Vibraciones libres de placas rectangulares con una perforación circular central

VIBRACIONES LIBRES DE PLACAS RECTANGULARES CON UNA PERFORACI~N CIRCULAR CENTRAL BLANCA DEL V. ARENAS Y RICARDO O. GROSSI PROMAS, Facultad de Ingenierh Universidad Nacional de Salta Buenos Aires 177, 4400 Salta, Argentina Tel.: + 54-87-255379 Fax: + 54-87-255351 E-mail: [email protected] RESUMEN Este trabajo presenta el desarrollo y aplicación de un algoritmo general para la determinación de coeficientes de frecuencia de una placa rectangular con un agujero central libre. El algoritmo está basado en la aplicación del método de Rayleigh-Schmidt. Los resultados numéricos obtenidos que han podido ser comparados con trabajos de investigación previos, en general, están caracterizados por una buena precisión. Es posible aplicar el algoritmo en un amplio rango de condiciones de restricciones elásticas rotacionales, incluyendo las condiciones de apoyo clásicas, así como para distintas relaciones de lados de la placa y dimensiones de la perforación central. FREE VIBRATION OF RECTANGULAR PLATES WITH A CENTRAL CIRCULAR HOLE SUMMARY The present work deals with the development and application of a general algorithm for the determination of values of frequency coefficients for a rectangular plate with a central free hole. The algorithm is based on the application of Rayleigh-Schmidt method. The numerical results obtained and compared with previous works are characterized by a good accuracy. It is possible to applied it in a wide range of conditions of elastically rotational restrictions, including the classical boundary conditions and also for different aspect plate coefficients and dimensions of the central hole. Recibido: Abril 1996 OUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 13,3, 289-296(1997) 290 B. DEL V. ARENAS Y R.O. GROSSI El análisis dinámico de placas con agujeros es un tema importante de desarrollo y aplicación en diversas disciplinas, tales como las ingenierías naval y oceanográfica. La determinación de frecuencias naturales para vibraciones transversales de placas con un agujero central libre es un problema que ha sido estudiado por varios autores1-3. Existe una cantidad abundante de bibliografía sobre la aplicación del método de Rayleigh-Ritz y su variante conocida como el método de Rayleigh-Schmidt para la obtención de frecuencias de placas. El método de Reyleigh-Schmidt proporciona la posibilidad de refinar la curva de deformación propuesta a través de la función aproximante, sin necesidad de agregar términos a la mi~ma~-~. El procedimiento provee un tratamiento directo y sencillo y los resultados obtenidos son en general muy buenos, desde un punto de vista práctico. Cuando se analiza el comportamiento dinámico de placas rectangulares isotrópicas, comúnmente se generan los siguientes coeficientes de frecuencia adimensionales El algoritmo desarrollado permite obtener valores de los dos tipos de coeficientes de frecuencia indicados para los dos primeros modos de vibración. También permite usar distintas expresiones para los coeficientes de rigidez en los vínculos de los extremos. Consideremos una placa rectangular isotrópica con bordes elásticamente restringidos contra rotación y con una perforación circular central libre. Los lados están apoyados, por lo que las condiciones de contorno adimensionales obtenidas con el cambio de variables son W(0, y) = W(l) y) = W(x, O) = W(x, 1) = o riaWx(0, Y) = DWXX(0, Y) 7-2aWx(1, Y) = -DWx,(l, Y) (1) r3bWy(x, 0) = DWyy(x, 0) r4bWy(x, 1) = -DWyy(x, 1) donde W denota la función de los desplazamientos transversales, ri, i = 1,2,3,4 las constantes de rigidez rotacional, a y b los lados de la placa y D la rigidez a la flexión VIBRACIONES LIBRES DE PLACAS RECTANGULARES 291 donde p es el coeficiente de Poisson. El método aplicado en el presente trabajo se basa en la adopción de funciones aproximantes constituídas por expresiones del tipo donde los coeficientes ai, bi, di y ei se determinan reemplazando la expresión (2) en las condiciones de contorno (1). Los coeficientes n3, n4, m3 y m4 son parámetros ajustables. El funcional que gobierna el problema involucra los valores máximos de las energías de deformación y cinéticas del sistema mecánico en estudio y está dado por donde Upmax representa la energía máxima de deformación de la placa, la cual está dada Por donde P es el dominio de integración, el cual es un cuadrado de lados igual a 1 con un agujero central. Por otra parte es la expresión de la energía de deformación almacenada en los vínculos rotacionales