Análisis termomecánico no lineal mediante métodos explícitos de diferencias finitas y elementos finitos

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 8,3, 235-265(1992) ANALISIS TERMOMECANICO NO LINEAL MEDIANTE METODOS EXPLICITOS DE DIFERENCIAS FINITAS Y ELEMENTOS FINITOS JOSE M. GOICOLEA E. T.S. Ingenie os de -Caminos Ciudad Uni e si a ia, 28040 Mad id RESUMEN Los algo i mos de in eg ación explíci a en el iempo p opo cionan una me odología de solución pa a p oblemas dinámicos, que es común pa a di e encias ini as y elemen os ini os. Los mé odos explíci os o iginan algo i mos numé icos pa icula men e sencillos, lo que les do a de una g an po encia pa a su aplicación a p oblemas complejos. El in e és e ac ecen ado en la ac ualidad po su adecuación a a qui ec u as de o denado es an o ec o iales como de p oceso masi amen e pa alelo. Se p opone en es e abajo un mé odo de di e encias ini as con mallas no es uc u adas pa a p oblemas e momecánicos acoplados, basado en leyes de balance mecánico y e modinámico con o mulación in eg al. Al desa olla el esquema de cálculo y los algo i mos se comp ueba que es comple amen e equi alen e a un mé odo de elemen os ini os. Se p esen an algunos esul ados en aplicaciones que aba can p oblemas simples de p opagación de ondas elás icas, p ocesos len os de ex usión e momecánica y enómenos de impac o a al a elocidad con pe o ación de blindajes. Es os mues an la e icacia del mé odo p opues o en la esolución de p oblemas eales en sec o es ecnológicamen e a anzados. SUMMARY Explici ime in eg a ion algo i hms p o ide a me hodology o solu ion o dynamic p oblems which is common o ini e di e ence and ini e elemen me hods. Explici me hods esul in pa icula ly simple algo i hms, due o which hey a e e y powe ul o solu ion o complex p oblems. The in e es is inc eased nowadays due o hei sui abili y o new compu e a chi ec u es, om ec o p ocesso s o massi ely pa allel compu e s. A ini e di e ence me hod is p oposed wi h non-s uc u ed meshes o he mo-mechanical coupled p oblems, based on in eg al exp essions o he mechanical and he modynamical balance laws. The de elopmen o he semidisc e isa ion me hod and he pa icula nume ical algo i hms employed show ha i is exac ly equi alen o a ini e elemen me hod. Some examples a e shown, including simple wa e p opaga ion p oblems, slow loading he momechanical ex usion, and high eloci y impac o p ojec iles on a mou wi h pe o a ion. These show he e iciency o he p oposed me hodology o he solu ion o ealis ic p oblems in echnologically ad anced sec o s. JOSE M. GOICOLEA INTRODUCCION Los mé odos explíci os de cálculo ue on p opues os inicialmen e en el con ex o de di e encias ini as. Es os u ie on un g an desa ollo en EE.UU. du an e los años 50- 60 en el en o no de los labo a o ios dedicados a in es igación pa a de ensa (Law ence Li e mo e, Sandia, Los Alamos). En ese momen o los elemen os ini os es aban aún en su in ancia y desde luego muy lejos de pode esol e los p oblemas ue emen e no lineales esuel os po los llamados "Hyd ocodes~'33~'~23~34~8~'0 de di e encias ini as: explosiones, p opagación de de onaciones, ondas de choque, balís ica e minal, . . . Sin emba go con pos e io idad se ha p oducido una usión en e las dos escuelas de di e encias ini as y elemen os ini os, de la cual son ep esen a i os los códigos de elemen os ini os explíci os DYNA3D y HONDO I19J2. De es a mane a se ap o echa la me odología más consis en e de los elemen os ini os pa a ob ención de soluciones ap oximadas, ampliando el ango de aplicabilidad e ec i a de los "hyd ocodes" a p oblemas ingenie iles como impac os a baja elocidad, ib aciones es uc u ales y análisis sísmico, en e o os. En la génesis de los p og amas de elemen os ini os explíci os p on o quedó cla o que e a p e e ible el uso de elemen os sencillos, como cuad ilá e os con un pun o de in eg ación y es abilización en e a modos de ene gía nula, en e a elemen os de o den supe io . Una buena desc ipción de es a génesis se puede encon a en [7]. Los mé odos explíci os encuen an su campo de aplicación óp imo en p oblemas de dinámica ápida, en los que se p oducen ue es no linealidades y el empleo de in e alos de iempo pequeños pasa a se una necesidad. Sin emba go los algo i mos de esolución explíci os poseen en ajas no ables que pueden hace in e esan e su empleo en o os ámbi os. Una en aja impo an e es la esolución de las ecuaciones a ni el exclusi amen e local, sin plan ea en ningún momen o sis emas de ecuaciones globales acopladas. Es o pe mi e el uso de algo i mos elemen o po elemen o, que acili an el cálculo en pa alelo. Plan eados como mé odos de elajación dinámica3' o elajación iscosa30 se enma can jun o con mé odos i e a i os de esolución de ecuaciones no lineales, como los mé odos de elajación de Gauss-Seidel, o g adien e conjugado p econdicionado con écnicas de elemen o po elemen o". Es e ipo de mé odos despie a un in