VIBRACIONES LIBRES DE PLACAS
RECTANGULARES
CON
UNA
PERFORACI~N
CIRCULAR CENTRAL
BLANCA
DEL
V.
ARENAS
Y
RICARDO O. GROSSI
PROMAS, Facul ad de Ingenie h
Uni e sidad Nacional de Sal a
Buenos Ai es 177, 4400 Sal a, A gen ina
Tel.:
+
54-87-255379 Fax:
+
54-87-255351
E-mail: [email p o ec ed]
RESUMEN
Es e abajo p esen a el desa ollo y aplicación de un algo i mo gene al pa a la
de e minación de coe icien es de ecuencia de una placa ec angula con un aguje o cen al
lib e. El algo i mo es á basado en la aplicación del mé odo de Rayleigh-Schmid . Los esul ados
numé icos ob enidos que han podido se compa ados con abajos de in es igación p e ios, en
gene al, es án ca ac e izados po una buena p ecisión. Es posible aplica el algo i mo en un
amplio ango de condiciones de es icciones elás icas o acionales, incluyendo las condiciones
de apoyo clásicas, así como pa a dis in as elaciones de lados de la placa y dimensiones de la
pe o ación cen al.
FREE VIBRATION OF RECTANGULAR PLATES WITH A
CENTRAL CIRCULAR HOLE
SUMMARY
The p esen wo k deals wi h he de elopmen and applica ion o a gene al algo i hm o
he de e mina ion o alues o equency coe icien s o a ec angula pla e wi h a cen al ee
hole. The algo i hm is based on he applica ion o Rayleigh-Schmid me hod. The nume ical
esul s ob ained and compa ed wi h p e ious wo ks a e cha ac e ized by a good accu acy. I is
possible o applied i in a wide ange o condi ions o elas ically o a ional es ic ions, including
he classical bounda y condi ions and also o di e en aspec pla e coe icien s and dimensions
o he cen al hole.
Recibido: Ab il 1996
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315
Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 13,3, 289-296(1997)
290
B.
DEL
V.
ARENAS
Y
R.O. GROSSI
El análisis dinámico de placas con aguje os es un ema impo an e de desa ollo
y aplicación en di e sas disciplinas, ales como las ingenie ías na al y oceanog á ica.
La de e minación de ecuencias na u ales pa a ib aciones ans e sales de placas con
un aguje o cen al lib e es un p oblema que ha sido es udiado po a ios au o es1-3.
Exis e una can idad abundan e de bibliog a ía sob e la aplicación del mé odo de
Rayleigh-Ri z y su a ian e conocida como el mé odo de Rayleigh-Schmid pa a la
ob ención de ecuencias de placas. El mé odo de Reyleigh-Schmid p opo ciona
la posibilidad de e ina la cu a de de o mación p opues a a a és de la unción
ap oximan e, sin necesidad de ag ega é minos a la mi~ma~-~. El p ocedimien o p o ee
un a amien o di ec o y sencillo y los esul ados ob enidos son en gene al muy buenos,
desde un pun o de is a p ác ico. Cuando se analiza el compo amien o dinámico de
placas ec angula es iso ópicas, comúnmen e se gene an los siguien es coe icien es de
ecuencia adimensionales
El algo i mo desa ollado pe mi e ob ene alo es de los dos ipos de coe icien es de
ecuencia indicados pa a los dos p ime os modos de ib ación. También pe mi e usa
dis in as exp esiones pa a los coe icien es de igidez en los ínculos de los ex emos.
Conside emos una placa ec angula iso ópica con bo des elás icamen e
es ingidos con a o ación y con una pe o ación ci cula cen al lib e. Los lados
es án apoyados, po lo que las condiciones de con o no adimensionales ob enidas con
el cambio de a iables
son
W(0, y)
=
W(l) y)
=
W(x, O)
=
W(x, 1)
=
o
iaWx(0,
Y)
=
DWXX(0,
Y)
7-2aWx(1,
Y)
=
-DWx,(l,
Y)
(1)
3bWy(x, 0)
=
DWyy(x, 0)
4bWy(x,
1)
=
-DWyy(x, 1)
donde W deno a la unción de los desplazamien os ans e sales, i,
i
=
1,2,3,4 las
cons an es de igidez o acional, a
y
b
los lados de la placa
y
D la igidez a la lexión
VIBRACIONES LIBRES DE PLACAS RECTANGULARES
291
donde
p
es el coe icien e de Poisson. El mé odo aplicado en el p esen e abajo se basa
en la adopción de unciones ap oximan es cons i uídas po exp esiones del ipo
donde los coe icien es ai,
bi,
di
y
ei se de e minan eemplazando la exp esión (2) en
las condiciones de con o no (1). Los coe icien es n3, n4,
m3
y
m4
son pa áme os
ajus ables. El uncional que gobie na el p oblema in oluc a los alo es máximos de las
ene gías de de o mación
y
ciné icas del sis ema mecánico en es udio
y
es á dado po
donde
Upmax
ep esen a la ene gía máxima de de o mación de la placa, la cual es á dada
Po
donde
P
es el dominio de in eg ación, el cual es un cuad ado de lados igual a
1
con un
aguje o cen al. Po o a pa e
es la exp esión de la ene gía de de o mación almacenada en los ínculos o acionales a
lo la go de los bo des de la placa
y
es la exp esión de la ene gía ciné ica de la placa, donde
p
deno a la densidad del ma e ial
292
B.