a lo largo de los bordes de la placa y es la expresión de la energía cinética de la placa, donde p denota la densidad del material 292 B. DEL V. ARENAS Y R.O. GROSSI y w la frecuencia circular natural. Con estas expresiones el funcional total (3) queda expresado de la sigiente manera . . El reemplazo de la función aproximante (2) en el funcional (7) conduce a la siguiente ecuación El cociente de Rayleigh para la placa rectangular isotrópica queda entonces expresado como A los efectos de tener un algoritmo general que permita generar valores numéricos correspondientes a distintas expresiones analíticas del coeficiente de frecuencia y de los coeficientes de rigidez en los lados, se introducen los parámetros pi. De esta manera se tiene La condición de minimización = O conduce a un sistema de ecuaciones lineales en Al y A2. Para que exista una solución no trivial, el determinante debe ser nulo, obteniéndose la ecuación de frecuencia siguiente siendo VIBRACIONES LIBRES DE PLACAS RECTANGULARES 293 donde 1 denota al lado a o al b, según el tipo de coeficiente de frecuencia que se desea usar. La raíz de menor valor corresponde al coeficiente de frecuencia fundamental y la otra al coeficiente de frecuencia de un modo superior de vibración. Dado que la función aproximante propuesta W, contiene a los coeficientes ajustables ni y mi, podemois escribir = aij(na,n4,ms,m4) 2.7 El método de Rayleigh-Schmidt requiere además la minimización de los coeficientes de frecuencia respecto a n3, n4, m3 y m44. Dicha minimización es un proceso complicado; afortunadamente es suficiente con tomar valores de ni y mi en entornos de los puntos i y j para obtener valores aproximados, pero de muy buena precisión7. En el caso en que ni y mi están fijos, se tiene el clásico método de Rayleigh-Ritz. En primer lugar se generan valores de coeficiente de frecuencias cuando los coeficientes de rigidez están dados por Para que el algoritmo desarrollado genere valores de acuerdo a este coeficiente, los parámetros pi deben estar dados por 2 2 pi = 1 p2 = rl4 p3 = r1 p4 = r1 p5 = 1 p6 = I p7 = r14 P8 = rl 4 Luego se generaron valores del coeficiente de frecuencia cuando los coeficientes de rigidez están dados por En este caso los parámetros pi deben estar dados por 294 B. DEL V. ARENAS Y R.O. GROSSI La Tabla 1 muestra los valores de la frecuencia fundamental Rll = &&la2 para una placa rectangular con los lados 1 y 3 simplemente apoyados y lados 2 y 4 libres, obtenidos mediante los métodos de exponentes fijos y exponentes variables. Los mismos son comparados con el caso extremo de una placa llena, según los datos obtenidos de las referencias3-'O. La Tabla 11 muestra los coeficientes de frecuencia 0, = para una placa rectangular con los lados 1 y 2 simplemente apoyados y los lados 3 y 4 rígidamente - empotrados. La Tabla 111 muestra los valores de la frecuencia Rll = J~~~~b2 para una placa rectangular con los lados 1 y 2 elásticamente restringidos contra rotación y los lados 3 y 4 simplemente apoyados. Para distintas relaciones de lados y proporciones de la perforación se toma el caso extremo de una placa llena a los fines de comparar la precisión obtenida en el presente trabajo con las referenciasgJ' . (1) Presente trabajo, (11) Ref. 10, (111) Ref. 3 Tabla 1. Coeficiente de frecuencia Rll = JphlDwlla2 de una placa rectangular con los lados 1 y 3 simplemente apoyados y lados 2 y 4 libres. R1 = R2 = R3 = 2R R4 =O, Ti =T3 = co, T2 =T4 =O, r1 =a/b,11 = a, p=0,30 (1) Presente trabajo, (11) Ref. 1 Tabla 11. Coeficiente de frecuencia Rij = JphlDwija2 de una placa rectangular con los lados 1 y 2 simplemente apoyados y lados 3 y 4 rígidamente empotrados. Rl = R2 =O y R3 = R4 = m, Ti = T2 = T3 = T4 = a, r1 = alb, = a ' p = 0,30 (1) Presente trabajo, (11) Ref. 11, (111) Ref. 9 Tabla 111. Coeficiente de frecuencia RI1 = JphlDwllb2 de una placa rectangular con los lados 1 y 2 elásticamente restringidos contra rotación y los lados 3 y 4 simplemente apoyados. R1 = R2 = y, R3 = R4 = O, TI = T2 = T3 = 2R Tq =m, TI =a/b,~= a, p=0,30 REFERENCIAS 1. R.H. Gutierrez, P.A. Laura y J.L. ~oibo, "Higher Frequencies of Transverse Vibration of Rectangular Plates Elastically Restrained against Rotation at the Edges with a Central Free Hole", Journal of Sound and Vzbratzon, Vol. 117, 1, pp. 202-206, (1987). 2. P.A. Laura, R.H. Gutierrez, L. Ercoli, J.C. Utjes y R. Carnicer, "Free Vibration of Rectangular Plates Elastically Restrained against Rotation with Circular or Square Free Openings", Ocean. 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