Algunas soluciones aproximadas para diseños split-plot con matrices de covarianza arbitrarias

Q¨ UESTII ´ O, ol. 22, 3, p. 443-468, 1998 ALGUNAS SOLUCIONES APROXIMADAS PARA DISE˜ NOS SPLIT-PLOT CON MATRICES DE COVARIANZA ARBITRARIAS G. VALLEJO SECO J.R. ESCUDERO GARC´ IA Uni e sidad de O iedo  El p esen e abajo e isa con cie o de alle di e sos ipos de an´ alisis pa a dise˜ nos spli -plo que ca ecen del mismo n´ ume o de unidades expe imen- ales den o de cada g upo y en los que se incumple con el supues o de es e icidad mul imues al. Espec´ ı icamen e, adap ando el en oque mul i- a iado de ap oxima los g ados de libe ad desa ollado po Johansen (1980) y el p ocedimien o de la ap oximaci´ on gene al mejo ada co egi- da basado en Huynh (1980) se mues a c´ omo ob ene an´ alisis obus os y pode osos a la ho a de p oba los e ec os p incipales y la in e acci´ on, as´ ı comohip´ o esisde compa acionesm´ ul iples elacionadascon es os e ec os, an o si se cuen a con una simple a iable dependien e asociada con cada una de las medidas epe idas como si se cuen a con m´ as de una. Some app oxima e solu ions o spli -plo designs wi h a bi a y co a- iance ma ices. Palab as cla e: Dise˜nos mul i a iados de medidas epe idas, es e icidad mul imues al, medias ponde adas y noponde adas, p o- cedimien os obus os y pode osos. Clasi icaci´ on AMS: 62K10, 62J1 *Depa amen o de Psicolog´ıa. Uni e sidad de O iedo. Plaza Feijoo, s/n. 33003 O iedo. e-mail:g allej[email p o ec ed].unio i.es. –Recibido en diciemb e de 1996. –Acep ado en mayo de 1998. 443 1. INTRODUCCI ´ ON En las Ciencias del Compo amien o y campos me odol´ogicos a ines des aca el im- pulso que a lo la go de los ´ul imos a˜nos ha ecibido el empleo de los dise˜nos de medidas epe idas y, sob emane a, los dise˜nos spli -plo o dise˜nos que implican ani- da las unidades expe imen ales espec o a los ni eles de una o m´as a iables y c uza los espec o a los ni eles de o a u o as. Bajo el cumplimien o de los supues- os de no malidad conjun a mul i a iada, homogeneidad de las ma ices de dispe si´on e igualdad de las a ianzas co espondien es a las di e encias en e las di e en es me- didas epe idas, dichos dise˜nos han sido analizados adicionalmen e po medio del modelo mix o uni a iado de Sche ´e (1956). A su ez, cuando se incumple alguno de los dos ´ul imos supues os, e inclusi e ambos a la ez, lo usual es hace uso, an- o del en oque uni a iado con los g ados de libe ad co egidos como del en oque mul i a iado; sob e odo, eniendo en cuen a que si el dise˜no es ´a equilib ado, ambos en oques son ela i amen e obus os a la iolaci´on de los supues os e e idos (Huynh, 1978; Keselman y Keselman, 1990; Keselman, Lix y Keselman, 1993; Rogan, Kesel- man y Mendoza, 1978). En es os casos, la elecci´on en e el en oque uni a iado con los g ados de libe ad ajus ados o el en oque mul i a iado descansa, am´en de o as cues iones, en conside aciones de po encia (Da idson, 1972). Po ejemplo, asumiendo que disponemos de mode ados ama˜nos de mues a, lige as des iaciones en el pa ´on de es e icidad conlle an una mayo po encia del en oque uni a iado que del mul i a- iado co espondien e; po el con a io, la si uaci´on se a in i iendo paula inamen e a medida que nos des iamos del pa ´on de es e icidad eque ido. Sin emba go, como ha sido pues o de elie e en di e sos abajos de simulaci´on, ambos en oques anal´ı icos dejan de se obus os cuando el dise˜no ca ece del equilib io adecuado y las ma ices de a ianzas y co a ianzas poblacionales no son combinables po se he e og´eneas. En conc e o, Keselman (1993) encuen a que el p ocedimien o de ajus a los g ados de libe ad po el alo de la des iaci´on del pa ´on de es e icidad p oduce un sesgo conside able a la ho a de e i ica las hip´o esis co espondien es a los e ec os p incipales de la pa e in a del dise˜no. Po su pa e, Timm (1975) nos dice que o o an o ocu e con la signi icaci´on de dichos e ec os cuando se con as an median e el en oque mul i a iado. Finalmen e, ampoco con iene pasa po al o que di e sos au o es (Belli, 1988; Huynh y Feld , 1976; Keselman e al., 1993) han descubie o que las asas de e o de Tipo I conce nien es a la in e acci´on ambi´en se encuen an se iamen e dis o sionadas bajo ambos en oques. As´ı pues, cuando el dise˜no de medidas pa cialmen e epe idas no es ´e adecuadamen e balanceado y el supues o de homogeneidad de las ma ices de dispe si´on se incumpla, con iene se muy cuidadosos an o con las in e encias ealizadas en elaci´on con la igualdad de las espues as dadas a lo la go del iempo, como con las in e encias e e idas a la hip´o esis que especi ica que las di e encias en e