ABSTRACT
CALCULOS
ELECTROMAGNETICOS
EN 3
DIMENSIONES
MEDIANTE
EL
METODO
DE LOS
ELEMENTOS
DE
CONTORNO
N.
Du o,
J.C.
C ucllas,
M.
Fc ando.
Dp o. Teo ln
de
la Seiial y Comunicaciones,
G upo
A.M
.
R.
E.T.S.I.
de Telecomunicnci6n
de
Ila celona
-U.P.C.
Ap<lo.
30002,08080 Ila celona. Tel .
93/40
!.68.11
The
Bounda y Elemen Me hod is applied o sol e 3 D elec omagne ic p oblems.
The
basic o mula ion and associa ed i ems (in eg al equa ion o sol e, su ace disc e iz: ion, ields in e pola ion and
nume ical in eg a ion )
a e
commen ed.
Ob ained esul s when his echnique is applied o he s udy
o
bounda y p oblems a e shown.
INTRODUCCION
La
esoluci6n
de
p oblemas elec omagne icos en 3 dimensiones
i
ene siendo obje o
de
cs udio c ecicn c a medida
que la po cncia y apidcz
de
calculo
de
Ios compu ado es aumcn an.
L1
nccesidad cxis cn e en mul i ud de campos
de
calcula Ios campos di ac ados po
ol~je os
de o ma y cons i uci<)n a bi a ia en p esencia
de
un campo incidcn c,
es buena mues a
de
ello.
En es a comunicaci6n se p esen a el analisis de di e sos p oblcmas elec omagnc icos en 3 dimcnsiones u iliz.ando
cl
Me odo
de
Ios Elemen os
de
Con o no
(M.E.C.)
, de cuya aplicacilln
al
caso hidimensional se ha enido dando
cuen a en aiios pasados.
El me odo modela Ios objc os a es udia median e elemen os iangula es o ec angula es , ec os o cu ados,
idcn icos a Ios isopa ame icos u iliz.ados po cl Me odo
de
Ios Elemen os Fini os
(M.E.F.),
pc mi icndo in c pola
mcdian e polinomios de scgundo o dcn nn o
Io
s campos
in
c<lg
ni a soh c
la
supc licic del cuc po
conw
la
mis
ma
supe icic. La disc e iwci<'m
de
la
ecunci<'m
in eg al pc inen e pe mi e gcnc a un sis cma uc ccuacioncs cuyas
inc6gni as son Ios cnmpos elec omngne icos sob e
la
supc icic de Ios
ol~jc os
.
En la comunicaci6n
se
mues a cl ab: jo
dc
sa ollado en la ase de disc c izaci<ln
de
ohjc os a bi a ios y
gene aci<ln
de
Ios elemen os
yen
cl calculo y cnsamblado de las ma ices del sis ema de ecuacioncs inal, as I como
Ios esul ados oh enidos con es e mc odo.
FORMULACION
El
Me odo
de
Ios Elemcn os
de
Con o no pa e del equi alen e cc o ial
de
la scgunda idenlidad
de
G een:
( (Q·
Vx lxP
-P·
Vx lxQ)
d - s
(Px lx{i-{ix
'lxP)
lida
(
1)
donde P y Q son unciones eclo ialcs con la p ime a y la segunda de i ada conlinuas a ! a es de V y sob e
S.Haciendo
P-i
· y 6 una unci6n eclo ial elacionada con la unci6n
de
G een del espacio lib e:
e-JkR
G---
R (
2)
c.lomle
R es la c.lis ancia
c.lcsc.le
el
pun o ucn c
al
pun o
c.lc
obse aci6n
-I
I .
Dcspucs
c.lc
algunas manipulacioncs cc o iales
[l],sc
llcga a la siguicn c ccuacion:
(
3)
En la ecuaciun (3) a cs cl angulo
sulic.lo
no malizado sub cndido e igual a
'h
si el pun o
es a
sob e una supe icie
sua e.
De o ma analoga se ob iene una cxp csi6n dual pa a el campo magne ico:
(
4)
Las ecuacioncs (3) y (4) indican que el alo del campo en cualquie pun o del espacio pucde exp esa se en unci6n
de una in eg al de Ios campos sob e la supc licic que encie a a la egion en la que se encuen a, una ez
que
es os
son conocidos.
T as ob enc la ecuacilin in eg al, se hace uso de Ius elemen os isopa ame icos, ampliamen e u ilizados en el
M.
E.F.
que pe mi en disc c iza la supc licie en N elemen os e in e pola Ios campos mcdian e polinomios de o den
n:
(5)
(
6)
donc.lc
se ha in oc.lucido F pa a ab c ia
la
no aciun.
E~
y
Fj
son Ios alo es de Ios campos en pun os
conc c os lie Ios clcmen os. u1 ecuaci6n in eg al disc e iz:1da loma inalmen e cl aspcc o que siguc:
(
7)
siendo M cl numc o de nodus del clcmen o.
Tomando como pun os de obsc aci<ln Ios nodos sob e la supe licie,
se
oh iene un sis ema de ecuaciones:
[C]
[F]-
[D]
[E]
(8)
gcnc ado mcdian c
cl
ensamblado de subbloqucs ma icialcs como Ios que siguen:
Dl.J
-
0
0
(9)
c;{l
j
da
domle i,j
se
exliende desde I hasla el numc o
de
nodos y la in eg al se cxlendc a en cada caso a Ios clcmenlos a
Ios
que
el
nodo
j pe lenezca.
