Aproximación al tratamiento unificado de la no linealidad geométrica de las barras rectas

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie la. Vol. 5, 1, 39-57(1989) APROXIMACION AL TRATAMIENTO UNIFICADO DE LA NO LINEAL1DA.D GEOMETRICA DE LAS BARRAS RECTAS IGNACIO DUQUE OLIART Y ANGEL APARICIO BENGOECHEA Cá ed a de Puen es E. T.S. de Ingenie os de Caminos de Ba celona. RESUMEN El p opósi o del p esen e a ículo es segui la e olución de las o inulaciones de elemen os ini os más conocidas pa a el es udio de la no linealidad ge~mé ica''.~~ haciendo hincapié en el pa alelismo en e es os mé odos y los mé odos expli'ci os adicionalmen e usados en el análisis de es uc u as de ba as (coe icien es de es abilidad, ma iz geomé ica y P-del a) y mos ando las simpli icaciones que és os in oducen. SUMMARY The pu pose o his a icle is o ollow he e olu ion o he mos well known ini e elemen o iiiula ions iii o de o s udy hei nonlinea geome ical aspec s, paying pa icula a en ion o he pa alelisni be weeii hese me hods, and he explnci me hods adi ionally used on s uc u al analysis o ba s (s abili y coe icien s, geonie ical s i ness ma ix aad P-Del a) and o sliow he simpli ica ions ha he o me iiie hods in oduce. INTRODUCCION El hecho de que la bibliog a ía exis en e sob e la no linealidad geomé ica sea ex ao dina iamen e ab~ndan e~J~1~~3~~ implica a ios iesgos: 1) Imposibilidad de accede a odos los a ículos, incluso pa a los especialis as. 2) Re aimien o po pa e de los no especialis as a in oduci se en un e eno en ocasiones complejo, lo que se debe, al menos pa cialmen e, a la o mulación ma emá ica que la no linealidad conlle a. Es o es debido a que los mé odos no lineales se han desa ollado plenamen e a pa i de la i upción del mé odo de los elemen os ini os en ingenie ía y las di e en es o mulaciones u ilizadas, así como la gene alidad de las mismas, o igina que, en muchos casos, no sea e iden e la aplicación inmedia a de sus p ocedi nien os pa a los no Recibido: Sep iemb e 1987 OUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 3 9 40 1. DUQUE Y A. APARICIO iniciados. Es a ci cuns ancia, unida a aspec os p ác icos en elación con el uso de pequeños o denado es (aho o de memo ia y iempo de cálculo, undamen almen e), hace que sigan siendo álidos di e en es mé odos que se desa olla on con an e io idad al mé odo de los elemen os mi os ( unciones de es abilidad) o simul áneamen e al mismo, in oduciendo simpli icaciones di e sas, (ma iz geomé ica, P-del a), odos ellos ú iles en el es udio de las es uc u as modelizables po medio de ba as. d Los a ículos en que se analizan y emplean es as o mulaciones son nume osos, pe o no son menos nume osos aquellos a ículos en los cuales se u ilizan con e iden e desconocimien o del undamen o eó ico que las sus en a. Habla emos aquí del pa alelismo exis en e en e odas ellas y de sus limi aciones y posibilidades, ealizando una b e e e isión his ó ica de las líneas de desa ollo más conocidas, haciendo hincapié en los aspec os an e io men e ci ados. En las o mulaciones explíci as y pa a una mayo sencillez nos ceñi emos a las exp esiones de pó ico plano, aunque son pe ec amen e gene alizables al caso espacial. ALGUNOS ASPECTOS DE LA TERMINOLOGIA An es de en a en la e olución his ó ica, es impo an e acla a algunos aspec os de la e minología es echamen e ligados a la o mulación de los p oblemas de es uc u as conside ando la no linealidad geomé ica. Pequeñas de o maciones y g andes mo imien os. I En la elas icidad bidimensional la elación en e las de o maciones y los co imien os iene exp esada po el enso de de o maciones de G een: Si los é minos de segundo o den (p oduc os de de i adas) son desp eciables en e a los de p ime o den, cabe u iliza sólo los é minos lineales y se dice que se abaja en eo ía lineal. Po con a, si se u iliza la exp esión an e