los g upos no dependen de las condiciones de obse aci´on conside adas; ya que como se ha esal ado, ´es as descansan, en buena 444 medida, en el cumplimien o del susodicho supues o. Como des aca Wilcox (1987), las p uebas pa am´e icas con encionales basadas en las dis ibuciones o F pueden esul a se iamen e a ec adas cuando la homogeneidad de las a ianzas no se sa is ace, sob e odo, cuando el n´ume o de unidades expe imen ales di ie e de un g upo a o o. En es os casos, las p uebas es ad´ıs icas cl´asicas se pueden con e i , bien en excesi amen e conse ado as, o bien en excesi amen e libe ales, con asas de e o de Tipo I po debajo del 0.01 ´o po encima del 0.70 pa a un ni el de signi icaci´on nominal del 0.05 (Keselman y Keselman, 1988; Milligan, Wong y Thompson, 1987; Wilcox, Cha lin y Thompson, 1986). Pa a abo da el p oblema especi icado se han in en ado a ios emedios, no obs an e, la soluci´on m´as habi ual consis e en hace uso del a eglo Beh ens-Fishe y en ap oxima los g ados de libe ad median e el p ocedimien o de Welch (1938, 1947, 1951). Dicha soluci´on ue aplicada inicialmen e po Welch a los dise˜nos de dos o m´as g upos al aza , y muchos a˜nos despu´es, Algina y Olejnik (1994) la han ex endido a los dise˜nos ac o iales, mien as que Keselman, Ca ie e y Lix (1993, 1995) lo han implemen ado en el ´ambi o de los dise˜nos de medidas epe idas y en el ´ambi o de los dise˜nos ac o iales no o ogonales; odo ello al ampa o de la e si´on gene alizada que del p ocedimien o de Welch y de la pos e io mejo a de James (1951,1954) ealiz´o Johansen en 1980. En el con ex o de los dise˜nos de medidas epe idas o o de los emedios disponibles, y a juicio de Algina (1994) y Algina y Oshima (1994, 1995) muy ecomendable, es el en oque de la ap oximaci´on gene al de Huynh (1978), as´ı como subsiguien es modi icaciones e ec uadas en el mismo. 2. EL ENFOQUE DE WELCH-JAMES Po lo que se e ie e a la p ime a soluci´on o en oque de la ap oximaci´on mul i a iada de los g ados de libe ad desa ollado po Johansen (1980), en adelan e en oque de Welch-James, esal a que los descub imien os emp´ı icos encon ados a lo la go de los ´ul imos a˜nos en el con ex o de los dise˜nos uni a iados ponen de elie e la obus ez de es e en oque a la ho a de p oba si exis en di e encias en e las medias de dos o m´as poblaciones cuando las a ianzas son he e og´eneas y el n´ume o de unidades expe imen ales di ie e de un g upo a o o. M´as a´un, la po encia de es e en oque esul a compa able a la po encia encon ada as aplica las p uebas cl´asicas de oFcuando el supues o de homogeneidad de las a ianzas es sa is echo (Ro h, 1983; B own y Fo sy he, 1974; Hsiung y Olejnik, 1994b, Wilcox e al., 1986) y, po supues o, mucho m´as pode oso que ´es as cuando, an o el ama˜no de los g upos como el ama˜no de las a ianzas di ie e sus ancialmen e. No obs an e, con iene ma iza que el en oque Welch-James no man iene inal e able su obus ez a lo la go de odas las si uaciones. En conc e o, cuando exis e una co elaci´on nega i a en e el ama˜no de los g upos y el ama˜no de las a ianzas (la a ianza m´as 445 g ande acon ece en el g upo de meno ama˜no, o ice e sa) y los da os p esen an un sesgo ap eciable, el en oque bajo conside aci´on no con ola la asa de e o de Tipo I al ni el nominal a. Cuando se egis a m´as de una a iable dependien e o a las unidades expe imen ales se las mide en m´as de una ocasi´on, la asa de e o de Tipo I ambi´en puede llega a se conside able si la az´on en e el ama˜no de los g upos y el n´ume o de a iables dependien es o bien el n´ume o de medidas epe idas es peque˜na, las ma ices de a ianzas y co a ianzas son he e og´eneas y los da os no se acomodan a una dis ibuci´on no mal mul i a iada. En las dem´as si uaciones el en oque de Welch-James p opo ciona un adecuado g ado de con ol de la asa de e o de Tipo I; pos e io men e e ec ua emos alg´un comen a io adicional sob e es a cues i´on. Con odo, no con iene deja sin acla a que el es o de las ´ecnicas, an o si son de na u aleza pa am´e ica como de na u aleza no pa am´e ica, pa icipan de las mismas debilidades y o ecen un g ado de gene alizaci´on mucho m´as es ingido que el en oque bajo conside aci´on. Seguidamen e, se expone la modelizaci´on del en oque Welch-James en el ´ambi o de los dise˜nos spli -plo . Pa a ello, inicialmen e, nos ce˜ni emos al caso en que las q ( k ; : : : ; q ) espues as ecogidas a pa i de las n ( i ; : : : ; n ) unidades mues ales independien es es ´en ag upadas de acue do con los p ( j ; : : : ; p ) ni eles de una a iable de clasi icaci´on. Pa a una si uaci´on como la desc i a, el modelo lineal gene al con N unidades expe