Q¨
UESTII ´
O, ol. 22, 3, p. 443-468, 1998
ALGUNAS SOLUCIONES APROXIMADAS PARA
DISE˜
NOS SPLIT-PLOT CON MATRICES DE
COVARIANZA ARBITRARIAS
G. VALLEJO SECO
J.R. ESCUDERO GARC´
IA
Uni e sidad de O iedo

El p esen e abajo e isa con cie o de alle di e sos ipos de an´
alisis pa a
dise˜
nos spli -plo que ca ecen del mismo n´
ume o de unidades expe imen-
ales den o de cada g upo y en los que se incumple con el supues o de
es e icidad mul imues al. Espec´
ı icamen e, adap ando el en oque mul i-
a iado de ap oxima los g ados de libe ad desa ollado po Johansen
(1980) y el p ocedimien o de la ap oximaci´
on gene al mejo ada co egi-
da basado en Huynh (1980) se mues a c´
omo ob ene an´
alisis obus os y
pode osos a la ho a de p oba los e ec os p incipales y la in e acci´
on, as´
ı
comohip´
o esisde compa acionesm´
ul iples elacionadascon es os e ec os,
an o si se cuen a con una simple a iable dependien e asociada con cada
una de las medidas epe idas como si se cuen a con m´
as de una.
Some app oxima e solu ions o spli -plo designs wi h a bi a y co a-
iance ma ices.
Palab as cla e: Dise˜nos mul i a iados de medidas epe idas, es e icidad
mul imues al, medias ponde adas y noponde adas, p o-
cedimien os obus os y pode osos.
Clasi icaci´
on AMS: 62K10, 62J1
*Depa amen o de Psicolog´ıa. Uni e sidad de O iedo. Plaza Feijoo, s/n. 33003 O iedo.
e-mail:g allej[email p o ec ed].unio i.es.
–Recibido en diciemb e de 1996.
–Acep ado en mayo de 1998.
443
1. INTRODUCCI ´
ON
En las Ciencias del Compo amien o y campos me odol´ogicos a ines des aca el im-
pulso que a lo la go de los ´ul imos a˜nos ha ecibido el empleo de los dise˜nos de
medidas epe idas y, sob emane a, los dise˜nos spli -plo o dise˜nos que implican ani-
da las unidades expe imen ales espec o a los ni eles de una o m´as a iables y
c uza los espec o a los ni eles de o a u o as. Bajo el cumplimien o de los supues-
os de no malidad conjun a mul i a iada, homogeneidad de las ma ices de dispe si´on
e igualdad de las a ianzas co espondien es a las di e encias en e las di e en es me-
didas epe idas, dichos dise˜nos han sido analizados adicionalmen e po medio del
modelo mix o uni a iado de Sche ´e (1956). A su ez, cuando se incumple alguno
de los dos ´ul imos supues os, e inclusi e ambos a la ez, lo usual es hace uso, an-
o del en oque uni a iado con los g ados de libe ad co egidos como del en oque
mul i a iado; sob e odo, eniendo en cuen a que si el dise˜no es ´a equilib ado, ambos
en oques son ela i amen e obus os a la iolaci´on de los supues os e e idos (Huynh,
1978; Keselman y Keselman, 1990; Keselman, Lix y Keselman, 1993; Rogan, Kesel-
man y Mendoza, 1978). En es os casos, la elecci´on en e el en oque uni a iado con
los g ados de libe ad ajus ados o el en oque mul i a iado descansa, am´en de o as
cues iones, en conside aciones de po encia (Da idson, 1972). Po ejemplo, asumiendo
que disponemos de mode ados ama˜nos de mues a, lige as des iaciones en el pa ´on
de es e icidad conlle an una mayo po encia del en oque uni a iado que del mul i a-
iado co espondien e; po el con a io, la si uaci´on se a in i iendo paula inamen e
a medida que nos des iamos del pa ´on de es e icidad eque ido.
Sin emba go, como ha sido pues o de elie e en di e sos abajos de simulaci´on,
ambos en oques anal´ı icos dejan de se obus os cuando el dise˜no ca ece del equilib io
adecuado y las ma ices de a ianzas y co a ianzas poblacionales no son combinables
po se he e og´eneas. En conc e o, Keselman (1993) encuen a que el p ocedimien o
de ajus a los g ados de libe ad po el alo de la des iaci´on del pa ´on de es e icidad
p oduce un sesgo conside able a la ho a de e i ica las hip´o esis co espondien es a
los e ec os p incipales de la pa e in a del dise˜no. Po su pa e, Timm (1975) nos
dice que o o an o ocu e con la signi icaci´on de dichos e ec os cuando se con as an
median e el en oque mul i a iado. Finalmen e, ampoco con iene pasa po al o que
di e sos au o es (Belli, 1988; Huynh y Feld , 1976; Keselman e al., 1993) han
descubie o que las asas de e o de Tipo I conce nien es a la in e acci´on ambi´en
se encuen an se iamen e dis o sionadas bajo ambos en oques. As´ı pues, cuando el
dise˜no de medidas pa cialmen e epe idas no es ´e adecuadamen e balanceado y el
supues o de homogeneidad de las ma ices de dispe si´on se incumpla, con iene se
muy cuidadosos an o con las in e encias ealizadas en elaci´on con la igualdad de las
espues as dadas a lo la go del iempo, como con las in e encias e e idas a la hip´o esis
que especi ica que las di e encias en e los g upos no dependen de las condiciones
de obse aci´on conside adas; ya que como se ha esal ado, ´es as descansan, en buena
444
medida, en el cumplimien o del susodicho supues o. Como des aca Wilcox (1987),
las p uebas pa am´e icas con encionales basadas en las dis ibuciones o F pueden
esul a se iamen e a ec adas cuando la homogeneidad de las a ianzas no se sa is ace,
sob e odo, cuando el n´ume o de unidades expe imen ales di ie e de un g upo a
o o. En es os casos, las p uebas es ad´ıs icas cl´asicas se pueden con e i , bien en
excesi amen e conse ado as, o bien en excesi amen e libe ales, con asas de e o de
Tipo I po debajo del 0.01 ´o po encima del 0.70 pa a un ni el de signi icaci´on nominal
del 0.05 (Keselman y Keselman, 1988; Milligan, Wong y Thompson, 1987; Wilcox,
Cha lin y Thompson, 1986). Pa a abo da el p oblema especi icado se han in en ado
a ios emedios, no obs an e, la soluci´on m´as habi ual consis e en hace uso del a eglo
Beh ens-Fishe y en ap oxima los g ados de libe ad median e el p ocedimien o de
Welch (1938, 1947, 1951). Dicha soluci´on ue aplicada inicialmen e po Welch a
los dise˜nos de dos o m´as g upos al aza , y muchos a˜nos despu´es, Algina y Olejnik
(1994) la han ex endido a los dise˜nos ac o iales, mien as que Keselman, Ca ie e
y Lix (1993, 1995) lo han implemen ado en el ´ambi o de los dise˜nos de medidas
epe idas y en el ´ambi o de los dise˜nos ac o iales no o ogonales; odo ello al ampa o
de la e si´on gene alizada que del p ocedimien o de Welch y de la pos e io mejo a
de James (1951,1954) ealiz´o Johansen en 1980. En el con ex o de los dise˜nos de
medidas epe idas o o de los emedios disponibles, y a juicio de Algina (1994) y
Algina y Oshima (1994, 1995) muy ecomendable, es el en oque de la ap oximaci´on
gene al de Huynh (1978), as´ı como subsiguien es modi icaciones e ec uadas en el
mismo.
2. EL ENFOQUE DE WELCH-JAMES
Po lo que se e ie e a la p ime a soluci´on o en oque de la ap oximaci´on mul i a iada
de los g ados de libe ad desa ollado po Johansen (1980), en adelan e en oque de
Welch-James, esal a que los descub imien os emp´ı icos encon ados a lo la go de los
´ul imos a˜nos en el con ex o de los dise˜nos uni a iados ponen de elie e la obus ez
de es e en oque a la ho a de p oba si exis en di e encias en e las medias de dos
o m´as poblaciones cuando las a ianzas son he e og´eneas y el n´ume o de unidades
expe imen ales di ie e de un g upo a o o. M´as a´un, la po encia de es e en oque esul a
compa able a la po encia encon ada as aplica las p uebas cl´asicas de oFcuando
el supues o de homogeneidad de las a ianzas es sa is echo (Ro h, 1983; B own y
Fo sy he, 1974; Hsiung y Olejnik, 1994b, Wilcox e al., 1986) y, po supues o, mucho
m´as pode oso que ´es as cuando, an o el ama˜no de los g upos como el ama˜no de las
a ianzas di ie e sus ancialmen e.
No obs an e, con iene ma iza que el en oque Welch-James no man iene inal e able su
obus ez a lo la go de odas las si uaciones. En conc e o, cuando exis e una co elaci´on
nega i a en e el ama˜no de los g upos y el ama˜no de las a ianzas (la a ianza m´as
445
g ande acon ece en el g upo de meno ama˜no, o ice e sa) y los da os p esen an
un sesgo ap eciable, el en oque bajo conside aci´on no con ola la asa de e o de
Tipo I al ni el nominal a. Cuando se egis a m´as de una a iable dependien e o
a las unidades expe imen ales se las mide en m´as de una ocasi´on, la asa de e o
de Tipo I ambi´en puede llega a se conside able si la az´on en e el ama˜no de los
g upos y el n´ume o de a iables dependien es o bien el n´ume o de medidas epe idas
es peque˜na, las ma ices de a ianzas y co a ianzas son he e og´eneas y los da os
no se acomodan a una dis ibuci´on no mal mul i a iada. En las dem´as si uaciones
el en oque de Welch-James p opo ciona un adecuado g ado de con ol de la asa de
e o de Tipo I; pos e io men e e ec ua emos alg´un comen a io adicional sob e es a
cues i´on. Con odo, no con iene deja sin acla a que el es o de las ´ecnicas, an o
si son de na u aleza pa am´e ica como de na u aleza no pa am´e ica, pa icipan de las
mismas debilidades y o ecen un g ado de gene alizaci´on mucho m´as es ingido que
el en oque bajo conside aci´on.
Seguidamen e, se expone la modelizaci´on del en oque Welch-James en el ´ambi o
de los dise˜nos spli -plo . Pa a ello, inicialmen e, nos ce˜ni emos al caso en que las
q
(
k
; : : : ;
q
)
espues as ecogidas a pa i de las n
(
i
; : : : ;
n
)
unidades mues ales
independien es es ´en ag upadas de acue do con los p
(
j
; : : : ;
p
)
ni eles de una a iable
de clasi icaci´on. Pa a una si uaci´on como la desc i a, el modelo lineal gene al con N
unidades expe imen ales puede esc ibi se como sigue:
Y
=
XB
+
E
donde Yes una ma iz de espues as de o den N

