Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol.
8,3,
235-265(1992)
ANALISIS TERMOMECANICO NO LINEAL
MEDIANTE METODOS EXPLICITOS DE
DIFERENCIAS FINITAS
Y
ELEMENTOS FINITOS
JOSE
M.
GOICOLEA
E.
T.S.
Ingenie os de -Caminos
Ciudad Uni e si a ia,
28040
Mad id
RESUMEN
Los algo i mos de in eg ación explíci a en el iempo p opo cionan una me odología de
solución pa a p oblemas dinámicos, que es común pa a di e encias ini as y elemen os ini os.
Los mé odos explíci os o iginan algo i mos numé icos pa icula men e sencillos, lo que les do a
de una g an po encia pa a su aplicación a p oblemas complejos. El in e és e ac ecen ado en la
ac ualidad po su adecuación a a qui ec u as de o denado es an o ec o iales como de p oceso
masi amen e pa alelo.
Se p opone en es e abajo un mé odo de di e encias ini as con mallas no es uc u adas
pa a p oblemas e momecánicos acoplados, basado en leyes de balance mecánico y
e modinámico con o mulación in eg al. Al desa olla el esquema de cálculo y los algo i mos
se comp ueba que es comple amen e equi alen e a un mé odo de elemen os ini os.
Se p esen an algunos esul ados en aplicaciones que aba can p oblemas simples de
p opagación de ondas elás icas, p ocesos len os de ex usión e momecánica y enómenos de
impac o a al a elocidad con pe o ación de blindajes. Es os mues an la e icacia del mé odo
p opues o en la esolución de p oblemas eales en sec o es ecnológicamen e a anzados.
SUMMARY
Explici ime in eg a ion algo i hms p o ide a me hodology o solu ion o dynamic
p oblems which is common o ini e di e ence and ini e elemen me hods. Explici me hods
esul in pa icula ly simple algo i hms, due o which hey a e e y powe ul o solu ion o
complex p oblems. The in e es is inc eased nowadays due o hei sui abili y o new compu e
a chi ec u es, om ec o p ocesso s o massi ely pa allel compu e s.
A ini e di e ence me hod is p oposed wi h non-s uc u ed meshes o he mo-mechanical
coupled p oblems, based on in eg al exp essions o he mechanical and he modynamical
balance laws. The de elopmen o he semidisc e isa ion me hod and he pa icula nume ical
algo i hms employed show ha i is exac ly equi alen o a ini e elemen me hod.
Some examples a e shown, including simple wa e p opaga ion p oblems, slow loading
he momechanical ex usion, and high eloci y impac o p ojec iles on a mou wi h pe o a ion.
These show he e iciency o he p oposed me hodology o he solu ion o ealis ic p oblems in
echnologically ad anced sec o s.
JOSE
M.
GOICOLEA
INTRODUCCION
Los mé odos explíci os de cálculo ue on p opues os inicialmen e en el con ex o de
di e encias ini as. Es os u ie on un g an desa ollo en EE.UU. du an e los años
50-
60
en el en o no de los labo a o ios dedicados a in es igación pa a de ensa (Law ence
Li e mo e, Sandia, Los Alamos). En ese momen o los elemen os ini os es aban aún
en su in ancia y desde luego muy lejos de pode esol e los p oblemas ue emen e
no lineales esuel os po los llamados
"Hyd ocodes~'33~'~23~34~8~'0
de di e encias ini as:
explosiones, p opagación de de onaciones, ondas de choque, balís ica e minal,
. . .
Sin emba go con pos e io idad se ha p oducido una usión en e las dos escuelas
de di e encias ini as y elemen os ini os, de la cual son ep esen a i os los códigos de
elemen os ini os explíci os DYNA3D
y
HONDO I19J2. De es a mane a se ap o echa
la me odología más consis en e de los elemen os ini os pa a ob ención de soluciones
ap oximadas, ampliando el ango de aplicabilidad e ec i a de los "hyd ocodes" a
p oblemas
ingenie iles
como impac os a baja elocidad, ib aciones es uc u ales
y
análisis sísmico, en e o os. En la génesis de los p og amas de elemen os ini os
explíci os p on o quedó cla o que e a p e e ible el uso de elemen os sencillos, como
cuad ilá e os con un pun o de in eg ación y es abilización en e a modos de ene gía
nula, en e a elemen os de o den supe io . Una buena desc ipción de es a génesis se
puede encon a en
[7].
Los mé odos explíci os encuen an su campo de aplicación óp imo en p oblemas
de dinámica ápida, en los que se p oducen ue es no linealidades y el empleo de
in e alos de iempo pequeños pasa a se una necesidad. Sin emba go los algo i mos
de esolución explíci os poseen en ajas no ables que pueden hace in e esan e su
empleo en o os ámbi os. Una en aja impo an e es la esolución de las ecuaciones
a
ni el exclusi amen e local, sin plan ea en ningún momen o sis emas de ecuaciones
globales acopladas. Es o pe mi e el uso de algo i mos elemen o po elemen o, que
acili an el cálculo en pa alelo. Plan eados como mé odos de elajación dinámica3'
o elajación iscosa30 se enma can jun o con mé odos i e a i os de esolución de
ecuaciones no lineales, como los mé odos de elajación de Gauss-Seidel, o g adien e
conjugado p econdicionado con écnicas de elemen o po elemen o". Es e ipo de
mé odos despie a un in e és c ecien e en la ac ualidad po su po encial de ec o ización
y pa alelización.