e és c ecien e en la ac ualidad po su po encial de ec o ización y pa alelización. Es e abajo no p e ende se una ecopilación exhaus i a del es ado del a e ni de los undamen os eó icos o numé icos. Se a a más bien de un in en o de cla i ica y o dena las ideas pues as en p ác ica po el au o du an e los úl imos años pa a el desa ollo de mé odos de di e encias ini as explíci as pa a cálculos e momecánicos no lineales. Es a expe iencia se enma ca en un en o no de p oducción, o ien ado a esol e p oblemas indus iales a anzados de mane a e icaz desde el pun o de is a compu acional. Se desc ibe en el es o de es e a ículo un mé odo pa a el análisis é mico-mecánico acoplado de p oblemas no lineales, basado en la ap oximación po di e encias ini as con mallas no es uc u adas a las ecuaciones básicas de balance de can idad de mo imien o y ene gía. Se desa olla el mé odo de semidisc e ización empleado, de allando los algo i mos numé icos de cálculo pa a di e sos ipos de elemen os. Analizando el. ciclo de ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F. Y E.F. 237 cálculo y el de alle de las ope aciones a i mé icas, se mues a la equi alencia comple a con el mé odo de elemen os ini os. A con inuación se dan algunas ecomendaciones pa a la op imización en o denado es pa alelos y ec o iales. Po úl imo, se desc iben es aplicaciones signi ica i as: p opagación de ondas elás icas en un cono, ex usión e momecánica 30, y pe o ación de blindajes. Como conclusión p incipal se es ablece que el mé odo p opues o, que se puede conside a como un caso pa icula de elemen os ini os explíci os, es e icaz pa a esol e adecuadamen e p oblemas e momecánicos no lineales/dinámicos que se plan ean en sec o es ecnológicaman e a anzados. El in e és de los mé odos explíci os es á inc emen ado po la eme gencia de nue as a qui ec u as de cálculo en pa alelo. ECUACIONES BASICAS Sea un cue po B some ido a un p oceso mecánico y é mico, desc i o a a és de las coo denadas x(X) y empe a u as 8(X) de sus pa ículas X E B. Las ecuaciones de gobie no se plan ean como in eg ales pa a cualquie subdominio 7' C 3, con on e a 8F"P Es as in eg ales exp esan di ec amen e los p incipios de balance y conse ación. El balance de la can idad de mo imien o se exp esa como donde p es la densidad másica, = x es el campo de elocidades, b las ue zas dis ibuidas po unidad de olumen, y el campo de acciones en el con o no. Po el lema de Cauchy, se e i ica que, pa a cualquie elemen o di e encial de supe icie o ien ada, siendo u el denominado enso de ensiones de Cauchy. Po o a pa e, la aplicación del p incipio del balance del momen o ciné ico obliga a u = uT. El p incipio de balance de la ene gía (p ime a ley de la e modinámica) se puede exp esa como donde u es la ene gía in e na especí ica po unidad de masa, son las uen es de calo po unidad de olumen, y q es el lujo calo í ico po unidad de supe icie. Po el p incipio de Fou ie se puede esc ibi q = hn, (4) siendo h el ec o de lujo calo í ico. Empleando (2) y (4) es posible exp esa (3) de la mane a siguien e, JOSE M. GOICOLEA donde es el denominado enso elocidad de de o mación. Po localización de los p incipios (1) y (5) se llega a las ecuaciones de campo Sin emba go se p e ie e emplea aquí las exp esiones in eg ales (1) y (5), que ienen un ca ác e más esencial que (7) y (8), además de exigi un o den meno de de i abilidad a los campos incógni a. De es a mane a no se á necesa io, como en el Mé odo de los Elemen os Fini os, el plan eamien o de una o mulación débil (p incipio de los abajos i udes). Es necesa io o mula ambién ecuaciones cons i u i as que pe mi an calcula el alo de los campos a y h. Es as se o mulan de mane a independien e pa a ambos campos mecáico y é mico, aunque exis e un acoplamien o debido a la dependencia de los pa áme os del ma e ial con la empe a u a y a las ensiones é micas. Pa a a se emplean leyes inc emen ales elas o- iscoplás icas, basadas en p edic o es de ipo hipoelás ico. La o mulación gene al es la siguien e. donde D jk, es el enso de módulos elás icos angen es del ma e ial, d j es la componen e plás ica de la elocidad de de o mación, o es el coe icien e de expansión é mico, K es el módulo de elas icidad olumé ico, 0 es la empe a u a, 7 es la de o mación plás ica e ec i a (EP), ;j es la di ección de lujo plás ico, q, son los pa áme os de endu ecimien o del ma e ial (q iene aquí un signi icado dis in o al de (3) y (4)), h, son los módulos de endu ecimien o plás ico, q es un pa áme o escala de iscosidad, y @(F) es una unción de luencia iscoplás ica, siendo F(a, q, O) = O el c i e io de luencia elas oplás ico. La no ación empleada en (12) signi ica (@(F)) = @(F) si F > O, y (@(F)) = O si F 5 O. La ecuación (9) gobie na la espues a elás ica del ma e ial, (10) la egla de luencia, (11) el endu ecimien o plás ico, y (12) ep esen a en un caso gene al la ley iscoplás ica de luencia, o en el caso q = O el c i e io de luencia elas oplás ico. ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F. Y E.F. 239 Los símbolos ep esen an asas co o acionales de las magni udes espec i as, necesa ias pa a conside a g andes de o maciones. Así po ejemplo la asa co o acional de Jaumann se exp esa en unción de las de i adas empo ales como siendo 1 w;j = 5 - Vj,') . El alo de la asa co o acional (aij, 8,) se puede in e p e a como la componen e ma e ial de la a iación de los campos espec i os, debiéndosele suma una componen e de a iación geomé ica debida a la o ación de los ejes pa a ob ene la a iación o al (eij,q,). En el caso de pequeñas de o maciones es as componen es geomé icas se anulan. Combinando (10) y (12) ob enemos pa a un caso gene al ecuación co espondien e a la o mulación de Pe zyna pa a la iscoplas icidad. En el caso pa icula 77 = 0, (12) obliga ía a F(a, q, e) = 0, es ando en onces en el caso de elas oplas icidad independien e de la elocidad de de o macióa. En es e caso se puede elimina j del es o de las ecuaciones ob eniendo una ma iz elas oplás ica angen e, D,ejkl, cuya exp esión no es necesa io desa olla aquí. Pa a el lujo é mico las ecuaciones cons i u i as conside adas se limi an a la ley de Fou ie , donde kil son los módulos de conduc i idad é mica; en el caso isó opo usual, kii = ksil. En (5) el é mino a : d co esponde a la ene gía in e na de de o mación. La descomposición adi i a d = de + dP implíci a en (9) pe mi e sepa a la asa de ene gía po encial elás ica, a : de y la asa de abajo plás ico, a : dP. De la componen e plás ica, la mayo pa e se disipa con ibuyendo a aumen a la en alpía, lo que se aduce en un aumen o de empe a u a: donde 5 es un coe icien e de disipación ce cano a la unidad (usualmen e 5 = 0.95), y c, es el calo especí ico a p esión cons an e. JOSE M. GOICOLEA SEMIDISCRETIZACION: Di e encias Fini as La disc e ización del dominio espacial se ealiza median e una malla de elemen os Re. Las incógni as disc e as se án los desplazamien os uN( ) de inidos en los nodos N de la malla, y las empe a u as Be( ) de inidas en es e caso en el cen o de cada elemen o e. Aunque la es uc u a opológica iene de inida po Re y N, se emplea án ambién pa a las in eg ales al ededo de los nodos o o conjun o de subdominios PN cen ados en cada nodo N de la malla, de mane a que UN PN = B y nN PN =: 0. Con iene ecalca que la malla puede se comple amen e a bi a ia, sin necesi a ninguna es uc u a en líneas 1, J ni o o ipo de esquema ijo. T adicionalmen e se han empleado los modelos de di e encias ini as con mallas es uc u adas, necesa ias pa a exp esa las nzoléculas que de inen las ap oximaciones en di e encias. Sin emba go, los p ocedimien os pa a el cálculo de g adien es y e aluación de ue zas in e nas empleados aquí son lo su icien emen e gene ales po lo que en es e sen ido pe mi en una malla no es uc u ada equi alen e a las empleadas en elemen os ini os, sin ningún ipo de limi ación. La ecuación (1) se disc e iza pa icula izándola pa a cada subdominio PN c B. Exp esandola en o ma ma icial pa a el conjun o del modelo, esul a inalmen e un sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias siendo M [MN J] = SN J p dV (N no sumado) J,, La exp esión (20) o igina una ma iz de masas diagonal. La conse ación de la masa se sa is ace de mane a i ial en una malla Lag angiana (es deci , que sigue al ma e ial en su mo imien o) sin más que hace cons an es las masas nodales esul an es de (20). La ecuación (21) exp esa el ec o de ue zas ex e nas, mien as que (22) p opo ciona las ue zas in e nas. Más adelan e de allamos algunos algo i mos en di e encias pa a e alua las in eg ales que esul an de es a úl ima ecuación. Las ecuaciones di e enciales o dina ias (19) se in eg an en el iempo median e un esquema explíci o de di e encias cen ales: Así, se es ablece un ciclo de cálculo en el que se aplican p ime amen e las ecuaciones semidisc e as (19) a a és de las exp esiones (20)-(22) en el ins an e n pa a calcula ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F. Y E.F. 241 ün; a con inuación se aplica el esquema de in eg ación empo al (23) pa a ob ene un+', pudiendo en onces ecomenza el ciclo de cálculo pa a el siguien e in e alo de iempo, n+'. En la Tabla 1 se puede e una ep esen ación esquemá ica de las ope aciones del ciclo de cálculo. Siguiendo es e esquema de in eg ación no es necesa io en ningún momen o esol e un sis ema de ecuaciones simul áneas, al y como se plan ean en los mé odos de elemen os ini os adicionales. Las únicas ope aciones a ealiza son ap oximaciones a ni el local median e exp esiones de di e encias ini as pa a e alua g adien es o in eg ales. Es a no able p opiedad de los mé odos explíci os cons i uye su p incipal en aja, an o po su e icacia compu acional ( apidez de cálculo) como po la sencillez de los algo i mos a emplea . Es a sencillez hace que la esolución de p oblemas no lineales sea especialmen e en ajosa y obus a, no necesi ando un es ue zo signi ica i amen e mayo de cálculo que pa a p oblemas lineales. 