El método de las líneas aplicado al desarrollo termohidraúlico en tubos isotérmicos

EL METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO EN TUBOS ISOTERMICOS CARLOS PEREZ Y ANTONIO CAMPO Depa amen o de Te nodinó nica Uni e sidad Simdn Bolí a Camcan, Venezuela RESUMEN Es e es udio a a sob e el desa ollo simul áneo de la elocidad y la empe a u a de un luido con p opiedades cons an es que se desplaza po una ube ía ci cula . La elocidad y la empe a u a a la en ada se suponen uni o mes y la supe icie del ubo se conside a iso é mica. El p oblema así plan eado se esuel e po una écnica de na u aleza híb ida, equi iéndose pa a ello que las de i adas adiales se disc e icen en in e alos uni o memen e espaciados. Es a ía da o igen a un sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den, cuya esolución numé ica en é minos de elocidades, p esión y empe a u a concue da sa is ac o iamen e con los esul ados de u as de solución o almen e numé icas y más elabo adas. Además, las p edicciones de la elocidad máxima y de la caída de p esión pa a el lujo de ai e co esponde a la de una g an a iedad de esul ados expe imen ales epo ados en la li e a u a. El p ocedin~ien o híb ido esbozado en es e abajo es á inspi ado en el mé odo de las líneas y u iliza 10 líneas solamen e. Es a ía iende a educi los iempos de compu ación no ablemen e e eniendo a la ez un al o g ado de p ecisión, en ajas és as de i al impo ancia en p oblemas de ingenie ía. This s udy ea s he simul aneous de elopmen o eloci y and empe a u e o a Auid, wi h cons an p ope ies, ha mo es h ougli a ci cula ube. The eloci y and empe a u e a he en ance o he ube a e supposed o be uni o me and lie supe icie o he ube is conside ed iso he mic. This kind o p oblem is esol ed by a hyb id ype echnique, which means ha he adial de i a i es a e disc e ized in uni o mely spaced in e ales. This leads o a i s o de o dina y di e encial eqiia ions sys em, which nume ical solu ion in e ms o eloci y, p ession and empe a u e, coincides sa is ac o ily wi h lie guiding esul s o o ally nume ical and mo e elabo a ed solu ion. Mo eo e , he maximum eloci y and he d opping o p ession p edic ions o he ai low co esponds o ha o a wide a ie y o expe imen al esul s epo ed in he li e a u e. The hyb id p ocedu e desc ibed in his pape comes om he lines me hod and uses only en lines. This echnique ends o educe he compu a ion ime al hough e aining a high p ecision g ade, which is o i al impo ance in enginee ing p oblems. Recibido: Mayo 1987 QUN e si a Poli 6cnica de Ca alunya (Espaiia) ISSN 0213-131 5 412 C. PEREZ Y A. CAMPO INTRODUCCION Se sabe que cuando el núme o de P and l de un luido es supe io a 5, el pe il de elocidad se desa olla mucho más ápido que el pe il de empe a u a, aún cuando ambas can idades: la elocidad y la empe a u a, sean uni o mes a la en ada del ubo. Bajo es as ci cuns ancias, la idealización de un pe il de elocidad desa ollado in oduce un e o pequeño de acue do a lo suge ido po Kays y C aw o dl. Sin emba go, pa a alo es de P and l in e io es a 5, como ocu e en el caso de los gases, la elocidad y la empe a u a suelen desa olla se a la pa ce ca de la en ada de un ubo. El análisis de es e ipo de p oblema e mohid áulico en égimen lamina , equie e la esolución conjun a de las ecuaciones de conse ación de masa, can idad de mo imien o axial y ene gía. Es a di icul ad ocasiona que las écnicas de solución u ilizadas sean o zosamen e de na u aleza numé ica. Una ecopilación de las publicaciones elacionadas a es e ema, es ingidas al caso de empe a u a supe icial cons an e son las Re e encias2*12. La gene ación numé ica del pe il de elocidad es pieza cla e en es e ipo de p oblema y de aquí que ocu an des iaciones signi ica i as en e las di e sas p edicciones de ca ác e