EL METODO DE LAS LINEAS APLICADO
AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO
EN TUBOS ISOTERMICOS
CARLOS
PEREZ
Y
ANTONIO CAMPO
Depa amen o de Te nodinó nica
Uni e sidad Simdn Bolí a
Camcan, Venezuela
RESUMEN
Es e es udio a a sob e el desa ollo simul áneo de la elocidad y la empe a u a de
un luido con p opiedades cons an es que se desplaza po una ube ía ci cula . La elocidad
y la empe a u a a la en ada se suponen uni o mes y la supe icie del ubo se conside a
iso é mica. El p oblema así plan eado se esuel e po una écnica de na u aleza híb ida,
equi iéndose pa a ello que las de i adas adiales se disc e icen en in e alos uni o memen e
espaciados. Es a ía da o igen a un sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias de
p ime o den, cuya esolución numé ica en é minos de elocidades, p esión y empe a u a
concue da sa is ac o iamen e con los esul ados de u as de solución o almen e numé icas y
más elabo adas. Además, las p edicciones de la elocidad máxima y de la caída de p esión
pa a el lujo de ai e co esponde a la de una g an a iedad de esul ados expe imen ales
epo ados en la li e a u a. El p ocedin~ien o híb ido esbozado en es e abajo es á inspi ado
en el mé odo de las líneas y u iliza
10
líneas solamen e. Es a ía iende a educi los iempos
de compu ación no ablemen e e eniendo a la ez un al o g ado de p ecisión, en ajas és as
de i al impo ancia en p oblemas de ingenie ía.
This s udy ea s he simul aneous de elopmen o eloci y and empe a u e o a Auid,
wi h cons an p ope ies, ha mo es h ougli a ci cula ube. The eloci y and empe a u e
a he en ance o he ube a e supposed o be uni o me and lie supe icie o he ube is
conside ed iso he mic. This kind o p oblem is esol ed by a hyb id ype echnique, which
means ha he adial de i a i es a e disc e ized in uni o mely spaced in e ales. This leads
o a i s o de o dina y di e encial eqiia ions sys em, which nume ical solu ion in e ms o
eloci y, p ession and empe a u e, coincides sa is ac o ily wi h lie guiding esul s o o ally
nume ical and mo e elabo a ed solu ion. Mo eo e , he maximum eloci y and he d opping
o p ession p edic ions o he ai low co esponds o ha o a wide a ie y o expe imen al
esul s epo ed in he li e a u e. The hyb id p ocedu e desc ibed in his pape comes om
he lines me hod and uses only en lines. This echnique ends o educe he compu a ion
ime al hough e aining a high p ecision g ade, which is o i al impo ance in enginee ing
p oblems.
Recibido: Mayo
1987
QUN e si a Poli 6cnica
de
Ca alunya (Espaiia)
ISSN
0213-131
5
412
C.
PEREZ
Y
A. CAMPO
INTRODUCCION
Se sabe que cuando el núme o de P and l de un luido es supe io a 5, el pe il de
elocidad se desa olla mucho más ápido que el pe il de empe a u a, aún cuando
ambas can idades: la elocidad
y
la empe a u a, sean uni o mes a la en ada del
ubo. Bajo es as ci cuns ancias, la idealización de un pe il de elocidad desa ollado
in oduce un e o pequeño de acue do a lo suge ido po Kays y C aw o dl. Sin
emba go, pa a alo es de P and l in e io es a 5, como ocu e en el caso de los gases,
la elocidad y la empe a u a suelen desa olla se a la pa ce ca de la en ada de un
ubo.
El análisis de es e ipo de p oblema e mohid áulico en égimen lamina ,
equie e la esolución conjun a de las ecuaciones de conse ación de masa, can idad
de mo imien o axial
y
ene gía. Es a di icul ad ocasiona que las écnicas de
solución u ilizadas sean o zosamen e de na u aleza numé ica. Una ecopilación
de las publicaciones elacionadas a es e ema, es ingidas al caso de empe a u a
supe icial cons an e son las Re e encias2*12.
La gene ación numé ica del pe il de elocidad es pieza cla e en es e ipo
de p oblema y de aquí que ocu an des iaciones signi ica i as en e las di e sas
p edicciones de ca ác e numé ico pa a el desa ollo del pe il de empe a u a.
El p opósi o de es e abajo consis e en examina el p oblema e mohid áulico
an es ci ado, pe o a a és de una écnica híb ida con ca ac e ís icas analí icas
y
numé icas combinadas. El mé odo a usa se ecibe el nomb e de Mé odo de las
Líneas13
y
con ie e el sis ema de ecuaciones di e enciales en de i adas pa ciales
en un sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den y con alo es
iniciales. Los esul ados que apo a es e p ocedimien o con escasamen e