io o una simpli icación de la misma no lineal es amos en el caso de pequeñas de o maciones y g andes mo imien os. Si los co imien os (u, ) y SUS g adien es son pequeños la ap oximación es lineal siemp e álida, sin emba go pueden exis i g andes co imien os con pequeñas de o maciones como ocu e, po ejemplo, con un gi o de sólido ígido. No debe ol ida se que es a simpli icación implica, en el caso de una ba a ec a, . desp ecia la in luencia que iene el co imien o en el sen ido ans e sal ( ) sob e la de o mación en el sen ido longi udinal (E,). NO LINEALIDAD GEOMETRICA DE BARRAS RECTAS Pequeños gi os. La hipó esis de pequeños gi os consis e en acep a como álida la ap oximación: 8 = g 0 = sen 8 COS e = 1 Lo que conduce a la conocida simpli icación pa a la cu a u q: C = ~II, acep ada en la mayo ía de las o mulaciones de ba as, como ocu e en la exp esión de la de o mación de una iga con g andes desplazamien os debida a Wa~hizu~~, con lo cual, si exis en g andes gi os, las o mulaciones ob enidas a pa i de la misma son sólo ap oximadasz7. No linealidad geomé ica. En muchas ocasiones en el es udio de las es uc u as, es acep able la hipó esis de que se compo an linealmen e, es o es, que los desplazamien os q son una unción lineal de las ue zas aplicadas, (llamando desplazamien os a los co imien os (u, u) y los gi os en los ex emos del elemen o). Es o es comple amen e admisible si los co imien os son pequeños, de al o ma que puede acep a se que la geome ía de los elemen os no a ía du an e la ac uación de las ue zas ex e io es y las de o maciones pueden ap oxima se de o ma lineal y asimila se a inñni ésimos de p ime o den. En caso con a io se dice que la es uc u a p esen a no linealidad geomé ica. La no linealidad geomé ica es un enómeno único que, de acue do con PowellZ6, se debe undamen almen e a: a) La elación que liga los desplazamien os de un elemen o y las de o maciones del mismo es no lineal. Es o es lo que Powell llama compa ibilidad geomé ica (Figu a 1). b) Al conside a el equilib io del elemen o, se obse a que la elación en e las ue zas y los desplazamien os es no lineal y depende de dichos desplazamien os (Figu a 5.a.). c) El equilib io debe plan ea se en la posición de o mada. Aho a bien, si el enómeno es único, en. cuan o al análisis pueden ob ia se o simpli ica se algunos de los pun os an e io es, en cuyo caso la solución ob enida se á sólo ap oximada. La u ilización de una o mulación angen e pe mi e linealiza las elaciones an es ci adas, de ahí el in e és y la u ilidad del uso de dicha o mulación. Po supues o, no debe ol ida se que lo e dade amen e impo an e es el equilib i~ y la compa ibilidad de los elemen os en la posición de o mada, sin impo a el p oceso analí ico e ec uado pa a llega a la solución. Po an o, el uso de la o mulación angen e "exac a" sólo es p eciso cuando se ealiza un cálculo inc emen al (sin e i ica el equilib io y la compa ibilidad), pues en ese caso exis e una cie a ga an ía de que si los inc emen os son pequeños y el p oblema no p esen a un ca ác e ma cadamen e no lineal, lia solución así ob enida se ap oxima á a la solución eal de una o ma acep able (Figu a 2). Las o mulaciones 42 1. DUQUE Y A. APARICIO 0, PB I U * l COI(PAT1BILIDAD GEOMETRICA C = JGK7- 1 @A= e* - ORlg A l+u +B = eB -a g I- l+u EXPRESIONES LINEALXZADIS e- u = e, - - 1 = eB - - 1 Figu a 1. Fo iiiulación de la coiiipa ibilidad geomé ica y siiiipli icación lineal liabi ualiiien e u ilizada de ipo angen e son las más ampliamen e u ilizadas y básicamen e nos ceñi emos a ellas, aunque en muchos casos se u ilizan de un modo secan e, ap oximación que en la p ác ica suele se admisible (Figu a 3). FUNCIONES DE ESTABILIDAD La causa más impo an e de la apa ición de enómenos no lineales en una ba a es, sin duda, la p esencia de un axil que ac úe sob e la misma. Si es e axil es