q,Xes la ma iz de dise˜no de
ango pleno de o den N

p,Bes una ma iz de pa ´ame os no alea o ios de o den
p

qyEes una ma iz de e o es alea o ios de o den N

q. Si deno amos po
ε
0
i
(
εij1
; : : : ;
εijk
)
el ec o de e o es alea o ios co espondien e a la unidad i h, se
asume que cada sub ec o de e o es es Nq
(
0
;
Σ
Σ
Σj
)
. El hecho de que la o ma de
Σ
Σ
Σjdependa de jindica que odos los ec o es de e o es alea o ios no ienen la
misma ma iz de a ianzas y co a ianzas, Σ
Σ
Σ, lo que implica que las ma ices no son
combinables.
En ´e minos sus an i os las hip´o esis de in e ´es del dise˜no spli -plo o dise˜no de
medidas pa cialmen e epe idas son las siguien es:
1. ¿Exis e in e acci´on en e las a iables en e e in a del dise˜no?
2. ¿Di ie en en e s´ı los di e en es g upos de a amien o?
3. ¿Tienen odas las espues as el mismo e ec o?
Pa a con as a dichas hip´o esis ha emos dos cosas: Po un lado, u iliza emos la
p ueba es ad´ıs ica de Welch-James, la cual, de acue do con Johansen (1980), puede
exp esa se como sigue:
TW
?
J
= (
Ry
)
0
(
RPR
0
)
?
1
(
Ry
)
446
donde yes un ec o de o den pq