10
líneas a
lo la go del ubo son al amen e sa is ac o ios, como pod á ap ecia se en las secciones
subsiguien es. Es e en oque
a
la. ez p opo ciona un p ocedimien o muy ápido de
cálculo u ilizando un algo i mo de Runge-Ku a de cua o o den pa a la in eg ación
numé ica.
POSTULADO DEL PROBLEMA
La Figu a
1
mues a la si iiación que desc ibe el enómeno ísico del p esen e
abajo. Aquí, la empe a u a supe icial del ubo se conse a a un alo uni o me
T,, pe o di e en e
a
la empe a u a de en ada del luido To, que es uni o me
ambién. Además, se conside a que el luido en a con una elocidad uni o me a la
zona de in e cambio é mico y que la a iación de las p opiedades con la empe a u a
no es muy ma cada.
El p opósi o de es a in es igación es á cen ado en la adap ación de un
p ocedimien o numé ico simple, &pido
y
p eciso pa. a es udia el desa ollo
simul áneo de la elocidad
y
de la eilipe a u a de un ujo lamina o zado a a és
de un ubo ci cula . Pa a. ealiza es e a,nálisis se dispone de la ecuación de can idad
de mo imien o axial, de la ecua.ció.n de c~n inuida~d, an o en su o ma di e encial
como en su o ma in eg al
y
de la ecuación de la ene gía.
METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO
413
1:
-
PARED
x-+1
o
.
.
e.-.-.-.-
EJE
Figu a
1.
Esquema del sis ema ísico. Figu a
2.
Ubicación de
las
líneas
La o mulación de es e p oblema se simpli ica no ablemen e si se ga an iza la
condición de que en el lujo Re
»
1
y
Pe
»
1,
asegu ando así que los e ec os
de la di usión de can idad de mo imien o axial
y
ene gía sean insigni ican es.
Es a limi ación gene a ca ac e ís icas ne amen e pa abólicas en el sis ema de
ecuaciones en de i adas pa ciales. La alidación expe imen al de al sis ema ha
sido ampliamen e co obo ada en la li e a u a especializada
y
su análisis es á
ín imamen e elacionado a la " eo ía de la capa lími e" ecopilada en el a ado de
Schlich ing14. Sin emba go, su solución suele se gene almen e compleja
y
equie e
de écnicas numé icas so is icadas pa a su i i eg ación.
Una ez plan eados los c i e ios pa a el aná,lisis, se enume an a con inuación las
suposiciones que lo limi a án. Es as son:
a) el luido es New oniano
b) el lujo es lamina
y
pe manen e
c) exis e axisime ía liid odiná,inica
y
é mica
d) la p esión se conside a uni o me en la sección del duc o
e) las p opiedades e mo ísicas del luido son cons an es
) la conducción axial no es signi ica i a
g) no se conside a la disipación iscosa
Habiéndose es ablecido las condiciones pa icula es e e en es al p oblema
en es udio, se p ocede aho a
a
o mula el modelo ma emá ico que egi á el
C. PEREZ
Y
A. CAMPO
compo amien o ísico del luido.
1.
ecuación de la can idad de mo iniien o axial
2.
ecuación de con inuidad ( o ma di e encial)
3.
ecuación de con inuidad ( o ma in eg al)
4.
ecuación de la ene gía
Con iene señala que el mé odo numé ico que se adop a á en es e abajo es
capaz. de maneja las a iaciones de la iscosidad, de la conduc i idad é mica
y
cualquie o a p opiedad e mo ísica. Es as elaciones se ajus a ían con da os
expe imen ales pa a líquidos o gases dependiendo del caso es udiado.
Condiciones
de
con o no
El
conjun o de las condiciones de con o no que impe an en es e análisis se
clasi ica á de acue do a:
a) pe il de elocidad axial u(x, )
b)
pe il de elocidad adial
(x,
)
METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO
415
c) ~e il de p esión p(x)
d) pe il de empe a u a T(x, )
La esolución numé ica de las ecuacjones (1)-(14) pe mi i á ob ene los campos
hid odinámico
y
é mico del luido que ci cula en el ubo. Es a in o mación si e de
pun o de pa ida pa a calcula los pa áme os de in e és en aplicaciones de ingenie ía.
Es os son, a sabe : la caída de p esión o su equi alen e el coe icien e de icción
apa en e
y
la empe a u a olumé ica media, de la cual se de e mina el calo o al
ans e ido en o ma di ec a.
Fo mulación adimensional de las ecuaciones
En i ud de las nue as a iables que se de inen a con inuación
los esul ados numé icos pueden epo a se de mane a mucho más gene al aco de
con las e e encias ci adas en la Bibliog a ía.
Con o me a lo an es expues o, la e o mulación del p oblema en cues ión esul a:
1.
Ecuación adimensional de la can idad de mo imien o axial:

C.
PEREZ
Y
A. CAMPO
au au
d~
2
I
a
au
u-
+
-
=
-
+
---(V-)
az
817
dz
Re
118~ 87
2.
Ecuación adimensional de con inuidad ( o ma di e encial):
au+ia
-
-
-(VV)
=
o
az a l
3.
Ecuación adimensional de con iniiidad ( o ma in eg al):
1
U7 d~
=
-
2
4.
Ecuación adimensional de la ene gía:
as as
2[1a(~41
,y-
+
l/-
=
-
--
d
a~
Pe
787
a~
(18)
En e an o, las condiciones de con o no adsc i as a las ecuaciones (16)-(18) son
aho a las siguien es:
U@,
77)
=
1
(19)
METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO
417
ae.
-(.,O)
=
o
,811
(27)
En i ud de lo an e io , la dis ibución de la p esión en el ubo puede calcula se
po in e medio del coe icien e de icción apa en e, dado po
Análogamen e, el desen ol imien o de la empe a u a a lo la go del ubo
suele esumi se en é minos de la a iación de su empe a u a olumé ica media
adimensional, o sea
Es a exp esión se i á pa a de e mina di ec amen e el calo adimensional o al
ans e ido po o hacia el luido en oda la zona de in e cambio é niico del ubo.
Es o equi ale a la simple exp esión algeb aica:
O
sea
en la cual
R
es una especie de e iciencia é mica..
En
la ecuación (31a),
Qideal
co esponde al calo que ans ie e un ubo de la go in ini o.
En e an o, la mane a con encional de calcula indi ec amen e el calo local
ans e ido puede hace se po in e medio del núme o de Nussel local. Es o es
Al e na i amen e, empleando un balance ene gé ico en la zona de in e acción
é mica, se ob iene la elación:
C.
PEREZ
Y
A. CAMPO
Realizando un p oceso de in eg ación en la ecuación (32b), se desp ende que el
núme o de Nussel medio puede calcula se de acue do a:
METODO DE SOLUCION
La esolución de los p oblemas pa abólicos de ecuaciones di e enciales en
de i adas pa ciales equie e, po lo gene al, de p ocesos i e a i os que ga an icen
la con e gencia de los sis emas asociados de ecuaciones algeb aicas.
T adicionalmen e, en el ma co del cálculo de di e encias ini as, las o mulaciones
de disc e ización se lle an a cabo con la ayuda de desa ollos en se ie de Taylo .
Empe o, es as o mulaciones pueden log a se ambién median e la adopción del
mé odo de elemen os ini os o ambién empleando la écnica de los olúmenes de
con ol.
No obs an e es a endencia mani ies a, el sis ema de es ecuaciones di e enciales
en de i adas pa ciales que ige el compo amien o e mohid áulico de un luido a la
en ada de un ubo ha sido esuel o en es e abajo haciendo uso del Mé odo de las
líneas13.
Desc ipción del Mé odo
de
las líneas
Es e mé odo lo desc ibe Lisko e s enI3 como un p oceso median e el cual
se disc e izan odos los é minos di e enciales co espondien es a cie as a iables
independien es de una ecuación di e encial en de i adas pa ciales, dejando
los é minos di e enciales co espondien es a una sola a iable independien e
inal e ados, o sea con inuos. En esumen, el mé odo es de na u aleza híb ida y
gene a un sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias, el cual dependiendo de su
complejidad in ínseca puede esol e se analí ica o numé icamen e.
La simplicidad del mé odo pa a el caso de una sola ecuación di e encial en
de i adas pa ciales es inobje ahle. Una a,plicación del mismo pa a el p oblema
clásico de G ae z con escasamen e cua o líneas dis ibuidas desuni o memen e ha
p oducido excelen es esul ados en15. Sin emba go, su pues a en ejecución pa a
si uaciones más complicadas en donde la ebocidad y la empe a u a se desa ollan
simul áneamen e no ha sido 'ealizada alln, según e leja una minuciosa e isión
bibliog á ica.
A
al e ec o, se p opone en es e a ículo desa olla una me odología
capaz de acopla las ecuaciones de con inuidad, can idad de mo imien o axial
y
ene gía que ca ac e izan la con ección o zada. Pa a log a es e obje i o se p e ende
u iliza un núme o de líneas azonable y que a la ez p oduzca esul ados con i ables
y ápidos.
METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO

419
Disc e izaciOn de las ecuaciones
Se escoge a la posiciOn axial
z
como la a iable cuyas de i adas pe manece an
inal e adas, o sea con inuas.
,
Es o obliga a una disc e izaciOn de odas las de i adas
con espec o a la o a a iable, o sea la posiciem adial. El p oceso de disc e izaciem
se ha d po in e medio de di e encias ini as adicionales. Pa a ello, empleando una
a iable gene ica

e in e alos uni o mes de amalio

se puede esc ibi :
O
I

_
Wi+1 – Wi-1
(34)
077
y
a
2
p
i
–
_
(35)
p ig
De an emano, se sabe que pa a el eje de la ube a se cumple que:
18T
02410
(36)
=
o

07,2
con o me a la egla de L'Hopi al del Calculo Di e encial.
ECUACION DE LA ENERGIA
Al in oduci las ecuaciones (34) y (35) en la ecuaciem (18) se ob iene
dB
CI;
Pe
e
id-i –
20i
+1
9
i-1

O
i+1 – 0i-1 (

1
PeVi l
(37)
+
A772

2L

k
iAn
2

).1
I
i

Ui
alida pa a las lineas i = 1,2, ... , n – 1.
De igual mane a, combinando las ecuaciones (36), (37) y (28) se a iba a la
ecuaciem equi alen e pa a el cen o de la ube ia. Es o es:
dB
'

4
01-00
dz lo Pe
U,An2
Las condiciones de con o no de la en ada del ubo desc i as po la ecuaciOn
(26) oman la o ma
B
i
=
1, i = 0,1,2,...,n – 1
en
z =
0

(39)
las cuales son compa ibles con las ecuaciones (37) y (38) espec i amen e.
(38)
426
C.
PEREZ
Y
A.
CAMPO
TABLA
11.
Dis ibuciones de la empe a u a olumé ica media
y
del núme o de
Nussel local pa a P
=
0.7.
de compa ación que se lian empleado descansan sob e los esul ados analí icos,
numé icos
y
expe imen ales.
A
mane a. de comen a io inal se puede ag ega que
la inco po ación de las p opiedades e mo ísicas a iables es muy sencilla siendo és e
ema de un u u o abajo.
NOMENCLATURA
á ea ans e sal del ubo, m2
calo especí ico a p esión cons an e, J/Kg-C
diáme o del ubo, m
coe icien e de icción apa en e, ecuación (29)
coe icien e de con ección, w/ni2-C
conduc i idad é mica, W/m-C
lujo másico, Kg/s
Núme o de Nussel local,
hD/k
Núme o de Nussel medio, ecuación
(33)
p esión o al,(p
-
po)/p~m2
p esión, P,
núme o de P and l, /a
calo o al ans e ido, W
densidad de lujo de calo , W/1n2
núme o de Reynolds,
U,
D/
coo denada adial, m
empe a u a,
C
elocidad axial adimensional, u/U,

METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO
427
U, elocidad media, m/s
u elocidad axial, m/s
V
elocidad adial adimensional, /Um
elocidad adial, m/s
x
coo denada axial,
m
z
coo denada axial adimensional, x/R
Le as g iegas
di usi idad é mica, m2/s
coo denada adial adimensional, /R
empe a u a adimensional,
(T
-
Tw)/(To
-
Tw)
iscosidad dinámica, Pa
-
S
iscosidad cinemá ica, m2/s
densidad, Kg/m3
a iable dependien e gené ica
calo adimensional o al, ecuación (31)
Subíndices
b
olumé ico medio
c
cen o del ubo
i
con ado
o
en ada
w
pa ed
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