imen ales puede esc ibi se como sigue: Y = XB + E donde Yes una ma iz de espues as de o den N  q,Xes la ma iz de dise˜no de ango pleno de o den N  p,Bes una ma iz de pa ´ame os no alea o ios de o den p  qyEes una ma iz de e o es alea o ios de o den N  q. Si deno amos po ε 0 i ( εij1 ; : : : ; εijk ) el ec o de e o es alea o ios co espondien e a la unidad i h, se asume que cada sub ec o de e o es es Nq ( 0 ; Σ Σ Σj ) . El hecho de que la o ma de Σ Σ Σjdependa de jindica que odos los ec o es de e o es alea o ios no ienen la misma ma iz de a ianzas y co a ianzas, Σ Σ Σ, lo que implica que las ma ices no son combinables. En ´e minos sus an i os las hip´o esis de in e ´es del dise˜no spli -plo o dise˜no de medidas pa cialmen e epe idas son las siguien es: 1. ¿Exis e in e acci´on en e las a iables en e e in a del dise˜no? 2. ¿Di ie en en e s´ı los di e en es g upos de a amien o? 3. ¿Tienen odas las espues as el mismo e ec o? Pa a con as a dichas hip´o esis ha emos dos cosas: Po un lado, u iliza emos la p ueba es ad´ıs ica de Welch-James, la cual, de acue do con Johansen (1980), puede exp esa se como sigue: TW ? J = ( Ry ) 0 ( RPR 0 ) ? 1 ( Ry ) 446 donde yes un ec o de o den pq  1 ob enido as conca ena e icalmen e las medias de yj,R ( R = C 0  A 0 ) es una ma iz de con as es cuyo o den depende de la hip´o esis que es emos p obando y Pes una ma iz diagonal de bloques de o den pq  pq con el j h bloque igual a ˆ Σj  nj ( ˆ Σ1  n1 ; : : : ; ˆ Σp  np ) . Seg´un Johansen (1980, p.86), el es ad´ıs ico TW ? Jdi idido po una cons an e, c, se dis ibuye ap oximadamen e como el es ad´ıs ico Fcon g ados de libe ad ν1( ango de la ma iz R) y ν2 = ν1 ( ν1 + 2 )  3A. Las cons an es cyA alen, espec i amen e c = ν1 + 2A ? ( 6A ) ( ν1 + 2 ) y A = 1 2 p ∑ j = 1  h PR 0 ( RPR 0 ) ? 1RQj i 2 + h ( PR 0 ( RPR 0 ) ? 1RQj i 2  . ( nj ? 1 ) donde deno a el ope ado aza y Qjes una ma iz diagonal de bloques de o den pq  pq con el j h bloque igual a una ma iz de iden idad de o den q  qy el es o ce os. Po o o lado, exp esa emos odas las hip´o esis expues as an e io men e median e una adecuada elecci´on de la ma iz de con as es Ry ambi´en en ´e minos de los pa ´ame os de la ma iz Bque sigue: B = 0 B @ µ11 µ12 ::: µ1q µ21 µ22 ::: µ2q µp1µp2 ::: µpq 1 C A Conc e ando a´un m´as, la hip´o esis nula que a i ma que las di e encias en e los ni- eles de la a iable de a amien o no dependen de los ni eles de la a iable in a conside ados, iene dada po H01: 0 B @ µ11 ? µ12    µ1 ; q ? 1 ? µ1q 1 C A =  = 0 B @ µp1 ? µp2  µp ; q1 ? µpq 1 C A o, bien H01:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  A 0 es una ma iz de o den ( p ? 1 ) ( q ? 1 )  pq,C 0 es una ma iz de coe icien es de o den ( p ? 1 )  pque de e mina los elemen os de µa inclui en la hip´o esis nula, Aes una ma iz de o den q  ( q ? 1 ) p opia de las si uaciones mul i- a iadas que pe mi e gene a hip´o esis en e los di e en es pa ´ame os de espues a, µ 447 es un ec o de pa ´ame os de o den pq  1 y 0es un ec o nulo de cuyo o den es pq  1. Las ma ices C 0 yAadop an la o ma que sigue: C 0 = 0 B B B B @ 1 0 ::: 0 ? 1 0 1 ::: 0 ? 1 ::::::::::::::: 0 0 ::: 1 ? 1 1 C C C C A ;A = 0 B B B B B B @ 1 0 ::: 0 0 1 ::: 0 :::::::::::::::: 0 0 ::: 1 ? 1 ? 1 ::: ? 1 1 C C C C C C A La H01se echaza al ni el αsi TW ? J  c > Fα;ν1 ; ν2 ( ν1 = p ? 1  q ? 1 ) donde TW ? J  c  F ( ν1 ; ν2 ) . De esul a la in e acci´on signi ica i a la hip´o esis nula de ausencia de di e encias en e los g upos iene dada po H02: 0 B B B B @ µ11 µ12 . . . µ1q 1 C C C C A = 0 B B B B @ µ21 µ22 . . . µ2q 1 C C C C A =  = 0 B B B B @ µp1 µp2 . . . µpq 1 C C C C A o, simplemen e H02:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  A 0 es una ma iz de o den ( p ? 1 ) q  pq,C 0 iene la misma o ma que en el caso an e io y Aes una ma iz de iden idad de o den q  q. En ausencia de in e acci´on la hip´o esis nula de igualdad de los g upos se educe a: H  02:q ∑ k = 1 µ1k = q = q ∑ k = 1 µ2k = q =  = q ∑ k = 1 µpq = q o, bien H  02:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  a 0 es una ma iz de o den ( p ? 1 )  pq,C 0 man iene la o ma aludida yaes un ec o de unos de o den q  1. En ambos casos la hip´o esis nula e e ida a los ni eles de la a iable en e se echaza al ni el αsi TW ? J  c > Fα;ν1 ; ν2 448 Finalmen e, la hip´o esis nula de igualdad de las espues as u ocasiones de obse aci´on ambi´en puede abo da se eniendo en cuen a la signi icaci´on o no de la in e acci´on. En el p ime caso, dicha hip´o esis puede exp esa se como: H03: 0 B B B B @ µ11 µ21 . . . µp1 1 C C C C A = 0 B B B B @ µ12 µ22 . . . µp2 1 C C C C A =  0 B B B B @ µ1q µ2q . . . µpq 1 C C C C A o, simplemen e H0:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  A 0 es una ma iz de o den p ( q ? 