Es e abajo no p e ende se una ecopilación exhaus i a del es ado del a e ni de
los undamen os eó icos o numé icos. Se a a más bien de un in en o de cla i ica
y o dena las ideas pues as en p ác ica po el au o du an e los úl imos años pa a el
desa ollo de mé odos de di e encias ini as explíci as pa a cálculos e momecánicos
no lineales. Es a expe iencia se enma ca en un en o no de p oducción, o ien ado a
esol e p oblemas indus iales a anzados de mane a e icaz desde el pun o de is a
compu acional.
Se desc ibe en el es o de es e a ículo un mé odo pa a el análisis é mico-mecánico
acoplado de p oblemas no lineales, basado en la ap oximación po di e encias ini as con
mallas no es uc u adas a las ecuaciones básicas de balance de can idad de mo imien o
y ene gía. Se desa olla el mé odo de semidisc e ización empleado, de allando los
algo i mos numé icos de cálculo pa a di e sos ipos de elemen os. Analizando el. ciclo de
ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F.
Y
E.F.
237
cálculo y el de alle de las ope aciones a i mé icas, se mues a la equi alencia comple a
con el mé odo de elemen os ini os.
A
con inuación se dan algunas ecomendaciones
pa a la op imización en o denado es pa alelos y ec o iales. Po úl imo, se desc iben
es aplicaciones signi ica i as: p opagación de ondas elás icas en un cono, ex usión
e momecánica 30, y pe o ación de blindajes.
Como conclusión p incipal se es ablece que el mé odo p opues o, que se puede
conside a como un caso pa icula de elemen os ini os explíci os, es e icaz pa a esol e
adecuadamen e p oblemas e momecánicos no lineales/dinámicos que se plan ean
en sec o es ecnológicaman e a anzados. El in e és de los mé odos explíci os es á
inc emen ado po la eme gencia de nue as a qui ec u as de cálculo en pa alelo.
ECUACIONES BASICAS
Sea un cue po
B
some ido a un p oceso mecánico y é mico, desc i o a a és de
las coo denadas x(X) y empe a u as
8(X)
de sus pa ículas
X
E
B.
Las ecuaciones de
gobie no se plan ean como in eg ales pa a cualquie subdominio
7'
C
3,
con on e a
8F"P
Es as in eg ales exp esan di ec amen e los p incipios de balance y conse ación.
El balance de la can idad de mo imien o se exp esa como
donde
p
es la densidad másica,
=
x
es el campo de elocidades,
b
las ue zas
dis ibuidas po unidad de olumen, y
el campo de acciones en el con o no.
Po el lema de Cauchy, se e i ica que, pa a cualquie elemen o di e encial de
supe icie o ien ada,
siendo
u
el denominado enso de ensiones de Cauchy. Po o a pa e, la aplicación
del p incipio del balance del momen o ciné ico obliga a
u
=
uT.
El p incipio de balance de la ene gía (p ime a ley de la e modinámica) se puede
exp esa como
donde
u
es la ene gía in e na especí ica po unidad de masa,
son las uen es de calo
po unidad de olumen,
y
q
es el lujo calo í ico po unidad de supe icie. Po el p incipio
de Fou ie se puede esc ibi
q
=
hn,
(4)
siendo h el ec o de lujo calo í ico.
Empleando
(2)
y
(4)
es posible exp esa (3) de la mane a siguien e,
JOSE
M.
GOICOLEA
donde
es el denominado enso elocidad de de o mación.
Po localización de los p incipios (1) y
(5)
se llega a las ecuaciones de campo
Sin emba go se p e ie e emplea aquí las exp esiones in eg ales (1) y (5), que ienen
un ca ác e más esencial que
(7)
y
(8),
además de exigi un o den meno de de i abilidad
a los campos incógni a. De es a mane a no se á necesa io, como en el Mé odo de los
Elemen os Fini os, el plan eamien o de una o mulación débil (p incipio de los abajos
i udes).
Es necesa io o mula ambién
ecuaciones cons i u i as
que pe mi an calcula el
alo de los campos
a
y
h.
Es as se o mulan de mane a independien e pa a ambos
campos mecáico y é mico, aunque exis e un acoplamien o debido a la dependencia
de los pa áme os del ma e ial con la empe a u a y a las ensiones é micas. Pa a
a
se emplean leyes inc emen ales elas o- iscoplás icas, basadas en p edic o es de ipo
hipoelás ico. La o mulación gene al es la siguien e.
donde
D jk,
es el enso de módulos elás icos angen es del ma e ial,
d j
es la
componen e plás ica de la elocidad de de o mación,
o
es el coe icien e de expansión
é mico,
K
es el módulo de elas icidad olumé ico,
0
es la empe a u a,
7
es la
de o mación plás ica e ec i a
(EP),
;j
es la di ección de lujo plás ico,
q,
son los
pa áme os de endu ecimien o del ma e ial
(q
iene aquí un signi icado dis in o
al
de
(3)
y
(4)),
h, son los módulos de endu ecimien o plás ico,
q
es un pa áme o escala
de iscosidad,
y
@(F) es una unción de luencia iscoplás ica, siendo F(a,
q,
O)
=
O
el c i e io de luencia elas oplás ico. La no ación empleada en (12) signi ica
(@(F))
=
@(F) si
F
>
O,
y
(@(F))
=
O
si
F
5
O.
La ecuación (9) gobie na la espues a elás ica
del ma e ial, (10) la egla de luencia, (11) el endu ecimien o plás ico,
y
(12) ep esen a
en un caso gene al la ley iscoplás ica de luencia, o en el caso
q
=
O
el c i e io de
luencia elas oplás ico.
ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F.
Y
E.F.