1. Calcula in e alo de iempo A 2. Bucle en elemen os: e = 1, numel (a) ue zas in e nas Ln = JpNiei un dS (b) ensambla in = e in e 3. Bucle en nodos: N = 1, numnod (a) ue zas ex e io es y con ac os, F (b) acele aciones ük = ( g - ;ln ) /MN . n-112 (e) elocidades 1~"~~ = u, + ükA n+l/2A (d) desplazamien os u:+' = u& + uN 4. Bucle en elemen os: e = 1, numei (a) elocidades de de o mación y o ación d:+'I2 = ?(VV + T ) n+'/2 = ;( V - T ) Qe (b) e aluación ensiones g:+' = u: + ~+:+'/~(d"+'/~, . . .)A (c) lujo de calo qp = Sane kVBn dS wi = J, u : dPdV Qe (d) ac ualización de empe a u as . - 5. Ac ualización del iempo + +A n n+ 1 si < j;,, ol e a 1. Tabla 1. Ciclo de cálculo e momecánico explíci o. JOSE M. GOICOLEA O a consecuencia impo an e es que no es necesa io almacena ma ices de coe icien es globales en ningún momen o, lo que educe sob emane a las necesidades de memo ia. Es as c ecen de mane a lineal (en luga de cuad á ica) con el amaño del p oblema, lo que posibili a la solución e icaz de g andes p oblemas idimensionales que median e mé odos implíci os esul an p ác icamen e inabo dables. La alidez del esquema de in eg ación explíci o en el que se desacopla la in eg ación espacial y empo al es á condicionada a que a lo la go de un in e alo de iempo A la in o mación no ienda a p opaga se más allá de un elemen o, siendo h el amaño del elemen o más pequeño (p. ej. la al u a en un iángulo), y cp la elocidad de p opagación de las ondas más ápidas, en es e caso las ondas P. Es e equisi o es el que pe mi e ealiza una in e polación exclusi amen e local pa a las di e encias ini as, ya que en o o caso se ía necesa io plan ea el equilib io eniendo en cuen a ambién los desplazamien os de los elemen os ecinos. Las ecuaciones esul a ían acopladas y hab ía que emplea un p oceso de elajación pa a es ablece el equilib io dinámico. La condición (24) se denomina la condición de Cou an o CFL2. Se puede in e p e a como la obligación de que la máxima elocidad numé ica de ansmisión de la in o mación (he/A , siendo he la dimensión del elemen o) no puede en ningún caso se in e io a la elocidad isica, so pena de que la in eg ación se con ie a en ines able. El asegu a es a condición no o ece ninguna di icul ad, ya que se impone de mane a i ial en cualquie p og ama explíci o; sin emba go es inge a alo es necesa iamen e muy pequeños el in e alo de iempo a u iliza . Con iene no a que el esquema de in eg ación impone la ecuación dinámica en n pa a calcula el nue o es ado en el ins an e n+'; es o o igina un cie o desequilib io dinámico en n*'. Cuando es e desequilib io se ciñe al en o no local de cada elemen o, da luga simplemen e a pequeñas oscilaciones numé icas, man eniéndose es able. En cambio, si el e o es al que en un in e alo de iempo ocasiona desequilib io incluso en los elemen os con iguos, el p oceso se o na ines able. Hay que menciona ambién que exis en écnicas de elajación pa a abo da in e alos de iempo o ca ga mayo es, ales como la elajación dinámica31 o la elajación iscosa30, de las que no nos ocupa emos aquí. CICLO TERMICO Pa alelamen e al ciclo mecánico de cálculo se ealiza un ciclo é mico. La ecuación (18) aplicada a odo el dominio B disc e izado en Re o igina la ecuación ma icial donde ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F. Y E.F. 243 C z [Ce ] = Sej pcp dV (e no sumado) Le q:x = 1 I dV + é minos en el con o no e La exp esión (26) es la ma iz (diagonal) de capacidades é micas, (27)co esponde al abajo plás ico disipado, (28) es la ganancia de calo po conducción en el medio, y (29) co esponde a las uen es ex e nas de calo . Más adelan e se de allan los algo i mos empleados pa a es as in eg ales. La in eg ación empo al pa a las a iables é micas se ealiza median e un esquema explíci o de Eule hacia delan e, e alúandose median e la ecuación (25). Es e esquema de esolución da luga igualmen e a un algo i mo explíci o, sin ningún sis ema de ecuaciones simul áneas. La e~ abilidad~~ es condicional a que el in e alo de iempo es á limi ado po siendo h el amaño del elemen o más pequeño. En la p ác ica, en es e abajo se ha encon ado que mien as la exp esión (24) pa a el in e alo de iempo mecánico esul a muy iable, es con enien e educi (31) median e un ac o de 1/43. INTEGRACION DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS La e aluación de las ue zas in e nas en (22) exige, además de un p ocedimien o de ap oximación pa a la in eg al, una e aluación de las ensiones un en n, a a és de la in eg ación en el iempo de las mismas. El mé odo seguido es el del e o no adial, consis en e en emplea un p edic o hipoelás ico, seguido de una co ección de e o no a la supe icie de luencia que asegu a la consis encia con el c i e io de plas icidad. Es e mé odo que esul a de una g an sencillez y p ecisión ue p opues o inicialmen