1 )  pq,C 0 es una ma iz de iden idad de o den p  pyAes una ma iz de con as es de o den q  ( q ? 1 ) . En el segundo caso, es o es, de no exis i in e acci´on la hip´o esis de igualdad de las espues as iene dada po H  03:p ∑ j = 1µj1 = p = p ∑ j = 1µj2 = p =  = p ∑ j = 1µjq = p o, bien H  03:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  A 0 es una ma iz de o den ( q ? 1 )  pq,c 0 es un ec o de unos de o den 1  pyAes una ma iz de con as es de o den q  ( q ? 1 ) . Bajo cualquie a de las dos si uaciones especi icadas, la hip´o esis nula e e ida a la igualdad de los ni eles de la a iable in a se echaza al ni el αsi TW ? J = c > Fα;ν1 ; ν2 donde TW ? J = c  F ( ν1 ; ν2 ) . An es de conclui con es e apa ado con iene ad e i que el en oque desc i o s´olo pe mi e p oba la hip´o esis nula de igualdad de las espues as conce nien e a medias no ponde adas. El in es igado in e esado en p oba la hip´o esis nula e e ida a medias ponde adas puede u iliza la soluci´on mul i a iada que del p oblema Beh ens-Fishe nos o ecen Nel y an de Me we (1986). 3. EXTENSI ´ ON DEL ENFOQUE WELCH-JAMES A SITUACIONES MULTIVARIADAS Con las modi icaciones opo unas de las ma ices C 0 yApuede maneja se cualquie ipo de dise˜no que implique medidas epe idas y que u ilice una sola a iable depen- 449 dien e. Sin emba go, a nadie se le escapa que exis en bas an es si uaciones que si bien se acomodan a un dise˜no de medidas epe idas, ´es as son esencialmen e de na u aleza mul i a iada. Consid´e ese el dise˜no mul i a iado de medidas pa cialmen e epe idas esquema izado en la igu a 1 omada de Vallejo y Men´endez (1997), en el cual hay un ac o de ag upamien o p ( j = 1 ; : : : ; p ) , un ac o de obse aciones epe idas q ( k = 1 ; : : : ; q ) y las espues as dadas po el i h suje o a lo la go de qmedidas epe idas bajo cada una de las a iables de medida. De es e modo, bajo es a disposici´on las qp ime as columnas co esponden a la p ime a a iable dependien e, las qsegundas a la segunda a iable dependien e y las q ? ´esimas la h a iable dependien e. T a . Suj. VD1VD2VD AjSiy 0 ij1 = h y ( 1 ) ij1y ( 2 ) ij1 : : : y ( q ) ij1 i y 0 ij2 = h y ( 1 ) ij2y ( 2 ) ij2 ::: y ( q ) ij2 i ::: y 0 ij = h y ( 1 ) ij y ( 2 ) ij ::: y ( q ) ij i Figu a 1. Disposici´on de los da os del dise˜no mul i a iado de medidas pa cialmen e epe idas. Pa a un dise˜no como el esquema izado el modelo lineal mul i a iado con N unidades expe imen ales puede se esc i o como sigue: Y = XB + E donde Y = N  q es la ma iz de espues as, B = p  q es la ma iz de pa ´ame os, X = N  pes la ma iz de dise˜no de ango pleno y E = N  q es la ma iz de e o es alea o ios. Si deno amos po ε 0 i = 1  q el ec o de e o es alea o ios co espondien e al suje o i h, es asumido que: ε ε ε 0 i  N ( 0 ; Σ Σ Σj ) donde la ma iz de co a ianzas Σj = q  q es una ma iz de inida posi i a. El hecho de que la o ma Σdependa de la poblaci´on de la que se hayan ex a´ıdo las njunidades, supone que no odos los ec o es de e o es alea o ios ε ienen la misma ma iz Σy, po ende, son ma ices he e osced´as icas. Bajo es a nue a si uaci´on, la cons ucci´on de la ma iz Rpa a p oba las hip´o esis del modelo es algo m´as complicada; no obs an e, al come ido se puede maneja ela i a- men e bien si se p osigue con una no aci´on simila a la u ilizada en el caso uni a iado. Pa a ilus a lo dicho se comienza p obando la hip´o esis nula que especi ica que las di e encias en e los g upos no dependen de las condiciones de obse aci´on consi- de adas en el conjun o de las a iables dependien es examinadas simul ´aneamen e, 450 es o es H01: 0 B B B B B B B B @ µ ( 1 ) 11 ? µ ( 1 ) 12 . . . µ ( 2 ) 1q ? 1 ? µ ( 2 ) 1q . . . µ ( ) 1q ? 1 ? µ ( ) 1q 1 C C C C C C C C A = 0 B B B B B B B B @ µ ( 1 ) 21 ? µ ( 1 ) 22 . . . µ ( 2 ) 2q ? 1 ? µ ( 2 ) 2q . . . µ ( ) 2q ? 1 ? µ ( ) 2q 1 C C C C C C C C A =  = 0 B B B B B B B B @ µ ( 1 ) p1 ? µ ( 1 ) p2 . . . µ ( 2 ) pq ? 1 ? µ ( 2 ) pq . . . µ ( ) pq ? 1 ? µ ( ) pq 1 C C C C C C C C A o, bien H01:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  ( Aq  I ) 0 es una ma iz de o den ( p ? 1 )( q ? 1 )  pq ,C 0 es una ma iz de coe icien es de o den ( p ? 1 )  pque de e mina los elemen os de µa inclui en la hip´o esis nula, Aes una ma iz de coe icien es de o den q  ( q ? 1 ) que nos pe mi e gene a hip´o esis en e los di e en es ni eles de la a iable in a, I es una ma iz de iden idad de o den  yµes un ec o de pa ´ame os de o den pq  1. La H01se echaza al ni el αsi TW ? J = c > Fα;ν1 ; ν2 [ ν1 = ( p ? 1 )( q ? 