1 ob enido as conca ena e icalmen e las medias
de yj,R
(
R
=
C
0

A
0
)
es una ma iz de con as es cuyo o den depende de la hip´o esis
que es emos p obando y Pes una ma iz diagonal de bloques de o den pq

pq con
el j h bloque igual a ˆ
Σj

nj
(
ˆ
Σ1

n1
; : : : ;
ˆ
Σp

np
)
. Seg´un Johansen (1980, p.86), el
es ad´ıs ico TW
?
Jdi idido po una cons an e, c, se dis ibuye ap oximadamen e como el
es ad´ıs ico Fcon g ados de libe ad ν1( ango de la ma iz R) y ν2
=
ν1
(
ν1
+
2
)

3A.
Las cons an es cyA alen, espec i amen e
c
=
ν1
+
2A
?
(
6A
)
(
ν1
+
2
)
y
A
=
1
2
p
∑
j
=
1

h
PR
0
(
RPR
0
)
?
1RQj
i
2
+
h
(
PR
0
(
RPR
0
)
?
1RQj
i
2

.
(
nj
?
1
)
donde deno a el ope ado aza y Qjes una ma iz diagonal de bloques de o den
pq

pq con el j h bloque igual a una ma iz de iden idad de o den q

qy el es o
ce os.
Po o o lado, exp esa emos odas las hip´o esis expues as an e io men e median e
una adecuada elecci´on de la ma iz de con as es Ry ambi´en en ´e minos de los
pa ´ame os de la ma iz Bque sigue:
B
=
0
B
@
µ11 µ12
:::
µ1q
µ21 µ22
:::
µ2q
µp1µp2
:::
µpq
1
C
A
Conc e ando a´un m´as, la hip´o esis nula que a i ma que las di e encias en e los ni-
eles de la a iable de a amien o no dependen de los ni eles de la a iable in a
conside ados, iene dada po
H01:
0
B
@
µ11
?
µ12
  
µ1
;
q
?
1
?
µ1q
1
C
A
=

=
0
B
@
µp1
?
µp2

µp
;
q1
?
µpq
1
C
A
o, bien H01:Rµ
µ
µ
=
0
donde R
=
C
0

A
0
es una ma iz de o den
(
p
?
1
) (
q
?
1
)

pq,C
0
es una ma iz de
coe icien es de o den
(
p
?
1
)

pque de e mina los elemen os de µa inclui en la
hip´o esis nula, Aes una ma iz de o den q

(
q
?
1
)
p opia de las si uaciones mul i-
a iadas que pe mi e gene a hip´o esis en e los di e en es pa ´ame os de espues a, µ
447

es un ec o de pa ´ame os de o den pq

1 y 0es un ec o nulo de cuyo o den es
pq

1. Las ma ices C
0
yAadop an la o ma que sigue:
C
0
=
0
B
B
B
B
@
1 0
:::
0
?
1
0 1
:::
0
?
1
:::::::::::::::
0 0
:::
1
?
1
1
C
C
C
C
A
;A
=
0
B
B
B
B
B
B
@
1 0
:::
0
0 1
:::
0
::::::::::::::::
0 0
:::
1
?
1
?
1
:::
?
1
1
C
C
C
C
C
C
A
La H01se echaza al ni el αsi
TW
?
J

c
>
Fα;ν1
;
ν2
(
ν1
=
p
?
1

q
?
1
)
donde TW
?
J

c

F
(
ν1
;
ν2
)
.
De esul a la in e acci´on signi ica i a la hip´o esis nula de ausencia de di e encias
en e los g upos iene dada po
H02:
0
B
B
B
B
@
µ11
µ12
.
.
.
µ1q
1
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
@
µ21
µ22
.
.
.
µ2q
1
C
C
C
C
A
=

=
0
B
B
B
B
@
µp1
µp2
.
.
.
µpq
1
C
C
C
C
A
o, simplemen e H02:Rµ
µ
µ
=
0
donde R
=
C
0

A
0
es una ma iz de o den
(
p
?
1
)
q

pq,C
0
iene la misma o ma
que en el caso an e io y Aes una ma iz de iden idad de o den q

q.
En ausencia de in e acci´on la hip´o esis nula de igualdad de los g upos se educe a:
H

02:q
∑
k
=
1
µ1k
=
q
=
q
∑
k
=
1
µ2k
=
q
=

=
q
∑
k
=
1
µpq
=
q
o, bien H

02:Rµ
µ
µ
=
0
donde R
=
C
0

a
0
es una ma iz de o den
(
p
?
1
)

pq,C
0
man iene la o ma aludida
yaes un ec o de unos de o den q

1. En ambos casos la hip´o esis nula e e ida a
los ni eles de la a iable en e se echaza al ni el αsi
TW
?
J

c
>
Fα;ν1
;
ν2
448
Finalmen e, la hip´o esis nula de igualdad de las espues as u ocasiones de obse aci´on
ambi´en puede abo da se eniendo en cuen a la signi icaci´on o no de la in e acci´on.
En el p ime caso, dicha hip´o esis puede exp esa se como:
H03:
0
B
B
B
B
@
µ11
µ21
.
.
.
µp1
1
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
@
µ12
µ22
.
.
.
µp2
1
C
C
C
C
A
=

