Cálculos electromagnéticos en 3 dimensiones mediante el método de los elementos de contorno

ABSTRACT CALCULOS ELECTROMAGNETICOS EN 3 DIMENSIONES MEDIANTE EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO N. Du o, J.C. C ucllas, M. Fc ando. Dp o. Teo ln de la Seiial y Comunicaciones, G upo A.M . R. E.T.S.I. de Telecomunicnci6n de Ila celona -U.P.C. Ap<lo. 30002,08080 Ila celona. Tel . 93/40 !.68.11 The Bounda y Elemen Me hod is applied o sol e 3 D elec omagne ic p oblems. The basic o mula ion and associa ed i ems (in eg al equa ion o sol e, su ace disc e iz: ion, ields in e pola ion and nume ical in eg a ion ) a e commen ed. Ob ained esul s when his echnique is applied o he s udy o bounda y p oblems a e shown. INTRODUCCION La esoluci6n de p oblemas elec omagne icos en 3 dimensiones i ene siendo obje o de cs udio c ecicn c a medida que la po cncia y apidcz de calculo de Ios compu ado es aumcn an. L1 nccesidad cxis cn e en mul i ud de campos de calcula Ios campos di ac ados po ol~je os de o ma y cons i uci<)n a bi a ia en p esencia de un campo incidcn c, es buena mues a de ello. En es a comunicaci6n se p esen a el analisis de di e sos p oblcmas elec omagnc icos en 3 dimcnsiones u iliz.ando cl Me odo de Ios Elemen os de Con o no (M.E.C.) , de cuya aplicacilln al caso hidimensional se ha enido dando cuen a en aiios pasados. El me odo modela Ios objc os a es udia median e elemen os iangula es o ec angula es , ec os o cu ados, idcn icos a Ios isopa ame icos u iliz.ados po cl Me odo de Ios Elemen os Fini os (M.E.F.), pc mi icndo in c pola mcdian e polinomios de scgundo o dcn nn o Io s campos in c<lg ni a soh c la supc licic del cuc po conw la mis ma supe icic. La disc e iwci<'m de la ecunci<'m in eg al pc inen e pe mi e gcnc a un sis cma uc ccuacioncs cuyas inc6gni as son Ios cnmpos elec omngne icos sob e la supc icic de Ios ol~jc os . En la comunicaci6n se mues a cl ab: jo dc sa ollado en la ase de disc c izaci<ln de ohjc os a bi a ios y gene aci<ln de Ios elemen os yen cl calculo y cnsamblado de las ma ices del sis ema de ecuacioncs inal, as I como Ios esul ados oh enidos con es e mc odo. FORMULACION El Me odo de Ios Elemcn os de Con o no pa e del equi alen e cc o ial de la scgunda idenlidad de G een: ( (Q· Vx lxP -P· Vx lxQ) d - s (Px lx{i-{ix 'lxP) lida ( 1) donde P y Q son unciones eclo ialcs con la p ime a y la segunda de i ada conlinuas a ! a es de V y sob e S.Haciendo P-i · y 6 una unci6n eclo ial elacionada con la unci6n de G een del espacio lib e: e-JkR G--- R ( 2) c.lomle R es la c.lis ancia c.lcsc.le el pun o ucn c al pun o c.lc obse aci6n -I I . Dcspucs c.lc algunas manipulacioncs cc o iales [l],sc llcga a la siguicn c ccuacion: ( 3) En la ecuaciun (3) a cs cl angulo sulic.lo no malizado sub cndido e igual a 'h si el pun o es a sob e una supe icie sua e. De o ma analoga se ob iene una cxp csi6n dual pa a el campo magne ico: ( 4) Las ecuacioncs (3) y (4) indican que el alo del campo en cualquie pun o del espacio pucde exp esa se en unci6n de una in eg al de Ios campos sob e la supc licic que encie a a la egion en la que se encuen a, una ez que es os son conocidos. T as ob enc la ecuacilin in eg al, se hace uso de Ius elemen os isopa ame icos, ampliamen e u ilizados en el M. E.F. que pe mi en disc c iza la supc licie en N elemen os e in e pola Ios campos mcdian e polinomios de o den n: (5) ( 6) donc.lc se ha in oc.lucido F pa a ab c ia la no aciun. E~ y Fj son Ios alo es de Ios campos en pun os conc c os lie Ios clcmen os. u1 ecuaci6n in eg al disc e iz:1da loma inalmen e cl aspcc o que siguc: ( 7) siendo M cl numc o de nodus del clcmen o. Tomando como pun os de obsc aci<ln Ios nodos sob e la