1 ) ] donde TW ? J = c  F ( ν1 ; ν2 ) . El c´alculo de los g ados de libe ad co espondien es al e o se e ec ´ua igual que en el caso uni a iado desc i o con an e io idad. La ausencia de di e encias en e los g upos puede se abo dada desde un doble pun o de is a en unci´on de que la in e acci´on sea o no sea signi icaci´on. En el p ime caso, H02: 0 B B B B B B B B B B @ µ ( 1 ) 11 µ ( 1 ) 12 . . . µ ( 1 ) 1q . . . µ ( ) 1q 1 C C C C C C C C C C A = 0 B B B B B B B B B B @ µ ( 1 ) 21 µ ( 1 ) 22 . . . µ ( 1 ) 2q . . . µ ( ) 2q 1 C C C C C C C C C C A =  = 0 B B B B B B B B B B @ µ ( 1 ) p1 µ ( 1 ) p2 . . . µ ( 1 ) pq . . . µ ( ) pq 1 C C C C C C C C C C A o, al e na i amen e H02:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  ( Aq  I ) es una ma iz de o den ( p ? 1 ) q  pq ,C 0 iene la misma o ma que en el caso an e io , AqeI son ma ices de iden idad de o den q  qy  , espec i amen e. 451 donde c 0 jj 0 ya 0 kk 0 son ec o es de coe icien es que con as an los ni eles de las a iables en e e in a, espec i amen e. A pa i de aqu´ı, al in es igado s´olo le es a u iliza alguno de los nume osos p o- cedimien os que exis en pa a e ec ua compa aciones de medias, y que le pe mi a man ene la asa de e o de Tipo I con olada al ni el nominal pa a odas las compa- aciones que componen la amilia de con as es de la in e acci´on. Pues bien, sendos abajos de simulaci´on lle ados a cabo po Keselman y Lix (1996) y Lix y Keselman (1996), ponen de elie e que an o el p ocedimien o secuencial de a iba-abajo de Holm (1979) y modi icado po Sha e (1986), como el p ocedimien o de abajo-a iba de Hochbe g (1988) con olan adecuadamen e la asa de e o de Tipo I pa a los con- as es de la in e acci´on en dise˜nos con ca ac e ´ıs icas simila es a las aqu´ı aludidas; es o es, dise˜nos de medidas pa cialmen e epe idas con ma ices de a ianzas y co a- ianzas he e og´eneas y desigual n´ume o de unidades expe imen ales den o de cada g upo. A su ez, pa a con as a las hip´o esis e e idas a las compa aciones m´ul iples e ec ua- das en e los ni eles de la a iable in a suje o cuando el dise˜no, adem´as de ene un n´ume o a bi a io de suje os den o de cada g upo, no sa is ace el supues o de es e i- cidad mul imues al, ambi´en con iene u iliza alg´un es ad´ıs ico que pe mi a calcula el e o es ´anda a pa i de los da os implicados en el con as e de in e ´es. Una o - ma de alcanza dicho obje i o consis e en u iliza el es ad´ıs ico 0 con enien emen e adap ado a es a si uaci´on como sigue: 0 Ψ = ? Y :: k ? Y :: k 0  s c 0 ˆ Σ Σ Σjc nj + c 0 ˆ Σ Σ Σj 0 c nj 0  α 2 ; ν 0 donde ˆ Σ Σ Σjdeno a la ma iz de a ianzas-co a ianzas pa a el j h ni el de la a iable en e y c 0 es un ec o de coe icien es de o den 1  q e e ido a los ni eles k h y k 0 h de la a iable in a. Como en el caso de la in e acci´on, el es ad´ıs ico 0 no se dis ibuye exac amen e como de S uden , pe o puede ap oxima se a dicha dis ibuci´on mues al calculando los g ados de libe ad ν 0 median e el p ocedimien o de Sa e hwai e all´ı desc i o. Al e na i amen e, una o ma m´as ´acil de ob ene p uebas obus as y ambi´en pode- osas de las compa aciones m´ul iples pa a los ni eles de la a iable in a, consis e en u iliza el manido p ocedimien o de Welch-James; pues como el lec o hab ´a epa a- do, la ´unica modi icaci´on a lo ya dicho a ec a an s´olo a la cons ucci´on del ec o de con as es . Pa a es e caso conc e o, = c 0 j  a 0 kk 0 , donde cjes un ec o de unos de dimensi´on p  1 y akk 0 es un ec o de con as es e e ido a las di e en es compa aciones en e los ni eles de la a iable in a cuya dimensi´on es q  1. 458 Se˜nala , po ´ul imo, que pa a la hip´o esis de igualdad de las medidas epe idas, los esul ados emp´ı icos de Keselman y Lix (1996) ponen de elie e que el p ocedimien o p o egido de Sha e (1986) p opo ciona un adecuado con ol de la asa de e o de Tipo I, al iempo que se mani ies a lige amen e m´as pode oso que el es o de los p ocedimien os es ados. Seguidamen e, amos a e ec ua una b e e desc ipci´on de los p ocedimien os de Holm-Sha e y Hochbe g que acabamos de ese˜na a lo la go de es e apa ado. 5.1. El p ocedimien o de Holm-Sha e Sha e (1986) ha p opues o una e si´on m´as pode osa del p ocedimien o de echazo secuencial desa ollado po Holm (1979). Bajo la modi icaci´on desa ollada po es a in es igado a uno comienza o denando po angos los alo es ρasociados con el es ad´ıs ico de la p ueba, ρ ( 1 ) 6 ρ ( 2 ) 6  6 ρ ( c ) . A con inuaci´on, el alo ρ m´as peque˜no es compa ado con el alo c ´ı ico de Dunn, es o es, α = c, donde c = q ( q ? 