0
B
B
B
B
@
µ1q
µ2q
.
.
.
µpq
1
C
C
C
C
A
o, simplemen e H0:Rµ
µ
µ
=
0
donde R
=
C
0

A
0
es una ma iz de o den p
(
q
?
1
)

pq,C
0
es una ma iz de iden idad
de o den p

pyAes una ma iz de con as es de o den q

(
q
?
1
)
.
En el segundo caso, es o es, de no exis i in e acci´on la hip´o esis de igualdad de las
espues as iene dada po
H

03:p
∑
j
=
1µj1
=
p
=
p
∑
j
=
1µj2
=
p
=

=
p
∑
j
=
1µjq
=
p
o, bien H

03:Rµ
µ
µ
=
0
donde R
=
C
0

A
0
es una ma iz de o den
(
q
?
1
)

pq,c
0
es un ec o de unos de
o den 1

pyAes una ma iz de con as es de o den q

(
q
?
1
)
. Bajo cualquie a de
las dos si uaciones especi icadas, la hip´o esis nula e e ida a la igualdad de los ni eles
de la a iable in a se echaza al ni el αsi
TW
?
J
=
c
>
Fα;ν1
;
ν2
donde TW
?
J
=
c

F
(
ν1
;
ν2
)
.
An es de conclui con es e apa ado con iene ad e i que el en oque desc i o s´olo
pe mi e p oba la hip´o esis nula de igualdad de las espues as conce nien e a medias no
ponde adas. El in es igado in e esado en p oba la hip´o esis nula e e ida a medias
ponde adas puede u iliza la soluci´on mul i a iada que del p oblema Beh ens-Fishe
nos o ecen Nel y an de Me we (1986).
3. EXTENSI ´
ON DEL ENFOQUE WELCH-JAMES A SITUACIONES
MULTIVARIADAS
Con las modi icaciones opo unas de las ma ices C
0
yApuede maneja se cualquie
ipo de dise˜no que implique medidas epe idas y que u ilice una sola a iable depen-
449
dien e. Sin emba go, a nadie se le escapa que exis en bas an es si uaciones que si bien
se acomodan a un dise˜no de medidas epe idas, ´es as son esencialmen e de na u aleza
mul i a iada.
Consid´e ese el dise˜no mul i a iado de medidas pa cialmen e epe idas esquema izado
en la igu a 1 omada de Vallejo y Men´endez (1997), en el cual hay un ac o de
ag upamien o p
(
j
=
1
; : : : ;
p
)
, un ac o de obse aciones epe idas q
(
k
=
1
; : : : ;
q
)
y las espues as dadas po el i h suje o a lo la go de qmedidas epe idas bajo cada
una de las a iables de medida. De es e modo, bajo es a disposici´on las qp ime as
columnas co esponden a la p ime a a iable dependien e, las qsegundas a la segunda
a iable dependien e y las q
?
´esimas la h a iable dependien e.
T a . Suj. VD1VD2VD
AjSiy
0
ij1
=
h
y
(
1
)
ij1y
(
2
)
ij1
: : :
y
(
q
)
ij1
i
y
0
ij2
=
h
y
(
1
)
ij2y
(
2
)
ij2
:::
y
(
q
)
ij2
i
:::
y
0
ij
=
h
y
(
1
)
ij y
(
2
)
ij
:::
y
(
q
)
ij
i
Figu a 1. Disposici´on de los da os del dise˜no mul i a iado de medidas pa cialmen e epe idas.
Pa a un dise˜no como el esquema izado el modelo lineal mul i a iado con N unidades
expe imen ales puede se esc i o como sigue:
Y
=
XB
+
E
donde Y
=
N

q es la ma iz de espues as, B
=
p

q es la ma iz de pa ´ame os,
X
=
N

pes la ma iz de dise˜no de ango pleno y E
=
N

q es la ma iz de e o es
alea o ios. Si deno amos po ε
0
i
=
1

q el ec o de e o es alea o ios co espondien e
al suje o i h, es asumido que: ε
ε
ε
0
i

N
(
0
;
Σ
Σ
Σj
)
donde la ma iz de co a ianzas Σj
=
q

q es una ma iz de inida posi i a. El hecho
de que la o ma Σdependa de la poblaci´on de la que se hayan ex a´ıdo las njunidades,
supone que no odos los ec o es de e o es alea o ios ε ienen la misma ma iz Σy,
po ende, son ma ices he e osced´as icas.
Bajo es a nue a si uaci´on, la cons ucci´on de la ma iz Rpa a p oba las hip´o esis del
modelo es algo m´as complicada; no obs an e, al come ido se puede maneja ela i a-
men e bien si se p osigue con una no aci´on simila a la u ilizada en el caso uni a iado.
Pa a ilus a lo dicho se comienza p obando la hip´o esis nula que especi ica que las
di e encias en e los g upos no dependen de las condiciones de obse aci´on consi-
de adas en el conjun o de las a iables dependien es examinadas simul ´aneamen e,
450
es o es
H01:
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
µ
(
1
)
11
?
µ
(
1
)
12
.
.
.
µ
(
2
)
1q
?
1
?
µ
(
2
)
1q
.
.
.
µ
(
)
1q
?
1
?
µ
(
)
1q
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
µ
(
1
)
21
?
µ
(
1
)
22
.
.
.
µ
(
2
)
2q
?
1
?
µ
(
2
)
2q
.
.
.
µ
(
)
2q
?
1
?
µ
(
)
2q
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=

=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
µ
(
1
)
p1
?
µ
(
1
)
p2
.
.
.
µ
(
2
)
pq
?
1
?
µ
(
2
)
pq
.
.
.
µ
(
)
pq
?
1
?
µ
(
)
pq
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
o, bien H01:Rµ
µ
µ
=
0
donde R
=
C
0

(
Aq

I
)
0
es una ma iz de o den
(
p
?
1
)(
q
?
1
)

pq ,C
0
es una
ma iz de coe icien es de o den
(
p
?
1
)

pque de e mina los elemen os de µa inclui
en la hip´o esis nula, Aes una ma iz de coe icien es de o den q