numé ico pa a el desa ollo del pe il de empe a u a. El p opósi o de es e abajo consis e en examina el p oblema e mohid áulico an es ci ado, pe o a a és de una écnica híb ida con ca ac e ís icas analí icas y numé icas combinadas. El mé odo a usa se ecibe el nomb e de Mé odo de las Líneas13 y con ie e el sis ema de ecuaciones di e enciales en de i adas pa ciales en un sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den y con alo es iniciales. Los esul ados que apo a es e p ocedimien o con escasamen e 10 líneas a lo la go del ubo son al amen e sa is ac o ios, como pod á ap ecia se en las secciones subsiguien es. Es e en oque a la. ez p opo ciona un p ocedimien o muy ápido de cálculo u ilizando un algo i mo de Runge-Ku a de cua o o den pa a la in eg ación numé ica. POSTULADO DEL PROBLEMA La Figu a 1 mues a la si iiación que desc ibe el enómeno ísico del p esen e abajo. Aquí, la empe a u a supe icial del ubo se conse a a un alo uni o me T,, pe o di e en e a la empe a u a de en ada del luido To, que es uni o me ambién. Además, se conside a que el luido en a con una elocidad uni o me a la zona de in e cambio é mico y que la a iación de las p opiedades con la empe a u a no es muy ma cada. El p opósi o de es a in es igación es á cen ado en la adap ación de un p ocedimien o numé ico simple, &pido y p eciso pa. a es udia el desa ollo simul áneo de la elocidad y de la eilipe a u a de un ujo lamina o zado a a és de un ubo ci cula . Pa a. ealiza es e a,nálisis se dispone de la ecuación de can idad de mo imien o axial, de la ecua.ció.n de c~n inuida~d, an o en su o ma di e encial como en su o ma in eg al y de la ecuación de la ene gía. METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO 413 1: - PARED x-+1 o . . e.-.-.-.- EJE Figu a 1. Esquema del sis ema ísico. Figu a 2. Ubicación de las líneas La o mulación de es e p oblema se simpli ica no ablemen e si se ga an iza la condición de que en el lujo Re » 1 y Pe » 1, asegu ando así que los e ec os de la di usión de can idad de mo imien o axial y ene gía sean insigni ican es. Es a limi ación gene a ca ac e ís icas ne amen e pa abólicas en el sis ema de ecuaciones en de i adas pa ciales. La alidación expe imen al de al sis ema ha sido ampliamen e co obo ada en la li e a u a especializada y su análisis es á ín imamen e elacionado a la " eo ía de la capa lími e" ecopilada en el a ado de Schlich ing14. Sin emba go, su solución suele se gene almen e compleja y equie e de écnicas numé icas so is icadas pa a su i i eg ación. Una ez plan eados los c i e ios pa a el aná,lisis, se enume an a con inuación las suposiciones que lo limi a án. Es as son: a) el luido es New oniano b) el lujo es lamina y pe manen e c) exis e axisime ía liid odiná,inica y é mica d) la p esión se conside a uni o me en la sección del duc o e) las p opiedades e mo ísicas del luido son cons an es ) la conducción axial no es signi ica i a g) no se conside a la disipación iscosa Habiéndose es ablecido las condiciones pa icula es e e en es al p oblema en es udio, se p ocede aho a a o mula el modelo ma emá ico que egi á el C. PEREZ Y A. CAMPO compo amien o ísico del luido. 1. ecuación de la can idad de mo iniien o axial 2. ecuación de con inuidad ( o ma di e encial) 3. ecuación de con inuidad ( o ma in eg al) 4. ecuación de la ene gía Con iene señala que el mé odo numé ico que se adop a á en es e abajo es capaz. de maneja las a iaciones de la iscosidad, de la conduc i idad é mica y cualquie o a p opiedad e mo ísica. Es as elaciones se ajus a ían con da os expe imen ales pa a líquidos o gases dependiendo del caso es udiado. Condiciones de con o no El conjun o de las condiciones de con o no que impe an en es e análisis se clasi ica á de acue do a: a) pe il de elocidad axial u(x, ) b) pe il de