1 ) = 2 y αdeno a la asa de e o a con ola ; si ρ ( 1 ) 6 α = cla hip´o esis nula H ( 1 ) es echazada, de lo con a io, de enemos el p oceso y decla amos nulas odas las hip´o esis, H ( 1 ) ; H ( 2 ) ; : : : ; H ( c ) . Si H ( 1 ) es echazada, p ocedemos a compa a el siguien e alo ρm´as la go, ρ ( 2 ) , aqu´ı a di e encia del p ocedimien o de Holm, en ez de di idi αpo el n´ume o de pa es de compa aciones es an es, c ? 1, Sha e p opone di idi lo po el n´ume o de pa es de compa aciones que pod ´ıan se iguales, condicionados al echazo de la hip´o esis p e ia, c  2; si ρ ( 2 ) 6 α = c  2, la hip´o esis H ( 2 ) es echazada, en caso con a io, de enemos el p oceso. El p ocedimien o con in´ua del modo expues o echazando Hk(k = 1 ; 2 ; : : : ; c ) si ρ ( k ) 6 α = c  k, dados k ? 1 echazos p e ios. Po ejemplo, cuando k = 4 la di e encia en e pa es de medias m´as la ga es p obada en e a un de e minado alo c ´ı ico ( ; F ; q ; : : : ) basada en α = 6, pues c = 4 ( 4 ? 1 ) = 2 = 6. En es a p ime a ase, an o el p ocedimien o de Holm como el de Sha e son plenamen e coinciden es; no obs an e, en la segunda e apa el p ocedimien o de Holm p oba ´ıa el siguien e pa de medias m´as la go basado en α = 5, mien as que el p ocedimien o de Sha e e i ica ´ıa dicha di e encia usando α = 3, pues el echazo de la p ime a hip´o esis (po ejemplo, µ1 6 = µ4) implica que al menos es de los es an es pa es de medias pod ´ıan a´un segui siendo iguales (po ejemplo, µ1 = µ2,µ1 = µ3yµ2 = µ3´o µ2 = µ4,µ3 = µ4yµ2 = µ3). Pa a la e ce a y cua a compa aciones m´as la gas, el p ocedimien o de Holm u iliza ´ıa α = 4 y α = 3, espec i amen e; sin emba go, el p ocedimien o de Sha e emplea ´ıa α = 3 en ambos casos, ya que el echazo de la segunda hip´o esis (po ejemplo, µ1 6 = µ3) implica que un conjun o de es hip´o esis puede segui siendo e dade o (po ejemplo, µ2 = µ4, µ3 = µ4yµ2 = µ3), a su ez, el echazo de la e ce a hip´o esis (po ejemplo, µ2 6 = µ4) a´un pe mi i ´ıa que un conjun o de es hip´o esis pod ´ıa segui siendo e dade o (po ejemplo, µ1 = µ2,µ3 = µ3yµ3 = µ4). Finalmen e, pa a las dos ´ul imas compa aciones, ambos p ocedimien os usa ´ıan de nue o el mismo α 0 ; es o es, α = 2 y α = 1. En la abla 459 1 omada de Sha e (1986), se mues a la secuencia de di iso es (c  k) pa a k= 3, 4, 5, 6 y 7. Tabla 1. N´ume o de posibles pa es de medias que pueden pe manece iguales en e k medias con echazos. ( ) n´ume o de hip´o esis echazadas k0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3 3 1 1 4633321 5 10 6 6 6 6 4 4 3 2 1 6 15 10 10 10 10 10 7 7 7 6 4 4 3 2 1 7 21 15 15 15 15 15 15 11 11 11 11 10 9 7 7 6 5 4 3 2 1 Sha e ha abulado el alo de c  kpa a k = 3 ; : : : ; 10. En el mismo abajo de 1986, Sha e p opuso o a modi icaci´on del p ocedimien o de Holm. La ´unica di e encia en e el p ocedimien o que acabamos de desc ibi y la segunda modi icaci´on p opues a po Sha e , adica an s´olo en el empleo de una p ueba de igualdad de medias global. Es deci , que con es a e si´on p o egida de Sha e se p ocede a e ec ua el con as e de medias una ez e i icado que la hip´o esis nula global es alsa. T as el echazo de la hip´o esis nula global, lo cual implica que al menos una compa aci´on es dis in a de ce o, sin que necesa iamen e enga que ocu i la di e encia en e un simple pa de medias, se p ocede como en el caso desc i o pe o asumiendo el echazo de la hip´o esis m´as la ga; de es e modo, pa a el ejemplo especi icado, si la hip´o esis nula global es echazada, la di e encia m´as la ga se ´ıa e i icada u ilizando α = 3, en ez de α = 6, pa a las hip´o esis es an es p ocede ´ıamos de un modo simila a lo dicho pa a la e si´on no p o egida. Po consiguien e, si la hip´o esis nula global es echazada, en onces la e si´on p o egida de Sha e o ece una mayo po encia del es es ad´ıs ico asociado con el pa de medias que di ie en m´as en e s´ı. Si bien la au o a a la que nos enimos e i iendo, ha abulado el alo de c  kpa a dis in os ni eles de la a iable (k = 3 ; : : : ; 10 ) , pa a e ec ua el an´alisis de los con- as es de la in e acci´on ecomienda u iliza la u ina que sigue: Si H ( 1 ) es echazada u ilizando el c i e io de Dunn, α = c, p obamos H ( 2 ) empleando como di iso c  2, don- de c  2 = c ? ( p ? 1 )( q ? 1 ) ; es o es, α = c  2. A su ez, si H ( 2 ) es echazada, se ija c  k = c  2pa a odo 2 6 k 6 c ? c  2 ? 1 y asignamos un alo de c ? k + 1 pa a odo k > c ? c  2 + 1. Po ejemplo, si enemos un dise˜no ac o ial A  Bcon p = 2 y q = 4, el n´ume o o al de con as es pa a la in e acci´on, c, es igual a p   q  ( p  = p ( p ? 1 ) = 2 yq  = q ( q ? 1 ) = 2 ) . As´ı pues, de acue do con la p ime a e si´on del p ocedimien o de Sha e , pa a c = 1 ; : : : ; 6, enemos los siguien es alo es de α 0 : 460 α 0 1 = α c  1 = α 6 α 0 2 = α c  2 = α 3donde c  2 = 6 ? ( 2 ? 