(
q
?
1
)
que nos
pe mi e gene a hip´o esis en e los di e en es ni eles de la a iable in a, I es una
ma iz de iden idad de o den

yµes un ec o de pa ´ame os de o den pq

1.
La H01se echaza al ni el αsi
TW
?
J
=
c
>
Fα;ν1
;
ν2
[
ν1
= (
p
?
1
)(
q
?
1
)
]
donde TW
?
J
=
c

F
(
ν1
;
ν2
)
. El c´alculo de los g ados de libe ad co espondien es al
e o se e ec ´ua igual que en el caso uni a iado desc i o con an e io idad.
La ausencia de di e encias en e los g upos puede se abo dada desde un doble pun o
de is a en unci´on de que la in e acci´on sea o no sea signi icaci´on. En el p ime
caso,
H02:
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
µ
(
1
)
11
µ
(
1
)
12
.
.
.
µ
(
1
)
1q
.
.
.
µ
(
)
1q
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
µ
(
1
)
21
µ
(
1
)
22
.
.
.
µ
(
1
)
2q
.
.
.
µ
(
)
2q
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=

=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
µ
(
1
)
p1
µ
(
1
)
p2
.
.
.
µ
(
1
)
pq
.
.
.
µ
(
)
pq
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
o, al e na i amen e H02:Rµ
µ
µ
=
0
donde R
=
C
0

(
Aq

I
)
es una ma iz de o den
(
p
?
1
)
q

pq ,C
0
iene la misma
o ma que en el caso an e io , AqeI son ma ices de iden idad de o den q

qy

, espec i amen e.
451
donde c
0
jj
0
ya
0
kk
0
son ec o es de coe icien es que con as an los ni eles de las a iables
en e e in a, espec i amen e.
A pa i de aqu´ı, al in es igado s´olo le es a u iliza alguno de los nume osos p o-
cedimien os que exis en pa a e ec ua compa aciones de medias, y que le pe mi a
man ene la asa de e o de Tipo I con olada al ni el nominal pa a odas las compa-
aciones que componen la amilia de con as es de la in e acci´on. Pues bien, sendos
abajos de simulaci´on lle ados a cabo po Keselman y Lix (1996) y Lix y Keselman
(1996), ponen de elie e que an o el p ocedimien o secuencial de a iba-abajo de
Holm (1979) y modi icado po Sha e (1986), como el p ocedimien o de abajo-a iba
de Hochbe g (1988) con olan adecuadamen e la asa de e o de Tipo I pa a los con-
as es de la in e acci´on en dise˜nos con ca ac e ´ıs icas simila es a las aqu´ı aludidas;
es o es, dise˜nos de medidas pa cialmen e epe idas con ma ices de a ianzas y co a-
ianzas he e og´eneas y desigual n´ume o de unidades expe imen ales den o de cada
g upo.
A su ez, pa a con as a las hip´o esis e e idas a las compa aciones m´ul iples e ec ua-
das en e los ni eles de la a iable in a suje o cuando el dise˜no, adem´as de ene un
n´ume o a bi a io de suje os den o de cada g upo, no sa is ace el supues o de es e i-
cidad mul imues al, ambi´en con iene u iliza alg´un es ad´ıs ico que pe mi a calcula
el e o es ´anda a pa i de los da os implicados en el con as e de in e ´es. Una o -
ma de alcanza dicho obje i o consis e en u iliza el es ad´ıs ico
0
con enien emen e
adap ado a es a si uaci´on como sigue:
0
Ψ
=
?
Y
::
k
?
Y
::
k
0

s
c
0
ˆ
Σ
Σ
Σjc
nj
+
c
0
ˆ
Σ
Σ
Σj
0
c
nj
0

α
2
;
ν
0
donde ˆ
Σ
Σ
Σjdeno a la ma iz de a ianzas-co a ianzas pa a el j h ni el de la a iable
en e y c
0
es un ec o de coe icien es de o den 1

q e e ido a los ni eles k h y k
0
h de
la a iable in a. Como en el caso de la in e acci´on, el es ad´ıs ico
0
no se dis ibuye
exac amen e como de S uden , pe o puede ap oxima se a dicha dis ibuci´on mues al
calculando los g ados de libe ad ν
0
median e el p ocedimien o de Sa e hwai e all´ı
desc i o.
Al e na i amen e, una o ma m´as ´acil de ob ene p uebas obus as y ambi´en pode-
osas de las compa aciones m´ul iples pa a los ni eles de la a iable in a, consis e en
u iliza el manido p ocedimien o de Welch-James; pues como el lec o hab ´a epa a-
do, la ´unica modi icaci´on a lo ya dicho a ec a an s´olo a la cons ucci´on del ec o
de con as es . Pa a es e caso conc e o,
=
c
0
j

a
0
kk
0
, donde cjes un ec o de
unos de dimensi´on p

1 y akk
0
es un ec o de con as es e e ido a las di e en es
compa aciones en e los ni eles de la a iable in a cuya dimensi´on es q

1.
458

Se˜nala , po ´ul imo, que pa a la hip´o esis de igualdad de las medidas epe idas, los
esul ados emp´ı icos de Keselman y Lix (1996) ponen de elie e que el p ocedimien o
p o egido de Sha e (1986) p opo ciona un adecuado con ol de la asa de e o de
Tipo I, al iempo que se mani ies a lige amen e m´as pode oso que el es o de los
p ocedimien os es ados. Seguidamen e, amos a e ec ua una b e e desc ipci´on de
los p ocedimien os de Holm-Sha e y Hochbe g que acabamos de ese˜na a lo la go
de es e apa ado.
5.1. El p ocedimien o de Holm-Sha e
Sha e (1986) ha p opues o una e si´on m´as pode osa del p ocedimien o de echazo
secuencial desa ollado po Holm (1979). Bajo la modi icaci´on desa ollada po es a
in es igado a uno comienza o denando po angos los alo es ρasociados con el
es ad´ıs ico de la p ueba, ρ
(
1
)
6
ρ
(
2
)
6