elocidad adial (x, ) METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO 415 c) ~e il de p esión p(x) d) pe il de empe a u a T(x, ) La esolución numé ica de las ecuacjones (1)-(14) pe mi i á ob ene los campos hid odinámico y é mico del luido que ci cula en el ubo. Es a in o mación si e de pun o de pa ida pa a calcula los pa áme os de in e és en aplicaciones de ingenie ía. Es os son, a sabe : la caída de p esión o su equi alen e el coe icien e de icción apa en e y la empe a u a olumé ica media, de la cual se de e mina el calo o al ans e ido en o ma di ec a. Fo mulación adimensional de las ecuaciones En i ud de las nue as a iables que se de inen a con inuación los esul ados numé icos pueden epo a se de mane a mucho más gene al aco de con las e e encias ci adas en la Bibliog a ía. Con o me a lo an es expues o, la e o mulación del p oblema en cues ión esul a: 1. Ecuación adimensional de la can idad de mo imien o axial: C. PEREZ Y A. CAMPO au au d~ 2 I a au u- + - = - + ---(V-) az 817 dz Re 118~ 87 2. Ecuación adimensional de con inuidad ( o ma di e encial): au+ia - - -(VV) = o az a l 3. Ecuación adimensional de con iniiidad ( o ma in eg al): 1 U7 d~ = - 2 4. Ecuación adimensional de la ene gía: as as 2[1a(~41 ,y- + l/- = - -- d a~ Pe 787 a~ (18) En e an o, las condiciones de con o no adsc i as a las ecuaciones (16)-(18) son aho a las siguien es: U@, 77) = 1 (19) METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO 417 ae. -(.,O) = o ,811 (27) En i ud de lo an e io , la dis ibución de la p esión en el ubo puede calcula se po in e medio del coe icien e de icción apa en e, dado po Análogamen e, el desen ol imien o de la empe a u a a lo la go del ubo suele esumi se en é minos de la a iación de su empe a u a olumé ica media adimensional, o sea Es a exp esión se i á pa a de e mina di ec amen e el calo adimensional o al ans e ido po o hacia el luido en oda la zona de in e cambio é niico del ubo. Es o equi ale a la simple exp esión algeb aica: O sea en la cual R es una especie de e iciencia é mica.. En la ecuación (31a), Qideal co esponde al calo que ans ie e un ubo de la go in ini o. En e an o, la mane a con encional de calcula indi ec amen e el calo local ans e ido puede hace se po in e medio del núme o de Nussel local. Es o es Al e na i amen e, empleando un balance ene gé ico en la zona de in e acción é mica, se ob iene la elación: C. PEREZ Y A. CAMPO Realizando un p oceso de in eg ación en la ecuación (32b), se desp ende que el núme o de Nussel medio puede calcula se de acue do a: METODO DE SOLUCION La esolución de los p oblemas pa abólicos de ecuaciones di e enciales en de i adas pa ciales equie e, po lo gene al, de p ocesos i e a i os que ga an icen la con e gencia de los sis emas asociados de ecuaciones algeb aicas. T adicionalmen e, en el ma co del cálculo de di e encias ini as, las o mulaciones de disc e ización se lle an a cabo con la ayuda de desa ollos en se ie de Taylo . Empe o, es as o mulaciones pueden log a se ambién median e la adopción del mé odo de elemen os ini os o ambién empleando la écnica de los olúmenes de con ol. No obs an e es a endencia mani ies a, el sis ema de es ecuaciones di e enciales en de i adas pa ciales que ige el compo amien o e mohid áulico de un luido a la en ada de un ubo ha sido esuel o en es e abajo haciendo uso del Mé odo de las líneas13. Desc ipción del Mé odo de las líneas Es e mé odo lo desc ibe Lisko e s enI3 como un p oceso median e el cual se disc e izan odos los é minos di e enciales co espondien es a cie as a iables independien es de una ecuación di e encial en de i adas pa ciales, dejando los é minos di e enciales co espondien es a una sola a iable independien e inal e ados, o sea con inuos. En esumen, el mé odo es de na u aleza híb ida y gene