239
Los símbolos ep esen an asas co o acionales de las magni udes
espec i as, necesa ias pa a conside a g andes de o maciones. Así po ejemplo la asa
co o acional de Jaumann se exp esa en unción de las de i adas empo ales como
siendo
1
w;j
=
5
-
Vj,')
.
El alo de la asa co o acional (aij,
8,)
se puede in e p e a como la componen e
ma e ial
de la a iación de los campos espec i os, debiéndosele suma una componen e
de a iación
geomé ica
debida a la o ación de los ejes pa a ob ene la a iación o al
(eij,q,). En el caso de pequeñas de o maciones es as componen es geomé icas se
anulan.
Combinando (10)
y
(12) ob enemos pa a un caso gene al
ecuación co espondien e a la o mulación de Pe zyna pa a la iscoplas icidad. En el
caso pa icula
77
=
0, (12) obliga ía a F(a, q, e)
=
0, es ando en onces en el caso de
elas oplas icidad independien e de la elocidad de de o macióa. En es e caso se puede
elimina
j
del es o de las ecuaciones ob eniendo una ma iz elas oplás ica angen e,
D,ejkl,
cuya exp esión no es necesa io desa olla aquí.
Pa a el lujo é mico las ecuaciones cons i u i as conside adas se limi an a la ley
de Fou ie ,
donde kil son los módulos de conduc i idad é mica; en el caso isó opo usual,
kii
=
ksil.
En (5) el é mino
a
:
d
co esponde a la ene gía in e na de de o mación. La
descomposición adi i a
d
=
de
+
dP
implíci a en (9) pe mi e sepa a la asa de ene gía
po encial elás ica,
a
:
de
y
la asa de abajo plás ico,
a
:
dP.
De la componen e plás ica,
la mayo pa e se disipa con ibuyendo a aumen a la en alpía, lo que se aduce en un
aumen o de empe a u a:
donde
5
es un coe icien e de disipación ce cano a la unidad (usualmen e
5
=
0.95),
y
c,
es el calo especí ico a p esión cons an e.

JOSE
M.
GOICOLEA
SEMIDISCRETIZACION: Di e encias Fini as
La disc e ización del dominio espacial se ealiza median e una malla de elemen os
Re. Las incógni as disc e as se án los desplazamien os uN( ) de inidos en los nodos
N
de la malla,
y
las empe a u as Be( ) de inidas en es e caso en el cen o de cada
elemen o e. Aunque la es uc u a opológica iene de inida po Re
y
N,
se emplea án
ambién pa a las in eg ales al ededo de los nodos o o conjun o de subdominios
PN
cen ados en cada nodo
N
de la malla, de mane a que
UN
PN
=
B
y
nN
PN
=:
0.
Con iene ecalca que la malla puede se comple amen e a bi a ia, sin necesi a
ninguna es uc u a en líneas
1,
J
ni o o ipo de esquema ijo. T adicionalmen e se han
empleado los modelos de di e encias ini as con mallas es uc u adas, necesa ias pa a
exp esa las nzoléculas que de inen las ap oximaciones en di e encias. Sin emba go, los
p ocedimien os pa a el cálculo de g adien es
y
e aluación de ue zas in e nas empleados
aquí son lo su icien emen e gene ales po lo que en es e sen ido pe mi en una malla
no es uc u ada equi alen e a las empleadas en elemen os ini os, sin ningún ipo de
limi ación.
La ecuación (1) se disc e iza pa icula izándola pa a cada subdominio
PN
c
B.
Exp esandola en o ma ma icial pa a el conjun o del modelo, esul a inalmen e un
sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias
siendo
M
[MN
J]
=
SN
J
p
dV
(N
no sumado)
J,,
La exp esión (20) o igina una ma iz de masas diagonal. La conse ación de la masa
se sa is ace de mane a i ial en una malla Lag angiana (es deci , que sigue al ma e ial
en su mo imien o) sin más que hace cons an es las masas nodales esul an es de (20).
La ecuación (21) exp esa el ec o de ue zas ex e nas, mien as que (22) p opo ciona
las ue zas in e nas. Más adelan e de allamos algunos algo i mos en di e encias pa a
e alua las in eg ales que esul an de es a úl ima ecuación.
Las ecuaciones di e enciales o dina ias (19) se in eg an en el iempo median e un
esquema explíci o de di e encias cen ales:
Así, se es ablece un ciclo de cálculo en el que se aplican p ime amen e las ecuaciones
semidisc e as (19) a a és de las exp esiones (20)-(22) en el ins an e n pa a calcula
ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F.
Y
E.F.
241
ün; a con inuación se aplica el esquema de in eg ación empo al (23) pa a ob ene un+',
pudiendo en onces ecomenza el ciclo de cálculo pa a el siguien e in e alo de iempo,
n+'. En la Tabla
1
se puede e una ep esen ación esquemá ica de las ope aciones
del ciclo de cálculo.
Siguiendo es e esquema de in eg ación no es necesa io en ningún momen o esol e
un sis ema de ecuaciones simul áneas, al y como se plan ean en los mé odos de
elemen os ini os adicionales. Las únicas ope aciones a ealiza son ap oximaciones
a ni el local median e exp esiones de di e encias ini as pa a e alua g adien es o
in eg ales. Es a no able p opiedad de los mé odos explíci os cons i uye su p incipal
en aja, an o po su e icacia compu acional ( apidez de cálculo) como po la
sencillez de los algo i mos a emplea . Es a sencillez hace que la esolución de
p oblemas no lineales sea especialmen e en ajosa y obus a, no necesi ando un es ue zo
signi ica i amen e mayo de cálculo que pa a p oblemas lineales.
1.
Calcula in e alo de iempo A
2. Bucle en elemen os:
e
=
1,
numel
(a) ue zas in e nas Ln
=
JpNiei
un dS
(b) ensambla in
=
e
in
e
3.