e po Wilkin~~~ y ha sido pos e io men e gene alizado en [22,24,29]. En p ime luga se e alúa la p edicción elás ica, esul ando b:+'/2 de la aplicación de (9), (13) y (18) con dP = O. Si F(u:+') < 0, el ma e ial es á den o del ango elás ico y se adop a un+' = u:+'. En e1 caso en que la JOSE M. GOICOLEA donde u(x, ) es el campo de desplazamien os en el con inuo, N(x) son las unciones de o ma, y uh( ) son los desplazamien os nodales. Sus i uyendo (48) en (47) y conside ando pa a w la misma dependencia uncional (48), se llega a una ecuación ma icial idén ica a la ya is a pa a di e encias ini as (19) siendo aho a Donde B = dN/dx es el ope ado de in e polación de g adien es. La ecuación (49) ep esen a la ma iz de masas consis en e, que no iene en gene al una exp esión diagonal; sin emba go es una p ác ica usual diagonaliza la ya que el uso de la ma iz consis en e no p esen a en ajas no ables y po el con a io al diagonaliza se simpli ica no ablemen e la solución. La ecuación (50) exp esa las ue zas ex e nas, y (51) exp esa las ue zas in e nas a a és del ope ado B. El empleo de M diagonal jun o con un esquema de in eg ación empo al explíci o (23) da luga a un conjun o de ecuaciones desacopladas, y po lo an o un ciclo de cálculo en e amen e simila al desc i o a iba pa a di e encias ini as (Tabla 1). No es necesa io ampoco esol e ningún sis ema de ecuaciones simul áneas. Los algo i mos son explíci os, esul ando únicamen e in e polaciones a ni el local, y esul an en una a qui ec u a de códigos pa icula men e sencilla y obus a. Análogamen e, exis en idén icas es icciones de A pa a la es abilidad de la in eg ación. La única di e encia o mal consis e en el empleo po pa e de los elemen os ini os de una sis emá ica consis en e pa a ealiza las in e polaciones e in eg aciones numé icas, basada en las unciones de o ma (48) . Así, pa a calcula in (paso 2.a en Tabla l), las ensiones se in eg an median e (51) en luga de (22). Po o a pa e, la e aluación de los g adien es de de o mación (paso 4.a en Tabla 1) emplea el ope ado B, en sus i ución de los esquemas adop ados pa a di e encias ini as. Apa e de es as modi icaciones, el ciclo de cálculo de allado en la Tabla 1 es idén ico al seguido en di e encias ini as. Vemos pues que la di e encia en e los mé odos de di e encias ini as y elemen os ini os con in eg ación explíci a son me amen e o males, ela i a únicamen e a los algo i mos de in e polación e in eg ación numé ica. Adicionalmen e, se e i ica que los casos básicos de elemen os iangula es y cuad ilá e os desc i os an es pa a di e encias ini as dan luga a los mismos algo i mos numé icos que iángulos de de o mación cons an e (CST) y cuad ilá e os bilineales con in eg ación educida (Ql) en elemen os ini os". En e ec o, pa a el elemen o CST el ope ado B iene la exp esión así el g adien e Vw = Bw, o ece la misma exp esión que la ob enida pa a di e encias ini as en (35). Las ue zas in e nas se exp esan median e que con la exp esión de B dada po (54) esul a idén ica a (39). Pa a cuad ilá e os Q1, el ope ado B de in e polación de g adien es es comp obando que los algo i mos pa a Vw y in esul an idén icos a (41) y (43) espec i amen e. Po lo an o en es os dos casos básicos la equi alencia en e elemen os ini os y di e encias ini as es comple a. Con iene no a sin emba go que el M.E.F. p opo ciona una sis emá ica más ica y consis en e pa a el plan eamien o de soluciones ap oximadas, gene alizable a amilias muy amplias de elemen os y p incipios a iacionales. Aún así, como hemos is o en casos pa icula es ambas o mulaciones son equi alen es, siendo po an o los mé odos de di e encias ini as expues os un subconjun o de la amilia más amplia de elemen os ini os. CONTACTOS La conside ación de la in e acción en e supe icies en un esquema explíci o se ealiza de mane a sencilla a a és del mé odo de penalización. Los algo i mos de con ac o-impac o deben cub i dos unciones p incipales: Búsqueda y de ección de con ac os, Asignación de ue zas de penalización. Los algo i mos de búsqueda y de ección incluyen las capacidades siguien es: Es ablecimien o de lis as de ca as ex e nas suscep ibles de con ac o, Cálculo de no males y ole ancias, De ección y ca ego ización de con ac os (nodo-nodo, nodo-lado, nodo-ca a), JOSE M. GOICOLEA Búsqueda de nue os con ac os po deslizamien o, Búsqueda de nue os con ac os po impac o, C eación/Eliminación de ca as ex e nas en el caso de eliminación de elemen os o ape u a de supe icies nue as po e osión La ca ego ización de con ac os es necesa ia pa a p ocede , según los casos, al sua izado de las no males y cálculo de ole ancias. La o ganización de los algo i mos necesa ios en aña cie a complejidad, es ando desc i os con mayo de alle en [3]. Las ue zas de in e acción se calculan como una penalización a la pene ación en e supe icies, pudiéndose simula con ac os lisos o bien con icción median e el esquema siguien e: ," = Knpn (57) z = min(~~p~, p ,") (58) donde Kn y K son las igideces no mal y angencial espec i amen e, pn,p son las componen es de la pene ación, y p el coe icien e de ozamien o de Coulomb. (57) de ine la ue za no mal (lineal) en el con ac o mien as que (58) exp esa la angencial, de iniendo un cí culo cinemá ico de deslizamien o de adio 2p/K . Con iene no a ambién que la pene ación p es un ec o ligado a la malla Lag angiana, y como al p ecisa de una ac ualización co o acional según la ecuación (14). La igidez de los con ac os debe se lo su icien emen e g ande como pa a e i a una in e pene ación excesi a, aunque no an o que se penalize la es abilidad de la in eg ación. Es o se puede consegui de o ma consis en e omando pa a el con ac o una igidez del o den de la de la p ime a capa de elemen os en la supe icie. Una mane a sencilla de implemen a es o es a a és de la siguien e exp esión donde IC es una cons an e adi nensional ( alo ecomendado 0.1), mz es la masa del nodo in uso, y A , el in e alo de iempo c í ico de in eg ación. En e ec o, la igidez de un elemen o iangula some ido a de o mación uniaxial se puede exp esa como siendo A,p las cons an es elás icas, h la dimensión del elemen o (al u a), y Me la masa del mismo. Conside ando la exp esión (24) con cp = (A + 2p)/p, queda pa en e la elación en e (59) y (60). Las ue zas de in e acción p o enien es de los con ac os se añaden al es o de las ue zas ex e io es en los nodos, esul ando i ial su inclusión en el ciclo de cálculo explíci o. ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F. Y E.F. 253 IMPLEMENTACION EN ORDENADORES PARALELOS Y VECTORIALES Los esquemas de cálculo explíci o o ecen un g an po encial pa a su op imización en p ocesado es ec o iales y en las nue as a qui ec u as de cálculo en pa alelo. Con iene ecalca que los modelos ma emá icos, algo i mos de esolución, y po descon ado las écnicas de p og amación es án condicionadas po es as nue as a qui ec u as, al obje o de p opo ciona mé odos e icaces de solución, no an sólo soluciones co ec as. En es e sen ido es de espe a un cie o esu gimien o de esquemas explíci os y de écnicas i e a i as como el g adien e conjugado p econdicionado. Al no esol e se ningún sis ema de ecuaciones acopladas g an pa e de las ope aciones se pueden ealiza a ni el de cada elemen o, sin depende de los esul ados en o os elemen os, y con da os locales al elemen o en cues ión. Es o incluye e In e polación de g adien es y de o maciones, (6) e E aluación e in eg ación de leyes cons i u i as, (9)-(14), (32) e Cálculo de ue zas in e nas, (22) e Ac ualización de desplazamien os, (23) O o g upo más educido de ope aciones implican ensamblaje o compa ición de da os globales y necesi an un a amien o especial. En es a ca ego ía se encuen an e Ensamblaje de ue zas in e nas a pa i de con ibuciones elemen ales, (51) e Compa ición de desplazamien os nodales después de su ac ualización global en (23) Vec o ización La gene ación de código ec o ial se ealiza di ec amen e po pa e de los compilado es a pa i del análisis de los bucles de cálculo ("do-loops"), comp obando que no exis e ecu encia en los mismos. Es p eciso po an o hace pa en e la es uc u a del algo i mo al compilado , pa a no inhibi la ec o ización de mane a innecesa ia en los casos en que no exis a ecu encia eal en los algo i mos. Pa a es o se debe e i a la llamada a sub u inas den o de un bucle ec o ial, lo que puede exigi en ocasiones desa olla el código de la sub u ina den o del bucle. Po lo gene al no esul a posible ni ampoco deseable desa olla odo el código de un elemen o en un bucle único sin llamadas a sub u inas, sal o quizá en los casos más sencillos. Es posible conse a en g an medida la es uc u a modula de sub u inas median e el empleo de a iables ec o iaies, lo que pe mi e pa i los bucles y ealiza los den o de las sub u inas que u iliza án como a gumen os dichas a iables ec o iales cuya dimensión se á la del ec o de cálculo. Sí puede se con enien e po el con a io en algunos casos desa olla el código de las sub u inas den o del bucle ec o ial. Pa a ello la mayo ía de los compilado es ienen la capacidad de ealiza es a ope ación de o ma au omá ica ( "inlining" ). Las ope aciones de ensamblaje y compa ición de da os globales se ealizan con algo i mos de ecopilación/ edis ibución ("ga he /sca e "), que se sepa an del es o de o ma que los bucles ec o iales ob engan el máximo endimien o. JOSE M. GOICOLEA Pa alelización Un p ime ipo de pa alelización se ía la di igida a o denado es del ipo MISD ("Mul iple Ins uc ion, Sha ed Da a" : ins ucciones múl iples, da os compa idos). Es e es el caso de sis emas con pocos p ocesado es de ele ada po encia (Con ex, C ay, e c.), siendo a menudo cada p ocesado de ipo ec o ial. La pa alelización en es e caso se puede ealiza median e la subdi isión en g upos de elemen os, de o ma que cada p ocesado se enca gue de uno de es os g upos, ealizando den