 eside en que la p ime a di e encia cla amen e los
e ec os no lineales, debidos a los co imien os p e iamen e exis en es en la pieza (KL),
en elación a los es ue zos de segundo o den (Ko).
Ese p ime e ec o no lineal es lo que se llama "g andes desplazamien os". La
ma iz KL depende de los desplazamien os habidos en e apas p eceden es
y
en ella se
incluye el cambio de posición del elemen o en el espacio en las sucesi as e apas. Po
supues o, si se u iliza una o mulación lag angiana ac ualizada, es e e ec o no cabe
ol e
a
inclui lo en la ma iz KL que de es a o ma se simpli ica. Si a es o se une que
los co imien os en el in e io de la pieza no adquie en g an impo ancia (piezas poco
esbel as, undamen almen e) es a ma iz puede sup imi se en el cálculo.
La ma iz K,., conside a los es ue zos de segundo o den, es deci , los es ue zos que
apa ecen en una de e minada e apa del cálculo debidos a los p e iamen e exis en es en
e apas p eceden es. Es a ma iz depende del es ado ensional del elemen o y iene en
cuen a el equilib io del mismo en la posición de o mada.
Po la elación exis en e en e ensiones y de o maciones, la ma iz K, cabe
exp esa la en unción de la a iación de los co imien os, con lo cual
KL
y
K,
es a ían en
unción de los co imien os exis en es en la pieza. Es po ello po lo que a es as ma ices,
de o ma conjun a, se les llama "ma iz geomé ica'', pues dependen de la geome ía de
la pieza en la e apa p eceden e, aunque la mayo ía de los au o es ese an la exp esión
"ma iz geomé ica" pa a e e i se a K, y emplean "ma iz de de o maciones iniciales"
pa a e e i se a KL.
Pos e io men e e emos un mé odo explíci o basado en el desa ollo de la ma iz
K,
y que po ello, ecibe el nomb e de "mé odo de la ma iz geomé ica", siendo
necesa io si ua se en el con ex o pa a sabe si se habla del mé odo más gene al o del
nié odo explíci o.
FORMULACION EN COORDENADAS INTRINSECAS
Un desa ollo muy di e en e en elación al a amien o de la no linealidad
geomé ica aunque incluye aspec os omados de los elemen os ini os, es la línea
iniciada po Jenningslg, quien pa e de la elación no lineal en e de o maciones
y
desplazamien os e e ida a los ejes locales de la pieza (compa ibilidad geomé ica), y
di e enciando, calcula la ma iz angen e que liga ambos conjun os de alo es (ma iz
Aplicando el p incipio de los abajos i uales ob iene que la ma iz que elaciona
NO LINEALIDAD GEOMETRICA
DE
BARRAS RECTAS
47
las ue zas en cada elemen o y sus es ue zos es la aspues a de la ma iz angen e
p e iamen e hallada y, di e enciando dicha ma iz aspues a, llega
a,
una elación en e
el inc emen o de ue zas en el elemen o y los inc emen os de es ue zos
y
desplazamien os.
Po la elación exis en e en e es ue zos y desplazamien os ( elaci6n donde se in oducen
las ecuaciones cons i u i as del ma e ial que o ma el elemen o, que pa a Jennings es
elás ico lineal;
y
en la cual se hipo e iza una de o mada de la pieza, empleando una
écnica de elemen os ini os), se ob iene la ma iz de igidez angen e del elemen o.
Siguiendo la misma línea se encuen a el ya ci ado abajo de Powe1lZ6, en el
cual se plan ean los enómenos ísicos: compa ibilidad geomé ica; no linealidad de
la elación ue za-desplazamien o
y
equilib io de los nudos en la posición de o mada;
pa a pos e io men e, po de i ación llega
a
una o mulación angen e. Powell ecalca
el sen ido de he amien a que oda o mulación angen e posee, insis iendo en que
el compo amien o eal del elemen o lo ecogen (o in en an ecoge lo) las ó mulas
p e iamen e desa olladas. Al ob ene de una mane a explíci, a la ma iz angen e
llega a'los mismos alo es que Jennings (sal o algún coe icien e numé ico).
La o mulación de Ba on
y
Venka esan7 sigue a las an e io es e in oduce las g andes
de o maciones en el sen ido longi udinal.
El a amien o de la no linealidad del ma e ial de una o ma cla amen e compa ible
con la o mulación ma emá ica ci ada apa ece ya esuel o en el abajo de Backlund6.
En
1978
G ela
l5
in eg a la o mulación de la no linealidad mecánica y el abajo
de Jennings, con lo cual el p oblema de la no linealidad queda plenamen e esuel o.
Debido a que en es a o mulación la e e encia a los ejes locales de la pieza es
cons an e se habla de una o mulación en coo denadas in ínsecas o, como indica I les,
de una o mulación "lag angiana ac ualizada pues a al segundo" (en pa alelismo con
las o mulaciones "pues as al día"
)ls
.