Bucle en nodos:
N
=
1,
numnod
(a) ue zas ex e io es y con ac os, F
(b) acele aciones
ük
=
( g
-
;ln )
/MN
.
n-112
(e) elocidades
1~"~~
=
u,
+
ükA
n+l/2A
(d) desplazamien os u:+'
=
u&
+
uN
4.
Bucle en elemen os:
e
=
1,
numei
(a) elocidades de de o mación y o ación
d:+'I2
=
?(VV
+
T )
n+'/2
=
;( V
-
T )
Qe
(b) e aluación ensiones
g:+'
=
u:
+
~+:+'/~(d"+'/~,
.
.
.)A
(c) lujo de calo
qp
=
Sane
kVBn dS
wi
=
J,
u
:
dPdV
Qe
(d) ac ualización de empe a u as
. -
5.
Ac ualización del iempo
+ +A
n
n+
1
si
<
j;,, ol e a
1.
Tabla
1.
Ciclo de cálculo e momecánico explíci o.
JOSE
M.
GOICOLEA
O a consecuencia impo an e es que no es necesa io almacena ma ices de
coe icien es globales en ningún momen o, lo que educe sob emane a las necesidades
de memo ia. Es as c ecen de mane a lineal (en luga de cuad á ica) con el amaño del
p oblema, lo que posibili a la solución e icaz de g andes p oblemas idimensionales que
median e mé odos implíci os esul an p ác icamen e inabo dables.
La alidez del esquema de in eg ación explíci o en el que se desacopla la in eg ación
espacial
y
empo al es á condicionada a que a lo la go de un in e alo de iempo A la
in o mación no ienda a p opaga se más allá de un elemen o,
siendo
h
el amaño del elemen o más pequeño (p. ej. la al u a en un iángulo), y
cp la elocidad de p opagación de las ondas más ápidas, en es e caso las ondas
P.
Es e equisi o es el que pe mi e ealiza una in e polación exclusi amen e local pa a las
di e encias ini as, ya que en o o caso se ía necesa io plan ea el equilib io eniendo en
cuen a ambién los desplazamien os de los elemen os ecinos. Las ecuaciones esul a ían
acopladas y hab ía que emplea un p oceso de elajación pa a es ablece el equilib io
dinámico.
La condición (24) se denomina la condición de Cou an o CFL2. Se puede
in e p e a como la obligación de que la máxima elocidad numé ica de ansmisión de
la in o mación (he/A , siendo
he
la dimensión del elemen o) no puede en ningún caso
se in e io a la elocidad isica, so pena de que la in eg ación se con ie a en ines able.
El asegu a es a condición no o ece ninguna di icul ad, ya que se impone de mane a
i ial en cualquie p og ama explíci o; sin emba go es inge a alo es necesa iamen e
muy pequeños el in e alo de iempo
a
u iliza .
Con iene no a que el esquema de in eg ación impone la ecuación dinámica en n
pa a calcula el nue o es ado en el ins an e n+'; es o o igina un cie o desequilib io
dinámico en
n*'.
Cuando es e desequilib io se ciñe
al
en o no local de cada elemen o,
da luga simplemen e a pequeñas oscilaciones numé icas, man eniéndose es able. En
cambio, si el e o es al que en un in e alo de iempo ocasiona desequilib io incluso
en los elemen os con iguos, el p oceso
se
o na ines able.
Hay que menciona ambién que exis en écnicas de elajación pa a abo da
in e alos de iempo o ca ga mayo es, ales como la elajación dinámica31 o la elajación
iscosa30, de las que no nos ocupa emos aquí.
CICLO TERMICO
Pa alelamen e al ciclo mecánico de cálculo se ealiza un ciclo é mico. La ecuación
(18)
aplicada a odo el dominio
B
disc e izado en
Re
o igina la ecuación ma icial
donde
ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F.
Y
E.F.
243
C
z
[Ce ]
=
Sej
pcp
dV (e no sumado)
Le
q:x
=
1
I
dV
+
é minos en el con o no
e
La exp esión (26) es la ma iz (diagonal) de capacidades é micas, (27)co esponde
al abajo plás ico disipado, (28) es la ganancia de calo po conducción en el medio, y
(29) co esponde a las uen es ex e nas de calo . Más adelan e se de allan los algo i mos
empleados pa a es as in eg ales.
La in eg ación empo al pa a las a iables é micas se ealiza median e un esquema
explíci o de Eule hacia delan e,
e alúandose median e la ecuación (25). Es e esquema de esolución da luga
igualmen e a un algo i mo explíci o, sin ningún sis ema de ecuaciones simul áneas.
La e~ abilidad~~ es condicional a que el in e alo de iempo es á limi ado po
siendo
h
el amaño del elemen o más pequeño. En la p ác ica, en es e abajo se ha
encon ado que mien as la exp esión (24) pa a el in e alo de iempo mecánico esul a
muy iable, es con enien e educi (31) median e un ac o de 1/43.
INTEGRACION DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS
La e aluación de las ue zas in e nas en (22) exige, además de un p ocedimien o
de ap oximación pa a la in eg al, una e aluación de las ensiones un en n, a a és de
la in eg ación en el iempo de las mismas. El mé odo seguido es el del e o no adial,
consis en e en emplea un p edic o hipoelás ico, seguido de una co ección de e o no
a la supe icie de luencia que asegu a la consis encia con el c i e io de plas icidad.
Es e mé odo que esul a de una g an sencillez y p ecisión ue p opues o inicialmen e
po Wilkin~~~ y ha sido pos e io men e gene alizado en [22,24,29].