1 )  ( 4 ? 1 ) α 0 3 = α c  3 = α 3pues 2 6 3 6 6 ? 3 + 1 α 0 4 = α c  4 = α 3pues 2 6 4 6 6 ? 3 + 1 α 0 5 = α c  5 = α 2ya que 2 6 5 6 6 ? 3 + 1 es also. Po an o c  5 = 6 ? 5 + 1 α 0 6 = α c  6 = α 1ya que 2 6 6 6 6 ? 3 + 1 es also. Po an o c  6 = 6 ? 6 + 1 Pa a la e si´on p o egida p ocede ´ıamos del mismo modo, excep o pa a la p ime a di e encia, donde u iliza ´ıamos α = 3, en ez de α = 6. 5.2. El p ocedimien o de Hochbe g (1988) El p ocedimien o paso a paso de Hochbe g (1988) es una de las ´ecnicas secuenciales m´as simples de cuan as exis en. Pa a implemen a es e m´e odo lo p ime o que hay que hace es o dena po angos los di e en es alo es ρasociados con el es ad´ıs ico u ilizado pa a p oba las hip´o esis co espondien es a los di e en es con as es; es o es, ρ ( 1 ) 6 ρ2 ) 6  6 ρ ( c ) . Bajo es e en oque se pa e de la hip´o esis que iene la mayo p obabilidad de se e enida a la que iene la meno , pa a ello se comienza es ando la hip´o esis asociada con el alo ρm´as la go. Si ρ ( c ) 6 α, echazamos odas las hip´o esis y de enemos el p oceso; po el con a io, si ρ ( c ) > α, e ene- mos H ( c ) y p ocedemos a p oba H ( c ? 1 ) . Si ρ ( c ? 1 ) 6 α = 2, adem´as de la hip´o esis implicada echazamos odas las dem´as; en caso con a io, H ( c ? 1 ) es e enida. A con i- nuaci´on, ρ ( c ? 2 ) es compa ado con α = 3, y as´ı se con in´ua el p oceso has a que alguna hip´o esis esul e echazada. De se e enidas odas las hip´o esis el p oceso se inaliza compa ando ρ ( 1 ) con α = c. 6. A MODO DE CONCLUSI ´ ON En el p esen e abajo se ponen de elie e algunos de los p oblemas m´as impo an es a los que ienen que en en a se los in es igado es que usan los dise˜nos de medidas epe idas, en especial, cuando no se sa is ace el supues o de es e icidad mul imues al y el n´ume o de unidades expe imen ales a ´ıa a lo la go de los di e en es g upos de 461 los que cons a la a iable de a amien o. A su ez, a lo la go del mismo se desc iben con cie o g ado de de alle a ias p uebas que se hallan disponibles ac ualmen e, y cuya u ilizaci´on pe mi i ´ıa a los in es igado es sol en a muchos de los p oblemas a los que i emediablemen e les conducen los es ad´ıs icos u ilizados adicionalmen e en es as ci cuns ancias. Espec´ı icamen e, mos amos c´omo aplica el en oque Welch- James pa a p oba hip´o esis elacionadas con los e ec os de los dise˜nos uni a iados y mul i a iados de medidas epe idas. Pa a log a es e come ido se hace un ´en asis especial en la posibilidad de que la in e acci´on esul e signi ica i a, aspec o ´es e que a pesa de esul a de capi al impo ancia, pasa desape cibido pa a la mayo ´ıa de los in es igado es; as´ı como, en la o ma de lle a a cabo in e encias pa a de e mina los con as es esponsables de las di e encias ob enidas en los e ec os del dise˜no. Con odo, y a pesa de o ece un amplio abanico de posibilidades de aplicaci´on, el en oque Welch-James no es la panacea. En conc e o, pa a da os dis ibuidos no - malmen e su obus ez se a de e io ando a medida que la az´on en e el ama˜no del g upo m´as peque˜no y el n´ume o de medidas epe idas menos uno es in e io a 1.7 ´o 2, cuando se p ueban hip´o esis e e idas a los e ec os p incipales y a 3 ´o 4, pa a el caso e e ido a la in e acci´on. Ob iamen e, cuando los da os se apa an de la no malidad el de e io o de la obus ez de es e en oque se deja sen i pa a azones in e io es a 3 ´o 4, en el caso de los e ec os p incipales y pa a azones in e io es a 5 ´o 6, pa a el caso de la in e acci´on. Finalmen e, concluimos ese˜nando que cuando un in es igado se encuen e inme so en alguna si uaci´on en las que se incumpla el supues o de es e icidad mul imues al, los da os es ´en mues eados desde dis ibuciones p obablemen e sesgadas y el ama˜no de los g upos sea educido, lo mejo que puede hace es educi su ni el de signi icaci´on, o bien u iliza alguno de los o os en oques desc i o en es e a ´ıculo. Sob e mane a, si se iene en cuen a que en es as ci cus ancias los es udios de simulaci´on lle ados a cabo po Algina y Oshima (1995) ponen de elie e que an o el p ocedimien o IGA, como CIGA, p opo cionan un mejo con ol de la p obabilidad de come e un e o de Tipo I pa a los e ec os p incipales, que el en oque Welch-James. En lo que a la in e acci´on se e ie e, los abajos de Algina y Oshima (1994) y de Keselman e al. (1993), sugie en la necesidad de segui desa ollando p uebas al e na i as. Po ejemplo, una candida a po encial pod ´ıa se la e si´on gene alizada de la p ueba de B own y Fo sy he (1974). 7. AGRADECIMIENTOS El au o desea deja cons ancia p´ublica de su ag adecimien o al e aluado an´onimo, pues la nue a e si´on del abajo se bene icia, an o de sus enjundiosos comen a ios como de sus ace adas suge encias. 