6
ρ
(
c
)
. A con inuaci´on, el alo ρ
m´as peque˜no es compa ado con el alo c ´ı ico de Dunn, es o es, α
=
c, donde c
=
q
(
q
?
1
)
=
2 y αdeno a la asa de e o a con ola ; si ρ
(
1
)
6
α
=
cla hip´o esis nula
H
(
1
)
es echazada, de lo con a io, de enemos el p oceso y decla amos nulas odas
las hip´o esis, H
(
1
)
;
H
(
2
)
; : : : ;
H
(
c
)
. Si H
(
1
)
es echazada, p ocedemos a compa a el
siguien e alo ρm´as la go, ρ
(
2
)
, aqu´ı a di e encia del p ocedimien o de Holm, en
ez de di idi αpo el n´ume o de pa es de compa aciones es an es, c
?
1, Sha e
p opone di idi lo po el n´ume o de pa es de compa aciones que pod ´ıan se iguales,
condicionados al echazo de la hip´o esis p e ia, c

2; si ρ
(
2
)
6
α
=
c

2, la hip´o esis H
(
2
)
es echazada, en caso con a io, de enemos el p oceso. El p ocedimien o con in´ua
del modo expues o echazando Hk(k
=
1
;
2
; : : : ;
c
)
si ρ
(
k
)
6
α
=
c

k, dados k
?
1
echazos p e ios. Po ejemplo, cuando k
=
4 la di e encia en e pa es de medias
m´as la ga es p obada en e a un de e minado alo c ´ı ico
(
;
F
;
q
; : : :
)
basada en
α
=
6, pues c
=
4
(
4
?
1
)
=
2
=
6. En es a p ime a ase, an o el p ocedimien o de Holm
como el de Sha e son plenamen e coinciden es; no obs an e, en la segunda e apa
el p ocedimien o de Holm p oba ´ıa el siguien e pa de medias m´as la go basado en
α
=
5, mien as que el p ocedimien o de Sha e e i ica ´ıa dicha di e encia usando
α
=
3, pues el echazo de la p ime a hip´o esis (po ejemplo, µ1
6
=
µ4) implica que al
menos es de los es an es pa es de medias pod ´ıan a´un segui siendo iguales (po
ejemplo, µ1
=
µ2,µ1
=
µ3yµ2
=
µ3´o µ2
=
µ4,µ3
=
µ4yµ2
=
µ3). Pa a la e ce a
y cua a compa aciones m´as la gas, el p ocedimien o de Holm u iliza ´ıa α
=
4 y α
=
3,
espec i amen e; sin emba go, el p ocedimien o de Sha e emplea ´ıa α
=
3 en ambos
casos, ya que el echazo de la segunda hip´o esis (po ejemplo, µ1
6
=
µ3) implica que
un conjun o de es hip´o esis puede segui siendo e dade o (po ejemplo, µ2
=
µ4,
µ3
=
µ4yµ2
=
µ3), a su ez, el echazo de la e ce a hip´o esis (po ejemplo, µ2
6
=
µ4)
a´un pe mi i ´ıa que un conjun o de es hip´o esis pod ´ıa segui siendo e dade o (po
ejemplo, µ1
=
µ2,µ3
=
µ3yµ3
=
µ4). Finalmen e, pa a las dos ´ul imas compa aciones,
ambos p ocedimien os usa ´ıan de nue o el mismo α
0
; es o es, α
=
2 y α
=
1. En la abla
459
1 omada de Sha e (1986), se mues a la secuencia de di iso es (c

k) pa a k= 3, 4,
5, 6 y 7.
Tabla 1. N´ume o de posibles pa es de medias que pueden pe manece iguales en e k medias
con echazos.
( ) n´ume o de hip´o esis echazadas
k0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3 3 1 1
4633321
5 10 6 6 6 6 4 4 3 2 1
6 15 10 10 10 10 10 7 7 7 6 4 4 3 2 1
7 21 15 15 15 15 15 15 11 11 11 11 10 9 7 7 6 5 4 3 2 1
Sha e ha abulado el alo de c

kpa a k
=
3
; : : : ;
10.
En el mismo abajo de 1986, Sha e p opuso o a modi icaci´on del p ocedimien o
de Holm. La ´unica di e encia en e el p ocedimien o que acabamos de desc ibi
y la segunda modi icaci´on p opues a po Sha e , adica an s´olo en el empleo de
una p ueba de igualdad de medias global. Es deci , que con es a e si´on p o egida de
Sha e se p ocede a e ec ua el con as e de medias una ez e i icado que la hip´o esis
nula global es alsa. T as el echazo de la hip´o esis nula global, lo cual implica que al
menos una compa aci´on es dis in a de ce o, sin que necesa iamen e enga que ocu i
la di e encia en e un simple pa de medias, se p ocede como en el caso desc i o
pe o asumiendo el echazo de la hip´o esis m´as la ga; de es e modo, pa a el ejemplo
especi icado, si la hip´o esis nula global es echazada, la di e encia m´as la ga se ´ıa
e i icada u ilizando α
=
3, en ez de α
=
6, pa a las hip´o esis es an es p ocede ´ıamos
de un modo simila a lo dicho pa a la e si´on no p o egida. Po consiguien e, si la
hip´o esis nula global es echazada, en onces la e si´on p o egida de Sha e o ece
una mayo po encia del es es ad´ıs ico asociado con el pa de medias que di ie en
m´as en e s´ı.
Si bien la au o a a la que nos enimos e i iendo, ha abulado el alo de c

kpa a
dis in os ni eles de la a iable (k
=
3
; : : : ;
10
)
, pa a e ec ua el an´alisis de los con-
as es de la in e acci´on ecomienda u iliza la u ina que sigue: Si H
(
1
)
es echazada
u ilizando el c i e io de Dunn, α
=
c, p obamos H
(
2
)
empleando como di iso c