de comp esión, puede lle a a la uina de la pieza debido a un enómeno de ines abilidad (pandeo). Es lógico, po an o, que los p ime os abajos sob e no linealidad se cen a an en el pandeo de ba as (Eule , 1744) y sólo más a de, en el compo amien o no lineal de los elemen os en p esencia de un axil. Dicho e ec o es incluido en la elación que liga las ue zas y los desplazamien os en los ex emos de un elemen o po Mande la en 1880, po nedio de unas exp esiones analí icas que dependían del axil y que en o ma ma icial pueden exp esa se: P = K (4)-q (2) donde las 4 eciben el nomb e de " unciones de es abilidad". En su o ma ac ualmen e NO LINEALIDAD GEOMETRICA DE BARRAS RECTAS 2.3 Cu o ue zo-6csplozmimio e ical 1 Figu a 2. Cu a Fue za-desplazamien o y ap oximación angen e en un enómeno al amen e no lineal más ~ ilizada~~~~~ se deben a James (1935) y a Ludquis y K oll (1944). (Ci ado en e e encias 1, 9, 20). Sin en a en de alle en el p oceso analí ico seguido pa a la ob ención de las mis na~~~~~~, si c eemos impo an e eco da que pa a su ob ención: - se pa e de la ba a ec a some ida a un axil. - se incluye el e ec o de dicho axil en la ecuación di e encial que liga los es ue zos y los co imien os. - la in eg ación de dicha ecuación di e encial al impclne un de e minado desplazamien o en los ex emos de la ba a pe mi e ob ene las unciones de es abilidad buscadas. Po lo an o, al u iliza es e p ocedimien o de cálculo, hay que ene en cuen a: - el mé odo ga an iza el equilib io de la pieza en la posición de o mada. 44 1. DUQUE Y A. APARICIO P p A1 P lP 1) -1 I 1 1 p(A* , O O---- 4 P.Al -. &--- - P(A,+ A2> ,.- .- IP 1P ' A2 P lP P 2 1 A ?'.O 2 O 6--- <P.Al y:, 62 IP IP (a (b) (c) Pa a un desplazamien o de los ex emos de la ba a. Al, apa ece una ue za de compa ibilidad de alo P.A1 (e ec o P-del a). En un cllculo secan e, si el desplazamien o se inc emen a (A2), la ue za de compa ibilidad aumen a de o ma lineal, siendo P.(Al+ A~) ( ig.l.cj, mien as que, si el p oceso es angen e, ac ualizando coo denadas, el desplazamien o y las acciones hay que e e i lo a la posici6n alcanzada en la e apa p eceden e; el axil a la. y el esul ado no coincide con el an e io ( ig.2.c) Figu a 3. Es udio del coiiipo amien o de una ba a bia iculada, sin ac ualiza (secan e) y ac ualizando coo denadas ( angen e) -. es un p oceso angen e en el que se pa e de la ba a ec a (sin de o maciones p e ias) some ida a axil cons an e. Si los co imien os son pequeños y el axil no a ía sensiblemen e a lo la go del p oceso, es o almen e admisible el u iliza dicha o mulación como secan e y acep a como solución al p oblema la di ec amen e ob enida del cálculo ma icial. ELEMENTOS FINITOS Desa ollo his ó ico. En 1960, Tu ne e al32 dan un impo an e paso en el es udio de la no linealidad al in oduci una nue a ma iz en las ecuaciones de equilib io pa a ene en cuen a los e ec os de segundo o den: la ma iz geomé ica. De es a o ma, la ecuación de equilib io queda: NO LINEALIDAD GEOMETRICA DE BARRAS RECTAS 45 Siendo Ko la ma iz de igidez lineal y Kg la ma iz geomé ica, que depende del es ue zo axil. A pa i de es e abajo apa ecen una la ga se ie de a ículos en los cuales la o mulación no lineal a adqui iendo pleno desa ollo 3,471472a. En 1968 Malle y Ma calZ1 plan ean con absolu a gene alidad la esolución de los p oblemas de no linealidad geomé ica al abo da su esolución an o a ni el ene gé ico, esol iendo la ecuación de la ene gía po encial, como a ni el de esolución di ec a o po un p oceso inc emen al, ob eniendo en los es casos unas exp esiones cla amen e coinciden es. La ecuación ob enida es de la o ma: Ene gía po encial: Ii = qT [ K + 6~~ + kN2] q - qTp Equilib io: Inc emen al: [K + NI NZ] ~q - AP = {O) Las ma ices K,Nl y N2 son simé icas y, espec i amen e, lineales, de p ime y segundo o den; es deci , K es la ma iz elás ica con