En p ime luga se e alúa la p edicción elás ica,
esul ando
b:+'/2
de la aplicación de (9), (13) y (18) con
dP
=
O.
Si F(u:+')
<
0,
el ma e ial es á den o del ango elás ico y se adop a un+'
=
u:+'.
En e1 caso en que la
JOSE
M.
GOICOLEA
donde u(x, ) es el campo de desplazamien os en el con inuo, N(x) son las unciones
de o ma, y uh( ) son los desplazamien os nodales.
Sus i uyendo (48) en (47) y conside ando pa a
w
la misma dependencia uncional
(48), se llega
a
una ecuación ma icial idén ica a la ya is a pa a di e encias ini as (19)
siendo aho a
Donde
B
=
dN/dx es el ope ado de in e polación de g adien es. La ecuación
(49) ep esen a la ma iz de masas consis en e, que no iene en gene al una exp esión
diagonal; sin emba go es una p ác ica usual diagonaliza la ya que el uso de la ma iz
consis en e no p esen a en ajas no ables y po el con a io al diagonaliza se simpli ica
no ablemen e la solución. La ecuación (50) exp esa las ue zas ex e nas, y (51) exp esa
las ue zas in e nas a a és del ope ado B.
El empleo de
M
diagonal jun o con un esquema de in eg ación empo al explíci o
(23)
da luga a un conjun o de ecuaciones desacopladas, y po lo an o un ciclo de
cálculo en e amen e simila al desc i o a iba pa a di e encias ini as (Tabla
1).
No es necesa io ampoco esol e ningún sis ema de ecuaciones simul áneas. Los
algo i mos son explíci os, esul ando únicamen e in e polaciones a ni el local, y esul an
en una a qui ec u a de códigos pa icula men e sencilla
y
obus a. Análogamen e,
exis en idén icas es icciones de
A
pa a la es abilidad de la in eg ación.
La única di e encia o mal consis e en el empleo po pa e de los elemen os ini os de
una sis emá ica consis en e pa a ealiza las in e polaciones e in eg aciones numé icas,
basada en las unciones de o ma (48) . Así, pa a calcula
in
(paso 2.a en Tabla l),
las ensiones se in eg an median e (51) en luga de (22). Po o a pa e, la e aluación
de los g adien es de de o mación (paso 4.a en Tabla 1) emplea el ope ado B,
en sus i ución de los esquemas adop ados pa a di e encias ini as. Apa e de es as
modi icaciones, el ciclo de cálculo de allado en la Tabla
1
es idén ico al seguido en
di e encias ini as.
Vemos pues que la di e encia en e los mé odos de di e encias ini as y elemen os
ini os con in eg ación explíci a son me amen e o males, ela i a únicamen e a los
algo i mos de in e polación e in eg ación numé ica.

Adicionalmen e, se e i ica que los casos básicos de elemen os iangula es y
cuad ilá e os desc i os an es pa a di e encias ini as dan luga a los mismos algo i mos
numé icos que iángulos de de o mación cons an e (CST) y cuad ilá e os bilineales con
in eg ación educida (Ql) en elemen os ini os".
En e ec o, pa a el elemen o CST el ope ado
B
iene la exp esión
así el g adien e
Vw
=
Bw,
o ece la misma exp esión que la ob enida pa a
di e encias ini as en
(35).
Las ue zas in e nas se exp esan median e
que con la exp esión de
B
dada po (54) esul a idén ica a
(39).
Pa a cuad ilá e os Q1, el ope ado
B
de in e polación de g adien es es
comp obando que los algo i mos pa a
Vw
y
in
esul an idén icos a (41) y (43)
espec i amen e.
Po lo an o en es os dos casos básicos la equi alencia en e elemen os ini os y
di e encias ini as es comple a. Con iene no a sin emba go que el
M.E.F.
p opo ciona
una sis emá ica más ica
y
consis en e pa a el plan eamien o de soluciones ap oximadas,
gene alizable a amilias muy amplias de elemen os
y
p incipios a iacionales. Aún así,
como hemos is o en casos pa icula es ambas o mulaciones son equi alen es, siendo
po an o los mé odos de di e encias ini as expues os un subconjun o de la amilia más
amplia de elemen os ini os.
CONTACTOS
La conside ación de la in e acción en e supe icies en un esquema explíci o se
ealiza de mane a sencilla a a és del mé odo de penalización. Los algo i mos de
con ac o-impac o deben cub i dos unciones p incipales:
Búsqueda
y
de ección de con ac os,
Asignación de ue zas de penalización.
Los algo i mos de búsqueda
y
de ección incluyen las capacidades siguien es:
Es ablecimien o de lis as de ca as ex e nas suscep ibles de con ac o,
Cálculo de no males
y
ole ancias,
De ección y ca ego ización de con ac os (nodo-nodo, nodo-lado, nodo-ca a),
JOSE
M.
GOICOLEA
Búsqueda de nue os con ac os po deslizamien o,
Búsqueda de nue os con ac os po impac o,
C eación/Eliminación de ca as ex e nas en el caso de eliminación de elemen os o
ape u a de supe icies nue as po e osión
La ca ego ización de con ac os es necesa ia pa a p ocede , según los casos, al
sua izado de las no males y cálculo de ole ancias. La o ganización de los algo i mos
necesa ios en aña cie a complejidad, es ando desc i os con mayo de alle en
[3].