2, don-
de c

2
=
c
?
(
p
?
1
)(
q
?
1
)
; es o es, α
=
c

2. A su ez, si H
(
2
)
es echazada, se ija
c

k
=
c

2pa a odo 2
6
k
6
c
?
c

2
?
1 y asignamos un alo de c
?
k
+
1 pa a odo
k
>
c
?
c

2
+
1. Po ejemplo, si enemos un dise˜no ac o ial A

Bcon p
=
2 y q
=
4,
el n´ume o o al de con as es pa a la in e acci´on, c, es igual a p


q

(
p

=
p
(
p
?
1
)
=
2
yq

=
q
(
q
?
1
)
=
2
)
. As´ı pues, de acue do con la p ime a e si´on del p ocedimien o
de Sha e , pa a c
=
1
; : : : ;
6, enemos los siguien es alo es de α
0
:
460
α
0
1
=
α
c

1
=
α
6
α
0
2
=
α
c

2
=
α
3donde c

2
=
6
?
(
2
?
1
)

(
4
?
1
)
α
0
3
=
α
c

3
=
α
3pues 2
6
3
6
6
?
3
+
1
α
0
4
=
α
c

4
=
α
3pues 2
6
4
6
6
?
3
+
1
α
0
5
=
α
c

5
=
α
2ya que 2
6
5
6
6
?
3
+
1 es also. Po an o c

5
=
6
?
5
+
1
α
0
6
=
α
c

6
=
α
1ya que 2
6
6
6
6
?
3
+
1 es also. Po an o c

6
=
6
?
6
+
1
Pa a la e si´on p o egida p ocede ´ıamos del mismo modo, excep o pa a la p ime a
di e encia, donde u iliza ´ıamos α
=
3, en ez de α
=
6.
5.2. El p ocedimien o de Hochbe g (1988)
El p ocedimien o paso a paso de Hochbe g (1988) es una de las ´ecnicas secuenciales
m´as simples de cuan as exis en. Pa a implemen a es e m´e odo lo p ime o que hay
que hace es o dena po angos los di e en es alo es ρasociados con el es ad´ıs ico
u ilizado pa a p oba las hip´o esis co espondien es a los di e en es con as es; es o
es, ρ
(
1
)
6
ρ2
)
6

6
ρ
(
c
)
. Bajo es e en oque se pa e de la hip´o esis que iene
la mayo p obabilidad de se e enida a la que iene la meno , pa a ello se comienza
es ando la hip´o esis asociada con el alo ρm´as la go. Si ρ
(
c
)
6
α, echazamos
odas las hip´o esis y de enemos el p oceso; po el con a io, si ρ
(
c
)
>
α, e ene-
mos H
(
c
)
y p ocedemos a p oba H
(
c
?
1
)
. Si ρ
(
c
?
1
)
6
α
=
2, adem´as de la hip´o esis
implicada echazamos odas las dem´as; en caso con a io, H
(
c
?
1
)
es e enida. A con i-
nuaci´on, ρ
(
c
?
2
)
es compa ado con α
=
3, y as´ı se con in´ua el p oceso has a que alguna
hip´o esis esul e echazada. De se e enidas odas las hip´o esis el p oceso se inaliza
compa ando ρ
(
1
)
con α
=
c.
6. A MODO DE CONCLUSI ´
ON
En el p esen e abajo se ponen de elie e algunos de los p oblemas m´as impo an es
a los que ienen que en en a se los in es igado es que usan los dise˜nos de medidas
epe idas, en especial, cuando no se sa is ace el supues o de es e icidad mul imues al
y el n´ume o de unidades expe imen ales a ´ıa a lo la go de los di e en es g upos de
461
los que cons a la a iable de a amien o. A su ez, a lo la go del mismo se desc iben
con cie o g ado de de alle a ias p uebas que se hallan disponibles ac ualmen e, y
cuya u ilizaci´on pe mi i ´ıa a los in es igado es sol en a muchos de los p oblemas a
los que i emediablemen e les conducen los es ad´ıs icos u ilizados adicionalmen e
en es as ci cuns ancias. Espec´ı icamen e, mos amos c´omo aplica el en oque Welch-
James pa a p oba hip´o esis elacionadas con los e ec os de los dise˜nos uni a iados
y mul i a iados de medidas epe idas. Pa a log a es e come ido se hace un ´en asis
especial en la posibilidad de que la in e acci´on esul e signi ica i a, aspec o ´es e que
a pesa de esul a de capi al impo ancia, pasa desape cibido pa a la mayo ´ıa de los
in es igado es; as´ı como, en la o ma de lle a a cabo in e encias pa a de e mina los
con as es esponsables de las di e encias ob enidas en los e ec os del dise˜no.
Con odo, y a pesa de o ece un amplio abanico de posibilidades de aplicaci´on, el
en oque Welch-James no es la panacea. En conc e o, pa a da os dis ibuidos no -
malmen e su obus ez se a de e io ando a medida que la az´on en e el ama˜no del
g upo m´as peque˜no y el n´ume o de medidas epe idas menos uno es in e io a 1.7 ´o 2,
cuando se p ueban hip´o esis e e idas a los e ec os p incipales y a 3 ´o 4, pa a el caso
e e ido a la in e acci´on. Ob iamen e, cuando los da os se apa an de la no malidad
el de e io o de la obus ez de es e en oque se deja sen i pa a azones in e io es a 3 ´o
4, en el caso de los e ec os p incipales y pa a azones in e io es a 5 ´o 6, pa a el caso
de la in e acci´on.
Finalmen e, concluimos ese˜nando que cuando un in es igado se encuen e inme so
en alguna si uaci´on en las que se incumpla el supues o de es e icidad mul imues al, los
da os es ´en mues eados desde dis ibuciones p obablemen e sesgadas y el ama˜no de
los g upos sea educido, lo mejo que puede hace es educi su ni el de signi icaci´on,
o bien u iliza alguno de los o os en oques desc i o en es e a ´ıculo. Sob e mane a,
si se iene en cuen a que en es as ci cus ancias los es udios de simulaci´on lle ados a
cabo po Algina y Oshima (1995) ponen de elie e que an o el p ocedimien o IGA,
como CIGA, p opo cionan un mejo con ol de la p obabilidad de come e un e o
de Tipo I pa a los e ec os p incipales, que el en oque Welch-James. En lo que a
la in e acci´on se e ie e, los abajos de Algina y Oshima (1994) y de Keselman e
al. (1993), sugie en la necesidad de segui desa ollando p uebas al e na i as. Po
ejemplo, una candida a po encial pod ´ıa se la e si´on gene alizada de la p ueba de
B own y Fo sy he (1974).
7. AGRADECIMIENTOS
El au o desea deja cons ancia p´ublica de su ag adecimien o al e aluado an´onimo,
pues la nue a e si´on del abajo se bene icia, an o de sus enjundiosos comen a ios
como de sus ace adas suge encias.
462
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S a is ics».Communica ion
in S a is ics-Simula ion and Compu a ion,15, 933-943.
465
ENGLISH SUMMARY
SOME APPROXIMATE SOLUTIONS FOR
SPLIT-PLOT DESIGNS WITH ARBITRARY
COVARIANCE MATRICES
G. VALLEJO SECO
J.R. ESCUDERO GARC´
IA
Uni e sidad de O iedo