encional; NI depende de los desplazamien os y N2 de los desplazamien os al cuad ado. En las ó mulas an e io es K, Ni y N2 ienen siemp e la misma exp esión analí ica, pe o mien as en los dos p ime os casos las incógni as apa ecen en NI y N2, di icul ando así la esolución del sis ema de ecuaciones, en el mé odo inc emen al Ni y N2 son unción de los desplazamien os calculados en la e apa de cálculo p eceden e, con lo cual el sis ema esul an e es lineal. Hay que eco da que Malle y Ma ca1 u ilizan una desc ipción lag angiana del mo imien o e indican que en el caso de ac ualiza coo denadas se ían nulos algunos de los é minos ob enidos en las ma ices NI y NI. Pos e io men e, Raj aseka an y Mu ayZ8 ponen de mani ies o que la p e endida igualdad en e las ma ices NI y N2 en los di e en es casos no es inmedia a, pues dichas ma ices cabe ob ene las a pa i de di e en es exp esiones analí icas. En su abajo, hallan las exp esiones a u iliza pa a que la igualdad se man enga. Po su pa e, en 1971, Zienkiewicz y Nayak (ci ado en la e e encia 34) desa ollan una o mulación pa alela a la an e io con la cual ob ienen una, ma iz de igidez angen e del ipo: Siendo KL la ma iz de desplazamien os iniciales ("geome ic e ec ") y Ku la ma iz de de o maciones iniciales ("ini ial s ain"). Wood y S~h e le ~~ demues an pos e io nen e que es a elxp esión es idén ica a 46 1. DUQUE Y A. APARICIO la ob enida po Malle y Ma ca1 pe o ag upando de o ma di e en e los é minos que o man las dis in as ma ices, pues an o KL como Ku dependen de los desplazamien os lineal y cuad á icamen e. Po úl imo indica que Oli e y Oña eZ3, eplan eando el p oblema con absolu a gene alidad a ni el de desplazamien os y de o maciones, in oducen los g andes gi os en la o mulación de Zienkiewicz. Algunas obse aciones. La en aja de u iliza la o mulación p opues a po Zienkiewicz y Nayak con elación a la de Malle y Ma ca1 eside en que la p ime a di e encia cla amen e los e ec os no lineales, debidos a los co imien os p e iamen e exis en es en la pieza (KL), en elación a los es ue zos de segundo o den (Ko). Ese p ime e ec o no lineal es lo que se llama "g andes desplazamien os". La ma iz KL depende de los desplazamien os habidos en e apas p eceden es y en ella se incluye el cambio de posición del elemen o en el espacio en las sucesi as e apas. Po supues o, si se u iliza una o mulación lag angiana ac ualizada, es e e ec o no cabe ol e a inclui lo en la ma iz KL que de es a o ma se simpli ica. Si a es o se une que los co imien os en el in e io de la pieza no adquie en g an impo ancia (piezas poco esbel as, undamen almen e) es a ma iz puede sup imi se en el cálculo. La ma iz K,., conside a los es ue zos de segundo o den, es deci , los es ue zos que apa ecen en una de e minada e apa del cálculo debidos a los p e iamen e exis en es en e apas p eceden es. Es a ma iz depende del es ado ensional del elemen o y iene en cuen a el equilib io del mismo en la posición de o mada. Po la elación exis en e en e ensiones y de o maciones, la ma iz K, cabe exp esa la en unción de la a iación de los co imien os, con lo cual KL y K, es a ían en unción de los co imien os exis en es en la pieza. Es po ello po lo que a es as ma ices, de o ma conjun a, se les llama "ma iz geomé ica'', pues dependen de la geome ía de la pieza en la e apa p eceden e, aunque la mayo ía de los au o es ese an la exp esión "ma iz geomé ica" pa a e e i se a K, y emplean "ma iz de de o maciones iniciales" pa a e e i se a KL. Pos e io men e e emos un mé odo explíci o basado en el desa ollo de la ma iz K, y que po ello, ecibe el nomb e de "mé odo de la ma iz geomé ica", siendo necesa io si ua se en el con ex o pa a sabe si se habla del mé odo más gene al o del nié odo explíci o. FORMULACION EN COORDENADAS INTRINSECAS Un desa ollo muy di e en e en elación al a amien o de la no linealidad