Las ue zas de in e acción se calculan como una penalización a la pene ación en e
supe icies, pudiéndose simula con ac os lisos o bien con icción median e el esquema
siguien e:
,"
=
Knpn (57)
z
=
min(~~p~, p
,")
(58)
donde Kn y
K
son las igideces no mal
y
angencial espec i amen e, pn,p son
las componen es de la pene ación, y p el coe icien e de ozamien o de Coulomb. (57)
de ine la ue za no mal (lineal) en el con ac o mien as que (58) exp esa la angencial,
de iniendo un cí culo cinemá ico de deslizamien o de adio 2p/K . Con iene no a
ambién que la pene ación
p
es un ec o ligado a la malla Lag angiana, y como al
p ecisa de una ac ualización co o acional según la ecuación
(14).
La igidez de los con ac os debe se lo su icien emen e g ande como pa a e i a
una in e pene ación excesi a, aunque no an o que se penalize la es abilidad de la
in eg ación. Es o se puede consegui de o ma consis en e omando pa a el con ac o
una igidez del o den de la de la p ime a capa de elemen os en la supe icie. Una
mane a sencilla de implemen a es o es a a és de la siguien e exp esión
donde
IC
es una cons an e adi nensional ( alo ecomendado 0.1),
mz
es la masa del
nodo in uso,
y
A , el in e alo de iempo c í ico de in eg ación. En e ec o, la igidez
de un elemen o iangula some ido a de o mación uniaxial se puede exp esa como
siendo A,p las cons an es elás icas,
h
la dimensión del elemen o (al u a),
y
Me
la
masa del mismo. Conside ando la exp esión (24) con
cp
=
(A
+
2p)/p, queda pa en e
la elación en e (59)
y
(60).
Las ue zas de in e acción p o enien es de los con ac os se añaden al es o de las
ue zas ex e io es en los nodos, esul ando i ial su inclusión en el ciclo de cálculo
explíci o.
ANAL.
TERMOMECANICO
NO
LINEAL
MED. MET.
EXPLICITOS
DE
D.F.
Y
E.F.
253
IMPLEMENTACION EN ORDENADORES
PARALELOS
Y
VECTORIALES
Los esquemas de cálculo explíci o o ecen un g an po encial pa a su op imización en
p ocesado es ec o iales y en las nue as a qui ec u as de cálculo en pa alelo. Con iene
ecalca que los modelos ma emá icos, algo i mos de esolución, y po descon ado las
écnicas de p og amación es án condicionadas po es as nue as a qui ec u as, al obje o
de p opo ciona mé odos e icaces de solución, no an sólo soluciones co ec as. En
es e sen ido es de espe a un cie o esu gimien o de esquemas explíci os y de écnicas
i e a i as como el g adien e conjugado p econdicionado.
Al no esol e se ningún sis ema de ecuaciones acopladas g an pa e de las
ope aciones se pueden ealiza a ni el de cada elemen o, sin depende de los esul ados
en o os elemen os, y con da os locales al elemen o en cues ión. Es o incluye
e
In e polación de g adien es y de o maciones,
(6)
e
E aluación e in eg ación de leyes cons i u i as,
(9)-(14),
(32)
e
Cálculo de ue zas in e nas, (22)
e
Ac ualización de desplazamien os, (23)
O o g upo más educido de ope aciones implican ensamblaje o compa ición de
da os globales y necesi an un a amien o especial. En es a ca ego ía se encuen an
e
Ensamblaje de ue zas in e nas
a
pa i de con ibuciones elemen ales,
(51)
e
Compa ición de desplazamien os nodales después de su ac ualización global en
(23)
Vec o ización
La gene ación de código ec o ial se ealiza di ec amen e po pa e de los
compilado es
a
pa i del análisis de los bucles de cálculo ("do-loops"), comp obando
que no exis e ecu encia en los mismos. Es p eciso po an o hace pa en e la es uc u a
del algo i mo al compilado , pa a no inhibi la ec o ización de mane a innecesa ia en
los casos en que no exis a ecu encia eal en los algo i mos. Pa a es o se debe e i a
la llamada a sub u inas den o de un bucle ec o ial, lo que puede exigi en ocasiones
desa olla el código de la sub u ina den o del bucle.
Po lo gene al no esul a posible ni ampoco deseable desa olla odo el código
de un elemen o en un bucle único sin llamadas a sub u inas, sal o quizá en los casos
más sencillos. Es posible conse a en g an medida la es uc u a modula de sub u inas
median e el empleo de a iables ec o iaies, lo que pe mi e pa i los bucles y ealiza los
den o de las sub u inas que u iliza án como a gumen os dichas a iables ec o iales
cuya dimensión se á la del ec o de cálculo.
Sí
puede se con enien e po el con a io
en algunos casos desa olla el código de las sub u inas den o del bucle ec o ial. Pa a
ello la mayo ía de los compilado es ienen la capacidad de ealiza es a ope ación de
o ma au omá ica
(
"inlining"
).
Las ope aciones de ensamblaje y compa ición de da os globales se ealizan con
algo i mos de ecopilación/ edis ibución ("ga he /sca e "), que se sepa an del es o
de o ma que los bucles ec o iales ob engan el máximo endimien o.
JOSE
M.
GOICOLEA
Pa alelización
Un p ime ipo de pa alelización se ía la di igida a o denado es del ipo MISD
("Mul iple Ins uc ion, Sha ed Da a"
:
ins ucciones múl iples, da os compa idos).
Es e es el caso de sis emas con pocos p ocesado es de ele ada po encia (Con ex, C ay,
e c.), siendo a menudo cada p ocesado de ipo ec o ial. La pa alelización en es e caso
se puede ealiza median e la subdi isión en g upos de elemen os, de o ma que cada
p ocesado se enca gue de uno de es os g upos, ealizando den o de ellos ope aciones
ec o iales. Simplemen e se necesi a ag upa los elemen os de o ma que los g upos
esul en homogéneos en cuan o a ma e ial, ipo de elemen o, y o as opciones de análisis.