This pape desc ibes in some de ail al e na i e ypes o analyses o unba-
lanced spli -plo designs when he assump ion o mul isample sphe ici y is
iola ed. Speci ically, by adap ing a mul i a ia e app oxima e deg ees o
eedom app oach de eloped by Johansen (1980) and a e ised imp o ed
gene al app oxima ion p ocedu e based on Huynh (1978) i is shown how
o ob ain obus and powe ul analysis o es wi hin-subjec s main e ec
and he be ween x wi hin in e ac ion, as well as mul iple compa isonhypo-
heses ela ed o hese e ec s, so much i is coun ed wi h a single dependen
a iable associa ed wi h each epea ed measu emen as i is coun ed wi h
mul iple dependen a iables.
Keywo ds: Mul i a ia e epea ed measu es designs, mul isample sphe i-
ci y, weigh ed and unweigh ed means, obus and powe ul
p ocedu es.
AMS Classi ica ion: 62K10, 62J1
*Depa amen o de Psicolog´ıa. Uni e sidad de O iedo. Plaza Feijoo, s/n. 33003 O iedo.
e-mail:g allej[email p o ec ed].unio i.es.
–Recei ed Decembe 1996.
–Accep ed May 1998.
466
The design o epea ed measu es is equen ly used in he in es iga ions ca ied ou
in social, beha io al and heal h sciences. I he ollowing assump ions a e me :
mul i a ia e no mali y, homogenei y o dispe sion ma ices, equali y o he a iances
co esponding o he di e ences be ween epea ed measu es (ci cula i y o sphe ici y
assump ion) and independence among he obse a ions, hese designs ha e been a-
di ionally analyzed by means o Sche ´e’s (1956) uni a ia e mixed model. In his
model, subjec s (blocks) a e andom and ea men s a e ixed.
I he sphe ici y assump ion is no me , which happens in mos psychological da a,
he in es iga o has wo op ions o analyze. On one hand, you can use an uni a ia e
mixed model wi h he deg ees o eedom adjus ed by means o some o he nume ous
exis en Box ype co ec o s (Lecou e, 1991) and, on he o he hand, a mul i a ia e
model. This las app oach has he ad an age o allowing ha he a iance-co a iance
ma ix adop any s uc u e., Al hough i equi es, in addi ion he accomplishmen o
he assump ions o mul i a ia e no mali y and homogenei y o co a iance, ha he
numbe o expe imen al uni s be bigge , o a leas he same as he one o epea ed
measu es. I he exposed condi ions a e sa is ied, po ency is used o he elec ion
o he uni a ia e app oach wi h he co ec ed deg ees o eedom o he mul i a ia e
app oach. Fo example, Da idson (1972) demons a es ha wi h mode a e sample
sizes and he co a iance ma ix ligh ly de ia ed o he equi ed sphe ici y pa e n, he
uni a ia e mixed model is always mo e powe ul han he co esponding mul i a ia e
app oach. The si ua ion is g adually in e ed as he dispe sion ma ix de ia es o he
equi ed sphe ici y pa e n.
When he mul isample sphe ici y assump ion is iola ed and g oup sizes is unequal,
se e al in es iga o s (Belli, 1988; Huynh and Feld , 1976, Keselman, Ca ie e and
Lix, 1993) wonde i bo h p ocedu es a e obus , mainly, i he numbe o expe imen al
uni s di e s om a g oup o ano he o he design. To deal wi h he speci ied p oblem,
along he p esen wo k di e en p ocedu es a e desc ibed. Speci ically, we show how
o apply he Welch-James app oach o p o e hypo hesis ela ed wi h wi hin-subjec s
main e ec and he be ween xwi hin in e ac ion, so much o spli -plo designs
con aining a single dependen a iable as o spli -plo designs con aining mul iples
dependen a iables. To achie e his, a special emphasis is made in he wo ollowing
aspec s:
a) In he hypo hesis es ing depending on he model (addi i e o in e ac i e). Al-
hough in p esence o in e ac ion analy ic s a egy should be di e en om ha
when i is no p esen , mos o in es iga o s do no ealize his ques ion and in
ac almos all o hem es ing hei hypo heses acco ding o he pos ula es o an
addi i e model.
b) In he o m o accomplish in e ences o de e mine he con as s esponsible o
he di e ences ob ained be ween he le els and combina ions o le els o he un-
balanced pa ially epea ed measu es designs in ol ing he e ogeneous co a iance
467