a un sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias, el cual dependiendo de su complejidad in ínseca puede esol e se analí ica o numé icamen e. La simplicidad del mé odo pa a el caso de una sola ecuación di e encial en de i adas pa ciales es inobje ahle. Una a,plicación del mismo pa a el p oblema clásico de G ae z con escasamen e cua o líneas dis ibuidas desuni o memen e ha p oducido excelen es esul ados en15. Sin emba go, su pues a en ejecución pa a si uaciones más complicadas en donde la ebocidad y la empe a u a se desa ollan simul áneamen e no ha sido 'ealizada alln, según e leja una minuciosa e isión bibliog á ica. A al e ec o, se p opone en es e a ículo desa olla una me odología capaz de acopla las ecuaciones de con inuidad, can idad de mo imien o axial y ene gía que ca ac e izan la con ección o zada. Pa a log a es e obje i o se p e ende u iliza un núme o de líneas azonable y que a la ez p oduzca esul ados con i ables y ápidos. METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO  419 Disc e izaciOn de las ecuaciones Se escoge a la posiciOn axial z como la a iable cuyas de i adas pe manece an inal e adas, o sea con inuas. , Es o obliga a una disc e izaciOn de odas las de i adas con espec o a la o a a iable, o sea la posiciem adial. El p oceso de disc e izaciem se ha d po in e medio de di e encias ini as adicionales. Pa a ello, empleando una a iable gene ica  e in e alos uni o mes de amalio  se puede esc ibi : O I  _ Wi+1 – Wi-1 (34) 077 y a 2 p i – _ (35) p ig De an emano, se sabe que pa a el eje de la ube a se cumple que: 18T 02410 (36) = o  07,2 con o me a la egla de L'Hopi al del Calculo Di e encial. ECUACION DE LA ENERGIA Al in oduci las ecuaciones (34) y (35) en la ecuaciem (18) se ob iene dB CI; Pe e id-i – 20i +1 9 i-1  O i+1 – 0i-1 (  1 PeVi l (37) + A772  2L  k iAn 2  ).1 I i  Ui alida pa a las lineas i = 1,2, ... , n – 1. De igual mane a, combinando las ecuaciones (36), (37) y (28) se a iba a la ecuaciem equi alen e pa a el cen o de la ube ia. Es o es: dB '  4 01-00 dz lo Pe U,An2 Las condiciones de con o no de la en ada del ubo desc i as po la ecuaciOn (26) oman la o ma B i = 1, i = 0,1,2,...,n – 1 en z = 0  (39) las cuales son compa ibles con las ecuaciones (37) y (38) espec i amen e. (38) 426 C. PEREZ Y A. CAMPO TABLA 11. Dis ibuciones de la empe a u a olumé ica media y del núme o de Nussel local pa a P = 0.7. de compa ación que se lian empleado descansan sob e los esul ados analí icos, numé icos y expe imen ales. A mane a. de comen a io inal se puede ag ega que la inco po ación de las p opiedades e mo ísicas a iables es muy sencilla siendo és e ema de un u u o abajo. NOMENCLATURA á ea ans e sal del ubo, m2 calo especí ico a p esión cons an e, J/Kg-C diáme o del ubo, m coe icien e de icción apa en e, ecuación (29) coe icien e de con ección, w/ni2-C conduc i idad é mica, W/m-C lujo másico, Kg/s Núme o de Nussel local, hD/k Núme o de Nussel medio, ecuación (33) p esión o al,(p - po)/p~m2 p esión, P, núme o de P and l, /a calo o al ans e ido, W densidad de lujo de calo , W/1n2 núme o de Reynolds, U, D/ coo denada adial, m empe a u a, C elocidad axial adimensional, u/U, METODO DE LAS LINEAS APLICADO AL DESARROLLO TERMOHIDRAULICO 427 U, elocidad media, m/s u elocidad axial, m/s V elocidad adial adimensional, /Um elocidad adial, m/s x coo denada axial, m z coo denada axial adimensional, x/R Le as g iegas di usi idad é mica, m2/s coo denada adial adimensional, /R empe a u a adimensional, (T - Tw)/(To - Tw) iscosidad dinámica, Pa - S iscosidad cinemá ica, m2/s densidad, Kg/m3 a iable dependien e gené ica calo adimensional o al, ecuación (31) Subíndices b olumé ico medio c cen o del ubo i con ado o en ada w pa ed 1. 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