El o o ex emo es á cons i uido po las a qui ec u as masi amen e pa alelas
SIMD ("Single Ins uc ion, Mul iple Da a"
:
ins ucción única, da os múl iples). Es os
o denado es cons an de un ele ado núme o de p ocesado es sencillos, cada uno de
los cuales dispone de su p opia memo ia. Pa a las ope aciones pa alelizables es
necesa io p es a mayo a ención a la sinc onización en e las mismas ya que odos
los p ocesado es deben ejecu a la misma ins ucción. Po o a pa e, las ope aciones
que implican compa i o ensambla da os globales se ealizan median e
in e cambio
en luga de
ecopilación/ edis ibución.
De es a o ma se ap o echa mejo la g an
e icacia de es e ipo' de máquinas (Connec ion Machine, Hype cube, . .
.)
pa a las
comunicaciones en e p ocesado es.
Has a el momen o las aplicaciones implemen adas de mane a e icaz en es e ipo
de o denado es se limi an a códigos expe imen ales, excesi amen e simpli icados pa a
se de u ilidad p ác ica. Los códigos de
p oducción
esul an di íciles de implemen a
debido a la di e sidad de opciones que deben ealiza , di ícilmen e pa alelizables en
a qui ec u as SIMD. Sin emba go, es de espe a que se p oduzcan a ances en un u u o
p óximo que con ie an el p oceso pa alelo en una opción p ác ica. Es os a ances deben
ealiza se an o en So wa e (compilado es; p og amación o ien ada a obje os) como en
ha dwa e (sis emas MIMD).
APLICACIONES
Se p esen an aquí es aplicaciones de la me odología desc i a en di e encias ini as:
p opagación de ondas elás icas en un cono, ex usión 3D e mo-mecánica, y pe o ación
de blindajes.
P opagación
de
ondas elás icas en un cono
Expe imen os ealizados en ba as de Hopkinson de pe il cónicoI5 e idencian que
las ondas de comp esión ienden a c ea de ás del en e de la onda o a onda secunda ia
de acción, que ocasiona que la ba a salga despedida hacia a ás al desp ende se el
(' ime-piece" .
KolskyI3 ha p esen ado una solución analí ica pa a es e p oblema. Es a se basa en
supone que sob e la base del cono ac úa una ca ga explosi a que p oduce un pulso de
ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F.
Y
E.F.
255
desplazamien os de inido po
donde
b
es la dis ancia del é ice del cono a la base, el iempo,
A
la ampli ud
del pulso y.
B
una longi ud ca ac e ís ica del mismo. La solución analí ica pa a las
ensiones longi udinales en el cono es
siendo la dis ancia del pun o en cues ión al é ice del cono y
E
el módulo elás ico.
La ecuación an e io es álida pa a los pun os en que
>
( b
-
co ), siendo
a
=
O
pa a
alo es meno es de
T.
Se obse an en la exp esión (62) dos é minos de signo opues o, el
p ime o siemp e nega i o ( en e de comp esión),
y
el segundo posi i o (onda secunda ia
de acción). Aunque la ampli ud de ambos c ece al disminui , es e e ec o es más
p onunciado pa a la onda secunda ia de acción, po lo que sii icien emen e ce ca del
é ice p edomina sob e la de comp esión p oduciéndose una acción ne a. Cuando
es o ocu e en un cono de ma e ial ágil (p. ej. id io) se p oduce la o u a, saliendo
despedido un ozo del mismo an es de que la onda llegue
al
é ice.
El modelo ealizado ep esen a una ba a oncocónica de adios en los ex emos
6
mm y 60 mm, longi ud 2 000 mm, a a és de una malla de
4
x
150 cuad ilá e os (Figu a
6). El ma e ial empleado es aluminio
(E
=
67 GPa,
p
=
2 700 kg/m3, co
=
4
981 m/s).
El pulso de en ada se de inió como una his o ia de elocidades en la base, esul an e
de de i a la exp esión (61), con
A
=
1.3382
x
m2,
B
=
0.3 m. El análisis de es e
p oblema se ealizó con el código PR2D3.
En la Fig. (6) se mues an los esul ados numé icos en o ma de pe iles de ensión
longi udinal a lo la go de la ba a en dis in os ins an es. Se puede comp oba su buen
ajus e con la solución analí ica (62), obse ando a pa i de
=
0.3 ms una zona de
acción cuya in ensidad a en aumen o. El pico agudo del en e de onda p edicho po
la solución analí ica se edondea no ablemen e en la solución numé ica, como e a de
espe a . También se obse a una cie a dispe sión de ás del en e de ondas, lo que
en pa e se puede a ibui a la in luencia de las ondas de Rayleigh de la supe icie, no
conside adas en la solución analí ica.
Ex usión
3D
e mo-mecánica
Se p esen an aquí los esul ados de un análisis de ex usión e mo-mecánico
ealizado pa a alida los esul ados numé icos en e a expe imen os. Se esumen aquí
los da os
y
esul ados p incipales, pudiendo encon a se una in o mación más de allada
en [20]. El análisis se ealizó con el código PR3D18.
La pieza ex uida es un cilind o de aluminio de sección ci cula , comp imido en e
un apoyo plano liso y un bloque supe io ugoso. El bloque ocupa an sólo una anja

JOSE
M.
GOICOLEA
(edW)
ssaJIS
Figu a
6.
T ansmisión de onda explosi a en un cono elás ico. Pe iles de ensiones
longi udinales en di e sos ins an es de iempo.
ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F.