FORMULACIONES EXPLICITAS DERIVADAS DE
LOS ELEMENTOS FINITOS
Es e iden e que el desa ollo de los elemen os ini os lle ó apa ejados unos mé odos
explíci os en elación con la eo ía de ba as: de una pa e, muchos de los esul ados
ob enidos se deben a la isión de los p oblemas ísicos y el p oceso cien í ico seguido ue
el paso de lo pa icula (ba a ec a) a lo gene al. De o a pa e, el cálculo ma icial de
es uc u as o madas po ba as es bas an e an e io al
M.E.F.,
lo que hacía necesa ia
la ob ención de o mulaciones explíci as pa a con as a la b0nda.d de los esul ados
que iban ob eniéndose.
Así, po ejemplo, el ya ci ado a ículo de Tu ne e al3' co esponde al caso de
una ba a bia iculada
y
la ma iz geomé ica po ellos ob enida es la conocida ma iz
P-del a.
El
mé odo P-del a.
Cuando una ba a ec a bia iculada con un es ue zo axil expe imen a
un
desplazamien o ans e sal ela i o en e sus ex emos, se e some ida a unas ue zas
de equilib io en sen ido no mal
al
axil; es lo que se llama e ec ~ P-del a.
5
4
1.
DUQUE
Y
A.
APARICIO
Caso
(1
I
-
Re e encia
1
:
3
86
mL
Caso
12)
-----
1'=386/L
:097mL
Figu a
6.
Ejeniplo: Compo anlien o de
un
puen e a i an ado
con
sob eca ga en el
ano cen al. Momen os lec o es pa a
q
=
400Kp/m2
cuando el able o iene una ine cia de 3,86m4
y
cuando dicha ine cia se educe a
0.965m4 (25%), apa eciendo en la Figu a
7
el desplazamien o que expe imen a la
sección más solici ada del ano la e al debido a un aumen o p og esi o de la sob eca ga.
Puede e se como és e aumen a de o ma no lineal, de mane a an o más acusada,
cuan o meno es la ine cia del able o, como cab ía espe a ; aunque la no linealidad
sólo alcanza e dade a impo ancia pa a es ados a anzados de ca ga, que pueden
conside a se eó icos (supe io es a 1000Kp/m2).
CONCLUSIONES
Pa a pode comp ende plenamen e el alcance
y
las limi aciones de las
b mulaciones explíci as adicionalmen e empleadas en el es udio de las es uc u as
o madas po ba as, hemos p ocedido a una e isión de sus di e en es o mulaciones,
p es ando especial a ención a sus pun os de pa ida y con as ando las dis in as
o mulaciones en e sí
y
con el mé odo de los elemen os ini os, lo que nos ha pe mi ido
llega a las siguien es conclusiones:
Los mé odos explíci os ( unciones de es abilidad, ma iz geomé ica, P-del a):
1)
son equi alen es en e sí. Las di e encias de o mulación se deben a la exac i ud del
campo de co imien os u ilizado pa a conside a los es ue zos de segundo o den.
2) las ma ices u ilizadas son la
Ko
de la o mulación de Zienkiewicz.
3)
la
u ilización de es os mé odos es una ap oximación su icien emen e exac a en el
caso de axil cons an e (o que a ie poco) y pequeños desplazamien os.
4)
pa a ene en cuen a los g andes desplazamien os hay que p ocede
a
ac ualiza
coo denadas, lo que equi ale
a
emplea
la
ma iz
KL
de Zienkiewicz
y
sólo es
exac o en el caso de las ba as bia iculadas
5)
es os p ocedimien os no conside an los cambios apa en es en la longi ud de un
elemen o debidos al gi o o a la lexión del mismo, aunque es os e ec os es posible
in oduci los en la o mulación empleada.
6) los g andes desplazamien os, conside ados en
K,,
y
los es ue zos de segundo

NO
LINEALIDAD GEOMETRICA
DE
BARRAS
RECTAS
FLECHA
DEL
VANO
LATERAL
DlFERENlES
CASOS
-011
o
200
400
600 1100 1000
12m
*
Sob co ga
ano
cen al
(~p/ n'I
Figu a
7.
Ejeniplo: E olución de la lecha en ],a sección
A
con
la solb eca ga. Puede
obse a se la espues a ma cadamen e no lineal pa a el caso del able o más
esbel o
o den, in oducidos en la ma iz Ka, ienen una impo ancia "an agónica"; ambos
conside an la no linealidad geomé ica, pe o bajo pun os de is a di e en es. Cuan o
mayo es la disc e ización ealizada pa a modela la es uc ii a, más impo an e es
la conside ación de KL (o, lo que es equi alen e, la ac ualización de coo denadas),
en e a
KG.
Po o a pa e, puede e se cómo las o mulaciones en coo denadas in ínsecas
acla an las explíci as, indicando qué enómenos ísicos conside an és as y cuáles no
ienen en cuen a en su desa ollo.
AGRADECIMIENTOS
El p esen e abajo es pa e de una esis doc o al3' ealizada en la Cá ed a de
Puen es de la
E.T.S.
de Ingenie os de Caminos de Ba celona,
y
que no hab ía sido
posible sin la ayuda económica ecibida del Minis e io de Educación
y
Ciencia, a a és
1.
DUQUE
Y
A.
APARICIO
de una beca
F.P.I.,
du an e los años 1983
a
1986.
Igualmen e, hemos de exp esa
nues o ag adecimien o
a
la
Gene ali a de Ca alunya po la concesión de
un
"Aju
pe
l'acabamen de esis doc o als", en 1984.
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