DEL
V.
ARENAS
Y
R.O. GROSSI
y
w
la ecuencia ci cula na u al. Con es as exp esiones el uncional o al
(3)
queda
exp esado de la sigien e mane a
. .
El eemplazo de la unción ap oximan e
(2)
en el uncional (7) conduce a la siguien e
ecuación
El cocien e de Rayleigh pa a la placa ec angula iso ópica queda en onces
exp esado como
A
los e ec os de ene un algo i mo gene al que pe mi a gene a alo es numé icos
co espondien es a dis in as exp esiones analí icas del coe icien e de ecuencia
y
de los
coe icien es de igidez en los lados, se in oducen los pa áme os
pi.
De es a mane a se
iene
La condición de minimización
=
O
conduce a un sis ema de ecuaciones
lineales en
Al
y
A2.
Pa a que exis a una solución no i ial, el de e minan e debe se
nulo, ob eniéndose la ecuación de ecuencia siguien e
siendo
VIBRACIONES LIBRES DE PLACAS RECTANGULARES
293
donde
1
deno a al lado
a
o al
b,
según el ipo de coe icien e de ecuencia que se desea
usa . La aíz de meno alo co esponde al coe icien e de ecuencia undamen al y la
o a al coe icien e de ecuencia de un modo supe io de ib ación. Dado que la unción
ap oximan e p opues a
W,
con iene a los coe icien es ajus ables ni y mi, podemois
esc ibi
=
aij(na,n4,ms,m4)
2.7
El mé odo de Rayleigh-Schmid equie e además la minimización de los coe icien es
de ecuencia espec o a n3, n4, m3 y m44. Dicha minimización es un p oceso
complicado; a o unadamen e es su icien e con oma alo es de ni y mi en en o nos de
los pun os
i
y
j
pa a ob ene alo es ap oximados, pe o de muy buena p ecisión7.
En
el caso en que ni y mi es án ijos, se iene el clásico mé odo de Rayleigh-Ri z.
En p ime luga se gene an alo es de coe icien e de ecuencias
cuando los coe icien es de igidez es án dados po
Pa a que el algo i mo desa ollado gene e alo es de acue do a es e coe icien e, los
pa áme os pi deben es a dados po
2
2
pi
=
1
p2
=
l4 p3
=
1 p4
=
1
p5
=
1
p6
=
I
p7
=
14
P8
=
l
4
Luego se gene a on alo es del coe icien e de ecuencia
cuando los coe icien es de igidez es án dados po
En es e caso los pa áme os pi deben es a dados po

294
B.
DEL
V.
ARENAS
Y
R.O. GROSSI
La Tabla
1
mues a los alo es de la ecuencia undamen al
Rll
=
&&la2
pa a una placa ec angula con los lados
1
y
3
simplemen e apoyados y lados
2
y
4
lib es, ob enidos median e los mé odos de exponen es ijos y exponen es a iables.
Los mismos son compa ados con el caso ex emo de una placa llena, según los da os
ob enidos de las e e encias3-'O. La Tabla
11
mues a los coe icien es de ecuencia
0,
=
pa a una placa ec angula con los lados
1
y
2
simplemen e apoyados
y los lados
3
y
4
ígidamen e
-
empo ados. La Tabla
111
mues a los alo es de la
ecuencia
Rll
=
J~~~~b2
pa a una placa ec angula con los lados
1
y
2
elás icamen e
es ingidos con a o ación y los lados
3
y
4
simplemen e apoyados. Pa a dis in as
elaciones de lados y p opo ciones de la pe o ación se oma el caso ex emo de una
placa llena a los ines de compa a la p ecisión ob enida en el p esen e abajo con las
e e enciasgJ'
.