geomé ica aunque incluye aspec os omados de los elemen os ini os, es la línea iniciada po Jenningslg, quien pa e de la elación no lineal en e de o maciones y desplazamien os e e ida a los ejes locales de la pieza (compa ibilidad geomé ica), y di e enciando, calcula la ma iz angen e que liga ambos conjun os de alo es (ma iz Aplicando el p incipio de los abajos i uales ob iene que la ma iz que elaciona NO LINEALIDAD GEOMETRICA DE BARRAS RECTAS 47 las ue zas en cada elemen o y sus es ue zos es la aspues a de la ma iz angen e p e iamen e hallada y, di e enciando dicha ma iz aspues a, llega a, una elación en e el inc emen o de ue zas en el elemen o y los inc emen os de es ue zos y desplazamien os. Po la elación exis en e en e es ue zos y desplazamien os ( elaci6n donde se in oducen las ecuaciones cons i u i as del ma e ial que o ma el elemen o, que pa a Jennings es elás ico lineal; y en la cual se hipo e iza una de o mada de la pieza, empleando una écnica de elemen os ini os), se ob iene la ma iz de igidez angen e del elemen o. Siguiendo la misma línea se encuen a el ya ci ado abajo de Powe1lZ6, en el cual se plan ean los enómenos ísicos: compa ibilidad geomé ica; no linealidad de la elación ue za-desplazamien o y equilib io de los nudos en la posición de o mada; pa a pos e io men e, po de i ación llega a una o mulación angen e. Powell ecalca el sen ido de he amien a que oda o mulación angen e posee, insis iendo en que el compo amien o eal del elemen o lo ecogen (o in en an ecoge lo) las ó mulas p e iamen e desa olladas. Al ob ene de una mane a explíci, a la ma iz angen e llega a'los mismos alo es que Jennings (sal o algún coe icien e numé ico). La o mulación de Ba on y Venka esan7 sigue a las an e io es e in oduce las g andes de o maciones en el sen ido longi udinal. El a amien o de la no linealidad del ma e ial de una o ma cla amen e compa ible con la o mulación ma emá ica ci ada apa ece ya esuel o en el abajo de Backlund6. En 1978 G ela l5 in eg a la o mulación de la no linealidad mecánica y el abajo de Jennings, con lo cual el p oblema de la no linealidad queda plenamen e esuel o. Debido a que en es a o mulación la e e encia a los ejes locales de la pieza es cons an e se habla de una o mulación en coo denadas in ínsecas o, como indica I les, de una o mulación "lag angiana ac ualizada pues a al segundo" (en pa alelismo con las o mulaciones "pues as al día" )ls . FORMULACIONES EXPLICITAS DERIVADAS DE LOS ELEMENTOS FINITOS Es e iden e que el desa ollo de los elemen os ini os lle ó apa ejados unos mé odos explíci os en elación con la eo ía de ba as: de una pa e, muchos de los esul ados ob enidos se deben a la isión de los p oblemas ísicos y el p oceso cien í ico seguido ue el paso de lo pa icula (ba a ec a) a lo gene al. De o a pa e, el cálculo ma icial de es uc u as o madas po ba as es bas an e an e io al M.E.F., lo que hacía necesa ia la ob ención de o mulaciones explíci as pa a con as a la b0nda.d de los esul ados que iban ob eniéndose. Así, po ejemplo, el ya ci ado a ículo de Tu ne e al3' co esponde al caso de una ba a bia iculada y la ma iz geomé ica po ellos ob enida es la conocida ma iz P-del a. El mé odo P-del a. Cuando una ba a ec a bia iculada con un es ue zo axil expe imen a un desplazamien o ans e sal ela i o en e sus ex emos, se e some ida a unas ue zas de equilib io en sen ido no mal al axil; es lo que se llama e ec ~ P-del a. 5 4 1. DUQUE Y A. APARICIO Caso (1 I - Re e encia 1 : 3 86 mL Caso 12) ----- 1'=386/L :097mL Figu a 6. Ejeniplo: Compo anlien o de un puen e a i an ado con sob eca ga en el ano cen al. Momen os lec o es pa a q = 400Kp/m2 cuando el able o iene una ine cia de 3,86m4 y cuando dicha ine cia se educe a 0.965m4 (25%), apa eciendo en la Figu a 7 el desplazamien o que expe imen a la sección más solici ada del ano la e al debido a