o de ellos ope aciones ec o iales. Simplemen e se necesi a ag upa los elemen os de o ma que los g upos esul en homogéneos en cuan o a ma e ial, ipo de elemen o, y o as opciones de análisis. El o o ex emo es á cons i uido po las a qui ec u as masi amen e pa alelas SIMD ("Single Ins uc ion, Mul iple Da a" : ins ucción única, da os múl iples). Es os o denado es cons an de un ele ado núme o de p ocesado es sencillos, cada uno de los cuales dispone de su p opia memo ia. Pa a las ope aciones pa alelizables es necesa io p es a mayo a ención a la sinc onización en e las mismas ya que odos los p ocesado es deben ejecu a la misma ins ucción. Po o a pa e, las ope aciones que implican compa i o ensambla da os globales se ealizan median e in e cambio en luga de ecopilación/ edis ibución. De es a o ma se ap o echa mejo la g an e icacia de es e ipo' de máquinas (Connec ion Machine, Hype cube, . . .) pa a las comunicaciones en e p ocesado es. Has a el momen o las aplicaciones implemen adas de mane a e icaz en es e ipo de o denado es se limi an a códigos expe imen ales, excesi amen e simpli icados pa a se de u ilidad p ác ica. Los códigos de p oducción esul an di íciles de implemen a debido a la di e sidad de opciones que deben ealiza , di ícilmen e pa alelizables en a qui ec u as SIMD. Sin emba go, es de espe a que se p oduzcan a ances en un u u o p óximo que con ie an el p oceso pa alelo en una opción p ác ica. Es os a ances deben ealiza se an o en So wa e (compilado es; p og amación o ien ada a obje os) como en ha dwa e (sis emas MIMD). APLICACIONES Se p esen an aquí es aplicaciones de la me odología desc i a en di e encias ini as: p opagación de ondas elás icas en un cono, ex usión 3D e mo-mecánica, y pe o ación de blindajes. P opagación de ondas elás icas en un cono Expe imen os ealizados en ba as de Hopkinson de pe il cónicoI5 e idencian que las ondas de comp esión ienden a c ea de ás del en e de la onda o a onda secunda ia de acción, que ocasiona que la ba a salga despedida hacia a ás al desp ende se el (' ime-piece" . KolskyI3 ha p esen ado una solución analí ica pa a es e p oblema. Es a se basa en supone que sob e la base del cono ac úa una ca ga explosi a que p oduce un pulso de ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F. Y E.F. 255 desplazamien os de inido po donde b es la dis ancia del é ice del cono a la base, el iempo, A la ampli ud del pulso y. B una longi ud ca ac e ís ica del mismo. La solución analí ica pa a las ensiones longi udinales en el cono es siendo la dis ancia del pun o en cues ión al é ice del cono y E el módulo elás ico. La ecuación an e io es álida pa a los pun os en que > ( b - co ), siendo a = O pa a alo es meno es de T. Se obse an en la exp esión (62) dos é minos de signo opues o, el p ime o siemp e nega i o ( en e de comp esión), y el segundo posi i o (onda secunda ia de acción). Aunque la ampli ud de ambos c ece al disminui , es e e ec o es más p onunciado pa a la onda secunda ia de acción, po lo que sii icien emen e ce ca del é ice p edomina sob e la de comp esión p oduciéndose una acción ne a. Cuando es o ocu e en un cono de ma e ial ágil (p. ej. id io) se p oduce la o u a, saliendo despedido un ozo del mismo an es de que la onda llegue al é ice. El modelo ealizado ep esen a una ba a oncocónica de adios en los ex emos 6 mm y 60 mm, longi ud 2 000 mm, a a és de una malla de 4 x 150 cuad ilá e os (Figu a 6). El ma e ial empleado es aluminio (E = 67 GPa, p = 2 700 kg/m3, co = 4 981 m/s). El pulso de en ada se de inió como una his o ia de elocidades en la base, esul an e de de i a la exp esión (61), con A = 1.3382 x m2, B = 0.3 m. El análisis de es e p oblema se ealizó con el código PR2D3. En la Fig. (6) se mues an los esul ados numé icos en o ma de pe iles de ensión longi udinal a lo la go de la ba a en dis in os ins an es. Se puede comp oba su buen ajus e con la solución analí ica (62), obse ando a pa i de = 0.3 ms una zona de acción cuya in ensidad a en aumen o. El pico agudo del en e de onda p edicho po la solución analí ica se edondea no ablemen e en la solución numé ica, como e a de espe a . También se obse a una cie a dispe sión de ás del en e de ondas, lo que en pa e se puede a ibui a la in luencia de las ondas de Rayleigh de la supe icie, no conside adas en la solución analí ica. Ex usión 3D e mo-mecánica Se p esen an aquí los esul ados de un análisis de ex usión e mo-mecánico ealizado pa a alida los esul ados numé icos en e a expe imen os. Se esumen aquí los da os y esul ados p incipales, pudiendo encon a se una in o mación más de allada en [20]. El análisis se ealizó con el código PR3D18. La pieza ex uida es un cilind o de aluminio de sección ci cula , comp imido en e un apoyo plano liso y un bloque supe io ugoso. El bloque ocupa an sólo una anja JOSE M. GOICOLEA (edW) ssaJIS Figu a 6. T ansmisión de onda explosi a en un cono elás ico. Pe iles de ensiones longi udinales en di e sos ins an es de iempo. ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F. Y E.F. 257 de la sección del cilind o, eniendo además una abe u a cuad ada en su cen o po la que se ex uye el aluminio (Figu a 7). El ma e ial es á ep esen ado po un modelo elas oplás ico ipo Von Mises, con las siguien es ca ac e ís icas E =67 GPa =0.3 a = 195~O.~ Mpa (ley de endu ecimien o) A' = 174 W /(m°K) c, =900 J/(kg°K) c =23.4 x ~o-~OK-' La malla ealizada cub e an sólo 114 de la pieza, debido a las sime ías exis en es. La disc e ización mix a se ealizó con 6 e aed os po hexaed o; en la igu a se dibujan an sólo es os úl imos. Figu a 7. Ex usión de un bloque de Aluminio. Malla inicial, indicando la zona comp imida po un bloque ugoso con ape u a cen al. Sólo se ep esen a 114 de la malla po sime ía. El análisis con empla los e ec os de acoplamien o é mico-mecánico, an o de ensiones é micas como de disipación de ene gía plás ica en o ma de calo . La condición de con o no en la pa e in e io pe mi e la sepa ación del apoyo como de hecho ienen endencia a hace los bo des. JOSE M. GOICOLEA Ni el empe a u a 1 -- 300°K 2 -- 320°K 3 -- 340°K Figu a 8. Ex usión de un bloque de Aluminio. De o mada inal y con o nos de igual empe a u a. La Figu a 8 mues a la pieza de o mada en su es ado inal, .con las isolíneas de empe a u a supe pues as. Se obse a un aumen o de empe a u a de unos 65O, coincidiendo la zona de mayo empe a u a con una banda en la que se concen an las de o maciones de co e. La Figu a 9 mues a la compa ación de esul ados expe mien ales con los calculados, pa a la ley ue za-desplazamien o, no ándose que el ajus e es bas an e acep able. Se obse a ambién que al inal del p oceso el modelo se compo a de mane a algo más ígida que el expe imen o. Es e e ec o se e ía disminuido con una maha más ina que cap u ase mejo los al os g adien es de de o mación que se p oducen. Pe o ación de blindajes Los p oblemas de impac o son especialmen e adecuados pa a esol e median e écnicas explíci as, ya que son p ocesos ue emen e no lineales que se desa ollan en in e alos de iempo pequeño^^^^^'^. En pa icula , los p oblemas de balís ica e minal equie en a menudo capacidades especí icas de los códigos pa a el a amien o de ondas de choque ines ables, p ocesos de o u a dinámica y pe o ación, e c. El abajo que se desc ibe abajo ue ealizado con el código ARMI 26927. Es e p og ama es un código explíci o especialmen e o ien ado pa a p oblemas de impac o a al a elocidad. Pa a a a adecuadamen e es os p oblemas es necesa io ep esen a adecuadamen e las ondas de choque de ele adas p esiones que se gene an en dichos ANAL. TERMOMECANICO NO LINEAL MED. MET. EXPLICITOS DE D.F. Y E.F. 259 izo - " B o ! O 1 2 3 4 5 INDENTATION lnml Figu a 9. Ex usión de un bloque de Aluminio. Cu as numé ica y expe imen al ue za-desplazamien o. impac os, lo que exige dos capacidades básicas: e Ecuaciones de es ado ep esen a i as de la elación p esión- olumen- empe a u a, álidas pa a p esiones que supe en el lími e elás ico de IIugoni~ ~~. A pa i de es e lími e la elación elás ica median e el módulo de comp esibilidad olumé ica deja de se álida. ARMI inco po a los dos ipos undamen ales de ecuaciones de es ado pa a sólidos, de Mie-G uneisen y polin~mial~~. e Viscosidad a i icial pa a e i a la p opagación ines able de las ondas de choque. Pa a ello se emplea el mé odo p opues o po Von Neumann y Ri~h mye ~~, combinación de un é mino lineal y o o cuad á ico. Adicionalmen e a la iscosidad pa a es abilización de las ondas de choque, en p oblemas de impac o a al a elocidad es necesa io emplea una iscosidad an i- hou glassing, aunque los elemen os empleados engan el ango co ec o y ca ezcan de modos de ene gía nula. Es o es debido a que la oposición a dichos modos iene limi ada po el lími e plás ico de esis encia a ensiones co an es. En p oblemas de al a elocidad en que se gene an ele adas p esiones es a esis encia llega a se desp eciable. En ARMI se adop a la o mulación de HancockIo. O a capacidad necesa ia pa a el es udio de blindajes inco po ada en ARMI son los algo i mos de e osión. Los elemen os en los que el ma e ial ha sa is echo la condición de o u a se eliminan de la malla, pe mi iendo la p og esión del p oyec il (que a su ez se puede e osiona en el p oceso). Exis en múl iples mecanismos de o u a dependiendo del ma e ial y es uc u a del blindaje, p oyec il, elocidad de impac o, ángulo de impac o, e c. ( o u a ágil a acción o "spalling7'; o u a dúc il po cizaliadu a; o mación de bandas de co e adiabá ico; man enimien o o no de la capacidad de esis encia a comp esión una ez o o). Es necesa io seleccionai el c i e io de o u a de o ma que ep esen e adecuadamen e el mecanismo ísico co espondien e al p oblema. Asimismo la eliminación de elemen os de la malla ha de ealiza se de mane a g adual, de lo con a io la eliminación súbi a de ene gía puede ocasiona ines abilidades numé icas