ELEMENTOS UTILIZADOS
Los elemenlos
que
se
han ulilizado son pa abOlicos , como Ios
que
se
mues an en la
g.l,
dc nidos mcdian e
unciones
de
o ma
que
pe mi en
~jus a
escamas iangula es o cuad angula cs coil las que cs posihlc modcla
geome ns complejas.
Las
unciones
de
o ma
se an
6 pa a el caso iangula y 8 pa a el caso cuad angula y dcpende an
de
dos a iahlcs
locales ( y
11
y
coincidi an
con Ios polinomios de in c polaci6n
de
Ios campos. [2]
GENERACION
DEL
SISTEMA. INTEGRALES SUPERFICIALES.
Pa a e alua cada una de las
in eg alc.<;
que
cons i uyen Ios coe cien es del sis ema,
se
ecu e a p ocesos ue
in eg acion
nume ica.
En
el caso
de
que
el nodo campo sea uis in o
al
nouo uen e , el
me ouo
u ili:wuo es cl
de
cuad a u a
de
Gauss
de
16
pun os pa a Ios clemen os cuad angula cs y
de
15
pa a Ios iangula es. Pe o si el nodo
campo
coincide con cl mxlo uen e, la in eg al es singula y el me odo an e io no es adccuado,
po
lo
que
se ha
oplJido
po
una suhdi isi6n sucesi n de Ios clemen os
de
al o ma
que
se oh enga un numc o clc ado de pun os
de
in eg acion
al edcdo
del nodo. Los elemen os cuad angula es se suhdi iden en p ime a ins ancia en 2 6 3
elemen os iangula es segun
se..1.
la
posici6n del nodo uen c ( en una esquina o en mcdio
de
un !ado) y
a con inuaci6n es os
se
an subdi idiendo
has :1
conscgui una p ecisi6n adccuada.[3]
5
2
Fig. I
6
_
;
··--~'-"
4
o/
---~-
-
-----
/
; ·
1 -
Elcmcn os iangula es (6 nodos) y cuad angula cs (8 nouns)
326
3
RESULTADOS
Coma p ime conjun o de p uehas, se han esuello di e en es p ohlemas ce ados en gu a de onda. Se impusie on
como condiciones de con o no soh e
la
supe icic que cncie a a una de e minada egion de es a, Ios alo es de uno
de Ios campos. Se ccupe n on
Ios
alo cs del o o y se ccons uye on Ios c:unpos clec omagne icos en cl in e io
de
e.~a
supc icic.
As , pa a
el
caso de una zona es e ica de adio 0.1 A cen ada en una gu a ec angula , de dimensiones 0.5
Ay
0.25
A,
Ios
alo es e6 icos y
Ios
ob enidos pa a la componen e
Ey
del campo elec ico (las o as componen es son
nulas, y Ios alo es que se oh ienen son del o den de las diezmilesimas) se mues an en
la
abla I.
El
a amicn o de p ohlemas de
di acci<'in
de cue pos me alicos no exige
exce.~i as
complicaciones adicionales
(has a a con imponc
alo e.~
soh e
el
campo elec ico angencial en uncil)n del inciden e y calcula
el
magne ico
a pa i de
el
) y se espe n es a en disposicion de oh ene
Ios
p ime os esullados p oximamen e.
COORD.DEL PUNTO V ALOR TEORICO
Ey
( alo
compl~jo)
V ALOR REAL
Ey
( alo complejo)
(X,Y,Z)
(.21,.075A,0) (-.9510,0) (-.9445, 1.9E-3)
(.21,
.125A,0) (-.9510,0) (-.9462,1.9E-3)
(.2A,.J75A,0) (-.9510,0) (-.9481,1.9E-3)
(.251,.075A,0) (-1.0,0) ( -. 9944,1. 8E-3)
(.25A,.I251,0)
(-1.0,0) (-.9948, 1.9E-3)
(.251,.1751,0)
( -1.0,0) (-.9959,1.8E-3)
(.JA
,.0
75A,O)
(-.9510,0) ( -. 9516,
I.
7E-3)
(.3A,.I25A,O) (-.9510,0) (-.9462, 1.9E-3)
(.JA,.I75A,O) (-.9510,0) (-.9482,1.9E-3)
Tabla
I.
REFERENCIAS
[I)
K.D.Paulsen,
D.R
.Lynch & J.W.S ohhchn,"Th ee-Dimensional Fini e,Dounda y, and Hyb id Elemen
Solu ions
o
he Maxwcll Equa ions o Lossy Dielec ic Media",IEEE T ans. Mic owa e
Theo y
Tech.,
ol.36,pp.682-693, 1988
[21
0.
C.Zicnkicwichz, "The -ini e Elemen Me ho !" ,M cG m
11
ill ,3 d.ed. 1979
[J] M. Dobla c,"Fo mulacion idimensional del M
EC
con in e polacion pa ah6lica"
,Tesis
Doc o al.
ET
S
ll.
Uni .Pol.
Mad id.l981
327