un aumen o p og esi o de la sob eca ga. Puede e se como és e aumen a de o ma no lineal, de mane a an o más acusada, cuan o meno es la ine cia del able o, como cab ía espe a ; aunque la no linealidad sólo alcanza e dade a impo ancia pa a es ados a anzados de ca ga, que pueden conside a se eó icos (supe io es a 1000Kp/m2). CONCLUSIONES Pa a pode comp ende plenamen e el alcance y las limi aciones de las b mulaciones explíci as adicionalmen e empleadas en el es udio de las es uc u as o madas po ba as, hemos p ocedido a una e isión de sus di e en es o mulaciones, p es ando especial a ención a sus pun os de pa ida y con as ando las dis in as o mulaciones en e sí y con el mé odo de los elemen os ini os, lo que nos ha pe mi ido llega a las siguien es conclusiones: Los mé odos explíci os ( unciones de es abilidad, ma iz geomé ica, P-del a): 1) son equi alen es en e sí. Las di e encias de o mulación se deben a la exac i ud del campo de co imien os u ilizado pa a conside a los es ue zos de segundo o den. 2) las ma ices u ilizadas son la Ko de la o mulación de Zienkiewicz. 3) la u ilización de es os mé odos es una ap oximación su icien emen e exac a en el caso de axil cons an e (o que a ie poco) y pequeños desplazamien os. 4) pa a ene en cuen a los g andes desplazamien os hay que p ocede a ac ualiza coo denadas, lo que equi ale a emplea la ma iz KL de Zienkiewicz y sólo es exac o en el caso de las ba as bia iculadas 5) es os p ocedimien os no conside an los cambios apa en es en la longi ud de un elemen o debidos al gi o o a la lexión del mismo, aunque es os e ec os es posible in oduci los en la o mulación empleada. 6) los g andes desplazamien os, conside ados en K,, y los es ue zos de segundo NO LINEALIDAD GEOMETRICA DE BARRAS RECTAS FLECHA DEL VANO LATERAL DlFERENlES CASOS -011 o 200 400 600 1100 1000 12m * Sob co ga ano cen al (~p/ n'I Figu a 7. Ejeniplo: E olución de la lecha en ],a sección A con la solb eca ga. Puede obse a se la espues a ma cadamen e no lineal pa a el caso del able o más esbel o o den, in oducidos en la ma iz Ka, ienen una impo ancia "an agónica"; ambos conside an la no linealidad geomé ica, pe o bajo pun os de is a di e en es. Cuan o mayo es la disc e ización ealizada pa a modela la es uc ii a, más impo an e es la conside ación de KL (o, lo que es equi alen e, la ac ualización de coo denadas), en e a KG. Po o a pa e, puede e se cómo las o mulaciones en coo denadas in ínsecas acla an las explíci as, indicando qué enómenos ísicos conside an és as y cuáles no ienen en cuen a en su desa ollo. AGRADECIMIENTOS El p esen e abajo es pa e de una esis doc o al3' ealizada en la Cá ed a de Puen es de la E.T.S. de Ingenie os de Caminos de Ba celona, y que no hab ía sido posible sin la ayuda económica ecibida del Minis e io de Educación y Ciencia, a a és 1. DUQUE Y A. APARICIO de una beca F.P.I., du an e los años 1983 a 1986. Igualmen e, hemos de exp esa nues o ag adecimien o a la Gene ali a de Ca alunya po la concesión de un "Aju pe l'acabamen de esis doc o als", en 1984. REFERENCIAS 1. H.G. Allen, y P.S. Bulson, "Backg ound o Buckling", McG aw-Ha, Lond es, (1980). 2. J.S. A che , "Consis en Ma ix Fo mula ions o S uc u al Analysis Using Fini e-Elemen Techniques", AIAA Jou nal, Vol.. 3, No. 10, pp. 1910-1918, (1965). 3. J.H. A gy is, "Recen Ad ances in Ma ix Me hods o S uc u al Analysis", Pe gamon P ess, (1964). 4. J.H. A gy is, "Ma k Analysis o Th ee-Dimensional Elas ic Media. Small and La ge Displacemen s", AIAA Jou nal, Vol. 3, No. 1, pp. 45-51, (1965). 5. J.R. A iensa y R. I les, "Es udio no lineal del compo amien o esis en e de sopo es de ho migón solici ados a lexocomp ensión es iada", Ho migón y Ace o, No. 154, (1985). 6. J. Backlund, "La ge De lec ion Analysis o Elas o-Plas ic Beams and F ames", In . J. 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