supe licie, se oh iene un sis ema de ecuaciones: [C] [F]- [D] [E] (8) gcnc ado mcdian c cl ensamblado de subbloqucs ma icialcs como Ios que siguen: Dl.J - 0 0 (9) c;{l j da domle i,j se exliende desde I hasla el numc o de nodos y la in eg al se cxlendc a en cada caso a Ios clcmenlos a Ios que el nodo j pe lenezca. ELEMENTOS UTILIZADOS Los elemenlos que se han ulilizado son pa abOlicos , como Ios que se mues an en la g.l, dc nidos mcdian e unciones de o ma que pe mi en ~jus a escamas iangula es o cuad angula cs coil las que cs posihlc modcla geome ns complejas. Las unciones de o ma se an 6 pa a el caso iangula y 8 pa a el caso cuad angula y dcpende an de dos a iahlcs locales ( y 11 y coincidi an con Ios polinomios de in c polaci6n de Ios campos. [2] GENERACION DEL SISTEMA. INTEGRALES SUPERFICIALES. Pa a e alua cada una de las in eg alc.<; que cons i uyen Ios coe cien es del sis ema, se ecu e a p ocesos ue in eg acion nume ica. En el caso de que el nodo campo sea uis in o al nouo uen e , el me ouo u ili:wuo es cl de cuad a u a de Gauss de 16 pun os pa a Ios clemen os cuad angula cs y de 15 pa a Ios iangula es. Pe o si el nodo campo coincide con cl mxlo uen e, la in eg al es singula y el me odo an e io no es adccuado, po lo que se ha oplJido po una suhdi isi6n sucesi n de Ios clemen os de al o ma que se oh enga un numc o clc ado de pun os de in eg acion al edcdo del nodo. Los elemen os cuad angula es se suhdi iden en p ime a ins ancia en 2 6 3 elemen os iangula es segun se..1. la posici6n del nodo uen c ( en una esquina o en mcdio de un !ado) y a con inuaci6n es os se an subdi idiendo has :1 conscgui una p ecisi6n adccuada.[3] 5 2 Fig. I 6 _ ; ··--~'-" 4 o/ ---~- - ----- / ; · 1 - Elcmcn os iangula es (6 nodos) y cuad angula cs (8 nouns) 326 3 RESULTADOS Coma p ime conjun o de p uehas, se han esuello di e en es p ohlemas ce ados en gu a de onda. Se impusie on como condiciones de con o no soh e la supe icic que cncie a a una de e minada egion de es a, Ios alo es de uno de Ios campos. Se ccupe n on Ios alo cs del o o y se ccons uye on Ios c:unpos clec omagne icos en cl in e io de e.~a supc icic. As , pa a el caso de una zona es e ica de adio 0.1 A cen ada en una gu a ec angula , de dimensiones 0.5 Ay 0.25 A, Ios alo es e6 icos y Ios ob enidos pa a la componen e Ey del campo elec ico (las o as componen es son nulas, y Ios alo es que se oh ienen son del o den de las diezmilesimas) se mues an en la abla I. El a amicn o de p ohlemas de di acci<'in de cue pos me alicos no exige exce.~i as complicaciones adicionales (has a a con imponc alo e.~ soh e el campo elec ico angencial en uncil)n del inciden e y calcula el magne ico a pa i de el ) y se espe n es a en disposicion de oh ene Ios p ime os esullados p oximamen e. COORD.DEL PUNTO V ALOR TEORICO Ey ( alo compl~jo) V ALOR REAL Ey ( alo complejo) (X,Y,Z) (.21,.075A,0) (-.9510,0) (-.9445, 1.9E-3) (.21, .125A,0) (-.9510,0) (-.9462,1.9E-3) (.2A,.J75A,0) (-.9510,0) (-.9481,1.9E-3) (.251,.075A,0) (-1.0,0) ( -. 9944,1. 8E-3) (.25A,.I251,0) (-1.0,0) (-.9948, 1.9E-3) (.251,.1751,0) ( -1.0,0) (-.9959,1.8E-3) (.JA ,.0 75A,O) (-.9510,0) ( -. 9516, I. 7E-3) (.3A,.I25A,O) (-.9510,0) (-.9462, 1.9E-3) (.JA,.I75A,O) (-.9510,0) (-.9482,1.9E-3) Tabla I. REFERENCIAS [I) K.D.Paulsen, D.R .Lynch & J.W.S ohhchn,"Th ee-Dimensional Fini e,Dounda y, and Hyb id Elemen Solu ions o he Maxwcll Equa ions o Lossy Dielec ic Media",IEEE T ans. Mic owa e Theo y Tech., ol.36,pp.682-693, 1988 [21 0. C.Zicnkicwichz, "The -ini e Elemen Me ho !" ,M cG m 11 ill ,3 d.ed. 1979 [J] M. Dobla c,"Fo mulacion idimensional del M EC con in e polacion pa ah6lica" ,Tesis Doc o al. ET S ll. Uni .Pol. Mad id.l981 327