(1) P esen e abajo, (11) Re .
10,
(111) Re .
3
Tabla
1.
Coe icien e de ecuencia
Rll
=
JphlDwlla2
de una placa ec angula con
los lados
1
y 3 simplemen e apoyados
y
lados
2
y
4
lib es.
R1
=
R2
=
R3
=
2R
R4
=O,
Ti =T3
=
co,
T2 =T4
=O,
1
=a/b,11
=
a,
p=0,30
(1) P esen e abajo, (11) Re .
1
Tabla
11.
Coe icien e de ecuencia
Rij
=
JphlDwija2
de una placa ec angula con
los lados
1
y
2
simplemen e apoyados y lados 3
y
4 ígidamen e empo ados.
Rl
=
R2
=O
y
R3
=
R4
=
m,
Ti
=
T2
=
T3
=
T4
=
a,
1
=
alb,
=
a
'
p
=
0,30
(1)
P esen e
abajo,
(11)
Re .
11,
(111)
Re .
9
Tabla
111.
Coe icien e de ecuencia
RI1
=
JphlDwllb2
de una placa ec angula con
los lados
1
y 2 elás icamen e es ingidos con a o ación y los lados 3 y 4
simplemen e apoyados.
R1
=
R2
=
y,
R3
=
R4
=
O,
TI
=
T2
=
T3
=
2R
Tq
=m,
TI
=a/b,~=
a,
p=0,30
REFERENCIAS
1. R.H. Gu ie ez, P.A. Lau a y J.L. ~oibo, "Highe F equencies o T ans e se Vib a ion o
Rec angula Pla es Elas ically Res ained agains Ro a ion a he Edges wi h a Cen al
F ee Hole", Jou nal o Sound and Vzb a zon, Vol. 117, 1, pp. 202-206, (1987).
2.
P.A.
Lau a, R.H. Gu ie ez, L. E coli, J.C. U jes y
R.
Ca nice , "F ee Vib a ion o
Rec angula Pla es Elas ically Res ained agains Ro a ion wi h Ci cula o Squa e F ee
Openings", Ocean. Engng., Vol. 14, 4, pp. 285-293, (1987).
3. A.W. Leissa, "Vib a ion o Pla es", NASA SP160, (1969).
4. R. Schmid , "A Va ian o he Rayleigh-Ri z Me hod", J. Ind. Ma h.
Soc.,
Vol. 31,
1,
pp.
37-46, (1981).
5. C.W. Be , "Use o Symme y in Applying he Rayleigh-Schmid Me hod o S a ic and
F' ee Vib a ion P oblems", J. Ind. Ma h. Soc., Vol. 34, pp. 65-67, (1984).
296
B.
DEL
V.
ARENAS
Y
R.O. GROSSI
6. R.O. G ossi, "A No e on he Rayleigh-Schmid Me hod",
J.
Ind. Ma h. Soc., Vol.
37,
1,
pp. 29-35, (1987).
7. R.O. G ossi y A. A anda, "Conside aciones sob e una a ian e del mé odo de Rayleigh",
Re is a In . Mé . Num. pa a Cálculo y Diseño en Ing., Vol.
10,
3,
pp.
163-171, (1994).
8. G.A. Smi h, P.A. Lau a y M. Ma is, "Expe imen al and Analy ical S udy o Vib a ing
S i ened Rec angula Pla es Subjec ed o In-Plane Loading", Jou nal o he Acous ical
socie y o Ame ica, Vol.
48,
pp. 707-713, (1970).
9. G.B. Wa bu on y S.L. Edney, "Vib a ion o Rec angula Pla es wi h Elas ically Res ained
Edges", Jou nal
o
Sound and Vib a ion, Vol.
95,
4, pp. 537-552, (1984).
10. R.O. G ossi y P.A. Lau a, "T ans e se Vib a ions o Rec angula , O ho opic Pla es wi h
one o wo F ee Edges while he Remaining A e Elas ically Res ained agains Ro a ion",
Ocean. Engng., Vol.
6,
pp. 527-539, (1979).
11. R.O. G ossi, "De e minación ap oximada de la ecuencia undamen al de placas
ec angula es median e el mé odo de Rayleigh-Ri z"
,
Re is a In . Mé . Num. pa a Cálculo
y Diseño en Ingenie ía, Vol.
11,
2, pp. 183-204, (1995).