462 REFERENCIAS [1] Algina, J. (1994). «Some al e na i e app oxima e es s o a spli -plo design». Mul i a ia e Beha io al Resea ch,29, 315-384. [2] Algina, J. yOlejnik, S.F. (1984). «Implemen ing he Welch-James p ocedu e wi h ac o ial designs».Educa ional and Psychological Measu emen ,44, 39-46. [3] Algina, J. yOshima, T.C. (1994). «Type I e o a es o Huynh’s gene al ap- p oxima ion and imp o ed gene al app oxima ion es s».B i ish Jou nal o Ma - hema ical and S a is ical Psychology,47, 151-165. 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ESCUDERO GARC´ IA Uni e sidad de O iedo  This pape desc ibes in some de ail al e na i e ypes o analyses o unba- lanced spli -plo designs when he assump ion o mul isample sphe ici y is iola ed. Speci ically, by adap ing a mul i a ia e app oxima e deg ees o eedom app oach de eloped by Johansen (1980) and a e ised imp o ed gene al app oxima ion p ocedu e based on Huynh (1978) i is shown how o ob ain obus and powe ul analysis o es wi hin-subjec s main e ec and he be ween x wi hin in e ac ion, as well as mul iple compa isonhypo- heses ela ed o hese e ec s, so much i is coun ed wi h a single dependen a iable associa ed wi h each epea ed measu emen as i is coun ed wi h mul iple dependen a iables. Keywo ds: Mul i a ia e epea ed measu es designs, mul isample sphe i- ci y, weigh ed and unweigh ed means, obus and powe ul p ocedu es. AMS Classi ica ion: 62K10, 62J1 *Depa amen o de Psicolog´ıa. Uni e sidad de O iedo. Plaza Feijoo, s/n. 33003 O iedo. e-mail:g allej[email p o ec ed].unio i.es. –Recei ed Decembe 1996. –Accep ed May 1998. 466 The design o epea ed measu es is equen ly used in he in es iga ions ca ied ou in social, beha io al and heal h sciences. I he ollowing assump ions a e me : mul i a ia e no mali y, homogenei y o dispe sion ma ices, equali y o he a iances co esponding o he di e ences be ween epea ed measu es (ci cula i y o sphe ici y assump ion) and independence among he obse a ions, hese designs ha e been a- di ionally analyzed by means o Sche ´e’s (1956) uni a ia e mixed model. In his model, subjec s (blocks) a e andom and ea men s a e ixed. I he sphe ici y assump ion is no me , which happens in mos psychological da a, he in es iga o has wo op ions o analyze. On one hand, you can use an uni a ia e mixed model wi h he deg ees o eedom adjus ed by means o some o he nume ous exis en Box ype co ec o s (Lecou e, 1991) and, on he o he hand, a mul i a ia e model. This las app oach has he ad an age o allowing ha he a iance-co a iance ma ix adop any s uc u e., Al hough i equi es, in addi ion he accomplishmen o he assump ions o mul i a ia e no mali y and homogenei y o co a iance, ha he numbe o expe imen al uni s be bigge , o a leas he same as he one o epea ed measu es. I he exposed condi ions a e sa is ied, po ency is used o he elec ion o he uni a ia e app oach wi h he co ec ed deg ees o eedom o he mul i a ia e app oach. Fo example, Da idson (1972) demons a es ha wi h mode a e sample sizes and he co a iance ma ix ligh ly de ia ed o he equi ed sphe ici y pa e n, he uni a ia e mixed model is always mo e powe ul han he co esponding mul i a ia e app oach. The si ua ion is g adually in e ed as he dispe sion ma ix de ia es o he equi ed sphe ici y pa e n. When he mul isample sphe ici y assump ion is iola ed and g oup sizes is unequal, se e al in es iga o s (Belli, 1988; Huynh and Feld , 1976, Keselman, Ca ie e and Lix, 1993) wonde i bo h p ocedu es a e obus , mainly, i he numbe o expe imen al uni s di e s om a g oup o ano he o he design. To deal wi h he speci ied p oblem, along he p esen wo k di e en p ocedu es a e desc ibed. Speci ically, we show how o apply he Welch-James app oach o p o e hypo hesis ela ed wi h wi hin-subjec s main e ec and he be ween xwi hin in e ac ion, so much o spli -plo designs con aining a single dependen a iable as o spli -plo designs con aining mul iples dependen a iables. To achie e his, a special emphasis is made in he wo ollowing aspec s: a) In he hypo hesis es ing depending on he model (addi i e o in e ac i e). Al- hough in p esence o in e ac ion analy ic s a egy should be di e en om ha when i is no p esen , mos o in es iga o s do no ealize his ques ion and in ac almos all o hem es ing hei hypo heses acco ding o he pos ula es o an addi i e model. b) In he o m o accomplish in e ences o de e mine he con as s esponsible o he di e ences ob ained be ween he le els and combina ions o le els o he un- balanced pa ially epea ed measu es designs in ol ing he e ogeneous co a iance 467