Y
E.F.
257
de la sección del cilind o, eniendo además una abe u a cuad ada en su cen o po la
que se ex uye el aluminio (Figu a
7).
El
ma e ial es á ep esen ado po un modelo
elas oplás ico ipo Von Mises, con las siguien es ca ac e ís icas
E
=67
GPa
=0.3
a
=
195~O.~
Mpa (ley de endu ecimien o)
A'
=
174
W
/(m°K)
c,
=900
J/(kg°K)
c
=23.4
x
~o-~OK-'
La malla ealizada cub e an sólo
114
de la pieza, debido a las sime ías exis en es.
La disc e ización mix a se ealizó con
6
e aed os po hexaed o; en la igu a se dibujan
an sólo es os úl imos.
Figu a
7.
Ex usión de un bloque de Aluminio. Malla inicial, indicando la zona
comp imida po
un
bloque ugoso con ape u a cen al. Sólo
se
ep esen a
114
de
la
malla po sime ía.
El análisis con empla los e ec os de acoplamien o é mico-mecánico, an o de
ensiones é micas como de disipación de ene gía plás ica en o ma de calo .
La
condición de con o no en la pa e in e io pe mi e la sepa ación del apoyo como de
hecho ienen endencia a hace los bo des.
JOSE
M.
GOICOLEA
Ni el empe a u a
1
--
300°K
2
--
320°K
3
--
340°K
Figu a
8.
Ex usión de un bloque de Aluminio. De o mada inal
y
con o nos de igual
empe a u a.
La Figu a
8
mues a la pieza de o mada en su es ado inal, .con las isolíneas
de empe a u a supe pues as. Se obse a un aumen o de empe a u a de unos
65O,
coincidiendo la zona de mayo empe a u a con una banda en la que se concen an
las de o maciones de co e. La Figu a
9
mues a la compa ación de esul ados
expe mien ales con los calculados, pa a la ley ue za-desplazamien o, no ándose que el
ajus e es bas an e acep able. Se obse a ambién que al inal del p oceso el modelo se
compo a de mane a algo más ígida que el expe imen o. Es e e ec o se e ía disminuido
con una maha más ina que cap u ase mejo los al os g adien es de de o mación que se
p oducen.
Pe o ación de blindajes
Los p oblemas de impac o son especialmen e adecuados pa a esol e median e
écnicas explíci as, ya que son p ocesos ue emen e no lineales que se desa ollan en
in e alos de iempo
pequeño^^^^^'^.
En pa icula , los p oblemas de balís ica e minal
equie en a menudo capacidades especí icas de los códigos pa a el a amien o de ondas
de choque ines ables, p ocesos de o u a dinámica
y
pe o ación, e c.
El abajo que se desc ibe abajo ue ealizado con el código
ARMI
26927.
Es e
p og ama es un código explíci o especialmen e o ien ado pa a p oblemas de impac o
a al a elocidad. Pa a a a adecuadamen e es os p oblemas es necesa io ep esen a
adecuadamen e las ondas de choque de ele adas p esiones que se gene an en dichos
ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F.
Y
E.F.
259
izo
-
"
B
o
!
O
1
2
3
4
5
INDENTATION
lnml
Figu a
9.
Ex usión de
un
bloque de Aluminio. Cu as numé ica
y
expe imen al
ue za-desplazamien o.
impac os, lo que exige dos capacidades básicas:
e
Ecuaciones de es ado ep esen a i as de la elación p esión- olumen- empe a u a,
álidas pa a p esiones que supe en el lími e elás ico de IIugoni~ ~~. A pa i de
es e lími e la elación elás ica median e el módulo de comp esibilidad olumé ica
deja de se álida. ARMI inco po a los dos ipos undamen ales de ecuaciones de
es ado pa a sólidos, de Mie-G uneisen y polin~mial~~.
e
Viscosidad a i icial pa a e i a la p opagación ines able de las ondas de choque.
Pa a ello se emplea el mé odo p opues o po Von Neumann y Ri~h mye ~~,
combinación de un é mino lineal y o o cuad á ico.
Adicionalmen e a la iscosidad pa a es abilización de las ondas de choque, en
p oblemas de impac o
a
al a elocidad es necesa io emplea una iscosidad
an i-
hou glassing, aunque los elemen os empleados engan el ango co ec o y ca ezcan
de modos de ene gía nula. Es o es debido a que la oposición a dichos modos iene
limi ada po el lími e plás ico de esis encia a ensiones co an es. En p oblemas de al a
elocidad en que se gene an ele adas p esiones es a esis encia llega a se desp eciable.
En ARMI se adop a la o mulación de HancockIo.
O a capacidad necesa ia pa a el es udio de blindajes inco po ada en ARMI son los
algo i mos de e osión. Los elemen os en los que el ma e ial ha sa is echo la condición de
o u a se eliminan de la malla, pe mi iendo la p og esión del p oyec il (que a su ez se
puede e osiona en el p oceso). Exis en múl iples mecanismos de o u a dependiendo
del ma e ial y es uc u a del blindaje, p oyec il, elocidad de impac o, ángulo de
impac o, e c. ( o u a ágil
a
acción o "spalling7'; o u a dúc il po cizaliadu a;
o mación de bandas de co e adiabá ico; man enimien o o no de la capacidad de
esis encia a comp esión una ez o o). Es necesa io seleccionai el c i e io de o u a de
o ma que ep esen e adecuadamen e el mecanismo ísico co espondien e al p oblema.
Asimismo la eliminación de elemen os de la malla ha de ealiza se de mane a g adual, de
lo con a io la eliminación súbi a de ene gía puede ocasiona ines abilidades numé icas